数学物理方法3-1数学模型的建立

数学模型的构建方法与使用技巧数学模型是一种用数学语言来描述现实世界中某个问题或系统行为的工具。

它通过建立数学方程或关系，抽象出问题的本质，从而帮助我们理解和解决实际问题。

在各个领域，数学模型都发挥着重要的作用，如物理学、经济学、生物学等。

本文将介绍数学模型的构建方法和使用技巧。

一、数学模型的构建方法1. 确定问题的目标和约束条件：在构建数学模型之前，我们需要明确问题的目标和约束条件。

目标是我们希望通过数学模型解决的问题，约束条件是问题的限制条件，如资源限制、时间限制等。

2. 选择合适的数学工具：根据问题的性质和要求，选择适合的数学工具来构建数学模型。

常用的数学工具包括微积分、线性代数、概率论等。

不同的问题可能需要不同的数学工具，我们需要根据实际情况进行选择。

3. 建立数学方程或关系：根据问题的特点，建立数学方程或关系来描述问题的本质。

这些方程或关系可以是线性的，也可以是非线性的。

在建立数学方程时，需要考虑问题的实际情况，尽量简化方程，使其具有可解性。

4. 验证和调整模型：建立数学模型后，我们需要对模型进行验证和调整。

验证模型的准确性是非常重要的，可以通过实际数据进行验证。

如果模型与实际数据不符，我们需要对模型进行调整，使其更加贴近实际情况。

二、数学模型的使用技巧1. 理解问题的本质：在使用数学模型解决问题时，我们需要深入理解问题的本质。

只有理解问题的本质，才能选择合适的数学工具和建立准确的数学模型。

2. 灵活运用数学工具：数学工具是解决问题的手段，我们需要灵活运用这些工具。

有时候，一个问题可能可以用多种数学工具来解决，我们需要根据实际情况选择最合适的工具。

3. 注意模型的假设和局限性：在使用数学模型时，我们需要注意模型的假设和局限性。

模型建立时往往会有一些假设，这些假设可能会对模型的准确性产生影响。

我们需要清楚模型的假设，并在使用模型时考虑其局限性。

4. 不断优化模型：数学模型是一个不断优化的过程。

数学模型的建立与应用数学模型是指通过数学语言和方法对实际问题进行抽象和描述的模型。

它是用数学工具来描述和解决实际问题的一种方法。

数学模型的建立是一个复杂而有挑战性的过程，需要对问题进行合理的假设和简化，并利用适当的数学方法和技巧来构建模型。

本文将介绍数学模型的建立过程以及它在不同领域中的应用。

一、数学模型的建立过程数学模型的建立过程可分为以下几个步骤：1. 问题描述：首先需要明确问题的背景和具体要求，准确定义问题，并确定模型的目标和约束条件。

2. 变量选择：根据问题的特点和要求，选择适当的变量来描述问题。

变量的选择应充分考虑问题的实际意义和模型的简化程度。

3. 建立数学关系：根据问题的要求和变量之间的关系，建立数学方程或不等式，描述变量之间的相互作用和约束关系。

4. 假设和简化：在建立数学模型的过程中，为了简化问题和求解方便，常常需要做出适当的假设和简化。

但要注意假设和简化的合理性，以确保模型的可靠性和准确性。

5. 解析求解：根据建立的模型，利用数学方法和技巧对模型进行求解，并得到问题的解析解或近似解。

6. 模型验证：将模型的解与实际情况进行比较和验证，分析模型的适用性和灵活性，并对模型进行修正和改进。

7. 结果解释和应用：最后将模型的结果进行解释和应用，对实际问题进行分析和决策。

二、数学模型在不同领域中的应用1. 经济领域：数学模型在经济领域有广泛的应用。

例如，经济增长模型、投资决策模型、市场需求模型等，可以帮助经济学家和政策制定者预测和分析经济变化，制定相应的政策和措施。

2. 管理领域：数学模型在管理领域的应用主要包括运筹学和决策分析。

运筹学模型可以帮助企业合理地配置资源，优化生产和运输方案。

决策分析模型可以帮助管理者在不确定和复杂的环境中做出科学的决策。

3. 生物医学领域：数学模型在生物医学领域的应用主要包括生物动力学模型、药物代谢模型、医学影像处理等。

这些模型能够帮助医生和研究者预测和分析生物过程，优化治疗方案，提高医学诊断和治疗的准确性。

数学模型的建立方法模型的建立与求解通过对问题的分析和模型假设后建立数学模型(模型运用数学符号和数学语言来描述)，并过〔制定〕算法、运用计算机实现等途径(依据模型的特征和要求确定)求解模型!此过程是整：个数模过程的最重要部分，必须慎重对待!型的检验：即通过问题所提供的数据或相关于实际生活中的状况对模型的合理性、准确性等进行判别模型的优劣!可通过计算机模拟等手段来完成!2数学模型方法一数学模型的定义：现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。

