用最小二乘法计算拟合曲线系数

最小二乘法excel
最小二乘法（Least Squares Method，LSM）用于拟合曲线，可以表述为：
一组已知数据点（xi，yi），拟合函数为f（x），最小二乘法要求最小化函数
∑（yi - f（xi））^2
由此可以求得最佳拟合曲线，用Excel拟合数据可以使用下列步骤：
1、载入数据
将拟合的数据输入到Excel中，假设输入的数据是
“A1:B10”，纵坐标的数据在A列，横坐标的数据在B列；
2、拟合函数
点击“工具”，点击“函数”，选择“最小二乘拟合”，弹出“函数参数”对话框；
（1）在“函数参数”对话框，单击“遵循”，选择“线性”；
（2）在“函数参数”对话框，单击“区域”，在“区域”文本框中输入拟合数据区域，即“A1:B10”；
（3）在“函数参数”对话框，单击“预测的结果”，单击“确定”；
（4）在“函数参数”对话框，单击“结果存放”，选择“图表中”，单击“确定”；
3、图表显示
此时，Excel会自动弹出图表，可以看到最小二乘拟合的曲线和数据点；
4、参数计算
在最小二乘拟合的曲线上，右键单击，选择“编辑数据系列”，弹出“编辑数据系列”对话框，在“编辑数据系列”对话框中可以计算出最小二乘拟合的具体参数；
通过以上步骤，可以轻松拟合一组数据点，并计算出最小二乘拟合函数的参数。

Excel是一款功能强大的电子表格软件，广泛应用于数据处理与分析领域。

其中最小二乘法是一种常见的曲线拟合方法，在Excel中通过使用函数进行实现。

本文将介绍如何利用Excel进行最小二乘法拟合曲线的操作步骤及相关注意事项。

希望通过本文的介绍，读者能够掌握利用Excel进行曲线拟合的方法，从而在实际工作中能够更加高效地处理数据和分析结果。

一、最小二乘法简介最小二乘法是一种数学上常用的曲线拟合方法，其本质是通过调整曲线参数使得实际观测值与拟合值之间的差异最小化。

在实际应用中，最小二乘法常用于拟合直线、曲线以及多项式等形式的函数模型，用于描述变量之间的关系。

二、Excel中最小二乘法拟合曲线的操作步骤1. 准备数据首先需要在Excel中准备好需要拟合的数据，通常是包含自变量和因变量的数据列。

假设我们有一组数据，自变量为x，因变量为y，我们希望通过最小二乘法找到一条曲线来描述它们之间的关系。

2. 插入散点图在准备好数据之后，需要在Excel中插入散点图来直观地观察数据点的分布情况。

选择数据区域后，点击插入菜单中的散点图，选择合适的图表类型进行插入。

通过散点图可以直观地观察到数据点的分布情况，从而初步判断需要拟合的曲线形式。

3. 计算拟合曲线参数利用Excel中的函数可以很方便地进行最小二乘法拟合曲线的计算。

在Excel中，可以使用“线性拟合”函数进行直线拟合，使用“多项式拟合”函数进行多项式曲线拟合。

通过输入相关参数和数据范围，即可得到拟合曲线的参数值，并在图表中显示拟合曲线。

4. 绘制拟合曲线根据计算得到的拟合曲线参数值，可以利用Excel中的图表工具绘制出拟合曲线。

在散点图的基础上，添加拟合曲线，并进行必要的格式设置，可以清晰地展示出拟合曲线与原始数据之间的关系。

5. 拟合曲线的评估拟合曲线的好坏可以通过一些评价指标来进行评估，例如拟合优度R方值、残差分布等。

通过观察这些评价指标，可以对拟合曲线的质量进行初步判断，从而确定是否需要调整模型或者采取其他措施。

曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ϕ来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ϕ最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。

因此没必要取)(i x ϕ=i y ，只要使i i i y x -=)(ϕδ尽可能地小）。

原理：给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。

求近似曲线)(x ϕ。

并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。

近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(ϕδ，i=1,2,...,m 。

常见的曲线拟合方法:1.使偏差绝对值之和最小2.使偏差绝对值最大的最小3.使偏差平方和最小最小二乘法：按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。

推导过程：1. 设拟合多项式为：2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到了： .......4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。

MATLAB 实现：MATLAB 提供了polyfit （）函数命令进行最小二乘曲线拟合。

调用格式：p=polyfit(x,y,n)[p,s]= polyfit(x,y,n)[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)x,y 为数据点，n 为多项式阶数，返回p 为幂次从高到低的多项式系数向量p 。

x 必须是单调的。

矩阵s 包括R （对x 进行QR 分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。

matlab最小二乘法高次拟合曲线最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，用于找到一条最优的曲线来拟合一组给定的数据点。

