广西南宁二中高三数学12月模拟考试试题

南宁二中2019届高三12月份数学(文科)月考参考答案1．D 【详解】因为，所以，其在复平面对应的点为，位于第四象限，故选D.2．C 【解析】因为，或，所以，故选.3．A试题分析：将sin 2y x =图像向左平移512π后得55sin 2sin 2sin 2cos 2126323y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A 项正确4．D【解析】如图,由三视图可知,该几何体是一个半圆柱与一个四棱锥的组合体,其中四棱锥的底面ABCD 为圆柱的轴截面,顶点P 在半圆柱所在圆柱OO 1的底面圆上,且点P 在AB 上的射影为底面圆的圆心O.由三视图中的数据可得,半圆柱所在圆柱的底面半径r=1,母线长l=2,故半圆柱的体积V 1=πr 2l=π×12×2=π;四棱锥的底面ABCD 是边长为2的正方形,PO ⊥底面ABCD,且PO=r=1,故其体积V 2=S 正方形ABCD ×PO=×22×1=.故该几何体的体积V=V 1+V 2=.故选D.5．A 【详解】，当时导函数值为0，但在此零点两侧导函数均大于0，所以此处不是函数的极值点，所以函数极值点个数为0.6．C【解析】试题分析：.7．B【详解】易知函数的单调区间为，.由得因为函数在区间内没有最值，所以在区间内单调，所以，所以，解得.由得当时，得当时，得又，所以综上，得的取值范围是故选：B.8．B【详解】因为且所以.又在区间内单调递增，且为偶函数，所以在区间内单调递减，所以所以故选：B.9．D【解析】由于，，，由正弦定理得：，，，，∴，，∵，，是球的球面上三点，∴截面圆的圆心为中点，半径为2，∵棱锥的体积为，∴，∴，∴，∴球的表面积为：，故选D.10．C【解析】由题双曲线的左顶点，，由知为线段的中点，且，可得，由题为渐近线方程，，即为，即有，即有，，可得，即，，故选C. 11．C【解】由题意可知D为BC的靠近C的三等分点，∴===，∴===3+×2×cos120°=1．故选：C ．12．A【解析】由题可得：设，因为所以函数为定义域上的增函数，又因为，所以得解集为13．【解析】因为，当且仅当时取等号.因此的最小值是点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14．②【解析】第1次循环，s ＝1＋1＝2，n ＝1＋1＝2，第2次循环，s ＝2＋2＝4，n ＝2＋1＝3，…，第2016次循环，n ＝2017.所以结合选项可知判断框内的条件应为“n ≤2016？”15．【详解】由焦半径公式，，解得．16．解．由()2sin cos f x x x x =+sin sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得1()2sin(2)62f x x π=-+，又001()2sin(2)=062f x x π=-+，得01sin(2)=-064x π-<,又002x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭得052666x πππ-≤-≤，所以02066x ππ-≤-≤，故015cos(2)64x π-=此时：00001cos2cos (2]cos(2)cos sin(2)sin 6666668x x x x ππππππ+⎡⎫=-+=---=⎪⎢⎣⎭17．解:（1）∵，∴，∴.即∵，∴，∴.若有两解，∴，解得，即的取值范围为.（2）由（1）知，，∴，∵，∴，∵，∴.18．解：（I）因为，所以从用电量数据中得到第一档的临界值为第15个样本，即180，第二档的临界值为第19个样本，即260．因此，所以，（II）由于，，，所以，从而回归直线方程为．（Ⅲ）当时，，，所以，小明家月支出电费72.8元．19．解：（Ⅰ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又EF PB ,所以EF PA EF PC ⊥⊥，,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3CD CG =由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE PC ，因此21,.33PE PG DE PC ==由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2, 2.DE PE ==在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.EF PF ==所以四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯=20．解析：（1）由已知得2222191{ 41a b a b +=-=，解得2{3a b ==，∴椭圆方程为22143x y +=（2）依题可得1253,22MF MF ==，由平面几何角平分线定理得112253F N MF NF MF ==，即1253F N NF = ，得1,04N ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以4MN ==（3）假设在x 轴上存在一点(),0T t 满足已知条件，则TB TCk k =-即()()121221120y y y x t y x t x t x t=-⇒-+-=--()()()()()1221121222110210962103434y my t y my t my y t y y m m t m m ⇒+-++-=⇒+-+=--⇒⋅+-⋅=++整理得：()40t m -=，∵m 任意，∴4t =故存在点()4,0T 满足条件.21.解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），()()‘1211221x ax f x ax a x x ++=+++=.若a≥0，则当x∈（0，+∞）时，’0f x ＞，故f（x）在（0，+∞）单调递增.若a＜0，则当x∈10,2a -时，’0f x ＞当x∈12a ∞-+时，’0f x ＜.故f（x）在10,2a -单调递增，在12a ∞-+单调递减.（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在12x a =-取得最大值，最大值为111ln 1224f a a a -=---.所以324fx a ≤--等价于113ln 12244a a a ---≤--，即11ln 1022a a -++≤.设g（x）=lnx-x+1，则’11g x x=-.当x∈（0,1）时，()0g x '>；当x∈（1，+∞）时，()0g x '<.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+∞）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，11ln 1022a a -++≤，即324fx a≤--.22．解：(1)由消去参数t，得y =2x，由，得，所以曲线C 的直角坐标方程为，即.即曲线C 是圆心为(1，1)，半径r=1的圆.(2)联立直线和曲线的方程，得，消去，得，设对应的极径分别为，则，，所以.23．解：(1)132x x m ++-≤,设()13g x x x =++-,则当1x ≤-时,()22g x x =-+;当13x -<<时,()4g x =;当3x ≥时,()22g x x =-所以()()2462,3g g m m -====.(2)111323a b c++=由柯西不等式,()2211123323a b c a b c ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭所以233a b c ++≥.。

2023年高考数学模拟试卷 注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c << B ．()()()f a f c f b << C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<2．已知52i 12i a =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ）A ．3B ．3C ．1D ．53．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163 B ．6 C ．203 D ．2235．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ） A ．6种 B ．12种 C ．24种 D ．36种6．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ） A ．—1 B ．—3 C ．1D ．27．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．5C ．6D ．78．M 、N 是曲线y=πsinx 与曲线y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( ) A ．πB ．2πC ．3πD ．2π9．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A ．210B ．2613 C ．1313 D ．131010．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（）A ．1B ．1或12 C ．32 D ．3±11．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ）A ．163iB ．6iC ．203iD ．2012．已知集合{}|1A x x =>-，集合(){}|20B x x x =+<，那么A B 等于（ ）A ．{}|2x x >- B ．{}1|0x x -<< C ．{}|1x x >- D ．{}|12x x -<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广西南宁市第二中学2019届高三数学12月月考试题文（扫描版）g已知双曲毗咅-j AO・b AQ)的后右焦点分别为珀用A矗取删的兀皿咸双曲毗的-条渐近线与直斷=_吕交于点叭丽二励(眄PJ.AM.则双曲线C的离心率利)氐】氐廳 C. 2 D+ V611.企血眈中.AB 3, AC = 2> L BAC- 120°.点。

