高等数学测试及答案(第三章)

第三章 微分中值定理及导数的应用一、选择题1. 若30sin(6)()lim 0x x xf x x →+= ，则206()lim x f x x→+为（ ） A. 0 B. 6 C. 36 D. ∞2. 设在][1,0上，0)(>''x f ，则下列不等式成立的是（ ）A . )0()0()1()1(f f f f '>->' B. )0()1()0()1(f f f f ->'>'C . )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->'3. 设2()()lim 1()x a f x f a x a →-=--，则在x a =处（ ） A. ()f x 的导数存在 B. ()f x 取得极大值C . ()f x 取得极小值 D. ()f x 的导数不存在4． 设k 为任意实数，则方程33x x k -+在[1,1]-上( )A. 一定没有实根B. 最多只有一个实根C. 最多有两个互异实根D. 最多有三个互异实根5. 设(),()f x g x 在0x 的某个去心邻域内可导，()0g x '≠，且适合0lim ()0x x f x →=，0lim ()0x x g x →=,则0()lim ()x x f x g x λ→=是0'()lim '()x x f x g x λ→=的： A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件。

6. 设()f x 在区间(a,b)内二阶可导，0(,)x a b ∈，且00()0,()=0f x f x '''≠，则()f x （ ）A. 在0x x =处不取极值， 但00(,())x f x 是其图形的拐点B. 在0x x =处不取极值，但00(,())x f x 可能是其图形的拐点C. 在0x x =处可能取极值， 00(,())x f x 也可能是其图形的拐点D. 在0x x =处不取极值00(,())x f x 也不是其图形的拐点。

第三章 微分中值定理与导数的应用一、要求：1、罗尔定理，拉格朗日定理应用；2、洛必达法则；3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘；4、简单不等式证明；5、最值在实际问题中的应用。

二、练习1. 在区间 [ 1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 ().A.1 B.f ( x ) | x | C. f ( x) 1 x 2D. f ( x ) x22 x 1.f ( x)x 22. 函数 f ( x) arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的值是 ().A.4B.41C. 1D. 4.11 3.4设函数 f ( x ) ( x 1)( x2)( x 3)，则方程 f ( x )0 有个零点，这些零点所在的范围是；.3. 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3)，则方程 f ( x )0 有个零点，这些零点所在的范围是.4. 函数 f ( x ) ln xx2在(0,) 内的零点的个数为.e5. 曲线6. 函数yxe x 的拐点 ，凹区间，凸区间.yln x1x 2的单调区间.7. 曲线 f ( x) e x的渐近线为.x 18. 计算：5 x 4x11(12（2） lim (cos x )（1） limx 1xx) （3） limtan 2 xx1xe 1x 0arctan x x(1 x 2 )1 / 31 ；1（ 4） lim ；（5） lim（6） lim (cscx ) ；x 0x ln(1 2 x 2 )xcosx1x 0x（ 7） lim x 3 (sin 11 sin2 ) ；（ ） lim (tanx )2 x；（ 9） limx；exx2x8x ln xx29. 证明 2 arctanxarcsin2 xx1 .21 x10. 证明方程x5x10 在区间( 1, 0)内有且只有一个实根.11. 证明多项式f x3 3 x a 在0,1上不可能有两个零点 .x12. 证明：当0x时， x sin x 22x13.证明：当x0时，1x2arctan x xx14. 设 f x32bx在 x 1 处有极值-2，试确定系数 a , b ，并求x axy f x 的所有极值点与拐点.15. 求内接于椭圆x2y2221 而面积最大的矩形的各边之长.a b16.由直线 y0,x8及抛物线 y x2围成一个曲边三角形 ,在曲边 y x2上求一点 , 使曲线在该点处的切线与直线y0 及 x 8 所围成的三角形面积最大.17.描绘 (1)y 3 x2，(2) y21的图形 .2( x1) ( x 1) 2( x 1)18.要做一个容积为 2 的密闭圆柱形罐头筒，问半径和筒高如何确定才能使所用材料最省？19．要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为500 立方米，底面为正方形。

⾼等数学李伟版课后习题答案第三章习题3—1（A ）1．判断下列叙述是否正确，并说明理由：（1）函数的极值与最值是不同的，最值⼀定是极值，但极值未必是最值；（2）函数的图形在极值点处⼀定存在着⽔平的切线；（3）连续函数的零点定理与罗尔定理都可以⽤来判断函数是否存在零点，⼆者没有差别；（4）虽然拉格朗⽇中值公式是⼀个等式，但将()f ξ'进⾏放⼤或缩⼩就可以⽤拉格朗⽇中值公式证明不等式，不过这类不等式中⼀定要含（或隐含）有某函数的两个值的差．答：（1）不正确．最值可以在区间端点取得，但是由于在区间端点处不定义极值，因此最值不⼀定是极值；⽽极值未必是最值这是显然的．（2）不正确．例如32x y =在0=x 点处取极值，但是曲线在点)00(，却没有⽔平切线．（3）不正确．前者是判断)(x f 是否有零点的，后者是判断)(x f '是否有零点的．（4）正确．⼀类是明显含有)()(a f b f -的；另⼀类是暗含着)()(0x f x f -的． 2．验证函数2)1(e x y -=在区间]20[，上满⾜罗尔定理，并求出定理中的ξ．解：显然2)1(e x y -=在闭区间]20[，上连续，在开区间)20(，内可导，且e )2()0(==y y ，于是函数2)1(ex y -=在区间]20[，上满⾜罗尔定理的条件，2)1(e )1(2)(x x x y ---='，由0)(='ξy ，有0e )1(22)1(=---ξξ，得1=ξ，∈ξ)20(，，所以定理的结论也成⽴．3．验证函数1232-+=x x y 在区间]11[，-上满⾜拉格朗⽇中值定理，并求出公式中的ξ．解：显然1232-+=x x y 在闭区间]11[，-连续，在开区间)11(，-内可导，于是函数1232-+=x x y 在区间]11[，-上满⾜拉格朗⽇中值定理的条件，26)(+='x x y ，2)1(1)1()1(=----y y ，由)()1(1)1()1(ξy y y '=----，有226=+ξ，得0=ξ，∈ξ)11(，-，所以定理的结论也成⽴．4．对函数x x x f cos )(+=、x x g cos )(=在区间]20[π，上验证柯西中值定理的正确性，并求出定理中的ξ．解：显然函数x x x f cos )(+=、x x g cos )(=在闭区间]20[π，上连续，在开区间)20(π，内可导，且x x f sin 1)(-='，x x g sin )(-='，在区间)20(π，内0)(≠'x g ，于是函数x x x f cos )(+=、x x g cos )(=在区间]20[π，上满⾜柯西定理的条件，⼜21)0()2/()0()2/(πππ-=--g g f f ，由)()()0()2/()0()2/(ξξππg f g g f f ''=--，有ξξπsin sin 121--=-，即πξ2sin =，由于∈ξ)20(π，，得πξ2arcsin=，所以定理的结论也成⽴．5．在)(∞+-∞，内证明x x cot arc arctan +恒为常数，并验证2cot arc arctan π≡+x x ．证明：设x x x f cot arc arctan )(+=，显然)(x f 在)(∞+-∞，内可导，且-+='211)(x x f 0112≡+x，由拉格朗⽇定理的推论，得在)(∞+-∞，内x x cot arc arctan +恒为常数，设C x f ≡)(，⽤0=x 代⼊，得2π=C ，所以2cot arc arctan π≡+x x ．6．不求出函数2()(4)f x x x =-的导数，说明0)(='x f 有⼏个实根，并指出所在区间．解：显然2()(4)f x x x =-有三个零点20±==x x ，，⽤这三点作两个区间]20[]02[，、，-，在闭区间]02[，-上)(x f 连续，在开区间)02(，-内)(x f 可导，⼜0)0()2(==-f f 于是)(x f 在]02[，-满⾜罗尔定理，所以⾄少有∈1ξ)02(，-，使得0)(1='ξf ，同理⾄少有∈2ξ)20(，，使得0)(2='ξf ，所以0)(='x f ⾄少有两个实根．⼜因为)(x f 是三次多项式，有)(x f '时⼆次多项式，于是0)(='x f 是⼆次代数⽅程，由代数基本定理，得0)(='x f ⾄多有两个实根．综上，0)(='x f 恰有两个实根，且分别位于区间)02(，-与)20(，内．7．证明下列不等式：（1）对任何实数b a ，，证明cos cos a b a b -≤-；（2）当0>x 时，x x xx<+<+)1ln(1．证明：（1）当b a =时，cos cos a b a b -≤-显然成⽴．当b a <时，取函数x x f cos )(=，显然)(x f 在闭区间][b a ，上连续，在开间)(b a ，内可导，由拉格朗⽇定理，有∈ξ)(b a ，，使得))(()()(b a f b f a f -'=-ξ，即)(sin cos cos b a b a -?-=-ξ，所以)()(sin cos cos b a b a b a -≤-?-=-ξ．当b a >时，只要将上⾯的区间][b a ，换为][a b ，，不等式依然成⽴．所以，对任何实数b a ，，都有cos cos a b a b -≤-．（2）取函数)1ln()(t t f +=，当0>x 时，函数)1ln()(t t f +=在闭区间]0[x ，上连续，在开区间)0(x ，内可导，根据拉格朗⽇定理，有∈ξ)0(x ，，使得ξξ+='1)(xf ．因为x <<ξ0，则x xx x x =+<+<+0111ξ，所以x x x x <+<+)1ln(1． 8．若函数)(x f 在区间),(b a 具有⼆阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中21x x a <<b x <<3，证明在区间)(3,1x x 内⾄少有⼀点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：根据已知，函数)(x f 在区间][21x x ，及][32x x ，上满⾜罗尔定理，于是有∈1ξ)(21x x ，，∈2ξ)(32x x ，（其中21ξξ<），所得0)(1='ξf ，0)(2='ξf ．再根据已知及)()(21ξξf f '='，函数)(x f '在区间][21ξξ，上满⾜罗尔定理，所以有∈ξ)(21ξξ，?)(3,1x x ，所得0)(=''ξf ，即在区间)(3,1x x 内⾄少有⼀点ξ，使得0)(=''ξf ．习题3—1（B ）1．在2004年北京国际马拉松⽐赛中，我国运动员以2⼩时19分26秒的成绩夺得了⼥⼦组冠军．试⽤微分中值定理说明她在⽐赛中⾄少有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h （马拉松⽐赛距离全长为42.195km ）．解：设该运动员在时刻t 时跑了)(t s s =（km ），此刻才速度为)()(t s t v v '==（km/h ），为解决问题的需要，假定)(t s 有连续导数．设起跑时0=t ，到达终点时0t t =，则3238888889.20≈t ，对函数)(t s 在区间]0[0t ，上⽤拉格朗⽇定理，有00t <<ξ，所得)()(0)0()(00ξξv s t s t s ='=--，⽽15706.183238888889.2195.420)0()(00≈=--t s t s km/h ，所以157.1815706.18)(>≈ξv ．对)(t v 在区间]0[ξ，及][0t ，ξ上分别使⽤连续函数的介值定理（注意，0)0(=v0)(0=t v ，则数值18. 157分别介于两个区间端点处函数值之间），于是有)0(1ξξ，∈，)0(2，ξξ∈，使得157.18)(1=ξv ，157.18)(2=ξv，这表明该运动员在⽐赛中⾄少有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h ．2．若函数)(x f 在闭区间][b a ，上连续，在开区间），（b a 内可导，且0)(>'x f ，证明⽅程0)(=x f 在开区间），（b a 内⾄多有⼀个实根．证明：采⽤反证法，若⽅程0)(=x f 在开区间），（b a 有两个（或两个以上）不同的实根21x x <，即0)()(21==x f x f ，根据已知函数)(x f 在][21x x ，上满⾜罗尔定理，于是有∈ξ)()(21b a x x ，，?，使得0)(='ξf ，与在开区间），（b a 内0)(>'x f ⽭盾，所以⽅程0)(=x f 在开区间），（b a 内⾄多有⼀个实根．（注：本题结论也适⽤于⽆穷区间） 3．证明⽅程015=-+x x 只有⼀个正根．证明：设1)(4-+=x x x f （)(∞+-∞∈，x ），则014)(4>+='x x f ，根据上题结果，⽅程015=-+x x 在)(∞+-∞，内⾄多有⼀个实根．取闭区间]10[，，函数1)(4-+=x x x f 在]10[，上连续，且01)0(<-=f ，01)1(>=f ，由零点定理，有)10(，∈ξ，使得0)(=ξf ，从⽽⽅程015=-+x x 在)0(∞+，内⾄少有⼀个实根．综上，⽅程015=-+x x 只有⼀个正根，且位于区间)10(，内． 4．若在),(+∞-∞内恒有k x f =')(，证明b kx x f +=)(．证明：（⽅法1）设函数kx x f x F -=)()(，则0)()(≡-'='k x f x F ，根据拉格朗⽇定理的推论)(x F 恒为常数，设C kx x f x F ≡-=)()(，⽤0=x 代⼊，得)0(f C =，记b f =)0(，则b C kx x f x F ==-=)()(，所以b kx x f +=)(．（⽅法2）记b f =)0(，∈?x ),(+∞-∞，若0=x ，则满⾜b kx x f +=)(；若0≠x ，对函数)(t f 以x t t ==，0为端点的闭区间上⽤拉格朗⽇定理，则有ξ介于0与x 之间，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即kx b x f =-)(，所以b kx x f +=)(．5．若函数)(x f 在区间)0(∞+，可导，且满⾜0)()(2≡-'x f x f x ，1)1(=f ，证明x x f =)(.证明：设函数xx f x F )()(=（∈x )0(∞+，），则xx x f x f x x x x f x x f x F 2)()(22/)()()(-'=-'='，由0)()(2≡-'x f x f x ，得0)(≡'x F ，根据拉格朗⽇定理的推论)(x F 恒为常数，设C xx f x F ==)()(，⽤1=x 代⼊，且由1)1(=f ，得1=C ，所以1)()(==xx f x F ，即x x f =)(．