不过我们可以给出如下定义："数学模型是关于部分现实世界和为一种特别目的而作的一个抽象的、简化的结构。

'具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。

一般来说数学建模过程可用如下框图来说明：数学是在实际应用的必须求中产生的，要解决实际问题就必必须建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。

例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。

今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，必须建立大量的数学模型。

特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。

因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。

3数学模型方法二数学软件介绍： Matcom：Matcom是MathTools开发的一个m文件解释器(马上Matlab中的〔编程〕语言解释为C语言)，不仅可以把m文件编译为可以独立执行的exe或dll文件，而且可以自动产生C源代码，供其他高级语言编译器使用。

Matcom所实现的在C语言中直接书写类似于matlab语句的功能，带来了以下几个显然的优点：一，是利用Matcom编制的程序可以在任何不安装Matlab系统的计算机上运行; 二是运行速度比m文件快了数倍;三是实现了Matlab强大的计算功能与各种C编译器界面制定的完美组合。

建立数学模型的步骤
第一、 模型准备
首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。

第二、 模型假设
根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。

如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力 ，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。

第三、 模型构成
根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。

这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。

不过我
们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。

第四、模型求解
可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。

一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。

第五、模型分析
对模型解答进行数学上的分析。

"横看成岭侧成峰，远近高低各不同"，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。

还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。

第六、模型检验、应用
与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性，用 所建模型解决实际问题。

数学模型的建立过程数学模型是指通过数学语言和方法，对实际问题进行抽象和描述，以求解和分析问题的工具。

数学模型的建立过程可以分为以下几个步骤：1.问题的确定：首先，需要明确待解决的问题。

这些问题可能来自于不同的领域，比如物理、经济、生物等。

确定问题有助于确定建立数学模型的目标和范围。

2.假设的建立：根据问题的特点和问题解决的目标，需要建立一些假设。

这些假设可以简化问题的复杂性，但同时也要合理和可行。

3.变量的选择：确定影响问题解决的因素，并选择适当的变量进行描述。

变量可以是时间、距离、质量、速度等等，并把它们用符号表示出来。

4.假设的运用：利用已经建立的假设和变量，通过数学语言和方法来描述问题。

这包括建立方程、不等式、函数等等。

5.模型的验证：建立好的数学模型需要进行验证，以确定其是否与实际情况相符。

这可以通过对比模型的结果和实际观测或实验数据的对比来完成。

如果模型的结果与实际情况相符，那么模型就是可接受的；如果不一致，则需要对模型进行修正。

6.模型的求解和分析：通过运用数学工具和方法，对建立的模型进行求解和分析，以获得问题的解答。

这可能包括求解方程、优化函数、绘制图表等等，取决于具体的问题和模型。

