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直线与圆的方程的应用【学习目标】1．能利用直线与圆的方程解决有关的几何问题； 2．能利用直线与圆的方程解决有关的实际问题；3．进一步体会、感悟坐标法在解决有关问题时的作用． 【要点梳理】要点一、用直线与圆的方程解决实际问题的步骤 1．从实际问题中提炼几何图形；2．建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面问题转化为代数问题； 3．通过代数运算，解决代数问题； 4．将结果“翻译”成几何结论并作答．要点二、用坐标方法解决几何问题的“三步曲”用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论. 要点诠释：坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具(即有关公式)将平面图形的若干性质翻译成若干数量关系.在这里，代数是工具、是方法，这是笛卡儿解析几何的精髓所在.要点三、用坐标法解决几何问题时应注意以下几点1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系； 2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围； 3．最后要把代数结果转化成几何结论． 【典型例题】类型一：直线与圆的方程的实际应用例1. 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m ，拱高OP=4m ，在建造时每隔4m 需要用一个支柱支撑，求支柱22A P 的长度（精确到0.01m ）.【答案】3.86m【解析】建立坐标系如图所示.圆心的坐标是(0，ｂ)，圆的半径是ｒ，那么圆的方程是：222+-=()x y b r因为P(0,4)、B(10,0)都在圆上，所以22222204100()()b r b r⎧+-=⎨+-=⎩ 解得105=-.b ，22145=.r.所以圆的方程为222105145++=(.).x y把22-(,)P y 代入圆的方程得2222105145-++=()(.).y ，所以386≈.y ,即支柱的高度约为3.86m.举一反三：【变式1】某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300 km 处，以40 km/h 的速度向西偏北30°方向移动.据测定，距台风中心250 km 的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间.(精确到分钟) 【答案】90 10 h. 【解析】利用坐标法来求解.如图，不妨先建立直角坐标系xOy ，其中圆A 的半径为250 km ，过B(300，0)作倾斜角为150°的直线交圆于点C 、D ，则该市受台风影响的起始与终结时间分别为C 开始至D 结束，然后利用圆的有关知识进行求解.以该市所在位置A 为原点，正东方向为x 轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中心在B(300，0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向的直线移动，其轨迹方程为y=33-(x-300)(x ≤300). 该市受台风影响时，台风中心在圆x 2+y 2=2502内，设射线与圆交于C 、D ，则CA=AD=250，∴台风中心到达C 点时，开始影响该市，中心移至D 点时，影响结束，作AH ⊥CD 于H ，则 AH=AB ·sin30°=150，HB=3150，CH=HD=22AH AC -=200，∴BC=3150-200，则该市受台风影响的起始时间t 1=402003150-≈1.5(h)，即约90分钟后台风影响该市，台风影响的持续时间t 2=40200200+=10(h)，即台风对该市的影响持续时间为10 h.【总结升华】应用问题首先要搞清题意，最好是画图分析，运用坐标法求解，首先要建立适当的坐标系，设出点的坐标.还要搞清里面叙述的术语的含义.构造圆的方程进行解题(如求函数的最值问题)时，必须充分联想其几何意义，也就是由数思形.如方程y=1+21x -表示以(0，1)为圆心，1为半径的上半圆，xy表示原点与曲线f(x ，y)=0上动点连线的斜率. 类型二：直线与圆的方程在平面几何中的应用例2．如图，在圆O 上任取C 点为圆心，作一圆与圆O 的直径AB 相切于D ，圆C 与圆D 交于E 、F ，求证：EF 平分CD ．证明：令圆O 方程为x 2+y 2=1． ①EF 与CD 相交于H ，令C （x 1，y 1），则可得圆C 的方程 (x －x 1)+(y －y 1)2=y 12，即x 2+y 2－2x 1x －2y 1y+x 12=0． ② ①－②得2x 1x+2y 1y －1－x 12=0． ③③式就是直线EF 的方程，设CD 的中点为H ＇，其坐标为11,2y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将H ＇代入③式，得222222211111111122121102y x y x x y x x y +⋅--=+--=+-=． 即H ＇在EF 上，∴EF 平分CD ．【总结升华】 利用直线与方程解决平面几何问题时，要充分利用圆的方程、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等有关知识，正确使用坐标方法，使实际问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题，最后解释代数运算结果的实际含义．举一反三：【变式1】平面内动点P 满足到定点，A B 的距离之比为2=||||PA PB ，请问动点P 的轨迹是什么图形？【答案】22331030+-+=x y x【解析】不妨设2=||AB ，以线段AB 为x 轴，其中垂线为y 轴建立直角坐标系，那么A （-1，0），B(1，0).设P （x,y ）.2=，化简得到22331030+-+=x y x 表示一个圆.类型三：直线与圆的方程在代数中的应用例3．已知圆22()()1x a y b -+-=与直线1l ：3x ―4y ―1=0和2l ：4x +3y +1=0都有公共点，求2b a -的取值范围．【思路点拨】圆22()()1x a y b -+-=与二直线1l ：3x ―4y ―1=0和2l ：4x +3y +1=0都有公共点，可得圆心C 到直线的距离小于等于半径，即可求2ba -的取值范围． 【答案】143[,]234-【解析】∵圆：22()()1x a y b -+-=，圆心为C （a ，b ），半径为1． ∵直线1l ：3x ―4y ―1=0和圆：22()()1x a y b -+-=有公共点，∴圆心C 到直线的距离：|341|15a b --≤，即34603440a b a b --≤⎧⎨-+≥⎩① ∵直线2l ：4x +3y +1=0和圆：22()()1x a y b -+-=有公共点， ∴圆心C 到直线的距离：|431|15a b ++≤，即43404360a b a b +-≤⎧⎨-+≥⎩② ∴作出①②不等式组表示的平面区域如图：∴由34404340a b a b -+=⎧⎨+-=⎩ 得428(,)2525B ，A （2，0）．∴由2ba -的几何意义可得，最大值为34AC k =，最小值为281425423225ABk -==--， ∴2ba -的取值范围为143[,]234-．举一反三：【变式1】设函数()f x a =和4()13g x x =+，已知当x ∈[－4，0]时，恒有()()f x g x ≤，求实数a 的取值范围． 【答案】(],5-∞-【解析】因为()()f x g x ≤，所以413a x +，即413x a ≤+-，分别画出y =和413y x a =+-的草图，利用数形结合法，当直线413y x a =+-与半圆y =相切时a 取到最大值，由圆心到直线的距离为2，求出5a =-，即得答案． 类型四：直线与圆的方程的综合应用例4．