拟具非零元素链对角占优矩阵的若干性质

对角占优矩阵可逆的巧妙证明1.引言引言部分的概述部分可以写成以下内容：1.1 概述对角占优矩阵是一类常见的矩阵，在求解线性方程组和矩阵运算中具有重要的应用。

研究对角占优矩阵的可逆性，既是线性代数的基础内容，也是解决实际问题的关键。

本文旨在通过巧妙的证明方法，揭示对角占优矩阵可逆的条件，并探讨这种证明方法在实际应用中的意义。

通过深入研究对角占优矩阵的性质和可逆性条件，我们希望能够更好地理解矩阵的结构和特点，为解决实际问题提供更科学有效的方法。

本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。

在引言部分，我们将概述本文的研究目的和结构，为读者提供一个整体的思路。

接下来，在正文部分，我们将详细介绍对角占优矩阵的定义和可逆性条件，并给出巧妙的证明方法。

最后，在结论部分，我们将总结这个巧妙的证明方法的重要性，并讨论对角占优矩阵可逆性的实际应用以及未来的研究方向。

通过阅读本文，读者将能够深入了解对角占优矩阵的性质和可逆性，掌握一种巧妙的证明方法，并将其应用于解决实际问题。

同时，本文也可能会激发读者对矩阵理论的兴趣，促使他们对这一领域进行更深入的研究和探索。

1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：本文主要包含引言、正文和结论三个部分。

引言部分介绍了文章的概述，简要说明了对角占优矩阵可逆的巧妙证明，并明确了本文的目的。

正文部分主要包括两个小节：对角占优矩阵的定义和对角占优矩阵可逆的条件。

在对角占优矩阵的定义部分，将简要介绍对角占优矩阵的概念和性质，为后续证明做基础铺垫。

在对角占优矩阵可逆的条件部分，将详细阐述对角占优矩阵可逆的证明方法，通过一系列推导和运算，以巧妙的方式证明其可逆性。

结论部分主要对本文的内容进行总结，强调了对角占优矩阵可逆的证明方法的巧妙性，并提出了实际应用和进一步研究方向的建议。

通过本文的探讨，读者将更加深入地理解对角占优矩阵可逆的原理和证明方法，并可以在实际应用中进行相关的分析和运用。

整体上，本文结构清晰，内容有层次感，引言部分引领读者对文章内容有个整体的把握，正文部分详细介绍了对角占优矩阵的定义和可逆性条件，并给出了巧妙的证明方法，结论部分对已经讨论的内容进行了总结，并提出了进一步研究的方向。

非奇异H-矩阵的一组新判定方法∗王磊磊;薛媛;刘建州【摘要】Nonsingular H-matrix plays a significant role in the control theory, the scientific computation and the applications in engineering. However, it is difficult to specify a non-singular H-matrix in practice. In this paper, we partition the row index set by studying the elements of a matrix, and construct a positive diagonal matrix. Then, we apply some tech-niques in inequalities to obtain a new criterion for nonsingular H-matrices. We also obtain several similar results in the cases of irreducible matrices and matrices with non-zero elements chains. These consequences improve and generalize the related results, and the advantage of the proposed consequences are illustrated by several numerical examples.%非奇异H-矩阵在控制理论、科学计算和工程应用中具有重要的作用，但在实际中要判定一给定矩阵为非奇异H-矩阵是有难度的。

本文通过研究给定矩阵元素的性质，对矩阵元素的航标集进行分割，巧妙地构造正对角矩阵和运用不等式的放缩方法，给出了非奇异H-矩阵的一组新的实用性新判定方法。

一组判定非奇异H-矩阵的含参数充分条件肖丽霞;高会双;韩贵春【摘要】非奇异H-矩阵在很多应用方面发挥着重要作用.给出了一些判别非奇异H-矩阵的充分条件,推广和改进了已有的相关结果,并用数值算例说明结果的有效性.【期刊名称】《湖北工业大学学报》【年(卷),期】2015(030)001【总页数】3页(P118-120)【关键词】非奇异H-矩阵;α-对角占优矩阵;不可约;非零元素链【作者】肖丽霞;高会双;韩贵春【作者单位】内蒙古民族大学数学学院,通辽028000;内蒙古民族大学数学学院,通辽028000;内蒙古民族大学数学学院,通辽028000【正文语种】中文【中图分类】O151.21非奇异H-矩阵在计算数学、矩阵理论、控制论等领域发挥着重要作用。