为兀边上一直，&6 =誠、则AB - AD =()&扌 B. | 匚】D- 2】2.毎文在R上的函数fOc)满足；f (x) > 1 - f(0) = 6j f(刃是X刃的导函数.则车等式f(x) > 1 + 〔其中建为自撼对数的底数)的解集为( )A. (0,+®)B. ｛-« 0)u(3,+«)C. +D. (3, + «)第II卷(养选择謹,抉90分》二、填空题：本大題共4小题・每小題5分・13. 已知a > 0> b> 0(且-+ ；= Vabn则此的最小值是A ...14, 己知数列｛為｝中・at= !■廊+1=血+小若M虽所d的程孚同上圏扯用采计算该数列的第2 017项・则判断框内的条髀是_」•(填字号)①谆015? ®n<2016? ®rt<2 0!4? ®n<016?请囂渐繼物建C：沪=2py(p > 0)的焦点为F,点P4m|｝址匚f ii|PF| =则p =_ 虚•16.已知函数f (x) = sin^ + 2V3sirwcosx + sin| 工十井£"彳］X—S. Kgi**!--*》I扬旺百乞］为函数J (x)的一个零点，d COS2J .二柝眷鯉M E忙皑”北70分..弄卷应写出文字说明、址明肚理或淡聲歩療JH-【本小題満分12分〕在AABC中.角A,B,C的对边分别为a,be c-|b = acosB.（1）若有两孵，聋b的取傩范围；棉）若AABC的面积为日血，日AG戒b・c的值一13.（本小題潇分埠分）为了实现绿色笈展’避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯瞠费的方法*为此.相关部分在该市葩机调査了曲户居民丸月份的用电携（单位：kWj）和家庭收入（单万元），以了解这个城市簸庭用电議的情况'用电矍数据如下：18,63,72^2,93^10^110,118,130,134,139,147463,180,194,212,237,260,324-对应的豪庭枚入数据如下：0.21024.0,35,0.40.0.52^60,0.5^0.65,0.65,0.6X0.68,0.80.0.010.93.0,97.0.96,1.142.1.5.1.B（1）根据国家发改委的拎示措神，该市计划实施3阶A fix阶梯电价・使75%的用户在第一档’电价为6%元16■fkW’h；2（m的用户在第二档.电价为0,61元JMl «/kw.h；5%的用户在第三档，电价为0朋私W.h・试』..* '求出居艮用电费用Q持用电超x间的函数关系；"「宀〔H）以冢庭收入t为横坐标，电星%为纵坐标作出散点r .…一一.图【如图人求K关于t的何归宜线方程（回归直线方程的系数四舍五入保留整豔〉.（IID小明家的月收入7000元.按上述关系1估计小期家月支出电费多少几？参考数据t码百-28B0F緒q -15.6, X, tj = 2803.2，贮］tf = 15.25.弟附=51 厂盟. 裁松丸回归自线方程卩弘“ “號竽・"■號其帧沖林怖.旧.（本小題満分U分）如图，己知正三擾锥P-ABC的侧面是罠痢三角形，PX7 顶点P在乎面匚内的射影対点D” D在平閒PAB内的射影为点厂连诣-i -PE并延长交惦于点鼻（!〉证明：$足幅的申点1 …匸< H）在图申作出点己在平面PM内的桩F「说明件法及理曲人并趣面体嘶的辭，20. （本小题满分12分）已创册手+計心>。

一、单选题二、多选题1. 已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）．A．B．C ．3D．2. 已知向量，，若实数λ满足，则（ ）A．B．C．D ．13. 若，则（ ）A．B．C．D．4.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．5. 抛物线的焦点为，准线为，、是抛物线上的两个动点，且满足.设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（ ）.A．B．C．D．6. 已知椭圆：，的左、右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是（ ）A．B．C．D．7.已知函数，则满足的的取值范围为（ ）A．B．C．D．8. 已知函数，，当时，，的值分别为（ ）A ．1，0B ．0，0C ．1，1D ．0，19. 新冠阳性即新型冠状病毒核酸检测结果为阳性，其中包括无症状感染者和确诊者.无症状感染者通常没有症状.或仅出现感胃、干咳、咽痛、乏力等轻微症状，患者并未出现明显不适感，不影响患者正常生活，但患者新型冠状病毒核酸检测的结果呈阳性；确诊者的症状比较明显，患者常表现为发热、头痛、眩晕、呼吸困难等症状，影响患者的正常生活，经CT 、B 超等影像学检查，发现患者肺组织出现明显的变化，并且新型冠状病毒核酸检测的结果也呈阳性.下图是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人数的折线统计图，则下列结论错误的是（）A ．新增阳性人数每天都不超过100人B ．新增的无症状感染者总人数少于确诊总人数广西南宁市2023届高三二模数学（理）试题(1)广西南宁市2023届高三二模数学（理）试题(1)三、填空题四、解答题C ．新增阳性人数最多的一天是12日D ．每天新增确诊病例人数的中位数是4310. 已知函数，的图象与直线y=m 分别交于A 、B 两点，则（ ）.A．B ．，曲线在A 处的切线总与曲线在B 处的切线相交C ．的最小值为1D ．∃，使得曲线在点A 处的切线也是曲线的切线11. 已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A．B．在区间上有6个零点C ．直线是图象的一条对称轴D．若对任意的恒成立，则12.已知一组样本数据，现有一组新的，则与原样本数据相比，新的样本数据（ ）A ．平均数不变B ．中位数不变C ．极差变小D ．方差变小13. 若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝ .14. 函数的极小值为______．15.在中，、、分别为角的对边，且满足，则角A 的大小是______.16. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且．(1)求角A 的大小；(2)若，，点D为边上一点，且，求的面积大小．17. 直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货销售金额稳步提升，以下是该公司2023年前6个月的带货金额：月份123456带货金额万元25435445495416542054(1)根据统计表中的数据，计算变量与的样本相关系数，并判断两个变量与的相关程度（若，则认为相关程度较强；否则没有较强的相关程度，精确到0.01）；(2)若与的相关关系拟用线性回归模型表示，试求关于的经验回归方程，并据此预测2023年10月份该公司的直播带货金额（精确到整数）.附：经验回归方程，其中，样本相关系数；参考数据：.18. 已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.19. 某地区未成年男性的身高（单位：cm）与体重平均值（单位：kg）的关系如下表1：表1 未成年男性的身高与体重平均值身高/cm60708090100110120130140150160170体重平均值/kg直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的身高与体重平均值之间的关系．为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟合优度判断系数（如表2）．误差平方和越小、拟合优度判断系数越接近1，拟合度越高．表2 拟合函数对比函数模型函数解析式误差平方和指数函数二次函数幂函数(1)问哪种模型是最优模型？并说明理由；(2)若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础．假设身高与骨细胞数量成正比，比例系数为；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为．记时刻的未成年时期骨细胞数量，其中和分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻的未成年时期肌肉细胞数量，其中和分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率．求体重关于身高的函数模型；(3)在（2）的条件下，若，．当刚出生的婴儿身高为50cm时，与（1）的模型相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由．注：，；婴儿体重符合实际，婴儿体重较符合实际，婴儿体重不符合实际．20. 已知函数．(1)求的最小正周期；(2)求的最大值、最小值．21. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，过椭圆上一点，作轴的垂线，垂足为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程.。

