2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第3章 章末综合检测(三) Word版含解析

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第三章达标测试卷（100分，45分钟）一、选择题（每题6分共48分）1.设a ＜b ＜0,下列不等式一定成立的是（ ）A.a 2＜ab ＜b 2B.b 2＜ab ＜a 2C.a 2＜b 2＜abD.ab ＜b 2＜a 22.关于x 的不等式ax 2+bx －2＞0的解集是⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,∪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,31,则ab 等于（ ） A.24 B.6 C.14 D. －14 3.〈南充市第一次高考适应性考试〉不等式32+-x x ≤2的解集是（ ） A.{x |x ＜－8或x ＞－3} B.{x |x ≤－8或x ＞－3} C.{x |－3≤x ≤2} D.{x |－3＜x ≤2}4.已知函数y =f (x )的图象如图1，则不等式⎪⎭⎫⎝⎛-+112x x f ＞0的解集为（ ）A.（－∞,1）B.( －2,1)C.( －∞, －2)D.( －∞, －2)∪(1,+∞) 图1 5.设x ,y ∈R ,a ＞1,b ＞1，若a x =b y =3,a +b =23,则yx 11+的最大值为（ ） A.2 B.23 C.1 D. 21 6.若不等式x 2+ax +1≥0对一切x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0成立，则a 的最小值为（ ）A.0B. －2C. －25D. －3 7.如图2，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运， 据市场分析每辆客车的运营总利润y （单位：万元）与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系.若使营运的年平均利润最大， 则每辆客车应营运（ ）A.3年B.4年C.5年D.6年 图28.设x ,y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--，，00,02,063y x y x y x 若目标函数z =ax +by (a ＞0, b ＞0)的最大值为12，则a 2+b 3的最小值为（ ） A. 625 B. 38 C. 311 D.4二、填空题（每题5分共15分）9.〈许昌五校上学期第三次联考〉已知实数x ,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≥+-,0,30,02y x y x 则目标函数z =2x －y的最大值是 .10.已知二次函数f (x )=ax 2+2x +c (x ∈R )的值域为［0,+∞),则ac c a 11+++的最小值为 . 11.〈安徽高考〉设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.①若ab ＞c 2,则C ＜3π;②若a +b ＞2c ,则C ＜3π;③若a 3+b 3=c 3,则C ＜2π;④若(a +b)c ＜2ab ,则C ＞2π;⑤若(a 2+b 2)c 2＜2a 2b 2,则C ＞3π. 三、解答题（12~13每题12分，14题13分，共37分） 12.已知x ＞0,y ＞0且2x +8y －xy =0,求：（1）xy 的最小值；（2）x +y 的最小值.13.医院用甲、乙两种原料给手术后的病人配营养餐，甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？14.设a ＞0,b ＞0,对任意的实数x ＞1,有ax +1-x x＞b 成立，试比较a +1和b 的大小.参考答案及点拨一、1.B 点拨：∵a ＜b ＜0,∴a 2－ab =a (a －b )＞0,ab －b 2=b (a －b )＞0.∴a 2＞ab ,ab ＞b 2. ∴a 2＞ab ＞b 2.故选B.2.A 点拨：由题意知－21，31是方程ax 2+bx －2=0的根，故有,.231213121⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯--=+-a a b ∴a =12,b =2.∴ab =24. 3.B 点拨：原不等式可化为32+-x x －2≤0，即38+--x x ≤0，即(x +3)(x +8)≥0且x ≠－3, 解得：x ≤－8或x ＞－3.4.B 点拨：由函数y ＝f (x )的图象知：要使⎪⎭⎫⎝⎛-+112x x f ＞0, 则需112-+x x ＜1,即12-+x x ＜0,利用穿根法得－2＜x ＜1.（如答图1） 答图1 ∴原不等式的解集为（－2，1）.5.C 点拨：∵a x =b y =3,∴x =log a 3,y =log b 3. ∴y x 11+=3log 13log 1b a +=3lg lg 3lg lg b a +=3lg )lg(b a ⋅.∵23=a +b ≥2ab ,即ab ≤3（当且仅当a =b 时，取“＝”），由⎩⎨⎧==+b a b a ,32得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,3b a∴当a =b =3时，ab 有最大值3.∴yx 11+的最大值为1. 6.C 点拨：∵不等式x 2+ax +1≥0对一切x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0成立，∴对一切x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0,ax ≥－x 2－1,即a ≥x x 12+-成立.令g (x )= x x 12+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 1.易知g (x )= ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 1在⎥⎦⎤⎝⎛21,0内为增函数. ∴当x =21时，g (x )max =－25. ∴a 的取值范围是a ≥－25.即a 的最小值是－25.故选C.7.C 点拨：由图象知抛物线顶点坐标为（6，11），且过点（4，7）.设y =a (x －6)2+11,将点（4，7）的坐标代入，得7=a (4－6)2+11,∴a =－1. ∴y =－(x －6)2+11=－x 2+12x －25. ∴x y =－x －x 25+12=12－⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 25.∵xx 25+≥10（当且仅当x x 25=,即x =5时，取“=”）,∴当x =5时，xy有最大值2.故选C.8.A 点拨：不等式组表示的平面区域如答图2中阴影部分， 当直线ax +by =z (a ＞0,b ＞0)过直线x －y +2=0与直线3x －y －6=0的交点（4，6）时，目标函数z =ax +by (a ＞0,b ＞0) 取得最大值12，即4a +6b =12,即2a +3b =6, 而b a 32+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 32632b a +⋅=613+⎪⎭⎫⎝⎛+b a a b ≥ 613+2=625,故选A. 答图2二、9.6 点拨：平面区域如答图3，平移直线2x －y =0,当直线过点A (3,0)时，目标函数的值最大，最大值为6.答图310.4 点拨：依题意f (x )的最小值为0，所以a ＞0且⎪⎭⎫ ⎝⎛-a f 1=a 1－a2+c =0.即a ＞0且ac =1, 所以c ＞0.故c a 1++ac 1+=ac c c a a +++22=a 2+c 2+a +c ≥2ac +2ac ＝4，当且仅当a =c =1时，等号成立.11.①②③ 点拨：对于①,∵ab ＞c 2,∴cos C =ab c b a 2222-+＞ab ab b a 222-+≥ab ab ab 22-=21(当且仅当a =b 时取“=”).又∵C ∈(0,π),∴C ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛30π，.∴①正确.对于②，∵a +b ＞2c ＞0,∴c 2＜42）（b a +.∴cos C =ab c b a 2222-+＞ab b a b a 24)(222+-+=abab b a 221)(4322-+≥ab ab 2=21 (当且仅当a =b时取“=”).又∵C ∈(0,π),∴C ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛30π，.∴②正确.对于③，∵a 3+b 3=c 3,∴(a 2+b 2) 3－(c 2) 3=(a 2+b 2) 3－(a 3+b 3) 2=3a 4b 2+3a 2b 4－2a 3b 3=a 2b 2 (3a 2+3b 2－2ab )≥4a 3b 3＞0（当且仅当a =b 时取“=”）. ∴(a 2+b 2) 3＞(c 2) 3,即a 2+b 2＞c 2.∴cos C =ab c b a 2222-+＞0,C ＜2π,∴③正确.对于④，∵(a +b )c ＜2ab ,∴c 2＜()2224b a b a +≤ab (当且仅当a =b 时取“=”). ∴cos C ＝ab c b a 2222-+＞ab ab b a 222-+≥ab ab 2=21＞0(当且仅当a =b 时取“=”),C ＜2π.故④不正确.对于⑤，∵(a 2+b 2)·c 2＜2a 2b 2,∴c 2＜22222ba b a +≤ab b a 2222=ab (当且仅当a =b 时取“=”). ∴cos C =ab c b a 2222-+＞ab ab b a 222-+≥abab ab 22-=21(当且仅当a =b 时取“=”).又∵C ∈(0,π),∴C ∈⎪⎭⎫⎝⎛30π，.故⑤不正确. ∴正确命题为：①, ②,③. 三、12.解：（1）由2x +8y －xy =0,得x 8+y 2=1,又x ＞0,y ＞0，则1=x 8+y 2≥xyy x 8282=⋅,得xy ≥64.当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+,28,128yx yx ,即⎩⎨⎧==4,16y x 时等号成立.此时()min xy =64. (2)由2x +8y －xy =0,得x 8+y2=1, 则x +y =⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+y x 28 (x +y)=10+y x 2+x y 8≥10+2x yy x 82⋅=18. 当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+,82,128x y yx yx 即⎩⎨⎧==6,12y x 时等号成立.此时()min y x +=18.13.解：设甲、乙两种原料各用10x g 、10y g ，所需费用为z 元，由题意，知z =3x +2y ,线性约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,40410,3575y x y x y x画出可行域如答图4中阴影部分. 答图4作直线l 0:3x +2y =0,则易知当l 0平移至l 位置时，z 有最小值，此时l 过点A .由⎩⎨⎧=+=+40410,3575y x y x 得A ⎪⎭⎫⎝⎛3,514. ∴应用甲、乙原料分别为514×10=28(g),3×10=30(g)时，费用最省. 温馨提示：本题设“甲、乙原料分别用10x g 、10y g ”比设“甲、乙原料分别用x g ，y g ”运算方便.14.解：设f (x )=ax +1-x x ,则f (x )=ax +1+11-x =(a +1)+a (x －1)+ 11-x ,∵x ＞1,∴x －1＞0.∴f (x )≥(a +1)+2a =(a +1)2.当且仅当a (x －1)=11-x (x ＞1),即x =a11+时，上式取“＝”，又f (x )＞b 恒成立，∴b ＜(a +1)2.又∵a ＞0,b ＞0,∴a +1＞b .。

第2课时 求非线性目标函数的最值课时过关·能力提升1.设x ,y 满足约束条件 3x -y -6≤0,x -y +2≥0,x ≥0,y ≥0,若目标函数z=ax+by (a>0,b>0)的最大值为12,则2+3的最小值为( ) A.256B.83C.113D.4.由图形可知,目标函数在点(4,6)处取得最大值12,则2a+3b=6,从而有2a +3b=16 2a +3b (2a+3b )=16 6b a +4+9+6a b =136+16 6b a +6a b =136+ b a +a b ≥136+2 b a ·a b=256,当且仅当a=b=65时,等号成立.故选A .2.若实数x ,y 满足 x -y +1≥0,x +y ≥0,x ≤0,则z=3x+2y 的最小值是( ) B.1 C. 3 D.9 解析:题中不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示.令t=x+2y ,则当直线y=-1x+1t 经过原点O (0,0)时,1t 取最小值,即t 有最小值为0,故z=3x+2y 有最30=1.3.已知O 是坐标原点,点A (-1,1),若点M (x ,y )为平面区域 x +y ≥2,x ≤1,y ≤2上的一个动点,则OA ·OM的取值范围是 ( ) B.[0,1] C.[0,2] D.[-1,2]x +y ≥2,x ≤1,y ≤2表示的平面区域如图阴影部分所示.由数量积的坐标运算可得OA·OM=-x+y.令-x+y=z,即y=x+z.易知目标函数y=x+z过点B(1,1)时,z min=0.目标函数y=x+z过点C(0,2)时,z max=2. OA·OM的取值范围是[0,2].4.如图所示,目标函数z=ax-y的可行域为四边形OACB(含边界),若点C23,45是该目标函数z=ax-y的最优解,则a的取值范围是()A.-103,-512B.-125,-310C.3,12D.-12,3C,则目标函数表示的直线斜率在直线BC与AC的斜率之间.因为k BC=-3,k AC=-12,所以a∈-12,-3.5.已知x,y满足x-y+1≥0,x+y-2≥0,x≤m,且x-3y的最大值不小于6,则实数m的取值范围是()A.(-∞,3]B.[3,+∞)C.-∞,9D.9,+∞x-y+1=0与x+y-2=0交点为12,32,所以m>12.作出不等式组表示的可行域如图所示.作直线x-3y=0,并平移,当直线x-3y=z过点A(m,2-m)时,x-3y取得最大值.x-3y的最大值不小于6,得m-3(2-m)≥6,解得m≥3.6.已知x,y满足约束条件y≥-1,x-y≥2,3x+y≤14,若使z=ax+y取得最大值的最优解有无数个,则实数a的取值构成的集合是()B.{-1,1}C.{-1,3}D.{-3,0,1}y≥-1x-y≥23x+y≤14表示的平面区域,如图所示.从图可知,当a=-1时,线段AC 上的所有点都是z 取得最大值的最优解;当a=3时,线段BC 上的所z 取得最大值的最优解;当a=0时,z 取得最小值的最优解有无数个,不符合题意.A (1,1),B (4,2),C (-1,4),若动点P (x ,y )在△ABC 内部及边界运动,且z=ax-y 的最优解有无数个,则a 的值为 .,说明直线y=ax-z 与可行域边界所在的某条直线平行,又直线AB 的斜率为2-14-1=13,直线BC 的斜率为2-44+1=-25,直线AC 的斜率为4-1-1-1=-32,故直线y=ax-z 的斜率a 的值为13或-32或-25. -32或-258.已知点P 的坐标(x ,y )满足 x +y ≤4,y ≥x ,x ≥1,则点P 到直线4x+3y+1=0的距离的最大值是 ..由图可知点B (2,2)到直线4x+3y+1=0的距离最大,由点到直线的距离公式得d= 4+3=3.A={(x ,y )|x+y ≥2},集合B={(x ,y )|2x+y ≥2},当(x ,y )∈A ∩B 时,求z=x+y 的取值范围.x ,y 满足的不等式组为 x +y ≥2,2x +y ≥2,在平面直角坐标系中画出可行域,如图阴影部.因为直线y=-x+z 与直线x+y=2平行,所以当直线y=-x+z 与x+y=2重合时,z 取得最小值2,且z 无最大值,故z 的取值范围是[2,+∞).★10.已知变量x ,y 满足约束条件 x +2y -3≤0,x +3y -3≥0,y -1≤0,若目标函数z=ax+y (其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,求a 的取值范围.,作直线l:ax+y=0,过点(3,0)作l的平行线l',则直线l'介于直线x+2y-3=0与直线x=3之间,因此,-a<-1,即a>1.故a的取值范围为1,+∞.★11.已知实数x,y满足不等式组2≤x-y≤4, x+2y≥-4.(1)求目标函数z=10x+30y(x,y∈Z)的最小值;z=ax+y(a<0)的最大值为-2,求a的取值范围.解:在平面直角坐标系中作出可行域,如图阴影部分所示.(1)由于x,y∈Z,故在可行域中通过打网格的方法找出各整点,发现当直线y=-1x+z经过点A(0,-2)时,目标函数取得最小值,z min=-60.(2)若a≤-1,则目标函数在A(0,-2)处取得最大值-2,符合题意;若-1<a<0,则目标函数无最大值.综上可知,a的取值范围是(-∞,-1].。

