四川省内江市高中2022届第一次模拟考试数学(文)试题(含答案)

绝密★启用前四川省高中2022届毕业班“兴唐·名校联盟”测试（一）数学（文史类）本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。

第I卷1至2页，第II卷2至4 页，共4页。

满分1 50分。

考试时间1 20分钟。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题共50分）留意事项：必需使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

本卷共1 0小题。

一．选择题：本大题共10个小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数z满足z(1+i)=2i（i为虚数单位），则z的虚部为(A) -1 (B)l (C) 一i (D)i(2)已知集合P={x|0≤x≤2），Q= {x|- 3<x<a}，若l∈P∩Q，3∈P∪Q，则a的取值范围是(A)(1,3] (B) (D)(1,3)(3)若向量 =(1，λ)与向量=(-2，0)的夹角为120°，则=(A) (B)2 (C)4 (D)(4)在如图所示的程序框图中，若输入曲线E1：=1，曲线E2：y=2x2。

曲线E1，E2的离心率分别为e1、e2，则输出的结果为(A)12 (B)1(C)32（D)52(5)在平面区域D=内随机取点P(x，y)，使x+y>l的概率为 (A)14 (B)12 (C)34 (D)45(6)实数a，b，c，d满足a>b，c<d，设命题p:∃ x∈(b，a)，ax< bx，命题q：∀x∈(c，d)，cx< dx，若p∧q为真命题，则下列结论肯定正确的是(A) ac<ad (B) ac<bc (C) ad<bd (D) bc>bd(7)若函数f(x)=12cos（xω+1）的最小正周期T=π，则函数g(x) =|ω|sin2x+23sinxcosx的最大值为(A)3 (B)2 (C)1 (D) -1(8)若函数f(x)=1+是R上的偶函数，则f (l)的值为(A)一2 (B)1 (C)23 (D)一2或23(9)在如图所示的三棱锥P-ABC中，PA=，BC =1，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，该锥体在以平面PBC为投影面的正视图的面积为32，则三棱锥P-ABC的体积为(A)322 (B) 2(C)22 (D)24(10)设函数f(x)=一4x，g(x)=2x；，若f (m)=g(n)，则n-m的最小值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1第II卷（非选择题共100分）留意事项：必需使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。

2022-2023学年四川省内江市高二下学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．命题“”的否定是（ ）20,10x x ∃>->A ．B ．20,10x x ∃≤->20,10x x ∃>-≤C ．D ．20,10x x ∀>-≤20,10x x ∀≤->【答案】C【分析】由特称命题的否定是全称命题即可得出答案.【详解】命题“”的否定是:.20,10x x ∃>->20,10x x ∀>-≤故选：C.2．椭圆的离心率是（ ）22124x y +=A B C D 【答案】A【分析】根据题意求，再求离心率即可.,,a b c【详解】由题意可得：y 轴上，则2,a b ==c ==故椭圆的离心率是22124x y +=c e a =故选：A.3．下列说法正确的是（ ）A ．若为假命题，则p ，q 都是假命题p q ∨B ．“这棵树真高”是命题C ．命题“使得”的否定是：“，”R x ∃∈2230x x ++<R x ∀∈2230x x ++>D ．在中，“”是“”的充分不必要条件ABC A B >sin sin A B >【答案】A【分析】若为假命题，则p ，q 都是假命题，A 正确，“这棵树真高”不是命题，B 错误，否定是：p q ∨“，”，C 错误，充分必要条件，D 错误，得到答案.R x ∀∈2230x x ++≥【详解】对选项A ：若为假命题，则p ，q 都是假命题，正确；p q ∨对选项B ：“这棵树真高”不是命题，错误；对选项C ：命题“使得”的否定是：“，”，错误；R x ∃∈2230x x ++<R x ∀∈2230x x ++≥对选项D ：，则，，故，充分性；若，则A B >a b >22a b R R >sin sin A B >sin sin A B >，，则，必要性，故是充分必要条件，错误.2sin 2sin R A R B ⋅>⋅a b >A B >故选：A4．在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）1111ABCD A B C D -1A B 1B CA ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解【详解】连接，，如图，1A D DB因为正方体中，11//A D B C 所以就是与所成的角，1BA D ∠1A B 1B C 在中，.1BA D 11A D A B BD ==∴.160BA D ∠=︒故选：C5．已知双曲线的两条渐近线相互垂直，焦距为，则该双曲线的虚轴长为()222210,0x y a b a b -=>>12（ ）A ．B ．C ．D ．6【答案】B【分析】分析可得，求出的值，即可得出双曲线的虚轴长.b a =b 【详解】双曲线的渐近线方程为，()222210,0x y a b a b -=>>b y x a =±由题意可知，可得，所以，，则1b ba a -⋅=-b a =6c ===b =因此，该双曲线的虚轴长为2b =故选：B.6．若直线与焦点在x 轴上的椭圆总有公共点，则n 的取值范围是（ ）2y mx =+2219x y n +=A ．B ．C ．D ．(]0,4()4,9[)4,9[)()4,99,∞⋃+【答案】C【分析】由题得直线所过定点在椭圆上或椭圆内，代入椭圆得到不等式，再结合椭圆焦点在()0,2轴上即可.x 【详解】直线恒过定点，若直线与椭圆总有公共点，2y mx =+()0,2则定点在椭圆上或椭圆内，，解得或，()0,241n ∴≤4n ≥0n <又表示焦点在轴上的椭圆，故，，2219x y n += x 09n <<[)4,9n ∴∈故选：C.7．已知，分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，满足，1F 2F 22145x y -=M 12MF MF ⊥则的面积为（ ）12F MF △A ．B ．CD ．510【答案】A 【分析】由可以求得M 在以原点为圆心，焦距为直径的圆周上，写出圆的方程，与双曲12MF MF ⊥线的方程联立求得M 的坐标，进而得到所求面积.【详解】设双曲线的焦距为，则.2c 2459c =+=因为，所以为圆与双曲线的交点.12MF MF ⊥M 229x y +=联立，解得，22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩53y =±所以的面积为.12F MF △156523⨯⨯=故选:A.【点睛】本题考查与双曲线有关的三角形面积最值问题，利用轨迹方程法是十分有效和简洁的解法.8．已知椭圆的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，2222:1(0)x y E a b a b +=>>12,F F E ,P Q 且，且，则椭圆的标准方程为（ ）22PF F Q⊥2224,6PF Q S PF F Q =+= E A ．B ．22143x y +=22154x y +=C ．D ．22194x y +=22195x y +=【答案】C【分析】根据椭圆的定义可求，结合三角形的面积可求，进而可得答案.3a =c 【详解】如图，连接，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，11,PF QF 12PFQF 所以，得.222126PF F Q PF PF a +=+==3a =又因为，所以四边形为矩形，设，22PF F Q ⊥12PFQF 22,==PF m QF n 则，所以得或；2142PF QS mn == 6,8,m n mn +=⎧⎨=⎩ 42m n =⎧⎨=⎩24m n =⎧⎨=⎩则，12F F =2224c b ac ==-=椭圆的标准方程为.E 22194x y +=故选:C.9．当双曲线的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为222:1(20)26x y M m m m -=-≤<+（ ）A ．y ＝B ．y ＝xC ．y ＝±2xD ．y ＝±x12【答案】C【解析】求得关于的函数表达式，并利用配方法和二次函数的性质得到取得最小值时的值，2c m m 进而得到双曲线的标准方程，根据标准方程即可得出渐近线方程【详解】由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5，当m ＝－1时，c 2取得最小值，即焦距2c 取得最小值，此时双曲线M 的方程为，所以渐近线方程为y ＝±2x .2214y x -=故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程与几何性质，属基础题，掌握双曲线的基本量的关系是,,a b c 关键.由双曲线的方程：的渐近线可以统一由得出.22(0,0)Ax By AB λλ+=<≠220Ax By +=10．已知，是椭圆C 的两个焦点，P 为C 上一点，，若C ，则1F 2F 122PF PF =（ ）12F PF ∠=A ．B ．C ．D ．150︒120︒90︒60︒【答案】B【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率的公式进行求解即可.【详解】解：记，，由，及，得，，又由余弦定11r PF =22r PF =122r r =122r r a +=143r a =223r a=理知，得.2221212122cos 4r r r r F PF c +-⋅∠=222122016cos 499a a F PF c -⋅∠=由，从而，∴.c e a ==2279c a =2212168cos 99a a F PF ⋅∠=-121cos 2F PF ∠=-∵，∴.120180F PF ︒<∠<︒12120F PF ∠=︒故选:B11．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆（，且为常数）和半圆组成的曲线22221y x a b +=0y ≥0a b >>()2220x y b y +=<如图2所示，曲线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，C C x A y G M 当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（）M 12⎫-⎪⎪⎭AGM A ．B ．()2241032x y y +=≥()22161093x y y +=≥C ．D ．()22241033x y y +=≥()22421033x y y +=≥【答案】D【分析】由点在半圆上，可求，然后求出G ，A ，根据已知的面积最大的条12M ⎫-⎪⎪⎭b AGM 件可知，，即，代入可求，进而可求椭圆方程OM AG ⊥1OM AGk k ⋅=-a 【详解】由点在半圆上，所以，12M ⎫-⎪⎪⎭b=(0,),(,0)G a A b -要使的面积最大，可平行移动AG ，当AG 与半圆相切于时，M 到直线AG 的AGM 12M ⎫-⎪⎪⎭距离最大， 此时，即，OM AG ⊥1OM AGk k ⋅=-又,OM AG ak k b ===1,a a b =-∴==所以半椭圆的方程为()22421033x y y +=≥故选：D12．已知，为椭圆与双曲线的公共焦点，1F 2F ()221112211:10x y C a b a b +=>>()222222222:10,0x y C a b a b -=>>是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，则的最小值为M 12π3F MF ∠=1e 2e 1C 2C 12e e （ ）ABC ．1D ．12【答案】A【分析】由题可得，在中，由余弦定理得112212MF a a MF a a =+⎧⎨=-⎩12MF F △，结合基本不等式得，即可解决.2221212122cos3F F MF MF MF MF π=+-⋅⋅222121243c a a a =+≥【详解】由题知，，为椭圆与双曲线的1F 2F ()221112211:10x y C a b a b +=>>()222222222:10,0x y C a b a b -=>>公共焦点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，M 123F MF π∠=1e 2e 1C 2C 假设，12MF MF >所以由椭圆，双曲线定义得，解得，12112222MF MF a MF MF a +=⎧⎨-=⎩112212MF a a MF a a =+⎧⎨=-⎩所以在中，，由余弦定理得12MF F △122F F c =，即222121212π2cos3F F MF MF MF MF =+-⋅⋅，()()()()22212121212π42cos3c a a a a a a a a =++--+⋅-化简得，2221243=+c a a 因为，222121243c a a a =+≥所以，212c a a ≥=12≥e e 当且仅当时，取等号，12a =故选：A二、填空题13．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点2241x y +=1F 构成的的周长为__________2F 【答案】4【分析】先将椭圆的方程化为标准形式，求得半长轴的值，然后利用椭圆的定义进行转化即可求a 得.【详解】解：椭圆方程可化为，显然焦点在y 轴上，，22114x y +=1a =根据椭圆定义，121222AF AF a BF BF a+=+=，所以的周长为．2ABF 121244AF AF BF BF a +++==故答案为4．14．若命题“，”为假命题，则a 的取值范围是______．x ∀∈R 210ax ax ++≥【答案】(,0)(4,)-∞+∞ 【分析】先求得命题为真时的等价条件，取补集即可得到为假命题时的参数取值范围.【详解】当时，命题为“，”，该命题为真命题，不满足题意；0a =x ∀∈R 10≥当时，命题，可得到，解得，0a ≠R x ∀∈210ax ax ++≥2Δ400a a a ⎧=-≤⎨>⎩04a <≤故若命题“，”是假命题，则R x ∀∈210ax ax ++≥(,0)(4,)a ∈-∞+∞ 故答案为：(,0)(4,)-∞+∞ 15．已知椭圆C ：，，为椭圆的左右焦点．若点P 是椭圆上的一个动点，点A 的坐2212516x y +=1F 2F 标为（2，1），则的范围为_____．1PA PF +【答案】[10【分析】利用椭圆定义可得，再根据三角形三边长的关系可知，当共线时即1210PF PF =-2,,A P F 可取得最值.1PA PF +【详解】由椭圆标准方程可知，5,3a c ==12(3,0),(3,0)F F -又点P 在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以12210PF PF a +==1210PF PF =-所以1210PA PF PA PF +=+-易知，当且仅当三点共线时等号成立；222AF PA PF AF -≤-≤2,,A P F=10+即的范围为.1PA PF +[10+故答案为：[1016．己知，是双曲线C 的两个焦点，P为C 上一点，且，，若1F 2F 1260F PF ∠=︒()121PF PF λλ=>C ，则的值为______．λ【答案】3【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理求解即可.12,PF PF 【详解】由及双曲线的定义可得，12(1)PF PF λλ=>122(1)2PF PF PF aλ-=-=所以，，因为，在中，221aPF λ=-121a PF λλ=-1260F PF ∠=︒12F PF △由余弦定理可得，222222442242cos 60(1)(1)11a a a ac λλλλλλ=+-⨯⋅⋅︒----即，所以，2222(1)(1)c a λλλ-=-+2222217(1)4c e a λλλ-+===-即，解得或（舍去）.231030λλ-+=3λ=13λ=故答案为：3三、解答题17．已知，，其中m ＞0．2:7100p x x -+<22430q :x mx m -+<(1)若m ＝4且为真，求x 的取值范围；p q ∧(2)若是的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．q ⌝p ⌝【答案】(1)()4,5(2)5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）解不等式得到，，由为真得到两命题均为真，从而求出:25p x <<q :412x <<p q ∧的取值范围；x （2）由是的充分不必要条件，得到是的充分不必要条件，从而得到不等式组，求出实q ⌝p ⌝p q数m 的取值范围.【详解】（1），解得：，故，27100x x -+<25x <<:25p x <<当时，，解得：，故，4m =216480x x +<-412x <<q :412x <<因为为真，所以均为真，p q ∧,p q 所以与同时成立，:25p x <<q :412x <<故与求交集得：，25x <<412x <<45x <<故的取值范围时；x ()4,5（2）因为，，解得：，0m >22430x mx m -+<3m x m <<故，:3q m x m <<因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，q ⌝p ⌝p q即，但，:25:3p x q m x m <<⇒<<:3q m x m <<⇒:25p x <<故或，0235m m <≤⎧⎨>⎩0235m m <<⎧⎨≥⎩解得：，523m ≤≤故实数m 的取值范围是5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦18．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程；(1)短轴长为的椭圆；23e =(2)与双曲线具有相同的渐近线，且过点的双曲线．22143y x -=()3,2M -【答案】(1)或22195x y+=22195y x +=(2)22168x y -=【分析】（1）根据题意求出、、的值，对椭圆焦点的位置进行分类讨论，可得出椭圆的标准a b c 方程；（2）设所求双曲线方程为，将点的坐标代入所求双曲线的方程，求出的值，()22043y x λλ-=≠M λ即可得出所求双曲线的标准方程.【详解】（1）解：由题意可知.23b c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为，x 22195x y +=若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为.y 22195y x +=综上所述，所求椭圆的标准方程为或.22195x y +=22195y x +=（2）解：设所求双曲线方程为，()22043y x λλ-=≠将点代入所求双曲线方程得，()3,2-()2223243λ-=-=-所以双曲线方程为，即．22243y x -=-22168x y -=19．已知直棱柱的底面ABCD 为菱形，且，为1111ABCD A B C D-2AB AD BD ===1AA =E 的中点．11B D (1)证明：平面；//AE 1BDC (2)求三棱锥的体积．1E BDC -【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合菱形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】（1）连接AC 交BD 于点，连接，F 1C F 在直四棱柱中，，1111ABCD A B C D -11//AA CC 11=AA CC 所以四边形为平行四边形，即，，11AA C C 11//AC A C 11=AC A C 又因为底面ABCD 为菱形，所以点为AC 的中点，F 点为的中点，即点为的中点，所以，，E 11B D E 11A C 1//C E AF 1C E AF =即四边形为平行四边形，所以，1AFC E 1//AE C F 因为平面，平面，，所以平面；1C F ⊂1BDC AE ⊄1BDC //AE 1BDC （2）在直棱柱中平面，平面，1111ABCD A B C D -1BB ⊥1111D C B A 11A C ⊂1111D C B A 所以，111BB A C ⊥又因为上底面为菱形，所以，1111D C B A 1111B D A C ⊥因为平面，1111111,,B D BB B B D BB =⊂ 11BB D D 所以平面，11A C ⊥11BB D D 因为在中，，ABD △2AB AD BD ===且点为BD 的中点，所以，即FAF ==1C E =所以．11111121332E BDC C BDE BDE V V S C E --==⋅=⨯⨯=△20．已知椭圆E ：.()222210x y a b a b +=>>(P (1)求椭圆E 的方程；(2)若直线m 过椭圆E 的右焦点和上顶点，直线l 过点且与直线m 平行.设直线l 与椭圆E 交()2,1M 于A ，B 两点，求AB 的长度.【答案】(1)221168x y +=【分析】（1）由待定系数法求椭圆方程.（2）运用韦达定理及弦长公式可求得结果.【详解】（1）由题意知，，，设椭圆E 的方程为.e =a=b c =222212x y b b +=将点的坐标代入得：，，所以椭圆E 的方程为.P 28b =216a=221168x y +=（2）由（1）知，椭圆E 的右焦点为，上顶点为，所以直线m 斜率为(0,，1k ==-由因为直线l 与直线m 平行，所以直线l 的斜率为，1-所以直线l 的方程为，即，()12y x -=--30x y +-=联立，可得，2211683x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩231220x x -+=，，，1200∆=>124x x +=1223x x =.==21．已知双曲线.221416x y -=(1)试问过点能否作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，如果存在，()1,1N S T N ST 求出其方程；如果不存在，说明理由；(2)直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、l ()2y kx m k =+≠±M M l x 轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程.y ()0,0A x ()00,B y M 00(,)P x y 【答案】(1)不能，理由见解析；(2)，.22100125x y -=0y ≠【分析】（1）设出直线的方程，与双曲线方程联立，由判别式及给定中点坐标计算判断作答.ST （2）联立直线与双曲线的方程，由给定条件得到，求出的坐标及过点与直线l ()2244m k =-M M 垂直的直线方程，即可求解作答.l 【详解】（1）点不能是线段的中点，N ST 假定过点能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，()1,1N S T N ST 显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，ST ST ()11y n x -=-1y nx n =-+而双曲线渐近线的斜率为，即，221416x y -=2±2n ≠±由得，则有，解得，2211416y nx n x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22242(1)(1)160n x n n x n -+----=2(1)14n n n --=-4n =此时，即方程组无解，22224(1)4(4)[(1)16]4169412250n n n n '∆=----+=⨯⨯-⨯⨯<所以过点不能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点.()1,1N S T N ST （2）依题意，由消去y 整理得，221416x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩()()22242160k x kmx m ---+=因为，且是双曲线与直线唯一的公共点，2k ≠±M l 则有，即，点M 的横坐标为，()()222Δ(2)44160km k m =-+-+=()2244m k =-244km kkm =--点，，过点与直线垂直的直线为，416(,)k M m m --0km ≠M l 1614()k y x m k m +=-+因此，，，，020k x m =-020y m =-2222002224164(4)110025x y k k m m m --=-==00y ≠所以点的轨迹方程为，.00(,)P x y 22100125x y -=0y ≠22．已知椭圆：上的点到左、右焦点，的距离之和为4.C ()222210x y a b a b +=>>31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭1F 2F (1)求椭圆的方程.C (2)若在椭圆上存在两点，，使得直线与均与圆相切，问：C P Q AP AQ ()222322x y r ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭()0r >直线的斜率是否为定值?若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.PQ 【答案】(1)22143x y +=(2)是定值，定值为12【分析】（1）由椭圆的定义结合性质得出椭圆的方程.C （2）根据直线与圆的位置关系得出，将直线的方程代入椭圆的方程，由韦达定理得21k k =-AP C 出坐标，进而由斜率公式得出直线的斜率为定值.,P Q PQ 【详解】（1）由题可知，所以.24a =2a =将点的坐标代入方程，得A 31,2⎛⎫⎪⎝⎭22214x y b +=23b =所以椭圆的方程为.C 22143x y +=（2）由题易知点在圆外，且直线与的斜率均存在.A ()()2223202x y r r ⎛⎫-+-=> ⎪⎝⎭AP AQ 设直线的方程为，直线的方程是AP ()1312y k x -=-AQ ()2312y k x -=-由直线与圆相切，AP ()()2223202x y r r ⎛⎫-+-=> ⎪⎝⎭r=r=.=21k k =-将直线的方程代入椭圆的方程，AP C 可得.()()222111113443241230k x k k x k k ++-+--=设，.因为点也是直线与椭圆的交点，(),P P P x y (),Q Q Q x y 31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭AP 所以，21121412334P k k x k --=+1132P P y k x k =+-因为，所以，21k k =-21121412334Q k k x k +-=+1132Q Q y k x k =-++所以直线的斜率PQ Q P PQ Q Py y k x x -=-()112Q P Q Pk x x k x x -++=-22111111221122111122114123412323434412341233434k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+----++ ⎪++⎝⎭=+----++()()22111118623424k k k k k --++=12=。

绝密★启用前四川省内江市普通高中2021届高三毕业班下学期第二次高考模拟考试数学(文)试题2021年3月(考试时间：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|(x＋4)(x－1)≤0},B＝{x||x|<2},则A∪B＝A.{x|－2<x<2}B.{x|－2<x≤1}C.{x|－2<x≤4}D.{x|－4≤x<2}2.复数(1＋2i)(2－3i)的共轭复数是A.8＋iB.8－iC.－4＋iD.－8＋i3.若cosα＝15,α为锐角,则cos(α－6π)＝B.110+D.1104.记S n为等差数列{a n}的前n项和,若a2＝18,S5＝80,则数列{a n}的通项公式a n＝A.2n＋22B.22－2nC.20－nD.n(21－n)5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,设M为线段BC的中点,则下列说法正确的是A.A1M⊥BDB.A1M//平面CC1D1DC.A1M⊥AB1D.A1M⊥平面ABC1D16.执行右图所示的程序框图,则输出k的值为A.3B.4C.5D.67.已知过点(0,2)的直线l与圆心为C的圆(x－2)2＋(y－1)2＝10相交于A,B两点,若CA⊥CB,直线l的方程为A.2x－y＋2＝0B.2x－y＋2＝0或2x＋y－2＝0C.x＝0D.x＝0或2x＋y－2＝08.函数f(x)＝e|x|－ln|x|－2的大致图象为9.现从甲、乙等6人中随机抽取2人到幸福社区参加义务劳动,则甲、乙仅有1人被抽到的概率为A.25B.715C.815D.3510.若过抛物线C：y2＝4x的焦点且斜率为2的直线与C交于A,B两点,则线段AB 的长为A.3B.4C.5D.611.已知F1,F2是双曲线C：22221x ya b-=(a>0,b>0)的左,右焦点,过点F1且倾斜角为30°的直线与双曲线的左,右两支分别交于点A,B。

内江六中2022—2023学年（下）高24届第一次月考文科数学试题考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 选择题（满分60分）一、单选题（本大题共12小题，共60分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．命题“，”的否定是（ ）0x ∃>210x ->A ．，B ．，0x ∃≤210x ->0x ∃>210x -≤C ．，D ．，0x ∀>210x -≤0x ∀≤210x ->2．椭圆的离心率是（ ）22124x y +=ABCD3．下列说法正确的是（ ）A ．若为假命题，则p ，q 都是假命题p q ∨B ．“这棵树真高”是命题C ．命题“使得”的否定是：“，”x ∃∈R 2230x x ++<R x ∀∈2230x x ++>D ．在中，“”是“”的充分不必要条件ABC △A B >sin sin A B >4．在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（1111ABCD A B C D -1A B 1B C ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．己知双曲线的两条渐近线相互垂直，焦距为12，则该双曲线()222210,0x y a ba b -=>>的虚轴长为（ ）A ．6B ．C ．D ．6．若直线与焦点在x 轴上的椭圆总有公共点，则n 的取值范围是2y mx =+2219x y n +=（ ）A ．B ．C ．D ．(]0,4()4,9[)4,9[)()4,99,+∞7．己知，分别为双曲线的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点，满足1F 2F 22145x y -=，则的面积为（ ）12MF MF ⊥12F MF △A ．5B ．10C D．8．己知椭圆的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线()2222:10x y E a b a b +=>>1F 2F 交E 于P ，Q 两点，且，且，，则椭圆E 的标准22PF F Q ⊥24PF Q S =△226PF F Q +=方程为（ ）A ．B ．C ．D ．22143x y +=22154x y +=22194x y +=22195x y +=9．当双曲线的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线()222:12026x y M m m m-=-≤<+方程为（）A ．B ．C ．D ．y =y x =±2y x=±12y x=±10．己知，是椭圆C 的两个焦点，P 为C 上一点，，若C 的离心率为1F 2F 122PF PF =，则（ ）12F PF ∠=A ．150°B ．120°C ．90°D ．60°11．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆．半椭圆（，且为常数）和半圆22221y x a b +=0y ≥0a b >>组成的曲线G 如图2所示，曲线G 交x 轴的负半轴于点A ，交y 轴的()2220x y b y +=<正半轴于点C ，点M 是半圆上任意一点，当点M 的坐标为时，的面12⎫-⎪⎪⎭ACM △积最大，则半椭圆的方程是（）A ．B ．()2241032x y y +=≥()22161093x y y +=≥C ．D ．()22241033x y y +=≥()22421033x y y +=≥12．已知，为椭圆与双曲线1F 2F ()221112211:10x y C a b a b +=>>的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且，()222222222:10,0x y C a b a b -=>>12π3F MF ∠=，的离心率，则的最小值为（ ）1e 2e 1C 2C 12e e A B C ．1D ．12第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的2241x y +=1F 另一个焦点构成的的周长为__________．2F 14．若命题“，”为假命题，则a 的取值范围是__________．x ∀∈R 210ax ax ++≥15．己知椭圆，，为椭圆的左右焦点．若点P 是椭圆上的一个动点，22:12516x y C +=1F 2F 点A 的坐标为，则的范围为__________．()2,11PA PF +16．己知，是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且，1F 2F 1260F PF ∠=︒，若C ，则的值为__________．()121PF PF λλ=>λ三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本题满分10分）己知，，其中．2:7100p x x -+<22:430q x mx m -+<0m >（1）若且为真，求x的取值范围；4m =p q ∧（2）若是的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．q ⌝p ⌝18．（本题满分12分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程；（1）短轴长为的椭圆；23e =（2）与双曲线具有相同的渐近线，且过点的双曲线．22143y x -=()3,2M -19．（本题满分12分）己知直棱柱的底面ABCD 为菱形，且，1111ABCD A B C D -2AB AD BD ===E 为的中点．1AA =11B D（1）证明：平面；AE ∥1BDC （2）求三棱锥的体积．1E BDC -20．（本题满分12分）己知椭圆，且过点．()2222:10x y E a b a b +=>>(P （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线m 过椭圆E 的右焦点和上顶点，直线l 过点且与直线m 平行．设直()2,1M 线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，求AB 的长度．21．（本题满分12分）己知双曲线．221416x y -=（1）试问过点能否作一条直线与双曲线交于S ，T 两点，使N 为线段ST 的中点，()1,1N 如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由；（2）直线与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线():2l y kx m k =+≠±分别交x 轴、y 轴于，两点，当点M 运动时，求点的轨迹方()0,0A x ()00,B y ()00,P x y 程．22．（本题满分12分）己知椭圆上的点到左、右焦点，的距离之和为()2222:10x y C a b a b +=>>31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭1F 2F 4．（1）求椭圆C 的方程．（2）若在椭圆C 上存在两点P ，Q ，使得直线AP 与AQ 均与圆相切，问：直线PQ 的斜率是否为定值？若是定值，请求()()2223202x y r r ⎛⎫-+-=> ⎪⎝⎭出该定值；若不是定值，请说明理由．内江六中2022—2023学年（下）高24届第一次月考文科数学试题答案一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。