答案一.BADDB 【答案】B 【答案】A 【答案】D 【答案】D 【答案】B 【答案】C 【答案】B 【答案】B 【答案】C 【答案】C 【答案】A 【答案】D 【答案】C 【答案】B 【答案】B 【答案】C 【答案】C 【答案】A 【答案】D【答案】1 21 n-【答案】1 6 -【答案】9【答案】2517.【答案】（1）（2【解析】（1）由题意，120BDA∠=︒，在ABD△中，由余弦定理可得2222cos120AB BD AD BD AD=+-⋅⋅︒，即2281642AD AD AD =++⇒=或6AD =-（舍），∴ABD △的面积11sin 4222S DB DA ADB =⋅⋅⋅∠=⨯⨯= （2）在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD AB B BDA =∠，代入得sin B =B为锐角，故cos B = 所以()sin sin 60sin 60cos cos60sin C B B B =︒-=︒-︒=， 在ADC △中，由正弦定理得sin sin AD AC C CDA =∠=，解得AC 18.解：(Ⅰ)2K ＝332001109050150)90302060(2002=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈6.061<6.635， 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.…………………………………4分（Ⅱ）易知，所抽取的10名学生中，男生为41506010=⨯名，女生为6名. X 可取0,1,2,3.且61)0(31036===C C X P ,21)1(3101426===C C C X P , 103)2(3102416===C C C X P ,301)3(31034===C C X P X ∴的分布列为：56)(=∴X E .…………………………………………………………………9分 （Ⅲ3）设所抽取的4名学生中，课外体育达标的人数为ξ，表中学生课外体育达标的概率为4120050=，)41,4(~B ξ∴，12827)43()41()2(2224=⋅⋅==∴C x P . ∴4名学生中，恰好有2名学生是课外体育达标的概率为12827.……………12分【答案】（1）；（2【解析】（1）由题意，120BDA ∠=︒，在ABD △中，由余弦定理可得2222cos120AB BD AD BD AD =+-⋅⋅︒，即2281642AD AD AD =++⇒=或6AD =-（舍），∴ABD △的面积11sin 4222S DB DA ADB =⋅⋅⋅∠=⨯⨯= （2）在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD AB B BDA =∠，代入得sin B =B为锐角，故cos B = 所以()sin sin 60sin 60cos cos60sin C B B B =︒-=︒-︒=， 在ADC △中，由正弦定理得sin sin AD AC C CDA =∠=，解得AC 解：(Ⅰ)2K ＝332001109050150)90302060(2002=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈6.061<6.635， 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.…………………………………4分（Ⅱ）易知，所抽取的10名学生中，男生为41506010=⨯名，女生为6名. X 可取0,1,2,3.且61)0(31036===C C X P ,21)1(3101426===C C C X P , 103)2(3102416===C C C X P ,301)3(31034===C C X PX ∴的分布列为：56)(=∴X E .…………………………………………………………………9分 （Ⅲ3）设所抽取的4名学生中，课外体育达标的人数为ξ，表中学生课外体育达标的概率为4120050=，)41,4(~B ξ∴，12827)43()41()2(2224=⋅⋅==∴C x P . ∴4名学生中，恰好有2名学生是课外体育达标的概率为12827.……………12分19.解：（Ⅰ）在△ABD 中，因为点E 是BD 的中点，∴EA =EB =ED =AB =1， 故23BAD ABE AEB ππ∠=∠=∠=，…………………………………1分因为△DAB ≌△DCB ，∴△EAB ≌△ECB ，从而有3FED BEC AEB π∠=∠=∠=…………………………………2分∴FED FEA ∠=∠，故EF ⊥AD ，AF =FD ．又PG =GD ，∴FG//PA ．又PA ⊥平面ABCD ，∴GF ⊥AD ，故AD ⊥平面CFG …………………………………………5分 又CG ⊂平面CFG ，∴AD ⊥CF …………………………………………6分 （Ⅱ）以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则33(000)(100)(0)(00)(00)A B C D P ，，，，，，，，，，…………7分 故1(02BC =，），33(22CP =-，，），3(02CD =-）． 设平面BCP 的法向量111(1)y z =，，n ，则11110233022y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得1123y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即12(1)3=，n …………………………………………………………9分 设平面DCP 的法向量222(1)y z =，，n ，则22230233022y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，，解得222y z ⎧⎪⎨=⎪⎩，即2(12)=n ．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为12124||cos ||||θ===n n n n 12分 20.解析：设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p . ①(1)由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ， B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p， ∵点N 在以AB 为直径的圆上，∴AN ⊥BN ，∴－2p＝－1，∴p ＝2. (2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p(x －x 2)， 联立，得⎩⎨⎧ y －y 1＝x 1p (x －x 1)，y －y 2＝x 2p (x －x 2)，结合①式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)． |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2， 则△ABN 的面积S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p (pk 2＋2)3≥22p ，当k ＝0时，取等号， ∵△ABN 的面积的最小值为4，∴22p ＝4，∴p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .22.[解] (1)∵C 1的极坐标方程是ρ＝244cos θ＋3sin θ， ∴4ρcos θ＋3ρsin θ＝24， ∴4x ＋3y －24＝0，故C 1的直角坐标方程为4x ＋3y －24＝0.∵曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos y x ，∴x 2＋y 2＝1，故C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy x x 222''，后得到曲线C 3，则曲线C 3的参数方程为⎩⎨⎧x ′＝22cos α，y ′＝2sin α(α为参数)．设N (22cos α，2sin α)，则点N 到曲线C 1的距离d ＝|4×22cos α＋3×2sin α－24|5＝|241sin (α＋φ)－24|5＝24－241sin (α＋φ)5(其中φ满足tan φ＝423)． 当sin(α＋φ)＝1时，d 有最小值24－2415， 所以|MN |的最小值为24－2415. 23.（1）当a =－4时，求不等式()6f x ≥，即为|24||2|6x x -+-≥，所以|x －2|≥2，即x －2≤－2或x －2≥2，原不等式的解集为{x|x ≤0或x ≥4}．（2）不等式2()3|2|f x a x ≥--即为|2x +a |+|x －2|≥3a ²－|2－x |，即关于x 的不等式|2x +a |+|4－2x |≥3a ²恒成立．而|2x+a|+|4－2x|≥|a＋4|，所以|a＋4|≥3a²，解得a＋4≥3a²或a＋4≤－3a²，解得413a-≤≤或a∈∅．所以a的取值范围是4 [1,]3 -．。

