4.2.2 二次根式的除法

二次根式数学知识点二次根式数学知识点11.乘法规定：(a≥0，b≥0)二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

推广：(1)(a≥0，b≥0，c≥0)(2)(b≥0，d≥0)2.乘法逆用：(a≥0，b≥0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。

注意：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0;3.除法规定：(a≥0，b>0)二次根式相处，把被开方数相除，根指数不变。

推广：，其中a≥0，b>0，。

方法归纳：两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得得结果相乘。

4.除法逆用：(a≥0，b>0)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

二次根式数学知识点2二次根式的概念形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是√a为二次根式的前提条件，如√5，√（x2+1），√（x—1）（x≥1）等是二次根式，而√（—2），√（—x2—7）等都不是二次根式。

二次根式取值范围1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≥0时√a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，√a没有意义。

知识点三：二次根式√a（a≥0）的非负性√a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，√a（a≥0）是一个非负数，即√a≥0（a≥0）。

注：因为二次根式√a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a≥0）的算术平方根是非负数，即√a≥0（a≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若√a+√b=0，则a=0，b=0；若√a+|b|=0，则a=0，b=0；若√a+b2=0，则a=0，b=0。

数学八年级下册第九章《二次根式》第三节《二次根式乘除法》第1课时教学设计数学八年级下册第九章《二次根式》第三节《二次根式乘除法》第1课时学情分析一、思想状况分析八年级10班大部分学生的学习目的性明确、学习积极性高，能主动地学习，部分同学有上进心，但主动性不够，需要老师的引导。

八年级10班的学生学习目的不明确，不能积极主动地完成学业，甚至不能完成老师布置的作业。

大部分学生正处在生长发育的高峰期，一方面他们对因青春期生理、心理急剧变化而产生的丰富而深刻的感受和体验，有诸多成长的烦恼；另一方面面对沉重的学习、开放的社会环境带来的各种刺激和诱惑，难免不知所措。

二、学习状况分析八年级是一个产生剧烈变化的时期，更是一个危险的时期，也是一个爬坡的时期，是一个分水岭。

第一类:学习有一定的基础和很浓厚的兴趣.学生成绩稳定.第二类:基础差,但热情高,方法不当第三类：学习有一定的基础，但因各种原因成绩（如懒、上课纪律差易开小差注意力不集中、不想上学的思想作怪等）就是提不上来。

第四类:基础差,没有太大的兴趣,但尽量跟住老师.这些孩子的家长当然也在督促。

第五类:跟不上正常的进度.另外，大部分学生有学习目标，学习态度端正，学习积极性高，有一定的理解能力和分析判断推理能力，但学习自主性不太强，基础较薄弱，通过小学的精心培养，学生们已经养成了良好的学习习惯和行为习惯。

语言文明，思想健康，积极、认真、扎实。

但有的学生对自己的学习没信心，在自动放弃学习。

三、今后措施1、在教学中必须立足基础知识，加强基础知识的教学，要让学生通过历史知识的学习，养成良好的思维习惯，培养学生良好的学习习惯和严谨认真的学习态度，加强规范语言训练，提高答题得分率。

2、运用科学探究的方法，获取相应的知识，培养学生的情感和态度，扎扎实实打好基础，引领学生进入阅读世界、注重文献史料的积累借鉴，引导学生系统、牢固地掌握各课的知识考点，并培养他们运用所学知识分析问题、解决问题的能力。

二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。

表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。

乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。

非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。

除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。

二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。

根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。

计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。

根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。

化简$sqrt{18}$。

首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。

典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。

如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。

不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。

《二次根式的除法》教案一、教学内容本节课选自人教版《数学》八年级上册第十七章《二次根式》第四节《二次根式的除法》。

具体内容包括二次根式的除法法则，以及如何运用该法则解决实际问题。

二、教学目标1. 理解并掌握二次根式的除法法则。

2. 能够运用二次根式的除法法则进行混合运算。

3. 提高学生解决实际问题的能力，培养数学思维。

三、教学难点与重点1. 教学难点：二次根式的除法法则的理解和应用。

2. 教学重点：熟练掌握二次根式的除法法则，并进行混合运算。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2. 学具：练习本、计算器。