2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则此样本中女生人数为（ ） A ．40 B ．36 C ．34 D ．32【答案】D【分析】根据分层抽样的性质计算即可. 【详解】由题意得：样本中女生人数为1606832180160⨯=+.故选：D2．已知向量()3,2,4m =-，()1,3,2n =--，则m n +=（ ） A ．22 B ．8 C ．3 D ．9【答案】C【分析】由向量的运算结合模长公式计算即可. 【详解】()()()3,2,41,3,22,1,2m n +=-+--=-- ()()2222123m n +=-+-+=故选：C3．如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是（ ）A ．2B ．32C ．1D ．52【答案】A【分析】模拟执行程序即得.【详解】模拟执行程序，1,1A N ==，输出1，2N =；满足条件，131+=22A =，输出32，3N =；满足条件，31+=222A =，输出2，4N =；所以第3个输出的数是2. 故选：A.4．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．83C ．43D ．323【答案】B【分析】把三视图转换为几何体，根据锥体体积公式即可求出几何体的体积. 【详解】根据几何体的三视图可知几何体为四棱锥P ABCD -, 如图所示：PD ⊥平面ABCD ,且底面为正方形，2PD AD == 所以该几何体的体积为：1822233V =⨯⨯⨯=故选：B5．经过两点(4,21)A y +，(2,3)B -的直线的倾斜角为3π4，则y =（ ） A ．1- B ．3-C ．0D ．2【答案】B【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.【详解】由于直线AB 的倾斜角为3π4， 则该直线的斜率为3πtan14k ==-， 又因为(4,21)A y +，(2,3)B -， 所以()213142y k ++==--，解得=3y -.故选：B.6．为促进学生对航天科普知识的了解，进一步感受航天精神的深厚内涵，并从中汲取不畏艰难、奋发图强、勇于攀登的精神动力，某校特举办以《发扬航天精神，筑梦星辰大海》为题的航天科普知识讲座.现随机抽取10名学生，让他们在讲座前和讲座后各回答一份航天科普知识问卷，这10名学生在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，下列叙述正确的是（ ）A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座前问卷答题的正确率的极差小于讲座后正确率的极差 【答案】B【分析】根据题意以及表格，可分别计算中位数、平均数、极差等判断、排除选项是否正确，从而得出答案.【详解】讲座前问卷答题的正确率分别为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，中位数为70%75%72.5%70%2+=> ，故A 错误； 讲座后问卷答题的正确率的平均数为0.80.8540.920.951289.5%85%10+⨯+⨯++⨯=> ，故B 正确；由图知讲座前问卷答题的正确率的波动性大于讲座后正确率的波动性，即讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C 错误；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%，讲座前正确率的极差为95%-60%=35%，20%<35%,故D 错误. 故选：B.7．两条平行直线230x y -+=和340ax y -+=间的距离为d ，则a ，d 分别为（ ）A ．6a =，d =B ．6a =-，d =C ．6a =-，d =D ．6a =，d =【答案】D【分析】根据两直线平行的性质可得参数a ，再利用平行线间距离公式可得d . 【详解】由直线230x y -+=与直线340ax y -+=平行， 得()()2310a ⨯---⨯=，解得6a =，所以两直线分别为230x y -+=和6340x y -+=，即6390x y -+=和6340x y -+=，所以两直线间距离d = 故选：D.8．从1,2,3,4,5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B【分析】先求出基本事件总数n 25C 10==，再求出这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m 2223C C =+，由此能求出这两个数字的和为偶数的概率【详解】从1、2、3、4、5、这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，基本事件总数n 25C 10==，这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m 2223C C =+=4，∴这两个数字的和为偶数的概率为p m 40.4n 10===． 故选B ．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9．已知三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面α，β，则下列四个命题中错误的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m //nB ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC ．若l ⊥α，m α⊂，则l ⊥mD ．若l //α，l ⊥β，则α⊥β【答案】B【分析】根据线面垂直的性质定理可知A 正确；根据面面垂直的性质定理可知B 不正确； 根据线面垂直的定义可知C 正确；根据面面垂直的判定可知D 正确．【详解】对A ，根据线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线互相平行可知A 正确； 对B ，根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，l ⊂α，且l 垂直于两平面的交线，则l ⊥β，所以B 错误；对C ，根据线面垂直的定义可知，C 正确；对D ，因为l //α，由线面平行的性质可知在平面α内存在直线//m l ，又l ⊥β，所以m β⊥，而m α⊂，所以α⊥β，D 正确． 故选：B ．10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点(0,0),(0,2),( 6.0)A B C -，则其欧拉线的一般式方程为（ ） A ．31x y += B ．31x y -= C ．30x y += D ．30x y -=【答案】C【分析】根据题意得出ABC 为直角三角形，利用给定题意得出欧拉线，最后点斜式求出方程即可. 【详解】显然ABC 为直角三角形，且BC 为斜边， 所以其欧拉线方程为斜边上的中线， 设BC 的中点为D ，由(0,2),( 6.0)B C -， 所以()3,1D -，由101303AD k -==--- 所以AD 的方程为13y x =-，所以欧拉线的一般式方程为30x y +=. 故选：C.11．已知P 是直线:70l x y +-=上任意一点，过点P 作两条直线与圆22:(1)4C x y ++=相切，切点分别为A 、B ．则四边形PACB 面积最小值为（ ）A ．BC ．D ．28【答案】A【分析】当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，根据切线长的表达式可知，||PA 最小，此时四边形PACB面积2S PA AC PA ==最小，求解即可．【详解】圆22:(1)4C x y ++=的圆心(1,0)C -，半径为2，当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，即||PC 的最小值为点C 到直线l 的距离|8|422d -==， ∵2224PA PC AC PC =-=-，∴||PA 的最小值为27，∵四边形PACB 面积2S PA AC PA ==， ∴四边形PACB 面积S 的最小值为47． 故选：A ．12．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列数学命题不正确的是A ．平面1//ACB 平面11ACD 3B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体111PA BC 的体积不变 C ．与所有122D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是1AB C 外接圆的圆周上任意一点，则||MN 的最32-【答案】D【解析】根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明，即可判断选项A ； 研究四面体的底面面积和高的变化判断选项B ；与所有12棱都相切的球的直径等于面的对角线1B C 的长度，求出球半径进行计算，即可判断选项C ； 根据正方体内切球和三角形外接圆的关系可判断选项D .【详解】对于选项A ，111//,AB DC AB ⊄平面111,AC D DC ⊂平面11AC D ，1//AB ∴平面11AC D ，同理可证//AC 平面11AC D ，11,,AB AC A AB AC =⊂平面1ACB ，∴平面1//ACB 平面11AC D ，正方体的对角线13BD =B 到平面1ACB 的距离为h ， 则11221311,(2)11332B ACBC ABB V V h --=⨯=⨯⨯⨯，3h ，则平面1ACB 与平面11AC D 的距离为332d h == 故A 正确；对于选项B ，点P 在线段AB 上运动，点P 到底面111A B C 的距离不变， 底面积不变，则体积不变，故B 正确；对于选项C ，与所有12条棱都相切的球直径等于面的对角线12BC 23422(3V ππ=⨯⨯=C 正确；对于选项D ，设正方体的内切球的球心和外接球的球心为O ， 则1ACB 的外接圆是正方体外接球的一个小圆，M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是1AB C 外接圆的圆周上任意一点，∴线段MN 的最小值为正方体的外接球的半径减去正方体内切球的半径，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1， ∴线段MN 312，故D 错误.故选:D.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到空间几何体的结构，面面平行的判断，球的内切问题，涉及的知识点较多，综合性较强，属于较难题.二、填空题13．已知x 、y 满足约束条件202020x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最大值是________.【答案】6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件作出可行域如图：将目标函数2z x y =+转化为2y x z =-+表示为斜率为2-，纵截距为z 的直线， 当直线2y x z =-+过点B 时，z 取得最大值， 显然点()2,2B ，则max 2226z =⨯+=. 故答案为：6.14．直线l 与圆22(1)(1)1x y ++-=相交于,A B 两点，且()0,1A ．若2AB l 的斜率为_________． 【答案】1±【分析】设直线方程，结合弦长求得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出等式，即可求得答案.【详解】根据题意，直线l 与圆 22(1)(1)1x y ++-= 相交于,A B 两点，且()0,1A ， 当直线斜率不存在时，直线0x = 即y 轴，显然与圆相切，不符合题意; 故直线斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+ ，即10kx y -+= ， 因为圆22(1)(1)1x y ++-=的圆心为(1,1) ，半径为1r = ，又弦长||2AB =,所以圆心到直线的距离为22||12()1222AB d r =-=-=, 所以2||221k k =+，解得1k =±， 故答案为：1±.15．如图，111ABC A B C ﹣是直三棱柱，90BCA ∠=︒，点E F 、分别是1111A B AC 、的中点，若1BC CA AA ==，则BE 与AF 所成角的余弦值为__．【答案】3010【分析】取BC 的中点M ，连接MF ，则MF //BE ，所以MFA ∠就是异面直线BE 与AF 所成的角，再解三角形即可.【详解】取BC 的中点M ，连接MF ，则MF //BE ，所以MFA ∠就是异面直线BE 与AF 所成的角，设222655,(),,2222BC a MF a a a AM a AF a ==+===， 222655()()()30222cos 1065222a a a MFA a a+-∠==⨯⨯3016．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是______． 【答案】5【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，2||52AB PA PB ⨯≤=. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.三、解答题17．一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五-”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下资料.(1)求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆyb x a =+； (2)若第5年优惠金额8.5千元,估计第5年的销售量y(辆)的值.参考公式：()()()11211ˆˆˆ,()n ei i i i i i pz nzlii i x x y y x y nxybay bx xx xn x ====---===---∑∑∑∑ 【答案】（1）ˆ38.5y x =-；（2）第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆【分析】（1）先由题中数据求出x y ，，再根据()()()()1122211,ˆˆˆˆn niii ii i nn ii i i x x y y x y nxyb ay bx x x x n x ====---===---∑∑∑∑求出ˆb和ˆa ，即可得出回归方程； （2）将8.5x =代入回归方程，即可求出预测值.【详解】（1）由题中数据可得11.5,26x y ==，442111211,534i i i i i x y x ====∑∑∴()414222141211411.526153534411.554ˆi i i i i x y xybx x ==--⨯⨯====-⨯-∑∑,故26311ˆ.58.5ˆay bx =-=-⨯=-，∴38.5ˆy x =-（2）由（1）得，当8.5x =时，ˆ17y=，∴第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆. 【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求ˆb和ˆa 即可，属于常考题型. 18．已知圆C 经过()6,1A 、()3,2B -两点，且圆心C 在直线230x y +-=上．(1)求经过点A ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；(2)求圆C 的标准方程；(3)斜率为43-的直线l 过点B 且与圆C 相交于E F 、两点，求EF ． 【答案】(1)60x y -=或70x y +-=(2)22(5)(1)5x y -++= (3)45【分析】（1）根据给定条件，利用直线方程的截距式，分类求解作答；（2）设圆心(32,)C b b -，由||||r AC BC ==解得1b，即得圆C 的标准方程；（3）求出直线l 的方程，利用弦长公式计算即可.【详解】（1）当直线过原点时，直线的方程为60x y -=， 当直线不过原点时，设直线的方程为1x y a a+=，将点(6,1)A 代入解得7a =，即直线的方程为70x y +-=， 故所求直线的方程为60x y -=或70x y +-=．（2）因圆心C 在直线230x y +-=上，则设圆心(32,)C b b -，又圆C 经过(6,1),(3,2)A B -两点，于是得圆C 的半径r AC BC ==，=1b，则圆心(5,1)C -，圆C 的半径r =所以圆C 的标准方程为22(5)(1)5x y -++=． （3）依题意，直线l 的方程为42(3)3y x +=--，即4360x y +-=， 圆心(5,1)C -到直线的距离为115d ==，所以45EF ===． 19．直四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是平行四边形，60ACB ∠=︒，13,1,27,,AB BC AC E F ===分别是棱1,A C AB 的中点.(1)求证：EF 平面1A AD ：(2)求三棱锥1F ACA -的体积.【答案】(1)见解析(2)22【分析】（1）取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，证明四边形AFEM 为平行四边形，则AM EF ∥，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）利用余弦定理求出AC ，再利用勾股定理求出1AA ，再根据11F ACA A AFC V V --=结合棱锥的体积公式即可得出答案.【详解】（1）证明：取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，在1A DC 中，,M E 分别为11,A D AC 的中点， 所以ME DC ∥且12ME DC =， 底面ABCD 是平行四边形，F 是棱AB 的中点，所以AF DC 且12AF DC =， 所以ME AF ∥且ME AF =，所以四边形AFEM 为平行四边形， 所以,EF AM EF ⊄∥平面1,A AD AM⊂平面1A AD ，所以EF 平面1A AD ；（2）在ABC 中，60,3,1ACB AB BC ∠===， 由余弦定理有2222cos AB AC BC AC BC ACB ∠=+-⨯⨯，解得2AC =，则1312sin6022ABC S =⨯⨯⨯=， 因为F 为AB 的中点，所以1324ACF ABC S S ==， 由已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，可得1190,2,27A AC AC AC ∠===， 可得128426A A =-=，1111132263342F ACA A AFC AFC V V S AA --==⋅=⨯⨯=. 20．某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出40名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60，，[]90,100后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图估计这次数学考试成绩的平均分；(3)若将分数从高分到低分排列，取前15%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线．【答案】(1)答案见解析(2)71(3)86【分析】（1）根据所有频率和为1求第四小组的频率，计算第四小组的对应的矩形的高，补全频率分布直方图；（2）根据在频率分布直方图中，由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，求出平均分；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，由此即可估计“优秀”档次的分数线．【详解】（1）由频率分布直方图可知，第1，2，3，5，6小组的频率分别为：0.1，0.15，0.15，0.25，0.05，所以第四小组的频率为：10.10.150.150.250.050.3-----=，∴在频率分布直方图中第四小组对应的矩形的高为0.03，补全频率分布直方图对应图形如图所示：（2）由频率分布直方图可得平均分为：0.1450.15550.15650.3750.25850.059571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，则估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线为：0.158010860.25+⨯=． 21．如图，正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，FA AC ⊥，2AB =1EF FA ==．(1)求证：BE ⊥平面DEF ；(2)求直线BD 与平面BEF 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析 (2)π4【分析】（1）设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O ，连接FO 、EO ，利用勾股定理逆定理推导出BE DE ⊥，BE EF ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）分析可知直线BD 与平面BEF 所成角为BDE ∠，求出BDE ∠的正弦值，即可求得BDE ∠的大小.【详解】（1）证明：设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O ，连接FO 、EO ，因为平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEF AC =，AF AC ⊥，AF ⊂平面ACEF ， AF ∴⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 222AC AB =， 在直角梯形ACEF 中，//EF AC ，O 为AC 的中点，则AO EF =且//AO EF ，又因为AF EF =，AF AC ⊥，故四边形AFEO 是边长为1的正方形，所以，//AF EO ，所以，EO ⊥平面ABCD ，且1EO AF ==，BD ⊂平面ABCD ，EO BD ∴⊥，则222BE DE EO OB =+=所以，222DE B D E B +=，BE DE ∴⊥，AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AF AB ∴⊥，223BF AB AF =+=，222EF BE BF ∴+=，BE EF ∴⊥，DE EF E ⋂=，DE 、EF ⊂平面DEF ，BE ∴⊥平面DEF .（2）解：由（1）可知，BE ⊥平面DEF ，所以，直线BD 与平面BEF 所成角为BDE ∠，BE DE ⊥，2sin 2BE BDE BD ∠==， 又因为π02BDE <∠≤，故π4BDE ∠=，因此，直线BD 与平面BEF 所成角为π4. 22．已知圆22:(3)9M x y -+=，设()2,0D ，过点D 作斜率非0的直线1l ，交圆M 于,P Q 两点．(1)过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于,E F 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；(2)设()6,0B ，过原点O 的直线OP 与BQ 相交于点N ．证明：点N 在定直线6x =-上．【答案】(1)S 的最大值为17.(2)证明见详解【分析】（1）由题意设出直线1l ，2l 方程，利用点到直线的距离公式，弦长公式以及基本不等式即可解决问题；（2）利用圆与直线的方程，写出韦达定理，求出直线OP 与直线BQ 的方程，且交于点N ，联立方程求解点N 即可证明结论.【详解】（1）由圆22:(3)9M x y -+=知，圆心为()3,0M ，半径3r =，因为直线1l 过点()2,0D 且斜率非0，所以设直线1l 方程为：()02y k x -=-，即20kx y k --=，则点M 到直线1l 的距离为：1223211k kk d k k -=++所以222222122289223292111k k k PQ r d k k k ⎛⎫+=--=- ⎪+++⎝⎭由12l l ⊥，且直线2l 过点D ，所以设直线2l 方程为：()102y x k -=--，即20x ky +-=， 则点M 到直线2l的距离为：2d =所以EF ====故1122S EF PQ =⋅⋅=⋅2=()2217122171k k +=⨯=+，当且仅当2289981k k k +=+⇒=±时取等号， 所以四边形EPFQ 的面积S 的最大值为17. （2）证明：设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 过点D ， 则设直线PQ 方程为：2x my =+，联立()22239x my x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消去x 整理得： ()221280m y my +--=，12122228,11m y y y y m m -+==++， 所以()1212121244y y m my y y y y y +=-⇒=-+， 由111100OP y y k x x -==-， 所以直线OP 的方程为：11y y x x =， 2222066BQ y y k x x -==--， 所以直线BQ 的方程为：()2266y y x x =--， 因为直线OP 与直线BQ 交于点N ，所以联立()112266y y x x y y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩， 所以()12121266N x y x x y y x =-- ()()()12121262226my y my y y my +=+-+-⎡⎤⎣⎦ 12212212161224my y y my y y my y y +=+-+ 12221362my y y y y +=+ ()()122213462y y y y y ⨯-⨯++=+ 12212212112126126622y y y y y y y y y --+--===-++， 所以6N x =-，所以点N 在定直线6x =-上.。