例如，线性方程组Ax=b，若系数矩阵A是非奇异H-矩阵，许多经典的迭代法都具有收敛性。

但是，对非奇异H-矩阵的判别是非常困难的，本文在文献[1]的基础上，利用α-对角占优矩阵的性质，得到一组判定非奇异H-矩阵的新条件。

用Cn×n表示n×n阶复(实)矩阵的集合。

设A=(ai j)∈Cn×n，α∈[0,1]，N={1,2,…,n}。

记k∈N1,其中, 若N1={k}或N1=，令；同理若N2={j}或N2=，令定义1 设A=(aij)∈Cn×n，若则称A为对角占优矩阵，记为A∈D0；若每个不等号都是严格的，则称A为严格对角占优矩阵，记为A∈D；如果存在正对角矩阵X，使得AX∈D，则称A为广义严格对角占优矩阵，记为A∈D*。

定义2 设A=(aij)∈Cn×n，α∈[0,1]，若则称A为α-对角占优矩阵，记为A∈D0(α)；若每个不等号都是严格的，则称A为严格α-对角占优矩阵，记为A∈D(α)；如果存在正对角矩阵X，使得AX∈D(α)，则称A为广义严格α-对角占优矩阵，记为A∈D*(α)。

引理1[2] 设A=(aij)∈Cn×n，若A∈D(α)，α∈[0,1]，则A∈D*。

一类非奇异 H-矩阵的迭代判定准则张俊丽;韩贵春【摘要】非奇异 H-矩阵是一类有着广泛应用的重要矩阵，但在实用中其判定十分困难。

本文根据α-对角占优矩阵与非奇异 H-矩阵的关系，给出了一类非奇异 H-矩阵的迭代判定准则，对已有的相关结果进行了推广和改进，并用数值算例证实了该判定准则的有效性。

【期刊名称】《河南科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(000)001【总页数】4页(P88-91)【关键词】非奇异 H-矩阵;α-对角占优矩阵;不可约;非零元素链【作者】张俊丽;韩贵春【作者单位】内蒙古民族大学数学学院，内蒙古通辽 028043;内蒙古民族大学数学学院，内蒙古通辽 028043【正文语种】中文【中图分类】O152非奇异H-矩阵在工程与科学计算的众多领域有着重要应用,但是其判定却比较困难。

近年来很多学者对其作了深入的研究,给出了一些重要结果。

文献[1-6]利用矩阵元素的特点给出了H-矩阵的简捷数据，文献[7-8]给出了H-矩阵的迭代判定方法。

本文在文献[2-5，7-11]的基础上，给出一类非奇异H-矩阵的新迭代判定准则,推广了文献[7]的结果。

为了叙述方便,本文引入下列符号:用Cn×n表示n×n阶复矩阵的集合。

记定义1[9] 设A=(aij)∈Cn×n,若≥(>)Ri(A)(i∈N),称A为对角占优矩阵(严格对角占优矩阵),记作A∈D0(A∈D);若每个不等式都是严格的,称A为严格对角占优矩阵,记作A∈D;如果存在对角阵X使得AX∈D,称A为广义严格对角占优矩阵,又称非奇异H-矩阵,记作。

定义2[3] A=(aij)∈Cn×n,如果存在α∈(0,1],使得对∀i∈N,有定义3[4] 设A=(aij)∈Cn×n,若A∈D0(α),不可约,且至少有一个严格不等式成立,则称A为不可约α-对角占优矩阵;若A∈D0(α),且对满足等式成立的下标i均存在非零元素链成立,则称A为非零元素链α-对角占优矩阵。