一、本章知识网络二、知识要点归纳1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．3．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域.(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数．当B>0时，①Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；②Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．4．求目标函数最优解的两种方法(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用基本不等式求最值，把握三个条件 (1)“一正”——各项为正数；(2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到． 三、题型探究题型一 “三个二次”之间的关系对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：①相应的二次函数图像及与x 轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根(相应的二次函数的图像及与x 轴的交点)．例1 不等式2x 2＋mx ＋n ＞0的解集是{x |x ＞3或x ＜－2}，则二次函数y ＝2x 2＋mx ＋n 的表达式是( ) A ．y ＝2x 2＋2x ＋12 B ．y ＝2x 2－2x ＋12 C ．y ＝2x 2＋2x －12 D ．y ＝2x 2－2x －12答案 D解析 由根与系数的关系得⎩⎨⎧－m2＝3－2＝1，n2＝3×(－2)＝－6⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝－12. ∴y ＝2x 2－2x －12. 题型二 恒成立问题对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种 (1)变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元． (2)分离参数法：若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min . 若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max . (3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化．例2 已知函数f (x )＝mx 2－mx －6＋m ，若对于m ∈[1,3]，f (x )＜0恒成立，求实数x 的取值范围．解 方法一 f (x )＜0⇔mx 2－mx －6＋m ＜0⇔(x 2－x ＋1)m －6＜0. ∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1＞3⇔x 2－x －1＜0⇔1－52＜x ＜1＋52.∴x 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－52＜x ＜1＋52. 方法二 设g (m )＝f (x )＝mx 2－mx －6＋m ＝(x 2－x ＋1)m －6.由题意知g (m )＜0对m ∈[1,3]恒成立．∵x 2－x ＋1＞0，∴g (m )是关于m 的一次函数，且在[1,3]上是单调增函数， ∴g (m )＜0对m ∈[1,3]恒成立等价于g (m )max ＜0， 即g (3)＜0.∴(x 2－x ＋1)·3－6＜0⇔x 2－x －1＜0⇔1－52＜x ＜1＋52，∴x 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－52＜x ＜1＋52. 题型三 简单的线性规划问题关注“线性规划”问题的各种“变式”：诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现，①“可行域”由不等式和方程共同确定(为线段或射线)，②“约束条件”由二次方程的“区间根”间接提供，③“约束条件”非线性，④目标函数非线性，如：x －ay －b (斜率)，(x －a )2＋(y －b )2(距离)等．求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最大值或最小值时，只需把直线ax ＋by ＝0向上(或向下)平行移动，所对应的z 随之增大(或减少)(b >0)，找出最优解即可．在线性约束条件下，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最小值或最大值的求解步骤为 (1)作出可行域；(2)作出直线l 0：ax ＋by ＝0；(3)确定l 0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值． 例3 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，求w ＝x 2＋y 2的最大值和最小值．解 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域，如图所示的△ABC 包括边界及其内部．∵w ＝x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2表示的是可行域内的动点M (x ，y )到原点O (0,0)的距离的平方， ∴当点M 在边AC 上滑动，且OM ⊥AC 时，w 取得最小值，于是w min ＝d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|0＋0－2|22＋122＝45；当点M 滑到与点B (2,3)重合时，w 取得最大值， 即w max ＝((2－0)2＋(3－0)2)2＝13， 故w min ＝45，w max ＝13.题型四 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解． 例4 已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3B ．4C.92D.112答案 B解析 方法一 依题意得，x ＋1＞1,2y ＋1＞1，易知(x ＋1)·(2y ＋1)＝9，则(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2(x ＋1)(2y ＋1)＝29＝6，当且仅当x ＋1＝2y ＋1＝3，即x ＝2，y ＝1时，等号成立，因此有x ＋2y ≥4，所以x ＋2y 的最小值为4. 方法二 由题意得，x ＝8－2y 2y ＋1＝－(2y ＋1)＋92y ＋1＝－1＋92y ＋1∴x ＋2y ＝－1＋92y ＋1＋2y ＝－1＋92y ＋1＋2y ＋1－1≥292y ＋1·(2y ＋1)－2＝4， 当且仅当2y ＋1＝3，即y ＝1时，等号成立． 四、思想方法总结 1．分类讨论思想解含有字母的不等式时，往往要对其中所含的字母进行适当的分类讨论．分类讨论的原因大致有以下三种：(1)对不等式作等价变换时，正确运用不等式的性质而引起的讨论．(2)对不等式(组)作等价变换时，由相应方程的根的大小比较而引起的讨论．(3)对不等式作等价变换时，由相应函数单调性的可能变化而引起的讨论．例1解关于x的不等式x－ax－a2＜0(a∈R)．解首先将不等式转化为整式不等式(x－a)(x－a2)＜0，而方程(x－a)(x－a2)＝0的两根为x1＝a，x2＝a2，故应就两根a和a2的大小进行分类讨论．原不等式等价于(x－a)(x－a2)＜0.(1)若a＝0，则a＝a2＝0，不等式为x2＜0，解集为∅；(2)若a＝1，则a2＝1，不等式为(x－1)2＜0，解集为∅；(3)若0＜a＜1，则a2＜a，故解集为{x|a2＜x＜a}；(4)若a＜0或a＞1，则a2＞a，故解集为{x|a＜x＜a2}．2．转化与化归思想不等与相等是相对的，在一定条件下可以相互转化．解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程．无论哪种类型的不等式，其求解思路都是通过等价转化，把它们最终归结为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)的求解．由于不等式的解集一般是无限集，因此不等式非等价变换产生的多解或少解是无法由检验而予以剔除或增补的，这就要求解不等式的每一步变换都是等价变换，而这种变换的目标应是代数化、有理化、二次化一次、高次化低次等．例2已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递减，α，β，γ∈R且α＋β＞0，β＋γ＞0，γ＋α＞0.试判断f(α)＋f(β)＋f(γ)的值与0的关系．解∵f(x)为R上的减函数，且α＞－β，β＞－γ，γ＞－α，∴f(α)＜(－β)，f(β)＜f(－γ)，f(γ)＜f(－α)，又f(x)为奇函数，∴f(－β)＝－f(β)，f(－α)＝－f(α)，f(－γ)＝－f(γ)，∴f(α)＋f(β)＋f(γ)＜f(－β)＋f(－γ)＋f(－α)＝－[f(β)＋f(γ)＋f(α)]，∴f(α)＋f(β)＋f(γ)＜0.1.不等式的应用非常广泛，它贯穿于高中数学的始终．在集合、函数、数列、解析几何及实际问题中多有不等式的应用．本章的重点是简单的线性规划问题，基本不等式求最值和一元二次不等式的解法．2．考查角度通常有如下几个方面：(1)对各类不等式解法的考查，其解题关键是对于生疏的，非规范化的题目转化为熟悉的、规范化的问题去求解；(2)对含参数的不等式的解法的考查，解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行求解．(3)与函数、三角函数、向量等知识相结合，以解题工具的面貌出现在解答题中，以求解参数的取值范围为主，并且将更加突出对不等式的灵活性、综合性及应用性的考查．。

章末综合测评(三)不等式(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a＜b＜0，则()A.1a＜1b B．0＜ab＜1C．ab＞b2 D.ba＞ab【解析】∵a＜b＜0，∴两边同乘以b得ab＞b2，故选C.【答案】 C2．设m＝(x＋5)(x＋7)，n＝(x＋6)2，则m、n的大小关系是()A．m≤n B．m＞nC．m＜n D．m≥n【解析】∵m＝(x＋5)(x＋7)＝x2＋12x＋35，n＝(x＋6)2＝x2＋12x＋36，∴m－n＝－1＜0，∴m＜n.【答案】 C3．若a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解是()A．x＞5a或x＜－a B．x＞－a或x＜5aC．5a＜x＜－a D．－a＜x＜5a【解析】不等式化为：(x＋a)(x－5a)＞0，相应方程的两根x1＝－a，x2＝5a.∵a＜0，∴x1＞x2，∴不等式的解为x＜5a或x＞－a.【答案】 B4．若a，b∈R，则下列恒成立的不等式是() 【导学号：47172135】A.|a＋b|2≥|ab| B.ba＋ab≥2C.a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22D．(a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b≥4【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a 2＋b 2＋2ab 4≤a 2＋b 2＋a 2＋b 24＝a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. 【答案】 C5．如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图像与x 轴有两个交点，则点(a ，b )在aOb 平面上的区域(不含边界)为( )【解析】 由题意知Δ＝b 2－4a 2＞0，∴(b －2a )(b ＋2a )＞0，∴⎩⎨⎧ b －2a ＞0，b ＋2a ＞0，或⎩⎨⎧b －2a ＜0，b ＋2a ＜0，画图知选C. 【答案】 C6．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) 【导学号：47172136】A.72B ．4 C.92 D ．5 【解析】 ∵a ＋b ＝2，∴a 2＋b 2＝1，∴y ＝1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2＝52＋2a b ＋b 2a ， ∵a ＞0，b ＞0，∴2a b ＋b 2a ≥22a b ·b 2a ＝2，当且仅当2a b ＝b 2a ，且a ＋b ＝2，即a ＝23，b ＝43时取得等号，∴y 的最小值是92，选C.【答案】 C。

