八年级数学下册-第一章《因式分解》复习教案

2022-2023学年八年级数学北师大版下册4.1因式分解教案一、教学目标1.理解因式分解的概念和意义；2.掌握基本的因式分解方法；3.能够应用因式分解解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和综合运算能力。

二、教学内容1.回顾负数的乘法和除法；2.因式分解的基本概念；3.因式分解的基本方法；4.应用因式分解解决实际问题。

三、教学重点1.理解因式分解的概念和意义；2.掌握基本的因式分解方法。

四、教学难点1.能够应用因式分解解决实际问题；2.培养学生的逻辑思维和综合运算能力。

五、教学准备1.北师大版八年级数学下册教材；2.学生练习册；3.教学投影仪和课件。

六、教学过程1. 导入（5分钟）目的：进一步激发学生对因式分解的兴趣。

1.引入一个生活中的问题：小明买了5个苹果，小红买了3个苹果，他们一共买了多少个苹果？请用数学式子表示出来。

2. 新课讲解（10分钟）目的：引入因式分解的概念和意义。

1.引导学生思考：在小明和小红买苹果的问题中，能否用一种更简洁的方式表示数量关系？2.引出因式分解的概念：将一个数或者一个代数式写成若干个乘积的形式，其中每个乘积的因数称为因式。

3.引导学生发现因式分解的意义：通过因式分解，可以使问题的表达更加简洁，同时也方便我们进行计算和解题。

3. 示例演练（15分钟）目的：回顾负数的乘法和除法，并让学生掌握基本的因式分解方法。

1.提醒学生注意负数的乘法和除法规则：两个负数相乘得正数，一个正数和一个负数相乘得负数，负数除以正数得负数，正数除以负数得正数。

2.给出一个示例：将14ab分解为因式的乘积。

3.引导学生思考解题思路：首先确定14的因数，然后确定a和b的因数，并组合得到14ab的所有因式。

4.和学生一起分解示例：14ab = 2 * 7 * a * b。

4. 练习与巩固（15分钟）目的：让学生通过练习巩固所学的因式分解方法。

1.学生完成教材上的练习题，老师及时给予指导和解答。

5. 拓展与应用（10分钟）目的：引导学生将因式分解应用到实际问题中。

第2课时用完全平方公式进行因式分解路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。

屈原《离骚》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！【知识与技能】使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，然后再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式.【过程与方法】经历整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力.【情感态度】培养学生灵活运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值.【教学重点】掌握公式法中的完全平方公式进行分解因式【教学难点】灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式，正确判断因式分解的彻底性问题.一.情景导入，初步认知完全平方公式现在我们把完全平方公式反过来，可得：两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方.【教学说明】对完全平方公式进行复习，为本节课的教学作准备.二.思考探究，获取新知形如的多项式称为完全平方式.【归纳结论】我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫公式法.三.运用新知，深化理解1.见教材P101例3、例42.判别下列各式是不是完全平方式．(1)x2+y2;(2)x2+2xy+y2;(3)x2-2xy+y2;(4)x2+2xy-y2(5)-x2+2xy-y2.答案：（2）（3）（5）是完全平方式3.当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．答案:8或－24.分解因式：-8ax2+16axy-8ay2解：原式=-8a（x2-2xy+y2）=-8a（x-y）25.分解因式：（a2+1）2-4a2解：原式=（a2+1+2a）（a2+1-2a）=（a+1）2（a-1）26.分解因式:（a2-4a+4）-c2解：原式=（a-2）2-c2=（a-2+c）（a-2-c）7.（x+3y）2+（2x+6y）（3y-4x）+（4x-3y）2解：原式=（x+3y）2-2（x+3y）（4x-3y）+（4x-3y）2=（x+3y-4x+3y）2=(-3x+6y)2=9x-2y)28.一天,小明在纸上写了一个算式为4x2+8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”解：4x2+8x+11=（2x+2）2+7∵（2x+2）2+7≥0∴无论x取何值,这个代数式的值都是正值【教学说明】在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解.四.师生互动,课堂小结从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方式与乘法公式有什么关系？五.教学板书布置作业:教材“习题4.5”中第1、2题.因式分解虽然与整式的乘法是互逆运算，但是对于学生而言，它是一个新的知识，学生在前面的学习中虽然已经掌握平方差公式和完全平方公式，然而受思维定势的影响，学生对公式的逆用会产生混淆，学生的惯性思维是：平方差公式是（a+b）（a-b）=a2-b2，完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2，一旦要公式逆向，部分学生就比较难以接受，特别是学习能力较弱的学生，难度就更大一些。