6．证明下列不等式（1）当0>x 时，证明x x+>1e ；（2）对任何实数x ，证明x x arctan ≥．证明：（1）取函数t t f e )(=（]0[x t ，∈）显然函数)(t f 在区间]0[x ，上满⾜拉格朗⽇定理，则有∈ξ)0(x ，，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即x xξe 1e =-，所以 x x x+>+=1e 1e ξ．（2）当0=x 时，显然x x arctan ≥．当0≠x 时，取函数t t f arctan )(=，对)(t f 在以x t t ==，0为端点的闭区间上⽤拉格朗⽇定理，则有ξ介于0与x 之间，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即21arct an ξ+=xx ，所以x x x <+=21arctan ξ．综上，对任何实数x ，都有x x arctan ≥．7．若函数)(x f 在闭区间[1-，1]上连续，在开区间（1-，1）内可导，M f =)0(（其中0>M ），且M x f <')(．在闭区间[1-，1]上证明M x f 2)(<．证明：对∈?x [1-，1]，当0=x 时，M M f 2)0(<=，．不等式成⽴．当0≠x 时，根据已知，函数)(t f 在以x t t ==，0为端点的区间上满⾜拉格朗⽇定理，则有ξ介于0与x 之间，使得)0)(()0()(-'=-x f fx f ξ，即x f M x f )()(ξ'=-，所以，M x f x f +'=)()(ξ，从⽽M M f M x f M x f x f 2)()()()(<+'≤+'≤+'=ξξξ．综上，在闭区间[1-，1]上恒有M x f 2)(<．8．若函数)(x f 在闭区间]0[a ，上连续，在开区间)0(a ，内可导，且0)(=a f ，证明在开区间)0(a ，内⾄少存在⼀点ξ，使得0)()(='+ξξξf f ．证明：设函数)()(x xf x F =（∈x ]0[a ，），则0)(0)0(==a F F ，，再根据已知，函数)(x F 在区间],0[a 满⾜罗尔定理，则有∈ξ)0(a ，，使得0)(='ξf ．⽽)()()(ξξξξf f f '+='，于是0)()(='+ξξξf f ．所以，在开区间)0(a ，内⾄少存在⼀点ξ，使得0)()(='+ξξξf f ．习题3—2（A ）1．判断下列叙述是否正确？并说明理由（1）洛必达法则是利⽤函数的柯西中值定理得到的，因此不能利⽤洛必达法则直接求数列极限；（2）凡属“00”，“∞∞”型不定式，都可以⽤洛必达法则来求其的极限值；（3）型如””，“”，“”，“”，““0100∞∞-∞∞?∞型的不定式，要想⽤洛必达法则，需先通过变形．⽐如“0?∞”型要变型成为“00”，“∞∞”型，”，”，““00∞-∞””，““01∞∞型要先通过变型，转化为“0?∞”型的不定式，然后再化为基本类型.答：（1）正确．因为数列是离散型变量，对它是不能求导的，要想对数列的“不定式”极限使⽤洛必达法则，⾸先要根据“海涅定理”将数列极限转换为普通函数极限，然后再使⽤洛必达法则．（2）不正确．如0sin 1sinlim 20=→xx x x （00型）、1cos sin lim -=-+∞→x x x x x （∞∞型）、11lim 2=++∞→x x x （∞∞型）都不能⽤洛⽐达法则求得极限值．（3）正确．可参见本节3.其他类型的不定式极限的求法，但是“∞-∞”型通常是直接化为“00”，“∞∞”型． 2．⽤洛必达法则求下列极限：（1）x x x --→e 1ln lim e ；（2）11lim 1--→n m x x x （0≠mn ）；（3）x x x 5tan 3sin limπ→；（4）2e e cos 1lim 0-+--→x x x x；（5）1sec tan 2lim0-→x x x x ；（6）xxx 3tan tan lim 2/π→；（7）x x x 2cot lim 0→；（8）x x x cot arc lim +∞→；（9）)sin 11(lim 0x x x -→；（10）111lim()ln 1x x x →--；（11）xx x tan 0lim +→；（12）)1ln(1)(lim x x x ++∞→；（13）21)(cos lim x x x →；（14）nn n ln lim∞→；解：（1）e11/1lim e 1ln lime e -=-=--→→x x x x x ．（2）==----→→1111lim 11lim n m x nm x nx mx x x nm．（3）=-?-==→→22)1(535sec 53cos 3lim 5tan 3sin limx x x x x x ππ53-．（4）=+=-=-+--→-→-→x x x x x x x x x x x x e e cos lim e e sin lim 2e e cos 1lim00021．（5）===-=-→→→→xxx x x x x x x x x x x x tan 4lim tan sec 4lim 1sec 2lim 1sec tan 2lim002004． (6) =---=-=?=→→→→x xx x xx x x x x x x x x sin 3sin 3lim cos 3cos lim )cos 3cos 3sin sin (lim 3tan tan lim2/2/2/2/ππππ3．（7）===→→→x x x x x x x x 2sec 21lim 2tan lim 2cot lim 200021．（8）=+=-+-==+∞→+∞→+∞→+∞→22221lim /1)1/(1lim 1/cot arc lim cot arc lim xx x x x x x x x x x x 1．（9）=-=-=-=-=-→→→→→2sin lim 21cos lim sin lim sin sin lim )sin 11( lim 002000xx x x x x x x x x x x x x x x x 0．（10）xx x x x x x x x x x x x /)1(ln /11lim ln )1(ln 1lim )11ln 1(lim 111-+-=---=--→→→=+=-+-=→→2ln 1lim 1ln 1lim11x x x x x x x 21．（11）设xxy tan =，则x x y ln tan ln =，因为0lim /1/1lim /1ln lim ln lim ln tan lim ln lim 0200=-=-====++++++→→→→→→x xxx x x x x x y x x x x x x ，所以， ==+→0tan 0e lim xx x 1．（12）设)1ln(1)(x x y +=，则)1ln(ln 21)1ln(ln ln x xx x y +=+=，因为 21)11(lim 21)1/(1/1lim 21)1ln(ln lim 21ln lim =+=+=+= +∞→+∞→+∞→+∞→x x x x x y x x x x ，所以 ==++∞→21)1ln(1e )(lim x x x e ．（13）设21)(cos x x y =，则2cos ln ln x xy =，因为 21cos 2sin lim cos ln lim ln lim 0200-=-==→→→x x x x x y x x x ，所以==-→2 110e )(cos lim 2x x x e1．（14）根据海涅定理，====+∞→+∞→+∞→∞→xxx xx nn x x x n 2lim2/1/1limln limln lim0．3．验证极限xx xx x cos 2sin 2lim -+∞→存在，并说明不能⽤洛必达法则求得．解：=-+=-+=-+∞→∞→0102/)cos 2(1/)(sin 2lim cos 2sin 2limx x x x x x x x x x 2．因为极限xxx x x x x x sin 21cos 2lim )cos 2()sin 2(lim++='-'+∞→∞→不存在，因为此极限不能⽤洛必达法则求得．4．验证极限x x x x sin )/1sin(lim 20→存在，并说明不能⽤洛必达法则求得．解：=?=?=→→→011sin lim sin lim sin )/1sin(lim0020xx x x x x x x x x 0．因为极限xx x x x x x x x cos )/1sin()/1sin(2lim)(sin ])/1sin([lim 020-=''→→不存在，因为此极限不能⽤洛必达法则求得．习题3—2（B ）1．⽤洛必达法则求下列极限：（1）311lnarctan 2limx x xx x -+-→；（2）xx x x 30sin arcsin lim -→（3）)tan 11(lim 220xx x -→；（4）]e )11[(lim -+∞→xx x x ； (5) 260)sin (lim x x xx →；（6）n n nn b a )2(lim +∞→（00>>b a ，）．解：（1）原式30)1ln()1ln(arctan 2limx x x x x -++-=→=--=--+-+=→→)1(34lim 3111112lim 40220x x x x x x x 34-．（2）原式2220220301311lim 31/11lim arcsin lim xx x x x x x x x x x ---=--=-=→→→=-=--=→→22022032/lim 311lim xx x x x x 61-．（3）原式30022220tan lim tan lim tan tan lim xxx x x x x x x x x x x -?+=-=→→→ ==-=-=→→→22022030tan lim 3231sec lim 2tan lim 2x x xx x x x x x x 32．（4）令t x 1=，则原式21010)1ln()1()1(lim e )1(lim tt t t t t t t t tt ++-+=-+→→ =+-=-+-=++-=→→→t t t t t t t t t t t )1ln(lim 2e 21)1ln(1lim e )1ln()1(lim e 002 02 e -．（5）令6)sin (x x x y =，则2sin ln 6ln x x xy =，因为 30200sin cos lim 3)sin cos 2sin /6(lim ln lim xxx x x x x x x x x y x x x -=-?=→→→ 13sin lim 320-=-=→x x x x ，所以==-→160e )sin (lim x x xx e 1．（6）令=n x nn nb a )2(+，则]2ln )[ln(ln -+=n n n b a n x ，再令x t 1=，因为 tb a b a x x t t t xx x n n 2ln )ln(lim ]2ln )[ln(lim ln lim 011-+=-+=→+∞→∞→ ab b a ba b b a a t t t t t ln 2ln ln ln ln lim 0=+=++=→，所以==+∞→abnn nn b a ln e )2(lim ab ．2．当0→x 时，若)(e )(2c bx ax x f x ++-=是⽐2x ⾼阶的⽆穷⼩，求常数c b a 、、．解：根据已知，有0)(e lim220=++-→x c bx ax x x ，由分母极限为零，则有分⼦极限也为零，于是01)]([e lim 2x =-=++-→c c bx ax x ，得1=c ，此时02)2(e lim )(e lim 0220=+-=++-→→x b ax x c bx ax x x x x ，再由分⼦极限为零，同样得1=b ，进⽽022122e lim 2)12(e lim )(e lim 00220=-=-=+-=++-→→→a a x ax x c bx ax x x x x x x ，得21=a ，所以1121===c b a ，，时，当0→x 时，)(e )(2c bx ax x f x ++-=是⽐2x ⾼阶的⽆穷⼩．3.若函数)(x f 有⼆阶导数，且2)0(,1)0(,0)0(=''='=f f f ，求极限2)(limxxx f x -→．解：1)0(210)0()(lim 2121)(lim )(lim002=''=-'-'=-'=-→→→f x f x f x x f x x x f x x x ．（注：根据题⽬所给条件，不能保证)(x f ''连续，所以只能⽤⼀次洛⽐达法则，再⽤⼆阶导数的分析定义）习题3—3（A ）1．判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）只要函数在点0x 有n 阶导数，就⼀定能写出该函数的泰勒多项式．⼀个函数的泰勒多项式永远都不会与这个函数恒等，⼆者相差⼀个不恒为零的余项；（2）⼀个函数在某点附近展开带有拉格朗⽇余项的n 阶泰勒公式是它的n 次泰勒多项式加上与该函数的n 阶导数有关的所谓拉格朗⽇型的余项；（3）在应⽤泰勒公式时，⼀般⽤带拉格朗⽇型余项的泰勒公式⽐较⽅便．答：（1）前者正确，其根据是泰勒多项式的定义；后者不正确．当)(x f 本⾝是⼀个n 次多项式时，有0)(≡x R n ，这时函数的泰勒多项式恒等于这个函数．（2）不正确．拉格朗⽇型的余项与函数)(x f 的1+n 阶导数有关．（3）不正确．利⽤泰勒公式求极限时就要⽤带有⽪亚诺余项的泰勒公式，⼀般在对余项进⾏定量分析时使⽤带拉格朗⽇型余项的泰勒公式，在对余项进⾏定性分析时使⽤带⽪亚诺型余项的泰勒公式．2．写出函数x x f arctan )(=的带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式．解：因为211)(x x f +='，)1(2)(2x x x f +-=''，322)1(62)(x x x f ++-='''，于是 2)0(0)0(1)0(0)0(-='''=''='=f f f f ，，，，代⼊到)(!3)0(!2)0()0()0()(332x o x f x f x f f x f +'''+'+'+=中，得 )(3arctan 33x o x x x +-=． 3．按1-x 的乘幂形式改写多项式1)(234++++=x x x x x f ．解：因为1234)(23+++='x x x x f ，2612)(2++=''x x x f ，624)(+='''x x f ，24)()4(=x f ，更⾼阶导数都为零，于是，，，20)1(10)1(5)1(=''='=f f f 30)1(='''f ，24)0()4(=f ，将其带⼊到)()1(!4)1()1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(44)4(32x R x f x f x f x f f x f +-+-'''+-'+-'+=中，得 432)1()1(5)1(10)1(105)(-+-+-+-+=x x x x x f（其中5)5(4)1(!5)()(-=x f x R ξ恒为零）． 4．将函数1)(+=x xx f 在1x =点展开为带有佩亚诺型余项的三阶泰勒公式．解：因为111)(+-=x x f ，则2)1(1)(+='x x f ，3)1(2)(+-=''x x f ，4)1(6)(+='''x x f ，于是83)1(41)0(41)1(21)1(='''-=''='=f f f f ，，，，将其带⼊到 ))1(()1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(332-+-'''+-'+-'+=x o x f x f x f f x f 中，得))1((16)1(8)1(41211332-+-+---+=+x o x x x x x ． 