章末综合测评(三)不等式(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a＜b＜0，则()A.1a＜1b B．0＜ab＜1C．ab＞b2 D.ba＞ab【解析】∵a＜b＜0，∴两边同乘以b得ab＞b2，故选C.【答案】 C2．设m＝(x＋5)(x＋7)，n＝(x＋6)2，则m、n的大小关系是()A．m≤n B．m＞nC．m＜n D．m≥n【解析】∵m＝(x＋5)(x＋7)＝x2＋12x＋35，n＝(x＋6)2＝x2＋12x＋36，∴m－n＝－1＜0，∴m＜n.【答案】 C3．若a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解是()A．x＞5a或x＜－a B．x＞－a或x＜5aC．5a＜x＜－a D．－a＜x＜5a【解析】不等式化为：(x＋a)(x－5a)＞0，相应方程的两根x1＝－a，x2＝5a.∵a＜0，∴x1＞x2，∴不等式的解为x＜5a或x＞－a.【答案】 B4．若a，b∈R，则下列恒成立的不等式是() 【导学号：47172135】A.|a＋b|2≥|ab| B.ba＋ab≥2C.a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22D．(a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b≥4【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a 2＋b 2＋2ab 4≤a 2＋b 2＋a 2＋b 24＝a 2＋b22，当且仅当a ＝b时取等号，∴a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. 【答案】 C5．如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图像与x 轴有两个交点，则点(a ，b )在aOb 平面上的区域(不含边界)为( )【解析】 由题意知Δ＝b 2－4a 2＞0， ∴(b －2a )(b ＋2a )＞0，∴⎩⎨⎧ b －2a ＞0，b ＋2a ＞0，或⎩⎨⎧b －2a ＜0，b ＋2a ＜0，画图知选C. 【答案】 C6．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )【导学号：47172136】A.72 B ．4 C.92D ．5【解析】 ∵a ＋b ＝2，∴a 2＋b 2＝1，∴y ＝1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2＝52＋2a b ＋b2a ，∵a ＞0，b ＞0，∴2a b ＋b2a ≥22a b ·b 2a ＝2，当且仅当2a b ＝b 2a ，且a ＋b ＝2，即a ＝23，b ＝43时取得等号， ∴y 的最小值是92，选C. 【答案】 CA.12 B.14 C.16D.18【解析】 设m ＝x －2y ，则y ＝12x －m2，作出不等式组对应的平面区域如图，平移直线y ＝12x －m 2，由图可知当直线y ＝12x －m 2过点A 时，直线y ＝12x －m2的截距最大，此时m 最小，由⎩⎨⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，即A (2,2)，此时m 最小，为2－2×2＝－2，则z ＝2x －2y的最小值为2－2＝14，故选B.【答案】 B8．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )【导学号：47172086】A ．(－∞，2]B ．(－2,2)C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)【解析】 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式化为－4＜0对一切x ∈R 恒成立．当a －2≠0时，即a ≠2时，由题意，得⎩⎨⎧a －2＜0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0，解得－2＜a ＜2.综上所述，a 的取值范围为－2＜a ≤2，故选C. 【答案】 C＞0)的最大值为12，则2a ＋3b 的最小值为( ) 【导学号：47172137】A.256B.83C.113D ．4【解析】 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)．当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥136＋2＝256(当且仅当a ＝b ＝65时取等号)．【答案】 A10．已知O 是坐标原点，点P (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1 ，y ≤2，上的一个动点，则OP →·OM→的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]【解析】 OP →·OM →＝(－1,1)·(x ，y )＝y －x ，画出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2，表示的平面区域如图所示．可以看出当z ＝y －x 过点A (1,1)时有最小值0，过点C (0,2)时有最大值2，则OP →·OM→的取值范围是[0,2]，故选C. 【答案】 C11．已知实数x ，y 满足2x ＋y －5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．210【解析】 ∵y ＝5－2x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(5－2x )2＝5x 2－20x ＋25＝5(x －2)2＋5，∴当x ＝2时，x 2＋y 2的最小值为 5. 【答案】 A12．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x －y ＝0对称，动点P (a ，b )在不等式组⎩⎨⎧kx －y ＋2≥0，kx －my ≤0，y ≥0，表示的平面区域内部及边界上运动，则ω＝b －2a －1的取值范围是( ) 【导学号：47172138】A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．[－2,2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)【解析】 由题意分析直线y ＝kx ＋1与直线x －y ＝0垂直，所以k ＝－1，即直线y ＝－x ＋1.又圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，－m 2在直线x －y ＝0上，可求得m ＝－1.则不等式组为⎩⎨⎧－x －y ＋2≥0，－x ＋y ≤0，y ≥0，所表示的平面区域如图，ω＝b －2a －1的几何意义是点Q (1,2)与平面区域上点P (a ，b )连线斜率的取值范围．k OQ ＝2，k AQ ＝－2，故ω的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 【答案】 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．若关于x 的不等式m (x －1)＞x 2－x 的解集为{x |1＜x ＜2}，则实数m 的值为________．【解析】 法一：由m (x －1)＞x 2－x 整理得(x －1)(m －x )＞0，即(x －1)(x －m )＜0，又m (x －1)＞x 2－x 的解集为{x |1＜x ＜2}，所以m ＝2.法二：由条件知，x ＝2是方程m (x －1)＝x 2－x 的根， ∴m ＝2. 【答案】 2 14．函数y ＝16－x －x2的定义域是________． 【导学号：47172139】 【解析】 要使函数有意义，只需6－x －x 2＞0，即x 2＋x －6＜0.∵Δ＝1＋24＝25＞0，∴方程x 2＋x －6＝0有两个不相等的实数根分别为－3,2.∴不等式x 2＋x －6＜0的解为－3＜x ＜2， ∴函数的定义域为{x |－3＜x ＜2}． 【答案】 {x |－3＜x ＜2}15．已知z ＝2x －y ，式中变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≥1，x ≤2，则z 的最大值为________．【解析】由⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≥1，x ≤2，作出可行域如图．由图可知，目标函数z ＝2x －y 在点A (2，－1)处取最大值z ＝2×2＋1＝5. 【答案】 516．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 【解析】 由x 2＋y 2＋xy ＝1得1＝(x ＋y )2－xy ， ∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，解得 －233≤x ＋y ≤233， ∴x ＋y 的最大值为233. 【答案】233三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)解不等式组⎩⎨⎧3x －2x －6≤1，2x 2－x －1＞0.【解】3x －2x －6≤1⇒2x ＋4x －6≤0⇒x ∈[－2,6)， 2x 2－x －1＞0⇒(2x ＋1)(x －1)＞0⇒x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1＋∞)，所以，原不等式组的解集为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－12∪(1,6)．18．(本小题满分12分)已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围. 【导学号：47172140】【解】 当a 2－4＝0，即a ＝±2.若a ＝2时，原不等式化为4x －1≥0，∴x ≥14. 此时，原不等式的解集不是空集．若a ＝－2时，原不等式化为－1≥0，无解． 此时，原不等式的解集为空集． 当a 2－4≠0时，由题意，得⎩⎨⎧a 2－4＜0，Δ＝(a ＋2)2－4(a 2－4)×(－1)＜0，∴－2＜a ＜65.综上所述，a 的取值范围为－2≤a ＜65. 19．(本小题满分12分)已知x ，y 都是正数． (1)若3x ＋2y ＝12，求xy 的最大值； (2)若x ＋2y ＝3，求1x ＋1y 的最小值． 【解】 (1)xy ＝16·3x ·2y ≤16⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2y 22＝6. 当且仅当⎩⎨⎧ 3x ＝2y ，3x ＋2y ＝12， 即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，时取“＝”号．所以当x ＝2，y ＝3时，xy 取得最大值6. (2)1x ＋1y ＝13(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋x y ＋2y x ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2x y ·2y x ＝1＋223. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x y ＝2y x，x ＋2y ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32，y ＝3－322时，取“＝”号．所以，当x ＝－3＋32，y ＝3－322时，1x ＋1y 取得最小值1＋223.20．(本小题满分12分)某公司计划2016年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【解】 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎨⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3 000x ＋2 000y ，二元一次不等式组等价于⎩⎨⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分所示．作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0， 即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值． 联立⎩⎨⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得⎩⎨⎧x ＝100，y ＝200，∴点M 的坐标为(100,200)，∴z max ＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)．∴该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大的收益是70万元．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2ax ＋b (a 、b 为常数)，且方程f (x )－x＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式f (x )＜(k ＋1)x －k2－x.【解】 (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程x 2ax ＋b －x ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧93a ＋b ＝－9，164a ＋b ＝－8，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2，∴f (x )＝x 22－x(x ≠2)．(2)原不等式即为x 22－x ＜(k ＋1)x －k 2－x ，可化为x 2－(k ＋1)x ＋k 2－x ＜0，即(x －2)(x －1)(x －k )＞0.①当1＜k ＜2时，1＜x ＜k 或x ＞2； ②当k ＝2时，x ＞1且x ≠2； ③当k ＞2时，1＜x ＜2或x ＞k .综上所述，当1＜k ＜2时，原不等式的解集为{x |1＜x ＜k 或x ＞2}； 当k ＝2时，原不等式的解集为{x |x ＞1且x ≠2}； 当k ＞2时，原不等式的解集为{x |1＜x ＜2或x ＞k }．22．(本小题满分12分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的钻石的价值为54 000美元．(1)写出钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m＝n时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计) 【导学号：47172141】【解】(1)由题意可设价值与重量的关系式为：y＝kx2，∵3克拉的价值是54 000美元，∴54 000＝k·32，解得：k＝6 000，∴y＝6 000x2，即此钻石的价值与重量的函数关系式为y＝6 000x2.(2)证明：若两颗钻石的重量为m、n克拉，则原有价值是6 000(m＋n)2，现有价值是6 000m2＋6 000n2，价值损失的百分率＝6 000(m＋n)2－6 000m2－6 000n26 000(m＋n)2×100%＝2mn(m＋n)2×100%≤2×⎝⎛⎭⎪⎫m＋n22(m＋n)2＝12，当且仅当m＝n时取等号．即当m＝n时，价值损失的百分率最大．。

学必求其心得，业必贵于专精高中数学必修5第二、三章综合测试卷一、选择题:(每小题4分，共计40分)1．如果0,0a b <>,那么,下列不等式中正确的是( A )A ．11ab< B．< C ．22ab <D ．||||a b >解：如果0,0a b <>，那么110,0ab<>，∴11a b<。

2．函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是( B ）A.),31(+∞- B 。

)1,31(- C 。

)31,31(- D.)31,(--∞解:由1311301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x .3．不等式112x <的解集是（ D ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(0,2)D ．(,2)-∞⋃(2,)+∞解:由112x<得：112022x xx--=<，即(2)0x x -<。

4．不等式022>++bx ax的解集是)31,21(-，则a ＋bA.10B.－10C.14D 。

