数学人教版九年级上册二次函数背景下形成三角形面积问题

数学结合思想在二次函数中的应用

一、 课标要求

1. 通过实际问题情境分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义，能从图象上认识二次函数的性质，能用函数刻画事物间的相互关系并进行分析。

2. 探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，提高运用函数知识与方法解决问题的能力。

二、 内容分析

二次函数在初中数学教学中有重要地位，它是初中数学教学的重点和难点之一，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。它的考查经常牵涉到等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想方法，二次函数也是中考的热点之一。本节课设想在学生第一轮复习了二次函数的图象与性质的基础上，在第二轮复习中进一步研究解决二次函数与几何结合的综合问题，让学生体会这类问题的通解通法，感受数学结合思想为解题带来的便利，初步掌握一些处理数形关系及其变化规律的常用手法，提高运用函数知识与方法解决问题的能力。

三、教学目标

1. 初步掌握利用几何图形和二次函数的有关性质及相关知识解决函数与几何融合在一起的综合问题的一些常用方法，会探索、寻找、利用运动中的“不变量”；

2. 学会运用类比、联想、转化、推理等方法挖掘问题中的隐含条件，用数形结合、分类讨论等思想方法分析问题，在问题解决的过程中提升运用函数知识与方法解决问题的能力。

四、 教学重点

培养运用类比、联想、转化、推理等方法解决二次函数与几何综合问题的思维方式方法。

五、 教学难点

挖掘问题中的隐含条件，寻找运动中的“不变量”，用数形结合思想分析、思考问题。

六、 学情分析

教学班级为平行班，学生的学习基础参差不齐，成绩中等的学生占大多数。本班学习积极性高。因此在设计本节课的内容是，从最基础的二次函数知识出发，由浅入深，环环紧扣，从题目的设计上降低学生学习的难度，从而让学生能更好地体会数形结合思想在二次函数中的应用。

七、教学过程

中考数学二次函数问题中三角形面积最值问题

解题策略

考点分析：

二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：

1.三角形面积最值问题

2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。

这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比

较高。

解决此类题目的基本步骤与思路:

1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标

2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解

三角形的面积从而得出面积的关系式

3. 根据二次函数性质求出最大值.

4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研

究。例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞

清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。

注意事项：

1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示

2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思

想.

3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂

线。

4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。5.围绕不同

的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。6.在勾股定理

计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。

原题：在（1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使

△PBC的面积最大？若存在，求出P点的坐标及△PBC的面积

最大值，若没有，请说明理由。

考试题型，大多类似于此。求面积最大值的动点坐标，并求出面

积最大值。

一般解题思路和步骤是，设动点P的坐标，然后用代数式表达

各线段的长。通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最

值，即出。

解法一：补形，割形法。方法要点是，把所求图像的面积适当的

割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。请看解题步骤。

解法二：铅锤定理，面积=铅锤高度×水平宽度÷2。这是三角形

面积表达方法的一种非常重要的定理。

铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，

在课堂上讲解。因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。这里，

广州市五中滨江学校教学设计（教案）

2017 年 5 月 19 日

学 科 数学 单元（章） 课题 函数综合的应用----求面积

授课班级 初三走班 授课日期 2017年5月19 日星期四 课时 一课时

使用电教媒体（课件） 展台 执教 段根平

教

学

目

标 让学生学会在函数背景下根据实际情况采取割补法求图形面积。

教学

重点

难点 把任意的三角形采用割补法转化成直角三角形再求面积；

怎样割补有利于找到三角形的底和高。

教 学 过 程 设 计 教学过程

备注及反思

一、课前小测：

1

2如图，在边长为1的正方形网格中，⊿ABC的面积=___________

3 如图，反比例函数2yx的图像上有一点B，BC⊥x轴于点C，⊿OBC的面积=___________

二、例题讲解：

例1：如图，已知二次函数212yxbxc的图像经过A（2,0）、B（0，-6）两点。

（1） 求这个二次函数的解析式；

（2） 设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求⊿ABC的面积。

例2：如图，一次函数y=kx+b与反比例函数myx的图像交与点A（2,3），B（-3，n）两点.

（1） 求一次函数与反比例函数的解析式；

（2） 过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求⊿ABC的面积。

复习：已知三角形底和高求面积

复习简单割补，为例3作铺垫

复习利用反比例函数的K求面积

在函数背景下能直接确定图形的底和高

做辅助线找出底和高

例3：如图，在平面直角坐标系中，o为原点，直线AB分别于x轴、y轴交于B和A,与反比例函数的图像交于C、D，CE⊥x轴于点E，A（0,2），B（4,0），E（-2，0）

(1)求直线AB和反比例函数的解析式；

（2）求⊿OCD的面积。

练习：

1：如图：抛物线2yxbxc与x轴，y轴分别相交于点A（-1,0），B（0,3）两点，其顶点为D.(1)求该抛物线的解析式；

探索二次函数中图形面积最值问题

知识目标：

1. 认识二次函数的意义。

2. 灵活运用选定系数法求二次函数的解析式。

3. 掌握构建二次函数模型并利用二次函数的性质解决图形面积的最值问题。

能力目标：

1. 熟悉运用数形结合的思想解决问题。

2. 通过观察课件的演示，学会分析事物“静”与“动”的辩证统一关系。

情感目标：

1. 培养学生的空间想象能力。

2. 培养学生学会以变化的思想分析问题。

教学重点：掌握构建二次函数模型并利用二次函数的性质解决图形面积的最值问题

教学难点：理清点、线段、解析式三者之间的关系 ，把动态问题看作静态问题。

教学方法：讲练结合法、研究法

教学课时：一课时

教学过程：

一、 问题导入

问题一：

如图：已知平面直角坐标系中，点A、B的xyBAO坐标是A（2,0） B（4,3）

则S△OAB=

问题二：如图，平面直角坐标系中有两点A（2，2）B（－1,－4），则S△OAB=

小结归纳：

在平面直角坐标系中，求三角形的面积关键是确定三角形的底边和底边上的高，为了能够把点的坐标联系起来，通常要找出“横平、竖直”的线段作为三角形的底和高，如问题一以OA（横平）的线段作为底边，高则由B点的纵坐标的绝对值决定；如果图中没有出现“横平、竖直”的线段，则利用割补法，把图形分成两个图形进行计算，如问题二：直线AB与x轴交于点C，则以OC为底边，把△OAB分成两个以OC为底边的三角形，高则由点A和点B的纵坐标的绝对值确定。

二、 新授

如图：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点，

（1） 求抛物线的解析式。

（2） 若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标是m，△AMB面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值。

xBCAOMxyCBAO活动一：小组讨论如何求抛物线的解析式