2018版高中数学2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示2.1.3相等向量与共线向量学业分层测评

2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示●创设情境如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，问：猫能追上老鼠吗？（画图）●教材新知1.向量的相关概念（1）向量：既有_______，又有_______的量叫做向量.如：力、位移、速度、加速度等.向量的两个要素是：______、______.（2）有向线段：带有_______的线段叫做有向线段.①以A为起点，B为终点的有向线段记作______.②有向线段的三要素是：______、______、______.（3）模：向量AB的______叫做向量AB的______（或称_____），记作______..“向量”就是“有向线段”对吗？2.向量的表示方法有两种（1）用有向线段的起点和终点字母表示，如AB、CD.起点字母必须放在终点字母的______. （2）用黑体字母表示，如a、b.（手写体向量上面的箭头一定不能漏写）.3.两个特殊向量（1）零向量：模为_____的向量，记作____.“0”与“0”有区别吗？（2）单位向量：模为_____的向量.__________或__________的非零向量叫做平行向量，向量a，b平行记作______._____，即对于任意向量a，都有______.●题组集训（1）下列结论正确的是（）A.对任一向量a，0a总是成立的 B.模为0的向量与任一向量平行>C.向量就是有向线段D.单位向量与任一向量平行（2）下列结论中，正确的是（）A.2014cm长的有向线段不可能表示单位向量B.若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A、B，使得OA、OB是单位向量C.方向为北偏西50︒的向量与东偏南40︒的向量不可能时平行向量D.一人从点A向东走500米到达B点，则向量AB不能表示这个人从点A到B点的位移（3）有下列量：质量、速度、位移、力、加速度、路程、密度、功、海拔、温度、角度、高度.其中不是向量的有（）个A.6B.7C.8D.9（4）下列说法正确的是（ ）A.实数可以比大小，向量也可以比大小B.方向不同的向量不能比较大小，但方向相同的向量可以比较大小C.向量的模是正数D.向量的模可以比较大小（5）在直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，则BC =_____.●课堂精讲【例1】判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）温度是向量；（2）作用力与反作用力是一对大小相等，方向相反的向量；（3）数轴是向量；（4）若a 是单位向量，b 也是单位向量，则a 与b 的方向相同或相反.【变式训练】在下列结论中，正确的为（ ）A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B.向量AB 与向量BA 的长度相等C.向量就是有向线段D.零向量是没有方向的【例2】一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50︒行驶了 200km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100km 到达D 点.（1）作出向量AB ，BC ，CD ； （2）求AD .【变式训练】某人从A 地出发按北偏东30︒方向行走60米到达B 地，再从B 地向东行走100米到达C 地，再由C 地按东偏南60︒方向行走60米到达D 地.（1）作出向量AB ，BC ，CD ； （2）求AD .【例3】如图，1A 、2A 、…、8A 是O 上的八个等分点，则在以1A 、2A 、…、8A 及圆心O 九个点中任意两个点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于【变式训练】如图，菱形的一个内角是60︒，边长为2，E 是对角线AC 与BD 的交点.（1）模为2的向量最多有几个？（不再增加线段）（2）写出模为1的向量.（不再增加线段）（3）求AC .●课后反馈（1）下列各量中是向量的是（ ）A.质量B.距离C.速度D.电流强度（2）下列说法中正确的是（ ）A.有向线段AB 与BA 表示同一个向量B.两个有公共终点的向量是平行向量C.零向量与单位向量是平行向量D.若非零向量AB ‖CD ，则直线AB 与直线CD 平行 （3）如图，在O 中，向量OB ，OC ，AO 是（ ）A.有相同起点的向量B.单位向量C.模相等的向量D.平行向量（4）下列结论不正确的是（ ）A.向量AB 与向量BA 的长度相等B.任意一个非零向量都可以平行移动C.若a ‖b ，且≠0b ，则≠0aD.两个有公共起点且平行的向量，其终点不一定相同（5）已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O 、A 、B 、C 、D 这5个点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，与DA 是平行向量的有（ ）A.CBB.DBC.BAD.OB（6）把平面上一切单位向量平移到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）A.一条线段B.一段圆弧C.两个孤立点D.一个圆（7）下列结论中，正确的是（ ）A.坐标平面上的x 轴，y 轴都是向量B.若AB 是单位向量，则BA 不是单位向量C.若0=a ，1=b ，则a ‖bD.计算向量的模与单位长度无关 （8）O 是ABC ∆内一点，且OA OB OC ==，则O 是ABC ∆的（ ）A.重心B.内心C.外心D.垂心（9）如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，则以A 、B 、C 、D 、E 、F 这6个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量EF 方向相反的向量是 _______.（10）以下命题正确的是_______.①单位向量都平行；②任一单位向量都大于0；③单位向量的模相等.（11）如图，ABC ∆是等腰三角形，则两腰上的向量AB 与AC 的关系是_______.（12）直线l ：1y x =-上点(),A x y ，使OA 为单位向量（其中O 为坐标原点），则x =______，y =______.（13）如图，D、E、F分别是ABC∆各边的中点，若2BC=，则DF=______，BE=______.（14）如图，45⨯方格纸中有一向量AB，现以方格纸中的格点为起点和终点作向量，其中与AB长度相等且与AB平行的向量有多少个？（AB除外）（15）如图，已知四边形ABCD是矩形，O是对角线AC与BD的交点，写出以A、B、C、D、O为始点和终点的所有向量.（16）如图，A、B、C三点的坐标依次是(),x y，其中x、y∈R，当x、y满0,1、()1,0-、()足什么条件时，OC‖AB.。