高三下第一次月考文科数学第I 卷（选择题）一、单选题1．已知全集，集合，则A =（ ）{62}U x x =-<<∣{}2230A x x x =+-<∣C U A ．B ．C ．D ．()6,2-()3,2-()()6,31,2--⋃][()6,31,2--⋃2．已知，则（ ）()1i 75iz +=+z =A ．B ．C ．D ．6i-6i+32i-12i-3．素数对称为孪生素数，将素数17拆分成个互不相等的素数之和，其中任选(,2)p p +n 2个数构成素数对，则为孪生素数的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．151314124．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有女子善织，日增等尺，三日织9尺，第二日、第四日、第六日所织之和为15尺，则其七日共织尺数为几何？”大致意思是:“有一女子善于织布，每日增加相同的尺数，前三日共织布9尺，第二日、第四日、第六日所织布之和为15尺，问她前七日共织布多少尺？” （ ）A ．28B ．32C ．35D ．425．设，是两个向量，则“”是“且”的．a b a b = ||a b |=|a b A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知各顶点都在球面上的正四棱锥的高度为，椎体体积为6，则该球的表面积为3（ ）A ．B ．C ．D ．32π16π24π20π7．某程序框图如图所示，则输出的S =（ ）A ．8B ．27C ．85D ．2608.已知直线的斜率为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的一1l 2l1l半，则直线的斜率为（ ）A ．． C D ．不2l 存在9. 我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质.已知函数的图象可能为sin ()2cos x xf x x =-A．B ．C ．D ．10．函数的图象如图所示，将函数的图象向右平移个()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭()f x π6单位长度，得到函数的图象，则（ ）()g x A ．B ．()sin 2g x x=()cos 2g x x=C ．D ．()2πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()2πcos 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．10．设，，，则（ ）0.302a =.3log 4b =4log 5c =A ． B ． C ．D ．a b c <<b a c <<c a b<<a c b <<12．已知函数的定义域为R ，且满足，，()f x ()()110f x f x -+-=()()8f x f x +=，，，给出下列结论：()11f =()31f =-()()21,021,24x a x f x x b x ⎧-++<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩①，；②；③当时，的解集为；1a =-3b =-()20231f =[]4,6x ∈-()0f x <()()2,02,4- ④若函数的图象与直线在y 轴右侧有3个交点，则实数m 的取值范围是()f x y mx m =-.其中正确结论的个数为（ ）111,16264⎛⎫⎛⎫--⋂- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．4B ．3C ．2D ．1第II 卷（非选择题）二、填空题13．若实数、满足，则的取值范围是_________.x y 430x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩23x y +14．已知定点和曲线上的动点，则线段的中点的轨迹方程为(4,2)A -224x y +=B AB P ___________．15．数列满足，其前项和为若恒成立，则{}n a 1,N (21)(23)n a n n n *=∈++n n S n S M <的最小值为________________________M 16．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为()y f x =(),a b ()f x '()f x '(),a b，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”；已()f x ''(),a b ()0f x ''<()f x (),a b 知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是_____43213()1262m f x x x x =--()1,3m 三、解答题（本大题共5小题，共60分.17题-21题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．ABC （1）求A ；（2）若BC =3，求周长的最大值.ABC 18．热心网友们调查统计了柳州市某网红景点在2022年6月至10月的旅游收入y （单位：万元），得到以下数据：月份x678910旅游收入y1012111220(1)根据表中所给数据，用相关系数r 加以判断，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？若可以，求出y 关于x 之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由；(2)为调查游客对该景点的评价情况，网友们随机抽查了200名游客，得到如图列联表，请填写2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”喜欢不喜欢总计男100女60总计110，3.162≈注：r 与的计算结果精确到0.001．参考公式：相关系数2K r =线性回归方程：，其中，，ˆˆˆybx a =+()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ˆˆa y bx =-．22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++临界值表：()20P K k ≥0.0100.0050.0010 k 6.6357.87910.82819.如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，，45BAD∠=1,AD AB ==是正三角形，平面平面PBD .PADPAD ⊥(1)求证：；PA BD⊥(2)求三棱锥P -BCD 的体积.20．已知椭圆C 的方程为，右焦点为．22221(0)x y a b a b +=>>F （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线与曲线相切．证明：MN 222(0)x y b x +=>M ，N ，F 三点共线的充要条件是．||MN 21．已知函数．()()21ln 2f x x a x a R =-∈(1)若，求函数在处的切线方程；2a =()f x ()()11f ，(2)若函数在上为增函数，求的取值范围；()f x ()1+∞，a (3)若，讨论方程的解的个数，并说明理由．0a ≠()0f x =四、选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为（为参数），以坐xOy 12cos 22sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩α标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是.cos 2sin 40ρθρθ-+=(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)已知，设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，线段的中点为Q ，求的值.(4,0)P -AB ||PQ [选修4—5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 均为正数，且，证明：22243a b c ++=(1)；23a b c ++≤(2)若，则．2b c =113a c +≥高2023届第六学期第一次月考试题文科数学参考答案选择题 1-5 DBBCA 6-10 BCCAA 11-12 DC1．D 因为，A=.故选：D.{}}{223031A x x x x x =+-<=-<<∣U ][()6,31,2--⋃2．B 因为，所以.故选：B.()()()()75i 1i 75i 122i6i 1i 1i 1i 2z +-+-====-++-6i z =+3．B 素数，可拆成4个互不相等的素数，在4个互不相等的素数中，任取172357=+++两个的所有情况为共6种，其中为孪生素数的情况有2{}(2,3),(2,5),(2,7),(3,5),(3,7),(5,7)种，分别是,，所以孪生素数的概率为．故选：B ．{(3,5)(5,7)}2163=4．C 解：由题知，该女子每日织布的尺数构成等差数列，记为，设其每日增加的尺数{}n a 为，其前项和为，所以，，即，解得，，d n n S 123246915a a a a a a ++=⎧⎨++=⎩113393915a d a d +=⎧⎨+=⎩112d a =⎧⎨=⎩所以，她前七日共织布尺.故选：C71721142135S a d =+=+=5．A 【详解】由“”可推出“且”；但反之不成立．所以“”是“且”a b = ||||a b =a b a b = a b = a b的充分而不必要条件．选．A 6．B 设正四棱锥底面边长为，则()0a a >2136,3a a ⨯⨯==，则，解得，则球的表面积为.r ()2223r r -+=2r =24π16πr =故选：B7．C 由图可知,初始值；第一次循环，，不成2,1S k ==112,3228k S =+==⨯+=23k =>立；第二次循环，，不成立；第三次循环，213,38327k S =+==⨯+=33k =>，成立；退出循环，输出的值为.故选：C.314,327485k S =+==⨯+=43k =>S 858. C 由直线的斜率为，设其倾斜角为，则1l1θ1tan θ=由直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，设直线的倾斜角为，则，2l 1l 2l 2θ212θθ=，，解得212222tan tan tan 21tan θθθθ===-)(221tan 0θθ+=2tan θ=由倾斜角的取值范围为，则故选：C.[)0,p 2tan θ=2l9．A 解：由题意可得，所以函数为偶函数，排()sin()sin ()()2cos()2cos x x x xf x f x x x ---===---()f x 除B 、C 当略大于0时，，，所以，排除D 故选：A.x sin 0x x >2cos 0x ->()0f x >10．A 结合图像，易得，则，所以由得，所以，17πππ41234T =-=πT =2πT ω=2ππω=2ω=又，所以，则，又因为落在上，所以0ω>2ω=()()sin 2f x x ϕ=+7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ，即，所以，得7πsin 2112ϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭7πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭7π3π2π,Z62k k ϕ+=+∈，ππ,Zk k ϕ=+∈23因为，所以当且仅当时，满足要求，所以，π2ϕ<0k =π3ϕ=()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，()f x π6()g x 所以.故选：A.()ππsin 2sin 263xg x x ⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎣⎦=⎝⎭11．D 因为单调递减，所以，又与均单调递0.2x y =0.3002021..a =<=3log y x =4log y x =增，故，，其中，33log 4log 31b =>=44log 5log 41c =>=3ln 4log 4ln 3b ==，4ln 5log 5ln 4c ==，其中，故，2ln 4ln 5ln 4ln 3ln 5ln 3ln 4ln 3ln 4-⋅-=⋅ln 30,ln 40>>ln 3ln 40⋅>其中，故，2222ln 3ln 5ln15ln16ln 3ln 5ln 4222+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2ln 4ln 5ln 4ln 3ln 50ln 3ln 4ln 3ln 4-⋅-=>⋅所以，即，故.故选：D ln 4ln 5ln 3ln 4>b c >a c b <<12．C 【详解】因为，所以，所以函数为奇函数，()()110f x f x -+-=()()f x f x -=-()f x .因为，所以的周期为8.又()00f =()()8f x f x +=()f x ，所以，所以，，()()21111f a =-++=10a +=1a =-()3311f b =+-=-所以，故①正确.3b =-因为，，故②错误.()()()()202325381111f f f f =⨯-=-=-=-易知，作出函数在上的图象，()()211,0231,24x x f x x x ⎧--+<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩()f x []0,4根据函数为奇函数，及其周期为8，得到函数在R 上的图象，如图所示，()f x ()f x 由的图象知，当时，的解集为，故③正确.()f x []4,6x ∈-()0f x <()()2,02,4- 由题意，知直线恒过点，与函数的图象在y 轴右侧有3个()1y mx m m x =-=-()1,0()f x 交点根据图象可知当时，应有，即，且同时满足，0m >51m m ⨯-<14m <()mx m f x -=无解，即当时，，无解，所[]8,10x ∈[]8,10x ∈()()()108f x x x =--()()108x x mx m--=-以，解得，所以.当时，应有Δ0<1616m -<<+1164m -<<0m <，即，且同时满足，无解，即当时，31m m ⨯->-12m >-()mx m f x -=[]6,8x ∈[]6,8x ∈，()()()68f x xx =--无解，所以，解得，所以()()58x x mx m --=-Δ0<1212m --<<-+综上，或④错误.故选：C.1122m -<<-+1164m -<<1122m -<<-+13．设，作出不等式组所表示的可行域如下图所示：0,11⎡⎤⎣⎦23z x y =+430x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩联立，可得，即点，平移直线，当该直线经过34y x x y =⎧⎨+=⎩13x y =⎧⎨=⎩()1,3A 23z x y =+可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，A 23z x y =+x z 即，当直线经过原点时，该直线在轴上的截max 213311z =⨯+⨯=23z x y =+x 距最小，此时取最小值，即，因此，的取值范围是.z min 0z =23x y +0,11⎡⎤⎣⎦14．设线段中点为，， 则，22(2)(1)1x y -++=AB (,)P x y (,)B m n 42m x +=22ny-+=即，因为点为圆上的点，所以24m x =-22n y =+B 224x y +=224m n +=所以，化简得：故答案为：22(24)(22)4x y -++=22(2)(1)1x y -++=22(2)(1)1x y -++=15．，()()1111212322123n a n n n n ⎛⎫==-⎪++++⎝⎭则，因为恒成立，所以，1112121111111123557233236n S n n n --++ +⎛⎫⎛⎫=-+-++=<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ n S M <16M ≥即的最小值为 故答案为：M 161616因为，，由题意在上恒成立，即321()332mf x x x x '=--2()3f x x mx ''=--()0f x ''<()1,3在上恒成立，分离参数，而在上的最大值为2，230x mx --≤()1,33m x x ≥-3y x x =-()1,317.（1）由正弦定理可得：，222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，.()0,A π∈ 23A π∴=（2）由余弦定理得：，2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=即.()29AC AB AC AB +-⋅=（当且仅当时取等号），22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭ AC AB =，()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭解得：（当且仅当时取等号），AC AB +≤AC AB =周长周长的最大值为ABC ∴ 3L AC AB BC =++≤+ABC ∴ 3+18.（1）由已知得，，67891085x ++++==1012111220135y ++++==，，，()52110ii x x =-=∑()52164ii y y =-=∑()()5120iiix y y x =-=-∑所以，0.791r ===≈因为，||0.791[0.75,1]r ≈∈说明y 与x 的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，设线性回归方程为，ˆˆˆybx a =+∴，．2020ˆ1b ==ˆˆ13163a y bx =-=-=-则y 关于x 线性回归方程为；23y x =-（2）由题可得2×2列联表，喜欢不喜欢总计男7030100女4060100总计11090200，()222007060403018.18210.82810010011090K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯∴有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”．19.（1）证明：取中点，连接，PD E AE 因为是边长为1正三角形，所以，PAD AE PD ⊥又因为平面平面PBD ，平面平面PBD ，所以平面PAD ⊥PD =PAD ⋂⊥AE PBD ，又因为平面PBD ，所以①，又因为在中，，BD ⊂AE BD ⊥ABD △45BAD∠=，所以1,AD AB ==2222cos 451BD AD AB AD AB =+-⋅⋅⋅︒=,所以②，又因为③，由①②③2222BD AD AB +==AD BD ⊥AE AD A ⋂=可得平面，又因为平面，所以；BD ⊥PADPA ⊂PAD PA BD ⊥（2）解：取中点，连接，AD F PF 因为是边长为1正三角形，所以且(1)可知PAD PF AD ⊥PF =平面，BD ⊥PAD 平面，所以，又因，所以平面，即有PF ⊂PAD BD ⊥PF BD AD D Ç=PF ⊥ABCD 平面，所以为三棱锥P -BCD 的高，又因为ABCD 为平行四边形，所以PF ⊥BCD PF,111122BCD ABD S S ==⨯⨯= 所以111332P BCD BCDV S PF -=⋅=20.（1）由题意，椭圆半焦距，所以c=c e a ==a =2221b a c =-=椭圆方程为；2213x y +=（2）由（1）得，曲线为，当直线的斜率不存在时，直线，221(0)x y x +=>MN :1MN x =不合题意；当直线的斜率存在时，设，MN ()()1122,,,M x y N x y 必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线即，(:MN y k x =0kx y --=由直线与曲线，解得，MN 221(0)x y x +=>11k =±联立可得，所以，(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩2430x -+=121234x x x x +=⋅==所以必要性成立；充分性：设直线即，():,0MN y kx b kb =+<0kx y b -+=由直线与曲线，所以，MN 221(0)x y x +=>1=221b k =+联立可得，2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222136330k x kbx b +++-=所以，2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++==化简得，所以，()22310k -=1k =±所以或，所以直线或，1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b=-⎧⎪⎨=⎪⎩:MNy x =y x =-所以直线过点，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；MN F 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =21（1） 时，， ， ，2a =()212ln 2f x x x =-()'2f x x x ∴=-()'11k f ∴==-又，函数在处的切线方程为：；()112f =∴()f x ()()11f ，2230x y +-=（2）函数在上为增函数，则 在恒成立，()f x ()1+∞，()'0a f x x x =-≥()1x ∈+∞，即在恒成立，故，经检验，符合题意，2a x ≤()1x ∈+∞，1a ≤；1a ∴≤（3），()'af x x x =-时， 在上恒成立，在是增函数，0a <①()'0f x >()0+∞，()f x \()0+∞，取，，11x =212eax =由， ，()10f >11121121111e e ln e e e 102222a a a aa f a ⎛⎫⎛⎫=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以在时存在唯一零点，即时，方程有唯一解；12e ,1a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0a <()0f x =时，，0a >②()'af x x x =-=在递减，在递增，()f x\(0)+∞ ，()min 1()1ln 2fx fa a ∴==- 时，，此时方程无解，0e a <<0f>()0f x = 时， ， 时方程存在一个解，e a >()110,02f f =><(x ∴∈()0f x =又 ，()211e e e e e 22a a a a a f a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令 ，即 是增函数，()()'e 1111e ,e 1,e,e 1e 102222a a a p a a p a a =-=->∴->-> ()p x ，即 ，即 时，()()e e 121111e e e e e 1e e 10222p a p --⎛⎫⎛⎫>=-=->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()e 0a f >)ax ∈方程存在一个解；()0f x =所以： 时，无解，0e a <<()0f x =或 时，有唯一解，0a <e a =()f x时，有个解；e a >()0f x =2综上， 时，无解，或 时，有唯一解， 时，0e a <<()0f x =0a <e a =()f x e a >有个解；()0f x =222.（1）由（为参数），得，故曲线C 的普通方程为12cos ,22sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩α22(1)(2)4x y ++-=.由，得，故直线l 的直角坐标方程22(1)(2)4x y ++-=cos 2sin 40ρθρθ-+=240x y -+=为；240x y -+=（2）由题意可知点P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为（t 为参数），4,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，整理得，25450t -+=，(245453800∆=-⨯⨯=>设A ，B 对应的参数分别为，则12,t t 12t t+=故122t t PQ +==23.（1）由柯西不等式有，()()()222222221112a b c a b c ⎡⎤++++≥++⎣⎦所以，当且仅当时，取等号，所以.23a b c ++≤21a b c ===23a b c ++≤（2）证明：因为，，，，由（1）得，2b c =0a >0b >0c >243a b c a c ++=+≤即，所以，043a c <+≤1143a c ≥+由权方和不等式知，()22212111293444a c a c a c a c ++=+≥=≥++当且仅当，即，时取等号，124a c =1a =12c =所以.113a c +≥所以实数的取值范围是.m [)2,+∞。

2022届四川省绵阳市高三上学期第一次诊断性考试数学（文）试题一、单选题1．设集合{}11A x x =-<≤，{}1,0,1B =-，则A B =（ ） A ．{}1,0- B ．{}1,1- C ．{}0,1 D ．{}1,0,1-答案：C根据集合的运算即可直接求出答案.解：因为集合{}11A x x =-<≤，{}1,0,1B =-，所以{}0,1A B =. 故选：C2．若0a b <<，则下列结论正确的是（ ） A ．ln ln a b > B ．22b a <C ．11a b<D ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案：D根据幂函数、对数函数、指数函数的单调性判断即可. 解：2,ln y x y x ==在(0,)+∞上单调递增，0a b <<，22ln ln ,a b b a ∴<>，故AB 错误；,112xy y x ⎛⎫== ⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递减，0a b <<，1111,22aba b ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；故选：D3．“()ln 20x +<”是“1x <-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A由()ln 20x +<可得21x -<<-，即可判断出结论. 解：由()ln 20x +<可得021x <+<，即21x -<<- 当21x -<<-，必有1x <- 当1x <-时，未必有21x -<<-所以“()ln 20x +<”是“1x <-”的充分不必要条件 故选：A4．设D ，E 为ABC 所在平面内两点，AD DC =，2CB BE =，则DE =（ ）A ．32AB AC -+B ．32AB AC -C ．32AB AC - D ．32AB AC -+答案：B根据平面向量的线性运算即可求解. 解：因为AD DC =，2CB BE =，所以12DC AC =，32CE CB =， 所以()13132222AC CB AC A DE DC CE B AC +=+=+-= 32AB AC =-， 故选：B.5．设x ，y 满足约束条件502803x y x y y +-≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩，则34z x y =+的最大值是（ ）A ．12B ．17C ．18D ．392答案：C根据线性约束条件作出可行域，作直线34y x =-沿可行域的方向平移，由z 的几何意义即可求解.解：根据线性约束条件作出可行域如图：由34z x y =+可得344zy x =-+，作直线34y x =-沿可行域的方向平移，由图知：过点A 时，4z最大即z 最大，由503x y y +-=⎧⎨=⎩可得()2,3A ，所以max 324318z =⨯+⨯=， 故选：C. 6．函数()sin cos x x x f x +=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．答案：A求导，分析函数在(0,)2π的单调性，可排除BD ，计算可得14f π⎛⎫⎪⎝⎭> ，可排除C ，即得解 解：由题意， ()22(cos 1)cos sin (sin )1cos sin cos cos x x x x x x x xf x xx +++++'== 当(0,)2x π∈时，()0f x '>，故函数()f x 在(0,)2π单调递增，BD 错误；又142422f ππ=⎛⎫ ⎝⎭>⎪，故C 错误故选：A7．通常人们用震级来描述地震的大小，地震震级是对地震本身大小的相对量度，用M 表示，强制性国家标准GB 17740-1999《地震震级的规定》规定了我国地震震级的计算和使用要求，即通过地震面波质点运动最大值()max /T A 进行测定，计算公式如下()lg /T 1.66lg 3.5max M A =+∆+（其中∆为震中距），已知某次某地发生了4.8级地震，测得地震面波质点运动最大值为0.01，则震中距大约为（ ） A ．58 B ．78C ．98D ．118答案：C由题意，max 4.8,(/)0.01M A T ==，代入式子可得 1.98810∆≈，结合选项估计，即得解 解：由题意，max 4.8,(/)0.01M A T == 代入()lg /T 1.66lg 3.5max M A =+∆+ 可得4.8lg0.01 1.66lg 3.5=+∆+1.66lg 4.8 3.52 3.3∴∆=-+=3.3lg 1.9881.66∴∆=≈ 1.98821010100∴∆≈<=因此震中距∆是接近100但小于100的数 结合选项，震中距大约为98 故选：C8．已知函数()f x 对任意实数x ，满足()()0f x f x +-=，当0x ≥时，()2xf x m =-（m 为常数），则()21log 3f -=（ ） A ．12B ．12-C ．13D ．13-答案：B由条件可得()f x 为奇函数，根据()00f =得出1m =，根据奇函数的性质可得答案. 解：由()()0f x f x +-=，可得()f x 为奇函数由当0x ≥时，()2xf x m =-，则()0020f m =-=，解得1m =所以当0x ≥时，()21xf x =-所以()()()2log 31221log 3log 311212f f --=-=-=---故选：B9．已知141681a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log 2log 3b =+，32log 23c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．b a c >> C ． a c b >> D ．b c a >>答案：B根据指数的运算性质化简a ，利用对数的单调性判断,b c 的范围，即可比较a ，b ，c 的大小关系得出正确选项. 解：因为1141441622381332a ⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，32331log 2log 3log 2log 2b =+=+，因为3331log log 2log 312=<<=即31log 212<<，311log 2>， 所以3313log 2log 22b =+>， 又因为33222log 2log 3333c =<=，所以b a c >>， 故选：B.10．设()()()2,0,0,x x f x x ⎧+≤=>若()()2f a f a =-，则()5f a -=（ ）A ．2B ．0或1C ．2D答案：A由函数的解析式根据()()2f a f a =-先求出参数a 的值，然后可求出答案. 解：当20a ->时，()()2f a f a =-=. 当0a ≤时，()()22f a a f a a =+=-=，显然无解.当020a a >⎧⎨-≤⎩，即02a <≤时，()()2f a f a a ==-=，解得1a =所以()()542f a f -= 故选：A11．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5-，3S ，6S 成等差数列，则96S S -的最小值为( ) A ．25 B ．20 C ．15 D ．10答案：B利用等比数列前n 项和的性质表示出96S S -，再表示成同一变量3S ，然后利用基本不等式求出其最小值即可.解：因为{}n a 是正项等比数列，所以3S ，63S S -，96S S -仍然构成等比数列，所以263396()()S S S S S -=-.又5-，3S ，6S 成等差数列， 所以6352S S -=，6335S S S -=+，所以()()2263396333352510S S S S S S S S S -+-===++. 又{}n a 是正项等比数列， 所以30S >，3325101020S S ++≥=，当且仅当35S =时取等号. 故选：B.12．把函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若()()126g x g x =-，1x ，[]2,x ππ∈-，则12x x -的最大值为（ ）A ．34πB ．πC ．74π D ．2π答案：C先求出()g x 的解析式，然后根据()()126g x g x =-得到()13g x =-，()23g x =，这是本题的关键，接下来求出11112x π=，256x π=-，得到12x x -的最大值.解：由题意得：()3sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()()126g x g x =-，即()()126g x g x =--，而()3sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭最大值为3，最小值为-3，相差为6，∴()13g x =-，()23g x =， 令114262x k πππ-=-+，1k Z ∈，解得：11122k x ππ=-+，1k Z ∈ 令224262x k πππ-=+，2k Z ∈，解得：2162k x ππ=+，2k Z ∈ ∵[],x ππ∈-∴要想12x x -取得最大值，则当12k =，11112x π=，当22k =-，256x π=-，此时12x x -的最大值为11571264πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭ 故选：C 二、填空题13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =，735S =，则6a =___________. 答案：7利用等差数列通项公式和前n 项和公式将条件化为公差d 的方程，解方程求公差d ，由此可求6a . 解：设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵ 12a =，735S =， ∴ 172135a d +=， ∴ 1d =，∴ 6157a a d =+=， 故答案为：7.14．已知平面向量()1,3a =，(),1b m =-，若a b ⊥，则b =___________. 答案：2由向量垂直的坐标表示求m ，再由向量的模的公式求b . 解：∵ a b ⊥，()1,3a =，(),1b m =-∴ 1m ⨯-1)=0， ∴m ， ∴ 312b =+=， 故答案为：2.15．已知,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 13β=，若()3sin 2sin αβα+=，则()tan αβ+=______．2利用恒等变换公式和二倍角公式将()3sin 2sin αβα+=，即可得tan α，再利用恒等公式求出()tan αβ+.解：因为,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 13β=，22sin cos 1ββ+=，解得cosβ=，所以tanβ=in 2s 9β=-7cos29β=.又()3sin 23sin cos23cos sin 2αβαβαβ+=+73sin 3(cos 9αα=⨯⨯+⨯⨯7sin sin 3ααα==，所以sinαα=，tan α=.所以()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++===-. 16．已知函数()22f x x ax =-，若不等式()1f x ≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，则实数a的取值范围为______．答案：⎡⎣对二次函数对称轴进行分类讨论，找到()1f x ≤所需要的条件，进行求解.解：函数()22f x x ax =-的对称轴：4ax =，且恒过原点.当04a≤，即0a ≤时，()22f x x ax =-在[]0,1x ∈上单调递增，要想()1f x ≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，只需()11f ≤，解得：1a ≥，与0a ≤矛盾，舍去 当14a≥，即4a ≥时，()22f x x ax =-在[]0,1x ∈上单调递减，要想()1f x ≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，只需()11f -≤，解得：3a ≤，与4a ≥矛盾，舍去 当014a <<，即04a <<时，()22f x x ax =-在0,4a x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,14a x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，要想()1f x ≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，只需()1411a f f ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤⎩，解得：1a ≤≤()0,41,22⎡⎤⎡=⎣⎦⎣，所以数a的取值范围为⎡⎣.故答案为：⎡⎣三、解答题17．已知函数()()cos f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，点7,224M π⎛⎫-- ⎪⎝⎭是该函数图象的一个最低点．（1）求函数()f x 的解析式及函数()f x 的单调递增区间； （2）若,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()y f x =的值域．答案：（1）()2cos(4)6f x x π=+；7,242224k k ππππ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦(k Z ∈)；（2）[]1,2-． （1）根据最值求A ；根据周期求ω；把点7,224M π⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入求ϕ.利用整体代入的方法求函数()f x 的单调递增区间； （2）根据x 的范围求出46x π+的范围，从而结合余弦函数的图象求函数()y f x =的值域．解：（1）由题意得A =2，22ππω=，因为0>ω，所以4ω=．因为函数()f x 的图象经过点7(2)24，M π--，所以72cos()26πϕ-+=-，即cos()16πϕ-=， 又|φ|＜2π，所以6π=ϕ．所以()2cos(4)6f x x π=+．由()2426k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，得7(Z)242224k k x k ππππ-+≤≤-∈． 所以函数()f x 的单调递增区间为7,242224k k ππππ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦(k Z ∈)． （2）因为88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以24633x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，所以1cos(4)162x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，所以函数()f x 的值域为[]1,2-．18．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，22n n S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求()1223111n n n a a a a a a ++-+⋅⋅⋅+-．答案：(1)2n n a =；(2)8[1(4)]5n --．(1)利用公式法求解即可得出{}n a 得通项公式； (2)先求出()111n n n a a ++-的通项公式可得其是一个等比数列，再利用等比数列求和公式进行求解.解：(1)当n =1时，1122S a =-=1a ， 解得12a =． ∵22n n S a =-，①∴当2n ≥时，1122n n S a --=-．② ①－②得12n n a a -=， 整理得12n n a a -=(n ≥2)．∴数列{}n a 是以首项为2，公比为2的等比数列． ∴2n n a =． (2)由(1)得11(1)2(4)n n n n a a ++-=-⨯-．∴112231(1)n nn n T a a a a a a ++=-++-4[1(4)]82[1(4)]1(4)5n n ---=-=----．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ， c ，从以下三个条件中任选一个：①tan (2)tan b C a b B =-；②2cos 2c B a b =-；③222cos (cos 1)ac A a C b c +-=-，解答如下的问题. (1)求角C 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且a mb =，求实数m 的取值范围. 答案：(1)π3C = (2)122m << （1）选①，根据切化弦，再利用正弦定理，将边化为角，即可求解；选②，由正弦定理将边化为角，再结合三角恒等变换，求得答案；选③，利用余弦定理再结合正弦定理，化边为角，经三角恒等变换，求得答案.（2）由a mb =可得a m b=，结合正弦定理，化边为角，利用三角恒等变换化简，解得答案. (1)选择条件①： 由tan =(2)tan b C a b B -，得sin (2)sin cos cos b C a b B C B -=， 由正弦定理可得，sin sin cos =(2sin sin )sin cos B C B A B B C -，∵(0)B π∈，，∴sin 0B ≠，∴sin cos 2sin cos sin cos C B A C B C =-，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin A C C B B C C B A =+=+=，∵(0)，A π∈，∴sin 0A ≠， ∴1cos 2C =，又(0)2，C π∈，∴3C π=． 选择条件②：由正弦定理可得，2sin cos 2sin sin C B A B =-，又sin sin()A C B =+，∴2sin cos 2sin()sin 2(sin cos cos sin )sin C B C B B C B C B B =+-=+-，化简整理得2cos sin sin C B B =，由sin 0B >，故1cos 2C =， 又π02C <<，∴π3C =． 选择条件③：由已知得，2222cos cos b a c ac A a C +-=+，由余弦定理，得2222cos b a c ab C +-=，∵2222cos cos b c a ac C c A +-=+，∴22cos cos cos ab C ac A a C =+，∵0a >，∴2cos cos cos b C c A a C =+，由正弦定理，有2sin cos sin cos sin cos sin()sin B C C A A C A C B =+=+=，∵sin 0B ≠，∴1cos 2C =.， 又π(0)2，C ∈，∴π3C =． (2)∵a mb =，∴sin()sin 13sin sin 2B a A m b B B π+==== ∵△ABC 为锐角三角形，∴2,326A B B πππ=-<> ,则()62B ππ∈，，∴tan B ∴122m <<． 20．已知函数()32215333f x x ax a x =-++-． (1)若1a =-时，求()f x 在区间[4,2]-上的最大值与最小值；(2)若函数()f x 仅有一个零点，求a 的取值范围．答案：(1)最大值为0，最小值为323-；(2)(1-． (1)求导，并判断()f x 在[4,2]-上的单调性，再求出其最大值与最小值；(2)利用分类讨论判断()f x 在定义域内的单调性，求出极值，再判断极值与0的大小关系，进一步求出参数a 的取值范围.解：(1)由题意得()()()22'233f x x ax a x a x a =-++=--+．当1a =-时，()(1)(3)f x x x -'=-+，[4,2]x ∈-．由()0f x '>，解得31x -<<；由()0f x '<，解得43x -≤<-或12x <≤．∴函数()f x 在区间(3,1)-上单调递增，在区间[4,3)--，(1,2]单调递减． 又2532(4)(3)33f f -=--=-，，()()71023f f ==-，， ∴函数()f x 在区间[4,2]-上的最大值为0，最小值为323-． (2)函数()f x 只有一个零点．∵22()23=(3)()f x x ax a x a x a =-++--+'，i )当a <0时，由()0f x '>，解得3a x a <<-，∴函数()f x 在区间(3,)a a -上单调递增；由()0f x '<，解得3x a <或x a >-，∴函数()f x 在区间(,3)a -∞，(,)a -+∞上单调递减． 又5(0)03f =-<，∴只需要()0f a -<，解得10a -<<．∴实数a 的取值范围为10a -<<．ii )当a =0时，显然f (x )只有一个零点成立．iii )当a >0时，由()0f x '>，解得3a x a -<<，即()f x 在区间(,3)a a -上单调递增；由()0f x '<，解得x a <-或3x a >，即函数f (x )在区间(,)a -∞-，(3,)a +∞上单调递减；又5(0)03f =-<，∴只需要f (3a )<0，解得0a <．综上：实数a 的取值范围是(1-．【点睛】利用导数求最值问题，既要求函数的极值，也需要求出其端点值，再比较大小；零点相关问题求参数取值范围，通常有两种思路，一种是分离参数，转化为求参数与另外一个函数的交点个数问题，另一种是直接含参讨论单调性求极值解不等式.21．已知函数()()22e x f x x ax bx =-+-，其图象在点()()0,0f 处的切线斜率为3-. (1)求b 的值；(2)若()e 1f x >--在上恒成立，求实数a 的取值范围.答案：(1)2；(2)1a >.（1）由已知可得出()03f '=-，即可求得实数b 的值；（2）利用()1e 1f >--，可求得1a >，可得出()()22e 2x f x x x x ≥-+-，然后利用导数证明出()()22e 2e 1x g x x x x =-+-≥--，即可得解.(1)解：因为()()22e x f x x ax bx =-+-，则()()1e 2x f x x ax b '=-+-，所以，()013f b '=--=-，可得2b =.(2)解：()e 1f x >--恒成立，由()1e 2e 1f a =-+->--，可得1a >，所以，()()22e 2x f x x x x ≥-+-，当且仅当0x =时，等号成立，令()()22e 2x g x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，()()()()()1e 211e 2x x g x x x x '=-+-=-+.当1x <时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，所以，()()min 1e 1g x g ==--，即()e 1g x ≥--，当且仅当1x =时，等号成立，故当1a >时，()e 1f x >--.因此，1a >.22．如图，在极坐标系中，已知点()2,0M ， 曲线1C 是以极点O 为圆心，以OM 为半径的半圆，曲线2C 是过极点且与曲线1C 相切于点2,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的圆.(1)分别写出曲线1C 、2C 的极坐标方程；(2)直线()0π,R θααρ=<<∈与曲线1C 、2C 分别相交于点A 、B （异于极点），求ABM 面积的最大值.答案：(1)()1:20C ρθπ=≤≤，()2:2sin 0C ρθθπ=≤≤；(2)12.（1）分析可知曲线1C 是以极点O 为圆心，以2为半径的半圆，结合图形可得到曲线1C 的极坐标方程，设(),P ρθ为曲线2C 上的任意一点，根据三角函数的定义可得出曲线2C 的极坐标方程； （2）设(),A A ρα、(),B B ρθ，由题意得2sin B ρα=，2A ρ=，求出AB 以及点M 到直线AB 的距离，利用三角形的面积公式以及基本不等式可求得结果.(1)解：由题意可知，曲线1C 是以极点O 为圆心，以2为半径的半圆，结合图形可知，曲线1C 的极坐标方程为()20ρ=≤θ≤π. 设(),P ρθ为曲线2C 上的任意一点，可得2cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 因此，曲线2C 极坐标方程为()2sin 0ρθθπ=≤≤．(2)解：因为直线()0π,R θααρ=<<∈与曲线1C 、2C 分别相交于点A 、B （异于极点）， 设(),A A ρα、(),B B ρθ，由题意得2sin B ρα=，2A ρ=， 所以，22sin A B AB ρρα=-=-．因为点M 到直线AB 的距离为sin 2sin d OM αα==， 所以，()()()2sin 1sin 11122sin 2sin 2sin 1sin 22242ABM S AB d αααααα+-=⋅=-⋅=-≤⨯=△， 当且仅当1sin 2α=时，等号成立，故ABM 面积的最大值为12. 23．已知函数()2f x m x m x =+--()0m >的最大值为6.（1）求m 的值；（2）若正数x ，y ，z 满足x y z m ++=答案：（1）2；（2）证明见解析.（1）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最大值，让最大值等于6即可得m 的值；（2）由（1）知，2x y z ++=，由222x xx y z y z ⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用基本不等式即可求证. 解：（1）由题意得()2()(2)3f x x m x m x m x m m =+--≤+--=，因为函数()f x 的最大值为6，所以36m =，即2m =±.因为0m >，所以2m =；（2）由（1）知，2x y z ++=，因为0x >，0y >，0z >，所以222x x x y z y z ⎛⎫⎛⎫=++=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2x y z ==时，即1x =，12y z ==等号成立，22m = 当且仅当11,2x y z ===时，等号成立.。

