概率论知识点总结

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概率论知识点总结

概率论知识点总结 1

1. 随机试验

确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。

随机现象： 在个别实验中呈现不确定性，在大量实验中呈现统计规律性，这种现象称为随机现象。

随机试验：为了研究随机现象的统计规律而做的的实验就是随机试验。 随机试验的`特点：

1）可以在相同条件下重复进行；

2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；

3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会先出现；

2. 样本空间、随机事件

样本空间：我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。 样本点：构成样本空间的元素，即E中的每个结果，称为样本点。

事件之间的基本关系：包含、相等、和事件（并）、积事件（交）、差事件（A-B：包含A不包含B）、互斥事件（交集是空集，并集不一定是全集）、对立事件（交集是空集，并集是全集，称为对立事件）。事件之间的运算律：交换律、结合律、分配率、摩根定理（通过韦恩图理解这些定理）

3. 频率与概率

频数：事件A发生的次数 频率：频数/总数

概率：当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这个值就是概率。 概率的特点：

1）非负性。

2）规范性。

3）可列可加性。

概率性质：

1）P（空集）=0，

2）有限可加性，

3）加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB） 2

4. 古典概型

学会利用排列组合的知识求解一些简单问题的概率（彩票问题，超几何分布，分配问题，插空问题，捆绑问题等等）

5. 条件概率

定义：A事件发生条件下B发生的概率P（B|A）=P（AB）/P（A） 乘法公式：P（AB）=P（B|A）P(A) 全概率公式与贝叶斯公式

6. 独立性检验

设 A、B是两事件，如果满足等式P（AB）=P（A）P（B）则称事件A、B相互独立，简称A、B独立。

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1. 随机变量

定义：设随机试验的样本空间为S={e}。X=X（e）是定义在样本空间S上的单值函数，称X=X（e）为随机变量。

2. 离散型随机变量及其分布律

三大离散型随机变量的分布 1）（0——1）分布。E（X）=p, D(X )=p(1-p)

2）伯努利试验、二项分布 E(X)=np, D(X)=np(1-p)

3) 泊松分布 P（X=k）= (?^k)e^(- ?)/k! (k=0,1,2,……)

E（X）=?，D（X）= ?

注意：当二项分布中n 很大时，可以近似看成泊松分布，即np= ?

3. 随机变量的分布函数

定义：设X是一个随机变量，x是任意的实数，函数 F（x）=P（X≤x）,x属于R 称为X的分布函数 分布函数的性质：

1） F（x）是一个不减函数

2） 0≤F（x）≤1

离散型随机变量的分布函数的求法。（由分布律求解分布函数）

连续性随机变量的.分布函数的求法。（由分布函数的图像求解分布函数，由概率密度求解分布函数）

4. 连续性随机变量及其概率密度

连续性随机变量的分布函数等于其概率密度函数在负无穷到x的变上限广3

义积分 相反密度函数等与对应区间上分布函数的导数 密度函数的性质：

(1）f(x)≥0

(2) 密度函数在负无穷到正无穷上的广义积分等于1

三大连续性随机变量的分布:

(1)均与分布 E(X)=(a+b)/2 D (X)=[(b-a)^2]/12

(2)指数分布 E（X）=θ D（X）=θ^2

(3)正态分布一般式（标准正态分布）

随机变量的函数的分布：

(1）已知随机变量X的 分布函数求解Y=g(X)的分布函数

(2）已知随机变量X的 密度函数求解Y=g(X)的密度函数 第三章 多维随机变量及其分布（主要讨论二维随机变量的分布）

1.二维随机变量

定义 设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数x, y,二元函数F（x, Y）=P[(X≤x)交（Y≤y）] 称为二维随机变量（X，Y）的分布函数或称为随机变量联合分布函数离散型随机变量的分布函数和密度函数 连续型随机变量的分布函数和密度函数，重点掌握利用二重积分求解分布函数的方法。

2．边缘分布

离散型随机变量的边缘概率；

连续型随机变量的边缘概率密度。

3.相互独立的随机变量

如果X，Y相互独立，那么X，Y的联合概率密度等于各自边缘的乘积。

5. 两个随机变量的分布函数的分布

关键掌握利用卷积公式求解Z=X+Y的概率密度。

第四章．随机变量的数字特征

1.数学期望

离散型随机变量和连续型随机变量数学期望的求法 六大分布的数学期望。

2.方差

连续性随机变量的方差 D（X）=E（X^2）-[E (X )]^2 方差的基本性质：

(1） 设C是常数，则D（C）=0 4

(2） 设X随机变量，C是常数，则有

D（CX）=C^2D(X)