（2018春 辽宁庄河市期中）已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线1:0l x y --=相切． （1）求圆C 的方程；（2）求直线l 2：4x －3y +5=0被圆C 所截得的弦AB 的长；（3）过点G （1，3）作两条与圆C 相切的直线，切点分别为M ，N ，求直线MN 的方程． 【思路点拨】（1）设出圆的方程，由直线和圆相切的条件，求得半径，即可得到圆的方程； （2）求出圆心到直线的距离，运用直线和圆相交的弦长公式，即可得到；（3）判断出C ，M ，N ，G 四点共圆，求出圆的方程，再与圆C 方程相减，即可得到相交弦方程． 【答案】（1）x 2+y 2=4；（2）（3）x +3y ―4=0 【解析】（1）设圆的方程为：x 2+y 2=r 2， 由于圆C与直线1:0l x y --=相切，则2d r ===， 则有圆C ：x 2+y 2=4；（2）圆收到直线l 2：4x －3y +5=的距离为1d ==，则被圆C 所截得的弦AB 的长为=；（3）过点G （1，3）作两条与圆C 相切的直线，切点分别为M ，N ， 由CM ⊥MG ，CN ⊥NG ，则四点C ，M ，G ，N 共圆，且以PC 为直径，则方程为22213()()222x y -+-=，① 又圆C ：x 2+y 2=4，②由于MN 为两圆的公共弦， 则①－②，可得，x +3y ―4=0．【总结升华】解决直线与圆的综合问题，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面由于直线与圆和平面几何联系得十分紧密（其中直线与三角形、四边形紧密相连），因此我们要充分挖掘几何图形中所隐含的条件（性质），利用几何知识使问题得到较简捷的解决．举一反三：【变式1】若圆C ：22420x y x y m +-++=与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB =90°，求实数m 的值．【思路点拨】由圆C ：22420x y x y m +-++=与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB =90°，知圆心C （2，―1），过点C 作y 轴的垂线交y 轴于点D ，在等腰直角三角形BCD 中，CD =BD =2，由此能求出实数m ．【答案】―3【解析】∵圆C ：22420x y x y m +-++=， ∴ 22(2)(1)5x y m -++=-，圆心C （2，―1），因为∠ACB =90°，过点C 作y 轴的垂线交y 轴于点D ， 在等腰直角三角形BCD 中，CD =BD =2， ∴ 2544m CB -==+， 解得m =―3．【巩固练习】1．直线()()110a x b y +++=与圆222x y +=的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．相切或相交D ．相切或相离2．圆C 1：x 2+y 2+4x-4y+7=0与圆C 2：x 2+y 2-4x-10y+13=0的公切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．与圆x 2+(y-2)2=1相切，且在两轴上截距相等的直线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．6条4．直线ax+by=c 与圆x 2+y 2=1相切，且a 、b 、c 均不为零，则以|a|、|b|、|c|为长度的线段能构成( ) A ．不等边锐角三角形 B ．等腰锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 5．（2017春 河北衡水期末）若圆2O ：22(3)(3)4x y -++=关于直线l ：ax +4y ―6=0对称，则直线l 的斜率是（ ）A ．6B ．23 C ．32- D ．23- 6．直线2x －y=0与圆C ：(x －2)2+(y+1)2=9交于A 、B 两点，则△ABC （C 为圆心）的面积等于（ ）．A ．B ．C ．D ．7．圆(x －4)2+(y －4)2=4与直线y=kx 的交点为P 、Q ，原点为O ，则|OP|·|OQ|的值为（ ）．A ．B ．28C ．32D ．由k 确定8．点P 是直线2x+y+10=0上的动点，直线PA 、PB 分别与圆x 2+y 2=4相切于A 、B 两点，则四边形PAOB（O 为坐标原点）的面积的最小值等于（ ）． A ．24 B ．16 C ．8 D ．4 9．（2018 山西太原二模）已知过点P （2，2）的直线与圆(x ―1)2+y 2=5相切，且与直线ax ―y +1=0垂直，则a =________．10．过原点的直线与圆x 2+y 2－2x －4y+4=0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________． 11．设圆22450x y x +--=的弦AB 的中点为(3,1)P ，则直线AB 的方程是 ．12．若过定点M （―1，0）且斜率为k 的直线与圆22(2)9x y ++=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是 ．13．（2017春 江苏宿迁期末）已知圆D 的半径为1，圆C 的方程是22(2)(1)4x y -++=，若圆D 与圆C 相切于点（4，―1），求圆D 的标准方程． 14．（2018春 黑龙江肇东市期末）已知圆C ：x 2+y 2=4和直线l ：3x +4y +12=0，点P 是圆C 上的一动点，直线与坐标轴的交点分别为点A 、B ，（1）求与圆C 相切且平行直线l 的直线方程； （2）求△P AB 面积的最大值．15．有弱、强两个喇叭在O 、A 两处，若它们的强度之比为1∶4，且相距60 m ，问在什么位置听到两个喇叭传来的声音强度是相等的？【答案与解析】1．【答案】C直线过定点()1,1--．又()()22112-+-=，∴点在圆上，过圆上一点的直线与圆的位置关系有两种相切或相交．2． 【答案】C【解析】两圆公切线的条数取决于两圆的位置关系，相离：4条;外切：3条;相交：2条;内切：1条;内含：0条．C 1：(x+2)2+(y-2)2=1，C 2：(x-2)2+(y-5)2=16，C 1C 2=5=r 1+r 2，故两圆外切，公切线共3条． 3． 【答案】C【解析】此题主要考查圆的切线及直线的截距的概念．过原点的有2条;斜率为-1的有2条． 4． 【答案】C【解析】由圆心到直线的距离为圆的半径1，得22||b a c +=1，两边平方得a 2+b 2=c 2．5．【答案】C【分析】由题意可知直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即可得到a 的值，然后求出直线的斜率．【解析】圆2O ：22(3)(3)4x y -++=关于直线l ：ax +4y ―6=0对称，则直线通过圆心（3，―3），故3a ―12―6=0，∴a =6， ∴直线l 的斜率32k =-， 故选：C ． 6．【答案】A【解析】 ∵圆心到直线的距离d ==，∴||4AB ==，∴142ABC S ∆=⨯= 7．【答案】B【解析】 由平面几何知识可知|OP|·|OQ|等于过O 点圆的切线长的平方． 8．【答案】C【解析】 ∵四边形PAOB 的面积12||||2S PA OA =⨯⨯==OP 垂直直线2x+y+10=0时，其面积S 最小． 9．【答案】2【解析】因为点P （2，2）满足圆(x ―1)2+y 2=5的方程，所以P 在圆上，又过点P （2，2）的直线与圆(x ―1)2+y 2=5相切，且与直线ax ―y +1=0垂直， 所以切点与圆心连线与直线ax ―y +1=0平行，所以直线ax ―y +1=0的斜率为：20221a -==-． 故答案为：2． 10．【答案】2x ―y=0 【解析】 设所求直线方程为y=kx ，即kx ―y=0．由于直线kx ―y=0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，0=，即圆心位于直线kx ―y=0上，于是有k ―2=0，即k=2，因此所求直线方程为2x ―y=0． 11．【答案】40x y +-= 【解析】12．【答案】．【分析】化简圆的方程求出圆与y 正半轴的交点，画出图象，即可推出过定点M （―1，0）斜率为k 的直线的范围．