非奇异H矩阵的几个迭代判定条件李真好;莫宏敏【摘要】非奇异H矩阵是一类应用较为广泛的特殊矩阵.根据非奇异H矩阵的性质,选取递进元素,构造正对角因子,得出非奇异H矩阵的几个新的判定条件,改进并推广相关文献的结果,并用数值例子说明该判定的优越性.【期刊名称】《凯里学院学报》【年(卷),期】2018(036)006【总页数】4页(P18-21)【关键词】非奇异H矩阵;α-链对角占优矩阵;不可约;非零元素链【作者】李真好;莫宏敏【作者单位】吉首大学,湖南吉首416000;吉首大学,湖南吉首416000【正文语种】中文0 引言非奇异H矩阵是一类应用较为广泛的特殊矩阵，比如在计算数学、经济数学、控制论等多领域都有着研究价值和实用价值.如何给出非奇异H矩阵简捷判定，一直是人们研究热门的话题，国内外许多学者已经给出了大量的研究成果[1 - 8].本文给出了非奇异H矩阵的一类新的迭代判定，改进并推广文献[1]的主要结果，并用数值例子说明该判定的优越性.用Cn×n(Rn×n)表示n阶复(实)矩阵的集合.设A=(aij)∈Cn×n,N={1,2,…,n}.记定义1[2] 设A=(aij)∈Cn×n,若|aii|≥Ri(A)(i∈N),则称A为对角占优矩阵，记为A∈D0;若|aii|>Ri(A)(i∈N),则称A为严格对角占优矩阵，记为A∈D;如果存在正对角矩阵X,使得AX∈D,则称A为广义严格对角占优矩阵(也称为非奇异H矩阵)，记为定义2 [1] 设A=(aij)∈Cn×n,α∈(0,1]:1)如果则称A为严格α-对角占优矩阵，记A∈D(α)；2)若A为不可约矩阵，如果且至少有一个i∈N使得不等式严格成立，则称A为不可约α-对角占优矩阵；3)使得且至少有一个不等式严格成立，以及对于每一个等式的下标i存在一个非零元素链aij1 aj1 j 2 …ajk-1 jk 满足则称A为具有非零元素链α-对角占优矩阵. 引理1[2] 设A=(aij)∈Cn×n,若存在正对角矩阵X,使得AX∈D,则对于矩阵A=(aij)∈Cn×n,又记显然有Ni∩Nj=∅,(i≠j.i,j=1,2,3),N1∪N2∪N3=N.若N1∪N2=∅,则A∈D(α),若N3=∅,则A∉故本文总假设N1∪N2≠∅,且N3≠∅.1 主要结果设A=(aij)∈Cn×n,α∈(0,1],记δk+1,i=(i∈N3,k∈Z+={0,1,2,…}).显然有δk+1,i≤rk+1≤rk,∀k∈Z+,i∈N3.定理1 设A=(aij)∈Cn×n,α∈(0,1].若使得则证根据N1,N2,N3定义，显然有构造正对角矩阵X=diag(d1,d2,…,dn),其中因为ε≠+∞,故di≠+∞,存在充分小的ε使得0<δk+1,i+ε<1,记B=(bij)=AX.i) 对任意的i∈N1,且I(A)=∅，有即ii) 对任意的i∈N2,有即iii) 对任意的i∈N3,因为δk+1,t≤rk+1≤rk,∀k∈z+,t∈N3,有对ε>0，就有ε>于是有综上所述，从而B∈D,由引理1可得,证毕.定理2 设A=(aij)∈Cn×n且不可约，α∈(0,1]若I(A)={i∈N1:Ri(A)=∅使且至少有一个严格不等式成立，则证根据定义，显然有构造正对角矩阵X=diag(d1,d2,…,dn),其中记B=(bij)=AX,bij=djaij(i,j∈N),下证B∈D即可.i) 对任意i∈N1,且I(A)=∅有即ii) 对任意i∈N2,有即iii) 对任意i∈N3,根据δk+1,i定义，有0<δk+1,t≤rk+1≤rk,t∈N3,k∈Z+,得到则有综上所述，且至少有一个严格不等式成立,B∈D,由引理1可得,证毕.定理3 设A=(aij)∈Cn×n,α∈0,1.若∅,使得|aii |≥K≡{ i∈N2 :|aii | >∅,且i∈N-K,存在非零元素链aij1aj1j2…ajk-1jk≠0,其中i≠j1,j1≠j2,…,jk-1≠jk,jk∈K,则2 数值例子设则N1={1},N2={2},N3={1,2,3},取有通过验证，显然A满足定理1中k=0的条件，因此但故A无法用文献[1]的定理1来判定.参考文献：【相关文献】[1] 张威.非奇异H - 矩阵的判定[J].北华大学学报(自然科学版),2014,15(3):302 - 307.[2] 周伟伟,徐仲,陆全，等.非奇H - 矩阵细分迭代判定准则[J].数值计算与计算机应用,2011,32(4):293 - 298.[3] 山瑞平,陆全,徐仲,等.非奇异H矩阵的一组细分迭代判定条件[J].工程数学学报,2014,31(6):857 - 864.[4] 黄泽军,刘建州.非奇异H矩阵的一类新迭代判别法[J].工程数学学报,2008,25(5):939 - 942.[5] BERMAN A, PLEMMONS R J. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences.Academic[M].New York:Springer Ver,1979.[6] 黄廷祝.非奇异H矩阵的简捷判据[J].计算数学,1993,15(3):318 - 328.[7] 张俊丽,韩贵春.一类非奇异H - 矩阵的迭代判定准则[J].河南科技大学学报(自然科学版),2016,37(1):88 - 91.[8] 王峰.非奇异H - 矩阵判定的迭代准则[J].安徽大学学报(自然科学版),2012,36(6):16 - 20.。