2020届广西名校高三上学期12月高考模拟试题数学（理）一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4M =，(){},,P x y x M x y M =∈-∈，则P 的非空子集的个数是（ ） A ．7 B ．15C ．63D ．64【答案】C 【解析】根据(){},,P x y x M x y M =∈-∈求解P 中元素的个数,再根据包含n 个元素的集合的非空子集的个数是21n -计算即可. 【详解】解：∵集合{}1,2,3,4M =, ∴(){}()()()()()(){},,2,1,3,1,3,24,14,2,4,3P x y x M x y M =∈-∈=,共6个元素,故P 的非空子集的个数为62163-=． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了集合运算以及包含n 个元素的集合的非空子集个数,属于基础题型. 2．定义运算,,a b ad bc c d=-，若21,2,z i i=，则复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】试题分析：221,2212,12,z i i i z i i i ==-=--=-+，所以复数z 对应的点在第二象限，选B. 【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.a bi -3．如图是国家统计局今年4月11日发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图．（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A ．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B ．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C ．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D ．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快 【答案】C【解析】由题意,根据同比与环比的意义分析即可. 【详解】解：由图中的数据可知：A ,B ,D 三项判断都正确；对C ．2019年全国居民消费价格同比涨幅最大是9月和10月,错误． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了图表的分析与理解,属于基础题型. 4．()()6222a b a b +-的展开式中44a b 的系数为（ ）A ．320B ．300C ．280D ．260【答案】B【解析】()62a b -展开式的通项为：()()6616622rrr r r r r r T C a b C a b --+=-=-， 则：()4464424562240T C a b a b -=-=，()226224236260T C a b a b -=-=， 据此可得：44a b 的系数为24060300+=. 本题选择B 选项.5．我国明代伟大数学家程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为（ ） A ．0.9升 B ．1升C ．1.1升D ．2.1升【答案】B【解析】先根据“下头三节三升九，上梢四节贮三升”列方程组，解方程组求得2,a d 的值，进而求得5a 的值. 【详解】依题意得12367893.93a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩，故2781.31.5a a a =⎧⎨+=⎩，即22256211a d a d a d +++=+ 2.611 1.5d =+=，解得0.1d =-，故523 1.30.31a a d =+=-=升.故选B.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查等差数列通项的性质，属于基础题. 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（ ）A ．43．2 C ．6 D ．25【答案】C【解析】由题可得立体图形：则4,1645,2AB AC PC BC ===+==,161646,AP BP ==++=所以最长棱为6点睛：考察三视图 7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用特殊值，对函数图象进行排除，由此得出正确选项. 【详解】由于12201112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---，排除B 选项. 由于()()2222,23f e f e e e ==--，()()2f e f e >，函数单调递减，排除C 选项. 由于()10010020101f ee =>-，排除D 选项.故选A. 【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图象，属于基础题.8．如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．7k ≥？B ．6k ≥？C ．5k ≥？D ．6k >？【答案】B【解析】程序运行结果为41S =,执行程序,当6k =时,判断条件成立,当5k =时,判断条件不成立,输出41S =,即可选出答案. 【详解】根据程序框图,运行如下: 初始10,1k S ==,判断条件成立,得到11011S =+=,1019k =-=; 判断条件成立,得到11920S =+=,918k =-=; 判断条件成立,得到20828S =+=,817k =-=; 判断条件成立,得到28735S =+=,716k =-=; 判断条件成立,得到35641S =+=,615k =-=; 判断条件不成立,输出41S =,退出循环,即6k ≥符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.9．已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，根据圆的性质可知最小值为CP r -；根据抛物线方程和圆的方程可求得CP ，从而得到所求的最值. 【详解】如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF =当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=-Q 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C415CP ∴=+= ()min 514MA MF ∴+=-=本题正确选项：B 【点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.10．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =u u u r u u u r，则双曲线的离心率是 ( )A 2B 3C ．5D 10【答案】C【解析】试题分析：直线l ：y=-x+a 与渐近线l 1：bx-ay=0交于B 2,a ab a b a b ⎛⎫⎪++⎝⎭， l 与渐近线l 2：bx+ay=0交于C 2,a ab a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，A （a ，0）， ∴22222222,,,ab ab a b a b AB BC a b a b a ba b ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪++--⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，∵12AB BC =u u u r u u u r ， ∴222ab a b a b a b -=+-，b=2a ，∴2224c a a -=，∴2225c e a==，∴5e =【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质11．