a与向量b平行，则
>且AB
）若向量AB、CD AB CD
=则a，b长度相等且方向相同或相反。

（
a b
）由于零向量方向不确定，故
点出发向西行驶了100
AD,并说明理由
高一数学《分章节案》 专心听讲，勤于思考。

《分章节案》 及时复习，认真完成。

下列说法中① 若a =0=；②若a =b A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 //b 且0b ≠则0a ≠；一条线段 ； B.一段圆弧； C.两个孤立点；上有且只有两点使OA ,OB a b =⇒a b >⇒a 对于下面的说法：①向量就是有向线段，有向线段就是向量；②向量AB 的模与向量BA 的模相 （只填序号）.
平行的向量有多少个？（AB 2a b =所以a b >下列各命题中，真命题是（ ）
a b =，则a b =长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量；a b >，则a b >。

2.1.1向量的物理背景与概念及向量的几何表示教学目标:1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念教学思路：一、情景设置:如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向?、新课学习:（一）___________________________________________________________________ 向量的概念：（二）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现）1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点0,这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别:2. 向量的表示方法：向量与有向线段的区别：4、零向量、单位向量概念：5、平行向量定义：四）理解和巩固：例 1 书本75 页例 1.例 2 判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）课堂练习：书本77 页练习1、2、3 题三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向2、平面向量的概念和向量的几何表示；3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。

§2.1.1 向量的物理背景与概念§2.1.2 向量的几何表示§2.1.3 相等向量和共线向量班级___________姓名___________【使用说明】课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；课上小组合作探究，达疑解惑。

【学习目标】1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2、初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 提高认识客观事物的数学本质的能力..【重点难点】重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量和共线向量的概念，会表示向量.难点：向量的概念. 平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.【学法指导】本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大，同学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.【学习过程】一、课前准备（自学教材P74～P76,找出疑惑之处）情境设置：1.如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处迅速向东追去，问：猫能否追到老鼠？ ________________________________________________2.在数学或其他学科中，哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？这些量本质上有何区别？试举出这些量并描述这些量的本质区别．________________________________________________________________________________________________二、问题导学1、向量的概念：我们把既有______又有______的量叫向量。

2、数量与向量有何区别？________________________________3、如何表示向量？①向量可以用有向线段表示. 有向线段是________________的线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为起点,B 为终点的有向线段记作____________.起点要写在A B CD终点的前面.有向线段AB的长度,记作___________.有向线段包含三个要素___________________________②向量也可以用字母________________表示,③向量还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,例如字母_____________④向量AB的大小-----长度称为向量的模，记作|AB|.⑤两个特殊的向量：长度为_____的向量叫零向量，记作_____，0的方向是_____的. 注意0与0的含义与书写区别.长度为_____个单位长度的向量，叫单位向量.（说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.）讨论：向量=有向线段吗？________________________________________________4、平行向量定义：①方向__________________________叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.5、相等向量定义：__________________________的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作________；（2）零向量与零向量相等，记作________；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无．．．．．．．．．关．.6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.【经典范例】：（自己做做看）例1 书本75页例1.（直接填在书本上）例2填空：（1）平行向量是否一定方向相同？__________（2）不相等的向量是否一定不平行？__________（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？__________（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？__________（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？__________（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？__________（7）共线向量一定在同一直线上吗？__________例3．如图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量,,OA OB OC相等的向量。