【解析】圆22(2)9x y ++=与y 正半轴交于，因为过定点M （―1，0），且斜率为k 的直线与圆22(2)9x y ++=在第一象限内的部分有交点，如图，∴ MA MB k k k <<，∴0＜k k 的取值范围是．故答案为：．13．【答案】22(5)(1)1x y -++=或22(3)(1)1x y -++=．【分析】分两圆外切、内切两种情况，分别求得圆心的坐标，可得要求的圆的方程． 【解析】圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为C （2，―1），半径为2，设所求的圆心坐标为（a ，b ），切点为A （4，―1）且半径为1（1123=+=，② 由①②得a =5，b =―1，即此时圆心为M （5，―1），（2211=-=，③ 由①③得a =3，b =―1，即此时圆心为N （3，―1），故要求的圆的方程为22(5)(1)1x y -++=或22(3)(1)1x y -++=．【点评】主题主要两圆相切的性质，求圆的标准方程，求出圆心的坐标，是解题的关键，注意要分内切和外切两种情况． 14．【答案】（1）3x +4y ±10=0；（2）11 【解析】（1）设所求直线方程为3x +4y +a =0，由题意得：圆心（0，0）到直线的距离d =r ，即||25a =， 解得：a =±10，则所求直线方程为3x +4y ±10=0；（2）当直线与AB 平行，且与圆相切时，△P AB 面积的最大值，此时直线方程为3x +4y －10=0， ∵点C 到直线AB 的距离12||5CN =，CM =2， ∴1222||255MN =+=， ∵A （－4，0），B （0，3），即OA =4，OB =3，∴|AB |=5，即△P AB 面积最大值为12251125⨯⨯=． 15．【答案】P 点的轨迹是以（－20，0）为圆心，40为半径长的圆周，也就是在此圆周上听到的声音强度相等【解析】以OA 为x 轴，O 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系．设在P （x ，y ）处听到O 、A 两处的喇叭声音强度相等．由物理学知22||1||4OP PA =，即22221(60)4x y x y +=-+，整理得(x+20)2+y 2=402． 故P 点的轨迹是以（－20，0）为圆心，40为半径长的圆周，也就是在此圆周上听到的声音强度相等．。
第四章直线与圆的方程复习三维目标1．能建构本章的知识框架；2. 掌握直线与圆知识的综合应用；3. 通过圆的几何性质的运用，体会代数问题与几何问题的联系，及数形结合思想.___________________________________________________________________________目标三导学做思1问题1. 完成本章知识结构.(1)圆的方程是什么？（2）点与圆的位置关系判断方法为？【思考】①圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值为？. ②圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值？（3）直线与圆的位置关系的判断方法？【思考】①直线l与圆C相切意味着什么？②关于切线的常见题型有哪些？③直线与圆相交时的弦长公式为？（4）圆与圆的位置关系判断方法为？【思考】 两圆公共弦所在直线方程为？（5）对称问题、最值问题、求轨迹方程等问题的解决方法为？。
【学做思2】1.根据下列条件求圆的方程：（1）圆心在直线035:1=-y x l 上，并且圆与直线0106:2=--y x l 相切于点P （4，-1）；（2）圆过点P （-2,4），Q （3，-1）并且在x 轴上截得的弦长等于6；（3）求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.【思考】求圆的方程要注意什么?*2.已知圆A ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(1)若直线l ：ax ＋by －4＝0平分圆A 的周长，求原点O 到直线l 的距离的最大值；(2)若圆B 平分圆A 的周长，圆心B 在直线y ＝2x 上，求符合条件且半径最小的圆B 的方程．达标检测1. 已知点(03)P ，及圆C ：082822=---+y x y x ，过P 的最短弦所在的直线方程为（ ） A 、x ＋2y ＋3＝0 B 、x －2y ＋3＝0 C 、2x －y ＋3＝0 D 、2x ＋y －3＝02. 在空间直角坐标系中，点P ，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，则Q 的坐标为（ ）Ａ．(0 Ｂ．(0 Ｃ．(10 Ｄ． 3.当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)连线段PQ 中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝14. 已知三角形的三个顶点(214)A -，，，(326)B -，，，(502)C ，，．则（1）过A 点的中线长为 ；（2）过B 点的中线长为 ；（3）过C 点的中线长为 ．*5. 已知圆C ： x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线l 相交于A ，B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．。
直线与圆的方程综合复习（含答案）一． 选择题1.已知点A(1,. 3),B(-1,33),则直线AB 的倾斜角是（ C ） A 3B 6C 23D 562.已知过点A(-2,m)和B （m,4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ C ） A 0 B 2 C -8 D 103.若直线L 1:ax+2y+6=0与直线L 2:x+(a-1)y+(2a -1)=0平行但不重合，则a 等于（ D ） A -1或2 B23C 2D -1 4.若点A （2，-3）是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点，则相异两点（a 1，b 1）和（a 2，b 2）所确定的直线方程是( A ) A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=0 5.直线xcos θ+y-1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 ( D )A.[)π，0B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ43,4C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,06.“m= 12”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+(m+2y)-3=0相互垂直”的（ B ）A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件 7.已知A(7,-4)关于直线L 的对称点为B （-5,6），则直线L 的方程为（B ） A 5x+6y-11=0 B 6x-5y-1=0 C 6x+5y-11=0 D 5x-6y+1=0 8.已知直线1l 的方向向量a=(1,3),直线2l 的方向向量b=(-1,k).若直线2l 经过点（0,5）且1l 2l ，则直线2l 的方程为（ B ）A x+3y-5=0B x+3y-15=0C x-3y+5=0D x-3y+15=0 9. 过坐标原点且与圆2x +2y -4x+2y+52=0相切的直线方程为（ A ）A y=-3x 或y= 13xB y=3x 或y= -13xC y=-3x 或y= -13xD y=3x 或y= 13x 10.直线x+y=1与圆2x +2y -2ay=0(a>0)没有公共点,则a 的取值范围是（A ）22222211.圆2x +2y -4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（ C ）A 36B 18C 62D 5212.