2008届高三数学随堂测试(8)圆锥曲线

29江苏省徐州市08届高考数学二轮复习圆锥曲线测试题一、填空题(共14小题，每题5分，计70分) 1.称焦距与短轴长相等的椭圆为"黄金椭圆”，则黄金椭圆的离心率为 __________ .y = . 2x ，其离心率是的距离为24. 抛物线y= 4x 的焦点坐标为X 2 25. 已知△ ABC 的顶点B C 在椭圆 + y = 1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另3外一个焦点在 BC 边上，则△ ABC 的周长是 _______________x 2 y 26. 椭圆 += 1的焦点F 1、F 2, P 为椭圆上的一点，已知PF 1 A PF 2，则△ F 1PF 2的 25 9面积为 ______________ (3, 1)，F 是抛物线的焦点，点 P 是抛物线上一点,2. 中心在原点，焦点在坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为 2 23. 已知双曲线—--=1的焦点为6 3F 、F 2，点M 在双曲线上且 MF i Ax 轴，则F i 到直线F 2M7.已知抛物线y 2 = 4x ，一定点A |AP|+|PF|的最小值_______________ 。

&正四棱锥的侧棱长和底面边长都是 9.以下同个关于圆锥曲线的命题中①设 则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆1，则侧棱和底面所成的角为 _A 、B 为两个定点，k 为非零常数，|PAC 上一定点 A 作圆的动点弦卜 | PB |= k ， AB, O 为坐标原点，若1 2OP= (OA+OB),则动点P 的轨迹为椭圆；③方程 2x 2- 5x +22= 0的两根可分别作为22 2椭圆和双曲线的离心率；④双曲线 ——y = 1与椭圆 —+ y 225 9 35。

(写出所有真命题的序号)1有相同的焦点•其中真命题的序号为 ____ __2 210 .方程一xy1表示椭圆的充要条件是9—k k -12x 11.在区间［1,5］和［2,4］分别各取一个数，记为 m 和n ,则方程二m 2■ 丫2 = 1表示焦点在xn 轴上的椭圆的概率是 _________________ .12.嫦娥一号奔月前第一次变轨后运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆，测得近地点 A 距离地面m(km)，远地点B 距离地面n(km)，地球半径为 R(km)，关于这个椭圆有以下四 种说法：①焦距长为 n - m ；②短半轴长为；(m ' R)(n ' R):③离心率e = 其中正确的序号为2 213.以椭圆x -1内的点 16 4M (1,1)为中点的弦所在直线方程为14.设F 1, F 2分别是双曲线x2y1的左、右焦点.若点P 在双曲线上，且PF 1 PF 2 =0 ,高三数学圆锥曲线测试题答题纸班级姓名分数一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分.）1、2、34、5、67、8、910、11、1213、14、二、解答题（6大题共90分，要求有必要的文字说明和步骤）2 215.点A、B分别是椭圆— - 1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭36 20圆上，且位于x轴上方，PA_PF •求点P的坐标；16. (1)已知椭圆C的焦点F i (- 2^2, 0)和F2 ( 2^2, 0),长轴长6,设直线y = x + 2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。

随堂步步高·高三数学·单元测试卷(八)第八单元 圆锥曲线(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e 为A ．2B ．3C ．43D ．532．已知双曲线的两个焦点是椭圆16410022=+y x 的两个顶点，双曲线的两条准线经过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是A ．1306022=-y x B ．1405022=-y x C ．1406022=-y x D ．1305022=-y x 3．已知P 是椭圆116922=+y x 上的一点，则P 到一条准线的距离与P 到相应焦点的距离之比为A ．45B ．54C ．74D ．474．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点横坐标为A ．10B ．9C ．8D ．65．已知动点P （x ，y ）满足|1243|)2()1(522++=-+-y x y x ，则P 点的轨迹是A ．两条相交直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆6．过抛物线y 2＝ － x 的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且A 、B 在直线x ＝14上的射影分别M ，N ，则∠MFN 等于A ．45°B ．60°C ．90°D ．以上都不对 7．直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同两点，则k 的取值范围是 A ．(－153，153) B ．(0，153) C ．(－153，0) D ．(－153，－1) 8．已知直线l 交椭圆4x 2＋5y 2＝80于M 、N 两点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线l 的方程是A ．5x ＋6y －28＝0B ．5x －6y －28＝0C ．6x ＋5y －28＝0D ．6x －5y －28＝09．若动点P （x ，y ）与两定点M （－a ，0），N （a ，0）连线的斜率之积为常数k （ka ≠0），则P 点的轨迹一定不可能是A ．除M 、N 两点外的圆B ．除M 、N 两点外的椭圆C ．除M 、N 两点外的双曲线D ．除M 、N 两点外的抛物线10．点（x ，y ）在曲线)0(sin cos 2πθθθθ≤≤⎩⎨⎧=+-=，y x 为参数上，则 yx 的取值范围是A ．[－33，33] B ．[－33，0) C ．[－33，0] D ．(－∞，33]二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上．11．双曲线)0,0(1)2(2222>>=--b a by a x 的一条准线被它的两条渐近线截得线段的长度等于它的一个焦点到一条渐近线的距离，则双曲线的两条渐近线的夹角为 ．12．双曲线 的两个焦点F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x轴的距离为 ．13．已知F 1、F 2是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率e 的取值范围是 ．14．椭圆C 1：)0(12222>>=+b a by a x 在第一象限部分的一点P ，以P 点横坐标作为长轴长，纵坐标作为短轴长作椭圆C 2，如果C 2的离心率等于C 1的离心率，则P 点坐标为 ．15．设P 是双曲线y 2＝4(x －1)上的一个动点，则点P 到点（0，1）的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值是 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16．（本小题满分12分）过双曲线116922=-y x 的右焦点F 作倾斜角为π4的直线交双曲线于A 、B 两点，求线段AB 的中点C 到焦点F 的距离．17．（本小题满分12分）已知双曲线x2－3y2＝3的右焦点为F，右准线为l，以F为左焦点，以l为左准线的椭圆C的中心为A，又A点关于直线y＝2x的对称点A’恰好在双曲线的左准线上，求椭圆的方程．18．（本小题满分14分）如图所示，在直角梯形ABCD中，|AD|＝3，|AB|＝4，|BC|＝ 3 ，曲线段DE上任一点到A、B两点的距离之和都相等．（1）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE的方程；（2）过C能否作一条直线与曲线段DE相交，且所得弦以C为中点，如果能，求该弦所在的直线的方程；若不能，说明理由．19．（本小题满分14分）已知H （－3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足.23,0PM PM -==⋅ ⑴当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；⑵过点T (－1，0)作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E (x 0，0)，使得△ABE 是等边三角形，求x 0的值． 20．（本小题满分14分）如图，椭圆12222=+by a x 上的点M 与椭圆右焦点F 1的连线MF 1与x 轴垂直，且OM （O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB 平行．（1）求椭圆的离心率；（2）F 2是椭圆的左焦点，C 是椭圆上的任一点，证明：∠F 1CF 2≤ π2；（3）过F 1且与AB 垂直的直线交椭圆于P 、Q ，若△PF 2Q 的面积是20 3 ，求此时椭圆的方程．21．（本小题满分14分）设x ，y ∈R ，i ，j 为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝xi ＋(y ＋2)j ，b ＝xi ＋(y －2)j ，且|a |＋|b |＝8． （1）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程；（2）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设,+=是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由．。