《整式的乘除与因式分解》初中数学教案一、教学目标：1. 让学生掌握整式乘除的运算方法，能够熟练进行整式的乘除运算。

2. 让学生理解因式分解的意义，掌握因式分解的方法，能够对简单的多项式进行因式分解。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容：1. 整式的乘法：单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式。

2. 整式的除法：单项式除以单项式，多项式除以单项式。

3. 因式分解：提公因式法，十字相乘法，公式法。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：整式的乘除运算，因式分解的方法。

2. 教学难点：因式分解的灵活运用，解决实际问题。

四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解整式乘除的运算规则。

2. 采用案例教学法，让学生通过具体例子掌握因式分解的方法。

3. 采用小组讨论法，培养学生的合作精神和解决问题的能力。

五、教学过程：1. 导入：通过复习相关知识，引导学生进入整式乘除与因式分解的学习。

2. 讲解：讲解整式乘除的运算规则，让学生进行相应的练习。

3. 案例分析：给出具体的因式分解例子，引导学生掌握因式分解的方法。

4. 练习：让学生进行因式分解的练习，巩固所学知识。

6. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂练习：通过课堂上的即时练习，评估学生对整式乘除和因式分解的理解程度。

2. 作业批改：对学生的作业进行详细批改，了解学生对知识的掌握情况，及时发现并纠正错误。

3. 学生反馈：收集学生的反馈意见，了解他们在学习过程中的困惑和问题。

七、教学拓展：1. 利用多媒体教学资源，如数学软件或在线平台，让学生进行互动式的整式乘除和因式分解练习。

2. 组织数学竞赛或小组竞赛，激发学生的学习兴趣和竞争意识。

3. 结合实际问题，让学生运用整式乘除和因式分解的知识解决实际问题，提高学生的应用能力。

八、教学反思：1. 反思教学方法的有效性，根据学生的反馈和作业情况，调整教学策略。

因式分解【知识梳理】因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

1 1 1即：多项式几个整式的积例：-ax -bx -x(a b)3 3 3因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

(1) 整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；(2) 因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘；(3) 因式分解的最后结果应当是积”的形式。

【例题】判断下面哪项是因式分解：珈(口+b+tr) 3x+6y-2 = 3(x+j)-2因式分解的方法提公因式法：定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。

公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

系数---取各项系数的最大公约数字母---取各项都含有的字母指数---取相同字母的最低次幕(指数)【例题】12a3b3c 8a3b2c36a4b2c2的公因式是______________________ .【解析】从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、— & 6,它们的最大公约33 323 422 3 2 3 2数为2；字母部分abc, abc,abc都含有因式a b c，故多项式的公因式是2a b c .小结提公因式的步骤：第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。

多项式中第一项有负号的，要先提取符号【基础练习】1. ax 、ay 、— ax 的公因式是 __________ ; 6mn 2、— 2m 2 n 3、4mn 的公因式是 ____________ . 2 •下列各式变形中，是因式分解的是()1A. a 2— 2ab + b 2— 1=( a — b ) 2— 1 B . 2x 2 2x 2x 2(1 丄)xC . (x + 2) (x — 2)= x 2— 4D . x 4— 1=( x 2 + 1) ( x + 1) (x — 1)3. 将多项式—6x 3y 2 + 3x 2y 2— 12x 2y 3分解因式时，应提取的公因式是() A. — 3xyB . — 3x 2yC . — 3x 2y 2D . — 3x 3y 34. 多项式a n — a 3n + a n + 2分解因式的结果是()A . a n (1 — a 3 + a 2)B . a n (— a 2n + a 2)C . a n (1 — a 2n + a 2)D . a n (— a 3 + a n )5 .把下列各式因式分解:—2x 2n — 4x n x (a — b ) 2n + xy (b — a ) 2^16. 应用简便方法计算:(1) 2012— 201(3)说明 3200 — 4X 3199+ 10>3198 能被 7 整除.5x 2y + 10xy 2— 15xy3x ( m — n ) + 2 (m — n )3 (x — 3) 2— 6 (3 — x )y (x — y ) 2—( y — x ) 3(2) 4.3 >199.8+ 7.6 >199.8— 1.9 >199.8【提高练习】1. 把下列各式因式分解:(1) _______________________________________ — 16a 2b -8ab= ; (2) x 3 (x — y ) 2 — x 2 (y — x ) 2= _______________________ 2. 在空白处填出适当的式子：3. 如果多项式x 2 + mx + n 可因式分解为（x + 1） （x — 2）,则m 、n 的值为（4. (— 2) 10+(— 2) 11 等于()1-,求 x (x + y ) 2 (1 — y )— x (y + x ) 2 的值27. 因式分解：(1) ax + ay + bx + by ;(1) x (y — 1) — ( )=(y — 1) (x + 1 )；(2) — ab 2 — b 3c (27 9)(2a + 3bc ). A . m =1, n = 2B . m =— 1, n = 2C . m = 1, n = — 2D . m =— 1, n = — 2A . — 210B . — 211C . 2105 .已知x , y 满足2x y x 3y6,求 7y (x — 3y ) 1,2— 2 (3y — x ) 3的值.6.已知 x + y = 2, xy(2) 2ax + 3am — 10bx — 15bm .运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