拟具非零元素链对角占优矩阵的若干性质
张丽镯;宋岱才
【期刊名称】《辽宁石油化工大学学报》
【年(卷),期】2007(027)001
【摘要】在假设A∈Rn×n是一个L-矩阵,且A不是对角矩阵的前提下,给出了矩阵A为拟具非零元素链对角占优矩阵时的若干性质,并举例说明了具非零元素链对角占优矩阵所具有的个别性质对拟具非零元素链对角占优矩阵已经不再成立.【总页数】4页(P93-96)
【作者】张丽镯;宋岱才
【作者单位】辽宁石油化工大学理学院,辽宁抚顺,113001;辽宁石油化工大学理学院,辽宁抚顺,113001
【正文语种】中文
【中图分类】O241.6
【相关文献】
1.具非零元素链的局部(α,β)-对角占优矩阵 [J], 李阳
2.具非零元素链的局部(α,β,γ)-对角占优矩阵 [J], 李阳;田秋菊
3.关于拟具非零元素链对角占优矩阵 [J], 杨志明
4.关于拟具非零元素链对角占优矩阵 [J], 杨志明;尤传华
5.具有非零元素链的α-几何平均对角占优矩阵 [J], 田素霞
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严格对角占优矩阵定义矩阵是数学中的一种重要工具，被广泛应用于各个领域，如物理、工程、计算机科学等。

其中，严格对角占优矩阵是一种非常特殊的矩阵，具有很多重要的性质和应用。

本文将介绍严格对角占优矩阵的定义、性质和应用，并提供一些实例来帮助读者更好地理解和应用这种矩阵。

一、严格对角占优矩阵的定义严格对角占优矩阵是指矩阵的对角线元素绝对值大于非对角线元素绝对值之和的矩阵。

具体来说，设矩阵A的大小为n×n，即A=[aij]n×n，其中i和j分别表示行和列的下标，那么A是严格对角占优的，当且仅当：|aii| > ∑|aij| (j≠i)其中，∑|aij|表示对于每个i，将aij的绝对值相加得到的总和。

如果A是对角占优矩阵，即|aii| ≥∑|aij| (j≠i)，则A不是严格对角占优矩阵。

二、严格对角占优矩阵的性质严格对角占优矩阵具有很多重要的性质，这些性质使得它在数学和应用中都有着广泛的应用。

下面我们将介绍一些重要的性质。

1.严格对角占优矩阵的逆矩阵存在且唯一。

如果A是严格对角占优矩阵，那么它的逆矩阵A-1也存在且唯一。

证明如下：由于A是严格对角占优矩阵，所以|aii| > ∑|aij| (j≠i)，即：|aii| > |ai1| + |ai2| + ... + |ai(i-1)| + |ai(i+1)| + ... + |ain|将上式移项并除以|aii|，得到：1 > |ai1|/|aii| + |ai2|/|aii| + ... + |ai(i-1)|/|aii| + |ai(i+1)|/|aii| + ... + |ain|/|aii|因为|aij|/|aii| < 1，所以|ai1|/|aii| + |ai2|/|aii| + ... + |ai(i-1)|/|aii| +|ai(i+1)|/|aii| + ... + |ain|/|aii| < n-1因此，1/(n-1) < 1/|aii|，即|aii| < n-1。