5．写出函数xx x f e )(=的带有拉格朗⽇型余项的n 阶麦克劳林公式．解：因为)(e )()(k x x f x k +=（1321+=n n k ，，，，，）（参见习题2.5（B ）3），于是，k fk =)0()(（n k ，，，，210=），=+=++1)1()!1()()(n n n x n x f x R θ1)!1(e )1(++++n x x n x n θθ，将其带⼊到)(!)0(!2)0()0()0()()(2x R x n f x f x f f x f n nn +++'+'+= ，得 132)!1(e )1()!1(!2e +++++-++++=n x n xx n x n n x x x x x θθ )10(<<θ．6．将函数xx f 1)(=按(1)x +的乘幂展开为带有拉格朗⽇型余项的n 阶泰勒公式．解：因为1)(!)1()(+-=k k k xk x f，于是!)1()(k f k -=-（13210+=n n k ，，，，，，）， 1211211)1()1()1()1()!1()!1()1()1()!1()()(+++++++++-=+++-=++=n n n n n n n n n x x n n x n f x R ξξξ，将其代⼊到中)()1(!)1()1(!2)1()1)(1()1()()(2x R x n f x f x f f x f n n n ++-+++-'++-'+-= ，得2112)1()1()1()1()1(11++++-++--+-+--=n n n nx x x x x ξ（ξ介于1-与x 之间）．习题3—3（B ）1．为了修建跨越沙漠的⾼速公路，测量员测量海拔⾼度差时，必须考虑地球是⼀个球体⽽表⾯不是⽔平，从⽽对测量的结果加以修正．（1）如果R 表⽰地球的半径，L 是⾼速公路的长度．证明修正量为R RLR C -=sec ． (2)利⽤泰勒公式证明3422452R L R L C +≈．（3）当⾼速公路长100公⾥时，⽐较（1）和（2）中两个修正量（地球半径取6370公⾥）．证明：（1）由αR L =，有R L =α，⼜在直⾓三⾓形ODB 中，CR R+=αcos ，于是R C R L+==1s e cs e c α，由此得R RLR C -=sec ．（2）先将x x f sec )(=展开为4阶麦克劳林公式，为此求得x x x f tan sec )(='，x x x x f 32s e c t a n s e c )(+=''，x x x x x f tan sec 5tan sec )(33+='''，x x x x x x f5234)4(s e c 5t a n s e c 18tan sec )(++=，，，，，，5)0(0)0(1)0(0)0(1)0()4(=='''=''='=f f f f f 于是 )(245211sec 442x R x x x +++=；当1<2245211sec x x x ++≈，取R L x =，得442224521sec RL R L R L ++≈，于是≈-=R R L R C sec 3422452R L R L +．（3）按公式R RLR C -=sec计算，得修正量为785010135.0)1(≈C ，按公式3422452RL R L C +≈计算，得修正量为785009957.0)2(≈C ，它们相差⼤约为000000178.0)2()1(≈-C C ．2．写出函数212e)(x x f -=的带佩亚诺型余项的n 2阶麦克劳林公式．解：由)(!!3!21e 32nn tt o n t t t t ++++++= ，令22x t -=，得 )]2(!2)1(!62!42!221[e eee223624222122n n n nn x x x o n x x x x +?-++?-?+?-==--)(]!)!2()1(!!6!!4!!21[e 22642n n n x o n x x x x +-++-+-= ，按规律，由于nx2项的后⼀项为22+n x，所以余项也可以⽤)(12+n xo ．3．写出函数x x f 2sin )(=的带⽪亚诺型余项的m 2阶麦克劳林公式．解：x x 2cos 2121sin 2-=)2()!2()2()1(!6)2(!4)2(!2)2(1[2121222642m m mn x o m x x x x +-++-+--=)()!2(2)1(4523122121642m m m m x o x m x x x +-+-+-=-- ，同上⼀题，余项也可以⽤)(12+m x o ．（注意：像2、3题⽤变量代换写泰勒公式的⽅法只使⽤于带有佩亚诺型余项的泰勒公式，不适⽤带有拉格朗⽇型余项的泰勒公式，否则得到的余项不再是拉格朗⽇型余项） 4．应⽤三阶泰勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差：（1）330；（2）18sin ．解：（1）取函数31)(x x f +=，展开为三阶麦克劳林公式，有31154323)1(3108159311)(x xx x x x x f θ+?-+-+=+=，3339/11332730+?=+=，现取9/1=x ，)59049572912711(3303+-+≈，误差为54431089.19310-?R ， 10725.3)000085.0001372.0037037.01(3)59049572912711(3303=+-+≈+-+≈；（2）⽤x sin 的麦克劳林公式，取1018π==x ，得53)10(!5)cos()10(!311018sin πθππx +-=，则3)10(!311018sin ππ-≈，误差为5531055.2)10(!51-?≈<≤πR3090.030899.000517.031416.018sin ≈=-≈．5．利⽤泰勒公式求下列极限：（1）642/012/e cos lim 2x x x x x +--→；（2）x x x x x x x sin )1(sin e lim 20+-→．解：（1）原式64636426 642012/)](!32821[)](!62421[lim xx x o x x x x o x x x x ++?-+--+-+-=→ 3607)(360/7lim 6660=+=→x x o x x ．（2）原式3233220)](6/)][(2/1[lim x x x x o x x x o x x x --+-+++=→ 31)(3/lim3330=+=→x x o x x ．6．设函数)(x f 在区间][b a ，上有⼆阶连续导数，证明：有)(b a ，∈ξ使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ''-=+-+．证明：将函数)(x f y =在20ba x +=点展开为⼀阶泰勒公式，有 20000)(!2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=η.（η介于x 与0x 之间）分别⽤b x a x ==、代⼊上式，得 201000)(!2)())(()()(x a f x a x f x f a f -''+-'+=η 4)(!2)(2)2()2(21b a f b a b a f b a f -''+-+'++=η（21b a a +<<η），202000)(!2)())(()()(x b f x b x f x f b f -''+-'+=η 4)(!2)(2)2()2(22a b f a b b a f b a f -''+-+'++=η（b b a <<+22η），上两式相加，得]2)()([4)()2(2)()(212ηηf f a b b a f b f a f ''+''-++=+，由)(x f ''连续，根据习题1-7（B ）4，得)(2)()(21ξηηf f f ''=''+''（)(b a ，∈ξ），于是，)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ''-++=+，所以，有)(b a ，∈ξ使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ''-=+-+． 7．若函数)(x f 有⼆阶导数，0)(>''x f ，且1)(lim=→xx f x ，⽤泰勒公式证明x x f ≥)(. 证明：由函数)(x f 可导，及1)(lim=→xx f x ，得1)0(0)0(='=f f ，，将)(x f 展开为⼀阶麦克劳林公式，有22)()(x f x x f ξ''+=（ξ介于0与x 之间），由0)(>''x f ，得x x f x x f ≥''+=22)()(ξ．8．设函数)(x f 在区间]20[，上⼆次可微，)2()0(f f =，且M x f ≤'')(，对任何]20[，∈x ，证明M x f ≤')(．证明：对任何∈x ]20[，，将函数)(t f y =在x t =点展开为⼀阶泰勒公式，有 2)(!2)())(()()(x t f x t x f x f t f -''+-'+=ξ.（ξ介于x 与t 之间）分别⽤20==t t 、代⼊上式，得 21!2)()()()0(x f x x f x f f ξ''+'-=，（x <<10ξ）（1） 22)2(!2)()2)(()()2(x f x x f x f f -''+-'+=ξ，（22<<ξx ）（2）（2）-（1），并由条件)2()0(f f =，有 ])()2)(([21)(202122x f x f x f ξξ''--''+'=，即])()2)(([41)(2122x f x f x f ξξ''--''-='，所以M x x M x x M x f =+-?≤+-≤'222])2[(4])2[(4)(．习题3—4（A ）1．下列叙述是否正确？并按照你的判断说明理由：（1）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，那么()f x 在区间[,]a b 上单调增加（减少）的充分必要条件是对任意的(,)x a b ∈，0)(>'x f （0)(<'x f ）；（2）函数的极⼤值点与极⼩值点都可能不是唯⼀的，并且在其驻点与不可导点处均取得极值；（3）判定极值存在的第⼀充分条件是根据驻点两侧导数的符号来确定该驻点是否为极值点，第⼆充分条件是根据函数在其驻点处⼆阶导数的符号来判定该驻点是否为极值点；（4）在区间I 上连续的函数，其最⼤值点或最⼩值点⼀定是它的极值点.答：（1）不正确．如3x y =在]11[，-上单调增加，⽽032≥='x y ．（2）前者正确，后者不正确．驻点与不可导点是取得极值必要条件不是充分条件，如函数3x y =有驻点0=x ，⽽3x y =在0=x 点不取极值；⼜如函数3x y =有不可导点0=x ，⽽3x y =在0=x 点也不取极值．（3）前者不正确，后者正确．第⼀充分条件对连续函数的不可导点也适⽤．（4）不正确．函数的最⼤（⼩）值点可以是闭区间端点，这时的最值点就不是极值点． 2．证明函数x x x f arcsin )(-=在]11[，-上单调减少．解：在开区间)11(，-内，0111)(2≤--='xx f ，且等号只在0=x 点成⽴，所以)(x f 在开区间)11(，-内单调减少，⼜因为函数x x x f arcsin )(-=在区间]11[，-的左、右端点处分别右连续、左连续，所以x x x f arcsin )(-=在]11[，-上单调减少． 3．求下列函数的单调区间和极值：（1）323y x x =-；（2）xx y 12+=；（3）3232x x y +?=；（4）2exy x =；（5）x x y -+=)1ln(；（6）)1ln(2-=x y ．解：（1）定义域为)(∞+-∞，，)2(3632-=-='x x x x y ，由0='y ，得驻点0=x ，2=x ，函数没有不可导点．单增区间为：)2[]0(∞+-∞，、，，单减区间为：]20[，，极⼤值为：0)0(=y ，极⼩值为：4)2(-=y ．（2）定义域为)0()0(∞+-∞，，，221xx y -='，由0='y ，得驻点1±=x ，在定义域内函数没有不可导点．单增区间为：)1[]1(∞+--∞，、，，单减区间为：]10()01[，、，-，极⼤值为：2)1(-=-y ，极⼩值为：2)1(=y ．（3）定义域为)(∞+-∞，，2233)1(2xx y ?+='，由0='y ，得驻点1-=x ，不可导点0=x ．单增区间为：)1[∞+-，，单减区间为：]1(--∞，，⽆极⼤值，极⼩值为：1)1(-=-y ．（4）定义域为)0()0(∞+-∞，，，3)2(e xx y x -='，由0='y ，得驻点2=x ，在定义域内函数没有不可导点．单增区间为：、，)0(-∞)2[∞+，，单减区间为：]20(，，⽆极⼤值，极⼩值为：4/e )2(2=y ．（5）定义域为)1(∞+-，，xxy +-='1，由0='y ，得驻点0=x ，在定义域内函数没有不可导点．单增区间为：]01(，-，单减区间为：)0[∞+，，极⼤值为：0)0(=y ，⽆极⼩值．（6）定义域为)1()1(∞+--∞，，，122-='x xy ，在定义域内0≠'y ，且没有不可导点．单增区间为：)1(∞+，，单减区间为：)1(--∞，，既⽆极⼤值，也⽆极⼩值．4．求下列函数在指定区间的最⼤值M 和最⼩值m ：（1）163)(24+-=x x x f ，]20[，∈x ；（2）11)(+-=x x x f ，]40[，∈x ．解：（1）)1(121212)(23-=-='x x x x x f ，由0)(='x f ，得1=x （10-==x x ，都不在)20(，内），⽐较数值25)2(2)1(1)0(=-==f f f ，，，得163)(24+-=x x x f 在。

