概率论知识点总结

1 《概率论与数理统计》

第一章随机事件及其概率

§1.1 随机事件

一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件：

二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性：

§1.2 概率

古典概型公式：P（A）=所含样本点数所含样本点数A

实用中经常采用“排列组合”的方法计算

补例1：将n个球随机地放到n个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A：“每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？

Ω所含样本点数：nnnnn...

Α所含样本点数：!1...)2()1(nnnn

nnnAP!)(

补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？

解：设Ai ：“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(Ai)=？

Ω所含样本点数：6444443

A1所含样本点数：24234

836424)(1AP 2 A2所含样本点数： 363423C

1696436)(2AP

A3所含样本点数：4433C

161644)(3AP

注：由概率定义得出的几个性质：

1、0

2、P(Ω)=1，P(φ) =0

§1.3 概率的加法法则

定理：设A、B是互不相容事件（AB=φ），则：

P（A∪B）=P（A）+P（B）

推论1：设A1、 A2、…、 An 互不相容，则

P(A1+A2+...+ An)= P(A1) + P(A2) +…+ P(An)

推论2：设A1、 A2、…、 An 构成完备事件组，则

P(A1+A2+...+ An)=1

推论3： P（A）=1－P（A）

推论4：若BA，则P(B－A)= P(B)－P(A)

推论5（广义加法公式）：

对任意两个事件A与B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A B)

补充——对偶律：

nnAAAAAA......2121 3 nnAAAAAA......2121

概率论与数理统计

1 概率论与数理统计 知识点总结 一、随机事件与概率 1.随机事件 （1）事件间的关系与运算  事件的差：ABAABAB  对立事件：,AAAA  完备事件组：设12,,,,nAAA是有限或可数个事件，如果其满足： ① ,,,1,2,ijAAijij； ②iiA，则称12,,,,nAAA是一个完备事件组. （2）随机事件的运算律  求和运算： ①ABBA（交换律） ②()()ABCABCABC（结合律）  求交运算： ①ABBA（交换律） ②()()ABCABCABC（结合律）  求和运算与求交运算的混合： ①()()()ABCABAC（第一分配律） ②()()()ABCABAC（第二分配律）  求对立事件的运算：()AA（自反律）  和及交事件的对立事件： ①ABAB（第一对偶律） ②ABAB（第二对偶律） 2.随机事件的概率 （1）概率的公理化定义 概率论与数理统计

2  公理1：()1P； 公理2：对任意事件A，有()0PA； 公理3：对任意可数个两两不相容的事件12,,,,nAAA，有11()()iiiiPAPA. （2）概率测度的其他性质  性质1：()0P 性质2（有限可加性）：12,,,nAAA是两两互不相容的，则有11()()nniiiiPAPA 性质3：()1()PAPA 性质4：()()()PABPAPAB 特别地，若AB，则①()()()PABPAPB；②()()PAPB 性质5：0()1PA 性质6：()()()()PABPAPBPAB 推论：()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPACPBCPABC 3.古典概型与几何概型 （1）古典概型  古典概型的概率测度：()==AAPA中元素个数使发生的基本事件数中元素个数基本事件总数 （2）几何概型  几何概型的概率测度：()()()SAPAS 4.条件概率 （1）条件概率的数学定义  ()()(()0)()PABPBAPAPA 概率论与数理统计

第 1 页 共 1 页 概率论知识点总结

基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。

必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。

样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω、 样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间、 样本空间用Ω表示、 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件

A 发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为或。

相等关系：若且，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。事件的和：“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为 A∪B。事件的积：称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB。事件的差：称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件,记为 A－B。用交并补可以表示为。互斥事件：如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。对立事

第 1 页 共 1 页 件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件（逆事件），记为。对立事件的性质：。事件运算律：设A，B，C为事件，则有（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)

A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC（4）对偶律（摩根律）：

第二节 事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性：P(A)≥0；（2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性：两两不相容时概率的性质：（1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：两两不相容时当AB=Φ时P(A∪B)＝P(A)＋P(B)（3）（4）P(A－B)＝P(A)－P(AB)（5）P（A∪B）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节 古典概率模型

概率论总结

目 录

一、 前五章总结

第一章 随机事件和概率 …………………………1

第二章 随机变量及其分布……………………….5

第三章 多维随机变量及其分布…………………10

第四章 随机变量的数字特征……………………13

第五章 极限定理………………………………...18

二、 学习概率论这门课的心得体会……………………20

一、前五章总结

第一章 随机事件和概率

第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。

在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。

必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。

2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。

基本事件—单点集，复合事件—多点集

一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。

事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。

3、定义：事件的包含与相等

若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为BA或AB。

若AB且AB则称事件A与事件B相等，记为A＝B。

定义：和事件

“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。 用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。

定义：积事件

称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。

定义：差事件

称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，eB} 。