在MATLAB中，可以使用polyfit函数来进行最小二乘法拟合。

假设有一组数据点(x_i, y_i)，其中x_i为自变量的取值，y_i为对应的因变量的取值。

现在要拟合一条高次曲线来表达这些数据点。

可以通过指定需要的多项式的次数来进行高次拟合。

假设需要进行n次拟合，那么拟合的曲线可以表示为：y = a_n * x^n + a_(n-1) * x^(n-1) + ... + a_1 * x + a_0其中a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0为拟合曲线中的系数。

在MATLAB中，可以使用以下代码进行最小二乘法高次拟合：```matlab% 输入数据点的x和y值x = [x_1, x_2, ..., x_m];y = [y_1, y_2, ..., y_m];% 指定需要进行的多项式的次数n = 指定的次数;% 进行最小二乘法拟合coefficients = polyfit(x, y, n);% 根据拟合得到的系数绘制拟合曲线x_fit = linspace(min(x), max(x), 1000);y_fit = polyval(coefficients, x_fit);plot(x, y, 'o', x_fit, y_fit);```在上述代码中，polyfit函数用于进行最小二乘法拟合，返回的coefficients是拟合曲线中的系数。

polyval函数用于根据拟合的系数计算曲线上对应的y值。

最后，使用plot函数将原始数据点和拟合曲线一起显示出来。

通过这种方法，可以找到一条最优的高次拟合曲线来表达给定的数据点。

四川理工学院《数值计算方法》课程设计题目：用最小二乘法实现数据拟合专业：数学与应用数学班级：2013级2班姓名：李宁、李鑫、骆丹、冯莉娟目录：一、摘要............................ 错误！未定义书签。

二、应用计算方法的基本原理.......... 错误！未定义书签。

1.最小二乘法线性拟合............... 错误！未定义书签。

1.1算法描述........................ 错误！未定义书签。

1.2误差估计 (3)2.最小二乘法非线性拟合 (3)三、例题的计算结果 (4)1. 最小二乘法线性拟合 (4)2.最小二乘法非线性拟合 (5)四、总结及心得体会 (7)五、参考文献........................ 错误！未定义书签。

六、附录程序 (8)一、摘要本文主要依据最小二乘法对任意一组数据进行线性拟合和非线性拟合。

因为在实际生活中，我们在工厂、车间、工作室等地方将遇见很多数据，这些数据可能有关系，及线性关系，正比关系，一些简单和复杂的关系。

但是更多的数据是杂乱无章的。

对于这些无规律的数据，我们得出对我们有利的结论。

然而分析数据有是我们这个时代发展的必不可少的研究，所以只有将数据转化成为我们需要的形式，才能进一步分析。

将数据转化为必要的形式的一种重要的方式则是最小二乘法中的数据拟合。

但是在拟合的时候，有些非线性的数据需要我们进行变量代换。

在本文中就举出了一个非线性拟合的例子，通过此例子来演示如何把非线性拟合转化为线性拟合求解。

本文中还有重要的模块是用matlab编写程序，在使用c语言调用子程序时，我们只需要建立大M文件，而我们所工作的区间就是主程序。

我们可以初步绘制出散点图，观察散点图的趋势来确定用什么拟合。

用最小二乘法拟合数据大概分为两类：线性拟合和非线性拟合。

一般先测量数据在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点同哪类曲线图形接近，然后选用相近的线性或非线性的曲线去拟合数据，非线性的曲线再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，进而用matlab编写程序求出拟合函数表达式。