以直线：y=kx-k 经过的定点为P 为圆心且过坐标原点的圆的方程为（D ）， A 2x +2y +2x=0 B 2x +2y +x=0 C 2x +2y -x=0 D 2x +2y -2x-013.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于（ B ）A B 4 C 8 D 914.若直线3x+y+a=0过圆2x +2y +2x-4y=0的圆心，则a 的值为（ B ）A 1B -1C 3D -315.若直线2ax-by+2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的周长，则ba11+的最小值是（ C ） A.41B.2C.4D.2116.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+24x -有两个不同的交点，则k的取值范围是 （ A ）A.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,125 B.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,125 C.⎥⎦⎤⎝⎛43,21D.⎪⎭⎫⎝⎛125,017.设两圆1C ,2C 都和两坐标轴相切，且过点（4,1），则两圆心的距离 ︱1C 2C ︱等于（ C ）A 4B 42C 8D 8218.能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c 的一个值为 （ C ） A.2B.5C.3D.3519.若直线by ax +=1与圆x 2+y 2=1有公共点，则( D )A.a 2+b 2≤1B.a 2+b 2≥1C.2211ba +≤1 D.2211ba +≥120.已知A （-3，8）和B （2，2），在x 轴上有一点M ，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M 的坐标为（ B ） A.(-1,0)B.(1,0)C.⎪⎭⎫ ⎝⎛0522，D. ⎪⎭⎫⎝⎛522,021.直线y=kx+3与圆2(3)x +2(2)y =4相交于M 、N 两点，若︱MN ︱≥23,则k 的取值范围是（ A ）A [-34,0] B [-∞,-34] [0，∞） C [-33,33] D [-23,0] 22.（广东理科2）已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则AB 的元素个数为（C ）A ．0B ．1C ．2D ．323.（江西理科9）若曲线02221=-+x y x C ：与曲线 0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( B ) A. )33,33(-B. )33,0()0,33( -C. ]33,33[-D. ),33()33,(+∞--∞ 答案：B 曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333=-=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是)33,0()0,33( -二．填空题24．已知圆C 经过)3,1(),1,5(B A 两点，圆心在X 轴上，则C 的方程为10)2(22=+-y x ___________。
必修2第四章直线和圆复习一圆的标准方程学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程；能用待定系数法、几何法求圆的标准方程.知识要点：1. 圆的标准方程：方程222()()(0)x a y b r r -+-=>表示圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程； （2）待定系数法：先根据条件列出关于a 、b 、r 的方程组，然后解出a 、b 、r ，再代入标准方程. 例题精讲：【例1】过点(1,1)A -、(1,1)B -且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）.A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4C.（x －1）2＋（y －1）2＝4D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝4解：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A 、C 满足条件, 再把A 点坐标（1，－1）代入圆方程. A 不满足条件. 所以，选C.另解：设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r , 因为圆心C 在直线x +y －2=0上, ∴b =2－a .由|CA |=|CB |，得（a －1）2+（b +1）2=（a +1）2+（b －1）2，解得a =1，b =1. 因此，所求圆的方程为（x －1）2+（y －1）2=4. 选C.【例2】求下列各圆的方程：（1）过点(2,0)A -，圆心(3,2)-；（2）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B -- 解：（1）设所求圆的方程为222(3)(2)x y r -++=. 则222(23)(02)r --++=， 解得229r =. ∴ 圆的方程为22(3)(2)29x y -++=. （2）圆心在线段AB 的垂直平分线3y =-上，代入直线270x y --=得2x =，圆心为(2,3)-，半径r =∴ 圆C 的方程为22(2)(3)5x y -++=.【例3】一个圆经过点(5,0)A 与(2,1)B -，圆心在直线3100x y --=上，求此圆的方程.解：设圆心(,)P a b ，则3100a b --=⎧= 解得13a b =⎧⎨=-⎩.圆的半径5r ===. ∴ 圆的标准方程为22(1)(3)25x y -++=.另解：线段AB 的中点'5201(,)22P -+，即'31(,)22P . 直线AB 的斜率101257k -==---. 所以弦AB 的垂直平分线的方程为137(22y x -=-，即7100x y --=.解方程组31007100x y y --=⎧⎨--=⎩，得13x y =⎧⎨=-⎩， 即圆心(1,3)P -.圆的半径5r ===. ∴ 圆的标准方程为22(1)(3)25x y -++=.点评：两种解法，都是先求出圆心与半径，第一种解法用设圆心坐标后列方程而求，第二种解法用两条直线的交点求圆心. 由上可得，解法关键都是如何求圆心与半径.二圆的一般方程学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的一般方程；能用待定系数法求圆的一般方程.知识要点：1. 圆的一般方程：方程220x y Dx Ey F ++++= （2240D E F +->）表示圆心是(,22D E--，半径长的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M 的坐标(,)x y 满足的关系式.例题精讲：【例1】求过三点A (2,2)、B (5,3)、C (3,－1)的圆的方程. 解：设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=. 则442202595309130D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩， 解得8212D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩. ∴ 圆的方程为2282120x y x y +--+=.【例2】设方程222422(3)2(14)16790x y m x m y m m +-++-+-+=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及圆心的轨迹方程.