2008年高考数学试题汇编：圆锥曲线一填空题：1、已知点P 为抛物线24y x =上一点，记点P 到y 轴距离1d ,点P 到直线:34120l x y -+=的距离2d ，则1d ＋2d 的最小值为 2 。

2、给出问题：已知F 1、F 2是双曲线2211620x y -=的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离。

某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||＝8,即|9－|PF 2||＝8,解得|PF 2|＝1或17.该学生的解答是否正确？请将理由填在横线上 。

该学生的解答不正确，正确答案为2PF ＝17，因为12FF ＝12，1PF ＝9，所以2PF ＝17，若2PF ＝1，与三角形两边之差小于第三边矛盾。

3、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=6|PF 2|，则此双曲线的离心率的最大值为________.754、湖南省长沙云帆实验学校理科限时训练若椭圆+22a x )0(122>>=b a by 的左、右焦点分别为1F 、2F ，线段12F F 被抛物线bx y 22=的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为根据题意，得2223()5()22bb c c a b c⎧+=-⎪⎨⎪=+⎩，解得c e a == 5.湖南省长沙云帆实验学校理科限时训练 动点P 在抛物线y =x 2+1上运动,则动点P 和两定点A (－1,0)、B (0,－1)所成的△P AB 的重心的轨迹方程是_______.解析: 设重心(x ,y ),此时P (x 0,y 0),则⎩⎨⎧=++-=++-,301,30100y y x x ⎩⎨⎧+=+=.13,1300y y x x P 在抛物线上,3y +1=(3x +1)2+1.整理得y =3x 2+2x +31.pxM6. 江苏省滨海县08届高三第三次联考数学试卷2008-1-4椭圆22221x y a b+=上任意一点到两焦点的距离分别为1d 、2d ，焦距为2c ，若1d 、2c 、2d 成等差数列，则椭圆的离心率为 127. 已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点.若e PF PF =21,则e 的值.8. 如图所示,已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点恰好是椭圆12222=+b y a x 的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ， 则该椭圆的离心率为 12-=e 9.抛物线2x y =的焦点坐标为 ．)41,0(10.椭圆92522y x +=1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 的最大值为 ．25 11.若曲线的参数方程为θθθθ()sin 1(21|2sin 2cos |⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x 为参数，πθ≤≤0），则该曲线的普通方程为 ．)12121(22≤≤≤≤=y x y x ，, 12. 如图：过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 依次交抛 物线及其准线与点,,A B C ，若||2||BC BF =，且||3AF =， 则抛物线的方程是 23y x = 13. 如图，在平面斜坐标中045=∠xoy ，斜坐标定义为0102OP x e y e =+（其中21,e e 分别为斜坐标系的x 轴,y 轴的单位向量），则点P 的坐标为),(00y x 。

2008年高考数学第七章（直线和圆的方程）第八章（圆锥曲线方程）试题集锦2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I) 3.原点到直线052=-+y x 的距离为 A.1 B.3 C. 2 D.56.设变量y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥222x y x x y ，则y x z 3-=的最小值A.-2B. -4C. -6D. -87设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=aA. 1B.21 C. -21 D.-115.已知F 是抛物线C:x y 42=的焦点，A 、B 是C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则ABF ∆的面积等于22. （本大题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，)1,0(),0,2(B A 是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点 Ⅰ若DF 6ED =，求k 的值Ⅱ求四边形AEBF 面积的最大值。

