高中数学选修2-1教学设计-抛物线的简单几何性质

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.专心. 抛物线的简单几何性质

【教学目标】

1.记住抛物线的几何性质，会根据抛物线的几何性质确定抛物线的位置及基本量p；

2.会简单应用抛物线的几何性质；

3.强化数形结合的思想.

【重点难点】

抛物线的几种不同状态下的标准方程的几何性质和应用.

【教学过程】

〔一〕复习：

〔1〕抛物线的四种标准方程；

〔2〕基本量p的几何意义.

〔二〕新课讲解：

抛物线的几何性质列表如下：

标准方程

22(0)ypxp 22(0)ypxp 22(0)xpyp 22(0)xpyp

图形

焦点坐标 (,0)2p (,0)2p (0,)2p (0,)2p

准线方程 2px 2px 2py 2py

范围 0x 0x 0y 0y

对称性 x轴 x轴 y轴 y轴

顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)

离心率 1e 1e 1e 1e

说明：〔1〕通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径.

〔2〕抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线.

例1．抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,22)M，求它的标准方程，并用描点法画出图形．

解：∵抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,22)M，

所以设它的标准方程为22(0)ypxp．

∵点M在抛物线上，所以2(22)22p，即2p．

∴所求方程是24yx．〔图略〕

例2．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分〔图〔1〕〕，光源位于抛物线的焦点处。灯口圆的直径为60cm，灯深40cm,求抛物线的标准方程和焦点的位置． o F x y l

o x y

F l

x y

o F

l o x y

F l .

.专心. 图〔1〕

§2.2抛物线的几何性质

设计人：赵军伟 审定：数学备课组

【学习目标】

1.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．

2.从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力

【学习重点】理解并掌握抛物线的几何性质

【学习难点】能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质

【知识衔接】

1. 平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做＿＿＿定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的＿＿＿，定直线l叫做抛物线的＿＿＿.

2. 抛物线的＿＿＿在一次项对应的轴上，其数值是一次项系数的＿＿倍，准线方程与焦点坐标相反；反之可以逆推。

3.已知抛物线的标准方程是y2=8x，求它的焦点坐标和准线方程

4.已知抛物线的焦点是F(-2，0)，求它的标准方程

【学习过程】

一、抛物线的几何性质：通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？

(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．

(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．

(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．

(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．

二、举例应用：

例题3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．

例4 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．

证明：

【巩固练习】

【学习反思】

【作业布置】见教材习题二

数学视野:抛物线的产生

公元前4世纪后半期，由于战争，希腊的文化中心从雅典东移到古老埃及的亚历山大城，希腊、埃及两方文化结合，更使希腊人的文学、艺术、哲学、自然科学取得了卓越的成就，关于数学中圆锥曲线的研究也是在这个时期开始.希腊人最先研究圆锥曲线，据传首先是为了解决当时的几何学与神学提出的所谓“德里问题”或“立方倍积问题”，并在逐步探索认识和解决问题的过程中，发展和深化了对圆锥曲线的了解.所谓“德里问题”或“立方倍积问题”，是传说很久以前，一次希腊德里群岛中一个名叫杰罗西岛的地方发生了瘟疫.岛上部落问自己的酋长怎样祈祷上帝，才能免除这场灾难.酋长说，要把祭祀上帝的立方体形祭坛重新砌造成一个更大的，要求新砌的祭坛仍是立方体，但体积要为原来祭坛体积的2倍.即原立方体棱长为a，新立方体棱长x.问题的实质就是如何根据a求作x .不少的古希腊学者研究过这个问题，开始大多是企图通过尺规作图的方法来解决的，也形成了多种方法（这些方法都不是严格意义上的“尺规作图”）.古希腊几何学家、天文学家梅内克缪斯(Menaechmus 前375-前325年)的方法是：用一个平面垂直于顶角分别是锐角、直角和钝角的圆锥的母线，得到三种不同截线，他把这三种截线分别叫做“锐角的”、“直角的”和“钝角的”圆锥截线，即后来的椭圆、抛物线和一支等轴双曲线.那么在“立方倍积问题”中，如何作出x这一线段呢？用现在的直角坐标方程的知识可知，它实际是两条抛物线和两交点中非原点的那个交点的横坐标，而这两条抛物线梅内克缪斯在当时就是从圆锥截线得到.所以梅内克缪斯是系统研究圆锥曲线的第一人，他最早给圆锥曲线以命名，并利用抛物线满意地解决了“立方倍积问题”.圆锥曲线就这样神奇地仿佛是无中生有地产生在圆锥曲面上.

知识与技能目标

使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．

要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．

过程与方法目标

情感，态度与价值观目标

（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。

（2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。

能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；

（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；

（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力

（1） 复习与引入过程

回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？

2．简单实验

如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．

（2） 新课讲授过程

（i）由上面的探究过程得出抛物线的定义

《板书》平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.

(ii) 抛物线标准方程的推导过程 引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．

由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：

将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．