1. 将下列0x →时的无穷小按低阶到高阶的次序排列起来(写序号)(1)ln(1;(2)122(1)1x +-; (3)2cos 1x -; (4)sin 1x e -; (5)3arctan x .2.设()f x 为可导函数,22(sin )(cos )y f x f x =+,若令cos u x =,证明sin 0dy dy x dx du+⋅= 3.求极限lim ln(1x →+∞ 4.证明:当0x >时,22(1)ln (1).x x x -≥-5.设函数()f x 在区间,00x x δ⎡⎤+⎣⎦上连续,在(),00x x δ+内可导,如果l i m ()0f x x x '→+存在,则()lim ()00f x f x x x ''=+→+ 6.讨论函数222(1)x y x =-的单调区间,极值,图形的凹凸性,拐点,并画出函数的图形.7.设()f x 在(,)a b 内连续,且(,),(1,2,,)x a b i n i∈= ,证明必存在点(,)a b ξ∈,使 2()[()2()()].12(1)f f x f x nf x n n n ξ=++++ 8. 已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(1)1f =证明：（Ⅰ）存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξξ=-；（Ⅱ）存在两个不同的点,(0,1)ης∈，使得()()1f f ης''=9.设!n b a n n =,证明:数列{}a n 是收敛的,并且lim 0a n n =→∞.其中b R ∈是任意常数. 1.答案: (1),(4),(2),(5),(3)2.设()f x 为可导函数,22(sin )(cos )y f x f x =+,若令cos u x =,证明sin 0dy dy x dx du+⋅=解: 222sin cos [(sin )(cos )]dy x x f x f x dx''=+ 当cos u x =时, 2222(sin )(cos )(1)()y f x f x f u f u =+=-+22222[()(1)]2cos [(sin )(cos )]dy u f u f u x f x f x du'''=--=+ 所以sin 0dy dy x dx du +⋅= 3.解:令1t x=,原极限为2.π 4. 证明:令22()(1)ln (1)f x x x x =-≥-，22(1)(1)0,(1)0,(1)20,()3x f f f f x x-''''''===>= 当01x <<时()0()()(1)20()()(1)0f x f x f x f f x f x f ''''''''''''<⇒⇒>=>⇒⇒<= ()()(1)0f x f x f ⇒⇒>=当1x <<+∞时()0()()(1)20()()(1)0f x f x f x f f x f x f ''''''''''''>⇒⇒>=>⇒⇒>= ()()(1)0f x f x f ⇒⇒>=即当0x >时,恒有()0f x >,得证. 另证：(4)(4)2426()(1)40(1)0f x f f x x=-+⇒=>⇒=为最小值，故()0f x > 另证:当1x ≥时,原不等式等价于1ln 1x x x -≥+ 当01x <≤时,原不等式等价于1ln 1x x x -≤+ 令1()ln 1x x x x ϕ-=-+即可证. 5.设函数()f x 在区间,00x x δ⎡⎤+⎣⎦上连续,在(),00x x δ+内可导,如果l i m ()0f x x x '→+存在, 则()lim ()00f x f x x x ''=+→+ 证明:设(),00x x x δ∈+,在[,]0x x 上用拉格朗日中值定理,有()()0()0f x f x f x x ξ-'=- 因lim ()0f x x x '→+存在,故有()()0lim ()lim ()lim ()00000f x f x f x f f x x x x x x x x x ξ-'''===+-→+→+→+ 6.讨论函数222(1)x y x =-的单调区间,极值,图形的凹凸性,拐点,并画出函数的图形. 解:484,34(1)(1)x x y y x x +'''==--2,1y x ==为渐进线,拐点12(,)29-,极小值点(0,0)7.设()f x 在(,)a b 内连续,且(,),(1,2,,)x a b i n i∈= ,证明必存在点(,)a b ξ∈,使 2()[()2()()].12(1)f f x f x nf x n n n ξ=++++ 证明:不妨设12a x x x b n <<<<< ,并设max (),min ()11M f x m f x i i i n i n==≤≤≤≤ 则 (12)()2()()(12)12n m f x f x nf x n M n+++≤+++≤+++ 2[()2()()]12(1)m f x f x nf x M n n n ≤+++≤+ 由介值定理知[,](,)1x x a b nξ∃∈⊂,使 2()[()2()()].12(1)f f x f x nf x n n n ξ=++++8. 已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(1)1f =证明：（Ⅰ）存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξξ=-；（Ⅱ）存在两个不同的点,(0,1)ης∈，使得()()1f f ης''=证明（Ⅰ）令()()1g x f x x =+-，则()g x 在[0,1]上连续，且(0)1,(1)(1)10g g f =-==>，由零值定理知(0,1)ξ∈，使()0g ξ=，即()1f ξξ=-（Ⅱ）根据拉格朗日中值定理，存在(0,),(,1)ηξςξ∈∈，使得()(0)1()0f f f ξξηξξ--'==-，(1)()1(1)()111f f f ξξξςξξξ---'===--- 所以存在两个不同的点,(0,1)ης∈，使得()()1f f ης''=。

高等数学（一）（第三章练习题）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.设f （x ）=⎩⎨⎧<≥0x ,x sin 0x ,x ，则)0(f '=（ ）A.-1B.1C.0D.不存在2.设函数f(x)在点a 可导，且1h 2)h 5a (f )h 5a (f lim 0h =--+→，则=')a (f （ ）A.51B.5C.2D.21 3.设函数y=2x 2，已知其在点x 0处自变量增量3.0x =∆时，对应函数增量y ∆的线性主部为-0.6，则x 0=（ ） A.0B.1C.-0.5D.-44.设某商品的需求函数为Q=a-bp ，其中p 表示商品价格，Q 为需求量，a 、b 为正常数，则需求量对价格的弹性=EPEQ（ ）A.bp a b --B. bp a b- C. bp a bp -- D. bp a bp -5．函数f(x)在点x=x 0处连续是f(x)在x=x 0处可导的（ ）A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分条件又非必要条件 6.设函数f(x)在x=a 处可导，则f(x)在x=a 处（ ） A.极限不一定存在 B.不一定连续 C.可微 D.不一定可微 7.设函数(x)(x),a)-(x f (x)ϕϕ=在x=a 处可导，则（ ） A.)x ()x (f ϕ=' B.)a ()a (f ϕ'=' C.)a ()a (f ϕ=' D.)a x ()x ()x (f -+ϕ=' 8.设y=lnsinx,则dy=（ ） A.-cotx dx B.cotx dx C.-tanx dx D.tanx dx9.设y=a x (a>0,a ≠1),则y (n)==0x （ ）A.0B.1C.lnaD.(lna)n10.设一产品的总成本是产量x 的函数C(x),则生产x 0个单位时的总成本变化率(即边际成本)是（ ） A.x )x (C B.0x x x )x (C = C.dx )x (dC D.0x x dx )x (dC =11.设函数y=f(x)在点x 0可导，且,a )x (f 0='则 =∆-∆-→∆x)x (f )x 2x (f lim 000x （ ）A.aB.2aC.-2aD.-2a 12.若函数f(x)在点x 0处自变量增量Δx=0.25，对应函数增量Δy 的线性主部为2，则函数在该点的导数值=')x (f 0（ ） A.4B.8C.0.5D.0.12513.设某商品的供给函数为S=a+bp ，其中p 为商品价格，S 为供给量，a,b 为正常数，则该商品的供给价格弹性=EPES（ ） A.bpa bp+B.bp a b+ C.bpa bp +- D.bpa b+- 14．设D=D （p ）是市场对某一商品的需求函数，其中p 是商品价格，D 是市场需求量，则需求价格弹性是（ ） A ．)p ('D p D - B ．)p ('D D p - C ．)D ('p pD-D ．)D ('p Dp-15．设△y=f(x 0+△x)-f(x 0)且函数f(x)在x=x 0处可导，则必有（ ） A ．0x lim →∆△y=0 B ．△y=0 C ．dy=0 D ．△y=dy16．设产品的利润函数为L （x ）,则生产x o 个单位时的边际利润为（ ） A ．00x )x (L B ．dx)x (dL C ．0x x dx )x (dL =D ．)dx)x (L (dx d 17．设f(x)=x 15+3x 3-x+1,则f (16)（1）=（ ） A ．16! B ．15! C ．14!D ．018.设f (x )为可微函数，且n 为自然数，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∞→)n x (f )x (f 1lim n =（ ）A.0B.)x (f 'C.-)x (f 'D.不存在19.设函数f(x)可导，又y=f(-x)，则y '=（ ） A.)x (f ' B.)x (f -' C.-)x (f 'D.-)x (f -'20.设某商品的需求函数为D(P)=475-10P-P 2,则当P = 5时的需求价格弹性为（ ） A.0.25 B.-0.25 C.100D.-10021已知某商品的成本函数为500302)(++=Q Q Q C ，则当产量Q =100时的边际成本（ ） A ．5 B ．3 C ．3.5D ．1.522.设f(x)=⎩⎨⎧<≥+0x ,x 0x ),x 1ln(, 则=')0(f （ ）A.0B.1C.-1D.不存在23.设供给函数S=S(p)(其中p 为商品价格), 则供给价格弹性是（ ）A.)p (S S p '-B. )p (S S p 'C. )p (S p 'D. )p (S S 1'24.设f (x )=x |x |，则f ′(0)=( ) A.1 B.-1 C.0 D.不存在25.设某商品的需求量D 对价格p 的需求函数为D =50-5p，则需求价格弹性函数为( ) A.250-p p B.p p -250 C.51pp -250D.51250-p p 26.设生产x 个单位的总成本函数为C （x ）=7x 2012x 2++，则生产6个单位产品时的边际成本是（ ）A.6B.20C.21D.2227．设函数y =150-2x 2,则其弹性函数ExEy=（ ） A ．221504x - B ．221504x x- C ．150242-x xD ．1502422-x x28.设f (x )=2x,则f ″(x )=（ ）A.2x ·ln 22B.2x ·ln4C.2x ·2D.2x ·429．设f (x )=arccos(x 2)，则f ＇(x )=（ ） A ．211x--B ．212xx --C ．411x--D ．412xx --二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.曲线y =x +ln x 在点（1，1）处的切线方程为________________.2.设函数y =ln x ,则它的弹性函数ExEy=_____________. 3.函数f(x)在点x 0处左、右导数存在且相等是函数f(x)在x 0可导的___________条件.4．设某商品的市场需求函数为D=1-7P，P 为商品价格，则需求价格弹性函数为 .5．设y=2x 2e x ，则y ''(0)= .6. 已知某商品的产量为q 件时总成本为C （q ）=100q+160q 2(百元)，则q=500件时的边际成本为___________.7.设f(x)在x=a 处可导，则=--→h)a (f )h 2a (f lim 0h ___________.8.曲线y=sinx 在点π=32x 处的切线方程为___________. 9．若f(x)在x=x 0处可导，且.__________)x ('f ,3h)h 5x (f )x (f lim0000h ==+-→则10. 设f(x)=⎩⎨⎧≥<-1|x |,01|x |,x 12,则'-f (1)=_____.11.设y=cos 2x 1+，则'y =_____.12.已知某产品的产量为g 时，总成本是C(g)=9+800g 2，则生产100件产品时的边际成本MC|g=100=_____.13.设⎩⎨⎧>≤-=0x ,x 0x ,e 1)x (f 2x ，则-'f (0)=___________。

《高等数学》练习册参考答案第一章函数练习11−1．（1）；（2）．(,0)(0,)22ππ−U [1,0)(0,3]−U 2．3(4)4(4)1,3,(4)6,3.x x x f x x x ⎧++++≥−+=⎨+<−⎩3．（1）；（2）；（3）．(2,3)23(,)e e 1(2,3)(02a a a +−<<4．．11,,,11x x x x x −+−5．1,0,[()]0,0,1,0;x f g x x x <⎧⎪==⎨⎪−>⎩1,1,[()]1,1,, 1.e x gf x x e x −⎧<⎪==⎨⎪>⎩6．（1）；（2）；（3）；2cos r a θ=2cos r a θ=−2sin r a θ=（4）；（5）．2sin r a θ=−r a =7．，r=cos ,sin .x r y r θθθθ⎧==⎨==⎩练习12−1．奇函数．2．3．（1）；（2）；（3）非周期函数；（4）．11,()0,0,1.x f x x x −⎧>⎪==⎨⎪<−⎩2π2π5．22,0,()30,0.a ax x f x xx ⎧−≠⎪=⎨⎪=⎩6．21lg ,100,10[()]1(lg ),10,10x x x f g x x x ⎧≥<≤⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩或2lg ,1,[()]lg ,00 1.x x g f x x x x ≥⎧=⎨<<<<⎩-1或练习13−1．（1）；（2）；2,sin y u u x ==25,21y u u x ==+（3）（4）．ln ,y u v v ===1arctan ,2x y u u v −===2．（1）是；（2）不是；（3）是；（4）不是．第二章极限与连续练习21−1．（1）正确；（2）错；（3）正确．练习22−4．．X ≥练习23−1．．0,02．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．01513303(21401323．．11x−练习24−1．（1）；（2）．.C .D 2．（1）正确；（2）错；（3）错；（4）正确；（5）错；(6)正确；(7)错；（8）错．4．（1）同阶不等价；（2）等价．5．（1）当时，；当时，；当时，；（2）；（3）；n m >0n m =1n m <∞812(4)；（5）；（6）．3121!n 6．．6练习25−1．（1）（2）；（3）；（4）；（5）．12π2e −8e 2．（1）；（2）；（3）．131练习26−1．（1）是可去间断点；（2）是跳跃间断点；（3）是无穷间断点．1x =−7x =1x =2．（1）是可去间断点，是无穷间断点；0,1x x ==11,2x x =−=（2）是可去间断点，是第二类间断点．0x =(0,1,2,)2x k k ππ=+=±±L 3．．4．（1）；（2）；（3）．5．，．a b =139−0ln 221−18．，．11()x f x e−=(1)0,(1)f f −+==+∞第三章导数与微分练习31−1．（1）；（2）；（3）；（4）．78x 5414x −−65x −−5616x −2．（1）；（2），．()f x =1x =()cos f x x =3x π=3．切线方程为，法线方程为．4．连续且可导．5．．2x y +=0x y −=2()ag a 6．，，不可导．10练习32−1．（1；（2），．)2π+32517152．（1）；（2）；4323226126(6)x x x x x −−++++2cos sin x x xx −（3）；（4；22cos ln sin ln cos x x x x x x x x −+（5）；（6）．22sec tan x x x x−23322ln 26x xx x x ++3．切线方程为，法线方程为．2y x =20x y +=4．交点处夹角为，交点处夹角为．(0,0)2π(1,1)3arctan 45．，．45(3)x +45(6)x +6．（1）错，应为；（2）错，应为；22cos x x 22(1)x x x e +（3）错，应为；（4）错，应为．