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国Ⅱ) （5）同文科第6题 （9）设1>a ，则双曲线1)1(2222=++a yax 的离心率e 的取值范围是A ．)2,2( B. )5,2( C. )5,2( D. )5,2(（11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为02=-+y x 和047=--y x ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为A ．3 B. 2 C. 31- D. 21-(14)设曲线axey =在点（0，1）处的切线与直线012=++y x 垂直，则a= .(15)已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点.设FB FA >.则FA 与FB 的比值等于 .(21) 同文科第22题2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修1+选修Ⅰ) (4)曲线y =x 3－2x +4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 (A)30° (B)45° (C)60° (D)12°(10)若直线by a x +＝1与图122=+y x 有公共点，则(A)122≤+b a(B) 122≥+b a (C)11122≤+ba(D)11122≥+ba（13）若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 .（14）已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 （15）在△ABC 中，∠A ＝90°，tan B ＝34.若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝ .（22）（本小题满分12分） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知O A AB O B 、、成等差数列，且BF与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设A B 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ） 7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12-D ．2-10．若直线1x y a b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ）A ．221a b +≤ B ．221a b +≥C ．22111ab+≤D ．22111ab+≥13．同文科第13题14．同文科第14题15．在A B C △中，A B B C =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 21．同文科第22题2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川）数 学（文史类） 6、同理科第4题 11、已知双曲线22:1916x y C-=的左右焦点分别为F 1、F 2 ，P 为C 的右支上一点，且||||212P F F F =，则△PF 1F 2 的面积等于（C ） （A ）24 （B ）36 （C ）48 （D ）96 14、同理科第14题 22．（本小题满分14分） 设椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点分别是F 1和F 2 ，离心率e=，点F 2到右准线l的距离为(Ⅰ)求a b 、的值；(Ⅱ)设M 、N 是右准线l 上两动点，满足0.12F M F M ∙=证明：当.M N 取最小值时，02122F F F M F N ++=. 解：（1）因为c e a=,F 2到l 的距离2ad c c=-,所以由题设得22c a a c c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得,2.c a ==由2222,b a c b =-==得(Ⅱ)由c =,a =2得12(0),0).F F l的方程为x =.故可设12),).M y N y 由120F M F M ∙=知12)0,y y -=得y 1y 2=-6,所以y 1y 2≠0,216y y =-,12112166||||||||||M N y y y y y y =-=+=+≥当且仅当1y =y 2=-y 1,所以，212212(0)))F F F M F N y y ++=-++=（0，y 1+y 2）2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学说明：2008年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市州40县延考，本卷为非延考卷． 一、选择题：（5'1260'⨯=）4．直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位后所得的直线为（ ）A ．1133y x =-+ B ．113yx =-+C ．33y x =-D ．113yx =+解析：本题有新意，审题是关键．旋转90︒则与原直线垂直，故旋转后斜率为13-．再右移1得1(1)3y x =--．选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．12．设抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴相交于点K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ∆的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32解析：解几常规题压轴，不怕．边读题边画图．28y x =的焦点(2,0)F ，准线2x =-，(2,0)K -．设(,)A x y ，由A K =，即2222(2)2[(2)]x y x y++=-+．化简得：22124y x x =-+-，与28y x =联立求解，解得：2x =，4y =±．1144822AFKA S FK y ∆=⋅⋅=⋅⋅=，选B ．本题的难度仅体现在对运算的准确性和快捷性上．14．已知直线:60l x y -+=，圆22:(1)(1)2C x y -+-=，则圆C 上各点到直线l 的距离的最小值(1,1)到直线60x y -+=的距离d =21．（本小题满分12分）设椭圆22221x y ab+= (0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率2e =，右准线为l ，M 、N 是l 上的两个动点，120F M F N =．（Ⅰ）若12||||F M F N ==a 、b 的值；（Ⅱ）证明：当||M N取最小值时，12F M F N + 与12F F 共线．解析： （Ⅰ）由已知， 1(,0)F c -，2(,0)F c ．由2e =2212ca=，∴222a c =． 又222a b c =+，∴22b c =，222a b =． ∴l ：2222ac x c cc===，1(2,)M c y ，2(2,)N c y ．延长2N F 交1M F 于P ，记右准线l 交x 轴于Q ． ∵120F M F N ⋅=，∴12F M F N ⊥．12F M F N ⊥ 由平几知识易证1Rt M Q F ∆≌2Rt F Q N ∆ ∴13QN F Q c ==，2QM F Q c==即1y c =，23y c =．∵12F M F N ==∴22920c c +=，22=，22b =，24a =． ∴2a =，b =（Ⅰ）另解：∵120F M F N ⋅=，∴12(3,)(,)0c y c y ⋅=，21230y y c =-<．又12F M F N ==联立212221222392020y y c c y c y ⎧=-⎪+=⎨⎪+=⎩，消去1y 、2y 得：222(209)(20)9c c c--=，整理得：4292094000c c -+=， 22(2)(9200)0c c --=．解得22c =． 但解此方程组要考倒不少人．（Ⅱ）∵1212(3,)(,)0F M F N c y c y ⋅=⋅=， ∴21230y y c =-<．22221212122121212222412M Ny y y y y y y y y y y y c=-=+-≥--=-= 　．当且仅当12y y =-=或21y y =-=时，取等号．此时MN取最小值．此时1212(3,)(,)(4,0)2F M F N c c c F F +=+==． ∴12F M F N + 与12F F共线．（Ⅱ）另解：∵120F M F N ⋅=，∴12(3,)(,)0c y c y ⋅=，2123y y c=-．设1M F ，2N F 的斜率分别为k ，1k-．由1()32y k x c y kc x c=+⎧⇒=⎨=⎩，由21()2y x c c y k kx c ⎧=--⎪⇒=-⎨⎪=⎩1213M N y y c k k=-=⋅+≥ ．当且仅当13kk=即213k =，3k=±即当M N最小时，3k=此时1212(3,3)(,(3,)(,)(4,0)2c F M F N c kc c kc c c F F +=+-=+== ∴12F MF N+与12F F共线．点评：本题第一问又用到了平面几何．看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊．注意平面几何可与三角向量解几沾边，应加强对含平面几何背景的试题的研究．本题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点．2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷（文史类） (3)曲线C :cos 1.sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)的普通方程为 (A)(x -1)2+(y +1)2=1 (B) (x +1)2+(y +1)2=1 (C) (x -1)2+(y -1)2=1(D) (x -1)2+(y -1)2=1(8)若双曲线2221613xy p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上，则p 的值为(A)2 (B)3 (C)4（15）已知圆C ： 22230x y x ay +++-=（a 为实数）上任意一点关于直线l ：x -y +2=0 的对称点都在圆C 上，则a = .（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 如题（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足：2.PM PN -=（Ⅰ）求点P 的轨迹方程;（Ⅱ）设d 为点P 到直线l ： 12x =的距离，若22PM PN=,求PMd的值. 解：（I ）由双曲线的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长2a=2的双曲线. 因此半焦距c =2，实半轴a =1，从而虚半轴b所以双曲线的方程为x2-23y=1.(II)解法一：由（I ）由双曲线的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长2a=2的双曲线.因此半焦距e=2，实半轴a=1，从而虚半轴R 所以双曲线的方程为x 2-23y=1.(II)解法二：由（I ）及答（21）图，易知|PN|≥1,因|PM|=2|PN|2, ① 知|PM|>|PN|,故P 为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2. ②将②代入①，得2||PN|2-|PN|-2=0，解得44舍去,所以|PN|=14+.因为双曲线的离心率e=c a=2,直线l:x =12是双曲线的右准线，故||P N d=e=2,所以d=12|PN |,因此 2||2||4||4||1||||PM PM PN PN dPN PN ====+(II)解法三：设P （x,y ），因|PN |≥1知|PM |=2|PN |2≥2|PN|>|PN |,故P 在双曲线右支上，所以x ≥1. 由双曲线方程有y 2=3x 2-3. 因此||PN ===从而由|PM |=2|PN |得2x+1=2(4x 2-4x +1)，即8x 2-10x+1=0.所以x 8(舍去x 8有4d=x-12=18+.故||14P M d=-=+2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷（理工农医类） (3)圆O 1:x 2+y 2-2x =0和圆O 2:x 2+y 2-4y =0的位置关系是(A)相离 (B)相交(C)外切 (D)内切(8)已知双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e ,则双曲线方程为 （A ）22x a－224ya=1 (B)222215x yaa -=(C)222214x yb b -= (D)222215xyb b-= （15）直线l 与圆x 2+y 2+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为（0，1），则直线l 的方程为 . （21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=（Ⅰ）求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）若2·1cos P M P N M P N-＝,求点P 的坐标.解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴b ==所以椭圆的方程为221.95xy+=(Ⅱ)由2,1cos P M P N M P N=- 得cos 2.PM PN M PN PM PN =- ①因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形.在△PMN中，4,M N =由余弦定理有2222cos .M NPMPNPM PN M PN =+- ②将①代入②，得 22242(2).PMPNPM PN =+--故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2213xy -=上.由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22195xy+=，所以由方程组22225945,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得22x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩即P 点坐标为22222222-、-、（-或（-.2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）2．设变量x y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x 则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．设椭圆22221(00)x y m n mn+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ） A ．2211216xy+= B ．2211612xy+= C ．2214864xy+= D ．2216448xy+=15．已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ． 22．（本小题满分14分）同理科第21题2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类） （2）同文科第2题 （5）设椭圆()1112222>=-+m m ym x上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为(A) 6 (B) 2 (C)21 (D)772（13）已知圆C 的圆心与抛物线x y 42=的焦点关于直线x y =对称.直线0234=--y x 与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ,则圆C 的方程为 . （21）（本小题满分14分）已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(30)F -，，一条渐近线的方程是20y -=．（Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）若以(0)k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M N ，，且线段M N的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k 的取值范围．[本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．]（Ⅰ）解：设双曲线C 的方程为22221x y ab-=（0,0a b >>）．由题设得2292a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2245a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为22145x y -=． （Ⅱ）解：设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．点11(,)M x y ，22(,)N x y 的坐标满足方程组22145y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩将①式代入②式，得22()145xkx m +-=，整理得222(54)84200k x km x m ----=．