(3) 设X，Y是两个随机变量，则有

D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2E{（X-E（X））（Y-E（Y））} 特别地，若X，Y不相关，则有D（X+Y）=D（X）+ D（Y） 切比雪夫不等式的简单应用。

3. 协方差及相关系数

协方差：Cov(X ,Y )= E{（X-E（X））（Y-E（Y））} 相关系数：m=Cov(x,y)/√D(X)

√D(Y)

当相关系数等于0时,X,Y 不相关，Cov(X ,Y )等于0 不相关不一定独立，但独立一定不相关。

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今年上半年上了4个头的线性代数，下半年上个5个头的概率统计，任务繁杂。在系领导的关心和同事们的帮助下，各项工作都已胜利完成，现将本人工作情况总结如下：

1、教学任务

上半年担任的勘技06-1，2，3班的高数（二）70个原始课时；测绘06－1、2、3班线性代数36个原始课时；三个统计学学生的毕业实习指导工作90个学学时；研究生的课有经济预测理论及方法54个原始课时，抽样原理有36个原始课时；共计完成280个原始课时的教学任务。

2、教学情况

教学上能严格要求自己，自觉遵守学校各项规章制度和教学纪律，无任何教学事故；充分利用课堂教学时间提高教学效率；完成教学环节中个各项工作，按时完成学生的成绩登记及上报工作，工作做到规范，保质保量。

教学上，能在教学过程中能善于启发学生思维；在备课时就设计好能启发学生思维的'问题，这样，就能充分调动学生的学习积极性，使学生学的积极主动，教学效果好。能严格要求学生，关心学生，做到教书育人。

能认真批改作业，耐心辅导学生，努力让每一个学生都能树立学习信心，鼓励学生提高学习成绩，提高教学质量。教学受到学生的欢迎。

3、其他 5

上半年已经发表教学论文一；能认真听课，虚心向老师们学习；积极参加各项教研活动。

此外，还能按时完成领导交给的有关工作和任务，义务参加系资料室的借阅工作；各方面尽到了自己的责任。

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第一章、随机事件和概率

一、本章的重点内容：

四个关系：包含，相等，互斥，对立﹔

五个运算：并，交，差﹔

四个运算律：交换律，结合律，分配律，对偶律(德摩根律)﹔

概率的基本性质：非负性，规范性，有限可加性，逆概率公式﹔

五大公式：加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式﹔

条件概率﹔利用独立性进行概率计算﹔·重伯努利概型的计算。

近几年单独考查本章的考题相对较少，从考试的角度来说不是重点，但第一章是基础，大多数考题中将本章的内容作为基础知识来考核，都会用到第一章的知识。

二、常见典型题型：

1.随机事件的关系运算﹔

2.求随机事件的概率﹔

3.综合利用五大公式解题，尤其是常用全概率公式与贝叶斯公式。

第二章、随机变量及其分布

一、本章的重点内容：

随机变量及其分布函数的.概念和性质(充要条件)﹔

分布律和概率密度的性质(充要条件)﹔

八大常见的分布：0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布及它们的应用﹔

会计算与随机变量相联系的任一事件的概率﹔

随机变量简单函数的概率分布。

近几年单独考核本章内容不太多，主要考一些常见分布及其应用、随机变量6

函数的分布。

二、常见典型题型：

1.求一维随机变量的分布律、分布密度或分布函数﹔

2.一个函数为某一随机变量的分布函数或分布律或分布密度的判定﹔

3.反求或判定分布中的参数﹔

4.求一维随机变量在某一区间的概率﹔

5.求一维随机变量函的分布。

第三章、二维随机变量及其分布

一、本章的重点内容：

二维随机变量及其分布的概念和性质，边缘分布，边缘密度，条件分布和条件密度，随机变量的独立性及不相关性，一些常见分布：二维均匀分布，二维正态分布，几个随机变量的简单函数的分布。

本章是概率论重点部分之一!应着重对待。

二、常见典型题型：

1.求二维随机变量的联合分布律或分布函数或边缘概率分布或条件分布和条件密度﹔

2.已知部分边缘分布，求联合分布律﹔

3.求二维连续型随机变量的分布或分布密度或边缘密度函数或条件分布和条件密度﹔

4.两个或多个随机变量的独立性或相关性的判定或证明﹔

5.与二维随机变量独立性相关的命题﹔

6.求两个随机变量的相关系数﹔

7.求两个随机变量的函数的概率分布或概率密度或在某一区域的概率。

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考点1：确定事件和随机事件

考核要求：

〔 1〕理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，知道确定事件与必然事件、不可能事件的关系；

〔 2〕能区分简单生活事件中的必然事件、不可能事件、随机事件。