－14解：不等式022>++bx ax的解集是)31,21(-，即方程022=++bx ax的解为3121或-=x ,故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=+-aa b 231213121212-=-=b a ∴a+b=—145．已知a ，b,a+b 成等差数列，a ，b ，ab 成学校 班级姓名 学号等比数列，且0〈log m ab 〈1,则m 取值范围是( C ）A 、m 〉1B 、1<m<8C 、m 〉8D 、0<m 〈1或m 〉86．已知等差数列｛a n }满足a 2+a 4=4， a 3+a 5=10，则它的前10项的和S 10=（ C )A ．138B ．135C ．95D ．23 7．已知{a n }是等比数列，a 2=2, a 5=41，则a 1a 2+a 2a 3+…+ a n a n+1=（ C ）A ．16(n--41) B ．16（n--21） C ．332（n--41) D ．332(n--21)8 如果a 1，a 2,…， a 8为各项都大于零的等差数列,公差0d ≠，则（ B )A5481a a a a >B5481a a a a <C1845a a a a +>+ D5481a a a a =［解析］：因为128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠故2121115412111817)4)(3(,7)7(dd a a d a d a a a d a a d a a a a ++=++=+=+=；故5481a a aa <9、3、已知数列｛a n }满足a 1=0， a n+1=a n +2n,那么a 2003的值是（ C ）A 、20032B 、2002×2001C 、2003×2002D 、2003×200410、已知等差数列｛a n ｝中,|a 3｜=｜a 9｜，公差d<0，则使前n 项和S n 取最大值的正整数n 是（ B ）A 、4或5B 、5或6C 、6或7D 、8或9二、填空题:（每小题4分,共计20分） 11．在等比数列{a n }中，若a 9·a 11=4，则数列｛n a 21log}前19项之和为___－19 ___[解析]：由题意a n >0,且a 1·a 19 =a 2·a 18 =…=a 9·a 11=210a又a 9·a 11=4 ,故1921a a a =192故+121log a 221log a +…+1921loga =19)(log 192121-=a a a12．设2z y x=-，式中x y、满足下列条件2132231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z 的最大值为 11 。

一、选择题1．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为（ ） A ．32-B ．28-C ．2D ．32．若实数x ，y 满足约束条件403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．20C ．28D ．323．己知x ，y 满足()2403300220x y x y a x ay -+≥⎧⎪--≤>⎨⎪+-≥⎩，且22z x y =+，若z 的最大值是其最小值的654倍，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 4．当0x ＞时，不等式290x mx -+＞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(6)∞－，B ．(6]∞－，C ．[6)∞，＋D ．(6)∞，＋5．若实数,x y 满足121x y y x -+<⎧⎨≥-⎩，则22x y +的取值范围是（ ）A．1[2B ．1[,13)4C． D ．1[,13)56．设x ，y 满足约束条件4100,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则23z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．6-7．已知实数x y 、满足不等式组21010x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩,若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4,则实数m 的取值范围是 A．(B．⎡⎣C．⎡⎤⎣⎦D ．[8．已知点（x ，y ）在直线x +2y =4上移动，则24x y +的最小值是（ ） A．B．C ．6D ．89．对于任意实数a ，b ，若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A．11a b<B．a2＞b2C．a3＞b3D．a bb a>10．已知正数x，y满足x+y＝1，且2211x yy x+++≥m，则m的最大值为（）A．163B．13C．2 D．411．已知实数x,y满足210210x yxx y-+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,则221z x y=--的取值范围是( )A．5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．5,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭12．命题p:变量(),x y满足约束条件3450yxx y≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则yzx=的最小值为14，命题q:直线2x=的倾斜角为2π，下列命题正确的是（）A．p q∧B．()()p q⌝∧⌝C．()p q⌝∧D．()p q∧⌝二、填空题13．西气东输工程把西部的资源优势变为了经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，同时该项工程的建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.在输气管道工程建设过程中，某段直线形管道铺设需要经过一处平行峡谷，勘探人员在峡内恰好发现一处四分之一圆柱状的圆弧拐角，用测量仪器得到此横截圆面的圆心为O，半径OM ON=且为1米，而运输人员利用运输工具水平横向移动直线形输气管不可避免的要经过此圆弧拐角，需从宽为38米的峡谷拐入宽为16米的峡谷.如图所示，位于峡谷悬崖壁上的两点A，B的连线恰好与圆弧拐角相切于点T（点A，T，B在同一水平面内），若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角，其长度不能超过______________米.14．设,x y 满足约束条件20240280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则z y x =-的最小值是__________．15．123,,x x x 为实数，只要满足条件1230x x x >>>，就有不等式121233log 20202log 2020log 2020x x x x x x k +≥恒成立，则k 的最大值是__________．16．已知关于x 的一元二次不等式220bx x a -->的解集为{}(,,)xx c a b c R ≠∈∣，则228(0)a b b c b c+++≠+的最小值是___________．17．若实数x ，y 满足不等式组2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则1x y x ++的取值范围为_____.18．已知不等式24xa x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立,则实数a 的范围为_______． 19．已知实数,x y 满足11y x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值是________________.20．若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的增函数，则实数m 的取值范围是__________.三、解答题21．解关于x 的不等式2(41)40ax a x -++>.22．现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为111623，，；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0<p <1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整.记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X ，对乙项目每投资10万元，X 取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量X 1、X 2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润.(1)求X 1，X 2的概率分布和均值E (X 1)，E (X 2)； (2)当E (X 1)<E (X 2)时，求p 的取值范围.23．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin A C b cB a c--=+.（1）求角A ；（2）若ABC 的外接圆半径为2，求ABC 周长的最大值.24．（1）已知()2f x kx =+，不等式()3f x <的解集为()1,5-，不等式()1xf x ≥的解集为A .求集合A ；（2）解关于x 的不等式()2220ax a x +--≥.25．若实数0x >，0y >，且满足8x y xy +=-. （1）求xy 的最大值； （2）求x y +的最小值26．培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N ，已知向水中每投放1个单位的物质N ，x （单位：天）时刻后水中含有物质N 的量增加mol/L y ，y 与x 的函数关系可近似地表示为关系可近似地表示为168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩.根据经验，当水中含有物质N 的量不低4mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用.（1）若在水中首次投放1个单位的物质N ，计算物质N 能持续有效发挥作用几天？ （2）若在水中首次投放1个单位的物质N ，第8天再投放1个单位的物质N ，试判断第8天至第12天，水中所含物质N 的量是否始终不超过6mol/L ，并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可. 【详解】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x -4y 得344z y x =-，它表示斜率为34纵截距为4z-的一系列直线， 当直线经过点A 时，直线的纵截距4z-最小，z 最大.由03x y m x +-=⎧⎨=⎩，解得A (3，m －3)，故()max 33439z m =⨯--=，解得3m =. 故选：D. 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数).2．C解析：C 【分析】画出可行域，向上平移基准直线320x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，如下图所示的阴影部分：其三角形区域（包含边界），由40340x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点(4,8)A ，由图得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(4,8)A 时，=3+2z x y 取最大值max 342828z =⨯+⨯=.故选：C.【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．A解析：A 【分析】作出不等式组表示的图象，22z x y =+可看作可行域内的点到原点距离的平方，由图可观察出最远的点和最近的点，分别求出距离做比值列出等式可得答案. 【详解】根据不等式组作出图象，则阴影部分即为可行域， 由240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)A ，220x ay +-≥恒过(1,0)且0a >，因为22z x y =+， z 的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方， 由图点(2,3)A 到原点的距离的平方最大，22max 2313z =+=，z 的最小值为原点到直线BC 的距离的平方，2min244z a ⎛⎫==+， 根据题意可得maxmin21365444z z a ==+，整理得245a +=，解得1a =或1a =-（舍去）. 故选：A. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，关键点是作出可行域，利用z 的几何意义确定点，考查了数形结合思想，属于基础题.4．A解析：A 【分析】当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +9＞0恒成立⇔m ＜（x 9x+）min ，利用基本不等式可求得（x 9x +）min ＝6，从而可得实数m 的取值范围． 【详解】当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +9＞0恒成立⇔当x ＞0时，不等式m ＜x 9x+恒成立⇔m ＜（x 9x+）min ， 当x ＞0时，x 9x +≥=6（当且仅当x ＝3时取“＝”）， 因此（x 9x+）min ＝6， 所以m ＜6， 故选A ． 【点睛】本题考查函数恒成立问题，分离参数m 是关键，考查等价转化思想与基本不等式的应用，属于中档题．5．D解析：D 【详解】 根据实数,x y 满足121x y y x -+<⎧⎨≥-⎩，画出可行域如图所示22x y +表示可行域内的点与坐标原点O 距离的平方，O 与直线AB ：210x y +-=22001521⨯+-=+， O 与(2,3)C 222313+= ∵可行域不包含(2,3)C∴21135r ≤<，即22x y +的取值范围是1[,13)5 故选：D 【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.6．C解析：C 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可． 【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 由23z x y =-得到233z y x =-， 平移直线233zy x =-，当过A 时直线截距最小，z 最大， 由04100y x y =⎧⎨--=⎩ 得到5(,0)2A ，所以23z x y =-的最大值为max 523052z =⨯-⨯=，故选C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．7．D解析：D 【分析】将2z x y =-+化为2y x z =+,作出可行域和目标函数基准直线2y x =(如图所示),当直线2y x z =+将左上方平移时,直线2y x z =+在y 轴上的截距z 增大,由图象,得当直线2y x z =+过点A 时,z 取得最大值,联立2010x y m x y ⎧-+=⎨+-=⎩,得2211,22m m A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则22112422m m -+-⨯+≤,解得33m -≤≤;故选D.