此方程有两个一等实根，于是2504k -≠，且222(8)4(54)(420)0k m k m ∆=-+-+>．整理得22540m k+->． ③ 由根与系数的关系可知线段M N 的中点坐标00(,)x y 满足12024254x x km x k+==-，002554m y kx m k=+=-．从而线段M N 的垂直平分线方程为22514()5454mkm y x kkk-=----． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29(,0)54kmk-，29(0,54mk-．由题设可得2219981||||254542kmmk k ⋅=--．整理得222(54)||k m k -=，0k ≠．将上式代入③式得222(54)540||k k k -+->，整理得22(45)(4||5)0k k k --->，0k ≠．解得0||2k <<或5||4k >．所以k的取值范围是55,)(0)(0,(,)4224(∞-+--∞ ． 2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（文科）（11）若A 为不等式组 002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x+y =a 扫过A 中的那部分区域的面积为 （A ）34(B)1 (C)74(D)2（14）已知双曲线2212xyn n--=1n =（22）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)xyC a b a b+=＞＞，其相应于焦点F (2，0)的准线方程为x =4.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点F 1(-2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A ，B 两点.求证：22cos AB =-θ；（Ⅲ）过点F 1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于点A 、B 和D 、E ，求A B D E +的最小值.2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）（8）．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．[B ．(C ．[33-D ．(33-（15）．同文科第11题，理科中为填空题 （22）．（本小题满分13分）设椭圆2222:1(0)xyC a b a b+=>>过点M ，且焦点为1(0)F（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段A B 上取点Q ，满足AP Q B AQ PB =，证明：点Q 总在某定直线上2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷） （3）“双曲线的方程为116922=-yx”是“双曲线的准线方程为x =59±”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）即不充分也不必要条件x -y +1≥0,（6）若实数x ，y 满足 x +y ≥0, 则z =x +2y 的最小值是x ≤0, (A)0 (B) 21(C) 1 (D)2（19）（本小题共14分）已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆2234x y +=上，C 在直线l :y =x +2上，且AB ∥l . （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积；（Ⅱ）当∠ABC =90°，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程. 解：（Ⅰ）因为AB ∥l ，且AB 边通过点（0，0），所以AB 所在直线的方程为y =x .设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由2234,x y y x ⎧+=⎨=⎩得1,x =±所以12AB x =-=又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离，所以1 2.2A B C h S A B h ===（Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y =x +m . 由2234,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246340.x mx m ++-=因为A ，B 在椭圆上，所以212640.m ∆=-+＞设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1），（x 2,y 2）.则21212334,,24m m x x x x -+=-=所以122AB x =-=又因为BC 的长等于点（0,m ）到直线l 的距离，即BC =所以22222210(1)11.ACABBCm m m =+=--+=-++所以当m =-1时，AC 边最长.（这时12640=-+ ＞） 此时AB 所在直线的方程为y =x -1.2008年普通高等学校校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷） （4）若点P 到直线x =－1的距离比它到点（2，0）的大1，则点P 的轨迹为 （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线x -y +1≥0,（5）若实数x ,y 满足 x +y ≥0, 则z =3x +y的最小值是x ≤0,(A)0 (B)1 (C)3 (D)9（7）过直线y =x 上的一点作圆（x -5）2=2的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y =x 对称时，综们之间的夹角为 （A ）30° （B ）45° (C)60° (D)90° （19）（本小题共14分）已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆x 2+3y 2=4上，对角线BD 所在直线的斜率为l. （Ⅰ）当直线BD 过点（0，1）时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当∠ABC =60°，求菱形ABCD 面积的最大值. 解： （Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为y =x +1. 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD .于是可设直线AC 的方程为y =-x +n .由2234,x y y x n⎧+=⎨=-+⎩得2246340.x nx n -+-= 因为A ，C 在椭圆上，所以△＝-12n 2+64＞0，解得33n -＜设A ，C 两点坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2), 则212121122334,,,.24n n x x x x y x n y x n -+===-+=-+所以12.2n y y +=所以AC 的中点坐标为3.44n n⎛⎫⎪⎝⎭由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫⎪⎝⎭在直线y =x +1上， 所以3144n n =+，解得n =-2.所以直线AC 的方程为2y x =--，即x +y +2=0.（Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60A B C ∠=︒,所以.AB BC CA ==所以菱形ABCD的面积2.S =由（Ⅰ）可得22221212316()().2n AC x x y y -+=-+-=所以2316)(433S n n =-+-＜所以当n =0时，菱形ABCD的面积取得最大值2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（福建）数 学（文史类） (10)若实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩则y x 的取值范围是（D ）A.（0，2）B.（0，2）C.(2,+∞)D.[2，+∞)（12）双曲线22221xya b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PE 2|，则双曲线离心率的取值范围为（B ）A.（1，3）B.（1，3）C.（3，+∞）D. [3，+∞] （14）若直线3x+4y +m =0与圆x 2+y 2-2x +4y +4=0没有公共点，则实数m 的取值范围是 .(22)（本小题满分14分） 如图，椭圆2222:1xyC a b+=（a ＞b ＞0）的一个焦点为F (1,0)，且过点（2，0）. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l :x =4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M . (ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值.(本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力，满分14分) 解法一：（Ⅰ）由题设a =2,c =1,从而b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆C 前方程为13422=+yx.(Ⅱ)(i)由题意得F (1,0),N (4,0).设A (m,n ),则B (m ,-n )(n ≠0),3422nm+=1. ……①AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0，n (x -4)-(m -4)y =0.设M (x 0,y 0),则有 n (x 0-1)-(m -1)y 0=0, ……②n (x 0-4)+(m -4)y 0=0, ……③由②，③得x 0=523,52850-=--m ny m m .所以点M 恒在椭圆G 上. (ⅱ)设AM 的方程为x =xy +1,代入3422yx+＝1得（3t 2+4）y 2+6ty -9=0.1)52(4936)85()52(412)85()52(3)52(4)85()52(3)52(4)85(34222222222222222020=--+-=-+-=-+--=-+--=+m mm m nm m nm m m nm m y x 由于设A (x 1,y 1),M （x 2，y 2），则有：y 1+y 2=.439,4362212+-=+-t y y x x|y 1-y 2|=.4333·344)(2221221++=-+t t y y y y令3t 2+4=λ(λ≥4),则 |y 1-y 2|＝，＋）－－（＝＋）－（＝－　412113411341·3432λλλλλ 因为λ≥4，0<时，，＝＝所以当04411,41≤1=t λλλ|y 1-y 2|有最大值3，此时AM 过点F .△AMN 的面积S △AMN=.292323y ·212121有最大值y y y y y FN -=-=-解法二：（Ⅰ）问解法一： （Ⅱ）（ⅰ）由题意得F (1,0),N (4,0). 设A (m ,n ),则B (m ,-n )(n ≠0),.13422=+nm……①AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0, ……②n (x -4)-(m -4)y =0, ……③ 由②，③得：当≠523,528525-=--=x yn x x m 时，. ……④由④代入①，得3422yx+=1（y ≠0）.当x=52时，由②，③得：3(1)023(4)0,2n m y n m y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩解得0,0,n y =⎧⎨=⎩与a ≠0矛盾.所以点M 的轨迹方程为221(0),43xxy +=≠即点M 恒在锥圆C 上.（Ⅱ）同解法一.2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（福建）数 学(理工农医类) (8) ．同文科第10题(11) 同文科第12题x =1+cos θ(14)若直线3x+4y+m=0与圆 y =-2+sin θ（θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是 .（21）（本小题满分12分） 如图、椭圆22221(0)x y a b ab+= 的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点.（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.若直线l 绕点F 任意转动，值有222OA OBAB + ,求a 的取值范围.(本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.) 解法一：(Ⅰ)设M ，N 为短轴的两个三等分点，因为△MNF 为正三角形， 所以32O F N =,即132, 3.23bb 解得 2214,a b =+=因此，椭圆方程为221.43xy+=(Ⅱ)设1122(,),(,).A x y B x y (ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时，2222222222,4(1),.O A O Ba ABa a O A O BAB +==>+<因此，恒有(ⅱ)当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为：22221,1,x y x my ab=++=代入整理得22222222()20,a b m y b my b a b +++-= 所以222212122222222,b m b a b y y y y a b ma b m-+==++因为恒有222OA OB AB +<，所以∠AOB 恒为钝角.即11221212(,)(,)0OA OB x yx y x x y y ==+<恒成立.2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y m y m y y y m y y m y y +=+++=++++2222222222222222222222(1)()210.m b a b b ma b ma b mm a b b a b aa b m+-=-+++-+-+=<+又a 2+b 2m 2>0,所以-m 2a 2b 2+b 2-a 2b 2+a 2<0对m ∈R 恒成立，即a 2b 2m 2> a 2 -a 2b 2+b 2对m ∈R 恒成立.当m ∈R 时，a 2b 2m 2最小值为0，所以a 2- a 2b 2+b 2<0. a 2<a 2b 2- b 2, a 2<( a 2-1)b 2= b 4,因为a >0,b >0,所以a <b 2,即a 2-a -1>0,解得a2或a2(舍去)，即a2,综合（i ）(ii)，a的取值范围为（12+，+∞）.解法二：（Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）解：（i ）当直线l 垂直于x 轴时， x =1代入22222221(1)1,A y b a y aba-+===1.因为恒有|OA |2+|OB |2<|AB |2,2(1+y A 2)<4 y A 2, y A 2>1，即21aa->1,解得a2或a2(舍去)，即a2.（ii ）当直线l 不垂直于x 轴时，设A （x 1,y 1）, B （x 2,y 2）. 设直线AB 的方程为y =k (x -1)代入22221,xy ab+=得(b 2+a 2k 2)x 2-2a 2k 2x + a 2 k 2- a 2 b 2=0,故x 1+x 2=222222222222222,.a ka k a bx x b a k b a k-=++因为恒有|OA |2+|OB |2<|AB |2,所以x 21+y 21+ x 22+ y 22<( x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2, 得x 1x 2+ y 1y 2<0恒成立.x 1x 2+ y 1y 2= x 1x 2+k 2(x 1-1) (x 2-1)=(1+k 2) x 1x 2-k 2(x 1+x 2)+ k 2=(1+k 2)2222222222222222222222222()a k a ba ka ab b k a bk k b a k b a kb a k--+--+=+++.由题意得（a 2- a 2 b 2+b 2）k 2- a 2 b 2<0对k ∈R 恒成立. ①当a 2- a 2 b 2+b 2>0时，不合题意；②当a 2- a 2 b 2+b 2=0时，a2;③当a 2- a 2b 2+b 2<0时，a 2- a 2(a 2-1)+ (a 2-1)<0，a 4- 3a 2 +1>0,解得a 2>32+或a 2>32-（舍去），a>12+，因此a≥12+.综合（i ）（ii ），a的取值范围为（12+，+∞）.2008年普通高等学校统一考试（广东卷）数学（文科） 6、经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ C ）A. x + y + 1 = 0B. x + y － 1 = 0C. x － y + 1 = 0D. x － y － 1 = 0 12、若变量x 、y 满足24025000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是____70___14、（坐标系与参数方程）已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，4cos ρθ=（0ρ≥，02πθ≤<），则曲线C 1与C 2交点的极坐标为6π⎛⎫⎪⎝⎭，6π⎛⎫- ⎪⎝⎭20、（本小题满分14分）设b >0，椭圆方程为222212xy bb+=，抛物线方程为28()x y b =-。