7.模型的应用：最后，通过对模型的求解和分析结果进行解释和解读，将问题的解答和结论应用到实际问题中。

这可能需要将数学结果转化为相应的实际量，并根据具体的问题来进行讨论和决策。

需要注意的是，数学模型的建立过程是一个逐步迭代的过程。

在实际应用中，因为问题的复杂性和不确定性，可能需要多次修改和修正模型。

此外，在建立数学模型的过程中，还需要注意选择适当的数学工具和方法，并进行合理的假设和简化。

只有在符合实际情况、可靠性较高的前提下，建立的数学模型才能真正有效地应用到实际问题中。

高二物理学习中的模型建立与应用物理学是一门以实验为基础的自然科学，通过建立数学模型来描述和解释现象，以推导出规律性的物理定律。

在高二物理学习中，模型的建立和应用是学习的核心内容之一。

本文将探讨高二物理学习中模型建立的方法和模型的应用。

一、模型建立的方法模型建立是物理学习中的基础工作，通过模型可以简化复杂的现象，使其更易于理解。

在高二物理学习中，模型建立的方法主要有以下几种。

1. 数学模型法：利用数学工具，通过建立数学方程或函数，将物理问题转化为数学问题进行求解。

例如，在分析物体的运动过程时，可以建立位移-时间、速度-时间、加速度-时间等数学模型，从而得到相关的物理量。

2. 物理模型法：通过物理实验或观察，寻找规律，并将其转化为物理模型。

例如，在研究物体的弹性变形时，可以将物体视为弹簧，建立弹簧模型来描述物体的弹性特性。

3. 概率模型法：在不确定性问题中，利用概率理论建立概率模型，对可能发生的情况进行预测和分析。

例如，在研究放射性衰变过程时，可以利用指数分布模型来描述放射性核素的衰变规律。

以上仅为模型建立的常见方法，实际应用中还可以根据具体问题选择合适的方法进行建模。

二、模型的应用模型的应用是物理学习中的关键环节，通过将模型应用于实际问题，可以得到有价值的结论和预测。

以下是高二物理学习中模型的一些常见应用。

1. 预测与解释：通过建立模型，可以预测物理现象的发生和结果。

例如，在学习力学中，可以通过模型分析物体的运动轨迹、受力情况等，从而预测物体的未来状态。

2. 优化设计：模型可以辅助工程和设计领域的优化。

例如，在学习光学时，可以通过光的折射和反射模型，优化设计光学仪器，提高光学系统的性能。

3. 问题求解：在物理学习中，模型经常用于解决实际问题。

例如，在学习电磁感应时，可以建立电磁感应模型，解决关于电磁感应的问题，如发电原理、感应电流大小等。

4. 理论验证：物理模型可以用于验证和修正已有理论。

例如，在学习粒子物理学时，可以利用标准模型验证新发现的粒子性质，从而扩展和完善现有的理论。

第一章 数学建模及基本原理介绍用数学理论和方法研究实际问题时，一般说来先要建立合理的数学模型. 在很多情况下，所建立起的模型为偏微分方程的某种定解问题. 本章将对几个典型的实际问题进行分析，建立起相应的数学模型. 并结合这些模型，介绍本门课程的一些主要数学概念及研究此类问题的一些基本思想和方法. §1.1 数学模型的建立微分方程本质上是函数的某种局部平衡关系，其中含有该函数导数. 在初等数学中我们知道，含有未知数的等式叫方程. 而建立方程的过程主要有三步：先设所求解的量为未知数x ，然后找出所研究问题满足的等量关系式，最后利用一些基本的关系式将等量关系式两边用已知量和未知数x 表示即成. 本节我们用类似过程，导出几个来自物理学领域的实际问题所满足的微分方程和定解条件.除用到几个基本的物理公式外，主要是利用高等数学中同学们已学过的“微元法”思想.1.1.1 弦振动方程和定解条件 物理模型一长为l 的柔软、均匀细弦，拉紧之后，让它离开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振动，求弦线上任一点在任一时刻的位移.在这里弦线是‘充分柔软’的假设，是指当它发生变形时只抗伸长而不抗弯曲，即只考虑弦线上不同部分之间张力的相互作用，而对弦线反抗弯曲所产生的力矩忽略不计.而‘均匀’的含义是弦线的线密度为常数. 所谓‘横振动’，是指弦的运动发生在同一平面内，且弦线上各点位移与平衡位置垂直.导出方程以弦线所处的平衡位置为x 轴，垂直于弦线位置且通过弦线的一个端点的直线为u 轴建立坐标系（图1.1）.以),(t x u 表示在时刻t 弦线横坐标为x 的点离开平衡位置的位移.设ρ为弦的线密度（千克∕米），0f 为作用在弦线上且垂直于平衡位置的强迫力密度（牛顿∕米）. 任取一小段弦线，不包括两个端点，（图1.1）其中1T 和2T分别是弦线在两端所受到的张力，即其余部分弦线对该小段弦线的1T2T 图 1.1作用力,1α为1T 与水平方向的夹角，2α为2T与水平方向的夹角. 将所取小段弦线近似视为质点,由牛顿第二定律得ma F = （1.1）式（1.1）是弦线运动所服从的物理定律，数学上即是等量关系式. F 为该段弦线所受垂直于平衡位置，即u 轴方向的合外力.