资中县高2024级2024-2025上11月月考试题数学（答案在最后）2024年11月注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上．3．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写．4．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、单选题1.已知集合{}{1,2,|A B x y ===，A B = （）A.{}2 B.{}1 C.{}0 D.{}1-【答案】A 【解析】【分析】化简集合B ，根据交集运算即可求解.【详解】因为{}{{}1,2,2A B x y x x ====≥，所以{}2A B = .故选:A.2.下列命题正确的个数是（）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“2,20x x ∀∈+<R ”是全称量词命题；③命题“2,440x x x ∃∈++≤R ”的否定形式是“2,440x x x ∀∈++≥R ”A.0 B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的概念判断①②的真假，根据全称量词命题与存在量词命题的关系判断③的真假.【详解】对①：因为命题中含有“所有的”这个全称量词，故命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，所以①错误；对②：因为命题含有“任意”这个全称量词，故命题“2,20x x ∀∈+<R ”是全称量词命题，所以②正确；对③：命题“2,440x x x ∃∈++≤R ”的否定形式是“2,440x x x ∀∈++>R ”，所以③错误.正确的命题个数是1.故选：B3.已知函数()()2511m f x m m x--=--是幂函数，则m 的值为（）A.1-B.2C.1-或2D.0【答案】C 【解析】【分析】由幂函数的定义可得211m m --=，求解即可.【详解】因为()()2511m f x m m x--=--是幂函数，所以211m m --=,即220m m --=，解得1m =-或2.故选:C.4.已知函数()221,1,3, 1.x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()3f f =（）A.319B.3C.1D.19【答案】B 【解析】【分析】根据已知函数解析式可先求()3f ，然后代入可求()()3ff .【详解】由()221,1,3, 1.x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()3(1)3f f f ==.故选：B5.下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）A.()()()()1R ,1N f x x x g x x x =-∈=-∈B.()(),f x x g x ==C.()()1f xg x x ==+ D.()()21,11x f x g x x x -==+-【答案】B 【解析】【分析】根据同一函数的判定方法，结合定义域和对应法则，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数()()1R f x x x =-∈与()()1N g x x x =-∈的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；对于B 中，函数()f x x =和()g x x ==，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以两个函数是同一函数；对于C 中，函数()f x =满足1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得1x ≥，即函数()f x 的定义域为[1,)+∞，函数()1g x x =+的定义域为R ，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于D 中，函数()211x f x x -=-满足10x -≠，解得1x ≠，即函数()f x 的定义域{|1}x x ≠，函数()1g x x =+的定义域为R ，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.故选：B.6.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21f x x =+，则()1f -=A.1B.1-C.2D.2-【答案】D 【解析】【分析】利用奇函数的性质求出()1f -的值.【详解】由题得2(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，故答案为D【点睛】(1)本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)奇函数f(-x)=-f(x).7.“函数()211f x ax ax =-+的定义域为R”是“04a <<”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由函数()211f x ax ax =-+的定义域为R ，即210ax ax -+≠对任意∈恒成立，可得a 的范围，则可得“函数()211f x ax ax =-+的定义域为R”是“04a <<”的必要不充分条件.【详解】因为函数()211f x ax ax =-+的定义域为R ，所以210ax ax -+≠对任意∈恒成立，①当0a =时，10≠对任意∈恒成立；②当0a ≠时，只需240a a ∆=-<，解得：04a <<；所以04a ≤<.记集合()0,4A =，[)0,4B =.因为A ⫋B ，所以“函数()211f x ax ax =-+的定义域为R”是“04a <<”的必要不充分条件.故选：B.8.已知00a b >>，且1ab ＝，不等式11422m a b a b++≥+恒成立，则正实数m 的取值范围是（）A.m ≥2B.m ≥4C.m ≥6D.m ≥8【答案】D 【解析】【分析】由条件结合基本不等式可求a b +的范围，化简不等式可得()()242a b m a b +≥+-，利用二次函数性质求()()242a b a b ++-的最大值，由此可求m 的取值范围.【详解】不等式11422m a b a b++≥+可化为42a b mab a b ++≥+，又00a b >>，，1ab ＝，所以()()242a b m a b +≥+-，令a b t +=，则242t m t ≥-，因为00a b >>，，1ab ＝，所以2t a b =+≥=，当且仅当1a b ==时等号成立，又已知242t m t ≥-在[)2,+∞上恒成立，所以2max 42t m t ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭因为()()2221148488222t t t t t -=-=--+≤，当且仅当4t =时等号成立，所以m ≥8，当且仅当2a =-2b =+或2a =，2b =时等号成立，所以m 的取值范围是[)8,+∞，故选：D .二、多选题9.对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列四个命题中真命题的是（）A.若a b >，0c ≠，则ac bc >B.若22ac bc >，则a b>C.若0a b <<，则22a ab b >> D.若0a b >>，c d >，则ac bd>【答案】BC 【解析】【分析】根据选项中的已知条件，利用不等式的基本性质对选项逐一判断即可得出结论.【详解】对于A ，当a b >，0c <时，则ac bc <，即A 错误；对于B ，若22ac bc >，可得20c ≠，两边同时除以2c ，可得a b >，即B 正确；对于C ，若0a b <<可得a a b a ⋅>⋅，即2a ab >，由0a b <<可得a b b b ⋅>⋅，即2ab b >，因此可得22a ab b >>，即C 正确；对于D ，若210a b =>=>，=−1>=−2，可得2ac bd ==-，即D 错误.故选：BC10.若函数()222,11,1x ax a x f x ax x ⎧-+-≥=⎨+<⎩在(),-∞+∞上是减函数，则关于实数a 的可能取值是（）A.2-B.1- C.0D.1【答案】AB 【解析】【分析】先考虑各部分函数的单调性，然后分析两段函数在1x =处的函数值的大小关系，从而求解出a 的取值范围.【详解】当1x ≥时，222y x ax a =-+-在[)1,+∞上递减，所以对称轴1x a =≤，当1x <时，1y ax =+在(),1∞-上递减，所以0a <，又因为当1x =时，21221a a a -+-≤+，所以2a ≥-，综上可知：[)2,0a ∈-.所以实数a 的可能取值为[)2,0-内的任意实数.故选：AB11.定义在R 上的偶函数()f x 满足：(2)2f =，且对于任意120x x >>，()()21122122x f x x f x x x ->-，若函数()2()f x g x x-=，则下列说法正确的是（）A.()g x 在(0,)+∞上单调递增B.(3)(4)g g -<C.()f x 在(2,)+∞上单调递减D.若正数m 满足(2)(4)202mf m f m -+->，则(2,)m ∈+∞【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数的单调性判断()g x 、()f x 的单调性判断AC ，根据单调性()g x 比较大小判断B ，根据()g x 单调性解不等式判断D .【详解】对于任意120x x >>，()()21122122x f x x f x x x ->-，所以121212()2()2()()f x f x g x g x x x --=>=，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，故选项A 正确；因为()g x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，所以()2()2()()f x f x g x g x x x----==-=--，所以()g x 为奇函数，所以(3)(3)g g -=，由()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以(3)(4)g g -<，故选项B 正确；对于任意122x x >>，()()()()()()121122112222f x f x x g x x g x x g x x g x ⎡⎤⎡⎤-=+-+=-⎣⎦⎣⎦()()()()1222122x g x x g x x x g x >-=-，因为122x x >>，(2)2f =，所以()()1220,20x x g x g ->>=，所以()()12f x f x >，所以()f x 在(2,)+∞上单调递增，故选项C 错误；(2)(4)202mf m f m -+->，即2(2)2(4)0mg m mg ->，又0m >，所以(2)(4)g m g >，因为()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以24m >，解得2m >，即(2,)m ∈+∞，故选项D 正确.故选：ABD三、填空题12.函数()12f x x =+的定义域为______．【答案】()(],22,1∞--⋃-【解析】【分析】根据求定义域的法则求解.【详解】要使函数()12f x x =+有意义，需满足2010x x +≠⎧⎨-≥⎩，即21x x ≠-⎧⎨≤⎩，则函数()12f x x =++()(],22,1∞--⋃-，故答案为：()(],22,1∞--⋃-.13.函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，则该函数值域为__________．【答案】(),6∞-【解析】【分析】分段求值域，再取并集即可求解.【详解】当02x <<时，二次函数对称轴是12x =-，且开口向上，此时()f x 在()0,2上单调递增()()22110,624f x x x x ⎛⎫=+=+-∈ ⎪⎝⎭；当2x ≥时，()282284f x x =-+≤-⨯+=，即()(],4f x ∈-∞()(]()0,6,4,6⋃-∞=-∞所以()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩得值域为(),6∞-.故答案为:(),6∞-.14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时()2f x x =，对任意的[]1,1x a a ∈-+，恒有()()23f x a f x +≥，则实数a 的最大值为_____．【答案】33-【解析】【分析】写出函数()y f x =的解析式，判断出函数()y f x =在R 上单调递减，由)()3f f x =，结合())2f x a f+≥，可得出2x a +≤在区间[]1,1a a -+上恒成立，于是得出))()min2111a x a ⎡⎤≤=-⎣⎦，从而解出实数a 的取值范围，得出a 的最大值.【详解】由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()()22f x f x x x =--=--=-，()22,0,0x x f x x x ⎧≤∴=⎨->⎩，易知函数()y f x =在R 上单调递减，又)()3ff x =，由()())23f x a f x f+≥=，得2x a +≤，即)21a x ≤在[]1,1x a a ∈-+上恒成立，则))()min2111a x a ⎡⎤≤=-⎣⎦，化简得()31a ≤-，解得3a ≤-，因此，实数a 的最大值为3-，故答案为3-.【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题，解题时要充分分析函数单调性与奇偶性，并将不等式转化为()()12f x f x ≤，利用函数()y f x =的单调性求解，考查化归与转化思想的应用，属于难题.四、解答题15.已知全集U R =，集合{}230,60,{0}1x A xB x x xC x x a x -⎧⎫=≤=+-≥=+>⎨⎬-⎩⎭∣∣∣.（1）求(),U A B A B ⋃⋂ð；（2）若B C B ⋃=，求a 的取值范围.【答案】（1）(](),31,A B ∞∞⋃=--⋃+，()()1,2U A B ⋂=ð（2）(2]-∞-.【解析】【分析】（1）求出集合,A B ，再根据集合的交、并、补的定义求解即可；（2）由题意可得,C B ⊆根据子集的定义求解即可.【小问1详解】由题意得，集合(]][()()1,3,,32,,3,2U A B B ∞∞==--⋃+=-ð所以(](),31,A B ∞∞⋃=--⋃+，()()1,2U A B ⋂=ð；【小问2详解】因为B C B ⋃=，所以,C B ⊆又因为(),C a ∞=-+，所以2-≥a ，即2a ≤-.所以a 的取值范围为(2]-∞-.16.已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >（1b >）.（1）求a ，b 的值；（2）当0x >，0y >，且满足1a bx y+=时，有222x y k k +≥++恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1a =，2b =（2）[]3,2-【解析】【分析】（1）方法一：根据不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，由1和b 是方程2320ax x -+=的两个实数根且0a >，利用韦达定理求解；方法二：根据不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，由1和b 是方程2320ax x -+>的两个实数根且0a >，将1代入2320ax x -+=求解.（2）易得121x y+=，再利用“1”的代换，利用基本不等式求解.【小问1详解】解：方法一：因为不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以1和b 是方程2320ax x -+=的两个实数根且0a >，所以3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩方法二：因为不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以1和b 是方程2320ax x -+>的两个实数根且0a >，由1是2320ax x -+=的根，有3201a a -+=⇒=，将1a =代入2320ax x -+>，得23201x x x -+>→<或2x >，∴2b =；【小问2详解】由（1）知12a b =⎧⎨=⎩，于是有121x y +=，故()12422448y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++>+ ⎪⎝⎭，当且仅当24x y =⎧⎨=⎩时，等号成立，依题意有()2min 22x y k k +≥++，即282k k ≥++，得26032k k k +-≤→-≤≤，所以k 的取值范围为[]3,2-.17.在充分竞争的市场环境中，产品的定价至关重要，它将影响产品的销量，进而影响生产成本、品牌形象等.某公司根据多年的市场经验，总结得到了其生产的产品A 在一个销售季度的销量(y 单位：万件)与售价(x 单位：元)之间满足函数关系14,616222,1621x x y x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，A 的单件成本(C 单位：元)与销量y 之间满足函数关系30C y=．()1当产品A 的售价在什么范围内时，能使得其销量不低于5万件？()2当产品A 的售价为多少时，总利润最大？(注：总利润=销量(⨯售价-单件成本))【答案】（1）617x ≤≤（2）14元【解析】【分析】（1）根据题中所给的解析式，分情况列出其满足的不等式组，求得结果；（2）根据题意，列出利润对应的解析式，分段求最值，最后比较求得结果.【详解】（1）由5y ≥得，1452616x x ⎧-≥⎪⎨⎪≤≤⎩或2251621x x -≥⎧⎨<≤⎩解得，616x ≤≤或1617x <≤.即617x ≤≤.答：当产品A 的售价[]6,17x ∈时，其销量y 不低于5万件．（2）由题意，总利润()()2830,616303022230,1621x x x L y x xy y x x x ⎧-⎛⎫-≤≤⎪=⋅-=-=⎨ ⎪⎝⎭⎪--<≤⎩①当616x ≤≤时，()211468682L x =--+≤，当且仅当14x =时等号成立.②当1621x <≤时，L 单调递减，()22301663066L x x =--<⨯-=所以，14x =时，利润L 最大.答：当产品A 的售价为14元时，总利润最大．【点睛】该题考查的是有关函数的应用问题，涉及到的知识点有根据题意列出函数解析式，根据函数解析式求函数的最值，注意认真分析题意，最后求得结果.18.已知函数()21ax b f x x-=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式()()()210f t f tf -+>．【答案】（1）()221x f x x -=+，[]1,1x ∈-（2）减函数；证明见解析；（3）510,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质和()11f =求解即可.（2）利用函数单调性定义证明即可.（3）首先将题意转化为解不等式()()21f t f t >-，再结合()f x 的单调性求解即可.【小问1详解】函数()21ax b f x x-=+是定义在[]1,1-上的奇函数，()()f x f x -=-；2211ax b ax b x x ---=-++，解得0b =，∴()21ax f x x =+，而()11f =-，解得2a =-，∴()221x f x x -=+，[]1,1x ∈-．【小问2详解】函数()221x f x x-=+在[]1,1-上为减函数；证明如下：任意[]12,1,1x x ∈-且12x x <，则()()()()()()121212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ------=-=++++因为12x x <，所以120x x -<，又因为[]12,1,1x x ∈-，所以1210x x ->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()()12f x f x >在[]1,1-上为减函数．【小问3详解】由题意，()()()210f t f tf -+>，又()00f =，所以()()210f t f t -+>，即解不等式()()21f t f t >--，所以()()21f t f t >-，所以22111111t t t t ⎧-≤≤⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩，解得102t ≤<，所以该不等式的解集为510,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭．19.若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在正实数t ，使得任意x M ∈，都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 在集合M 上具有性质()P t .（1）已知函数2()f x x =，判断()f x 在区间[1,0]-上是否具有性质(1)P ，并说明理由；（2）已知函数3()f x x x =-，且()f x 在区间[0,1]上具有性质()P n ，求正整数n 的最小值；（3）如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()()f x x a a a =--∈R ，且()f x 在R 上具有性质(6)P ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）不具有，理由见解析（2）2（3）30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）结合定义举出反例即可得；（2）由题意可得33()()x n x n x x +-+>-，即可转化为223310x nx n ++->对任意[]0,1x ∈恒成立，构造相应函数，借助二次函数的性质即可得解；（3）由题意结合奇函数的性质可得302a ≤<，再证明302a ≤<时，()f x 在上具有性质(6)P 即可得.【小问1详解】()()221(1)21f x f x x x x +-=+-=+，当0.8x =-时，()()10.60f x f x +-=-<，故()f x 在区间−1,0上不具有性质()1P ；【小问2详解】函数()3f x x x =-的定义域为，对任意[]0,1x ∈，则x n +∈R ，()f x 在区间0,1上具有性质()P n ，则()()f x n f x +>，即33()()x n x n x x +-+>-，因为n 是正整数，化简可得：223310x nx n ++->对任意[]0,1x ∈恒成立，设22()331g x x nx n =++-，其对称轴为02n x =-<，则()g x 在区间[0,1]上是严格增函数，所以，2min ()(0)10g x g n ==->，解得1n >，故正整数n 的最小值为2；【小问3详解】法一：由()f x 是定义域为上的奇函数，则(0)0f a a =-=，解得0a ≥，若0a =，()f x x =，有6x x +>恒成立，所以符合题意，若0a >，当0x <时，()()()f x f x x a a x a a =--=----=-++，所以有()2,,2,x a x a f x x a x a x a x a +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，若()f x 在上具有性质(6)P ，则(6)()f x f x +>对任意∈恒成立，()f x 在[,]a a -上单调递减，则6x +，x 不能同在区间[,]a a -内，6()2a a a ∴>--=，又 当[2,0]x a ∈-时，()0f x ≥，当[0,2]x a ∈时，()0f x ≤，若264a a <≤时，今2x a =-，则6[0,2]x a +∈，故(6)()f x f x +≤，不合题意；46a ∴<，解得302a <<，下证：当302a <<时，()()6f x f x +>恒成立，若302a <<，则46a <，当6x a +≤-时，则()662f x x a +=++，()2f x x a =+，所以()()6f x f x +>成立；当6a x a -<+<时，则63x a a <-<-，可得()()66f x x a +=-+>-，()2f x x a a =+<-，即()()6f x f x +>成立；当6x a +>时，则()()()6622f x x a x a f x +=+->+≥，即()()6f x f x +>成立；综上所述：当302a ≤<时，对任意∈均有()()6f x f x +>成立，故实数a 的取值范围为30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.法二：由()f x 是定义域为上的奇函数，则(0)0f a a =-=，解得0a ≥.作出函数图像：由题意得：2(2)46a a a --=<，解得302a ≤<，若0a =，()f x x =，有6x x +>恒成立，所以符合题意，若302a <<，则46a <，当6x a +≤-时，则()662f x x a +=++，()2f x x a =+，所以()()6f x f x +>成立；当6a x a -<+<时，则63x a a <-<-，可得()()66f x x a +=-+>-，()2f x x a a =+<-，即()()6f x f x +>成立；当6x a +>时，则()()()6622f x x a x a f x +=+->+≥，即()()6f x f x +>成立；综上所述：当302a ≤<时，对任意∈均有()()6f x f x +>成立，故实数a 的取值范围为30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于由题意得出必要条件302a ≤<，再证明其充分性即可得.。