2008-2012辽宁省高考文科数学圆锥曲线汇总2008年辽宁高考文数学21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点P到两点(0，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． （Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？21．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0(0，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2214y x +=． ························································································· 4分 （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足2214 1.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， 故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． ············································································· 6分 OA OB ⊥ ，即12120x x y y +=． 而2121212()1y y k x x k x x =+++， 于是222121222223324114444k k k x x y y k k k k -++=---+=++++． 所以12k =±时，12120x x y y +=，故OA OB ⊥ ． ···························································· 8分 当12k =±时，12417x x += ，121217x x =-．AB ==而22212112()()4x x x x x x -=+- 23224434134171717⨯⨯=+⨯=，所以17AB = ． ············································································································ 12分 2009年辽宁高考文数学（22）（本小题满分12分）已知，椭圆C 以过点A （1，32），两个焦点为（-1，0）（1，0）。

52、（河南省开封市2008届高三年级第一次质量检）双曲线二-二 = 1（。

〉0,力〉0）的左、右焦点分别为R 、a- b-F 2, 0为坐标原点，点A 在双曲线的右支上，点B 在双曲线左准线上，F\d^AB,OF\OA^OAOB.（1） 求双曲线的离心率e ；（2） 若此双曲线过C （2, V3 ）,求双曲线的方程；（3）在（2）的条件下，D" D,分别是双曲线的虚轴端点（D,在y 轴正半轴上）,过D 】的直线7交双曲线M 、N, D 2M ± D 2N,求直线Z 的方程。