解：配方得[]222(3)(14)16x m y m m ⎡⎤-++--=+⎣⎦，该方程表示圆，则有160m +>，得1(,)6m ∈-+∞，此时圆心的轨迹方程为2314x m y m=+⎧⎨=-⎩，消去m ，得24(3)1y x =--， 由1(,)6m ∈-+∞得x =m +317(,)6∈+∞. ∴所求的轨迹方程是24(3)1y x =--，17(,)6x ∈+∞ 【例3】已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点轨迹方程. （教材P 133 例5 另解）（利用中点坐标公式可更简单）解：设圆22(1)4x y ++=的圆心为P (-1,0)，半径长为2，线段AB 中点为M(x , y ).取PB 中点N ,其坐标为(142-+,032+)，即N (32,32).∵ M 、N 为AB 、PB 的中点, ∴ MN ∥P A 且MN =12P A =1. ∴ 动点M 的轨迹为以N 为圆心，半径长为1的圆. 所求轨迹方程为：2233()(122x y -+-=.点评：此解为定义法，利用中位线这一几何性质，将所求动点的轨迹转化为到定点的距离等于定长，即圆的定义. 解法关键是连接PB ，取PB 的中点N ，得到MN 的长度为定值. 教材中的解法是通过设动点的坐标，然后找出相关的几何条件，得到动点坐标所满足等式即所求轨迹方程.【例4】求经过(4,2),(1,3)A B -两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.解：设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=. 当0x =时，20y Ey F ++=，则122E y y +=-； 当0y =时，20x Dx F ++=，则122D x x +=-. 则1644201930((422D E F D E F D E ⎧⎪++++=⎪+-++=⎨⎪⎪-+-=⎩， 解得352D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩. ∴ 圆的方程为223520x y x y +--+=.点评：用待定系数法的一般步骤是“设（设含待定系数的方程）→列（利用条件列出系数所满足的方程组）→求（解方程组）→写（写出所求方程）”. 当已知圆上三点或两点时，选用圆的一般方程形式较为简单. 当易知圆心和半径时，选用圆的标准方程形式易求解.三 直线与圆的位置关系学习目标：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x 或（y ），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；方法二：利用圆心（,a b ）到直线0Ax By C ++=的距离d =，比较d 与r 的大小.（1）相交d r ⇔<⇔ 0∆>；（2）相切d r ⇔=⇔0∆=；（3）相离d r ⇔>⇔0∆<.2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式d =例题精讲：【例1】若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为 . 解：将圆x 2＋y 2－2x ＝0的方程化为标准式：（x －1）2＋y 2＝1, 其圆心为（1，0），半径为1，由直线（1＋a ）x ＋y ＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离1d ==， ∴ a ＝－1. 【例2】求直线:220l x y --=被圆22:(3)9C x y -+=所截得的弦长.解：由题意，列出方程组22220(3)9x y x y --=⎧⎨-+=⎩，消y 得251440x x -+=，得12145x x +=，1245x x =. 设直线220x y --=与圆22(3)9x y -+=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21|||AB x x =-==.另解：圆心C 的坐标是(3,0)，半径长3r =. 圆心到直线220x y --=的距离d =所以，直线220x y --=被圆22(3)9x y -+=截得的弦长是==. 【例3】若经过点(1,0)P -的直线与圆224230x y x y ++-+=相切，则此直线在y 轴上的截距是 .解：圆的标准方程为22(2)(1)2x y ++-=，则圆心(2,1)C -，半径r 设过点(1,0)P -的直线方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=.∴ 圆心到切线的距离d r ==1k =.∴ 直线方程为1y x =+，在y 轴上的截距是1.点评：研究直线和圆的相切，简捷的方法是利用公式d r ==，还可以由方程组只有一个实根进行解答. 选择恰当的方法，是我们解题的一种能力.【例4】设圆上的点A （2，3）关于直线x +2y =0的对称点仍在这个圆上，且与直线x -y +1=0相交的弦长为求圆的方程.解：设A 关于直线x +2y =0的对称点为A ’. 由已知得AA ’为圆的弦，得到AA ’的对称轴x +2y =0过圆心. 设圆心P （-2a ，a ），半径为r ， 则r =|P A |=(-2a -2)2+(a -3)2.又弦长，圆心到弦AA ’的距离为d∴ 22(31)22a R -=+， 即4(a +1)2+(a -3)2=2+2(31)2a -， 解得a =-7或a =-3.当a =-3时，r a =-7时，r ∴ 所求圆方程为(x -6)2+(y +3)2=52或(x -14)2+(y +7)2=244.点评：在解答与圆的弦长相关的一些问题时，常用勾股定理，得到圆心到弦的距离d 、半径r 、半弦长的一个勾股式. 这种方法与方程组的思想求解弦长问题相比，计算过程较为简单. 四圆与圆的位置关系学习目标：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系. 掌握坐标法的思想，用解方程组判别位置关系或求交点坐标.知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则：（1）两圆相交121212||||r r O O r r ⇔-<<+；（2）两圆外切1212||O O r r ⇔=+； （3）两圆内切1212||||O O r r ⇔=-；例题精讲：【例1】已知圆1C ：22660x y x +--=①，圆2C ：22460x y y +--=② （1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.解：（1）∵圆1C 的圆心为（3,0），半径为1r =2C 的圆心为（0，2），半径为2r =又12||C C =12||r r -＜12||C C <12r r +，∴圆1C 与2C 相交.（2）由①－②，得公共弦所在的直线方程为320x y -=.【例2】求经过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点，并且圆心在直线40x y --=上的圆的方程.解：设所求圆的方程为22628x y y ++-22(64)0x y x λ+++-=，即22(1)(1)662840x y x y λλλλ+++++--=,则所求圆的圆心为33(,)11λλλ--++.∵圆心在直线40x y --=上， ∴334011λλλ-+-=++，解得17λ=-.∴ 所求圆的方程为2x ＋27320y x y -+-=【例3】已知圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为 A.22(1)1x y ++= B.221x y += C.22(1)1x y ++= D.22(1)1x y +-= 解：已知圆的半径1r =，圆心(1,0)，圆心(1,0)关于直线y x =-的对称点为(0,1)-， 则圆C 的方程为22(1)1x y ++=. 选C.点评：圆关于直线的对称图形仍然是圆，半径不变，圆心关于直线对称. 我们要掌握一些常见对称问题的解答思路，例如点关于直线的对称，曲线关于直线的对称，曲线关于点的对称等，解答理论基础有中点坐标公式、垂直时斜率乘积为－1、代入法、转化思想.