内江市高中2023届零模试题数学（文科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上．）1.椭圆2228x y +=的长轴长是A.2B. C.4D.2.在复平面内，设z=1+i （i 是虚数单位），则复数+z 2对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.法国数学家费马观察到122+1=5，222+1=17,322+1=257，422+1=65537都是质数，于是他提出猜想：任何形如()2*2+1nn ∈N的数都是质数，这就是著名的费马猜想．半个世纪之后，善于发现的欧拉发现第5个费马数522+1=4294967297=6416700417⨯不是质数，从而推翻了费马猜想，这一案例说明A.归纳推理，结果一定不正确B.归纳推理，结果不一定正确C.类比推理，结果一定不正确D.类比推理，结果不一定正确4.函数21()ln 2f x x x =-的单调递减区间为（）A.(1,1)- B.(0,1)C.(1,)+∞ D.(0,2)5.“0mn <”是“221mx ny +=为双曲线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.下面是两个变量的一组数据：x12345678y 1491625364964则这两个变量之间的线性回归方程是（）A.y=－16+9xB.y=31－xC.y=30－xD.y=－15+9x7.函数2()ln f x x x =的最小值为A.1e-B.1eC.12e-D.12e8.“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品．2021年前三个季度的收人情况如图所示，已知直播间每个季度的总收入都比上一季度的总收入翻一番，则下列说法正确的是（）A.该直播间第三季度服装收入低于前两个季度的服装收入之和．B.该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的16．C.该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的13．D.该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍．9.已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅ 12，则12F PF △的面积为（）A.B.C.D.910.已知函数3()1f x x x =-+，对于以下3个命题：①函数()f x 有2个极值点②函数()f x 有3个零点③点(0,1)是函数()f x 的对称中心其中正确命题的个数为（）A.0B.1C.2D.311.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为A. B.2C.D.12.已知函数1()e (0)2xf x x =-<与()ln()g x x a =+的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是()A.(-∞ B.(C.(D.(二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为1a ，2a ，…，n a ，则下图所示的程序框图输出的S 表示这组数据的特征数是______．14.抛物线22y x =与过焦点的直线交于,A B 两点，O 为原点，则OA OB ⋅=________.15.若函数()e xf x kx =-有两个零点，则k 的取值范围为______．16.若双曲线2213y x -=上存在两个点关于直线l ：12y x t =+对称，则实数t 的取值范围为______．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各200人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的2740，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣．（1）按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中，抽取9人作为冰壶运动的宣传员，求男生、女生各选多少人（2）完成下面22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关?有兴趣没有兴趣合计男女80合计附：22()()()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++()20P K k ≥0.1000.0500.0250.0100.0010k 2.7063.8415.0246.63510.82818.在ABC 中，(2,0)A -，(2,0)B ，AC 与BC 斜率的积是14-．（1）求点C 的轨迹方程；（2）(4,0)P ，求PC 的中点M 的轨迹方程．19.已知函数3()3ln 11f x x x =-+．（1）若()f x 在(),1a a +上是单调函数，求a 的取值范围；（2）证明：当0x >时，32()3(3)x f x x x x e >-++-．20.已知函数()e cos xf x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．21.已知过抛物线22y px =()0p >的焦点，斜率为的直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y ()12 x x <两点，且9AB =.（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，求OAB 的面积.22.已知函数ln f x x a x =+（），a ∈R （1）讨论()f x 的单调性；（2）若不等式()2f x x x +≤对任意(1,)x ∈+∞恒成立，求a 的最大值．内江市高中2023届零模试题数学（文科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上．）1.椭圆2228x y +=的长轴长是A.2 B. C.4D.【答案】D 【解析】【分析】现将椭圆的方程化为标准方程，由此求得a 的值，进而求得长轴长2a .【详解】椭圆方程变形为22148x y +=，28a =，∴a =，长轴长为2a =.故选D.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质.要注意长轴是2a 而不是a .属于基础题.2.在复平面内，设z=1+i （i 是虚数单位），则复数+z 2对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【详解】试题分析：根据复数的四则运算进行化简，结合复数的几何意义即可得到结论．解：∵z=1+i ，∴+z 2=+（1+i ）2==1﹣i+2i=1+i ，对应的点为（1，1），位于第一象限，故选A ．点评：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算进行化简是解决本题的关键．3.法国数学家费马观察到122+1=5，222+1=17,322+1=257，422+1=65537都是质数，于是他提出猜想：任何形如()2*2+1nn ∈N的数都是质数，这就是著名的费马猜想．半个世纪之后，善于发现的欧拉发现第5个费马数522+1=4294967297=6416700417⨯不是质数，从而推翻了费马猜想，这一案例说明A.归纳推理，结果一定不正确B.归纳推理，结果不一定正确C.类比推理，结果一定不正确D.类比推理，结果不一定正确【答案】B 【解析】【分析】根据归纳推理的概念去理解和判断．【详解】由于费马猜想是由几个数值，根据几个数值的特点得到的结论，是由特殊到一般的推理过程，所以属于归纳推理．由于得出结论的过程没有给出推理证明，所以归纳推理的结果不一定正确，故选：B．【点睛】本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系．4.函数21()ln 2f x x x =-的单调递减区间为（）A.(1,1)-B.(0,1)C.(1,)+∞ D.(0,2)【答案】B 【解析】【分析】求导，解不等式()0f x '<可得.【详解】()f x 的定义域为(0,)+∞解不等式1(1)(1)()0x x f x x x x-+'=-=<，可得01x <<，故函数21()ln 2f x x x =-的递减区间为(0,1).故选：B ．5.“0mn <”是“221mx ny +=为双曲线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】先求方程221mx ny +=表示双曲线的条件，再根据两者相等关系确定充要关系.【详解】因为方程221mx ny +=表示双曲线，所以0mn <，又当0mn <时，方程221mx ny +=表示双曲线，因此“0mn <”是“方程221mx ny +=表示双曲线”的充要条件.故选：C6.下面是两个变量的一组数据：x12345678y 1491625364964则这两个变量之间的线性回归方程是（）A.y=－16+9xB.y=31－xC.y=30－xD.y=－15+9x 【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由表格数据可知线性正相关，因此x 系数为正，128149644.5,25.588x y +++++++==== ，代入回归方程可知y=－15+9x 成立7.函数2()ln f x x x =的最小值为A.1e-B.1eC.12e-D.12e【答案】C 【解析】【分析】函数的定义域为(0,)+∞，再根据函数单调求得最小值．【详解】由题得(0,)x ∈+∞，'()2ln (2ln 1)f x x x x x x =+=+，令2ln 10x +=解得12x e-=，则当12(0,e )x -∈时f(x)为减函数，当12(,)x e -∈+∞时，f(x)为增函数，所以12x e-=点处的函数值为最小值，代入函数解得121()2f e e-=-，故选C ．【点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值．8.“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品．2021年前三个季度的收人情况如图所示，已知直播间每个季度的总收入都比上一季度的总收入翻一番，则下列说法正确的是（）A.该直播间第三季度服装收入低于前两个季度的服装收入之和．B.该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的16．C.该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的13．D.该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍．【答案】C 【解析】.【详解】设第一季度的总收入为a ，则第二季度的总收入为2a ，第三季度的总收入为4a .对于选项A ，第一、二季度服装收入和为(0.1)(20.4) 2.5a a a a a -+-=，第三季度服装收入为4 1.2 2.8a a a -=，故A 错误；对于选项B ，第一季度化妆品收入为10%0.1a a ⨯=，第三季度化妆品收入为430% 1.2a a ⨯=，第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的0.111.212a a =，故B 错误；对于选项C ，第二季度的化妆品收入为220%0.4a a ⨯=，第三季度的化妆品收入为430% 1.2a a ⨯=，第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的0.411.23a a =，故C 正确；对于选项D ，第三季度总收入是第一季度总收入的44aa=倍，故D 错误.故选：C ．9.已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅ 12，则12F PF △的面积为（）A.B.C.D.9【答案】A 【解析】【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又4c ==记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 122322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A10.已知函数3()1f x x x =-+，对于以下3个命题：①函数()f x 有2个极值点②函数()f x 有3个零点③点(0,1)是函数()f x 的对称中心其中正确命题的个数为（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】利用导数研究()f x 的单调性确定极值情况，结合零点存在性定理判断零点个数，根据()()2f x f x +-=判断对称中心.【详解】令2()310f x x '=-=，可得33x =±，所以3(,3-∞-、3,)3+∞上()0f x '>，()f x 递增；33(,33-上()0f x '<，()f x 递减；所以33x =±是()f x 的极值点，又(2)50f -=-<，323(1039f -=+>，3231039f =->，所以()f x 在(2,3--上存在一个零点，所以()f x 有2个极值点，1个零点，①正确，②错误；33()()112f x f x x x x x +-=-+-++=，故(0,1)是函数()f x 的对称中心，③正确.故选：C11.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为A.B.2C.D.【答案】D 【解析】【详解】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，MN =，故点M 的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以e =D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12.已知函数1()e (0)2xf x x =-<与()ln()g x x a =+的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是()A.(-∞ B.(C.(D.(【答案】B 【解析】【详解】函数()f x 与()g x 的图象上存在关于y 轴对称的点，即()()f x g x -=有解，即函数()y f x =-与函数()y g x =的图象有交点，在同一坐标系内画出函数1()e 2x y f x -=-=-与函数()ln()y g x x a ==+的图象．由图象，得1ln 2a <，即0a <<B.点睛：函数图象的对称问题主要涉及以下情形：①函数()y f x =与()y f x =-的图象关于y 轴对称；②函数()y f x =与()y f x =-的图象关于x 轴对称；③函数()y f x =与()y f x =--的图象关于(0,0)对称；④函数()y f x =与1()y f x -=的图象关于直线y x =对称.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为1a ，2a ，…，n a ，则下图所示的程序框图输出的S表示这组数据的特征数是______．【答案】平均数【解析】【分析】根据流程图可知，该程序的作用是计算依次输入n 个数12n a a a ，，，的算术平均数.【详解】由题意知，当1i n =≤时，11(11)01a s a -⨯+==，当2i n =≤时，212(21)22s a a a s -⨯++==，当3i n =≤时，12331232(31)2333a a a s a a a a s +⨯+-⨯+++===，以此类推，12na a a s n+++=，表示样本的平均数.故答案为：平均数14.抛物线22y x =与过焦点的直线交于,A B 两点，O 为原点，则OA OB ⋅=________.【答案】34-【解析】【详解】(1)当直线AB ⊥x 轴时,在22y x =中,令12x =,有1y =±,则11(,1),(,1)22A B -,得.(2)当直线AB 与x 轴不互相垂直时,设AB 的方程为:1(2y k x =-由21({22=-=y k x y x ,消去y ,整理得22221(2)04k x k x k -++=,显然0k ≠.设1122(,),(,)A x y B x y ,则21212221,4k x x x x k ++=⋅=,得1122(,)(,)x y x y ⋅=12x x ⋅+1y 2y =12x x ⋅+11(2k x -21(2k x ⋅-=22212121(1)()24k k x x x x k +⋅-++=22222121(1)424k k k k k ++-⋅+=34-.综(1),(2)所述,有．15.若函数()e x f x kx =-有两个零点，则k 的取值范围为______．【答案】(),e +∞【解析】【分析】分离常数，将问题转化为y ＝1k 与y ＝x xe 的图象有两个交点，令()x x g x e=（x ∈R ），利用导数求出()g x 的最值，再给合()g x 的正负分析即可得答案．【详解】解：因为()e x f x kx =-有两个零点，即0x kx e -=有两个零点⇒1xxk e =有两个解，即y ＝1k 与y ＝x xe的图象有两个交点，令()x xg x e =（x ∈R ），则()1'x xg x e-=，所以当(),1x ∈-∞时，()'0g x >，()g x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()'0g x <，()g x 单调递减；所以()()max 1g x g ==1e，又因当0x <时，()g x ＝xxe ＜0，当0x >时，()g x ＝xxe ＞0，当0x =时，()g x ＝xxe ＝0，要使y ＝1k 与y ＝x xe 的图象有两个交点，所以0＜1k ＜1e，即故k 的取值范围为(),e +∞．故答案为：(),e +∞．16.若双曲线2213y x -=上存在两个点关于直线l ：12y x t =+对称，则实数t 的取值范围为______．【答案】()4,4-【解析】【分析】设对称的两点为()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为2y x b =-+与双曲线联立可得利用根与系数的关系以及中点坐标公式可求AB 的中点00(,)M x y ，利用判别式0∆>以及00(,)M x y 在直线12y x t =+上即可求解.【详解】设双曲线2213y x -=存在关于直线12y x t =+对称的两点为()11,A x y ，()22,B x y ，根据对称性可知线段AB 被直线12y x t =+垂直平分，且AB 的中点00(,)M x y 在直线12yx t =+上，且2AB k =-，故可设直线AB 的方程为2y x b =-+，联立方程22213y x b y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理可得22430x bx b -++=，∴124x x b +=，()1212226y y b x x b +=-+=-，由()2216430b b ∆=-+>，可得11b -<<，∴12022x x x b +==，12032y yy b +==-，∵AB 的中点()2,3M b b -在直线12y x t =+上，∴3b b t -=+，可得4t b =-，44t -<<.故答案为：()4,4-.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用直线AB 与直线12y x t =+垂直可得直线AB 的斜率为2-，可设直线AB 的方程为2y x b =-+，代入双曲线可得关于x 的一元二次方程，利用判别式0∆>，可以求出b 的范围，利用韦达定理可得AB 的中点00(,)M x y 再代入12y x t =+即可t 与b 的关系，即可求解.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各200人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的2740，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣．（1）按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中，抽取9人作为冰壶运动的宣传员，求男生、女生各选多少人?（2）完成下面22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关?有兴趣没有兴趣合计男女80合计附：22()()()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++()20P K k ≥0.1000.0500.0250.0100.0010k 2.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）男生选5人，女生选4人.（2）有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关.【解析】【分析】对于小问1，由题意计算对冰壶感兴趣的男女生人数，根据其比例，再分别计算抽取的9人中男女生人数；对于小问2，完成列联表，代入22()()()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++，计算其近似值，与6.635比较大小，进行判断.【小问1详解】对冰壶运动感兴趣的人数为27400270400⨯=人，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣，所以女生中有20080120-=人对冰壶运动有兴趣，所以男生中有270120150-=人对冰壶运动有兴趣，按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中，抽取9人作为冰壶运动的宣传员，其中抽取的男生为15095270⨯=人，女生为12094270⨯=人，即男生选5人，女生选4人.【小问2详解】由题意，完成下面22⨯列联表如下有兴趣没有兴趣合计男15050200女12080200合计270130400222()400(1508050120)10.26 6.635()()()()200200270130n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关.18.在ABC 中，(2,0)A -，(2,0)B ，AC 与BC 斜率的积是14-．（1）求点C 的轨迹方程；（2）(4,0)P ，求PC 的中点M 的轨迹方程．【答案】（1）221(2)4x y x +=≠±（2）22(8)1(0)4x y y -+=≠【解析】【分析】（1）设点C 坐标，根据题意直接列方程可得；（2）由相关点法可得.【小问1详解】设点C 坐标为(,)x y ，由题知1224AC BC y y k k x x ⋅=⨯=-+-整理得点C 的轨迹方程为221(2)4x y x +=≠±【小问2详解】设点M 坐标为(,)x y ，点C 坐标为00(,)x y 由中点坐标公式得00422x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即008x x y y =-⎧⎨=-⎩将008x x y y=-⎧⎨=-⎩代入221(4x y y +=得点M 的轨迹方程为：22(8)1(0)4x y y -+=≠19.已知函数3()3ln 11f x x x =-+．（1）若()f x 在(),1a a +上是单调函数，求a 的取值范围；（2）证明：当0x >时，32()3(3)x f x x x x e >-++-．【答案】（1）{0}[1,)a ∈+∞ ；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）求导()32313()3x f x x x x-'=-=，(0,)x ∈+∞，判断其导函数取得正负的区间，从而得出函数()f x 的单调性，继而建立关于a 的不等式组，可得答案．（2）由（1）知min ()(1)12f x f ==．设32()3(3)(0)x h x x x x e x =-++->，求导，分析得出函数的()h x 的单调性，求得其最大值，从而有min max ()()f x h x >，可得证．【详解】（1）解：()32313()3x f x x x x-'=-=，(0,)x ∈+∞，当1x >时，()0f x '>；当01x <<时，()0f x '<．∴()f x 在()0,1上递减，在(1,)+∞上递增．又()f x 在(),1a a +上是单调函数，∴011a a ≥⎧⎨+≤⎩或1a ≥，即0a =或1a ≥，∴{0}[1,)a ∈+∞ ．（2）证明：由（1）知min ()(1)12f x f ==．设32()3(3)(0)x h x x x x e x =-++->，则()2()36(2)(2)3xxh x x x x e x e x '=-++-=-+，令()0h x '>得02x <<；令()0h x '<得2x >．∴2max ()(2)4h x h e ==+．∵ 2.8e <，∴28e <，∴2412e +<，∴min max ()()f x h x >，∴32()3(3)x f x x x x e >-++-．【点睛】方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.20.已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式()()()000y f f x ¢-=-中即可；（Ⅱ）设()()h x f x ='，求()h x '，根据()0h x '<确定函数()h x 的单调性，根据单调性求函数的最大值为()00h =，从而可以知道()()0h x f x '=<恒成立，所以函数()f x 是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为()e cos xf x x x =-，所以()()()ecos sin 1,00xf x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1xh x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x xh x x x x x x =--=-'-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<.所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过()f x '不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x ='，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()0h x '>(()0h x '<)恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断()y f x =的单调性，最后求得结果.21.已知过抛物线22y px =(0p >的焦点，斜率为的直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y ()12 x x <两点，且9AB =.（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，求OAB 的面积.【答案】（1）28y x =；（2）【解析】【分析】（1）由题意设直线AB 的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系结合抛物线的定义，由9AB =列方程可求出p 的值，从而可求出抛物线的方程，（2）结合（1）解方程求出,A B 两点的坐标，从而可求出三角形的面积【详解】解：（1）抛物线22y px =的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线AB的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，由2,22,p y x y px ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩消去y 得22450x px p -+=，所以1254p x x +=，由抛物线定义得129AB x x p =++=，即594pp +=，所以4p =.所以抛物线的方程为28y x =.（2）由4p =知，方程22450x px p -+=，可化为2540x x -+=，解得11x =，24x =，故1y =-，2y =所以(1,A -，(4,B .则OAB面积122S =⨯⨯=22.已知函数ln f x x a x =+（），a ∈R （1）讨论()f x 的单调性；（2）若不等式()2f x x x +≤对任意(1,)x ∈+∞恒成立，求a 的最大值．【答案】（1）单调性见解析；（2）2e 【解析】【分析】（1）求出导函数，通过0a ≥，0a <时，求解导函数的正负，判断导函数的符号，求解函数的单调区间即可．（2）()2f x x x +≤对任意(1,)x ∈+∞恒成立，等价于2ln x a x≤()1x >恒成立.构造函数求出导数，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后转化求解即可．【小问1详解】解：'1a x af x x x+=+=（）()0x >，当0a ≥时，'0f x >（）恒成立，∴f x （）在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，令'0f x >（）得x a >-，令'0f x <（）得0x a <<-，∴f x （）在(,)a -+∞上单调递增，在()0,a -上单调递减；综上所述：当0a ≥时，f x （）在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，f x （）在(,)a -+∞上单调递增，在()0,a -上单调递减；【小问2详解】依题意得：()2f x x x +≤对任意(1,)x ∈+∞恒成立，等价于()21ln x a x x ≤>恒成立.令()()21ln x g x x x=>，则()()()()222ln 12ln 'ln ln x x x x x g x x x --==，则当x >()'0g x >，当1x <<时，()'0g x <，又'0g =，∴()g x 在(上单调递减，在)∞+上单调递增，∴()min2e g x g ==，∴2e a ≤，即a 的最大值为2e .【点睛】思路点睛：函数中恒成立或有解问题，可分离变量，转化为()min a g x ≤或()max a g x ≥来求.。

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线20(0)ax by ab ab ++=>与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切2．过点6(26)2P ，的直线l 与曲线213y x =-交于A B ，两点，若25PA AB =，则直线l 的斜率为( ) A ．23-B ．23+C ．23+或23-D ．23-或31-3．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．5(,]2-∞-B ．1(,]2-∞-C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞-4．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A ．5?n ≤B ．6?n ≤C ．7?n ≤D ．8?n ≤5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．33C ．22D ．326．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．“20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，”B ．若向量a b ，满足0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角为钝角C ．若22am bm ≤，则a b ≤D ．“()x AB ∈”是“()x A B ∈”的必要条件7．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．08．在边长为1的等边三角形ABC 中，点E 是AC 中点，点F 是BE 中点，则AF AB ⋅=（ ） A ．54B ．34C ．58D ．389．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3B ．103C ．113D ．8310．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭11．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A ．B ．C ．D ．12．函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届四川省内江市高中高三一诊考试数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．()0,∞+B ．[)1,2C ．[)1,+∞D ．()0,12．已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．43．函数()2cos2cos221x xf x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．根据如图所示的程序框图，当输入的x 值为3时，输出的y 值等于（ ）A ．1B ．eC ．1e -D ．2e -6．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．1-D ．17．已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(,1]-∞ C ．[0,)+∞ D ．[1,)+∞8．已知复数21iz i=+，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -C 2D ．29．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种10．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ） A ．156B ．124C ．136D ．18011．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=，则()2AE AC +的最小值为（ ） A ．232B ．12C ．252D ．1312．已知向量11,,a b m ⎛⎫==，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ）A ．12BC ．12±D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024-2025学年四川省内江市隆昌一中高二（上）开学数学试卷（文科）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数z 满足(1−i)z =3−i 3，则−z =( )A. 2+i B. 2−iC. 1−2iD. 1+2i 2.从小到大排列的数据1，2，3，7，8，9，10，11的第75百分位数为( )A. 172B. 9C. 192D. 103.已知向量a =(−2,m)，b =(1,1+m)，则“a ⊥b ”是“m =1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.将函数f(x)=sin2x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为( )A. y =sin (2x +π6)B. y =sin (2x +π3)C. y =sin (2x−π6)D. y =sin (2x−π3)5.甲、乙、丙3人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为13、13、14，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率为( )A. 15B. 13C. 25D. 236.圆心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ：B 等于( )A. 11：8B. 3：8C. 8：3D. 13：87.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号(如图1)是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力，“极目一号”Ⅲ型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为( )A. 2530πm 3B. 3016πm 3C. 3824πm 3D. 4350πm 38.如图，在三棱锥S−ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB =AC =2，∠BAC =120°，若三棱锥外接球的表面积为52π，则此三棱锥的体积为( )A. 1B. 3C. 2 3D. 6 3二、多选题：本题共3小题，共18分。