解：（1） FQ = ABm 四边形住ABO 是平行四边形2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编08圆锥曲线三、解答题（第三部分） 51、（河北省正定中学2008年高三第五次月考）已知直线/过椭圆E: / +2寸=2的右焦点F ,且与E 相交于 两点. （1）设OR = ?（OF + OQ ）（。

为原点）,求点R 的轨迹方程;（2）若直线/的倾斜角为60° ,求一L + —的值.\PF\ \QF\ 解：⑴设P （m ）, GW 况）顼（x,y ） OR = g(OP+。

) n (x,y) = ?[(x,，乂)+ (叫,为)]n <由 工2 +2,2 =2n ：+y2 =]易得右焦点尸（1,0）----- （2 分）当直线Zlx 轴时，直线/的方程是：x = l,根据对称性可知R （l,0） 当直线I 的斜率存在时，可设直线I 的方程为y = Rx-1） 4上之 A E w (2k 2+ l)x 2 - 4k 2X + 2Zr 2 - 2 = 0 A = 8^2+8>0; x, +x 2 = （5分）于是R(x,y):x=工1 ：工2 = c 艾，； y = *(x — i )2 2k- +1消去参数参得x 2 +2y 2-x = O 而R(l, 0)也适上式，故R 的轨迹方程是7 +2y 2-x = O- (8分)(2)设椭圆另一个焦点为F, 在 APF'F 中 ZPFF' = 120°,| F'F\= 2,设 | PF |= m ,则 | PF' |= 2^2 由余弦定理得(2y/2-m)2 = 22 +m 2-2-2-//z-cosl20° =>m = —%—— 2^2 + 1 同理，在八QF'F,设|涉|=〃，贝\\\QF'\= 2y/2-m 也由余弦定理得(2^2-n)2 =2之 +〃2 -2-2-n-cos60° => 〃 = —%——2^2-1 于是京房—?+旦=2H（12 分）函无-函=0,即函诙2 =0:.~OAL~BF^,.•.四边形F^ABO是菱形..•.函|=|孩|习反|=仁-- * \ A 1^ \ n 4- c 0由双曲线定义得|AR |= 2a + c,e='-^-=^—^- = - + l, \AB\ c e:.e--e -2 = 0,e = 2(e = -1 舍去)(2) e = 2 = ；a2 2c — 2d, 1)2 = 3。

2008年高考数学圆锥曲线汇编答案1．解 (1)由题意：2222222211c a b c a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩，解得224,2a b ==，所求椭圆方程为 22142x y +=(2)方法一设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。

由题设知,,,AP PB AQ Q B 均不为零，记A P A QP B Q Bλ==,则0λ>且1λ≠又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,A P P B A Q Q B λλ=-= ,于是1241x x λλ-=-， 1211y y λλ-=-,121x x x λλ+=+，121y y y λλ+=+.从而22212241x x x λλ-=-， （1）2221221y y y λλ-=-， （2）又点A 、B 在椭圆C 上，即221124,(3)x y += 222224,(4)x y += .（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y +=即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上 方法二设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ Q B 均不为零。

且 P A P BA Q QB =又,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠± ,于是1141,11x y x y λλλλ--==--（1） 2241,11x y x y λλλλ++==++ （2）由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2224,x y +=整理得222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+=（3） 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)(4)－(3)得8(22)0x y λ+-=,0,220x y λ≠+-=∵∴.即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上2. （Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214xy +=，直线A B E F ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>．如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14+故21x x =-=．①由6ED DF = 知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；由D 在A B 上知0022x kx +=，得0212x k=+．所以212k=+，化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =．（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到A B 的距离分别为1h ==2h ==．又AB ==，所以四边形AEBF 的面积为121()2S A B h h =+12===≤当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S的最大值为．解法二：由题设，1BO =，2A O =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+===222x y =时，上式取等号．所以S的最大值为．3. 解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆.因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴b=221.95xy+=(Ⅱ)由2,1cos P M P N M P N=- 得cos 2.PM PN M PN PM PN =- ①因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形.在△PMN 中，4,M N =由余弦定理有2222cos .M NPMPNPM PN M PN =+- ② 将①代入②，得22242(2).PMPNPM PN =+--故点P 在以M 、N为焦点，实轴长为2213xy -=上.由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22195xy+=，所以由方程组22225945,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得22x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩即P点坐标为22222222-、-、（-或（-.4.解：（Ⅰ）由题意得直线B D 的方程为1y x =+．因为四边形A B C D 为菱形，所以A C B D ⊥．于是可设直线A C 的方程为y x n =-+．由2234x y y x n⎧+=⎨=-+⎩，得2246340x nx n -+-=．因为A C ，在椭圆上，所以212640n ∆=-+>，解得33n -<<．设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232n x x +=，212344n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+．所以122n y y +=．所以A C 的中点坐标为344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，． 由四边形A B C D 为菱形可知，点344n n⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1y x =+上， 所以3144n n =+，解得2n =-． 所以直线A C 的方程为2y x =--，即20x y ++=．（Ⅱ）因为四边形A B C D 为菱形，且60ABC ∠= ，所以A B B C C A ==．所以菱形A B C D 的面积2S A C =．由（Ⅰ）可得22221212316()()2n ACx x y y -+=-+-=，所以2(316)433S n n ⎛=-+-<<⎪⎝⎭．所以当0n =时，菱形A B C D的面积取得最大值5.解法一：(Ⅰ)设M ，N 为短轴的两个三等分点，因为△MNF 为正三角形，所以O F N =,即1＝2,23b b 解得g 2214,a b =+=因此，椭圆方程为221.43x y += (Ⅱ)设1122(,),(,).A x y B x y (ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时， 2222222222,4(1),.O A O Ba ABa a O A O BAB +==>+<因此，恒有(ⅱ)当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为：22221,1,x y x my ab=++=代入整理得22222222()20,a b m y b my b a b +++-=所以222212122222222,b m b a b y y y y a b ma b m-+==++因为恒有222OA OBAB +<，所以∠AOB 恒为钝角.即11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ==+<uur uu u rg g 恒成立.2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y m y m y y y m y y m y y +=+++=++++2222222222222222222222(1)()210.m b a b b ma b ma b mm a b b a b aa b m+-=-+++-+-+=<+又a 2+b 2m 2>0,所以-m 2a 2b 2+b 2-a 2b 2+a 2<0对m ∈R 恒成立，即a 2b 2m 2> a 2 -a 2b 2+b 2对m ∈R 恒成立. 当m ∈R 时，a 2b 2m 2最小值为0，所以a 2- a 2b 2+b 2<0. a 2<a 2b 2- b 2, a 2<( a 2-1)b 2= b 4,因为a >0,b >0,所以a <b 2,即a 2-a -1>0, 解得a>12+或a<12-(舍去)，即a>12+,综合（i ）(ii)，a的取值范围为（12+，+∞）.解法二：（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）解：（i ）当直线l 垂直于x 轴时，x =1代入22222221(1)1,A y b a y aba-+==.因为恒有|OA |2+|OB |2<|AB |2, 2(1+y A 2)<4y A 2, y A 2>1，即21a a->1,解得a>12+或a<12-(舍去)，即a>12+.（ii ）当直线l 不垂直于x 轴时，设A （x 1， y 1）, B （x 2，y 2）. 设直线AB 的方程为y =k (x -1)代入22221,x y ab+=得(b 2+a 2k 2)x 2-2a 2k 2x + a 2 k 2- a 2 b 2=0,故x 1+x 2=222222222222222,.a ka k ab x x b a kb a k-=++因为恒有|OA |2+|OB |2<|AB |2,所以x 21+y 21+ x 22+ y 22<( x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2,得x 1x 2+ y 1y 2<0恒成立.x 1x 2+ y 1y 2= x 1x 2+k 2(x 1-1) (x 2-1)=(1+k 2) x 1x 2-k 2(x 1+x 2)+ k 2 =(1+k 2)2222222222222222222222222()a k a b a ka ab b k a bkk b a kb a kb a k--+--+=+++.由题意得（a 2- a 2 b 2+b 2）k 2- a 2 b 2<0对k ∈R恒成立.①当a 2- a 2 b 2+b 2>0时，不合题意；②当a 2- a 2b 2+b 2=0时，a2;③当a 2- a 2 b 2+b 2<0时，a 2- a 2(a 2-1)+(a 2-1)<0，a 4- 3a 2 +1>0,解得a 2>32+或a 2>32-（舍去），a>12+，因此a≥12+.综合（i ）（ii ），a 的取值范围为（12+，+∞）.6. 解：（1）由28()x y b =-得218y x b =+，当2y b =+得4x =±，∴G 点的坐标为(4,2)b +，1'4y x =， 4'|1x y ==，过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-即2y x b =+-，令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(2,0)b -，由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ，2b b ∴-=即1b =，即椭圆和抛物线的方程分别为2212xy +=和28(1)x y =-；（2） 过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的R t A B P ∆只有一个，同理∴以PBA ∠为直角的R t A B P ∆只有一个。