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.8．D解析：D 【分析】运用基本不等式2422x y +≥=【详解】因为20,40x y >>，所以224228x y x y ++≥===，（当且仅当24x y =时取“=”）． 故答案为D. 【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件．9．C解析：C 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，当2a =，2b =-时，11a b>，故A 错误；对于B ，当1a =，2b =-时，22a b <，故B 错误；对于C ，由不等式的性质可得C 正确；对于D ，当1a =，1b =-时， a bb a=，故D 错误；故选C. 10．B解析：B 【分析】根据题意2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x =(4411+++y x )﹣5，由基本不等式的性质求出4411+++y x ＝13(4411+++y x ）[(x +1)+(y +1)]的最小值，即可得2211x y y x +++的最小值，据此分析可得答案. 【详解】根据题意，正数x ，y 满足x +y ＝1，则2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x＝(y +1)+41+y ﹣4+(x +1)+41x +﹣4＝(4411+++y x )﹣5，又由4411+++y x ＝13(4411+++y x ) [(x +1)+(y +1)], ＝13[8+4(1)4(1)11+++++x y y x ]≥163， 当且仅当x ＝y ＝12时等号成立， 所以2211x y y x +++＝(4411+++y x )﹣5163≥﹣5＝13， 即2211x y y x +++的最小值为13， 所以3m ≤，则m 的最大值为13； 故选：B ．【点睛】本题主要考查基本不等式的性质以及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题． 11．D解析：D【分析】画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z 的取值范围.【详解】作出可行域如下：由221z x y =--得12z y x +=-， 平移直线12z y x +=-， 由平移可知当直线12z y x +=-，经过点C 时， 直线12z y x +=-的截距最小，此时z 取得最大值， 由210x x y =⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)C -，此时2214215z x y =--=+-=， 可知当直线12z y x +=-，经过点A 时，直线12z y y x +==-的截距最大，此时z 取得最小值， 由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1(3A ，2)3 代入221z x y =--得125221333z =⨯-⨯-=-， 故5[3z ∈-，5) 故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．12．A解析：A【分析】由约束条件作出可行域，由y z x=的几何意义求得最小值判断p 为真命题，由直线2x =的倾斜角判断q 为真命题，再由复合命题的真假判断得答案．【详解】 解：变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图：目标式y z x =表示可行域内点(),x y 与()0,0的连线的斜率，由图可知，当过点()4,1D 时，min 14z =，即y z x =的最小值为14，命题p 为真命题； 直线2x =的倾斜角为2π正确，故命题q 为真命题． 所以p q ∧为真命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题，()p q ⌝∧为假命题，()p q ∧⌝为假命题； 故选：A【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查复合命题的真假判断，属于中档题．二、填空题13．75【分析】设则可得AB 长度的表达式利用凑1法结合基本不等式即可求得答案【详解】设其中延长OM 交AB 于D 过B 做SB 垂线交DO 于G 延长ON 交AB 于E 过A 做SA 垂线交NO 于F 如图所示：在中AF=39则即解析：75【分析】设=MOT θ∠，则可得AB 长度的表达式，利用凑“1”法，结合基本不等式，即可求得答案.【详解】设=MOT θ∠，其中(0)2πθ∈，，延长OM ，交AB 于D ，过B 做SB 垂线，交DO 于G ，延长ON ，交AB 于E ，过A 做SA 垂线，交NO 于F ，如图所示：在Rt AEF 中，AEF θ∠=，AF =39，则sin AF AE θ=，即39sin AE θ=， 在Rt BDG 中，DBG θ∠=，17BG =，则cos BG BD θ=，即17cos BD θ=， 在Rt DOE 中， OT DE ⊥，OT=1，所以11,cos sin DO EO θθ==，又1122DO EO DE OT ⨯⨯=⨯⨯，所以1sin cos DE θθ=， 所以39171()sin cos sin cos AB f AE BD DE θθθθθ==+-=+-=39cos 17sin 1sin cos θθθθ+-， 因为4sin 3cos 5sin()5θθθϕ+=+≤，其中3tan 4ϕ=，当且仅当2πθϕ+=时，等号成立， 所以1(4sin 3cos )(39cos 17sin )139cos 17sin 15()sin cos sin cos f θθθθθθθθθθθ++-+-=≥ 22221(68sin 207sin cos 117cos )(sin cos )5sin cos θθθθθθθθ++-+= =2263207112sin sin cos cos 716207555(9tan )sin cos 5tan 5θθθθθθθθ++=++72077555≥⨯=， 当且仅当169tan tan θθ=，即4tan 3θ=时等号成立， 所以若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角，其长度不能超过75米.故答案为：75.【点睛】解题的关键是根据题意，得到AB 长度的表达式，难点在于需利用凑“1”法，将表达式化简成齐次式，结合基本不等式求解，考查计算化简的能力，属中档题.14．【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义结合数形结合进行求解即可【详解】由得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最小此时也最小由解得即代 解析：4-【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．【详解】由z y x =-得y =x+z ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分):ABC平移直线y =x+z 由图象可知当直线y =x+z 经过点B 时，直线y =x+z 的截距最小，此时z 也最小，由240280x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩，即(4,0)B ． 代入目标函数z y x =-，得044z =-=-．所以z y x =-的最小值是4-.故答案为：4-【点睛】方法点睛：线性规划问题解题步骤如下：（1）根据题意，设出变量,x y ；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数)；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数)在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.15．【分析】根据对数的运算性质可得设原不等式可化为由可得令小于等于的最小值即可【详解】由题意设则又所以原不等式可化为由可得则原不等式可化为又当且仅当时等号成立所以即的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛 解析：322+【分析】 根据对数的运算性质，可得1212lg 2020log 2020lg lg x x x x =-，23232lg 20202log 2020lg lg x x x x =-，1313lg 2020log 2020lg lg x x k k x x =-，设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，原不等式可化为12k a b a b +≥+，由0,0a b >>，可得()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，令k 小于等于()12a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值即可. 【详解】 由题意，121122lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x x x x x ==-，2322332lg 20202lg 20202log 2020lg lg lg x x x x x x ==-，131133lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x k k k x x x x ==-， 设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，则13lg lg x x a b -=+，又lg 20200>，所以原不等式可化为12k a b a b+≥+， 由1230x x x >>>，可得0,0a b >>，则原不等式可化为()12k a b a b ⎛⎫≤++⎪⎝⎭， 又()1221233b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭2b a a b =时，等号成立，所以3k ≤+k的最大值为3+故答案为：3+【点睛】 关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.本题中利用对数的运算性质，将三个对数转化为以10为底的对数，进而设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，可将原不等式化为12k a b a b+≥+，进而结合,a b 的范围可得到()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.16．【分析】根据一元二次不等式的解集求得的关系再根据均值不等式求得最小值【详解】因为的解集为得得又所以所以由均值不等式得所以当时取等号故的最小值是故答案为：【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点解析：【分析】根据一元二次不等式的解集求得,,a b c 的关系，再根据均值不等式求得最小值.【详解】因为220bx x a -->的解集为{}(,,)xx c a b c R ≠∈∣，得0b >，440ab ∆=+=，得1ab =-，又1c b =，所以a c =-，所以0bc +>，由均值不等式得22b c bc +≥=， 所以()()22222228688b c bc b c a b c b b c b c b c b c+-+++++++===++++ ()626b c b c =++≥+，当6b c +=时取等号，故228a b b c+++的最小值是26. 故答案为：26【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点.17．【分析】作出不等式组对应的平面区域然后化简目标函数利用不等式的几何意义利用线性规划的知识进行求解即可【详解】解：实数满足不等式组的可行域如图三角形的三边及其内部部分：它的几何意义是可行域内的点与连线解析：5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】作出不等式组对应的平面区域，然后化简目标函数，利用不等式的几何意义，利用线性规划的知识进行求解即可.【详解】解：实数x ，y 满足不等式组2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，的可行域如图，三角形ABC 的三边及其内部部分：111x y y x x+++=+，它的几何意义是可行域内的点与()0,1D -连线的斜率加1， 由图象知BD 的斜率最小，CB 的斜率最大，由4020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得()1,3C ，此时DC 的斜率：3141+=， 由25040x y x y --=⎧⎨+-=⎩得()3,1B ，此时BD 的斜率：11233+=， 则1x y x ++的取值范围为是5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故答案为：5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．18．【分析】利用基本不等式求得在的最大值即可求得实数的范围【详解】因为则当且仅当时即等号成立即在的最大值为又由不等式对任意的恒成立所以即实数的范围为故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题其中解 解析：1[,)4+∞. 【分析】 利用基本不等式求得24x x +在[]1,3x ∈的最大值，即可求得实数a 的范围. 【详解】 因为[]1,3x ∈，则211444x x x x =≤=++，当且仅当4x x =时，即2x =等号成立， 即24x x +在[]1,3x ∈的最大值为14， 又由不等式24x a x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立，所以14a ≥ 即实数a 的范围为1[,)4+∞. 故答案为：1[,)4+∞. 【点睛】 本题主要考查不等式的恒成立问题，其中解答中熟练应用基本不等式求得24x x +的最大值是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 19．【分析】画出可行域再分析直线取最大值的最优解即可【详解】由约束条件作出可行域如图联立目标函数由图可知过A 时直线在y 轴上的截距最小z 有最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了线性规划求最大值的问题考查解析：12【分析】画出可行域，再分析直线2z x y =-取最大值的最优解即可.【详解】由约束条件11y x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，联立11(,)122y x A x y =⎧⇒⎨+=⎩． 目标函数22z x y y x z =-⇒=-由图可知，过A 时，直线在y 轴上的截距最小， z 有最大值为12． 故答案为：12【点睛】本题主要考查了线性规划求最大值的问题，考查运算求解能力和数形结合思想，属于基础题. 20．【分析】由题意知在上恒成立从而结合一元二次不等式恒成立问题可列出关于的不等式进而可求其取值范围【详解】解：由题意知知在上恒成立则只需解得故答案为:【点睛】本题考查了不等式恒成立问题考查了运用导数探究解析：1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由题意知2()320f x x x m '=++≥在R 上恒成立，从而结合一元二次不等式恒成立问题，可列出关于m 的不等式，进而可求其取值范围.