五、教学过程1. 引入：通过一个实践情景，让学生了解二次根式除法的实际应用。

例：一块长方形的土地，长为5米，宽为3米，要在土地上种植面积为1.5平方米的小麦，问需要种植几行几列？2. 讲解：讲解二次根式的除法法则。

a. 二次根式的除法法则：\(\sqrt{a} \div \sqrt{b} =\sqrt{\frac{a}{b}}\)（其中a、b为正实数）。

b. 通过例题讲解，让学生理解并掌握该法则。

例题：计算\(\sqrt{27} \div \sqrt{3}\)。

3. 随堂练习：让学生进行二次根式除法的练习，巩固所学知识。

练习题1：计算\(\sqrt{48} \div \sqrt{12}\)。

练习题2：计算\(\sqrt{18} \div \sqrt{2} \div\sqrt{3}\)。

4. 应用：运用二次根式的除法法则解决实际问题。

问题：一块长方形的土地，长为6米，宽为4米，要在土地上种植面积为1.2平方米的小麦，问需要种植几行几列？六、板书设计1. 二次根式的除法法则：\(\sqrt{a} \div \sqrt{b} =\sqrt{\frac{a}{b}}\)（其中a、b为正实数）。

2. 例题及解答过程。

3. 随堂练习题及答案。

七、作业设计1. 作业题目：a. 计算\(\sqrt{50} \div \sqrt{5}\)。

2024年第2课时二次根式的除法教案一、教学内容本节课的教学内容为二次根式的除法。

根据教材第四章第三节的内容，详细包括二次根式的概念、性质及其除法运算的法则，着重讲解如何将二次根式进行除法运算，并掌握化简和计算的方法。

二、教学目标1. 理解二次根式的概念和性质，能够熟练运用二次根式的除法法则进行计算。

2. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，使他们在解决实际问题时能灵活运用二次根式的除法。

3. 通过二次根式的除法教学，提高学生的运算速度和准确性。

三、教学难点与重点教学难点：二次根式的除法法则的运用，特别是含有分母的二次根式的除法运算。

教学重点：理解二次根式的性质，掌握二次根式的除法法则，能熟练进行计算。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。

2. 学具：练习本、草稿纸、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过一个现实生活中的问题，引导学生了解二次根式除法在实际中的应用。

2. 例题讲解（20分钟）讲解教材中的例题，详细解释二次根式的除法法则，包括：（1）同底数二次根式的除法；（2）含分母的二次根式的除法；（3）化简二次根式并进行除法运算。

3. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成练习，巩固所学知识，教师进行指导和解答。

4. 解题思路和技巧讲解（15分钟）针对学生在练习中遇到的问题，讲解解题思路和技巧，特别是如何化简二次根式。

5. 小结（5分钟）六、板书设计1. 二次根式的除法2. 二次根式的概念和性质3. 二次根式的除法法则4. 例题解答过程5. 练习题目七、作业设计1. 作业题目：（1）计算 $\sqrt{45} \div \sqrt{5}$；（2）计算 $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$；（3）化简并计算 $\frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{\sqrt{2} \sqrt{3}}$。

2. 答案：（1）3；（2）$\sqrt{2}$；（3）8 5$\sqrt{6}$。

5.2.2 二次根式的除法教学目标1 在具体情境中，通过探索得到二次根式除法法那么；2 会用二次根式除法法那么熟练进行二次根式除法运算，并会对结果进行化简；3通过二次根式乘法类比得出二次根式除法渗透类比思想。