全国名校高考数学专题训练08圆锥曲线（解答题1)1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF ⋅的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===设P （x ，y ），则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF PF 3511544222+=--+x x x ]5,5[-∈x ，0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF ⋅有最小值3；当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF ⋅有最大值4（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y由方程组2222221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩，得依题意220(1680)055k k ∆=->-<<，得 当5555<<-k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x.4520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k kk k k x k y又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F12042045251)4520(0222222-=-=+-+--⋅=⋅∴k k k k k kk k k RF ∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| 综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上.(1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由 （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.解：(1)依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x.:y x4y )1x (3y )1x (3y :AB ,)i )(2(2得消去由的方程为直线由题意得⎩⎨⎧=--=--=.3162x x |AB |),32,3(B ),332,31(A .3x ,31x ,03x 10x 321212=++=-===+-所以解得假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即),(9314y ,)332y ()34()32y (4:)316()32y ()131(,)316()32y ()13(2222222222舍不符解得相减得-=-+=++⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+++因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，.32y ,C ,B ,A ,32y 1x )1x (3y ≠=⎩⎨⎧-=--=故三点共线此时得由，9256)316(|AB |,y 3y 34928)332y ()311(|AC |222222==+-=-+--=又， , 392y ,9256y y 334928y y 3428,|AB ||AC ||BC |22222时即即当>++->+++>∠CAB 为钝角.9256y y 3428y y 334928,|AB ||BC ||AC |22222+++>+-+>即当.CBA 3310y 为钝角时∠-<22222y y 3428y 3y349289256,|BC ||AC ||AB |++++->+>即又0)32y (,034y 334y :22<+<++即.该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是:)32(9323310≠>-<y y y 或.解法二： 以AB 为直径的圆的方程为:38 1x :L )332,35()38()332y ()35x (222的距离为到直线圆心-=-=++-. ).332,1(G L AB ,--相切于点为直径的圆与直线以所以当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A ， B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 932y 1x ).31x (33332y :AB A =-=-=-得令垂直的直线为且与过点.3310y 1x ),3x (3332y :AB B -=-=-=+得令垂直的直线为且与过点.,)32,1(C ,,32y x )1x (3y 时的坐标为当点所以解得又由-=⎩⎨⎧-=--= A ，B ，C 三点共 线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是：).32(9323310≠>-<y y y 或3、(江苏省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A 、B 、C ，证明：⊿ABC 的垂心H 也在该双曲线上；（2）若正三角形ABC 的一个顶点为C(―1,―1)，另两个顶点A 、B 在双曲线xy=1另一支上，求顶点A 、B 的坐标。

2008-2020高考理数全国1卷分类汇编--圆锥曲线一、选择填空题1（2008）．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．2（2008）．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．3(2008)设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于（A （B ）2 （C （D4(2009)（12）已知椭圆C: 2212x y +=的又焦点为F ，右准线为L ，点A L ∈,线段AF 交C 与点B 。

若3FA FB =,则AF =(D)35(2010)（9）已知1F 、2F 为双曲线22:1C χγ-=的左、右焦点，点在P 在C 上，12F PF ∠=60°，则P 到χ轴的距离为（A （B （C （D6(2010)（16）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为 。

7(2011)（14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为。

过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。

8（2012）（3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y +=9（2012）（8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）4510（2013）12.已知双曲线的标准方程为116922=-y x ，F 为其右焦点，21,A A 是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于21,A A 的任意一点，直线P A P A 21,与直线a x =分别交于两点N M ,,若0=⋅FM ,则a 的值为 A ．916 B ．59 C ．925 D ．51611(2014)4. 已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m12（2014）10. 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =A .72B .52C .3D .213（2015）（5）已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若021<•MF MF ，则0y 的取值范围（A ）（ （B ）（（C ）（3-，3） （D ）（3-，3）14（2015）（14）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 。