高二（下）期高2025届第一次月考数学试题一、单选题1．()12f x x =-，则()()33lim x f x f x∆→∆+-=∆（）A ．6-B ．2C ．2-D ．62．已知数列{}n a ，{}n b 分别为等差数列、等比数列，若354a a +=，3458b b b =-，则44a b +=（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．23．若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有A ．20个B ．48个C ．52个D ．120个4．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线:60l x y +-=的距离的最小值为（）A．B．CD5．用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（）A ．240B ．360C ．480D ．6006．已知等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且231n n S n T n +=+，则510a b 的值为（）A ．1311B ．2110C ．1322D ．21207．若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2]-∞-B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(2,)-+∞8．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数()f x 在[],a b 上连续，且在(),a b 上可导，则必有(),a b ξ∈，使得()()()()f b a f b f a ξ'-=-．已知函数()[]()()1,,0,2,e xf b f a x f x a b b a---=∀∈=-λ，那么实数λ的最大值为（）A ．1B ．eC ．1eD ．0二、多选题9．如图是导函数()y f x ='的图象，则下列说法正确的是（）A ．(1,3)-为函数()y f x =的单调递增区间B ．(0,3)为函数()y f x =的单调递减区间C ．函数()y f x =在3x =处取得极大值D ．函数()y f x =在5x =处取得极小值10．内江六中某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理、化学5节课，且该天上午总共5节课，下列结论正确的是（）A ．若数学课不安排在第一节且不在最后一节课，则有72种不同的安排方法B ．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有48种不同的安排方法C ．若语文课和数学课不能相邻，则有72种不同的安排方法D ．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有40种不同的安排方法11．在等差数列{}n a 中，首项10a >，公差0d ≠，前n 项和为()*n S n ∈N ，则下列命题中正确的有（）A ．若78S S >，则80a <B ．若78S S >，则67S S >C ．若311S S =，则140S =D ．若311S S =，则7S 是{}n S 中的最小项12．已知函数()e xf x kx =-，()ln =-g x k x x ，0k >，则（）A ．当e k >时，函数()f x 有两个零点B ．存在某个()0,k ∈+∞，使得函数()f x 与()g x 零点个数不相同C ．存在e k >，使得()f x 与()g x 有相同的零点D ．若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，()g x 有两个零点3x ，()434x x x <，一定有1423x x x x =三、填空题13．若函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x f x x '=+，则()e f =．14．已知数列{}n a 满足13a =，11,1,n n na n a n a +-⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，则7a =，数列{}n a 的前99项和为．15．某公园新购进3盆不同的锦紫苏、2盆不同的虞美人、1盆郁金香共6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，则郁金香不在两边，任意两盆锦紫苏不相邻的摆法共有．16．已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '，当0x ≥时，不等式()()1xf x f x +>'．若对x ∀∈R ，不等式()()e e e x x x f axf ax ax ->-恒成立，则a 的取值范围是.四、解答题17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知，23=2n n nS +(1)求{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．18．已知曲线3()f x x ax b =++在点(2,6)P -处的切线方程是13320x y --=.（1）求a ，b 的值；（2）如果曲线()y f x =的某一切线与直线l ：134=-+y x 垂直，求切点坐标与切线的方程.19．已知函数()2ln ()mf x x x m x=-+∈R ．(1)当3m =-时，求函数()f x 的单调区间；(2)若不等式()0f x ≤对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，232n n S a =-，其中*n ∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n b n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和n T ，若对任意*n ∈N 且2n ≥，()21(1)n T n λ-≥-恒成立，求实数λ的取值范围．21．已知函数()()1n f x x ax a =-∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明不等式2e ()x ax f x -->恒成立．22．已知函数()1ln 1f x x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．(1)若()0f x ≥恒成立，求实数a 的值；(2)证明：()111sinsin sin ln 2122n n n n*++⋯+<∈++N ．1．C【分析】根据导数的定义，结合导数的计算，可得答案.【详解】∵()()()033lim 3x f x f f x∆→∆+-'=∆，()2f x '=-，∴()32f '=-.故选：C.2．B【分析】利用等差中项的性质可以求出4a ，利用等比中项的性质可以求出4b ，从而求出44a b +.【详解】因为数列{}n a ，{}n b 分别为等差数列、等比数列，所以35424a a a +==，334548b b b b ==-，所以42a =，42b =-，则440a b +=.故选：B.【点睛】本题考查等差中项、等比中项的性质应用，属于基础题3．C【分析】由于0不能在首位数字，则分2种情况讨论：①若0在个位，此时0一定不在首位，由排列公式即可得此时三位偶数的数目；②若0不在个位，要排除0在首位的可能，由分步计数原理可得此情况下三位偶数的数目，综合2种情况，由分类计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2种情况讨论：①若0在个位，此时只须在1，2，3，4，5中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，有A 52=20个没有重复数字的三位偶数；②若0不在个位，此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法，0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法，此时共有2×4×4=32个没有重复数字的三位偶数，综合可得，共有20+32=52个没有重复数字的三位偶数．故选C ．【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，解题需要注意偶数的末位数字以及0不能在首位等性质．4．B【分析】利用导数求得平行于直线l 与曲线2ln y x x =-相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由函数2ln y x x =-，可得12,0y x x x'=->，令121x x-=-，可得(1)(21)0x x -+=，因为0x >，可得1x =，则1y =-，即平行于直线:60l x y +-=且与曲线2ln y x x =-相切的切点坐标为(1,1)P -，由点到直线的距离公式，可得点P 到直线l 的距离为d ==.故选：B.5．C【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解.【详解】将区域标号，如下图所示：因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有654120⨯⨯=种不同的涂色方法，若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；所以共有()12013480⨯+=种不同的涂色方法.故选：C.6．D【分析】根据题意，设()23n S kn n =+，()1n T kn n =+，由554a S S =-，10109b T T =-即可求解结果．【详解】因为{}n a ，{}n b 为等差数列，且231n n S n T n +=+，所以可设()23n S kn n =+，()1n T kn n =+，则554654421a S S k k k =-=-=，10109101191020b T T k k k =-=⨯-⨯=，5102120a b ∴=.故选：D.7．D【分析】求出函数的导数，问题转化为212a x >-在1(,2)2有解，进而求函数21()2g x x =的最值，即可求出 a 的范围.【详解】∵2()ln 2f x x ax =+-，∴1()2f x ax x'=+，若()f x 在区间1(,2)2内存在单调递增区间，则1()0,(,2)2f x x '>∈有解，故212a x >-，令21()2g x x =-，则21()2g x x =-在1(,2)2单调递增，1()()22∴>=-g x g ，故 2 a >-.故选：D.8．C【分析】利用导数判断单调性，求解出值【详解】因为函数()f x 在[],a b 上连续，且在(),a b 上可导，则必有一(),a b ξ∈，使得()()()f b f a f b aξ-'=-，又函数()1e x x f x --=，可得()()2e 1e e ex x x x x xf x -=-='+，所以()e f ξξξ'=，此时()()ef b f a b a ξξ-=-，又()()f b f a b aλ-=-，所以e ξξλ=，因为(),a b ξ∈，且[],0,2a b ∈，所以()0,2ξ∈，不妨设()e x x g x =，函数定义域为()0,2，可得()1ex xg x ='-，当01x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当12x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以当1x =时，函数()g x 取得极大值也是最大值，最大值1e ，则当1ξ=时，λ取得最大值，最大值为1e．故选：C ．9．ACD【分析】根据13x -<<时，()0f x '>，即可判断A ，B ；利用导数的正负与函数极值之间的关系，即可判断C ，D ．【详解】对于A ，B ，当13x -<<时，()0f x '>，故(1,3)-为函数()y f x =的单调递增区间，故A 正确，B 错误；对于C ，当13x -<<时，()0f x '>，当35x <<时，()0f x '<，故3x =是函数的极大值点，故C 正确；对于D ，当35x <<时，()0f x '<，当5x >时，()0f x '>，故5x =是函数的极小值点，故D 正确．故选：ACD ．10．AC【分析】先安排数学课再安排其余科目可判断A ；利用捆绑法可判断B ；利用插空法可判断C ；利用倍缩法可判断D.【详解】对于A ，若数学课不安排在第一节且不在最后一节课，则数学课有3节课可选，其余科目没有要求，有44A 安排方法，则一共有443A 72=种不同的安排方法，故A 正确；对于B ，语文课和数学课捆绑在一起，看作一个元素，与余下的科目一起排列，则有44A 24=种不同的安排方法，故B 错误；对于C ，先安排英语、物理、化学3节课，有33A 6=种不同的安排方法，把语文课和数学课安排在英语、物理、化学产生的4个空位上，有24A 12=种不同的安排方法，则共有61272⨯=种不同的安排方法，故C 正确；对于D ，若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有5533A 20A =种不同的安排方法，故D 错误.故选：AC.11．AC【分析】利用等差数列的求和公式和等差数列的性质逐个分析判断即可【详解】对于A ，因为78S S >，所以870S S -<，得80a <，所以A 正确，对于B ，因为78S S >，所以870S S -<，得80a <，因为10a >，所以0d <，所以7a 有可能大于零，也有可能小于零，所以6S 与7S 无法比较大小，所以B 错误，对于C ，因为311S S =，所以456110a a a a +++⋅⋅⋅+=，所以783()0a a +=，所以780+=a a ，所以781114414()14()220a a a a S ++===，所以C 正确，对于D ，因为311S S =，可得780+=a a ，因为10a >，所以0d <，780,0a a ><，所以7S 是{}n S 中的最大项，所以D 错误，故选：AC 12．ACD【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，结合零点存在性定理及同构式一一判定选项即可.【详解】由()()()e e 0=-⇒=->'x xf x kx f x k k ，令()0ln ⇒'>>f x x k ，令()0ln ⇒'<<f x x k ，即()f x 在(),ln k -∞上单调递减，在()ln ,k +∞上单调递增，即()()min ln =f x f k ，对于A 项，当e k >时，则()()()min ln 1ln 0==-<f x f k k k ，又易知()010f =>，且x →+∞时，()e 0>⇒>xkx f x ，根据零点存在性定理可知函数()f x 在()0,ln k 和()ln ,k +∞内各有一个零点，故A 正确；对于B 项，当e =k 时，此时()()min 10f x f ==，则()f x 有一个零点，当0e k <<时，()()()min ln 1ln 0==->f x f k k k ，则此时()f x 无零点，又易得()()()ln ln e ln ln =-=--=-xg x k x x k x f x，则()0,∞∀∈+k ，函数()f x 的零点个数与()g x 的零点个数相同，故B 错误；对于C 项，由A 、B 项结论可知：当e k >时，()y f x =有两个零点1212,,ln <<x x x k x ，2>ln 1x k >，同时()g x 有两个零点3x ，()434x x x <，则根据ln y x =单调递增可知，存在唯一的34,x x 满足3142ln ln x x x x =⎧⎨=⎩成立，有()()()()()()331442ln 0ln 0g x f x f x g x f x f x ⎧=-=-=⎪⎨=-=-=⎪⎩，若C 正确，因为2422e e x x x x =>>，则只能有23x x =，即12e xx =，由题意易知：1222ln 212222e e e e ln ln ==⇒==x x x x x k x x x x x ，令()()()2e 1e -=⇒'=x xx h x h x x x，则()()0,1,0∞∈⋃-x 时，()0h x '<，()1,x ∈+∞时，()0h x '>，故()h x 在()()0,1,,0-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且0x <时，()0h x <，0x >时，()()min 1e h x h ==，设()()()ln x h x h x ϕ=-，1x >，因为ln 0x x >>，1x →时，()x ϕ→-∞，()()()e 1e e 1ee 0h h ϕ-=-=->，所以存在()21,e x ∈，使得()20x ϕ=，即()()()222ln 0x h x h x ϕ=-=，所以，()()22ln =h x h x ，即存在e k >，使得()f x 与()g x 有相同的零点23x x =，故C 正确；对于D 项，由C 项结论可知，此时e k >，则由1122334142312124e e e ex x x x x x x k x x x x x x x x x ⎧=⇒====⇒=⎨=⎩，故D 正确.综上：ACD 正确.故选：ACD【点睛】难点点睛：可以先利用导数含参讨论函数的单调性与最值，结合零点存在性定理判定零点个数，对于第二项，注意观察两个函数的解析式，利用同构式判定可零点之间的联系；第三项，构造函数利用其单调性可判定同构式是否有解.13．2e -+##2e -【分析】先求导，然后代入1x =求出()1f '，进而可得()f x ，接着代入e x =计算即可.【详解】由()()21ln f x f x x '=+得()()211f f x x''=+，所以()()21111f f '=+'，得()11f '=-，所以()2ln f x x x =-+，所以()2ln e e 2e e f =-+=-+.故答案为：2e -+.14．3972【分析】根据递推公式列举出前几项，进而可求出7a 及数列的周期，进而可得出答案.【详解】由13a =，11,1,n n na n a n a +-⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，得2112a a =-=-，32112a a ==-，43312a a =-=，54123a a ==，65113a a =-=，7613a a ==，8712a a =-=-，所以数列{}n a 是以6为周期的周期数列，所以数列{}n a 的前99项和为()12345612397162a a a a a a a a a ++++++++=.故答案为：3；972.15．120【分析】首先利用插空法将6盆盆栽排好，再考虑郁金香在两边的情形，即可得解.【详解】先排2盆虞美人、1盆郁金香有33A 种，然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有34A 种，根据分步乘法计数原理有3334A A 种排法；若郁金香在两边，先排2盆虞美人、1盆郁金香有222A 种，再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有33A ，根据分步计数原理有23232A A 种排法，综上可得共有33233423A A 2A A 120-=种排法.故答案为：12016．[)0,e 【分析】构造函数()()g x xf x x =-，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为e x ax >恒成立,分离参数求最值即可求解.【详解】定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，∴函数()f x 为R 上的偶函数．令()()g x xf x x =-，则()()g x g x -=-,()g x 为奇函数．()()()1g x xf x f x ''=+-．当0x ≥时，不等式()()1xf x f x +>'．()0g x '∴>，()g x 在[)0,∞+单调递增．∴函数()g x 在R 上单调递增．对x ∀∈R ，不等式()()e e e x x x f axf ax ax ->-恒成立，()()e e e x x x f axf ax ax ⇒->-,即()()e x g g ax >e x ax ∴>．当0x >时，e ()xa h x x<=，则2(1)()x e x h x x '-=，则()01,0x h x <<'<；()1,0x h x '>>；故()h x 在()0,1单调递减，在()1,∞+单调递增；可得1x =时，函数()h x 取得极小值即最小值，()1eh =e a ∴<．当0x <时，e xa x>，则()0h x <，则0a ≥则a 的取值范围是[)0,e .故答案为：[)0,e .17．(1)1n a n =+(2)2(2)nn +【分析】（1）根据题意，求得1,a d 的值，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）求得1112n b n n =-++，结合裂项法求和，即可求解.【详解】（1）解：由等差数列{}n a 的前n 项和23=2n n n S +，可得112S a ==，2125S a a =+=，可得23a =，所以公差211d a a =-=，所以{}n a 的首项为2，公差为1，可得通项公式为()111n a a n d n =+-=+.（2）解：由（1）知1n a n =+，可得11111(1)(2)12n n n b a a n n n n +===-++++，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则12111111233412n n T b b b n n =++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-++11222(2)n n n =-=++.18．（1）1,16-；（2）()(1,14)1,18---，,418y x =-或414y x =-.【详解】试题分析：（1）先求出函数的导数，由导数的几何意义可得()'21213f a =+=，()2826f a b =++=-，解方程可得,a b 的值；（2）设切点的坐标为()00,x y ，由两直线垂直的条件，斜率之积为1-，可得切线的斜率，解方程可得切点坐标，进而可得切线方程.试题解析：（1）∵()3f x x ax b =++的导数()2'3f x x a =+，由题意可得()'21213f a =+=，()2826f a b =++=-，解得1a =，16b =-.（2）∵切线与直线134y x =-+垂直，∴切线的斜率4k =.设切点的坐标为()00,x y ，则()200'314f x x =+=，∴01x =±.由()316f x x x =+-，可得0111614y =+-=-，或0111618y =---=-.则切线方程为()4114y x =--或()4118y x =+-.即418y x =-或414y x =-.19．(1)递增区间为(0,3)，递减区间为(3,)+∞(2)(,1]-∞【分析】（1）求出导函数后借助导函数的正负即可得原函数的单调性；（2）可借助(1)0f ≤，得到1m £，在1m £的情况下，借助1()2ln 2ln m f x x x x x x x =-+≤-+，从而构造函数1()2ln g x x x x=-+，结合该函数的单调性及最值即可得解；亦可通过参变分离，得到22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，通过研究2()2ln h x x x x =-得解.【详解】（1）当3m =-时，3()2ln f x x x x=--，其定义域为(0,)+∞，()()2222312323()1x x x x f x x x x x --+-++='=-+=，令()0f x '=，得3x =（=1x -舍去），当03x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当3x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(3,)+∞；（2）方法1：由条件可知(1)0f ≤，于是10m -≤，解得1m £．当1m £时，1()2ln 2ln m f x x x x x x x =-+≤-+，构造函数1()2ln g x x x x=-+，1x ≥，()222121()10x g x x x x-=---'=≤，所以函数()g x 在[1,)+∞上单调递减，于是()(1)0g x g ≤=，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．方法2：由条件可知22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，令2()2ln h x x x x =-，1x ≥，只需min [()]m h x ≤即可．()()()22ln 12ln 1h x x x x x =-+=--'，令()ln 1x x x μ=--，则()10x x xμ-'=≥，所以函数()h x '在[1,)+∞上单调递增，于是()()10h x h ''≥=，所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增，所以()()min 11h x h ⎡⎤==⎣⎦，于是1m £，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．20．(1)123n n a -=⋅(2)18λ≤【分析】（1）首先得12a =，由,n n S a 之间的关系得数列{}n a 为等比数列，由此即可得解.（2）由等比数列求和公式、错位相减法结合数列单调性即可得解.【详解】（1）当1n =时，111232,2a a a =-∴=，当2n ≥时，11232,232n n n n S a S a --=-∴=-，两式相减，得1123,33n n n n n a a a a a --=-∴=，又120a =≠，所以数列{}n a 为等比数列，首项为2，公比为3，所以数列{}n a 的通项公式是123n n a -=⋅.（2）由（1）知，1(21)3212n n n b a n n --==-⋅，0121133353(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ，则有12313133353(23)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，两式相减得：()2312123333(21)3n nn T n --=+++++--⨯ ()131312(21)3(22)3213n n n n n --=+⨯--⨯=--⨯--，于是得(1)31n n T n =-⋅+，因为*N n ∈且2n ≥，()21(1),23nn T n λλ-≥-∴≤⋅，当2n ≥时，数列{}23n ⋅是递增数列，所以23n ⋅的最小值为18，因此18λ≤.21．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）求出函数导数，讨论a 的范围结合导数即可得出单调性；（2）构造函数2()ln x x e x ϕ-=-，利用导数可得()x ϕ'在(0,)+∞上有唯一实数根0x ，且012x <<，则可得()0()0x x ϕϕ≥>，即得证.【详解】（1）11()(0)ax f x a x x x-'=-=>当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得到1x a=，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（2）设函数2()e ln x x x ϕ-=-，则21()e x x xϕ-'=-，可知()x ϕ'在(0,)+∞上单调递增．又由(1)0ϕ'<，(2)0ϕ'>知，()x ϕ'在(0,)+∞上有唯一实数根0x ，且012x <<，则()02001e 0x x x ϕ-'=-=，即0201e x x -=．当()00,x x ∈时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减；当()0x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增；所以()0200()e ln x x x x ϕϕ-≥=-，结合0012e x x -=，知002ln x x -=-，所以()0001()2x x x x ϕϕ≥=+-=()22000001210x x x x x --+=≥，则2()e ln 0x x x ϕ-=-≥，即不等式2e ()x ax f x --≥恒成立．【点睛】关键点睛：本题考查不等式恒成立的证明，解题的关键是转化为证明2()ln x x e x ϕ-=-的最小值大于0.22．(1)1a =-(2)证明见解析【分析】（1）当0a ≥时，求出导函数即可判断单调性直接说明；当0a <时，求出导函数通过确定单调性，求出最值进而可得答案；（2）通过不等式1ln 1x x≥-以及sin x x <进行放缩，然后利用裂项相消法求和证明即可.【详解】（1）因为()()1ln 10f x x a x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，所以()()22110x a f x a x x x x +⎛⎫=--=> ⎪⎝⎭'，当0a ≥时，因为0x >，所以()0f x '>恒成立，则()y f x =在()0,∞+上单调递增，且()10f =，所以()f x 恒大于等于零不成立；当0a <时，由()0f x '=得，x a =-，易知当x a >-时，()0f x '>，当0x a <<-时，()0f x '<所以()y f x =在()0,a -上单调递减，在(),a ∞-+上单调递增.则min (x)()ln()1=-=-++f f a a a ，若()0f x ≥恒成立，则ln()10-++≥a a 令()ln()1(0)h x x x x =-++<，则11(x)1(0)+'=+=<x h x x x，()h x 在区间(),1∞--上单调递增，在区间()1,0-上单调递减，所以max ()(1)0=-=h x f 所以当ln()10-++≥a a 时，1a =-.综上，若()0f x ≥恒成立，则1a =-；（2）由（1）得，当1a =-时，()1ln 10f x x x =+-≥恒成立，即1ln 1x x ≥-，当且仅当1x =时等号成立，令1n k x n k +=+-，则1ln 1n k n k n k+>+-+，{}1,2,,k n ∈ ，*N n ∈，所以()()1ln ln ln 11n k n k n k n k n k +<=+-+-++-，{}1,2,,k n ∈ ，*N n ∈，令()()sin 0g x x x x =-≥，则()1cos 0g x x ='-≥恒成立，所以函数()g x 在[)0,∞+上单调递增，故当0x >时，()()00g x g >=，即sin x x <．所以()()11sinln ln 1n k n k n k n k <<+-+-++，{}1,2,,k n ∈ ，*N n ∈，所以111sin sin sin 122n n n+++++ ()()()()()ln 1ln ln 2ln 1ln 2ln 21n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤<+-++-+++--⎣⎦⎣⎦⎣⎦()2ln 2ln ln ln 2n n n n=-==.【点睛】方法点睛：导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和(常常用到裂项相消法求和)达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.。

2022年四川省内江市中考数学试卷（真题）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（2022•内江）﹣6的相反数是（）A．6 B．﹣6 C．D．2．（3分）（2022•内江）某4S店今年1～5月新能源汽车的销量（辆数）分别如下：25，33，36，31，40，这组数据的平均数是（）A．34 B．33 C．32.5 D．313．（3分）（2022•内江）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（a3）2＝a6C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．x6÷x3＝x24．（3分）（2022•内江）2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）（2022•内江）下列说法错误的是（）A．打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查C．一组数据的方差越小，它的波动越小D．样本中个体的数目称为样本容量6．（3分）（2022•内江）如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（）A．跟B．党C．走D．听7．（3分）（2022•内江）如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（）A．2 B．4 C．6 D．88．（3分）（2022•内江）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（）A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0 9．（3分）（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是（）A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位10．（3分）（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（）A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣2211．（3分）（2022•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．4，B．3，πC．2，D．3，2π12．（3分）（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c ＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）（2022•内江）函数的自变量x的取值范围是．14．（5分）（2022•内江）如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于．15．（5分）（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为．16．（5分）（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．1三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）17．（8分）（2022•内江）（1）计算：+|（﹣）﹣1|﹣2cos45°；（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a ＝﹣，b ＝+4．18．（8分）（2022•内江）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．19．（9分）（2022•内江）为让同学们了解新冠病毒的危害及预防措施，某中学举行了“新冠病毒预防”知识竞赛．数学课外活动小组将八（1）班参加本校知识竞赛的40名同学的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组进行统计，并绘制了下列不完整的统计图表：分数段频数频率2 0.0574.5﹣79.579.5﹣8 n84.512 0.384.5﹣89.5m0.3589.5﹣94.594.5﹣4 0.199.5（1）表中m＝，n＝；（2）请补全频数分布直方图；（3）本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．20．（9分）（2022•内江）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D 两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的宽度；（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）21．（10分）（2022•内江）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）22．（6分）（2022•内江）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝．23．（6分）（2022•内江）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，3），与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点Q（m，n）．若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是．24．（6分）（2022•内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且+＝x12+2x2﹣1，则k的值为．25．（6分）（2022•内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．）26．（12分）（2022•内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）35 30租金（元/辆）400 320学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？（3）学校租车总费用最少是多少元？27．（12分）（2022•内江）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；（2）若＝2，求的值；（3）若MN∥BE ，求的值．28．（12分）（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC 的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．2022年四川省内江市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（2022•内江）﹣6的相反数是（）A．6 B．﹣6 C．D．【分析】根据相反数的定义，即可解答．【解答】解：﹣6的相反数是6，故选：A．【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．2．（3分）（2022•内江）某4S店今年1～5月新能源汽车的销量（辆数）分别如下：25，33，36，31，40，这组数据的平均数是（）A．34 B．33 C．32.5 D．31【分析】根据算术平均数的计算方法进行计算即可．【解答】解：这组数据的平均数为：＝33（辆），故选：B．【点评】本题考查实数平均数，掌握算术平均数的计算方法是正确计算的关键．3．（3分）（2022•内江）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（a3）2＝a6C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．x6÷x3＝x2【分析】根据合并同类项的法则，幂的乘方的运算法则以及同底数幂除法的运算法则计算并作出判断即可．【解答】解：A．a2和a3不是同类项，不能合并，故不符合题意；B．（a3）2＝a6，故符合题意；C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故不符合题意；D．x6÷x3＝x6﹣3＝x3，故不符合题意．故选：B．【点评】本题综合考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键，属于基础题型．4．（3分）（2022•内江）2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．【解答】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知，C选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选：C．【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握它们的定义是解答本题的关键．5．（3分）（2022•内江）下列说法错误的是（）A．打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查C．一组数据的方差越小，它的波动越小D．样本中个体的数目称为样本容量【分析】根据随机事件的定义，抽样调查和全面调查的特点，方差的特点，样本容量的定义解答即可．【解答】解：A．打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件，故A选项不符合题意；B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用全面调查调查，故B选项符合题意；C．一组数据的方差越小，它的波动越小，故C选项不符合题意；D．样本中个体的数目称为样本容量，故D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了随机事件，抽样调查和全面调查，方差的，样本容量，熟练掌握相关的定义和特点是解答本题的关键．6．（3分）（2022•内江）如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（）A．跟B．党C．走D．听【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“话”与“走”是对面，故答案为：C．【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．7．（3分）（2022•内江）如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】由平行四边形的得CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，再证∠CBM＝∠CMB，则MC＝BC＝8，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，∴∠ABM＝∠CMB，∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠CBM＝∠CMB，∴MC＝BC＝8，∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明MC＝BC是解题的关键．8．（3分）（2022•内江）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（）A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0 【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：由题意得：a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，∴1﹣2a＞1﹣2b，∴A选项的结论成立；∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴B选项的结论不成立；∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，∴|a|＜|b|，∴a+b＞0，∴C选项的结论不成立；∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，∴|a|＜|b|，∴|a|﹣|b|＜0，∴D选项的结论不成立．故选：A．【点评】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键．9．（3分）（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是（）A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位【分析】观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移即可．【解答】解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．故选：D．【点评】本题考查的是坐标与图形变化，旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概念和性质是解题的关键．10．（3分）（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（）A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22【分析】设点P（a，b），则Q（a，），依据已知条件利用待定系数法解答即可．【解答】解：设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝﹣，∴PQ＝PM+MQ＝b﹣．∵点P在反比例函数y＝的图象上，∴ab＝8．∵S△POQ＝15，∴PQ•OM＝15，∴×a（b﹣）＝15．∴ab﹣k＝30．∴8﹣k＝30，解得：k＝﹣22．故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数图象的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．11．（3分）（2022•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．4，B．3，πC．2，D．3，2π【分析】连接OB、OC，根据正六边形的性质求出∠BOC，根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，根据垂径定理求出BM，根据勾股定理求出OM，根据弧长公式求出的长．【解答】解：连接OB、OC，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠BOC＝＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形，∴BC＝OB＝6，∵OM⊥BC，∴BM＝BC＝3，∴OM＝＝＝3，的长为：＝2π，故选：D．【点评】本题考查的是正多边形和圆、弧长的计算，正确求出正六边形的中心角是解题的关键．12．（3分）（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c ＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】利用二次函数的图象和性质依次判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，∴a＞0，b＜0，c＞0，∴abc＜0，∴①正确．∵当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②错误．∵抛物线对称轴x＝﹣＞1，a＞0，∴b＜﹣2a，∵a+b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴2a﹣c＞a＞0，∴③正确．如图：设y1＝ax2+bx+c，y2＝﹣x+c，由图值，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，故④错误．故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）（2022•内江）函数的自变量x的取值范围是x≥3 ．【分析】根据被开方数非负列式求解即可．【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．14．（5分）（2022•内江）如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于100°．【分析】根据圆周角定理解答即可．【解答】解：由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC＝50°，∴∠AOC＝100°，故答案为：100°．【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．15．（5分）（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为．【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．【解答】解：由题意得：＝1，解得：x＝．经检验，x＝是原方程的根，∴x＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了解分式方程，本题是新定义型题目，准确理解新规定并熟练应用是解题的关键．16．（5分）（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝48 ．1【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，1且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．【点评】本题考查勾股定理的应用，应用勾股定理和乘法公式表示三个正方形的面积是求解本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）17．（8分）（2022•内江）（1）计算：+|（﹣）﹣1|﹣2cos45°；（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝﹣，b＝+4．【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案；（2）先根据分式的运算法则化简分式，再代入求值．【解答】解：（1）原式＝×2+2﹣2×＝+2﹣＝2．（2）原式＝[+]•＝•＝．当a＝﹣，b＝+4时，原式＝．【点评】本题考查了二次根式的运算，特殊角的函数值，负指数次幂的运算，以及分式的化简求值，正确熟练的运算是解题的关键．18．（8分）（2022•内江）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠CDB，利用SAS定理证明△ABE≌△CDF；（2）根据全等三角形的性质得到AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根据平行线的判定定理证明AE∥CF，再根据平行四边形的判定定理证明结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．19．（9分）（2022•内江）为让同学们了解新冠病毒的危害及预防措施，某中学举行了“新冠病毒预防”知识竞赛．数学课外活动小组将八（1）班参加本校知识竞赛的40名同学的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组进行统计，并绘制了下列不完整的统计图表：分数段频数频率74.5﹣2 0.0579.58 n79.5﹣84.512 0.384.5﹣89.5m0.3589.5﹣94.54 0.194.5﹣99.5（1）表中m＝14 ，n＝0.2 ；（2）请补全频数分布直方图；（3）本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．【分析】（1）由样本容量乘以频率得出m的值，再由频率的定义求出n的值即可；（2）由（1）的结果，补全频数分布直方图即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）m＝40×35%＝14，n＝8÷40＝0.2，故答案为：14，0.2；（2）补全频数分布直方图如下：（3）∵成绩在94.5分以上的选手有4人，男生和女生各占一半，∴2名是男生，2名是女生，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，∴确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为＝．【点评】此题考查了树状图法求概率、频数分布表和频数分布直方图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（9分）（2022•内江）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D 两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的宽度；（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）【分析】（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，则DE＝（x+60）米，先利用平角定义求出∠ACE＝45°，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答；（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，先利用平角定义求出∠BCF＝60°，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，∵CD＝60米，∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝30+30，经检验：x＝30+30是原方程的根，∴AE＝（30+30）米，∴河的宽度为（30+30）米；（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，∵∠BCD＝120°，∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），∴古树A、B之间的距离为20米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．21．（10分）（2022•内江）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，证明△AOF≌△COF（SAS），由全等三角形的判定与性质得出∠OAF＝∠OCF＝90°，由切线的判定可得出结论；（2）由直角三角形的性质求出∠AOF＝30°，可得出AE＝OA＝3，则可求出答案；（3）证明△AOC是等边三角形，求出∠AOC＝60°，OC＝6，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案．【解答】解：（1）直线AF与⊙O相切．理由如下：连接OC，∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵OF∥BC，∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠AOF＝∠COF，∵在△AOF和△COF中，，∴△AOF≌△COF（SAS），∴∠OAF＝∠OCF＝90°，∴AF⊥OA，又∵OA为圆O的半径，∴AF为圆O的切线；（2）∵△AOF≌△COF，∴∠AOF＝∠COF，∵OA＝OC，∴E为AC中点，即AE＝CE＝AC，OE⊥AC，∵∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2，∴tan∠AOF＝，∴∠AOF＝30°，∴AE＝OA＝3，∴AC＝2AE＝6；（3）∵AC＝OA＝6，OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，OC＝6，∵∠OCP＝90°，∴CP＝OC＝6，∴S△OCP＝OC•CP＝＝18，S扇形AOC＝＝6π，∴阴影部分的面积为S△OCP﹣S扇形AOC＝18﹣6π．【点评】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积求法，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）22．（6分）（2022•内江）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a+2）（a﹣2）．【分析】先利用十字相乘法因式分解，在利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．【点评】本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解题的关键．23．（6分）（2022•内江）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，3），与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点Q（m，n）．若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是＜m＜2 ．【分析】过点P分别作x轴，y轴的平行线，与双曲线分别交于点A，B，利用解析式分别求得A，B坐标，依据题意确定点Q的移动范围，从而得出结论．【解答】解：过点P作PA∥x轴，交双曲线与点A，过点P作PB∥y轴，交双曲线与点B，如图，∵P（2，3），反比例函数y＝，∴A（，3），B（2，1）．∵一次函数y的值随x值的增大而增大，∴点Q（m，n）在A，B之间，∴＜m＜2．故答案为：＜m＜2．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，待定系数法，反比例函数的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，确定点Q的移动范围是解题的关键．24．（6分）（2022•内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且+＝x12+2x2﹣1，则k的值为 2 ．【分析】根据x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，可得x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，把+＝x12+2x2﹣1变形再整体代入可得＝4﹣k，解出k的值，并检验即可得k＝2．【解答】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，∴x12＝2x1﹣k+1，∵+＝x12+2x2﹣1，∴＝2（x1+x2）﹣k，∴＝4﹣k，解得k＝2或k＝5，当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；∴k＝2，故答案为：2．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，从而根据已知得到关于k 的方程，注意最后要由求得的k值检验原方程是否有实数根．25．（6分）（2022•内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是10 ．【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，则四边形EFGC是平行四边形，得CE＝FG，则AF+CE＝AF+FG，可知当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，利用勾股定理求出AG的长即可．【解答】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，∵EF∥CG，EF＝CG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，由勾股定理得，AG ＝＝＝10，∴AF+CE的最小值为10，故答案为：10．【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线将AF+CE的最小值转化为AG的长是解题的关键．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．）26．（12分）（2022•内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）35 30租金（元/辆）400 320学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？（3）学校租车总费用最少是多少元？【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，可得：30x+7＝31x﹣1，即可解得参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；（2）根据每位老师负责一辆车的组织工作，知一共租8辆车，设租甲型客车m辆，可得：，解得m的范围，解得一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；（3）设学校租车总费用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，由一次函数性质得学校租车总费用最少是2800元．【解答】解：（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，根据题意得：30x+7＝31x﹣1，解得x＝8，∴30x+7＝30×8+7＝247，答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；（2）师生总数为247+8＝255（人），∵每位老师负责一辆车的组织工作，∴一共租8辆车，设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，根据题意得：，解得3≤m≤5.5，∵m为整数，∴m可取3、4、5，∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；（3）设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，由（2）知：3≤m≤5.5，设学校租车总费用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，∵80＞0，∴w随m的增大而增大，∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），答：学校租车总费用最少是2800元．【点评】本题考查一元一次方程，一元一次不等式组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式和函数关系式．27．（12分）（2022•内江）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；（2）若＝2，求的值；（3）若MN∥BE，求的值．【分析】（1）根据矩形的性质，利用AAS证明△BMF≌△ECF，得BM＝CE，再利用点E为CD的中点，即可证明结论；（2）利用△BMF∽△ECF，得，从而求出BM的长，再利用△ANM∽△BMC，得，求出AN的长，可得答案；（3）首先利用同角的余角相等得∠CBF＝∠CMB，则tan∠CBF＝tan∠CMB，得。