对（1.1）中各项分别计算并作简化处理如下：首先易见F 包含三部分：=F 1T 在u 轴方向的分量 + 2T在u 轴方向的分量 + 强迫外力 （1.2） = 1F + 2F +3F . 设u i为u 轴正向的单位向量，利用向量的点乘运算可得1F = ⋅1T u i = 1T ),cos(1u i T = 1T )2cos(1απ+11s i n αT-= ， （1.3） 2F = ⋅2T u i = 2T ),cos(2u i T = 2T 2cos()2πα+22s i n αT-=. （1.4），故有30(,.x xxF f x t dx +∆=⎰ （1.5） 弦线作微小横振动，所以1α，2α充分小，因此有1sin α～1αtg ，2sin α～2αtg ，2211()()12u u o x x ∂∂=++≈∂∂. 由于假设弦线是均匀、柔软，可认为弦线每点处张力)(x T的方向为弦线的切线方向，弦线各点处张力的大小相等. 故有1T ＝2T ＝0T （常数）. 利用1),(αtg t x x u =∂∂，22)(),(ααπtg tg t x x xu -=-=∆+∂∂和等价无穷小代换得000(,)(,)(,)u u F T x x t T x t f x t x x x∂∂=+∆-+∆∂∂. (1.6)其次，将弦线近似为质点可得22(,), ,x xua x t m x tρρ+∆∂==≈∆∂⎰(1.7)其中[],x x x x ∈+∆. 将(1.6)和(1.7)代入到(1.1)中便得20002(,)(,)(,)(,) .u u ux x t T x x t T x t f x t x t x xρ∂∂∂∆=+∆-+∆∂∂∂ (1.8)假设),(t x u 具有二阶连续偏导数，对（1.8）式右端前二项利用微分中值定理得2202022(,)(,)(,) ,u ux x t T x t x f x t x t xρ∂∂∆=∆+∆∂∂ (1.9)其中[]2,x x x x ∈+∆. (1.9)式两边同除x ∆，再令0→∆x 便得到),(t x u 所满足的方程22222(,) ,u u a f x t t x ∂∂=+∂∂ (1.10) 其中ρ2T a =，ρ),(),(0t x f t x f =.方程（1.10）刻划了柔软均匀细弦微小横振动时所服从的一般规律，即局部等量关系，人们称它为弦振动方程（vibrating string equation ）. 一根弦线的特定振动情况除满足弦振动方程外，还依赖于初始时刻弦线的状态和在弦线两端所受到外界的约束. 因此，为了确定一个具体的弦振动，除了列出它满足的方程以外，还必须给出它适合的初始条件(initial value condition)和边界条件(boundary value condition).初始条件：即给出弦线在时刻0=t 时的位移和速度，分别称为初始位移和初始速度,)()0,(x x u ϕ=， (,0)()t u x x ψ= ， l x ≤≤0 （1.11） 这里)(x ϕ和)(x ψ是已知函数. 边界条件：一般说来有三种.1.已知端点的位移变化，即)(),0(1t g t u =， )(),(2t g t l u =， 0≥t （1.12） 当0)()(21==t g t g 时，称弦线具有固定端.2.已知端点所受的垂直于弦线的外力,即)(),0(10t g t u T x =- ，)(),(20t g t l u T x =， 0≥t （1.13） 这里要注意在推导弦振动方程时，由于在小弦线左端，张力1T在u 轴方向的分量为),(0t x u T x -，而在右端，张力2T在u 轴方向分量为),(0t x x u T x ∆+.因此，在0=x 端，已知的外力)(1t g 相当于该端点的张力，即)(),0(10t g t u T x =-；同理，在l x =端，边界条件为)(),(20t g t l u T x =.当0)()(21==t g t g 时，称弦线具有自由端.3.在端点与弹性物体连接. 设弦线两端分别连接在弹性系数为1k 、2k 1(k ﹥0,2k ﹥0)的两个弹簧上，弹簧的长度分别为1l 和2l .这两个弹簧的另一端还分别连接在由函数)(1t Q 和)(2t Q 所表示的位置上（如图1.2），这时相当于两个弹簧的下端也随时间在运动.若12(),() ,Q t a Q t b ==此时相当于两个弹簧的下端固定.Qx图1.2在任意时刻0,=x t 端弹簧的实际伸缩量为11)(),0(l t Q t u --.由Hooke （虎克）定律可知该端的弹性恢复力（相当于张力）为))(),0((111l t Q t u k ---.