已知函数()f x 满足()()f x f x =-，且当(],0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若()()0.60.622a f =⋅，()()ln2ln2b f =⋅，118822log log c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】C【解析】根据题意，构造函数h （x ）＝xf （x ），则a ＝h （20.6），b ＝h （ln 2），c ＝（218log ）•f （218log ）＝h （﹣3），分析可得h （x ）为奇函数且在（﹣∞，0）上为减函数，进而分析可得h （x ）在（0，+∞）上为减函数，分析有218log ＜0＜ln 2＜1＜20.6，结合函数的单调性分析可得答案． 【详解】解：根据题意，令h （x ）＝xf （x ），h （﹣x ）＝（﹣x ）f （﹣x ）＝﹣xf （x ）＝﹣h （x ），则h （x ）为奇函数；当x ∈（﹣∞，0）时，h ′（x ）＝f （x ）+xf '（x ）＜0，则h （x ）在（﹣∞，0）上为减函数，又由函数h （x ）为奇函数，则h （x ）在（0，+∞）上为减函数， 所以h （x ）在R 上为减函数，a ＝（20.6）•f （20.6）＝h （20.6），b ＝（ln 2）•f （ln 2）＝h （ln 2），c ＝（218log ）•f （218log ）＝h （218log ）＝h （﹣3）， 因为218log ＜0＜ln 2＜1＜20.6，则有c b a >>； 故选：C ． 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数h （x ）＝xf （x ），并分析h （x ）的奇偶性与单调性．12．已知半径为2的扇形AOB 中，120AOB ∠=o ，C 是OB 的中点，P 为弧AB 上任意一点，且OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为（ ）A ．2BCD ．3【答案】C【解析】根据等和线性质,利用平行线的方法,求半径2与O 到AC 的距离d 的比值即可. 【详解】由题有AOC △面积1321sin1202AOC S =⨯⨯⨯︒=V ,又由余弦定理 2222cos1201427AC OC OA OC OA =+-⋅︒=++=.故7AC =.故O 到AC 的距离d 满足13327AOC S AC d d =⨯⋅=⇒=V . 故λμ+的最大值为2722123d =⨯=故选：C 【点睛】本题主要考查与λμ+有关的等和线问题,求出P 所在的位置对应的λμ+的值即可.属于中等题型.二、填空题13．已知向量(,1)a m =r ，(4,2)b n =-v ，0m >，0n >，若a b r r P ，则18m n+的最小值______． 【答案】92【解析】由a b r rP ，可得：24n m +=，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【详解】∵a b r r P ，∴420n m --=，即24n m +=，∵0m >，0n >， ∴18118(2)4n m m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 116104n m m n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭19(1042≥+=， 当且仅当843n m ==时取等号， ∴18m n +的最小值是92． 故答案为92． 【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．若数列{}n a 的首项12a =，且()*132n n a a n N +=+∈；令()3log 1n n b a =+，则123100b b b b ++++=L _____________．【答案】5050【解析】试题分析：由()*132n n a a n N +=+∈可知()111131,31n n n n a a a a ++++=+∴=+，所以数列{}1n a +是以3为首项， 3为公比的等比数列，所以13,31n nn n a a +=∴=-，所以()3log 1n n b a n =+=，因此()12310010011005050.2b b b b +++++==L【考点】等比数列的通项公式与等差数列求和．【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式与等差数列求和，属于中档题.本题解答的关键是根据递推式()*132n n a a n N +=+∈构造数列{}1n a +是以3为首项， 3为公比的等比数列.据此得到数列{}n a 的通项公式，根据对数运算得到{}n b 是通项公式，可判断其为等差数列，由等差数列的前n 项和公式求解. 15．在锐角ABC ∆中，6B π>，3sin 65A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos 65B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()sin A B +=__________．【答案】2425【解析】34sin ,cos 6565A A ππ⎛⎫⎛⎫+=∴+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ,因为41cos cos120652A π⎛⎫+=-<-= ⎪⎝⎭o ,2632A A πππ∴+>⇒>(舍)，4cos 65A π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，由43cos sin 6565B B ππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()sin sin[()()]sin()cos()cos()sin()666666A B A B A B A B ππππππ∴+=++-=+-++-344324555525=⨯+⨯=. 16．在三棱锥V ABC -中，面VAC ⊥面ABC ，2VA AC ==，120VAC ∠=︒，BA BC ⊥ 则三棱锥V ABC -的外接球的表面积是____【答案】16π 【解析】【详解】解：如图，设AC 中点为M ，VA 中点为N ，∵面VAC ⊥面ABC ，BA ⊥BC ，∴过M 作面ABC 的垂线， 球心O 必在该垂线上，连接ON ，则ON ⊥AV ． 在Rt△OMA 中，AM ＝1，∠OAM ＝60°，∴OA ＝2，即三棱锥V ﹣ABC 的外接球的半径为2， ∴三棱锥V ﹣ABC 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝16π． 故答案为16π．三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （2）若53332S =，求λ． 【答案】（1）证明详见解析；1111n n a λλλ-⎛⎫=⋅ ⎪--⎝⎭；（2）13λ=. 【解析】(1)利用n a 与n S 的关系求得()11n n a a λλ--=,再证明与求解首项和公比即可. (2)根据1n n S a λ=+,代入(1)中所求的n a 通项公式求解即可. 【详解】解：（1）∵1n n S a λ=+,0λ≠,∴0n a ≠． 当2n ≥时,111n n S a λ--=+,两式相减,得1111n n n n n a a a a a λλλλ--=+--=-,即()11n n a a λλ--=, ∵0λ≠,0n a ≠．∴10λ-≠．即1λ≠,即11n n a a λλ-=-,（2n ≥）, ∴{}n a 是等比数列,公比1q λλ=-,当1n =时,1111S a a λ=+=,即111a λ=-, ∴1111n n a λλλ-⎛⎫=⋅ ⎪--⎝⎭；（2）若53332S =,则4513311132S λλλλ⎡⎤⎛⎫=+⋅=⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎣⎦,即5331113232λλ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭, 则112λλ=-,得13λ=【点睛】本题主要考查了利用数列n a 与n S 的关系证明等比数列的方法,同时也考查了数列求和的有关问题,属于中等题型.18．为推进“千村百镇计划”，2018年4月某新能源公司开展“电动莆田 绿色出行”活动，首批投放200台P 型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月．试用到期后，为了解男女试用者对P 型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为100分）．