08年高考数学直线与圆锥曲线的轨迹与方程测试题双曲线抛物线两条直线圆的轨迹是动点，则为直角顶点作等腰直角为直角边、点为坐标原点，以上，在直线设动点轨迹方程是的的中点两点，则线段、分别交抛物与作两条互相垂直的直线的顶点过抛物线迹方程是中点的轨在圆上运动时，，当内接与圆，且，点已知圆是的轨迹方程，则点所成的比为分，点上任意一点，定点是抛物线设动点抛物线双曲线椭圆圆点的轨迹为，则垂足为的外角平分线引垂线，顶点一焦点向是椭圆上任一点，从任是椭圆的两个焦点，、的轨迹方程为，则交于与的垂直平分线为圆周上一动点，线段是圆内一定点，的圆心为设圆的右支的左支轨迹方程是的则动点且满足条件为定点，、为动点，中，迹方程为的轨为原点，则点，其中轴上，且不在），动点，（），，（已知两点一、选择题....1.882.82.82.82.4.7)41(41.)21(21.41.21.60)0,1(,1.6316.13.313.316.2)1,0(12.5.....41214254.1214254.1254214.1254214.)0,1(,25)1(.3)0(131616.)0(131616.)0(131616.)0(131616.,sin 21sin sin )0,2(),0,2(.2)0(1)1.()0(4)2.()0(1)1.()0(4)2.(0102.12222222222222222222221212222222222222222222222222222222222D C B A Q OPQ O OP O x P y D x y C x y B x y A P AB B A O x y x y x D x y x C y x B y x A BC BC BAC ABC A y x x y D x y C x y B x y A M PA M A x y P D C B A P P M MF F M F F y x D y x C y x B y x A M M CQ AQ Q A C y x y a y a y D y a y a x C x a x a y B y a y a x A A A B C a C a B C B A ABC y y x D y y x C y y x B y y x A P O BPO APO x P B A ∆=+-=+=-=--==<=+<=+=+=+︒=∠∆=+-=--=+=-=+=∆=+=-=+=-=++≠=-≠=-≠=-≠=-=--∆≠=+-≠=+-≠=++≠=++∠=∠-||02||.00)0(1.16214)0,02.151222.144.131916.12)1(0101.11)0(04.)0(04.)0(0.)0(0.21.10....|,1243|)2()1(5),(.92221121222222222212221222≠=⋅=->>=+∆=-<<-=+=∆=-±≠=--=++≠=+≠=+≠=≠=++==++=-+-TF TF Q F T Q F P a F Q c F c F b a b y a x ABC m l B A P y x l m M m M AB B A y x P M AB O OB OA O x y G P F F y x F F P a ay x y ax x y x D x y x C y x B x y A F c x ax y ac D C B A P y x y x y x P ，上，并且满足在线段与该椭圆的交点，点是线段，点是椭圆外的动点，满足），（）、，（的左、右焦点分别是已知的重心的轨迹方程变化时，求）当（的方程）求直线（两点、于而与双曲线的渐近线交，有唯一的交点与双曲线的直线（过点，在直角坐标系中，通设三、解答题的轨迹方程是的中点两点，则、交于）为圆心的圆与椭圆，（设以程是的轨迹方上的射影在，则抛物线顶点、作相互垂直的弦的顶点过抛物线的轨迹方程是的重心上运动，则为焦点的双曲线、在以点的交点的轨迹方程是和两条直线二、填空题的轨迹方程的焦点，则抛物线若椭圆双曲线抛物线两条相交直线点的轨迹是则满足已知动点程平分的弦所在直线的方）且被，（）求过点（方程被截得的弦的中点轨迹与椭圆相交，求）的直线，（）过（程的平行弦的中点轨迹方求斜率为已知明理由切值；若不存在，请说的正若存在，求的面积，使上，是否存在点的轨迹）试问：在点（的轨迹方程求点的横坐标，证明为点设P P l l A y x MF F b S MF F M C T T x ac a P F P x 212131222)1(12.17,3)2(||)1(22212211=+∆=∆+=专题七 直线与圆锥曲线的轨迹与方程一、1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.D 7.B 8.B 9.B 10.C二、)(042.14)0(04.131169.120.11222222椭圆内的部分=-+≠=-+=-=+-+y x xy x x y x y x y x y x三、⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+==+=+∴==∆=⊥=⋅≠≠-=+=>+-≥+-≥+=-++=++=≠<=-<<=----=><=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+==+=-+-+-----=-=--=--±=-±==∆=+-+-=--=②①的充要条件是使上存在点的方程是的轨迹综上所述，点中，的中点，在为线段所以，又，得时，由且的轨迹上，和点时当作的坐标为设点所以知则在椭圆上，得：由点的坐标为设点解：且程为综上所述，所求轨迹方时，同理可得当得消去由重心公式联立，得和时，分别与：所以，有因为中，有代入不垂直，设其方程为与显然，解：202202020022222212122222122222221222222222222222222222||221),()3(,||21|||,|||00||0||)0,()0,(,0||),,()2(||,0,,)()()(||),,()1(.16)00(916)0,0(916)(42)0,0(9163443383),422,422(),422,422()(42)2()(42420,0)4(2)1(4).()1(.15b y c a y x b S y x M C a y x C T a y x a F F QF Q F T PF TF TF TF PT a a PT y x T x ac a P F a c x a c a a x x a c a x ab bc x y c x F P y x P y x y x y x y x m x m y y x y x m m my y y m x x x m m m m B mm mm A x y x y m x my m x my l m k m k x m k x k y x m x k y x l B A B A342,21)()(,0))((2))((1,1)3()(02220222,0212,21)()(0)()(2,0)(4)(2,2,2,0))((2))((,12,12),,(),,(),,()2()3232(025,952,922,329432,94928,0)22(94)8(),,(),,(02289122.22)1(.172|1|tan ,90,2||,,,;,0))((,||212121212121212122222121212121212121212121212222212122112121212222112222212121212100201222222242202021=-+-=--=-++-+=+=+=--+∴=--+=--⋅+--=--=--⋅+∴=-+-∴=+=+=-++-+=+=+<<-=+∴=+=-=+<-<--=⨯-=+>-⨯-=-++⎪⎩⎪⎨⎧=++=+==+-=∠∴︒<∠<-==+==≥〈=≥≥+-=-==y x x x y y y y y y x x x x y y x x y x y x y x y x x y y x x y x x y y y x y y y x y y y x x x y y y x x x y y y y x x x x y x y x y x y x y x l x y x b y y y b x x b b b x x b b y x y x b bx x y x b x y b x y k k k k MF F MF F a F F cx y k k c x y k k c b a M c b a b S M c b a c b a c b a cb a xc b y MF c M F 故所求的直线方程为得代入将夹在椭圆内的部分所求轨迹方程为化简得代入①得由题意知①又整理得两式相减并则弦的中点为与椭圆的焦点为设为所求轨迹方程即则点坐标为，设平行弦的端得由的直线的方程为设斜率为解：知由设时当点时，不存在满足条件的当，使时存在点于是，当将上式代入①得：由②得。