4.1 因式分解知识点一：全等三角形的判定和性质教师活动：通过类比数式的分解，对多项式进行分解，从而引出因式分解的概念.议一议你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗?与同伴交流.师生活动：教师提示：类比993- 99 的因数分解学生尝试分解，并交流反馈，得a3-a = a(a2- 1) = a(a + 1)(a- 1)做一做观察下面拼图过程，写出相应的关系式.问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？联系：等号左右两边是同一多项式的不同表现形式.区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？师生活动：教师引导学生观察上列等式与图片，然后讨论问题1，在做问题2时引出总结：归纳总结：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.辩一辩判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：A. x(a﹣b) = ax﹣bx（×）B. x2﹣1 + y2= (x﹣1)(x + 1) + y2 （×）C. y2﹣1 = (y + 1)(y﹣1)（√）D. ax + by + c = x(a + b) + c（×）E. 2a3b = a2 • 2ab（×）F. (x + 3)(x﹣3) = x2﹣9 （×）师生活动：学生举手回答问题.做一做计算下列各式：(1) 3x(x- 1) = 3x2 - 3x(2) m(a+b- 1) = ma+mb-m(3) (m+4)(m- 4) = ____m2 - 16(4) (y- 3)2 = _____y2 - 6y+9根据左边的算式进行因式分解：(1) 3x2 - 3x = ( 3x)( x- 1)(2) ma+mb-m = ( m)( a+b- 1 )(3) m2 - 16 = ( m+4 )( m- 4 )(4) y2 - 6y+9 = ( y- 3 )( y- 3) 或(y- 3)2师生活动：按照左边右边是什么形式，自由的说一说.知识点二：因式分解与整式乘法的关系想一想：由a(a + 1)(a- 1) 得到a3 -a的变形是什么运算？由a3-a得到a(a + 1)(a- 1) 的变形与它有什么不同？答：由a(a + 1)(a- 1) 得到a3 -a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a + 1)(a- 1) 的变形与上面的变形互为逆过程.想一想：因式分解与整式乘法有什么关系?师生活动：教师提出问题，学生小组交流探讨，小组代表发言，教师适时引导并整理板书.是互为相反的变形，即x2- 1 = (x + 1)(x- 1)因式分解等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积.典例精析：例若多项式x2 + ax + b分解因式的结果为a(x ﹣2)(x + 3)，求a，b的值.师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.解：∵ x2 + ax + b = a(x- 2)(x + 3)= ax2 + ax- 6a，∵ a = 1，b = -6a = -6.方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结4.1 因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.x2- 1 = (x + 1)(x- 1)因式分解等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积.。

整式和因式分解复习教案第一章：整式的概念与性质1.1 内容概述本节主要回顾整式的定义、分类及其基本性质。

1.2 教学目标(1) 理解整式的概念，掌握整式的分类；(2) 掌握整式的加减法、乘法运算规则；(3) 理解整式的系数、次数、度等基本性质。

1.3 教学重点与难点重点：整式的概念、分类、基本性质；难点：整式的运算规则及性质的灵活运用。

1.4 教学方法采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等。

1.5 教学过程(1) 复习整式的定义及分类；(2) 复习整式的加减法、乘法运算规则；(3) 复习整式的系数、次数、度等基本性质；(4) 进行典型例题讲解与分析；(5) 学生练习，教师点评。

第二章：因式分解的概念与方法2.1 内容概述本节主要回顾因式分解的定义、方法及其应用。

(1) 理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法；(2) 学会运用因式分解解决实际问题。

2.3 教学重点与难点重点：因式分解的概念、方法；难点：因式分解在实际问题中的应用。

2.4 教学方法采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等。

2.5 教学过程(1) 复习因式分解的定义及方法；(2) 复习因式分解在实际问题中的应用；(3) 进行典型例题讲解与分析；(4) 学生练习，教师点评。

第三章：提公因式法与公式法3.1 内容概述本节主要回顾提公因式法与公式法在因式分解中的应用。

3.2 教学目标(1) 掌握提公因式法与公式法的运用；(2) 学会运用提公因式法与公式法解决实际问题。

3.3 教学重点与难点重点：提公因式法与公式法的运用；难点：提公因式法与公式法在实际问题中的应用。

采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等。

3.5 教学过程(1) 复习提公因式法与公式法的定义及运用；(2) 复习提公因式法与公式法在实际问题中的应用；(3) 进行典型例题讲解与分析；(4) 学生练习，教师点评。