取区间[]x ∆,0上相应的弦线，利用和建立弦振动方程完全相同的方法可得2011102(,)((0,)())(,)x uT u x t k u t Q t l f x x x t tρ∂∆---+∆=∆∂,令+→∆0x 得0111(0,)((0,)())0x T u t k u t Q t l ---=， 0≥t ,即)(),0(),0(11t g t u t u x =-σ， 0≥t ,这里011T k =σ﹥0，1111()(())g t Q t l σ=-+. 类似可得在l x =端边界条件为22(,)(,)()x u l t u l t g t σ+=，022T k =σ﹥0，2222()(())g t Q t l σ=+. 因此，在具有弹性支撑的边界，弦线的边界条件如下0=x 端 )(),0(),0(11t g t u t u x =-σ,0≥t （1.14） l x =端 )(),(),(22t g t l u t l u x =+σ,0≥t （1.15）+ = 初始条件和边界条件通常称为定解条件. 一个微分方程连同它相应的定解条件组成一个定解问题. 当考虑的弦线比较长时，一般认为弦长是无穷大.这时定解条件中就没有边界条件而只有初始条件，这也是一个定解问题.以下两个问题212(,), 0, 0 (1.16)(0,)(), (,)(), 0 (1.17)(,0)(), (,0)(), 0 tt xx t u a u f x t x l t u t g t u l t g t t u x x u x x x l ϕψ=+<<>==≥==≤≤ (1.18)⎧⎪⎨⎪⎩2(,), , 0 1.19(0,)(), (,0)(), . 1.20 tt xx t u a u f x t x t u t x u x x x ϕψ⎧=+-∞<<∞>⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩（）（）都是弦振动方程的定解问题. 在定解问题（1.16）—（1.18）中，即含有初始条件又含有边界条件，通常称为弦振动方程的混合问题. 而在定解问题（1.19）—（1.20）中只含有初始条件，称为弦振动方程的初值问题（或Cauchy 问题）. 注1 如果考虑膜的振动或者是声波在空气中的传播，利用和弦振动方程类似的过程可以导出膜振动方程为2222222((,,)u u u a f x y t t x y ∂∂∂=++∂∂∂. 而声波在空气中传播所满足的方程为222222222( )(,,,)u u u u a f x y z t t x y z∂∂∂∂=+++∂∂∂∂. 这些方程统称为波动方程(wave equation).1.1.2 热传导方程和定解条件 物理模型在三维空间中考虑一个均匀、各向同性的导热体，假定它内部有热源，并且与周围介质有热交换，求物体内部温度的分布.这里‘均匀’是指导热体的密度为常数，而‘各向同性’是指导热体内任一点处在各个方向上的传热特性相同.如导热体是由同一种金属构成的，就认为是具有各向同性性.导出方程设导热体在空间占据的区域为Ω(如图 1.3)，边界记为Ω∂.导热体的密度为ρ（千克/米3），比热为c （焦耳/度⋅千克），热源强度为),,,(0t z y x f （焦耳/千克⋅秒）. 以),,,(t z y x u （度）表示导热体在时刻t 点Ω∈),,(z y x 处的温度.任取一点Ω∈),,(z y x ，并取该点的一个充分小邻域Ω⊂G ，G 的边界为G ∂.在充分小的时段[]21,t t 上，区域G 的热量变化满足下面的等量关系式(1.21):分别计算并简化(1.21)中各项.从大学物理中我们知道，mcu Q =.由于区域G 充分小，时段[]21,t t 也充分小，故可视u 为常数，因而有21112(,,,)Q vcu x y z t ρ=∆ （1.22） 11111(,,,)Q vcu x y z t ρ=∆ （1.23） 01111(,,,)W f x y z t v t ρ=∆∆ （1.24） 其中G z y x ∈),,(111，[]211,t t t ∈，v ∆为区域G 的体积，12t t t -=∆.为计算边界流入热量Φ，要利用Fourier 热定律：在一定条件下，导热体内热流量q （焦耳/米2 秒）与温度的梯度成正比，即(,,)q k x y z =-u ∇，其中(,,)k x y z 为导热体内的导热系数，与介质的性态有关;负号表示热量从温度高处向温度低处流动. 由于我们考虑的是均匀、各向同性的导热体，故(,,)x y z ρρ=(,,)k x y z k =均为正常数.利用高等数学中的通量计算公式可得()Gq n ds t ∂Φ=⋅-∆⎰⎰, （1.25）这里n为G ∂的单位外法向量，()n - 表示计算通过边界G ∂的流入热量.假设u 对空间变量具有二阶连续偏导数，对时间变量具有一阶连续偏导数，利用高斯公式可得()Gq n ds t ∂Φ=⋅-∆⎰⎰ Gk u nds t ∂=∇⋅∆⎰⎰Gukds t n ∂∂=∆∂⎰⎰Gk udv t =∆∆⎰⎰⎰ t v t z y x u k ∆∆∆=),,,(1222 , （1.26）图 1.3这里G z y x u u u u zz yy xx ∈++=∆),(,22,2.