2x +21111arctan1x x x −⋅++−7．（1；（2）；（3）；x (sin cos )axe a bx b bx +2sin 12sin x x xθθ−−+（4；（5）；（6；2sin sec (cos )x x −⋅（7；（8）．+232ln (1)x xx −8．．()[()()()]f x x x x e f e e f e f x ′′+练习33−1．．2．（1）；（2）．23x x −+222(32)x xe x +22232()a a x −−3．．4．，．2−(2)f ϕ′′⋅+(2)f f ϕϕ′′′′′′⋅++⋅5．（1），；（2）ln 1y x ′=+()1(2)!(1)(2)n nn n y n x −−=−≥．6．．14cos(42n n x π−+2练习34−1．（1）；（2）；（3）；22cos33x x y−+2csc ()x y −+cos sin()sin sin()y x x y x x y ++−++（4；（5）．2121323(3)x x x +−+−−1(ln 1)a x aa x x +−+2．．3．．4．5．（1）；（2）．1210x y −±=43212t t t −−2(1)2t t e t t−+6．，．7．．cos t t −cos (cot )t t t −22()(1)2(1)t y e t yt −+−8．切线方程为，法线方程为．3πθ=56πθ=练习35−1．．0.122．（1）；（2）；(3)；（4）．4211ln 42ax bx x Cx +++2sin x ln sin x 2(arcsin )x 3．（1）；（2）．2ln(1)1x dx x −−4．．5．．2(1)y dx −+(ln 21)dx −6．（1）；（2）；（3）；（4）．9.98670.4850.494960.99第四章导数的应用练习41−2．，．1223练习42−1．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．232π18−112e 032．．3．．4．（1）；（2）()f x ′′9,12a b ==−(0)f ′2()(),0,()1(0),0.2xf x f x x x g x f x ′−⎧≠⎪⎪′=⎨⎪′′=⎪⎩练习43−1．，．14360−262．．234562122211222221(1)cos(2)24!6!(2)!(21)!2n n n n n x x x x x n x n n θπ−+++−+++−−++L (01)θ<<3．．5．．12412练习44−1．（1）单调递增，单调递减；（2）单调递增，单调递减．3(0,)43(,1)4(0,)e (,)e +∞2．．4．（1）1y =(y=（2）为极大值，为极小值；1(123y =(1)0y =（3）为极大值，为极小值．3243(2)4k y k πππ++=24(24k y k ππππ−−=5．为极小值，无极大值．6．，极大值．3()255f =27．8．，．(f =f =2959．．10．11．；．12．米．64a ≥R 84 2.366≈练习45−1．(1)在内凸，在内凹，为拐点；(0,1)(1,)+∞(1,7)−(2)在内凹，在内凸，为拐点．1(,2−∞1(,)2+∞1arctan 21(,)2e 2．．4．不是极值点，是拐点．3,0,5a b c =−==0x 00(,())x f x 第五章不定积分与定积分练习51−1．（3）；（4）；（5）．0()()f b a ξ−()b af x dx b a−∫2．（1）；（2）．ln 23π3．（1）；（2）．22211xx e dx edx −−>∫∫11(1)xe dx x dx >+∫∫4．（1）；（2．22I e ππ≤≤22I e ≤≤练习52−1．（1）；（2）．2．（1）；（2）．21[(2)(2)]2f x f a −3cos 2sin xx+0()()x xf x f t dt +∫3．（1）；（2）．4．（1）；（2）．5．连续且可导．22sin yyx e −−t −12136．在内连续．32,[0,1),3()11,[1,2].26x x x x x ⎧∈⎪⎪Φ=⎨⎪−∈⎪⎩(0,2)7．．8．．1212arctan ln(1)2x x x C −+++9．（1）；（2）当时，；当时，；（3）38π0a <31(27)3a −−0a ≥31(27)3a −．1)−练习53−1．（2）；（3）；（4）；2sin cos x x xx −−()F x C +()()F x x C −Φ=（5）；（6）；（7）；（8）．()f x C +111x C µµ+++C 43−2．（1）；（2）；（3）；212ln 2x x x C −++1arctan x C x −++2tan 22x x x C +−+（4）；（5）．522()ln 2ln 33x x C −+−1(sin )2x x C −+练习54−1．（1）；（2）；（3）；522(2)5x C −−+122(1)x C ++2ln 35x x C +++（4）；（5）；（6）；1ln cos 22x C −+1ln 2ln 12x C ++1arcsin 2x C ++（7）；（8）；（9）；cos x e C −+31sec sec 3x x C −+11sin 2sin 8416x x C −+（10）；（11）；357121sin sin sin 357x x x C −++1sin 6212x x C −+（12）；（13）；33sec sec x x C −+ln csc 2cot 2x x C −+（14）；（15）；（16）；21arctan(sin )2x C +1arctan 22x e C +122(arcsin )x C +（17）；（18）；（19）ln ln sin x C +523311(31)(31)153x x C ++++；C（20；（21）；（22）；C +C 13arcsin 32xC +（23）．arcsin x e C −2．（1；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；241(1)4e −5322π−835（7）；（8）；（9）；（10）．516π14π−1)8153．．4．．()ln f x x x C =+311()(2)32f x x C x =−−−+−练习55−1．（1）；（2）；（3）(1)xx eC −−++arcsin x x C +；11cos 2sin 224x x x C −++（4）；（5）；21tan ln cos 2x x x x C +−+ln(21)ln 21x x x x C +−+++（6）；（7）；x x C ++C −++（8）；（9）；（10）221()2(1)nx a C n −++−1(sin cos )2x x x e C −−+．2ln 1ln 21x x x C x ++−+++2．．cos 2sin 244x x C x−+3．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）111(sin1cos1)22e −+2πln 22π−142π−．1ln 23练习56−1．（1；（2）C +21ln(22)arctan(1)2x x x C+++++（3）；（4）；（5）；31ln ln 13x x C −++sin ln sin 1x C x ++1x e C x ++（6）；（7）；（8）ln(1)1xx x xe e C e −+++221tan 12x arc x C x +++；C（9）；（10）．1ln 1xC x x −++−12C 2．（1）；（2）；（3）．14π+132ln 41721(1)24e π+−练习57−1．．2．．3．．4．．5．．1218π23−1ln 242π+第六章定积分的应用练习62−1．．2．．3．．4．．5．．6．．12e −27412(1)e −23a π54π27．．8．．9．．10．，．1ln 32−22a π53ln 122+12e e −+−22(2)2e e π−+−11．．12．，．13．．14．（1）；（2）；（3）163485π245π22π(1,1)21y x=−．30π15．．16．17．．18134242244()b x a y a b +练习63−1．．2．（1）吨；（2）米．57697.5()KJ 660113．（1）；（2）一倍；（3）．216ah 2512ah 第七章常微分方程练习71−1．（1）一阶；（2）二阶；（3）不是；（4）一阶；（5）三阶；（6）一阶．2．（1）特解；（2）通解；（3）特解；（4）不是解．练习72−1．（1）；（2）；（3）；2221x y Cx=−22(1)(1)x y C −−=(1)(1)x y e e C +−=（4）．()1yC a x ay =+−2．2221,1,(1), 1.x xe x y e e x −⎧−≤=⎨−>⎩若若3．（1）；（2）；（3）；（4）2(2)y C x y =+arctany xxy Ce−=1Cx y xe+=．2()102y x y x C −+−=4．（1）；（2）；（3）；()y x x C =+2ln 2x y x =3214()13y x C x =++（4）；（5）．2sin 1x C y x +=−22y xy C −=5．（1；（2）；（3）．x C =+44114xx Ce y −=−++4121x Ce x y=−−练习73−1．（1）线性无关；（2）线性无关；（3）线性无关；（4）线性相关．2．（1）；（2）；（3）．33112x x y C e C xe =+2112x x y C e C e =+33112x x y C e C e −=+3．．12cos ln sin ln ln y C x C x x =++4．．5．是．2129xy x e ∗=−+6．（1）；（2）；(3)；24112xx y C eC e =+112()x y C C x e =+112(cos sin )22xx x y e C C =+（4）；(5)．12cos 2sin 2y C x C x =+3142x x y e e =+7．（1）；（2）；(3)112xxy C C e xe=++21122xx y C C e −=++．112sin x y C C e x −=++8.．1()sin cos 22xf x x x =+练习74−1．（1）；（2）；33125ln 183x x x y C x C =−++331232C x x y C =++(3)；（4）．21arcsin()xy C e C =+11y x=−2．．12()ln f x C x C =+3．（1）；（2）；（3）．21C y C x x =+3122ln C y C x C x x x =++32115C y C x x x =++第八章向量代数与空间解析几何练习82−１．（1）不成立；（2）成立；（3）不成立．2．（1）；2()a b ×rr （2）．3．28．4．(1)；(2)．2()a b c ×⋅r r r1k =−15k k =−=或5．．6．．7．．3π2λµ=4练习83−3．．4．．5．．362490x y z −+−=320x z −=22(3)x y −+2(2)51z ++=6．．7．．(1,2,3),8r −=22244(4)y z x +=−练习84−1．．2．．3．平行，．217511x y z −−==321421x y z −+−==−d =4．．5．．111x y z −=−=−2350x y z +−=6．22220x y y +−=22220,0.x y y z ⎧+−=⎨=⎩第九章多元函数微分法及其应用练习91−1．（1）；（2）；2{(,)210}x y y x −+≥2{(,)0,0}x y y x x ≤≤≥（3）；（4）．2222{(,)}x y r x y R ≤+≤22222{(,,)0}x y z z x y x y ≤++≠且2．．(,(,))24f xy f x y x y xy =++练习92−1．不正确．因为此时未必有等式成立．00lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=3，对任给的．令，当≤0ε>2δε=时，则有02δε<<=，0ε≤<所以．00x y →→=练习93−1．，而，所以在处不连续．(0,0)(0,0)0x y f f ==0lim (,)1(0,0)x y xf x y f →==≠(,)f x y (0,0)2．连续且两个偏导数均存在．3．，4．（1），；1(2,1)2x f =(1,2)y f =22z y x x y ∂=∂+22z xxx y ∂−=∂+（2）z z x y∂∂==∂∂（3）．u u uxy z ∂∂∂===∂∂∂5．（1）；222222222126,12,126z z z x y xy y x x x y y∂∂∂=−=−=−−∂∂∂∂（2），22223222224csccot 4csc cot 2csc ,x x x x x x y z z y y y y yxy x y y −−∂∂==∂∂∂．22242224csccot 4csc x x xx xy zy y yy y −+∂=∂6．．22222233222,2,(12)x y x y xyxy ex ye x y e −−−−−−练习94−１．（1）正确，因为可微一定是连续的；（2）不正确，因为一阶偏导数连续是可微的充分条件而不是必要条件．（3）正确，二阶偏导数连续一定有一阶偏导数连续，从而函数在点(,)f x y 00(,)x y 处一定可微．2．（1）；（2）；2)dz ydx xdy =−(1)(ln(1))1x xdydz y y dx y=++++（3）．2222()x y z du e xdx ydy zdz ++=++3．．4．．5．．0.150.10.250.68dz e e e =×+×=×≈ 3.97655.296．时及均存在．(0)0ϕ=(0,0)x f (0,0)y f 练习95−１．．2．．6)dz t dt =+22()()z y y xf xy f x y x x ∂′′′′=−∂∂3．；．2223132333u yf xyf xy f xy zf x z ∂=+++∂∂2222222233322u x f x zf x z f y ∂=++∂5．．21(,2)2y x f x x −=6．（1）；123123()()dz f f yf dx f f xf dy =+++−+（2）．211222(f yf f xfdu dx dy dz z x x z=−+−练习96−１．（１）；cos()cos()5xy xxydy x y ye e dx x y xe −−+=−++（2）．20(0,1)211,1,2(1)1y x x x ydy e d y ye e e dxxe dx===−===−=−−2．（1）；（2）．2,()z z z z x x z y y x z ∂∂==∂+∂+2322322()z zz y ze xy z y z e e xy −−−3．．dx 4．．此结果表明是的一次函数．22,0dy x ay d ydx y ax dx+=−=+y x 5．．6．．22()(2),33u v u v z z y z z x x z y z ϕϕϕϕϕϕ∂+∂+==∂−∂−,dx y z dy x zdz x y dz y x−−==−−7．．所以．1[(t dy f f dt f f F F dy dx x t dx x t F x y dx ∂∂∂∂∂∂=+⋅=+−+⋅∂∂∂∂∂∂f F f Fdy x t t x f F F dx t y t ∂∂∂∂−∂∂∂∂=∂∂∂+∂∂∂8．．