最后该公司共收回600份评分表，现从中随机抽取40份（其中男、女的评分表各20份）作为样本，经统计得到如下茎叶图：（1）求40个样本数据的中位数m ；（2）已知40个样本数据的平均数80a =，记m 与a 的最大值为M ．该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于M 的为“满意型”，评分小于M 的为“需改进型”．①请根据40个样本数据，完成下面22⨯列联表：根据22⨯列联表判断能否有99%的把握认为“认定类型”与性别有关？②为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者按性别用分层抽样的方法，从中抽取8人进行回访，根据回访意见改进车辆后，再从这8人中随机抽取3人进行二次试用，记这3人中男性人数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）81；（2）①有99%的把握认为“认定类型”与性别有关，②见解析 【解析】（1）40个数字，中位数为从小到大排序的第20和第21数的平均数，可求得结果；（2）①将数据代入公式可求得2K ，可知2 6.635K >，对比概率表格可知有99%的把握认为二者相关；②通过分层抽样确定男性和女性的人数，得到X 所有可能的取值，根据超几何分布得到分布列，从而根据数学期望的公式求得结果. 【详解】（1）由茎叶图可知：8082812m +==（2）因为81m =，80a =，所以81M =①由茎叶图值，女性试用者评分不小于81的有15个，男性试用者评分不小于81的有5个，根据题意得22⨯列联表：由于()24015155510 6.63520202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯查表得：()26.6350.010P K ≥≈所以有99%的把握认为“认定类型”与性别有关②由①知，从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法抽出女性2名，男性6名X 的所有可能取值为1，2，3则()2126386315628C C P X C ====，()122638301525628C C PX C ====， ()03263820535614C C P X C ==== 所以X 的分布列如下：所以X 的数学期望为：()315591232828144E X =⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查茎叶图、独立性检验、超几何分布、随机变量的数学期望的求解，关键在于能够确定随机变量符合超几何分布，然后通过公式求得对应概率.19．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是BC 的中点，点Q 是棱1CC 上的动点．（1）点Q 在何位置时，直线1D Q ，DC ，AP 交于一点，并说明理由； （2）求三棱锥1B DBQ -的体积；（3）棱1CC 上是否存在动点Q ，使得1DB 与平面1AQD 所成角的正弦值为539，若存在指出点Q 在棱1CC 上的位置，若不存在，请说明理由．【答案】（1）当Q 是1C C 中点时，直线1D Q ，DC ，AP 交于一点，理由详见解析；（2）43；（3）存在点Q ，且点Q 为1CC 的中点.【解析】(1)画出辅助线延长AP 交DC 于M ,连结1D M 交1C C 于点Q ,利用相似三角形证明即可.(2)换顶点求解三棱锥1D BB Q -的体积即可.(3)以D 为原点建立合适的空间直角坐标系,设()0,2,Q λ,再利用线面夹角的向量解法求出λ即可. 【详解】解：（1）当Q 是1C C 中点时,直线1D Q ,DC ,AP 交于一点．理由如下：延长AP 交DC 于M ,连结1D M 交1C C 于点Q , ∵CP AD P ,∴MCP MDA ∆∆∽,∴12MC CP MD AD ==． ∵1CQ D D P ,∴1MCQ MDD ∆∆∽,∴112CQ MC DD MD ==． ∴Q 是1C C 中点．（2）V 棱锥1B DBQ V -=棱锥111114=8=3323BB Q D BB Q S CD ∆-=⋅⋅⋅． （3）以D 为原点,DA ,DC ,1DD 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建系 则()0,0,0D ,()2,0,0A ,()12,2,2B ,()0,2,Q λ,()10,0,2D()12,0,2AD =-u u u u r ,()2,2,AQ λ=-u u u r ,()12,2,2DB =u u u u r设面1AQD 的法向量为(),,n x y z =r,则 122002200x z n AD x y z n AQ λ⎧-+=⎧⋅=⇒⎨⎨-++=⋅=⎩⎩u u u u v v u u uv v 取2x =,2z =,2y λ=-即()2,2,2n λ=-r设1DB 与面1AQD 所成角为θ则111sin cos ,n DB n DB n DB θ⋅====r u u u u rr u u u u r r u u u u r 化简得2230λλ+-= 解得1λ=或32λ=-（舍去） 所以存在点Q ,且点Q 为1CC 的中点 【点睛】本题主要考查了空间中线与线相交的问题,同时也考查了利用建系解决空间中线面角的问题,属于中等题型.20．如图，中心为坐标原点O 的两圆半径分别为11r =，22r =，射线OT 与两圆分别交于A 、B 两点，分别过A 、B 作垂直于x 轴、y 轴的直线1l 、2l ，1l 交2l 于点P ．（1）当射线OT 绕点O 旋转时，求P 点的轨迹E 的方程；（2）直线l ：3y kx =+E 交于M 、N 两点，两圆上共有6个点到直线l 的距离为12时，求MN 的取值范围． 【答案】（1）2214y x +=；（2）1616,135MN ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【解析】(1) 设(),P x y ,OT 与x 轴正方向夹角为θ,写出(),P x y 轨迹的参数方程,再化简成直角坐标方程即可.(2)根据两圆上共有6个点到直线l 的距离为12,利用圆的位置关系转换为原点O 至直线l 的距离13,22d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,进而求得k 的取值范围,再联立直线与椭圆表达出MN ,利用k的取值范围求解MN 的取值范围即可. 【详解】设(),P x y ,OT 与x 轴正方向夹角为θ,则cos sin x OA y OB θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩即cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ 化简得2214y x +=,即P 点的轨迹E 的方程为2214y x +=（2）当两圆上有6个点到直线1的距离为12时,原点O 至直线l 的距离13,22d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即2133221k <<+,解得21,113k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭联立方程22314y kx y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2242310k x kx ++-= 设()11,M x y ,()22,N x y ,则1223kx x +=-,12214x x k =-+ ()()2222121222212414144k MN k x x x x kk k =++-=++++()2224134144k k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭则1616,135MN ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了轨迹问题的求法以及椭圆中的弦长范围问题,需要根据题意建立不等式求斜率的范围,再联立方程求弦长MN 的表达式,再代入斜率的范围求解即可.属于中等题型. 21．已知函数.（Ⅰ）若时，，求的最小值；（Ⅱ）设数列的通项，证明：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）由已知，，. 若，则当时，，所以. 若，则当时，，所以当时，.综上，的最小值是. （Ⅱ）证明：令.由（Ⅰ）知，当时，，即.取，则.于是. 所以.（1）通过求导的方法研究函数的单调性，进而判断满足条件的的范围，确定其最小值；（2）借助第一问的结论，得到不等式进而构造达到证明不等式的目的.【考点定位】本题考查导数的应用与不等式的证明，考查学生的分类讨论思想和利用构造法证明不等式的解题能力.22．已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 经过伸缩变换2x x y y ⎧=⎪⎨=''⎪⎩得到曲线E ，直线l ：1232t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）与曲线E 交于A ，B 两点，（1）设曲线C 上任一点为(),M x y ，求3x +的最小值；（2）求出曲线E 的直角坐标方程，并求出直线l 被曲线E 截得的弦AB 长； 【答案】（1）-2；（282. 