同时，我们也要掌握一些简单对称，如点(,)a b 关于直线y x =的对称点为(,)b a .【例4】求圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦的长.解：由题意，列出方程组22224044120x y x y x y ⎧+-=⎪⎨+-+-=⎪⎩，消去二次项，得2y x =+. 把2y x =+代入2220x y x y +-+=，得220x x +=，解得122,0x x =-=，于是120,2y y ==，两圆的交点坐标是(2,0)A -，(0,2)B，所以，公共弦长||AB =. 另解：由题意，列出方程组 22224044120x y x y x y ⎧+-=⎪⎨+-+-=⎪⎩，消去二次项，得2y x =+，它即公共弦所在直线的方程. 圆2240x y +-=的圆心到直线20x y -+=的距离为d =所以，两圆的公共线长为==点评：为何两圆的方程消去二次项后，即为公共弦所在直线的方程，我们易由曲线系的知识可得. 比较方程思想与几何方法求解两圆的公共弦长，几何方法更为简捷. 先求公共弦所在直线，再求一圆心到直线的距离，通过公式.五直线与圆的方程的应用【例1】实数,x y 满足222410x y x y ++-+=， 求下列各式的最大值和最小值：（1）y；（2）2x y -. 解：原方程为22(1)(2)4x y ++-=，表示以(1,2)P -为圆心，2为半径的圆. （1）设4yk x =-，几何意义是：圆上点(,)M x y 与点(4,0)Q 连线的斜率. 由图可知当直线MQ 是圆的切线时，k 取最大值与最小值。
必修二综合复习（立体几何、直线与圆）一、直线与圆 1、知识框架图2、圆的方程形式:⑴圆的标准方程：(x -a )2+(y -b )2=r 2,其中（a ,b ）是圆心坐标,r 是圆的半径； ⑵圆的一般方程：x 2+y 2+D x +E y +F=0（D 2+E 2-4F>0） 圆心坐标为（-2D ，-2E ），半径为r =2422FE D-+.注: ①确定圆的方程需要有三个互相独立的条件, 通常也用待定系数法;②圆的方程有三种形式，注意各种形式中各量的几何意义,使用时常数形结合充分运用圆的平面几何知识.3、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，判定方法有两种： ⑴代数法：直线：A x +B y +C=0，圆：x 2+y 2+D x +E y +F=0，联立得方程组2200Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩−−−→消元一元二次方程24b ac =-−−−→判别式△000>⇔⎧⎪=⇔⎨⎪<⇔⎩△相交△相切△相离（2）几何法：直线:A x +B y +C=0，圆：(x -a )2+(y -b )2=r 2，圆心（a ，b ）到直线的距离为d=22||Aa Bb C A B+++，则d r d r d r >⇔⎧⎪=⇔⎨⎪<⇔⎩相离相切相交4、圆和圆的位置关系：设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1，r 2，|O 1O 2|为圆心距，则两圆位置关系如下： ①|O 1O 2|>r 1+r 2⇔两圆外离； ②|O 1O 2|=r 1+r 2⇔两圆外切； ③| r 1-r 2|<|O 1O 2|< r 1+r 2⇔两圆相交； ④| O 1O 2 |=| r 1-r 2|⇔两圆内切； ⑤0<| O 1O 2|<| r 1-r 2|⇔两圆内含。
注：直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识。
直线与圆的方程综合复习（含答案）一． 选择题1.已知点A(1,. 3),B(-1,33),则直线AB 的倾斜角是（ C ） A 3B 6C 23D 562.已知过点A(-2,m)和B （m,4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ C ） A 0 B 2 C -8 D 103.若直线L 1:ax+2y+6=0与直线L 2:x+(a-1)y+(2a -1)=0平行但不重合，则a 等于（ D ）A -1或2B 23C 2D -14.若点A （2，-3）是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点，则相异两点 （a 1，b 1）和（a 2，b 2）所确定的直线方程是( A ) A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=05.直线xcos θ+y-1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 ( D )A.[)π，0B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ43,4C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,06.“m=12”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+(m+2y)-3=0相互垂直”的（ B ）A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件7.已知A(7,-4)关于直线L 的对称点为B （-5,6），则直线L 的方程为（B ） A 5x+6y-11=0 B 6x-5y-1=0 C 6x+5y-11=0 D 5x-6y+1=0 8.已知直线1l 的方向向量a=(1,3),直线2l 的方向向量b=(-1,k).若直线2l 经过点（0,5）且1l 2l ，则直线2l 的方程为（ B ）A x+3y-5=0B x+3y-15=0C x-3y+5=0D x-3y+15=0 9. 过坐标原点且与圆2x +2y -4x+2y+52=0相切的直线方程为（ A ）A y=-3x 或y= 13xB y=3x 或y= -13xC y=-3x 或y= -13xD y=3x 或y= 13x10.直线x+y=1与圆2x +2y -2ay=0(a>0)没有公共点,则a 的取值范围是（A ）A (02-1,)B (2-1, 2+1)C (-2-1, 2-1)D (0, 2+1) 11.圆2x +2y -4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（ C ）A 36B 18C 62D 5212.以直线：y=kx-k 经过的定点为P 为圆心且过坐标原点的圆的方程为（D ）， A 2x +2y +2x=0 B 2x +2y +x=0 C 2x +2y -x=0 D 2x +2y -2x-013.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于（ B ）A B 4 C 8 D 914.若直线3x+y+a=0过圆2x +2y +2x-4y=0的圆心，则a 的值为（ B ）A 1B -1C 3D -315.若直线2ax-by+2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的周长，则ba11+的最小值是（ C ）A.41B.2C.4D.2116.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是 （ A ）A.⎥⎦⎤⎝⎛43,125 B.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,125 C.⎥⎦⎤⎝⎛43,21D.⎪⎭⎫⎝⎛125,17.设两圆1C ,2C 都和两坐标轴相切，且过点（4,1），则两圆心的距离 ︱1C 2C ︱等于（ C ）A 4B 42C 8D 8218.能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为 （ C ） A.2B.5C.3D.3519.若直线by ax +=1与圆x 2+y 2=1有公共点，则( D )A.a 2+b 2≤1B.a 2+b 2≥1C.2211ba +≤1 D.2211ba +≥120.