f g fg h du f y x yz x g g h dx x y y z∂∂∂∂∂⋅⋅⋅∂∂∂∂∂∂=−+∂∂∂∂⋅∂∂∂练习97−1．2．．1,1,1),u∂=−−=−∂ol l 2(1,1,2){1,1,}gradf e −=3．．2221{,,}()()()gradu x a y b z c x a y b z c −=−−−−+−+−所以当时．4．．222()()()1x a y b z c −+−+−=1gradu =2π练习98−1．．1(,)26(1)(1)2f x y x y =+−−−+222[10(1)2(1)(1)2(1)]x x y y R −+−−−−+2．．22(,)2y f x y y xy R =+−+练习99−1．在点处取极小值６．2．在点处取极大值．(4,2)(0,0)13．时取极小值．该点是圆222222,ab a b x y a b a b ==++z 2222a b z a b =+极小222222a b x y a b+=+与直线的切点．1x ya b+=4．最大值为３，最小值为１．5．设为椭球面上的任一点，则该点处的切平面与坐标面所围成的四面体的体000(,,)x y z 积为．要求的问题是求函数满足条件的极22200016a b c V x y z =(,,)fx y z xyz=2222221x y z a b c++=大值问题，由拉格朗日乘数法可知所求的点为000x y z ===．min V =练习910−１．切线：，法线：．11211x y π−+−==402x y π+−−=2．切线：，法线：．11214132x y z −−−==−1413250x y z −+−=3．切平面：，法线：．0001ax x by y cz z ++=000000x xy y z z axby zz −−−==4．．0=n =n 5．所求的点为或222．222第十章重积分练习101−1．．016I ≤≤2．（１）；（２）．23()()D D x y d x y d σσ+≥+∫∫∫∫2(ln())ln()D Dx y d x y d σσ+≥+∫∫∫∫3．．4．．(0,0)f 124I I =练习102−1．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．20312sin 1πππ−−6071163e−2．（1）；（2）；210(,)x x dx f x y dy ∫∫1(,)dy f x y dx ∫（3）；（4）；ln 10(,)exdx f x y dy ∫∫120(,)yydy f x y dx −∫∫（5）．202(,)ydy f x y dx ∫∫3．（1）；（2）．(1)1(16x a b a x y V dx c dy abc a b −=−−=∫∫1122001()6x V dx x y dy −=+=∫∫5．（1）；（2）；2cos 400(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ∫∫4sin 02sin (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ∫∫（3）．23cos 04(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ∫∫6．（1）；（2）；230cos (cos ,sin )aa d f r r rdr πθθθθ∫∫2cos 2202()d f r rdr πθπθ−∫∫（3）．13cos 203()()d f r rdr d f r rdr ππθπθθ+∫∫∫7．（1）；（2）；（3）．8．．9．．(1cos1)π−223π−34(33R π−3512R π54π练习103−1．（1）；（2）；222121(,,)x x y dx f x y z dz −−+∫∫∫2102(,,)x y dx f x y z dz ++−∫∫（3）．2211(,,)x y dx f x y z dz −+∫∫2．（1（2）．3．．3ln 24−202()()t t f x dx t f t +∫4．柱面，球面．1101d rdr f dz πθ∫∫∫2cos 2410cos sin ()d d r f r dr ππϕϕθϕϕ∫∫∫5．（１）０；（2）；（3）．6415π11926．（１）；（2）．7．21(12π53π练习104−１．14．2．．3．（1），重心为；22(2)a π−2,03y x ==2(0,)3（2）．4．（1）；（2）．(,55a a 46320a 443()32b a π−5．重心为，球心位于原点，球体置于上半空间．3(0,0,)86．设正方体边长为，密度为，则有所求的．a 0ρ50I a ρ=第十一章曲线积分练习111−1．（１）；（2）；（3）；411)12+−（4）；（5）．2．4(122a π练习112−1．．2．（１）；（2）；（3）－32；3．4．．23323965343a 3323k a ππ−5．（１）；（2）．(,)(,)L yP x y xQ x y ds a−+∫∫6．．C u udy dx x y ∂∂−∂∂∫ 练习113−1．（１）；（2）；（3）；（4）．112−2ab π−23429π−23(2)22a b a ππ+−2．（1）不在内部时，原式；（2）在内部时，原式．(0,0)L 0=(0,0)L 2π=练习114−１．５．２．20．3．．4．．3412a =−C +5．．6．22(,)cos cos u x y x y y x C =++522333123x x y xy y C +−+=7．．8．．9．．32223y a x x y xy C −−−=332yx y x e C −++=2ln y x C x−=练习115−１．，重心坐标为．22m a =(0,4aπ2．（１）；22224)3z I a a k ππ=+（2）．22232222222222663(2),,343434ak ak k a k x y z a k a k a k ππππππ−+===+++3．．R −F 第十二章曲面积分练习121−１．（１）；（2）．3a π练习122−2．（１）；（2）３；（3）；3．．42R π−1132πΣ练习123−1．（１）；（2）．2．．12415(2)16a ππ+sin()sin yz z +3．（1）０；（2）．22a h π练习124−1．．2．（１）；（2）．4π−{4,sin ,6}x y −{2,2,sin }z z y −−−第十三章无穷级数练习131−1．（1）收敛；（2）发散；（3）收敛，发散；（4）发散．1q <1q ≥2．（1）发散；（2）收敛；（3）发散；（4）发散．3．（1）发散；（2）收敛；（3）发散；（4）收敛．练习132−１．（１）收敛；（2）收敛；（3）发散；（4）收敛；（5）收敛，发散；（6）收敛；（7）收敛；1p >1p ≤（8）发散；（9）收敛；（10）收敛．4．（１）时收敛，时发散；（2）时收敛，时发散；1a >1a ≤1αβ−>1αβ−≤（3）时收敛，时发散．1b >1b ≤练习133−１．（１）收敛；（2）收敛；（3）收敛．2．（１）绝对收敛；（2）条件收敛；（3）发散；（4）条件收敛；（5）绝对收敛；（6）条件收敛．练习134−１．（１）；（2）；（3）；111,[,]222R =−,(,)R =+∞−∞+∞0R =（4）；（5）；（6）．4,4,4R =−（）2,(3,7)R=R =−2．（１）；（2）；ln(1),[1,1)x −−−2,(1,1)(1)x x −−（3）；，；（4），，８．2222(2)x x +−(3232(1)x x −(1,1)−练习135−１．（１），；（2），；0(1)!n nn x n ∞=−∑(,)−∞+∞20(2)!nn x n ∞=∑(,)−∞+∞（3），；（4），；2112112(1)(2)!n n n n x n −∞−+=−∑(,)−∞+∞11n n nx ∞−=∑(1,1)−（5），；（6），11(1)(1)n n n x x n n +∞=+−+∑(1,1)−2210(1)[](2)!(21)!n n nn x x n n +∞=−++∑；(,)−∞+∞（7），；（8），．11(1)!n n nx n −∞=+∑(0)x ≠10(1)2n n n n x ∞+=−∑(2,2)−2．，．3．，．11011(1)[4)532nn n n n x ∞++=−−++∑(6,2)−−210(1)421n n n x n π+∞=+−+∑[1,1]−练习136−1．(取麦克劳林展开式的前两项)．0.95106cos x 2．（取被积函数的麦克劳林展开式的前三项）．0.9461练习137−1．．2221414(cos sin )3n x nx nx n n ππ∞==+−∑(02)x π<<2．．121(){[1(1)]cos (1)sin }4n n n b a a b a b f x nx nx nn ππ∞+=−−+=+−−+−∑(,)ππ−4．，．11()2sin n f x nx n π∞==−∑(,0,1,2,)x k k π≠=±±L5．，；21122()(cos sin 22n n n f x nx n n n πππ∞==−+∑(0,2x x ππ<≤≠，．2213222()(sin cos )cos 822n n n f x nx n n n πππππ∞==+−++∑(0,)2x x ππ<≤≠6．，．7．提示：将展成余弦级数．318()sin(21)(21)n f x n x n π∞==−−∑[0,]πsin x 8．，．9．，．22174cos(21)2(21)n n x n ππ∞=−−−∑[1,1]−214()()sin sin 24n n n x f x n πππ∞==∑[0,4]。

习题3.22222222222222222222111.ln ln ln ln 222111ln ln ln .222224111122.1212212ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax x x xdx xdx x x d xx x x x x x dx x xdx x C x x e dx x de x e e dx x e xe dxa a a a ax x e xde x e e e dx a a a a a x e a ==-=-=-=-+==-=-=-=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰求下列不定积分：2223223222122122.1113.sin 2cos 2cos 2cos 222211cos 2sin 2.244.arcsin arcsin arcsin arcsin 11arcsin 21ax ax ax ax ax x xde x e e e C a a a ax e x C aa a x xdx xd x x x xdxx x x C xdx x x xd x x x x x x x x =-++⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭=-=-+=-++=-=--=+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2arcsin 1.x x C - 2222222222225.arctan arctan arctan arctan 11(1)1arctan arctan ln(1).2121116.cos3cos3cos3cos32221313cos3sin 3cos3sin 322241x x x x x x x x xdxxdx x x xd x x x x d x x x x x x C x I e xdx xde e x e d xe x e xdx e x xde =-=-++=-=-+++===-=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()22222223cos3sin 33cos324139cos3sin 3,2444131cos3sin 32cos33sin 3.132413sin 37.sin 3sin 33cos3sin 33cos3sin 33x x x x x x x x x x x x x x x e x e x e xdx e x e x I I x x e C x x e C xI dx xde e x e xdxee x xde e x e -------+-=+-⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭==-=-+=--=--⎰⎰⎰⎰⎰()cos33sin 3x x e xdx -+⎰()sin 33(cos33),1sin 33cos3(sin 33cos3).1010x x x x xe x e x I e I e x e x C x x C -----=--+=--+=-++ ()()22222222118.sin sin sin cos 1sin cos 1sin cos sin 1sin cos .11sin cos ,1(sin co ax axax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax axb I e bxdx bxde e bx e bxdx a a abe bx bxde a a be bx e bx b e bxdx a a be bx e bx bI a ab I e bx e bx b a a a e I a bx b a b ===-=-=-+=-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭+=-+⎰⎰⎰⎰⎰s ).bx C +222222222222229.1919191921919191919,1911119ln(319)2231119ln(319).26I x dx x x x x x x dx x x I x I x x x Cx x x C =+=++=++⎛⎫=++- +⎝⎛⎫=+- +⎝=++++=+++⎰⎰2222222222210.cosh sinh sinh sinh sinh cosh .11.ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1.112.(arccos )(arccos )21(arccos )2arcco x xdx xd x x x xdx x x x C x x dx x x x xd x x x x x x x x x C x x dx x x dxxx x ==-=-++=++-++=+-=++++=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰)222s 1(arccos )211x x x x x dx-=--+⎰⎰22(arccos )212.x x x x x C =---+()2222222222arccos 1113.arccos (1)21arccos 12(1)2(1)1arccos .2(1)2114.arctan arctan 2(1)1arctan .,,22122arctan ,11arc x xdx xdx x x x x x x C x xxdx x x x xxdx x x x u x u dx udu xxdx u uduu u C x u =--=+---=++--=+====+==-+++⎰⎰⎰⎰⎰12()2arctan (arctan )(1)arctan .xdx x x x x C x x x x C x x x C =-+=+=+⎰ 22222222arcsin 1arcsin 15.arcsin 1arcsin 0)1/1arcsin arcsin ln |1/1/11/1arcsin ln(11ln arcsin ln(11ln ||(0)(x x dx xd x x x x x x x x x x x x x x C x x x x x x Cx x x x C x x⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭-=-+>-=--=---+-=-+--+=-+--+≠⎰⎰原函数为偶函数424322442423442442434).1(ln )12ln 16.