【解析】(1)求出曲线C 的参数方程,再代入23x +,利用辅助角公式求最值即可. (2)利用伸缩变换求曲线E 的直角坐标方程,再利用直线参数方程中t 的几何意义,联立直线与椭圆的方程利用韦达定理求解即可. 【详解】解：（1）根据222x y ρ=+,进行化简得C ：221x y +=,∴曲线C 的参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）,∴3cos 32sin 6x y πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭, 则3x +的最小值为2-；（2）∵2x xy y⎧=⎪⎨=''⎪⎩,∴2xy y''⎧=⎪⎨⎪=⎩代入C得∴E：2212xy+=,将直线l 的参数方程1232t xy t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）,代入曲线E方程得：27440t t+-=,∴12124747t tt t⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,()21212128247AB t t t t t t=-=+-=．【点睛】本题主要考查了参数方程的运用以及直线参数方程中t的几何意义等,属于中等题型. 23．（题文）已知函数，且的解集为（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，都是正实数，且，求证：.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见解析【解析】试题分析：（I）考查绝对值不等式的解法（II）采用配“1”法应用基本不等式证明或者采用柯西不等式证明.试题解析：（I）依题意,即,∴（II）方法1:∵∴当且仅当,即时取等号方法2: ∵∴由柯西不等式得整理得当且仅当,即时取等号.。

南宁市二中2020届高三上学期12月考文科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}|1A x N x =∈>，{}|5B x x =<，则A B =I （A ）{}|15x x << （B ）{}|1x x > （C ）{}2,3,4（D ）{}1,2,3,4,5 2.设i 为虚数单位，若复数z 满足i 1i z =+，则z 的共轭．．复数为 （A ）1i - （B ）1i -- （C ）1i -+ （D ）1i +3.若等边ABC ∆的边长为4，则AB AC ⋅=uu u r uuu r（A ）8 （B ）8- （C ）83 （D ）83- 4.由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数中，比2019大的数的个数为 （A ） 10 （B ） 11 （C ） 12 （D ） 135.若等比数列{}n a 满足：1531231,4,7a a a a a a ==++=，则该数列的公比为 （A ）2- （B ）2 （C ）2± （D ）126.若实数,a b 满足a b >，则（A ）e e a b >（B ）sin sin a b >（C ）11e e e e a ba b+>+（D ）22ln(1)ln(1)a a b b +->+- 7.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14,2AA AB ==，点,E F 分别为棱11,BB CC 上两点，且1111,42BE BB CF CC ==，则（A ）1D E AF ≠，且直线1,D E AF 异面 （B ）1D E AF ≠，且直线1,D E AF 相交 （C ）1D E AF =，且直线1,D E AF 异面 （D ）1D E AF =，且直线1,D E AF 相交 8.设函数()219ln 2f x x a x =-，若()f x 在点(3,(3))f 的切线与x 轴平行，且在区间[]1,1m m -+上单调递减，则实数m 的取值范围是（A ）2m ≤ （B ）4m ≥ （C ）12m <≤ （D ）03m <≤ 9.已知1sin 23α=，则2cos ()4απ+= （A ）13-（B ）13（C ）23- （D ）2310.函数11()e x f x x-=-的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ）11.设圆C ：22230x y x +--=，若等边PAB ∆的一边AB 为圆C 的一条弦，则线段PC 长度的最大值为（A ）10 （B ）23 （C ）4 （D ）26 12.设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论：○1()f x 是偶函数；○2()f x 的最小正周期为π； ○3()f x 的最小值为0；○4()f x 在[0,2]π上有3个零点. 其中所有正确结论的编号是（A ）○1○2（B ）○1○2○3（C ）○1○3○4（D ）○2○3○4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.若等差数列{}n a 满足：1231,5a a a =+=，则n a =__________.14.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为__________．15.已知双曲线22:13y C x -=的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 分别与两条渐进线交于,A B 两点，若1210,F B F B F A AB λ⋅==uuu r uuu r uuu r uu u r，则λ=__________．16.若函数()()()2e 121x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩≥‚‚‚恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费, 并注册成为会员, 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下： 消费次第 第1次第2次 第3次 第4次 5≥次 收费比率10.950.900.850.80该公司现有的注册会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中, 随机抽取了100位进行统计, 得到统计数据如下: 消费次数 1次2次3次 4次5次 人数60201055假设汽车美容一次, 公司成本为150元, 根据所给数据, 解答下列问题: （Ⅰ）某会员仅消费两次, 求这两次消费中, 公司获得的平均利润；（Ⅱ）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率, 设该公司为一位会员服务的平均利润为X 元, 求X 大于40的概率.18.（12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设23sin()cos 22B AC +=． （Ⅰ）求sin B ；（Ⅱ）若ABC ∆的周长为8，求ABC ∆的面积的取值范围.19.（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且060ADC ∠=，115AA CD ==，17AD =．（Ⅰ）证明：平面1CDD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求棱锥111D AAC C -的体积．20.（12分）设椭圆22:182x y C +=，过点(21)A ，的直线,AP AQ 分别交C 于相异的两点,P Q ，直线PQ 恒过点(4,0)B ．（Ⅰ）证明：直线,AP AQ 的斜率之和为1-；（Ⅱ）设直线,AP AQ 分别与x 轴交于,M N 两点,点(3,0)G ,求GM GN ⋅.21.（12分）设函数2()sin f x x x =-π，[0,]2x π∈，22()cos (),()22x m g x x x m R π=++-∈π．（Ⅰ）求()f x 的最大值；（Ⅱ）当0,02x m π≤≤≥时，求证：()4g x π≥.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线3cos :sin x t l y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与曲线22:2x m C y m⎧=⎨=⎩（m 为参数）相交于不同的两点,A B ．（Ⅰ）当4απ=时,求直线l 与曲线C 的普通方程； （Ⅱ）若2MA MB MA MB =-,其中(3,0)M ,求直线l 的倾斜角．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 已知函数()11f x x ax =++-.（Ⅰ）当1a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（Ⅱ）当1x ≥时，不等式()3f x x b ≤+成立，证明：0a b +≥.。