教学重点、难点重点：二次根式除法运算难点：探索二次根式除法法那么教学过程一、创设情景，导入新课1复习：二次根式乘法法那么是什么？用语言怎样表达？用式子怎样表示？(0,0)a b ab a b=≥≥，二次根式相乘，把被开方数相乘。

二合作交流，探究新知1a 与a的关系。

〔1〕3与13是什么关系？〔互为倒数的关系〕〔2〕133与还是互为倒数的关系吗？为什么？估计学生会持肯定态度,因为11331133⋅=⨯==，所以，133与是互为倒数的关系。

〔3〕1a a与还是互为倒数的关系吗？为什么？ 估计有的学生会认为是互为倒数关系，理由是：111a a a a⋅=⋅==1 个别学生会想到只有当 a ≥0时，才有1a a与互为倒数关系。

〔4〕既然1a a与互为倒数，怎样表示他们的关系呢？11(0)a a a=≥ 2、 推导：00)a aa b b b=≥>（，∵111a aa a ab b b b b ⋅⋅==== ∴00)a aa b b b=≥>（，这个公式说明了二次根式相除，怎样运算？〔把被开方数相除〕 三 应用迁移，稳固提高 1 直接运用公式进行计算 例1 计算：〔1〕153, (2)34052解：〔11515533== 〔234034032052552==变式：〔1〕这两个题中分子的被开方数能被分母的被开方数整除，假设分子的被开方数不能被分母的被开方数整除，且要求结果的被开方数是整数，你有方法吗？ 试试看：2410222412125211515105555⨯⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭例2 设a>0,b>0,计算： 3182a ba 3243a a解：〔1〕33218189322a b a ba b a b a a===〔2〕232324248222233aa a a a a a⎛⎫==== ⎪⎝⎭ 变式：上题改为：4243a a，且要求结果中的被开方数是整式。

二次根式除法法则公式二次根式除法又叫平方根除法，是一种用数学方法求某个数的平方根的计算方法。

二次根式除法法则公式是用来求解平方根的有效数学方法，它可以被用来解决复杂而繁琐的平方根问题。

它亦可以用于解决在数学上涉及到平方根的问题和类似数学问题，比如求解二次方程、多项式的根和三角函数。

在微积分中，二次根式除法法则公式应用广泛。

它用来求双解的二次方程；用来求多项式的根和三角函数；用来求关于偏微分方程的解；以及对几何上的问题进行求解等等。

由于二次根式除法法则公式在微积分中的用途如此广泛，因此要求学生在这方面掌握全面。

二次根式除法法则公式求解平方根的过程比较复杂，但是能够有效地求解平方根。

该法则公式要求将平方根问题化简为一元二次方程，再根据一元二次方程的解的表达式求解。

比如，求方程：2x2-5x-3=0的根，首先将该方程化简后变为一元二次方程：x2-2.5x-3=0，然后根据一元二次方程的解的表达式：x1=2.5+3等于5.5,x2=2.5-3等于－0.5，即可求得该方程的两个实根5.5,－0.5。

二次根式除法法则公式的求解平方根的方法还有一种是通过因式分解的方法，也可以得到正确的结果。

比如：求m2-3m-18=0的根。

首先将该方程因式分解，即：m2-3m=18,(m-6)(m+3)=18,则m-6=18,m=24；m+3=18,m=15。

故m2-3m-18=0的根为24和15。

比较这两种方法，二次根式除法法则公式求解平方根的方法更为简便快捷。

因此，对于求解平方根而言，学习二次根式除法法则公式是不可缺少的，同时它在微积分中的用处也是相当广泛的。

它可以解决在数学上涉及到平方根的问题，也可以解决运筹学中复杂的根式方程等。

有时候，也可以用二次根式除法法则公式来帮助我们更好地理解其他更复杂的平方根问题。

总而言之，二次根式除法法则公式是一种解决涉及到平方根问题的有效数学方法，它在数学和微积分中被广泛使用，能够有效解决涉及到平方根的问题和类似的数学问题，是每一位学习数学的学生都应该掌握的理论。