(ln )(ln )444(ln )1(ln )1ln ln 4248(ln )1(ln )1ln ln .482488x x x xdx x x dx x dx xx x x x x xdx xdx x x x x x x x x dx x x C ==-=-=-=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰223/225/225/2arctan 1arctan (1)1217.arctan (1)(1)2(1)23x xdx xd x xd x x x -+⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰223/225/2arctan 1.tan ,(/2,/2).sec ,3(1)3(1)x dx x u u dx udu x x ππ=-+=∈-=++⎰ 3225/23322325/223/222323/223/22cos (1sin )sin (1)11sin sin ,3311arctan arctan 11(1)3(1)3311arctan 1.3(1)39(1)1dx udu u d u x u u C C x x x xdx x C x x x x x x C x x x ==-=+⎛⎫=-+=+++⎛⎫⎛⎫⎪=-++⎪++++⎭=-+++++⎰⎰⎰⎰ 222222222222222222222118.ln(1)ln(1)211ln(1)22111ln(1)221111ln(1)12221111ln(1)1ln(1)ln(1)222221ln(12x x x dx x x dx x x x x x x x x x x x x dx x x x x x x x x x x Cx x ++=++=++-+=++-+=++-+++⎛⎫+++=++-++++ ⎪ ⎪⎝⎭=++⎰⎰22211)1ln(1.44x x x x x C -++++。

习题三1(1)解：所给函数在定义域(,)−∞+∞内连续、可导，且2612186(1)(3)y x x x x ′=−−=+−可得函数的两个驻点：121,3x x =−=,在(,1),(1,3),(3,)−∞−−+∞内，y ′分别取+，–，+号，故知函数在(,1],[3,)−∞−+∞内单调增加，在[1,3]−内单调减少.(2)解:函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且282y x ′=−，则函数有驻点2x =，在部分区间(0,2]内，0y ′<；在[2,)+∞内y ′>0，故知函数在[2,)+∞内单调增加，而在(0,2]内单调减少.(3)解:函数定义域为(,)−∞+∞，0y ′=>,故函数在(,)−∞+∞上单调增加.(4)解:函数定义域为(,)−∞+∞,22(1)(21)y x x ′=+−，则函数有驻点:11,2x x =−=,在1(,]2−∞内，0y ′<，函数单调减少；在1[,)2+∞内，0y ′>，函数单调增加.(5)解:函数定义域为[0,)+∞，11e e e ()n x n x x n y nx x x n x −−−−−′=−=−函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y ′>，函数单调增加；在[,]n +∞上0y ′<，函数单调减少.(6)解:函数定义域为(,)−∞+∞,πsin 2, [π,π], ,2πsin 2, [π,π], .2x x x n n n y x x x n n n ⎧+∈+∈⎪⎪=⎨⎪−∈−∈⎪⎩Z Z 1)当π[π,π]2x n n ∈+时，12cos 2y x ′=+，则1π0cos 2[π,π23y x x n n ′≥⇔≥−⇔∈+；πππ0cos 2[π,π]232y x x n n ′≤⇔≤−⇔∈++.2)当π[π,π]2x n n ∈−时，12cos 2y x ′=−，则1ππ0cos 2[π,π]226y x x n n ′≥⇔≤⇔∈−−1π0cos 2[π,π]26y x x n n ′≤⇔≥⇔∈−.综上所述，函数单调增加区间为πππ[,)223k k k z +∈，函数单调减少区间为ππππ[,)2322k k k z ++∈.(7)解:函数定义域为(,)−∞+∞.4453345(2)(21)4(2)(21)2(21)(1811)(2)y x x x x x x x ′=−++−+⋅=+−−函数驻点为123111,,2218x x x =−==,在1(,]2+∞−内，0y ′>,函数单调增加，在111[,]218−上，0y ′<,函数单调减少，在11[,2]18上，0y ′>,函数单调增加，在[2,)+∞内，0y ′>,函数单调增加.故函数的单调区间为:1(,]2−∞−，111[,218−，11[,)18+∞.2.(1)证明:令()sin tan 2,f x x x x =−−则22(1cos )(cos cos 1)()cos x x x f x x −++′=,当π02x <<时，()0,()f x f x ′>为严格单调增加的函数，故()(0)0f x f >=,即sin 2tan 2.x x x −>(2)证明:令2()=e sin 12xx f x x −+−−,则()=e cos xf x x x −′−+−,()=e sin 1e (sin 1)0x x f x x x −−′′−−=−+<,则()f x ′为严格单调减少的函数,故()(0)0f x f ′′<=,即()f x 为严格单调减少的函数,从而()(0)0f x f <=,即2e sin 1.2xx x −+<+3.证明:设()sin f x x x =−，则()cos 10,f x x =−≤()f x 为严格单调减少的函数，因此()f x 至多只有一个实根.而(0)0f =，即0x =为()f x 的一个实根，故()f x 只有一个实根0x =，也就是sin x x =只有一个实根.4.(1)解:22y x ′=−,令0y ′=，得驻点1x =.又因20y ′′=>，故1x =为极小值点，且极小值为(1)2y =.(2)解:266y x x ′=−,令0y ′=，得驻点120,1x x ==,126y x ′′=−,010,0x x y y ==′′′′<>,故极大值为(0)0y =，极小值为(1)1y =−.(3)解:2612186(3)(1)y x x x x ′=−−=−+,令0y ′=，得驻点121,3x x =−=.1212y x ′′=−,130,0x x y y =−=′′′′<>,故极大值为(1)17y −=，极小值为(3)47y =−.(4)解:1101y x ′=−=+，令0y ′=，得驻点0x =.201,0(1)x y y x =′′′′=>+,故(0)0y =为极大值.(5)解:32444(1)y x x x x ′=−+=−，令0y ′=，得驻点1231,0,1x x x =−==.210124, 0,0,x x y x y y =±=′′′′′′=−+<>故(1)1y ±=为极大值，(0)0y =为极小值.(6)解:1y ′=,令0y ′=，得驻点13,4x =且在定义域(,1]−∞内有一不可导点21x =，当34x >时，0y ′<;当34x <时，0y ′>,故134x =为极大值点，且极大值为35()44y =.因为函数定义域为1x ≤，故1x =不是极值点.(7)解:y ′=,令0y ′=，得驻点125x =.当125x >时，0y ′<；当125x <，0y ′>,故极大值为12()5y =.(8)解:2131x y x x +=+++,22(2)(1)x x y x x −+′=++,令0y ′=，得驻点122,0x x =−=.2223(22)(1)2(21)(2)(1)x x x x x x y x x −−+++++′′=++200,0x x y y =−=′′′′><,故极大值为(0)4y =，极小值为8(2)3y −=.(9)解:e (cos sin )x y x x ′=−,令0y ′=，得驻点ππ (0,1,2,)4k x k k =+=±±⋯.2e sin x y x ′′=−，ππ2π(21)π440,0x k x k y y =+=++′′′′<>，故2π2π 4k x k =+为极大值点，其对应的极大值为π2π42()k k y x +=;21π(21)π 4k x k +=++为极小值点，对应的极小值为π(21)π421()k k y x +++=.(10)解:11211ln (ln )xxxy x x x x x −′′==,令0y ′=，得驻点e x =.当e x >时，0y ′<，当e x <时，0y ′>,故极大值为1e(e)e y =.(11)解:2e e x xy −′=−,令0y ′=，得驻点ln 22x =−.ln 222e e ,0x x x y y −=−′′′′=+>,故极小值为ln 2()2y −=.(12)解:y ′=，无驻点.y 的定义域为(,)−∞+∞，且y 在x =1处不可导，当x >1时0y ′<，当x <1时，0y ′>，故有极大值为(1)2y =.(13)解:y ′=无驻点.y 在1x =−处不可导，但y ′恒小于0，故y 无极值.(14)解:21sec 0y x ′=+>,y 为严格单调增加函数，无极值点.5.证明：232y ax bx c ′=++，令0y ′=，得方程2320ax bx c ++=，由于22(2)4(3)4(3)0b a c b ac ∆=−=−<，那么0y ′=无实数根，不满足必要条件，从而y 无极值.6.解：f (x )为可导函数，故在π3x =处取得极值，必有π3π0()(cos cos3)3x f a x x =′==+，得a =2.又π3π0((2sin 3sin 3)3x f x x =′′=<=−−，所以π3x =是极大值点，极大值为π()3f =7.（1）解：y 的定义域为(,0)−∞，322(27)0x y x +′==，得唯一驻点x =－3且当(,3]x ∈−∞−时，0y ′<，y 单调递减；当[3,0)x ∈−时，0y ′>，y 单调递增,因此x =－3为y 的最小值点，最小值为f (－3)=27.又lim ()x f x →−∞=+∞，故f (x )无最大值.(2)解：10y ′==，在(5,1)−上得唯一驻点34x =，又53,(1)1,(5)544y y y ⎛⎞==−=−⎜⎟⎝⎠ ,故函数()f x 在[－5，1]上的最大值为545−.(3).解：函数在(－1，3)中仅有两个驻点x =0及x =2，而y (－1)=－5，y (0)=2，y (2)=－14，y (3)=11,故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14.8.解：20y ax b ′=+=得2b x a =−不可能属于以0和ba 为端点的闭区间上,而22(0)0,b b y y a a ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠,故当a >0时，函数的最大值为22b b y a a ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，最小值为(0)0y =;当a <0时，函数的最大值为(0)0y =，最小值为22b b y a a ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠.9.解：令y =,y ′===令0y ′=得x =1000.因为在(0，1000)上0y ′>，在(1000,)+∞上0y ′<,所以x =1000为函数y的极大值点，也是最大值点，max (1000)y y ==.故数列的最大项为1000a =.10.证明：11,01111(),01111,11x x x a f x x ax x a x a x x a ⎧+<⎪−−+⎪⎪=+≤≤⎨+−+⎪⎪+>⎪++−⎩当x <0时，()()2211()011f x x x a ′=+>−−+;当0<x <a 时，()()2211()11f x x x a ′=−++−+;此时令()0f x ′=，得驻点2a x =，且422a f a ⎛⎞=⎜⎟+⎝⎠，当x >a 时，()()2211()011f x x x a ′=−−<++−,又lim ()0x f x →∞=，且2(0)()1a f f a a +==+.而()f x 的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得故{}max 242(),,0121a af x a a a++==+++.11.解：设圆柱体的高为h ,，223πππ4V h r h h =⋅=−令0V ′=,得.h =即圆柱体的高为3r 时，其体积为最大.12.解：由题设知21π22x xy a⎛⎞+⋅=⎜⎟⎝⎠得21π18π8a x a y x x x −==−截面的周长212112π()2πππ,2424π2()1,4a a l x x y x x x x x x x x al x x=++⋅=+−+=++′=+−令()0l x ′=得唯一驻点x =，即为最小值点.即当x =.13.解：所需电线为()(03)()L x x L x =<<′=在0<x <3得唯一驻点x =1.2(km)，即变压器设在输电干线离A 处1.2km 时，所需电线最短.14.解：设小正方形边长为x 时方盒的容积最大.232222(2)44128V a x x x ax a xV x ax a =−⋅=−+′=−+令0V ′=得驻点2a x =(不合题意，舍去)，6a x =.即小正方形边长为6a时方盒容积最大.15.(1)解：42,20y x y ′′′=−=−<，故知曲线在(,)−∞+∞内的图形是凸的.(2)解：cosh ,sinh .y x y x ′′′==由sinh x 的图形知，当(0,)x ∈+∞时，0y ′′>，当(,0)x ∈−∞时，0y ′′<，故y =sinh x 的曲线图形在(,0]−∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的.(3)解：23121,0y y x x ′′′=−=>，故曲线图形在(0,)+∞是凹的.(4)解：2arctan 1x y x x ′=++，2220(1)y x ′′=>+故曲线图形在(,)−∞+∞内是凹的.16.(1)；解：23103y x x ′=−+610y x ′′=−，令0y ′′=可得53x =.当53x <时，0y ′′<，故曲线在5(,)3−∞内是凸弧；当53x >时，0y ′′>，故曲线在5[,)3+∞内是凹弧.因此520,327⎛⎞⎜⎟⎝⎠是曲线的唯一拐点.(2)解：(1)e , e (2)x xy x y x −−′′′=−=−令0y ′′=，得x =2当x >2时，0y ′′>，即曲线在[2,)+∞内是凹的；当x <2时，0y ′′<，即曲线在(,2]−∞内是凸的.因此(2，2e －2)为唯一的拐点.(3)；解：324(1)e , e 12(1)0x x y x y x ′′′=++=++>故函数的图形在(,)−∞+∞内是凹的，没有拐点.