第四章：因式分解的应用4.1 内容概述本节主要回顾因式分解在实际问题中的应用。

4.2 教学目标(1) 学会运用因式分解解决实际问题；(2) 培养学生的数学应用能力。

A．x（1﹣2x）2B．x（2x﹣1）（2x+1）C．x（1﹣2x）（2x+1）D．x（1﹣4x2）2.设b＞0，a2﹣2ab+c2=0，bc＞a2，则实数a、b、c的大小关系是（A）A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c3.若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（ A ）A．–6B．6C．–9D．9三、课堂练习1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（D）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或112．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（A）A．25B．20C．15D．103．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（D）A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥04．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 6 ．5．若a﹣b＝3，b﹣c＝2，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝19 ．6．已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝ 3 ；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝-2022 ．7．已知x2﹣2x﹣3＝0，则x3﹣x2﹣5x+12＝15 ．8．若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为 3 ．9．已知2x2﹣ax﹣2＝0，则下列结论中正确的是124 ．①其中x的值不可能为0；②当x＝2时，；③若a＝1时，；④若a＝2时，x3﹣4x2+2x＝﹣3．10．设n为整数，则（2n+1）2﹣12.5一定能被（B）A．2整除B．4整除C．6整除D．8整除11．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（B）A．61和63B．63和65C．65和67D．64和6712．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（C）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除13．如图①，是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体（a＞b）（1）如图①所示的几何体的体积是a3-b3．（2）用另一种方法表示图①的体积：把图①分成如图②所示的三块长方体，将这三块长方体的体积相加后得到的多项式进行因式分解．比较这两种方法，可以得出一个代数恒等式（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3．14．若a2﹣b﹣1＝0，且（a2﹣1）（b+2）＜a2b．（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）若a4﹣2b﹣2＝0，求b的值．15．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形三角形．16．△ABC的两边a，b满足a4+b4﹣2a2b2＝0，且∠A＝60°，则△ABC的形状是等边三角形三角形．17．阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）所得结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出的几何图形的面积为2a2+5ab+2b2，②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2a2+5ab+2b2分解因式．即2a2+5ab+2b2＝．18．阅读理解材料一：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也能够成立．材料二：两位数p和三位数q，它们各个数位上的数字都不为0，将数p任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数q的任意一个数位上的数字作为该新数的两位数的个位数字，技照这种方式产生的所有新的两位数的和记为T（p，q）例如：T（12，123）＝11+12+13+21+22+23＝102，T（33，456）＝34+35+36+34+35+36＝210．（1）填空T（15，345）＝．（2）求证：当q能够被3整除时T（p，q）一定能够被6整除．（3）若一个两位数m＝2la+b，一个三位数n＝12la+b+199，（其中1≤a≤4，1≤b≤5，a，b为整数），交换三位数n的百位数字和个位数字得到新数n′，当m的个位数字的3倍与n′的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“和谐数对”，求所有和谐数对中T（m，n）的最大值．四、课堂小结重难点：多项式乘多项式；乘法公式；因式分解的方法。

北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握因式分解的方法和应用。

因式分解是代数运算的基础，对于提高学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。

本节课的内容包括提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，通过这些方法的学习，使学生能够灵活运用因式分解解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法运算，具备了一定的代数基础。

但因式分解较为抽象，对于部分学生来说，理解起来存在一定的困难。

因此，在教学过程中，要关注学生的学习差异，针对不同层次的学生进行教学，提高他们的学习兴趣和自信心。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解的方法，能够灵活运用各种方法进行因式分解。

2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法。

2.难点：灵活运用各种方法进行因式分解，解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生主动思考，培养学生的创新能力。

3.小组合作学习：培养学生团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关教案、PPT、教学素材等。

2.准备黑板、粉笔、投影仪等教学用品。

3.提前让学生预习本节课的内容，了解因式分解的基本概念。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）利用生活实例或趣味数学问题，引入因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 呈现（10分钟）通过PPT展示因式分解的方法，包括提公因式法、公式法、分组分解法等。

引导学生了解各种方法的特点和应用。

3. 操练（10分钟）对学生进行分组，每组选定一个因式分解问题，运用所学的methods进行解决。

教师巡回指导，解答学生的疑问。