【详解】解：由题意知，知2()320f x x x m '=++≥在R 上恒成立，则只需22430m ∆=-⨯⨯≤， 解得13m ≥. 故答案为:1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了运用导数探究函数的单调性.一般地，由增函数可得导数不小于零，由减函数可得导数不大于零.对于一元二次不等式在R 上恒成立问题，如若()200ax bx c a ++≥≠在R 上恒成立，可得00a >⎧⎨∆≤⎩ ；若()200ax bx c a ++≤≠在R 上恒成立，可得00a <⎧⎨∆≤⎩. 三、解答题21．答案见解析【分析】由题意可知，2(41)40ax a x -++>可化为(1)(4)0ax x -->，再对a 进行分类讨论，比较根的大小，即可得答案；【详解】由题意可知，2(41)40ax a x -++>可化为(1)(4)0ax x --> （1）当0a =时，不等式化为40x -<，解得4x <，（2）当10a <时，不等式化为()140x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得14x a <<， （3）当104a <<时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x a <或4x >， （4）当14a =时，不等式化为2(4)0x ->，解得4x ≠， （5）当14a >时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得4x <或1x a >， 综上所述，0a =时，不等式的解集为(,4)-∞0a <时，不等式的解集为1,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 14a >时，不等式的解集为1,(4,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； 14a =时，不等式的解集为(,4)(4,)-∞+∞； 104a <<时，不等式的解集为1(,4),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭; 【点睛】本题考查含参一元二次不等式的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查运算求解能力，求解时注意讨论的依据是比较根的大小.22．（1）见解析（2）0<p <0.3【解析】分析：（1）由题意可得随机变量X 1的分布列和期望；结合X ～B (2，p )可得随机变量X 2的分布列和期望．（2）由E (X 1)<E (X 2)可得关于p 的不等式，解不等式可得所求． 详解：(1)由题意得X 1的分布列为∴E (X 1)＝1.2×6＋1.18×2＋1.17×3＝1.18. 由题设得X ～B (2，p )，即X 的分布列为22＝1.3×(1－2p ＋p 2)＋2.5×(p －p 2)＋0.2×p 2＝－p 2－0.1p ＋1.3.(2)由E (X 1)<E (X 2)，得－p 2－0.1p ＋1.3>1.18，整理得(p ＋0.4)(p －0.3)<0，解得－0.4<p <0.3.因为0<p <1，所以0<p <0.3．即当E (X 1)<E (X 2)时，p 的取值范围是()0,0.3.点睛：(1)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(2)求解离散型随机变量X 的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求EX ，DX 即可．23．（1）3π；（2） 【分析】（1）正弦定理角化边可得a cbc b a c --=+，利用余弦定理，结合角A 的范围，即可得答案；（2）由（1）得3A π=，由正弦定理可得a 的值，利用余弦定理及均值不等式，即可求得b+c 的最大值，进而可得答案.【详解】（1）由sin sin sin A C b c B a c --=+及正弦定理得：a c b c b a c--=+， 化简得222b c a bc +-=， ∴2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 又∵(0,)A π∈，∴3A π=. （2）∵ABC 的外接圆半径为2，3A π=，∴由正弦定理得324sin a R π==，解得a =∴由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅， ∴2222212()3()32b c b c bc b c bc b c +⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪⎝⎭，∴b c +≤b c =时，等号成立，∴ABC的周长的最大值为a b c ++=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、均值定理的应用，考查分析理解，求值化简的能力，属中档题.24．（1）[)1,2；（2）见解析【分析】（1）由题意得，23523k k ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，由此可求得()2f x x =-+，代入后转化为一元二次不等式即可求出答案；（2）分类讨论法解不等式即可．【详解】解：（1）∵()2f x kx =+，不等式()3f x <的解集为()1,5-，∴方程23kx +=的解集为1,5， ∴23523k k ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得1k =-， ∴()2f x x =-+，∴()112x x f x x ≥⇔≥-+()2102x x -⇔≤-()()12020x x x ⎧--≤⇔⎨-≠⎩， 解得12x ≤<，∴[)1,2A =；（2）∵()2220ax a x +--≥， ①当0a =时，原不等式化为220x --≥，解得1x ≤-； 当()2010a a x x a ⎛⎫≠∴-+≥ ⎪⎝⎭， ②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 解得1x ≤-，或2x a≥； ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭， 1︒当21a =-即2a =-时，原不等式化为()210x +≤，解得1x =-； 2︒当21a<-即20a -<<时，解得21x a ≤≤-； 3︒当21a >-即2a <-时，解得21x a-≤≤； 综上：当2a <-时，原不等式的解集为21,x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； 当2a =-时，原不等式的解集为{}1x ∈-；当20a -<<时，原不等式的解集为2,1x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； 当0a =时，原不等式的解集为(],1x ∈-∞-；当0a >时，原不等式的解集为(]2,1,x a ⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】 本题主要考查一元二次不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查转化与化归思想，考查分类讨论法，属于中档题．25．（1）4；（2）4.【分析】（1）由于0x >，0y >，根据基本不等式得出8xy x y -=+≥不等式的解法，即可求出xy 的最大值；（2）根据题意，由0x >，0y >，根据基本不等式得出28()()2x y x y xy +-+=≤，通过解一元二次不等式，即可求出x y +的最小值.【详解】解：（1）∵0x >，0y >，∴8xy x y -=+≥80xy+≤，即2)0≤，解得：02<，04xy ∴<≤（当且仅当2x y ==时取等号），∴xy 的最大值为4.（2）∵0x >，0y >，28()()2x y x y xy +∴-+=≤， 即2()()802x y x y +-++≥， 整理得：2()()3204x y x y +++-≥，∴()()840x y x y +++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦≥⎣，∴4x y +≥（当且仅当2x y ==时取等号），所以x y +的最小值为4.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查利用基本不等式求和的最小值和积的最大值，以及一元二次不等式的解法，考查转化思想和运算能力.26．（1）6天.（2）第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6mol/L .见解析【分析】（1）由题可知168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，分类讨论求解满足4y ≥时的x 的范围，即可得出在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用的天数；（2）根据已知求出函数解析式()16162014666y x x x x ⎡⎤=--=--+⎢⎥--⎣⎦，利用基本不等式即可求得当10x =时，max 6y =，从而得出结论.【详解】解：（1）由题意，x (单位：天)时刻后水中含有物质N 的量为：168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，由于当水中含有物质N 的量不低4mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用，即需4y ≥，则当06x ≤≤时，16842x -≥+且当612x <≤时，124x -≥， 解得：28x ≤≤，所以若在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用的时间为：8-2=6天.（2）设第()812x x ≤≤天水中所含物质N 的量为mol/L y ， 则()1220(8)26 16168y x x x x ⎡⎤-⎢⎣=-+=--+⎦--⎥， ()161461466y x x ⎡⎤=--+≤-=⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当1666x x -=-，即[]108,12x =∈时，等号成立， 即当10x =时，max 6y =，所以第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6mol/L .【点睛】本题考查利用函数解决实际问题，考查分段函数和基本不等式的应用，确定函数的解析式是关键.。

一、选择题1．己知x ，y 满足()2403300220x y x y a x ay -+≥⎧⎪--≤>⎨⎪+-≥⎩，且22z x y =+，若z 的最大值是其最小值的654倍，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．若正实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝1，则25a b+的最小值为（ ） AB ．CD ．23．当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x xf x x++=的最小值为（ ）A ．2B．C ．4D．4．已知x ，y 满足约束条件1,2,30,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩若2x y m +≥恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．3m ≥B ．3m ≤C ．72m ≤D ．73m ≤5．已知函数()()log 31a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为（ ） A ．23B ．43C ．2D ．46．设,x y 满足约束条件321104150250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．107．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n+的最小值为（ ） A ．5 B ．215C ．516D ．6548．已知实数x ，y 满足222y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，3z x y =-，则z 的最小值是（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-9．对于任意实数a ，b ，若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．a 2＞b 2C ．a 3＞b 3D ．a b b a> 10．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<11．设a=3x 2﹣x+1，b=2x 2+x ，则（ ） A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a≥bD ．a≤b12．若实数,x y 满足约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．4C ．8D ．12二、填空题13．设点(),P x y 位于线性约束条件32102x y x y y x +≤⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，所表示的区域内（含边界），则目标函数4z x y =-的最大值是_________.14．已知x ，y 满足条件1030,1x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则32z x y =-+的最小值为___________.15．若实数m 和n 满足242329231m m n n m n ⨯-⋅+⨯=++，则23m n +的取值范围为______．16．非负实数x ，y ，满足360x y +-≥，则521z x y =+-的最小值为__________． 17．已知0,0a b >>，且33+122a b =++，则2+a b 的最小值为______________.18．已知实数,x y 满足40{1010x y x y +-≤-≥-≥，则x yx+的取值范围是__________． 19．已知0a >，0b >，若a ，1，b 依次成等差数列，则41a b+的最小值为________． 20．已知11()2x x f x e e a --=++只有一个零点，则a =____________．三、解答题21．已知函数2()(21)f x ax a x c =-++，且(0)2f =. （1）若()0f x <的解集为{|28}x x <<，求函数()fx y x=的值域； （2）当0a >时，解不等式()0f x <.22．某地要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边所成的角为60°，考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米，记防洪堤横断面的腰长为x （米），外周长（梯形的上底BC 与两腰长的和）为y （米）.（1）求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；（2）当防洪堤的腰长x 为多少米时，断面的外周长y 最小？求此时外周长的值．23．