已知A （-3，8）和B （2，2），在x 轴上有一点M ，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M 的坐标为（ B ） A.(-1,0)B.(1,0)C.⎪⎭⎫⎝⎛0522，D. ⎪⎭⎫⎝⎛522,021.直线y=kx+3与圆2(3)x+2(2)y =4相交于M 、N 两点，若︱MN ︱≥23,则k 的取值范围是（ A ）A [-34,0] B [-∞,-34] [0，∞） C [-33,33] D [-23,0] 22.（广东理科2）已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则AB 的元素个数为（C ）A ．0B ．1C ．2D ．3 23.（江西理科9）若曲线02221=-+x y x C ：与曲线 0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( B ) A. )33,33(-B. )33,0()0,33( -C. ]33,33[-D. ),33()33,(+∞--∞ 答案：B 曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333=-=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是)33,0()0,33( -二．填空题24．已知圆C 经过)3,1(),1,5(B A 两点，圆心在X 轴上，则C 的方程为10)2(22=+-y x ___________。
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直线与圆的方程知识汇总知识一：直线与圆的位置关系1、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，则此直线与已知圆的位置关系是__________。
2、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围是_________。
知识二:圆与圆的位置关系3、两圆221:2220Cx y x y +++-=，222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4、若圆042222=-+-+m mx y x 与圆08442222=-+-++m my x y x 相切,则实数m 的取值集合是 。
知识三：圆的切线问题5、过点P （-1，6）且与圆4)2()3(22=-++y x 相切的直线方程是________________.6、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切,则a 的值为 。
知识四：圆的弦长问题7、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长__________.8、设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为32，则=a 。
知识五：圆的方程问题9、求经过点A(2，－1)，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆的方程．10、圆0322222=++-++a a ay ax y x 的圆心在（ )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限知识六：综合问题11、圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是（ ）A 。
《直线和圆的方程》复习一、直线的方程1、倾斜角：范围 ，若x l //轴或与x 轴重合时， 。
2、斜率： k=α与k 的关系：α=0⇔k =0＜α＜2k π⇔> α=2k π⇔22k ππ<<⇔<已知L 上两点P 1（x 1,y 1）P 2（x 2,y 2）⇒k=当1x =2x 时，α= ，κ 。
3、截距： 特别：曲线过原点⇔横纵截距都为0。
几种特殊位置的直线 ①x 轴： ②y 轴：③平行于x 轴：④平行于y 轴： ⑤过原点：②任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。
5、直线系：（1）共点直线系方程：p 0（x 0,y 0）为定值，k 为参数（1） (2) 特别：y=kx+b ，表示过（0、b ）的直线系（不含y 轴） （2）平行直线系：①y=kx+b ，k 为定值，b 为参数。
②与Ax+By+C=0 平行的直线系 ③与Ax+By+C=0垂直的直线系 （3）过L 1 :A 1x+B 1y+C 1=0,L 2: A 2X+B 2Y+C 2=0交点的直线系 （不含2l ） 6、三点共线的判定：①AC BC AB =+，② ，③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。
二、两直线的位置关系：2、距离：①点到直线距离：已知点p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0d=②两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0⇒ d=（与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022=+B A d 与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是：0221=+++C C BY AX ）3、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --' （2）点关于线的对称：设p(a（3）求点P （X 0、Y 0）关于L ：如图：(思路1)设P 点关于L 的对称点为P 0(x 0,y 0) 则 Kpp 0﹡K L =－1P, P 0中点满足L 方程解出P 0(x 0,y 0)（思路2）写出过P ⊥L 的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出P 0(x 0,y 0)的坐标。
圆的标准方程【知识梳理】1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A (a ，b )，半径长为r 的圆的标准方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 当a ＝b ＝0时，方程为x 2＋y 2＝r 2，表示以原点为圆心、半径为r 的圆．2．点与圆的位置关系圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心A (a ，b )，半径为r .设所给点为M (x 0，y 0)，则题型一、求圆的标准方程【例1】 过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4[解析] 法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由已知条件知⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，r 2＝4.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.法二：设点C 为圆心，∵点C 在直线x ＋y －2＝0上，∴可设点C 的坐标为(a,2－a )．又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |. ∴(a －1)2＋(2－a ＋1)2 ＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2，解得a ＝1.∴圆心坐标为C (1,1)，半径长r ＝|CA |＝2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.