课题：2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示2.1.3相等向量与共线向量教学目的：1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示；2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或出与某一已知向量相等的向量；3.了解平行向量的概念.教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示教学难点：向量概念的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法教学过程：一、复习引入：在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念.二、讲解新课：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：1 数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小2 从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b 等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；注意：起点一定写在终点的前面 ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0 的方向是任意的注意0 与0的区别②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c .5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量a 与b 相等，记作a ＝b ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起．．．．．．．点无关．．．. 6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.探究：1.对向量概念的理解要深刻理解向量的概念，就要深刻理解有向线段这一概念.在线段AB 的两个端点中，我们规定了一个顺序，A 为起点，B 为终点，我们就说线段AB 具有射线AB 的方向，具有方向的线段就叫做有向线段.通常有向线段的终点要画箭头表示它的方向，以A 为起点，以B 为终点的有向线段记为AB ，需要学生注意的是：AB 的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度.既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有些向量既有大小、方向、作用点(起点)，比如力；有些向量只有大小、方向，比如位移、速度，我们现在所学的向量一般指后者.2．向量与有向线段的区别：（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段三、讲解范例：例1 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB ＝DC⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、AC 在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图AC 与BC 共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.例2下列命题正确的是（ ）A.a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a 与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，不符合已知条件，所以有a 与b 都是非零向量，所以应选C.评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要启发学生注意这两方面的结合.例3下列命题正确的是（ ）如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA OB OC 、、相等的向量. 解：OA CB DO == OB DC EO OC AB FO== ==四、课堂练习：五、小结 ：向量及向量的有关概念、表示方法，还知道有两个特殊向量，最后学了向量间的两种关系，即平行向量（共线向量）和相等向量六、课后作业：七、板书设计（略）。

2.1.1 向量的物理背景与概念2.1.2 向量的几何表示2.1.3 相等向量与共线向量【教学目标】1、知识与技能（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念；（2）理解相等向量与共线向量。

2、过程与方法（1）经历类比方法学习向量及几何表示的过程，体验对比，理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法；（2）能利用相等向量和共线向量的定义，正确进行命题的判断，从而为数形结合奠定理论基础，初步培养利用向量法解决平面几何的能力。

3、情感、态度与价值观（1）通过本节的学习，让学生感受向量的概念、方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣；（2）建立数形结合的思想，用联系的观点学习数学知识，培养学生辩证的学习科学知识的态度。

【教学重点】（1）理解并掌握向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量的概念，会表示向量；（2）共线向量的理解和应用。

【教学难点】（1）向量的概念，平行向量；（2）正确，熟练地应用共线向量解决有关问题。

【教学方法】让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论理解向量及其相关概念。

【教学过程】〖创设情境导入新课〗【导语】在现实生活中，我们会遇到很多与量有关的问题，如买5斤鱼，3斤肉，30公斤大米，又如今天骑车走了10公里等等，这些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，并且这些量只有大小，没有方向，我们将这些量叫做数量（标量）。

但是，还有一些量，如我们在物理学中所学习的速度、位移、力等，它们除了有大小之外，还与方向有关，像这种既有大小又有方向的量就是我们今天要学习的内容——向量（矢量）。

〖合作交流解读探究〗1、向量的概念：在平面内既有大小又有方向的量叫做向量（或矢量）。

如：力、位移等。

【说明】（1）向量的两个要素：大小和方向。

向量的大小是代数特征，方向是几何特征，所以向量不能像实数那样比较大小，因为方向不能进行比较；（2）向量与数量的区别：数量是只有大小没有方向的量，如面积、体积、质量等，在物理学中也称为标量；同时其大小可以用正数、负数和0来表示，它是一个代数量，可进行各种代数运算，可比较大小；向量是既有大小，又有方向的量，如力、位移等，在物理学中也称为矢量，由于向量具有方向，而方向不能比较大小，所以向量也不能比较大小。