已知函数()243f x ax ax =--(1)当a=-1时,求不等式f(x)>0的解集;(2)若对于任意的x ∈R,均有不等式f(x)≤0成立,求实数a 的取值范围.24．在平面直角坐标系中，圆C 是以（1，1）为圆心、半径为1的圆，过坐标原点O 的直线l 的斜率为k ，直线l 交圆C 于P ，Q 两点，点A k k（1）写出圆C 的标准方程； （2）求△APQ 面积的最大值．25．已知关于x 的不等式2430ax x -+<的解集为{}|1x x b <<． （1）求a ，b 的值；（2）求关于x 的不等式()20ax ac b x bc +--<的解集．26．已知2()2(2)f x x a x a =-++，a R ∈. （1）解关于x 的不等式()0f x >；（2）若方程()1f x x =+有两个正实数根1x ，2x ，求2112x x x x +的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A【分析】作出不等式组表示的图象，22z x y =+可看作可行域内的点到原点距离的平方，由图可观察出最远的点和最近的点，分别求出距离做比值列出等式可得答案. 【详解】根据不等式组作出图象，则阴影部分即为可行域， 由240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)A ，220x ay +-≥恒过(1,0)且0a >，因为22z x y =+， z 的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方， 由图点(2,3)A 到原点的距离的平方最大，22max 2313z =+=，z 的最小值为原点到直线BC 的距离的平方，2min22444z a a ⎛⎫==++， 根据题意可得maxmin21365444z z a ==+，整理得245a +=，解得1a =或1a =-（舍去）. 故选：A. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，关键点是作出可行域，利用z 的几何意义确定点，考查了数形结合思想，属于基础题.2．D解析：D 【分析】应用对数运算得到10ab =，由目标式结合基本不等式有25252a b a b+≥⋅.∵lg lg 1a b +=，即lg 1ab =， ∴10ab =，而0,0a b >>，∴252a b +≥=当且仅当2,5a b ==时等号成立. ∴25a b +的最小值为2. 故选：D 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方3．C解析：C 【解析】0,tan 02xx π<∴，()21cos28sin sin2x x f x x++=2222cos 8sin 28tan 14tan 42sin cos 2tan tan x x x x x x x x ++===+≥=，当且仅当1tan 2x =时取等号，函数()21cos28sin sin2x x f x x ++=的最小值为4，选C.4．D解析：D 【详解】作出满足约束条件1,2,30,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩的可行域如图所示：平移直线20x y +=到点1(1,)3A 时，2x y +有最小值为73∵2x y m +≥恒成立 ∴min (2)m x y ≤+，即73m ≤ 故选D点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.5．C解析：C 【分析】由对数函数的图象得出A 点坐标，代入直线方程得,m n 的关系，从而用凑出基本不等式形式后可求得最小值． 【详解】令31+=x ，2x =-，(2)1f -=-，∴(2,1)A --，点A 在直线40mx ny ++=上，则240m n --+=，即24m n +=， ∵0mn >，24m n +=，∴0,0m n >>， ∴121121414(2)4422444n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当4n mm n=，即1,2m n ==时等号成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查对数函数的性质，考查点在直线上，考查用基本不等式求最小值．是一道综合题，属于中档题．6．B【分析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解 【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得y x z =-+，当取到点(3,1)A 时得到最小值，即314z =+=故选B 【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法7．A解析：A 【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据2127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即可求出116m n +的最小值. 【详解】正项等比数列中，2979a q a ==，所以3q =. 因为11222111127m n m n m n a a a q a q a qa --+-=⋅==，所以5m n +=. 因为1161116116116()()(17)(17)5555n m n mm n m n m n m n m n+=++=++≥⋅=， 当且仅当16n mm n=，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =， 所以116m n +的最小值为5. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.8．D【分析】根据约束条件画出可行域，将问题转化为133zy x =-在y 轴截距最大值的求解问题，利用数形结合的方式可求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：由3z x y =-得：133zy x =-， ∴当z 取最小值时，133zy x =-在y 轴截距最大； 由图象可知，当133zy x =-过点A 时，在y 轴截距最大，由222x x y =-⎧⎨+=⎩得：()2,2A -，min 2328z ∴=--⨯=-.故选：D . 【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将所求最值转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，属于常考题型.9．C解析：C 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，当2a =，2b =-时，11a b>，故A 错误；对于B ，当1a =，2b =-时，22a b <，故B 错误；对于C ，由不等式的性质可得C 正确；对于D ，当1a =，1b =-时， a bb a=，故D 错误；故选C. 10．A解析：A因为4222 33332=4,3,5a b c===，且幂函数23y x=在(0,)+∞上单调递增，所以b<a<c.故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.11．C解析：C【解析】试题分析：作差法化简a﹣b=x2﹣2x+1=（x﹣1）2≥0．解：∵a=3x2﹣x+1，b=2x2+x，∴a﹣b=x2﹣2x+1=（x﹣1）2≥0，∴a≥b，故选C．考点：不等式比较大小．12．C解析：C【分析】画出不等式组表示的平面区域，将2z x y=+转化为斜截式，即22x zy=-+，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件4040x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的可行域，如图所示，将2z x y=+转化为斜截式，即22x zy=-+，平移直线2xy=-，由图可知当直22x zy =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，由4040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，可得40y x =⎧⎨=⎩，所以2z x y =+的最大值为0248+⨯=. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查线性规划求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，属于基础题.二、填空题13．【分析】根据线性约束条件画出可行域将目标函数化为直线方程通过平移即可求得目标函数的最大值【详解】由题意作出可行域如图目标函数可化为上下平移直线数形结合可得当直线过点A 时z 取最大值由可得所以故答案为： 解析：163【分析】根据线性约束条件，画出可行域，将目标函数化为直线方程，通过平移即可求得目标函数的最大值. 【详解】由题意作出可行域，如图，目标函数4z x y =-可化为4y x z =-，上下平移直线4y x z =-，数形结合可得，当直线过点A 时，z 取最大值，由2103x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以54164333max z =⨯-=. 故答案为：163.【点睛】方法点睛：求线性目标函数的在约束条件下的最值问题的求解步骤是：①作图，画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；②平移，将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；③求值，解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.14．【分析】作出不等式组所表示的可行域平移直线根据直线在轴上的截距最小找到使得目标函数取得最小值时的最优解代入计算即可【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线当直线经过可行域的顶点时直线在解析：2-【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32 zx y=-+，根据直线32z x y=-+在y轴上的截距最小，找到使得目标函数32z x y=-+取得最小值时的最优解，代入计算即可.【详解】作出不等式组10301x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：平移直线32z x y=-+，当直线32z x y=-+经过可行域的顶点()2,1A时，直线32z x y=-+在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，即min32122z=-⨯+=-.故答案为：2-.【点睛】思路点睛：求线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法，根据目标函数所对应的直线在坐标轴上的截距取得最值来判断目标函数在何处取得最优解.15．【分析】设方程化简为得到再结合基本不等式得到根据一元二次不等式不等式的解法即可求解【详解】设因为可得所以解得或又由当且仅当时即时等号成立整理得解得所以即则的取值范围为故答案为：【点睛】方法点睛：设利解析：(1,2].【分析】设23m n t =+，方程化简为221523m n t t --=⨯⨯，得到2210t t -->，再结合基本不等式，得到23440t t --≤，根据一元二次不等式不等式的解法，即可求解.【详解】设23m n t =+，因为242329231m m n n m n ⨯-⋅+⨯=++，可得221523m n t t --=⨯⨯，所以2210t t -->，解得1t >或12t <-， 又由222235215235()24m nm n t t t +--=⨯⨯≤⨯=， 当且仅当23m n =时，即0m n ==时等号成立，整理得23440t t --≤，解得223t -≤≤， 所以12t <≤，即则23m n +的取值范围为(1,2]. 故答案为：(1,2].【点睛】方法点睛：设23m n t =+，利用换元法把方程化简为221523m n t t --=⨯⨯，根据指数函数的性质和基本不等式，得出不等式2210t t -->和23440t t --≤是解答的关键. 16．3【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义即可得到结论【详解】解：解：不等式组为对应的平面区域为如图阴影所示由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最小此时最小代入目标函数得即 解析：3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【详解】解：解：不等式组为00360x y x y ⎧⎪⎨⎪+-≥⎩，对应的平面区域为如图阴影所示，由521z x y =+-得5122z y x +=-+，平移直线5122z y x +=-+， 由图象可知当直线5122z y x +=-+经过点()0,2时， 直线5122z y x +=-+的截距最小，此时z 最小． 代入目标函数521z x y =+-得02213z =+⨯-=．即目标函数521z x y =+-的最小值为3．故答案为：3【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于中档题．17．【分析】先利用基本不等式求得的最小值进而求得的最小值即可得到答案【详解】由题意设又由当且仅当时即时等号成立即的最小值为所以的最小值是故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题其中解答中先 解析：623【分析】先利用基本不等式求得(2)2(2)a b +++的最小值，进而求得2+a b 的最小值，即可得到答案.【详解】由题意，设26(2)2(2)z a b a b =++=+++， 又由()()3232336(2)6(2)[(2)2(2)]()992962222222a a b b a b a b a b a b +++++++⋅+=++≥+⨯=+++++++，当且仅当()326(2)=22a b a b ++++时，即22(2)a b +=+时等号成立， 即z 的最小值为962+2+a b 的最小值是623.故答案为623.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中先利用基本不等式求得(2)2(2)a b +++的最小值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.18．【解析】先画出可行域如图：因为目标函数表示动点与定点连线斜率再加1；由图可知；最小最大；联立可得即联立可得即故：∴所以：故答案为点睛：本题考查线性规划问题难点在于目标函数几何意义近年来高考线性规划问 解析：4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】先画出可行域如图：因为目标函数表示动点()P x y ，与定点00O （，）连线斜率k 再加1； 由图可知；OC k 最小，OA k 最大； 联立1{4x x y =+=，可得13x y ，即()1,3A ， 联立1{4y x y =+=，可得31x y =⎧⎨=⎩，即()3,1C ， 故：13OC k =，3OA k =，∴133OP k ≤≤， 所以：041[4]03x y y u x x +-=+∈-＝，，故答案为4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点睛：本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视；①画可行域②明确目标函数几何意义，目标函数表示动点()P x y ，与定点()00O ，连线斜率k 再加1，③过O 做直线与可行域相交可计算出直线PO 斜率，从而得出所求目标函数范围.19．