内江2024—2025学年度上学期高2027届第一次月考数学试卷（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U=R，集合{}50,2xA xB x xx⎧⎫-=<=>⎨⎬⎩⎭，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}25x x<< B.{}25x x≤<C.{}02x x<< D.{}02x x<≤【答案】D【解析】【分析】确定集合A，然后根据文氏图的概念及集合的运算求解．【详解】由题意5{|0}{|05}xA x x xx-=<=<<，{|2}UB x x=≤ð阴影部分为{|02}UA B x x=<≤ð.故选：D．2.下列命题为真命题的是（）A.若a b>，则22a b> B.若a b>，则22ac bc>C.若a b>，则11a b< D.若0a b>>，则11b ba a+>+【答案】D【解析】【分析】对A，B，C举反例说明，对D，作差法求解判断.【详解】若a b>，取0a=，1b=-，则22a b<，故A错误；若a b>，当0c=时，则22ac bc=，故B错误；若a b >，取1a =，1b =-，则11a b>，故C 错误；若0a b >>，则()()()()1110111b a a b b b a ba a a a a a +-++--==>+++，故D 正确.故选：D.3.中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（）A.()f x =()g x x = B.()1f x x =+，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩C.()242x f x x -=+，()2g x x =- D.()f x x =，()2x g x x=【答案】B 【解析】【分析】先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相同，对应关系相同则是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数.【详解】对于A ，()f x 和()g x 定义域均为R ，()f x x ==，故()f x 和()g x 定义域相同，对应关系不同，()f x 和()g x 不是同一个函数，故A 错误；对于B ，()f x 和()g x 定义域均为R ，()1,111,1x x f x x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩，故()f x 和()g x 定义域相同，对应关系相同，()f x 和()g x 是同一个函数，故B 正确；对于C ，()f x 定义域为{}|2x x ≠-，()g x 定义域为R ，故()f x 和()g x 定义域不相同，()f x 和()g x 不是同一个函数，故C 错误；对于D ，()f x 定义域为R ，()g x 定义域为{}|0x x ≠，故()f x 和()g x 定义域不相同，()f x 和()g x 不是同一个函数，故D 错误；故选：B.4.集合(){}2220A x x a x a =+++<，{}2230B x x x =+-<，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A.{}13a a -≤≤B.{}12a a -≤≤C.{}23a a <≤ D.{}2a a ≥【答案】A 【解析】【分析】根据充分不必要条件的定义，分别讨论2a >，2a =和2a <的情况，根据包含关系可求得结果.【详解】由题知集合A 是B 的真子集，由2230x x +-<，可得31x -<<，由()2220x a x a +++<，可得()()20x a x ++<；当2a >时，2a x -<<-，此时23a <≤，符合题意；当2a =时，()220x +<，无解，所以A 为空集，符合题意；当2a <时，2x a -<<-，此时12a -≤<，符合题意，综上，实数a 的取值范围是{}13a a -≤≤．故选：A5.若命题“0x ∀>，使得22230x ax a +++≥”为假命题，则实数a 的取值范围（）A.{|1a a <-或3}a >B.{}|13a a -≤≤C.{}|1a a <- D.77{|11}22a a -≤≤+【答案】C 【解析】【分析】由题意可得“()00,x ∃∈+∞，使得2002230x ax a +++<”为真命题，分离参数可得200321x a x +<-+在()00,x ∈+∞内有解，利用基本不等式求出200max31x x ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭即可.【详解】因为“()0,x ∀∈+∞，使得22230x ax a +++≥”为假命题，所以“()00,x ∃∈+∞，使得2002230x ax a +++<”为真命题，即200321x a x +<-+在()00,x ∈+∞内有解，即200max321x a x ⎛⎫+<- ⎪+⎝⎭，因为()()22000000012143412111x x x x x x x +-++⎛⎫+-=-=-++- ⎪+++⎝⎭22⎛⎫≤--=- ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当00411x x +=+，即01x =时等号成立，所以200max321x x ⎛⎫+-=- ⎪+⎝⎭，所以22a <-，解得1a <-，所以实数a 的取值范围为1a <-．故选：C.6.已知,a b 都是正数，则“4ab ≥”是“ab a b ≥+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】举出反例以及结合基本不等式判断“4ab ≥”和“ab a b ≥+”的逻辑关系，即得答案.【详解】由题意可知当4ab ≥时，可取14a b ==,，显然不能推出ab a b ≥+；当ab a b ≥+时，且0,0ab >>，所以ab a b ≥+≥，即()24ab ab ≥，解得4ab ≥，所以“4ab ≥”是“ab a b ≥+”的必要不充分条件，故选：B7.若正实数x ，y 满足5511xy x y ++=，则x y +的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】正实数x ，y 满足5511xy x y ++=，利用基本不等式的性质可得255112x y x y +⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，设,0x y t t +=>，即可求出x y +的最小值．【详解】∵正实数x ，y 满足5511xy x y ++=，22x y xy +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，∴255112x y x y +⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当x y =取等，设,0x y t t +=>，∴25114t t +≥，∴220440t t +-≥，即()()2220t t -+≥，220t +>，∴2t ≥，故x y +的最小值为2.故选：A ．8.对于非空正数集{}()*123,,,,n A a a a a n =⋅⋅⋅∈N，其所有元素的几何平均数记为()G A ，即()G A =B 满足下列两个条件：（1）B A ⊆；（2）()()G B G A =．则称B 为A 的一个“稳定子集”．根据以上信息，集合{}1,2,4,8,16的“稳定子集”有（）A.5个 B.6个C.7个D.8个【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得()4G A =，且集合B 至少有2个元素，分类讨论集合B 的元素个数，结合题意分析求解即可.【详解】因为{}1,2,4,8,16A =，则()4G A =，又因为B A ⊆，由题意可知：集合B 至少有2个元素，若集合B 有2个元素，则集合B 可以为{}{}1,16,2,8，共2个；若集合B 有3个元素，则集合B 可以为{}{}1,4,16,2,4,8，共2个；若集合B 有4个元素，则集合B 可以为{}1,2,8,16，共1个；若集合B 有5个元素，则集合B 可以为{}1,2,4,8,16，共1个；综上所述：集合{}1,2,4,8,16的“稳定子集”有22116+++=个.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部份分，有选错的得0分．9.设全集为U ，C 是非空子集，在下列选项中，是B A ⊆的充要条件是（）A.A B B= B.()U B A =∅I ðC.()()B C A C ⊆ D.()B A B ⊆ 【答案】BD 【解析】【分析】利用韦恩图结合集合运算可判断ABD ，举反例可判断C.【详解】对于A ，由韦恩图可知，当B A ⊆时，A B A = ，故A 错误；对于B ，由韦恩图可知，()U B A ⋂=∅ð等价于B A ⊆，故B 正确；对于C ，当()()B C A C ⋂⊆⋂时，取{}0A =，{}1B =，{}2C =，此时A C ⋂=∅，B C =∅ ，满足条件，但B A ⊆不成立，故C 错误；对于D ，由韦恩图可知，()B A B ⊆⋂等价于B A ⊆，故D 正确.故选：BD.10.（多选）下列说法不正确的是（）A.已知{}{}260,10A xx x B x mx =+-==-=∣∣，若B A ⊆，则m 组成集合为11,23⎧⎫-⎨⎩⎭B.不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充分不必要条件是30k -<<C.()f x 的定义域为()1,2-，则()21f x -的定义域为()3,3-D.不等式20ax bx c ++>解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则0a b c ++>【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，考虑B =∅时，0m =，满足要求，可判断A ；B 选项，考虑0k =时，0k ≠两种情况讨论可得充要条件为30k -<≤，可判断B ；C 选项，由1212x -<-<，可求定义域判断C ；D 选项，根据不等式的解集得到0a >且2,3-为方程20ax bx c ++=的两个根，由韦达定理得到的关系,,a b c ，计算可判断D.【详解】A 选项，{}2,3A =-，又{}10B xmx =-=∣，当0m =时，B =∅，满足B A ⊆，当0m ≠时，1B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当12m =时，{}2B =，满足B A ⊆，当13m =-时，{}3B =-，满足B A ⊆，综上，m 组成集合为110,,23⎧⎫-⎨⎩⎭，A 说法不正确；B 选项，当0k =时，不等式为308-<恒成立，可得23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立，当0k ≠时，由23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立，可得20342()08k k k <⎧⎪⎨-⨯⨯-<⎪⎩，解得30k -<<，综上所述：不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充要条件是30k -<≤，所以不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充分不必要条件是30k -<<，故B 正确；C 选项，因为()f x 的定义域为()1,2-，所以1212x -<-<，解得302x <<，故()21f x -的定义域为30,2⎛⎫⎪⎝⎭，C 说法不正确；D 选项，不等式20ax bx c ++>解集为 ∞ 㤽∞，则0a >且2,3-为方程20ax bx c ++=的两个根，故23,23b c a a-+=--⨯=，则,6b a c a =-=-，故60a b c c a ++==-<，D 说法不正确.故选：ACD.11.已知函数()()22,R f x x mx m n m n =+-+∈，若非空集合(){}A x f x =≤，()(){}24B x f f x =+≤，且A B =，则下列说法中正确的是（）A.n 的取值与m 有关B.n为定值C.0m ≤≤D.02m ≤≤【答案】BD 【解析】【分析】令()2f x m +=，从而化(()2)4f f x +£为()4f m £，不妨设()4f m £的解集为[],a b ，可得{}2()2B x a f x b =-＃-|，由A B =≠∅，从而得2b =，且min ()2f x a ³-，化简(){}0A x f x =≤≠∅，解得0m ≥或8m ≤-，又(),a b a b £是方程()4f x =的两个根，利用韦达定理可得2a m =--，则2min8()424m m m f x f m 骣+琪=-=-³--琪桫，进而求得m 的取值范围.【详解】令()2f x m +=，则(()2)4f f x +£可化为()4f m £，不妨设()4f m £的解集为[],a b ，即a b m＃，()2a f x b \£+£，即2()2a f x b -＃-，故{}{}{}(()2)4()22()2B f f x x a f x b x a f x b =+-＃-||，又(){}0A x f x =≤ ，且A B =≠∅，20b ∴-=，且min ()2f x a ³-，2b ∴=，且min ()2f x a ³-，故()(2)4224f b f m m n ==+-+=，解得0n =，故选项A 错误，选项B 正确；()22f x x mx m =+-\，(){}0A x f x =≤≠∅ ，220x mx m +-£\有解，2+80m m \=³Δ，即0m ≥或8m ≤-，(),a b a b £ 是方程()4f x =的两个根，即(),22a a £是方程2240x mx m +--=的两个根，故224a m ×=--，即2a m =--，2min8()424m m mf x f m 骣+琪\=-=-³--琪桫解得：22m--＃，02m \＃，故选项C 错误，选项D 正确.故答案选：BD.【点睛】本题考查了二次不等式与二次函数、二次方程间关系的应用，以及集合间相等的应用，属于难题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．12.函数()||3f x x =-的定义域为____________．【答案】[)()2,33,⋃+∞【解析】【分析】根据根式以及分式的性质即可求解.【详解】()||3f x x =-的定义域满足20x -≥且||30x -≠，解得2x ≥且3x ≠.故答案为：[)()2,33,∞⋃+13.已知不等式20ax bx c ++<的解集为{}13x x x <->或∣，则20cx bx a -+<的解集为______．【答案】1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意得1,3-是方程20ax bx c ++=的两根，且0a <，利用韦达定理可得23b a c a =-⎧⎨=-⎩，所以20cx bx a -+<等价于23210x x --<，解出不等式的解集即可.【详解】由题意得1,3-是方程20ax bx c ++=的两根，且0a <，则 㤽，可得23b ac a =-⎧⎨=-⎩，所以20cx bx a -+<，即2320ax ax a -++<，又0a <，所以23210x x -++>，即23210x x --<，即(1)(31)0x x -+<，解得113-<<x .所以20cx bx a -+<的解集为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.14.已知集合{}()(){}222202420250,440A x x x B x x axxax =++==+++=，记非空集合S 的元素个数为()n S ，已知()()1n A n B -=，记实数a 的所有可能取值构成的集合M ，则M 的非空子集的个数是______．【答案】7【解析】【分析】由题意，先得到()2n A =，再由()()1n A n B -=可得()1n B =或3，分别分析20x ax +=和2440x ax ++=的解的个数，得到判别式的条件，从而解出a 的取值，最后得到M 的非空子集个数.【详解】对于2202420250x x ++=，有22024420250∆=-⨯>，所以集合{}2202420250A x x x =++=中有两个元素，即()2n A =，因为()()1n A n B -=，所以()1n B =或3，对于()()22440x axxax +++=，易知0x =必是方程中的唯一解，当()1n B =时，{}0B =，所以20x ax +=有唯一解，且2440x ax ++=无解，则()2122Δ400Δ4440a a ⎧=-⨯=⎪⎨=-⨯<⎪⎩，解得0a =；当()3n B =时，若20x ax +=有唯一解，由上述分析可知2440x ax ++=无解，不满足题意；若20x ax +=有两解，则2440x ax ++=有唯一解，则()2122Δ400Δ4440a a ⎧=-⨯>⎪⎨=-⨯=⎪⎩，解得1a =-或1；综上，实数a 的所有可能取值为：1,0,1-，则{}1,0,1M =-.所以M 的非空子集的个数3217-=.故答案为：7.【点睛】本题以()n S 这一新定义为背景，考查对集合B 中的元素个数分析的问题，主要考查分类讨论的数学思想.四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记全集U =R ，集合{}221,,{3A xa x a a B x x =-≤≤+∈=≤R ∣∣或7}x ≥．（1）若A B = R ，求a 的取值范围；（2）若A B A = ，求a 的取值范围．【答案】（1）{}35aa ≤≤∣；（2）{1aa ≤∣或9}x ≥．【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用并集的结果，列式求解即可.（2）利用交集的结果，结合包含关系列式求解即得.【小问1详解】全集U =R ，集合{}221,,{3A xa x a a B x x =-≤≤+∈=≤R ∣∣或7}x ≥，由A B = R ，得23217a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得35a ≤≤，所以a 的取值范围为{}35aa ≤≤∣．【小问2详解】由A B A = ，得A B ⊆，当221a a ->+，即3a <-时，A =∅，满足A B ⊆，因此3a <-；当221a a -≤+，即3a ≥-时，A ≠∅，而A B ⊆，则213+≤a 或27a -≥，解得1a ≤或9a ≥，因此31a -≤≤或9a ≥，从而1a ≤或9a ≥，所以a 的取值范围为{1aa ≤∣或9}x ≥．16.（1）已知：0x >，0y >．若97x y xy ++=，求3xy 的最大值；（2）已知0x >，0y >，且2x y +=，若410x mxy +-≥恒成立，求m 的最大值．【答案】（1）3；（2）4.【解析】【分析】（1）依题意利用基本不等式可得7xy -≥，令0)t t =>，再解关于t 的一元二次不等式，即可求出t 的最大值，即可得解；（2）将问题转化为9122m y x ≤+恒成立，求出9212y x +的最小值，而()9119122222x y y x y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，化简后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出m 的最大值.【详解】（1）因为0x >，0y >，97x y xy ++=，所以79xy x y -=+≥=，当且仅当9x y =时取等号，令0)t t =>，则276t t -≥，即2670(7)(1)0t t t t +-≤⇔+-≤，解得71t -≤≤，又0t >，所以01t <≤，即01<≤，从而01xy <≤，由997x y x y xy =⎧⎨++=⎩及0x >，0y >，解得3x =，13y =，故当3x =，13y =时，xy 的最大值为1，所以3xy 的最大值为3．（2）因为410x mxy +-≥（0,0x y >>）恒成立，且2x y +=，所以91022x y mxy +-≥恒成立，所以9122m y x ≤+恒成立，因为11()2x y =+，0,0x y >>，所以()9119122222x y y x y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭19410y x x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭11044⎛≥+= ⎝，当且仅当9y x x y =，即13,22x y ==时取等号，所以9212y x+的最小值为4，所以4m ≤，所以m 的最大值为4.17.实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源.某市新建了一座垃圾回收利用工厂，于2023年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50万元.若该设备使用x 年，则其所需维修保养费用x 年来的总和为()2210x x +万元（2023年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为y 万元.（1）写出y 与x 之间的函数关系式；求该机床从第几年开始盈利（盈利总额为正值）.（2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）②当盈利总额达到最大值时，以15万元价格处理该设备.试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由.【答案】（1）y 224098x x =-+-（*x ∈N ），第3年开始全年盈利（2）按方案②处理较合理，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得y 与x 之间的函数关系式，解一元二次不等式即可求解；（2）分别求出方案①②下该设备的获利额最大值，比较大小即可求解.【小问1详解】根据题意：()25021098y x x x =-+-224098x x =-+-（*x ∈N ），由2240980x x -+->解得：1010x -<<+，*x ∈N ，所以317x ≤≤，所以该机床从第3年开始全年盈利.【小问2详解】方案①：9898240402y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭4012≤-=（当且仅当7x =时取“＝”）,所以到2029年，年平均盈利达到最大值，该设备可获利12730114⨯+=万元.方案②：()2224098210102y x x x =-+-=--+，所以当10x =时，max 102y =，故到2032年，盈利额达最大值，该设备可获利10215117+=万元.所以按方案②可获利更多，故按方案②处理较合理.18.已知函数()211y ax a x =-++，a ∈R .（1）若2a =，当1x >时，求2101y x z x -+=-的最小值；（2）求关于x 的不等式()()21100ax a x a -++>>的解集；（3）当0a <时，已知{}21A xx =-≤≤-∣，{0}B x y a =+>，若A B ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）7（2）答案见解析（3）307a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）变形后，利用基本不等式求出最小值；（2）因式分解，得到()()11y ax x =--，分11a >，11a <和11a =三种情况，得到不等式的解集；（3）0y a +>化为()2110ax a x a -+++>，根据A B ⊆，转化为函数不等式恒成立问题，结合二次函数的开口方向，得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2a =时，()()2221182102511111x x y x x x z x x x ---+-+-+===---()8211171x x =-+-≥-=-，当且仅当()8211x x -=-，即3x =时取等号，故当1x >时，2111y x z x -+=-的最小值为7.【小问2详解】由题知()()()21111y ax a x ax x =-++=--，当11a >，即01a <<时，解原不等式得1x a >或1x <，当11a <，即1a >时，解原不等式得1x a <或1x >，当11a =，即1a =时，解原不等式得1x ≠.综上，当1a >时，原不等式解集为1{|<x x a或>1}x ；当01a <<时，原不等式解集为{|1x x <或1}x a>；当1a =时，原不等式解集为{}1xx ≠∣.【小问3详解】不等式0y a +>可化为()2110ax a x a -+++>，因为A B ⊆，所以不等式()2110ax a x a -+++>在21x -≤≤-时恒成立，又0a <，结合二次函数图象知，()()421101100a a a a a a a ⎧++++>⎪++++>⎨⎪<⎩，解得307a -<<.故a 的取值范围是307a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.19.已知集合{}*12,,,,,3n A x x x n n =∈≥N ，若对任意,x A y A ∈∈，都有x y A +∈或x y A -∈，则称集合A 具有“包容”性.（1）判断集合{}1,1,2,3-和集合{}1,0,1,2-是否具有“包容”性；（2）若集合{}1,,B a b =具有“包容”性，求22a b +的值；（3）若集合C 具有“包容”性，且集合C 中的元素共有6个，1C ∈，试确定集合C .【答案】（1）集合{}1,1,2,3-不具有“包容”性，集合{}1,0,1,2-具有“包容”性.（2）221a b +=（3）{}2,1,0,1,2,3--，1131,,0,,1,222⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，2112,,0,,,13333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，{}3,2,1,0,1,2---或311,1,,0,,1222⎧⎫---⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）根据“包容”性的定义判断集合的“包容”性.（2）根据集合的“包容”性求,a b 的值.（3）根据集合C 具有“包容”性，且0C ∈，再根据1C ∈，可分析集合C 中的元素.【小问1详解】集合{}1,1,2,3-中的{}{}3361,1,2,3,3301,1,2,3+=∉--=∉-，所以集合{}1,1,2,3-不具有“包容”性.集合{}1,0,1,2-中的任何两个相同或不同的元素相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合{}1,0,1,2-，所以集合{}1,0,1,2-具有“包容”性.【小问2详解】若集合{}1,,B a b =具有“包容”性，记{}max 1,,m a b =，则1m ≥，易得{}21,,m a b ∉，从而必有{}01,,a b ∈，不妨令0a =，则{}1,0,,0B b b =≠且1b ≠，则{}{}1,11,0,b b b +-≠∅ ，且{}{}1,11,0,b b b +-≠∅ ，①当{}11,0,b b +∈时，若10b +=，得1b =-，此时{}1,0,1B =-具有包容性；若11b +=，得0b =，舍去；若1b b +=，无解；②当{}11,0,b b +∉时，则{}{}1,11,0,b b b --⊆，由0b ≠且1b ≠，可知b 无解，故{}1,0,1B =-.综上，221a b +=.【小问3详解】因为集合C 中共有6个元素，且0C ∈，又1C ∈，且C 中既有正数也有负数，不妨设{}1112,,,,0,,,,k k l C b b b a a a -=--- ，其中115,0,0l k k l a a b b +=<<<<<< ，根据题意{}{}1111,,,,,l l l k k a a a a b b b ----⊆--- ，且{}{}1112112,,,,,,k k l b b b b b b a a a ----⊆ ，所以2,3k l ==，或3,2k l ==.①当3,2k l ==时，{}{}313221,,b b b b a a --=，并且由{}{}313221,,b b b b b b -+-+=--，得312b b b =+，由{}2112,a a a a -∈，得212a a =，由上可得2312113212,b b b a a b b b a =-===-=，并且31213b b b a =+=，综上可知{}111113,2,,0,,2C a a a a a =---；②当2,3k l ==时，同理可得{}111112,,0,,2,3C a a a a a =--.综上，C 中有6个元素，且1C ∈时，符合条件的集合C 有5个，分别是{}11321122,1,0,1,2,3,1,,0,,1,,,,0,,,12223333⎧⎫⎧⎫------⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，{}3,2,1,0,1,2---或311,1,,0,,1222⎧⎫---⎨⎬⎩⎭.【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证.此题中，确定出{}01,,a b ∈后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利地完成.。