广西南宁市第二中学2019届高三数学12月月考试题理（扫描版）绝密音启用前南宁二中2018年12月高三月考试题理科数学（考试时间：门。

分钟满分：皿分）一'选择题，本歴共12小SL毎小题5分，共60分.在鞍小题给出的四个选项中，只有一项星符合題目要求的.I.复數用足— = 为虚数单位).则2的共魏复数z为B.3-F CJ + J D」"r- -2x-3 0| . Af = (y| y = 3 - sinx},则MO/V人2Q18年期五个月中三月份的利润最禺B. 2018年前五个月的利润一直呈增长趋聘C. 2018^前五个月的利润的中位数为①8万蔦D. 20I8年前五个月的总利润为3-5万元j 5 34+ x, y満足T + yXZ*则x+2y的蟲大值狗ysxA.IB.3C.55.学段安排A、B, C、D四位同学薯加数学、物理、化学克赛,要求毎他；浮仅报科，毎仪至少有位冋学裁加，且A.B不能參加同一学科・则不同的安排方法有C已知等比数列｛码｝的各项均为正数，前H前和为S”若◎严工久-，二&」一A.4B. 10C. 16 。

衣A帥]・[1,2] C. [2*3） D. 0匸一月至五月怡的营业额与支出数据，根拯该折线图，下列说法正确的是A加种 B.3Q种 C.24种 D.6种1 /128'执行如图所示的程序框图’若输出的*2,则判断框内可以填入A.（<S& i<7C. f<6D. i<59.平面◎过正方濛細CT?亠小£QD|的顶点从 平ffia //呼曲£应0・平面口门平更冲刃宜线』与直线CD 所成的角为二K Q >6 &>0）的左、右焦点分别为片片.过和乍圆*斗丿‘线右支于点已若ZF t PF 2 = 45,J .则礙曲线的离心辛九A.迈B. 2 匚曲 D. <7II.已知朗数+若计2是函数fix ）的唯一极值点’则实数*的窥值范国是 A.^-]亍]C t O P 2J D. 12, +g ）12*在MRC 中，点P 满足BP^=2PC t 过点尸的直线与川氏川匚所在直线廿别交于占何，，认若祁丽,AN = n^C （ffl>0（ rt>0）±则阳+2闪的最小值拘A. 5 a. y C.4 D.3二、填空範 本题我4小题.每小!£5分.拄20分.B.已知数列｛毎｝満足a^l.兔 S 严则兔= ------------------------ ，14.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学液通过研究正五边形和正十边形的作圈"发现了叢浊兮割泓口为 15. 某几何体的三视图如图所示.正视图是直肃三罚形，側视関是叫愀 叩：俯视图是边长为3証的磚体三肃形”若该几何体的外按球的体枳対"「・ 则该几何体的体积为 ________ ■己知椭岡X ? +4^2 =斗□（卫> 1） 1过点円th i ）作直线交楠圆于丿（知片h 甘（*車必）関贞・-h 舖」二一 ” '则|町|最大时*刖 ---- ----- •第2页I 菇4处A. 30°C, 60°D. 90°10.已知双曲线一■'—ya b 、0.618,这一数值也可表示为ffl^2sinJ8°.若帯*貯=4,训j-2cos^2703常石三 '韶答邇；共70分.解答应写岀文字说阴、证明过程或演算步鹽须作答.第22、23题为选考题*考生根据要求件答・厂小乂* 冃O £12-4 门・（12分）如图，在△片B（?中■点D在8C边上，/方皿＞60°'、（1）求的面积.（2〉若Z^C = 120° ►求片C的长,18.⑴分）茱市救育部门为研完离中学生的身体素质与课外体育緞炼时间的黄系’对该市某校20。

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<3．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．2222i - D ．2222i + 4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( )A ．－30B ．－40C ．40D ．505．已知双曲线的两条渐近线与抛物线22,(0)y px p =>的准线分别交于点、，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB 3p=（ ）． A ．1B ．32C ．2D ．36．设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数()()1xe a axf x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()22cos cos b A a B c +=，3b =，3cos 1A =，则a =（ ） A ．5B ．3C ．10D ．49．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱 11B C 上任意一点，则22PM MN +的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．3D ．210．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．11．已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．﹣212．某设备使用年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）的统计数据(),x y 分别为()2,1.5，()3,4.5，()4,5.5，()5,6.5，由最小二乘法得到回归直线方程为ˆˆ1.6yx a +＝，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ） A ．8年B ．9年C ．10年D ．11年二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广西南宁市第二中学2023届高三高考考前模拟大演练数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．4π3B ．10．已知椭圆2222:1x y C a b +=(1)若点G 是111A B C △的重心，(2)求二面角11B BMC --的正19．为响应党中央“扶贫攻坚经济收入.紫甘薯对环境温度要求数成增长的趋势.下表给出了数.若区域“金”填涂的颜色为A，则区域“水”填涂的颜色可为B、C、D；若区域“金”填涂的颜色为B，则区域“水”填涂的颜色可为A、C、D；若区域“金”填涂的颜色为C，则区域“水”填涂的颜色可为A、B、D；若区域“金”填涂的颜色为D，则区域“水”填涂的颜色可为A、B、C.则区域“水”填涂A的方案种数为236+´=种，´=种，填涂B的方案种数为3227填涂C的方案种数为3227+´=种.+´=种，填涂D的方案种数为3227从区域“火”、“土”、“金”填涂至区域“水”，填涂区域“水”的方案还和填涂区域“木”有关，当区域“水”填涂的颜色为A时，区域“木”填涂的颜色可为B、C、D；若区域“水”填涂的颜色为B时，区域“木”填涂的颜色可为C、D；若区域“水”填涂的颜色为C时，区域“木”填涂的颜色可为B、D；若区域“水”填涂的颜色为D时，区域“木”填涂的颜色可为B、C.所以，当区域“火”填涂颜色A时，填涂方案种数为6372360´+´´=种.因此，不同的涂色方法种数有460240´=种.故选：D.【点睛】方法点睛：求解涂色（种植）问题一般直接利用两个计算原理求解：（1）按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；（2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；（3）对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.9．C由于多面体的棱长为1，所以正方体的因为该多面体是由棱长为2所以该多面体外接球的球心为正方体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线长，所以经过该多面体的各个顶点的对于①：因为BD 、BM 相交，P 为线段BM 的中点，O 为线段BD 的中点，所以DP 与OM 共面，故①错误；对于②：因为11B DBM M B BD V V --=，1111ABCD A B C D -是正方体，所以11//CC BB ，因为1CC Ë平面11BB D D ，1BB Ì平面11BB D D ，所以1//CC 平面11BB D D ，所M 到面1B BD 的距离不变，所以1B DBM V -为定值，故②正确；对于③：当M 为1CC 中点时，OM 为1ACC △的中位线，1//OM AC ，因为1AC Ë平面BDM ，OM Ì平面BDM ，所以1//AC 平面BDM ，故③正确；对于④：当M 与1C 重合时，因为11,,BD AC BD CC AC CC C ^^=I ，1,AC CC Ì平面11ACC A ，所以BD ^平面11ACC A ，因为1AC Ì平面11ACC A ，所以1BD A C ^，同理可证1BM AC ^，因为BD BM B =I ，,BD BM Ì平面BDM ，所以1AC ^平面BDM ，又因为M 不与端点重合，故④错误．故答案为：②③16．4。