【分析】由a1b 依次成等差数列可得再利用乘1法及基本不等式计算即可求得答案【详解】且a1b 依次成等差数列当且仅当即取等号故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用涉及等差中项的定 解析：92【分析】由a ，1，b 依次成等差数列，可得2a b +=，再利用乘“1”法及基本不等式计算，即可求得答案．【详解】0a >，0b >，且a ，1，b 依次成等差数列，∴2a b +=，∴()41141141941(52222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4b a a b =，即43a =，23b =，取等号， 故14a b +的最小值为92． 故答案为：92． 【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．20．【分析】由函数只有一个零点转化为方程有唯一的实数解结合基本不等式求得得到即可求解【详解】由题意函数只有一个零点即有唯一的实数根即方程有唯一的实数解令因为所以当且仅当时即等号成立因为方程有唯一的实数解 解析：1-【分析】由函数11()2x x f x ee a --=++只有一个零点，转化为方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，结合基本不等式，求得112x x e e --+≥=，得到22a -=，即可求解.【详解】由题意，函数11()2x x f x e e a --=++只有一个零点，即()0f x =有唯一的实数根，即方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，令()11x x g x ee --=+因为110,0x x e e -->>，所以()112x x g x e e --≥+==，当且仅当11x x e e --=时，即1x =等号成立，因为方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，所以22a -=，即1a =-.故答案为：1-.【点睛】本题主要考查了根据函数的零点公式求解参数问题，以及基本不等式的应用，其中解答中把函数的零点个数转化为方程解得个数，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三、解答题21．（1）91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）答案见解析. 【分析】（1）由()0f x <的解集转化为2和8是方程2(21)20ax a x -++=的两根，求得18a =，得出()12584f x x x x =+-，再分0x >和0x <两种情况，结合基本不等式，即可求解； （2）由题意，得到(1)(2)0ax x --<，分类讨论，即可求得不等式的解集. 【详解】（1）由题意，函数2()(21)f x ax a x c =-++，且(0)2f c ==，所以2()(21)2f x ax a x =-++，因为()0f x <的解集为{|28}x x <<，即2和8是方程2(21)20ax a x -++=的两根， 所以228c a a ⨯==，所以18a =，所以()12584f x y x x x ==+-，当0x >时，125518444x x +-≥=-，当且仅当4x =时等号成立；当0x <时，12512559848444x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=--+--≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当4x =-时等号成立. 故函数()f x y x =的值域城为91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. （2）由2()(21)2(1)(2)0f x ax a x ax x =-++=--<，因为0a >时，分三种情况讨论：①当12a <，即12a >时，1()02f x x a <⇒<<； ②当12a =，即12a =时，无解； ③当12a >，即102a <<时，1()02f x x a<⇒<<，综上所述，当12a>时，不等式()0f x<的解集为1|2x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当12a=时，不等式()0f x<的解集为∅；当12a<<时，不等式()0f x<的解集为1|2x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【点睛】解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.22．(1)1832,(26)2xy BC x xx=+=+≤<;(2)外周长的最小值为米，此时腰长为.【分析】()1由腰与底边所成的角为60︒，求出h x=，182xBCx=-，结合限制条件求出定义域26x≤<，从而得到y关于x的函数关系式()2由()1得1832xyx=+，运用基本不等式求出结果【详解】（1）()12AD BC h=+,其中2,2xAD BC BC x h x=+⋅=+=∴182xBCx=-由,26182h xxxBCx⎧=≥⎪⎪≤<⎨⎪=->⎪⎩得∴1832,(26)2xy BC x xx=+=+≤<.(2)1832xyx=+≥=当且仅当[)1832,62xxx==即时等号成立∴外周长的最小值为.【点睛】本题是一道函数的应用题，解题时需要理清题目中各数量之间的关系，然后根据题意列出函数表达式，在求最值时一般运用基本不等式来求解，注意等号成立的条件23．（1）()1,3； （2）3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）解一元二次不等式得结果，（2）先讨论0a =时的情况，再根据二次函数图象确定0a ≠时，参数满足的条件，最后求并集得结果.【详解】（1）当1a =-时，不等式()0f x >，即2430x x -+->，即2430x x -+<，即()()130x x --<，解得13x <<，故不等式()0f x >的解集为()1,3.（2）①当0a =时，()30f x =-≤恒成立；②当0a ≠时，要使得不等式()0f x ≤恒成立，只需0,0,a <⎧⎨∆≤⎩即()()20,4430,a a a <⎧⎪⎨--⨯⨯-≤⎪⎩ 解得0,30,4a a <⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩即304a -≤<. 综上所述，a 的取值范围为3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】研究形如20ax bx c ++>恒成立问题，注意先讨论0a =的情况，再研究0a ≠时，开口方向，判别式正负，对称轴与定义区间位置关系，列不等式解得结果.24．（1）()()22111x y -+-=；（2）1【分析】（1）根据圆心和半径，即可直接写出圆C 的方程；（2）联立直线l 方程和圆方程，求得k 的范围，结合弦长公式，求得PQ ，再利用点到直线的距离公式，即可求得点A 到直线l 的距离，结合基本不等式，即可求得面积的最大值.【详解】（1）根据题意可得，圆C 的圆心为()1,1，半径1r =，故圆方程为：()()22111x y -+-=；（2）设直线l 的方程为y kx =，联立圆C 方程可得： ()()2212210k x k x +-++=， 因为直线l 圆交于两点，故可得()()22Δ22410k k=+-+>，解得0k >；又圆心()1,1到直线l的距离d =故可得PQ ==；又点A 到直线l的距离h =故三角形APQ 的面积)()21112212121k S PQ h k k k +=⨯⨯==≤=++++-+. 当且仅当1k=时取得面积的最大值1. 【点睛】本题考查圆方程的求解，涉及直线截圆的弦长求解，涉及基本不等式的应用，属综合中档题. 25．（1）13a b =⎧⎨=⎩；（2）分类讨论，答案见解析． 【分析】（1）根据题意利用根与系数的关系列方程求出a 、b 的值；（2）不等式化为2(3)30x c x c +--<，求出对应方程的解，利用分类讨论写出不等式的解集．【详解】（1）由题意知：0a >且b 和1是方程2430ax x -+=的两根，由根与系数的关系有4131b a b a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩， 解得13a b =⎧⎨=⎩． （2）不等式2()0ax ac b x bc +--<可化为2(3)30x c x c +--<，即(3)()0x x c -+<．其对应方程的两根为13x =，2x c =-①当3c ->即3c <-时，原不等式的解集为{|3}x x c <<-；②当3c -<即3c >-时，原不等式的解集为{|3}x c x -<<；③当3c -=即3c =-时，原不等式的解集为∅；综上所述：当3c <-时，原不等式的解集为{|3}x x c <<-；当3c >-时，原不等式的解集为{|3}x c x -<<；当3c =-时，原不等式的解集为∅；【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查运算求解能力，求解时注意进行分类讨论．26．（1）答案见解析；（2）6.【分析】（1）根据函数2()2(2)f x x a x a =-++的解析式，可将()0f x >化为(2)(1)0x a x -->，分类讨论可得不等式的解集．（2）由方程()1f x x =+有两个正实数根1x ，21x a ⇒>，利用韦达定理可得2222211212121212123()()21422141a x x x x x x x x a x x x x x x a a +++--+===-=+--，再结合均值不等式即可． 【详解】（1）由()0f x >得(2)(1)0x a x -->，当2a >时，原不等式的解集为(-∞，1)(2a ⋃，)+∞， 当2a =时，原不等式的解集为{|1}x x ≠，当2a <时，原不等式的解集为(-∞，)(12a ⋃，)+∞； （2）方程()1f x x =+有两个正实数根1x ，2x ，等价于22(3)10x a x a -++-=有两个正实数根1x ，2x ，∴()()2121238103012102a a a x x a a x x ⎧⎪=+--≥⎪+⎪+=>⇒>⎨⎪-⎪=>⎪⎩， 则2222211212121212123()()211622[(1)]21212a x x x x x x x x a a x x x x x x a +++-+===-=-++--12?62≥+= 当且仅当5a =时取等号，故2112x x x x +的最小值为6． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、解含参数一元二次不等式、韦达定理、均值不等式，属于综合题．。

4.2　简单线性规划第1课时　求线性目标函数的最值课时过关·能力提升1.若变量x ,y 满足约束条件且z=5y-x 的最大值为a ,最小值为b ,则a-b 的值是( ){x +y ≤8,2y -x ≤4,x ≥0,y ≥0, B.30C.24D.16,如图所示.联立即点A 坐标为(4,4).{x +y =8,2y -x =4,解得{x =4,y =4.z max =5×4-4=16,z min =0-8=-8,即a=16,b=-8,因此a-b=24.故选C .2.若变量x ,y 满足约束条件则z=2x+y 取最大值时的最优解为( ){x+y ≥0,2x -y ≥0,x ≤4,B.(4,-4)C.16D.4,如图中阴影部分所示,当直线y=-2x+z 经过点,纵截距z 取得最大值16,因此z=2x+y 取最大值时的最优解为(4,8).3.若变量x ,y 满足则z=x-2y 的最小值为( ){x +y -1≥0,x +3y -6≤0,x -y -2≥0,B. C.3D.5232,如图中阴影部分所示.y=x-z经过点A (3,1)时,在y轴上的截距-z达到最大值,此时z 取得最小值1.1212124.设实数x ,y 满足不等式组若x ,y 为整数,则z=3x+4y 的最小值是( ){x +2y -5>0,2x +y -7>0,x ≥0,y ≥0,A.14 B.16D.19表示的平面区域,如图中阴影部分所示.{x +2y -5>02x +y -7>0x ≥0,y ≥0x ,y 为整数,所以z=3x+4y 在点A (4,1)处取到最小值16.x ,y 满足|x|+|y|≤1,z=2x+y ,则z 的最大值和最小值分别为( )B.2,-2 C.1,-2 D.2,-1≤1表示的平面区域如图阴影部分所示.y=-2x+z 过点(1,0)时,z 最大;当直线y=-2x+z过点(-1,0)时,z 最小,则z 的最大值为2,最小值为-2.6.设变量x ,y 满足约束条件则目标函数z=3x+y 的最大值为( ){x -2≤0,x -2y ≤0,x +2y -8≤,B .8C .9D .14,如图中阴影所示.目标函数z=3x+y 可化为y=-3x+z ,平移目标函数线当其过点A 时,z 取最大值.由{x =2,x +2y -8=0得{x =2,y =3.A 的坐标为(2,3),z max =3×2+3=9.x ,y 满足不等式组则z=2x+3y 的最小值是 . {x +y ≥2,2x -y ≤4,x -y ≥0,.y=-x+z过点A (2,0)时,z=2x+3y 有最小值4.23x ,y 满足则目标函数z=x-2y 的最小值是 . {y ≤2x ,y ≥-2x ,x ≤3, 画出满足不等式组的可行域如图阴影部分所示,目标函数化为y=x-z ,当直线经过点A 时,-z 的值最12,点A 坐标为(3,6),所以z 的最小值为3-2×6=-9.9y 满足不等式组则z=3x+y-7的最大值为 . {x -y +1≥0,x +y +1≥0,x +2y -2≤0,x -2y -2≤0,.当直线y=-3x+z 0经过点A (2,0)时,直线在y 轴上的截距z 0最大,所以z 0=3x+y 有最大值6,故7有最大值-1.1z=2y-2x+4,式中x ,y 满足求z 的最大值和最小值.{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1,的可行域,如图阴影部分所示,作直线l :2y-2x=z-4,当直线l 经过点{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1时,z max =2×2-2×0+4=8;当直线l 经过点B (1,1)时,z min =2×1-2×1+4=4.求z=5x-8y 的最大值,式中的x ,y 满足约束条件{x +y ≤6,5x +9y ≤45,x ≥0,y ≥0.的可行域,如图阴影部分所示.{x +y ≤6,5x +9y ≤45,x ≥0,y ≥0作直线l 0:5x-8y=0,平移直线l 0,由图可知,当直线平移到经过点A 时,z 取最大值.解方程组得A (6,0),所以z max =5×6-8×0=30.{x +y =6,y =0,★12.若实数x ,y 满足不等式组求下列目标函数的最大值,以及此时x ,y 的值.{2≤2x -y ≤4,x ≤3,y ≥-3,(1)z=x-y ;3y+1.,如图阴影部分所示.(1)当直线y=x-z 移动到经过点A时,直线在y 轴上的截距-z 最小,为-,所以当x=,y=-3时,(12,-3)7212z取得最大值.72(2)当直线y=-x+移动到经过点B (3,4)时,直线在y轴上的截距最大,为5,所以当x=3,y=413z -13z -13时,z 取得最大值16.。