(4)解：222222(1), 1(1)x x y y x x −′′′==++令0y ′′=得x =－1或x =1.当－1<x <1时，0y ′′>，即曲线在[－1，1]内是凹的.当x >1或x <－1时，0y ′′<，即在(,1],[1,)−∞−+∞内曲线是凸的.因此拐点为(－1，ln2)，(1，ln2).(5)；解：arctan arctan 222112e ,e1(1)x xx y y x x −′′′==++ 令0y ′′=得12x =.当12x >时，0y ′′<，即曲线在1[,)2+∞内是凸的；当12x <时，0y ′′>，即曲线在1(,]2−∞内是凹的，故有唯一拐点1arctan 21(,e )2.(6)解：函数y 的定义域为(0，+∞)且在定义域内二阶可导.324(12ln 4),144ln .y x x y x x ′′′=−= 令0y ′′=，在(0，+∞)，得x =1.当x >1时，0y ′′>，即曲线在[1,)+∞内是凹的;当0<x <1时，0y ′′<，即曲线在(0，1]内是凸的，故有唯一拐点(1，－7).17.(1);证明：令()nf x x =12(),()(1)0n n f x nx f x n n x −−′′′==−> ，则曲线y =f (x )是凹的，因此,x y R +∀∈，()()22f x f y x y f ++⎛⎞<⎜⎟⎝⎠,即1()22nn n x y x y +⎛⎞<+⎜⎟⎝⎠.(2);证明：令f (x )=e x()e ,()e 0x x f x f x ′′′==> .则曲线y =f (x )是凹的，,,x y R x y∀∈≠ 则()()22f x f y x y f ++⎛⎞<⎜⎟⎝⎠即2e e e2x yx y ++<.(3)证明：令f (x )=x ln x (x >0)1()ln 1,()0(0)f x x f x x x′′′=+=>> 则曲线()y f x =是凹的，,x y R +∀∈，x ≠y ，有()()22f x f y x y f ++⎛⎞<⎜⎟⎝⎠即1ln (ln ln )222x y x y x x y y ++<+，即ln ln ()ln2x y x x y y x y ++>+.18.(1)解：22223d 33d 3(1),d 2d 4y t y t xt x t +−==令22d 0d yx =，得t =1或t =－1则x =1，y =4或x =1，y =－4当t >1或t <－1时，22d 0d yx >，曲线是凹的，当0<t <1或－1<t <0时，22d 0d yx <，曲线是凸的，故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4).(2)解：32d 22sin cos 2sin cos d 2(csc )y a xa θθθθθ⋅⋅==−⋅−222442222d 11(6sin cos 2sin )sin cos (3tan )d 2(csc )y x a a θθθθθθ=−+⋅=⋅−−令22d 0d y x =，得π3θ=或π3θ=−，不妨设a >0tan θ>>时，即ππ33θ−<<时，22d 0d y x >，当tan θ>或tan θ<π3θ<−或π3θ>时，22d 0d y x <,故当参数π3θ=或π3θ=−时，都是y的拐点，且拐点为3,2a ⎞⎟⎠及3,2a ⎛⎞⎜⎟⎝⎠.19.证明：22221(1)x x y x −++′=+，y ′′=令0y ′′=，得1,22x x x =−=+=−当(,1)x ∈−∞−时，0y ′′<；当(1,2x ∈−时0y ′′>；当(22x ∈−+时0y ′′<；当(2)x ∈++∞时0y ′′>,因此，曲线有三个拐点(－1，－1)，(2−+.因为111212−−+因此三个拐点在一条直线上.20.解：y′=3ax 2+2bx ,y″=6ax +2b 依题意有3620a b a b +=⎧⎨+=⎩解得39,22a b =−=.21.解：令f (x )=ax 3+bx 2+cx +d联立f (－2)=44，f ′(－2)=0，f (1)=－10，f ″(1)=0可解得a =1，b =－3，c =－24，d =16.22.解：224(3),12(1)y kx x y k x ′′′=−=− 令0y ′′=，解得x =±1，代入原曲线方程得y =4k ，只要k ≠0，可验证(1，4k )，(－1，4k )是曲线的拐点.18x k y =±′=±，那么拐点处的法线斜率等于18k ∓，法线方程为18y x k =∓.由于(1，4k )，(－1，4k )在此法线上，因此148k k =±,得22321, 321k k ==−(舍去)故8k ==±.23.答：因00()()0f x f x ′′′==，且0()0f x ′′′≠，则x =x 0不是极值点.又在0(,)U x δ�中，000()()()()()()f x f x x x f x x f ηη′′′′′′′′′′=+−=−，故()f x ′′在0x 左侧与0()f x ′′′异号，在0x 右侧与0()f x ′′′同号，故()f x 在x =x 0左、右两侧凹凸性不同，即00(,())x f x 是拐点.24.(1)；解：函数的定义域为(－∞，+∞),且为奇函数,2222222223121(1)(1)2(3)(1)x x x y x x x x y x +−−′==++−′′=+令0y ′=，可得1x =±，令0y ′′=，得x =0，,当x→∞时，y→0，故y=0是一条水平渐近线.函数有极大值1(1)2f=，极小值1(1)2f−=−，有3个拐点，分别为,⎛⎜⎝(0，0)，，作图如上所示.(2)解：函数定义域为(－∞，+∞)，且为奇函数,2222114(1)yxxyx′=−+′′=+令y′=0，可得x=±1，令y″=0，可得x=0.列表讨论如下：x0(0，1)1(1，∞)y′－0+y″0++y0极小又()2lim lim(1arctan)1x xf xxx x→∞→∞=−=且lim[()]lim(2arctan)πx xf x x x→+∞→+∞−=−=−故πy x=−是斜渐近线，由对称性知πy x=+亦是渐近线.函数有极小值π(1)12y=−，极大值π(1)12y−=−.(0，0)为拐点.作图如上所示.(3)；解：函数的定义域为,1x R x∈≠−.22232(1)(2)(1)(1)(1)2(1)x x x x xy xx xyx+−+′==≠−++′′=+令y′=得x=0，x=－2当(,2]x∈−∞−时，0,()y f x′>单调增加；当[2,1)x∈−−时，0,()y f x′<单调减少；当(1,0]x∈−时，0,()y f x′<单调减少；当[0,)x∈+∞时，0,()y f x′>单调增加,故函数有极大值f(－2)=－4，有极小值f(0)=0又211lim()lim1x xxf xx→−→−==∞+，故x=－1为无穷型间断点且为铅直渐近线.又因()lim1xf xx→∞=，且2lim(())lim11x xxf x x xx→∞→∞⎡⎤−==−−⎢⎥+⎣⎦，故曲线另有一斜渐近线y=x－1.综上所述，曲线图形为：(4)解：函数定义域为(－∞，+∞).22(1)(1)22(1)e e 2(241)x x y x y x x −−−−′=−−′′=⋅−+令0y ′=，得x =1.令0y ′′=，得1x =±.当(,1]x ∈−∞时，0,y ′>函数单调增加；当[1,)x ∈+∞时，0,y ′<函数单调减少；当(,1[1)x ∈−∞−++∞∪时，0y ′′>，曲线是凹的；当[1,122x ∈−+时，0y ′′<，曲线是凸的,故函数有极大值f (1)=1，两个拐点：1122(1,e ),(1,e )22A B −−−+，又lim ()0x f x →∞=，故曲线有水平渐近线y =0.图形如下：25.(1)解：2e ()0(1e )cxcx Ac g x −−′=>+，g (x )在(－∞，+∞)内单调增加，222244e e 2(1e )e e (1e )()(1e )(1e )cx cx cx cx cx cx cx cx Ac Ac Ac g x −−−−−−−−−+⋅+⋅−−′′==++当x >0时，()0,()g x g x ′′<在(0，+∞)内是凸的.当x <0时，()0,()g x g x ′′>在(－∞，0)内是凹的.当x =0时，()2A g x =.且lim ()0,lim ()x x g x g x A→−∞→+∞==.故曲线有两条渐近线y =0，y =A .且A 为该种动物数量(在特定环境中)最大值，即承载容量.如图：(2)解：()()1e 1e cx cxA Ag x g x A −−+=+=++.(3)证明：∵()1e 1e e c x T cx cT A Ay B B −+−−==++取e1cTB −=，得ln B T c =即曲线1e cx A y B −=+是对g (x )的图像沿水平方向作了ln B T c =个单位的平移.26.解：324d π,π,.3d r V r A r v t === 2d d d 4πd d d d d d 8πd d d V V rr v t r t A A r r v t r t=⋅=⋅=⋅=⋅27.解：d d de e .d d d a a r r a a t t ϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅=28.解：22cos 2cos sin sin 2x a y a a ϕϕϕϕ⎧=⎨==⎩d d d 22cos (sin )2sin 2,d d d d d d 2cos 22cos .d d d x x a a t t y y a a t t ϕϕϕωωϕϕϕϕωωϕϕ=⋅=⋅⋅−⋅=−=⋅=⋅=29.解：方程22169400x y +=两边同时对t 求导，得d d 32180d d x yx y t t⋅+⋅=由d d d d x y tt −=.得161832,9y x y x == 代入椭圆方程得：29x =，163,.3x y =±=±即所求点为1616,3,3,33⎛⎞⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠.30.解：当水深为h时，横截面为212s h ==体积为22212V sh h ′====d d 2d d V hh t t=⋅当h =0.5m 时，31d 3m min d Vt −=⋅.故有d 320.5d ht =⋅，得d d h t =(m 3·min －1).31.解：设t 小时后，人与船相距s公里，则d d s s t ===且120d 8.16d t st ==≈(km ·h－1)32.解：d d d 236.d d d y y xx x t x t=⋅=⋅=当x =2时，d 6212d yt =×=(cm ·s －1).33.证明：如图，设在t 时刻，人影的长度为y m.则53456y y t=+化简得d 7280,40,40d yy t y t t ===(m ·min －1).即人影的长度的增长率为常值.34.解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4)当x =2时，0,2y y ′′′==− ，故23/22.(1)y k y ′′==′+35.解：sinh ,cosh .y x y x ′′′== 当x =0时，0,1y y ′′′== ，故23/21.(1)y k y ′′==′+36.解：cos ,sin y x y x ′′′==−.当π2x =时，0,1y y ′′′==− ，故23/21.(1)y k y ′′==′+37.解：2tan ,sec y x y x ′′′== 故223/223/2sec cos (1)(1tan )y x k x y x ′′===′++1sec R x k ==.38.解：22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d y y a t t t t x x a t tt ===−−，22224d d d(tan )1sec 1(tan )d d d d 3cos sin 3sin cos d y t t t x x x ta t t a t t t −−=−=⋅==−，故423/2123sin cos [1(tan )]3sin 2a t t k t a t==+−且当t =t 0时，23sin 2k a t =.39.解：cos ,sin y x y x ′′′==− .23/223/2(1cos )1sin ,sin (1cos )x x R k x R x +===+ 显然R 最小就是k 最大，225/22cos (1sin )(1cos )x x k x +′=+令0k ′=，得π2x =为唯一驻点.在π0,2⎛⎞⎜⎟⎝⎠内，0k ′>，在π,π2⎛⎞⎜⎟⎝⎠内，0k ′<.所以π2x =为k 的极大值点，从而也是最大值点，此时最小曲率半径为23/2π2(1cos )1sin x x R x=+==.40.解：由ln 0y x y =⎧⎨=⎩解得交点为(1，0).1112111,11.x x x x y x y x ====′==′′=−=−故曲率中心212(1,0)(1)312x y y x y y y y αβ=⎧′′⎡⎤+==−⎪⎢′′⎣⎦⎪⎨′⎡⎤+⎪==−+⎢⎥⎪′′⎣⎦⎩曲率半径为R =.故曲率圆方程为：22(3)(2)8x y −++=.41.解：0010,5000x x y y ==′′′==，23/2(1)5000y R y ′+==′′飞行员在飞机俯冲时受到的向心力22702005605000mv F R ⋅===(牛顿)故座椅对飞行员的反力560709.81246F =+×=(牛顿).42.解：(1)边际成本为：()(300 1.1) 1.1.C q q ′′=+=(2)利润函数为2()()() 3.90.003300() 3.90.006L q R q C q q q L q q=−=−−′=−令()0L q ′=,得650q =即为获得最大利润时的产量.(3)盈亏平衡时：R (q )=C (q )即 3.9q －0.003q 2－300=0q 2－1300q +100000=0解得q =1218(舍去)，q =82.43.解：(1)利润函数为32322()70.010.6130.010.66()0.03 1.26L q q q q q q q qL q q q =−+−=−+−′=−+−令()0L q ′=，得231206000q q −+=即2402000q q −+=得20q =−(舍去)2034.q =+≈此时，32(34)0.01340.63463496.56L =−×+×−×=(元)(2)设价格提高x 元，此时利润函数为2()(7)(342)(34)220379.44L x x x C x x =+−−=−++令()0L x′=,得5x=(5)121.5696.56L=>故应该提高价格，且应提高5元.44.(1)解：y′=a即为边际函数.弹性为：1Ey axa xEx ax b ax b =⋅⋅=++,增长率为：yaax b γ=+.(2)解：边际函数为：y′=ab e bx弹性为：1eebxbxEyab x bx Ex a=⋅⋅=,增长率为：eebxy bxabbaγ==.(3)解：边际函数为：y′=ax a－1.弹性为：11aaEyax x a Ex x−=⋅⋅=,增长率为：1.ay aax ax x γ−==45.解：因弹性的经济意义为：当自变量x变动1%，则其函数值将变动% EyEx⎛⎞⎜⎟⎝⎠.故当价格分别提高10%，20%时，需求量将分别提高0.8×10%=8%，0.8×20%=16%.46.解：人均收入年增长率=国民收入的年增长率－人口增长率=7.1%－1.2%=5.9%.。