内江一中高2025届高三（上）半期数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合，，则（）A. B. C. D. 2. 复数满足，则（）A. 1B. 2C.D. 53. 在等差数列中，若，则的值为（）A. 10B. 20C. 30D. 404. 为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对，进行线性回归分析.若在此图中加上点后，再次对，进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）A. ，不具有线性相关性B. 决定系数变大C. 相关系数变小D. 残差平方和变小5. 已知，，则（）A. B. 或C. D. 或6. 已知外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D. 的的{}2,0,1A =-{}2,B y y x x A==∈A B = {}2,0,1-{}0,1,4{}0,1{}2,0,1,4-z 5i 2z =-z ={}n a 357911100a a a a a ++++=113a a +x y x y P x y x y 2R r π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭5π7π124x <<sin cos cos sin x x x x+=-43-43-4334-34-34ABC V O 2,AO AB AC OA AB =+= BA BC14BCBC14BC-7. 若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（）A B. C. D. 8. 设，函数若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（）A. B. C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 某老师想了解班上学生的身高情况，他随机选取了班上6名男同学，得到他们的身高的一组数据（单位：厘米）分别为，则下列说法正确的是（）A. 若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的平均值会变大B. 若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的方差会变小C. 若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的极差会变小D. 这组数据的第75百分位数为18110. 已知，，则下列说法正确的是（）A. 若，则B. 若C. 若，则D. 若，则11. 已知（，）在上是单调函数，对于任意的满足，且，则下列说法正确的是（）A.x ()()2lg log 2a f x x ax ⎡⎤=++⎣⎦R a ()()0,11,2U ()(0,11,⋃()1,2(1,a ∈R ()()sin 2π2π,,136,.x a x a f x x a a x a ⎧-<⎪=⎨---+≥⎪⎩()f x ()0,∞+a 72,2⎛⎤ ⎥⎝⎦(]2,37572,,322⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦752,,332⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦167,170,172,178,184,1850a >0b >1a b +=22log log 2a b +≤-1a b +=1<1a b -=1212ab->1a b -=221a b +>()()2cos f x x ωϕ=+0ω>π<ϕπ5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭x ∈R ππ66f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5π12f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭π3ϕ=B. 若函数（）在上单调递减，则C. 若，则的最小值为D. 若函数在上存在两个极值点，则非选择题部分（共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中常数项为______．13. 安排甲､乙､丙､丁､戊5名大学生去延安､宝鸡､汉中三个城市进行暑期社会实践，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有______.14. 若恒成立，则的取值范围为______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 设的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知，且.（1）求角C 的大小；（2）若向量与共线，求a ，b 的值.16. 在校运动会上，只有甲､乙､丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲､乙､丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：甲：；乙：；丙：.假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的比赛成绩相互独立（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设是甲､乙､丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望.()y fx λ=0λ>[]0,π50,12λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()124f x f x -=12x x -π2()f x π,2a ⎛⎫⎪⎝⎭17π23π1212a <≤62(x()e 0,,ln2ln 2x a x x a ∞∀∈+-≤a ABC V 3c =1sin cos 64C C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()1,sin m A = ()2,sin n B =9.50m 9.50m m 9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.259.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.239.85,9.65,9.20,9.16X X ()E X17. 已知数列的首项是1，其前项和是，且，.（1）求，的值及数列的通项公式；（2）若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值.18已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，，证明：；（3）若，恒有，求实数的取值范围.19. 若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数．设的递归函数为．（1）若，（），证明：为递减数列；（2）若，且，前项和记为．①求；②我们称为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过的最大整数，例如，．若，求．的{}n a n n S 121n n a a n +=++*N n ∈2a 3a {}n a λn 25n S n λ+≤*N n ∈λn ()()21lnR 1x f x ax a x -=+∈-1a =()()2,2f 103a <≤3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2f x <1x >()32ln22f x ≥+a {}n a ()f x ()f x {}n a {}n a ()2f x x x =-+101a <<()1n n a f a +=*N n ∈{}n a ()215n n n n a f a a a +=++153a ={}n a n n S n S ()[]g x x =x []1.21=[]1.32-=-11131nn i i a T S a ==-+∑()20241i i g T =∑内江一中高2025届高三（上）半期数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BC10.【答案】ACD11.【答案】BCD非选择题部分（共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 【答案】6013. 【答案】15014.【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换，得，结合的取值范围，即可求解；（2）由与共线，得，得，再根据余弦定理列出方程，即可求解a ，b 的值.【详解】（1），，，，解得.（2）与共线，，由正弦定理，得，，由余弦定理，得，.16. 【解析】【分析】（1）根据古典概型概率计算公式直接计算概率；（2）直接计算离散型随机变量的概率及期望.的2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭sin 216C π⎛⎫-=⎪⎝⎭Cm nsin 2sin 0B A -=2b a =211sin cos cos cos 624C C C C C π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭ 21111cos cos 2cos 2sin(2)22622C C C C C C π-=--=--=sin(2)16C π∴-=110,2666C C ππππ<<∴-<-<262C ππ∴-=3C π=m nsin 2sin 0B A ∴-=sin sin a bA B=2b a =3c = 22292cos 33a b ab a π=+-=a b ∴==【小问1详解】设事件A 为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，其概率为；【小问2详解】设事件B 为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，故，事件C 为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，故，，，，.所以其分布列为0123期望.17. 【解析】【分析】（1）用累加法得到数列通项公式；（2）求出数列前项和，列出不等式，构造函数利用导函数求最大值，并找到最大值点.【小问1详解】∵，∴当时，，即，()42105P A ==()3162P B ==()2142P C ==2113(0)()11152220P X P ABC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++211211212111111522522525⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2112112117(2)()()()11152252252220P X P ABC P ABC P ABC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2111352210P X P ABC ===⨯⨯=XP32025720110()32717012320520105E X =⨯+⨯+⨯+⨯=n n S 121n n a a n +=++121n n a a n +-=+2n ≥112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()()22112212111n a n n n =-++-+++⨯++=当时，也满足，∴，∴，.【小问2详解】由（1）可知，∴，∴令，，当时，，当时，∵∴的最大值为70，即当或时，取得最大值70，∴取得最大值时，取4或5.18. 【解析】【分析】（1）直接求出导函数，计算和，由点斜式得直线方程并整理为一般式；（2）在题设条件下证明，是减函数，，再证明即得证；（3）时，由说明递减，不等式不可能恒成立，时，由（2）得出时，，的大于1的根记为（是地，），证明时，，时，，由确定的单调性，，时，由完成证明，时，由确定．综合后得出结论．【小问1详解】时，，1n =2111a ==2n a n =2n a n =24a =39a =()()1216n n n n S ++=()()121256n n n n λ+++≤()()()()1211501212566n n n n n n n n λ++-++≤-=()()()32321501212314914966326n n n n n n n n n f n n -++--+===--+()21496f n n n '=--+4n ≤()0f n '>5n =()0f n '<()()4705f f ==()f n 4n =5n =λλn ()f x '(2)f '(2)f ()0f x '<()f x 31()()2ln 222f x f ≤≤+32ln 22<0a ≤()0f x '<()f x 0a >1a =33(2ln 222f =+()0f x '=0x 1a =032a =1a >0312x <<01a <<032x >()f x '()f x 21()ln1x h x x x -=+-1a >0000000021213()lnln ()(112x x f x ax x h x h x x --=+>+=>--1a >033()(2ln 222f x f <<+1a =211()lnln(2)11x f x x x x x -=+=++--，，又，所以切线方程为，即；【小问2详解】，时，是递增函数，因此，，又，所以，在上递减，，因为，所以，从而；【小问3详解】，，当时，，在上减函数，当时，，因此不可能恒成立，时，由得，记，，则有两个实根，一根小于1，一根大于1，大于1的根为，易知它是关于的减函数，注意到在上是增函数，且，即时，，时，，是2211123()[1121(1)(1)(21)(1)(21)x x xf x x x x x x x --'=⋅-+=-+=------2(2)3f '=(2)ln 32f =+2(ln 32)(2)3y x -+=-22ln 3033x y -++=1()(21)(1)f x a x x '=---3[,2]2x ∈2231(21)(1)2312()48y x x x x x =--=-+=--[1,3]y ∈113y ≥103a <≤()0f x '≤()f x 3[,2]233311()()2ln 22ln 22ln 222232f x f a ≤=+≤+⨯=+323e e 2.7 4.0542=>⨯=>32ln 2ln 42=<131()2ln 22222f x ≤+<+=1()(21)(1)f x a x x '=---1x >0a ≤()0f x '<()f x (1,)+∞x →+∞211lnln(2)ln 211x x x -=+→--213()ln 2ln 212x f x ax x -=+>+-0a >()0f x '=212310x x a-+-=21()231g x x x a =-+-1(1)0g a=-<()0g x =0x =a 2(21)(1)231y x x x x =--=-+(1,)+∞0y >01x x <<10(21)(1)x x a <--<0x x >1(21)(1)x x a-->所以时，，递减，时，，递增，所以，时，，此时，记，在上递减，在上递增，且，因此当时，，，当时，，，综上，时，恒成立所以的取值范围是．19. 【解析】【分析】（1）根据定义得出，再根据即可证明；（2）根据等比数列的定义及等比数列的求和公式即可求解①；结合①得出，当时，，所以；当时，由放缩得出，结合得出进而求解．【小问1详解】证明：若，显然．又，所以，，，，所以，．因为，，所以，，所以，所以是递减数列．【小问2详解】①由题意得，01x x <<()0f x '<()f x 0x x >()0f x '>()f x min 0()()f x f x =1a =032x =21()ln1x f x x x -=+-21()ln1x h x x x -=+-()h x 3(1,)23(,)2+∞33(2ln 222h =+1a >032x <00000000212133()ln ln ()2ln 21122x x f x ax x h x h x x --=+>+=>=+--（）01a <<032x >0333()(2ln 22ln 2222f x f a <=+<+1a ≥3()2ln 22f x ≥+a [1,)+∞()0,1n a ∈210n n n a a a +-=-<115261nn i i T -==⋅-∑1n =15521T ==-[]15T =2n ≥35 5.65n T <+=15n T T ≥=()[]5n n g T T ==01x <<()()()10,1f x x x =-∈101a <<()20,1a ∈()30,1a ∈L ()()10,1n n a f a +=∈*N n ∀∈()0,1n a ∈()2f x x x =-+()1n n a f a +=21n n n a a a +=-+210n n n a a a +-=-<1n n a a +>{}n a 22156n n n n n n a a a a a a +=-+++=1第11页又，所以，所以，所以是以为首项，6为公比的等比数列，则．②由①得，所以．当时，，所以；当时，．所以当时，，所以当时，，又，所以，所以，，所以，所以．153a =0n a ≠16n n a a +={}n a 53()()1516161311633n n n n a qS q --===---11135561512611333i i i a S a -==-+⨯---+115261n n i i T -==⋅-∑1n =15521T ==-[]15T =2i ≥111563261266i i i ---<=⋅-⋅2n ≥12111511131535126166656n n i n n i T ---=⎛⎫⎛⎫=<+++⋅⋅⋅+=+- ⎪ ⎪⋅-⎝⎭⎝⎭∑2n ≥35 5.65n T <+=150261i ->⨯-15n T T ≥=*N n ∀∈5 5.6n T ≤<()[]5n n g T T ==()202412024510120ii g T ==⨯=∑。

内江2024-2025学年度（上）高2027届第一次月考数学【理科】试题（创新班）（答案在最后）考试时间：120分钟满分150分一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.已知命题:0p x ∃<，212x x +≤-，则p ⌝是（）A.0x ∀≥，212x x +>-B.0x ∃≥，212x x +≤C.0x ∀<，212x x +>-D.0x ∃<，212x x +≤【答案】C 【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：因为命题:0p x ∃<，212x x +≤-是存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，即0x ∀<，212x x +>-，故选：C2.下列图象中，表示定义域和值域均为[0,1]的函数是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可.【详解】选项A ：定义域为[0,1]，但是值域不是[0,1]故错误；选项B ：定义域不是[0,1]，值域为[0,1]，故错误；选项C ：定义域和值域均为[0,1]，故正确；选项D ：不满足函数的定义，故错误；故选：C.3.单位圆上一点()0,1P 绕坐标原点O 逆时针方向转动2023π3后，到达Q 点，则点Q 的坐标为（）A.,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B.31,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ C.13,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D.13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先用三角函数表示点P 坐标，然后通过旋转可求出点Q 坐标，利用诱导公式计算即可.【详解】单位圆上一点()0,1P ，即ππcos ,sin 22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其绕坐标原点O 逆时针方向转动2023π3后，到达Q 点，则π2023ππ2023πcos ,sin 2323Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又π2023ππππππ3cos cos 674πcos sin 23232332⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，π2023ππππππ1sin sin 674πsin cos 23232332⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以31,22Q ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭.故选：A.4.已知,R a b ∈，则“22a b >”是“33a b >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】分别从充分性和必要性角度去判断即可.【详解】由22a b >得a b >，由33a b >得a b >，当2a =-，1b =时，满足a b >，但不满足a b >；当2a =-，3b =-时，满足a b >，但不满足a b >；故“22a b >”是“33a b >”的既不充分也不必要条件，故选：D 5.已知25a=，则lg 2=（）A.11a + B.1a a - C.1a a + D.11a -【答案】A 【解析】【分析】将指数式两边同时取常用对数，然后利用对数的运算法则计算即可.【详解】由25a=得lg 2lg5a=，所以10lg 2lg 1lg 22a ==-，解得1lg 21a =+，故选：A.6.已知sin 0α>，cos 0α<，则3α的终边在（）A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限【答案】D 【解析】【分析】先通过条件确定α的范围，再求出3α的范围，进而可得角所在象限.【详解】因为sin 0α>，cos 0α<，所以α为第二象限角，即π2ππ2π,Z 2k k k α+<<+∈，所以π2ππ2π,Z 63333k k k α+<<+∈，则3α的终边所在象限为ππ5π3π5π,,,π,,63623⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所在象限，即3α的终边在第一、二、四象限.故选：D .7.已知3a b ⋅=，2a = ，22a b -= ，则a ，b 的夹角为（）A.π3B.π6C.2π3 D.5π6【答案】B 【解析】【分析】由条件结合数量积的运算性质求b ，再由向量夹角公式求a ，b 的夹角.【详解】因为22a b -=，所以224a b -= ，故444a a a b b b ⋅-⋅+⋅=，又3a b ⋅=，2a = ，所以b，所以cos ,2a b a b a b ⋅===⋅，又[],0,πa b ∈ ，所以π6,a b = ，即a ，b 的夹角为π6，故选：B.8.已知函数1e x y +=和ln 1y x =-的图象与直线2y x =-交点的横坐标分别为a 、b ，则a b +=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】作出函数图像，利用反函数的性质判断即可.【详解】设()1ex f x +=，()ln 1g x x =-，()q x x =，()2h x x =-，因为()1ex f x +=与()ln 1g x x =-互为反函数，图像关于()q x x =对称，设它们与()2h x x =-的交点坐标分别为()(),2,,2a a b b --，可知交点坐标也关于直线()q x x =对称，所以2a b =-，即2a b +=.故选：B二、多选题（本大题共3小题，共18分）9.若非空集合M ，N ，P 满足：M N N ⋂=，M P P = ，则（）A.⋃=N P PB.P M ⊆C.N P N=∩ D.()P N M =∅ð【答案】ACD 【解析】【分析】先根据交集、并集运算的结果得到,N M M P ⊆⊆，然后再逐项进行判断.【详解】因为M N N ⋂=，M P P = ，所以,N M M P ⊆⊆，所以N M P ⊆⊆，对于A ：因为N P ⊆，所以⋃=N P P ，故正确；对于B ：因为M P ⊆，所以P M ⊆不一定成立，故错误；对于C ：因为N P ⊆，所以N P N =∩，故正确；对于D ：因为N M ⊆，()P M M =∅ ð，所以()P N M =∅ ð，故正确；故选：ACD.10.已知()()()22,0211,0x a x x f x a x a x ⎧-+-≤⎪=⎨-+->⎪⎩是R 上的增函数，那么实数a 的值可以是（）A.32B.23C.43D.34【答案】AC 【解析】【分析】先分析各段函数在对应区间上单调递增，然后结合分段点处函数值大小关系确定出a 的可取值.【详解】当0x ≤时，()()22f x x a x =-+-，若单调递增，则202a-，解得2a ≤，当0x >时，()()211f x a x a =-+-，若单调递增，则210a ->，解得12a >，又()()20202101a a a -+-⨯≤-⨯+-，解得1a ≥，综上可知，12a ≤≤，可得AC 符合.故选：AC.11.已知函数()()22,R f x x mx m n m n =+-+∈，若非空集合(){}A x f x =≤，()(){}24B x f f x =+≤，且A B =，则下列说法中正确的是（）A.n 的取值与m 有关B.n 为定值C.0m ≤≤D.02m ≤≤【答案】BD 【解析】【分析】令()2f x m +=，从而化(()2)4f f x +£为()4f m £，不妨设()4f m £的解集为[],a b ，可得{}2()2B x a f x b =-＃-|，由A B =≠∅，从而得2b =，且min ()2f x a ³-，化简(){}0A x f x =≤≠∅，解得0m ≥或8m ≤-，又(),a b a b £是方程()4f x =的两个根，利用韦达定理可得2a m =--，则2min8()424m m m f x f m 骣+琪=-=-³--琪桫，进而求得m 的取值范围.【详解】令()2f x m +=，则(()2)4f f x +£可化为()4f m £，不妨设()4f m £的解集为[],a b ，即a b m＃，()2a f x b \£+£，即2()2a f x b -＃-，故{}{}{}(()2)4()22()2B f f x x a f x b x a f x b =+-＃-||，又(){}0A x f x =≤ ，且A B =≠∅，20b ∴-=，且min ()2f x a ³-，2b ∴=，且min ()2f x a ³-，故()(2)4224f b f m m n ==+-+=，解得0n =，故选项A 错误，选项B 正确；()22f x x mx m =+-\，(){}0A x f x =≤≠∅ ，220x mx m +-£\有解，2+80m m \=³Δ，即0m ≥或8m ≤-，(),a b a b £ 是方程()4f x =的两个根，即(),22a a £是方程2240x mx m +--=的两个根，故224a m ×=--，即2a m =--，2min8()424m m mf x f m 骣+琪\=-=-³--琪桫解得：22m--＃，02m \＃，故选项C 错误，选项D 正确.故答案选：BD.【点睛】本题考查了二次不等式与二次函数、二次方程间关系的应用，以及集合间相等的应用，属于难题.三、填空题（本大题共3小题，共15分）12.对任意正实数,x y ，不等式4x y +≥恒成立，则实数m 的取值范围是__________．【答案】(,4]-∞【解析】m≥的最小值即可.【详解】对任意正实数,x y ，不等式4x y +≥m≥恒成立，4≥==即4x y =时取“＝”.所以4m ≤故答案为：(,4]-∞13.在ABC V 中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，平面ABC 外一点P 满足PA PB PC ===锥P ABC -外接球的表面积是_________．【答案】9π【解析】【分析】因为PA PB PC ==，所以P 点在平面ABC 上的射影M 是ABC V 的外心，即为AC 中点，而三棱锥P ABC -的外接球球心O 一定在PM 上，由此计算出球半径后可得表面积．【详解】因为PA PB PC ==，所以P 点在平面ABC 上的射影M 是ABC V 的外心，又90ABC ∠=︒，所以M 是AC 中点，如图，由PM ⊥平面ABC ，AM⊂平面ABC ，得PM MA ⊥，三棱锥P ABC -的外接球球心O 在PM 上，AC ==2PM ===，设PO OA R ==，则由222OA OM AM =+得222(2)R R =-+，32R =，所以外接球表面积为2234492S R πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：9π．14.已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π恰有2025个零点，则ω的一个可能取值是__________．【答案】2024．（答案不唯一）【解析】【分析】由题意可得2πω的范围，进而求出ω的范围，求出其中ω的一个可得值．【详解】令()cos 10(0)f x x ωω=-=>，可得cos 1x ω=，要使函数()f x 在区间[]0,2π恰有2025个零点，即cos 1x ω=有2025个根，因为[0x ∈,2π]，0ω>，所以[0x ω∈,2π]ω，则4048π2π4050πω≤<，可得20242025ω≤<．故答案为：2024．（答案不唯一）四、解答题（本大题共5小题，共77分）15.设不等式13x -≤的解集为A ，不等式103x x -<+的解集为B ，集合{}22C x m x m =-≤≤+.（1）求A B ⋂，R B ð；（2）若A C A ⋃=，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[2,1)A B ⋂=-；(,3][1,)B =-∞-⋃+∞R ð（2）2m ≤【解析】【分析】（1）先化简集合,A B ，再结合集合的交集和补集的运算即可；（2）由A C A ⋃=，得C A ⊆，再结合包含关系列出不等式组，即可解.【小问1详解】由13x -≤，得[2,4]A =-，由103x x -<+，得(3,1)B =-，则[2,1)A B ⋂=-，][()R ,31,B ∞∞=--⋃+ð；【小问2详解】若A C A ⋃=，则C A ⊆，当C =∅时，C A ⊆，此时22m m ->+，解得：0m <；当0m ≥时，C ≠∅，此时2224m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得：2m ≤，则02m ≤≤，综上：2m ≤16.已知函数()()π204f x x ωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=->的周期为π．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间π3π,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）3π7ππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z（2，最小值为1-.【解析】【分析】（1）由周期计算公式求出()f x 然后根据正弦函数单调递减区间可得答案；（2）由题可得π5π20,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，后由正弦函数图象和性质可得答案.【小问1详解】因为函数()()π204f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的周期为π，所以πT =，2π2Tω=，即1ω=，所以()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令ππ3π2π22π242k x k +≤-≤+，k ∈Z ，即3π7πππ88k x k +≤≤+，k ∈Z ，函数()f x 的单调递减区间为3π7ππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【小问2详解】因为π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π5π20,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π2sin 2,142x ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦π24x ⎛⎫⎡-∈- ⎪⎣⎝⎭，()f x在区间π3π,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，最小值为1-.17.已知二次函数()f x 的最小值为9-，且1-是其一个零点，x ∀∈R 都有()()22f x f x -=+．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]1,m -上的最小值；（3）若关于x 的不等式()9f x mx -≤-在区间()1,3上有解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2()45f x x x =--（2）2min 45,(12)()9,(2)m m m f x m ⎧---<≤=⎨->⎩（3）[)0,+∞【解析】【分析】（1）根据二次函数对称性和最小值设顶点式，代入零点即可得到解析式；（2）分12m -<≤和2m >讨论即可；（3）通过分离参数法和基本不等式即可求出m 的范围.【小问1详解】因为对R x ∀∈都有(2)(2)f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线2x =对称，又因为二次函数()f x 的最小值为9-，所以可设二次函数的解析式为2()(2)9(0)f x a x a =-->，又因为1-是其一个零点，所以2(1)(12)90f a -=---=，解得1a =，所以()f x 的解析式为22()(2)945f x x x x =--=--.【小问2详解】由（1）可知，函数()f x 在(,2)-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以，当12m -<≤时，2min ()()45f x f m m m ==--，当2m >时，min ()(2)9f x f ==-，2min 45,(12)()9,(2)m m m f x m ⎧---<≤=⎨->⎩.【小问3详解】因为关于x 的不等式()9f x mx -≤-在区间(1,3)上有解，即不等式2(4)4m x x +≥+在(1,3)上有解，所以44m x x+≥+，记4()(13)g x x x x =+<<，因为44x x +≥=，当且仅当2x =时，等号成立，所以()g x 的最小值为4，所以44m +≥，即0m ≥，故存在实数m 符合题意，所求实数m 的取值范围为[)0,+∞.18.已知在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()cos 2cos b C a c B =-.（1）求B ；（2）如图，若a b =，在ABC V 外取点D .且3AD =，1CD =.求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】（1）3π（2）23【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可；（2）根据余弦定理、三角形面积公式，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可.【小问1详解】∵()cos 2cos b C a c B =-，由正弦定理得()sin cos 2sin sin cos B C A C B =-，∴2sin cos sin cos cos sin A B B C B C =+，∴()2sin cos sin A B B C =+.根据三角形内角和定理A B C π++=得()2sin cos sin sin A B A A π=-=，∵0A π<<，∴sin 0A ≠，∴1cos 2B =，∵0B π<<，∴3B π=.【小问2详解】∵3B π=，且a b =，∴ABC V 为等边三角形.设ADC α∠=，则在ACD 中，由余弦定理得2223)1231cos 43b αα=+-⋅=-.∴213sin 3cos 232ABC S b πα=⋅⋅=△，1331sin sin 22ADC S αα=⋅=△.∴四边形ABCD的面积33πcos 2223S ααα⎛⎫=+=-≤ ⎪⎝⎭，∴当32ππα-=，即56πα=时，max S =.∴四边形ABCD的面积的最大值为19.已知函数()4lg 4x f x x -=+，()1212x x g x -=+，设()()()h x f x g x =+．（1）求()()22h h +-的值；（2）是否存在这样的负实数k ，使()()22cos cos 0h k h k θθ-+-≥对一切R θ∈恒成立，若存在，试求出k 的取值集合；若不存在，说明理由．【答案】（1）0（2）(]2,1--【解析】【分析】（1）直接代值计算即可；（2）首先确定函数()h x 为奇函数，并观察出函数()h x 为单调减函数，然后利用单调性和奇偶性去掉""h ，将恒成立问题转化为最值问题求解即可.【小问1详解】由已知()412lg 412xxx x h x +--+=+，所以()()222242124212lg lg 04212421222h h ----+-+=++-++-=++；【小问2详解】()412lg 412xx x x h x +--+=+，其定义域为()4,4-，又()()412412lg lg 412412x x x x h x x x x x h x ----++-=+--+++++44122lg 04412112x x x x x x x x -+-⎛⎫=⨯= ⎪+-+-+⎭++⎝，所以函数()h x 为奇函数，又()8lg 114221x h x x ⎛⎫-+- ⎪++⎝=⎭+，因为,8lg 11242xy y x ⎛⎝==⎫-+ ⎪++⎭均为定义域上的减函数，所以函数()h x 在()4,4-上单调递减，因为()()22cos cos 0h k h k θθ-+-≥恒成立，即()()()2222cos cos cos h k h k h k θθθ=--≥--，所以2222cos cos cos 4cos 4k k k k k θθθθ⎧-≤-⎪->-⎪⎨-<⎪⎪<⎩即2222cos cos cos 4cos 4k k k k k θθθθ⎧-≤-⎪>-⎪⎨<+⎪⎪<⎩对R θ∈恒成立，所以222340k k k k k ⎧-≤-⎪>-⎪⎨<⎪⎪<⎩，即21k -<≤-，故存在这样的负实数k ，使()()22cos cos 0h k h k θθ-+-≥对一切R θ∈恒成立，且k 的取值集合为(]2,1--.【点睛】关键点点睛：针对一个复杂函数的不等式恒成立问题，要有意识有目的的去求函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质来解决不等式问题.。

内江市高中2025届第一次模拟考试题语文本试卷共150分，考试时间150分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写在答题卡上。

2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．答主观题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将答题卡交回。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1～5题。

材料一：全球化浪潮带来的前所未有的冲击，迫使传统文化在现代化进程中探索新的表达方式，从而焕发新的生命力。

然而，伴随这一过程的却是复杂的矛盾和挑战。

文化传承与现代化之间的三重悖论，如同双刃剑，一方面推动文化传播，另一方面却带来文化符号化、同质化和商业化的困境，促使人们思考如何在现代化背景下实现文化的可持续传承与创新。

文化符号化是指将复杂的文化元素简化为符号或视觉表达，以便更有效地传播。

然而，这种符号化的过程虽拓宽了文化传播的广度，却导致了内容的表层化。

文化符号化虽能跨越语言和文化的障碍，但简化的过程削弱了文化深度，将丰富的文化内涵简化为单一的视觉符号，容易造成文化传承的断裂与异化。

符号化带来的浅层化的风险，尤其在以视觉为主的媒体中表现明显，如电影、广告和电子游戏。

这反映了现代文化消费的趋势，即文化产品被视为消费品，而非文化价值的载体。

在消费主义驱动下，符号化导致受众更注重视觉刺激，忽略了符号背后的文化内涵。

长期来看，文化产品的传播可能会因此面临内容贫乏、文化价值流失的危机。

随着文化符号在全球市场中的传播，原有的文化意义逐渐淡化，最终导致文化的异化和价值的丧失。

文化同质化危机同样不可忽视。

在全球化时代，文化产品进入国际市场时，常需进行文化适应性调整，以迎合不同地区的文化偏好与审美标准。

这一调整的动力来自两方面，既包含市场需求的多样性，也源自文化产品在全球市场中立足的必要性。