法三：由已知可得线段AB 的中点坐标为(0,0)，k AB ＝1－(－1)－1－1＝－1，所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1，所以AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)，即y ＝x .则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 即圆心为(1,1)，圆的半径为(1－1)2＋[1－(－1)]2＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.[答案] C【类题通法】确定圆的标准方程就是设法确定圆心C (a ，b )及半径r ，其求解的方法：一是待定系数法，如解法一，建立关于a ，b ，r 的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如解法二、三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．【对点训练】1．求下列圆的标准方程：(1)圆心是(4，－1)，且过点(5,2)；(2)圆心在y 轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；(3)求过两点C (－1,1)和D (1,3)，圆心在x 轴上的圆的标准方程．解：(1)圆的半径长r ＝ (5－4)2＋(2＋1)2＝10，故圆的标准方程为(x －4)2＋(y ＋1)2＝10.(2)设圆心为C (0，b )，则(3－0)2＋(－4－b )2＝52，解得b ＝0或b ＝－8，则圆心为(0,0)或(0，－8)．又∵半径r ＝5，∴圆的标准方程为x 2＋y 2＝25或x 2＋(y ＋8)2＝25.(3)直线CD 的斜率k CD ＝3－11＋1＝1，线段CD 中点E 的坐标为(0,2)，故线段CD 的垂直平分线的方程为y －2＝－x ，即y ＝－x ＋2，令y ＝0，得x ＝2，即圆心为(2,0)．由两点间的距离公式，得r ＝ (2－1)2＋(0－3)2＝10.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.题型二、点与圆的位置关系【例2】 如图，已知两点P 1(4,9)和P 2(6,3)．(1)求以P 1P 2为直径的圆的方程；(2)试判断点M (6,9)，N (3,3)，Q (5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外．[解] (1)设圆心C (a ，b )，半径长为r ，则由C 为P 1P 2的中点，得a＝4＋62＝5，b ＝9＋32＝6.又由两点间的距离公式得r ＝|CP 1|＝ (4－5)2＋(9－6)2＝10，故所求圆的方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10.(2)由(1)知，圆心C (5,6)，则分别计算点到圆心的距离：|CM |＝ (6－5)2＋(9－6)2＝10；|CN |＝ (3－5)2＋(3－6)2＝13＞10；|CQ |＝ (5－5)2＋(3－6)2＝3＜10.因此，点M 在圆上，点N 在圆外，点Q 在圆内．【类题通法】1．判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．2．灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．【对点训练】2．点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是()A．－1＜a＜1B．0＜a＜1C．a＞1或a＞－1 D．a＝±1解析：选A由于点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，a2＜1，所以－1＜a＜1.【练习反馈】1．圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1的圆心坐标是()A．(1，3)B．(－1，3)C．(1，－3) D．(－1，－3)答案：C2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定解析：选A∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．3．若点P(－1，3)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________.解析：∵P点在圆x2＋y2＝m2上，∴(－1)2＋(3)2＝4＝m2，∴m＝±2.答案：±24．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________．解析：圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.答案：(x＋2)2＋y2＝45．求以A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)为顶点的三角形的外接圆的方程．解：设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.将点A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)代入上式得⎩⎪⎨⎪⎧ (2－a )2＋(2－b )2＝r 2，(5－a )2＋(3－b )2＝r 2，(3－a )2＋(－1－b )2＝r 2，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1，r 2＝5. 所以，△ABC 的外接圆方程是(x －4)2＋(y －1)2＝5.。
第12课 直线与圆、圆与圆的问题 复习目标1. 理解直线与圆、圆与圆的位置关系；2. 掌握直线与圆的方程的简单应用；知识归纳1、直线与圆的位置关系有三种：（1）直线与圆______⇔有两个公共点；（2）直线与圆______⇔有一个公共点；（3）直线与圆______⇔没有公共点。
2、直线与圆的位置关系直线l ：Ax+By+C=0与圆(r>0)的位置关系的判定方法（1）几何法 圆心C(a,b)到直线l ：Ax+By+C=0的距离=d ________________， 若______⇔直线与圆相交；若______⇔直线与圆相切；若______⇔直线与圆相离。
（2）代数法 由直线与圆的方程联立得方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式为∆，则：若_______⇔直线与圆相交；若_______⇔直线与圆相切；若_______⇔直线与圆相离。
3、直线被圆所截得的弦长公式如右图，222||2||d r BC AB -==（垂径分弦定理）。
3、圆与圆的位置关系（1）圆与圆的位置关系有相离、相交、外切、内切、内含五种情况。
（2）设两圆)0()()(1212121>=-+-r r b y a x 与)0()()(2222222>=-+-r r b y a x 的圆心距d O O =||21，则：____________________⇔相离；____________________⇔外切；____________________⇔相交；____________________⇔内切；____________________⇔内含。
基础训练1、两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切2、若直线2=-y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22,则实数a 的值为A ．1-或3B ．1或3C ．2-或6D ．0或43、若直线1=+by ax 与圆122=+y x 相交，则点),(b a P 的位置是（ ）A 、在圆上B 、在圆外C 、在圆内D 、都有可能4、过点)6,1(-P 且与圆4)2()3(22=-++y x 相切的直线方程是___________________；A CB O d r5、已知圆C 的方程为03222=--+y y x ，过点(1,2)P -的直线l 与圆C 交于,A B 两点，若使AB 最小，则直线l 的方程是________________。