最小二乘法拟合曲线算法1、概述给定数据点P(x i ,y i )，其中i=1,2,…,n 。

求近似曲线y= φ(x)。

并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。

近似曲线在点pi 处的偏差δi = φ(x i )-y ，i=1,2,...,n 。

按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，这种方法为最小二乘法，偏差平方和公式为：min σ2 = (φ(x i −y i ))2ni =1n i =12、推导过程1）设拟合多项式为：y = a 0+ a 1x +⋯+a k x k2）各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方如下:R 2= [y i −(a 0+ a 1x +⋯+a k x k )]2ni =13）多项式系数为学习对象，为了求得符合条件的系数值，对上面等式的a i 分别求导，得：−2 y i − a 0+ a 1x +⋯+a k x k =0ni=1−2 y i − a 0+ a 1x +⋯+a k x k x =0ni=1……−2 y i − a 0+ a 1x +⋯+a k x k x k =0ni=14）将等式移项化简，得：a 0+ a 1x +⋯+a k x k = y i ni =1n i =1a 0+ a 1x +⋯+a k x k x = y i x ni =1n i =1……a 0+ a 1x +⋯+a k x k x k = y i x k ni =1n i =15）依上式得矩阵为：x i0 ni=1⋯x i kni=1⋮⋱⋮x i k ni=1⋯x i2kni=1a0⋮a k=y i x i0ni=1⋮y i x i kni=1上边等式左边为1+K阶对称矩阵，解此矩阵方程即可得到曲线系数a k6）对于AX=B，A为对称矩阵，对称矩阵可以分解为一个下三角矩阵、一个上三角矩阵（下三角矩阵的转置）和一个对角线矩阵相乘。

即A=LDL T所以AX=LDL T X=B，令DL T X=Y -> LY=B，其中L为下三角矩阵，且已知，可求出Y。

matlab最小二乘法拟合曲线并计算拟合曲线的总长度在MATLAB中，你可以使用最小二乘法拟合曲线，然后使用积分的方法计算拟合曲线的总长度。

下面是一种可能的方法：1. 首先，使用MATLAB的`polyfit`函数进行最小二乘法拟合。

这个函数可以拟合多项式到一组数据。

```matlabx = [x1, x2, ... , xn]; % 输入数据y = [y1, y2, ... , yn]; % 输出数据p = polyfit(x, y, n); % n是多项式的阶数，比如2代表二次函数```这将返回一个向量p，代表多项式的系数，从最高阶到最低阶。

2. 然后，你可以使用`polyval`函数来评估拟合的曲线。

```matlabyfit = polyval(p, x); % 计算拟合的y值```3. 计算拟合曲线的总长度。

你可以使用数值积分的方法，例如`integral`函数。

你需要知道曲线在[a, b]之间的长度。

例如，如果你的数据在[-10, 10]，你可以这样做：```matlaba = -10; % 积分下限b = 10; % 积分上限L = integral((x) abs(diff(polyval(p, x))), a, b); % 计算长度```这里我们使用`diff`函数来计算拟合曲线的导数（即曲线的斜率），然后乘以x的差分（即dx）。

最后，我们使用`integral`函数来计算这个函数的积分，也就是曲线的长度。

注意，我们使用`abs`函数来确保每一段都是正的，因为曲线可能向上或向下弯曲。

注意：这种方法只适用于连续且可微的函数。

如果你的数据包含噪声或者有突变，那么这种方法可能不准确。

matlab最小二乘法曲线拟合在数据处理和拟合曲线中，最小二乘法是一种常用的数学方法。

通过最小化数据点到拟合曲线的垂直距离的平方和，最小二乘法可以在给定数据集上拟合出一条曲线。

在MATLAB中，最小二乘法曲线拟合可以通过使用polyfit函数来实现。

最小二乘法原理最小二乘法的目标是找到一条曲线，使得曲线上的点到原始数据点的垂直距离的平方和最小。

具体而言，对于给定的数据集{(x1, y1), (x2, y2), ... , (xn, yn)}，最小二乘法拟合的目标是找到一个多项式函数y =f(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n，其中a0, a1, a2, ... , an为待定系数，使得下述式子最小化：这里，ei表示第i个数据点的观测误差。

在MATLAB中使用最小二乘法进行曲线拟合MATLAB提供了polyfit函数来进行最小二乘法曲线拟合。

polyfit函数采用两个输入参数：x和y，分别表示数据点的横坐标和纵坐标。

此外，用户还需要指定多项式的阶数n。

polyfit将返回一个包含拟合多项式系数的向量p。

用户可以使用polyval函数来计算拟合曲线上的点的纵坐标，具体使用如下：p = polyfit(x, y, n);y_fit = polyval(p, x);下面我们通过一个例子来演示如何使用MATLAB进行最小二乘法曲线拟合。

假设我们有如下数据集，表示了一个函数y = f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 2上的一些离散数据点：x = [0, 1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 3, 4, 5, 6, 7];我们可以使用polyfit函数进行二次多项式曲线拟合，代码如下：p = polyfit(x, y, 2);y_fit = polyval(p, x);接下来，我们可以绘制原始数据点和拟合曲线，代码如下：plot(x, y, 'o');hold on;plot(x, y_fit, '-');xlabel('x');ylabel('y');legend('原始数据', '拟合曲线');在图中，原始数据点以圆圈表示，拟合曲线以实线表示。