将（1.22）—（1.26）代入到（1.21）中并对等式左端利用微分中值定理可得11122221(,,,)(,,,)t cu x y z t v t k u x y z t v t ρ∆∆=∆⋅∆∆t v t z y x f ∆∆+ρ),,,(11110.上式两边同除以t v ∆∆,并令0,0→∆→∆t v 得11(,,,)(,,,)t cu x y z t k u x y z t ρ=∆01(,,,) ,f x y z t ρ+2111(,,,)(,,,)(,,,) ,t u x y z t a u x y z t f x y z t =∆+由于1t 的任意性可得2(,,,)(,,,)(,,,) ,t u x y z t a u x y z t f x y z t =∆+（1.27） 或简写为2 ,t u a u f =∆+（1.28） 其中cka ρ=2﹥0，),,,(1),,,(0t z y x f c t z y x f =.方程（1.28）刻划了导热体内温度分布和变化所服从的一般规律，人们称其为三维热传导方程(heat equation).注2 如果同学们对高等数学中的微积分运算掌握比较熟练，（1.21）中各项也可以写成如下积分式⎰⎰⎰==Gt t dv cu Q 22ρ ， ⎰⎰⎰==Gt t dv cu Q 11ρ ，⎰⎰⎰⎰=Gt t dv f dt W 021ρ ， 21()t t Gq n ds ∂Φ=⋅-⎰⎰⎰. 将上面各项代入到（1.21）中，并用前面类似方法可导出（1.28）.注3 方程（1.28）虽然通常称为热传导方程，但绝不只是仅用来表示热传导现象.自然界中还有很多现象可用方程（1.28）来刻划，如分子在介质（如空气，水，…）中的扩散即为此例，因此也称（1.28）为扩散方程.注 4 如果考虑侧面绝热的均匀细杆或均匀薄板的温度分布，就分别得到一维热传导方程和二维热传导方程222(,) u u a f x t t x∂∂=+∂∂， 22222()(,,) u u u a f x y t t x y∂∂∂=++∂∂∂.为了具体确定某特定物体内部的温度分布，还需要知道该物体内部的初始温度分布以及在物体的边界所受到的约束或受到周围介质的影响.初始条件：导热体内在初始时刻0t =的温度分布,即(,,,0)(,,)u x y z x y z ϕ= , Ω∈),,(z y x （1.29） 边界条件：一般说来有三. 记[)∞⨯Ω∂=∑,0， 1.已知边界Ω∂上的温度分布，即),,,(t z y x g u =∑ （1.30） 2.已知通过边界Ω∂的热流量，即),,,(t z y x g nuk =∂∂∑（1.31） 0≥g 表示流入，0≤g 表示流出，0=g 表示在边界绝热.3.已知通过边界Ω∂与周围介质有热交换. 设),,,(1t z y x u 为Ω∂处介质的温度，1k 为两种介质之间的热交换系数（1k ﹥0）.根据Newton 定律（热传导的另一实验定律），从物体内部流到外部的热流量与两介质间的温差成正比，即有111() q k u u n =- ,其中n为Ω∂的单位外法向量.为了推导边界条件，完全类似于热传导方程的推导，任取一充分小区域G （如图 1.4），边界为21σσ⋃=∂G ，G ∂⊂1σ，Ω⊂2σ，2n为2σ上的单位法向量.在G 上等量关系式（1.21）成立，其中2Q ﹑1Q 和W 如附注2中的各式，而Φ分为两部分，一部分是通过G 的边界2σ由导热体流入的热量，另一部分是经1σ由周围介质流入的热量，故有图 1.421111()()t t dt q n ds σΦ=⋅-⎰⎰⎰+2122()()t t dt q n ds σ⋅-⎰⎰⎰⎰⎰⎰-⋅-=121)()(11σds u u k dt t t +2122t t udt kds n σ∂∂⎰⎰⎰. 将1Q ，2Q ，W 和φ代入到（1.21）中得22221111120112() d d ()d d t ttt t t t t t t GGuc u u v dt f v dt k u u s dt ks n σσρρ==∂-=+-+∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 利用⎰∂∂=-==2112t t t t t t dt tuu u 上式成为 222111120112 d d ()d d t t t t t t G G u u dt c v dt f v dt k u u s k s t n σσρρ⎡⎤∂∂=+-+⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,由于1t ，2t 任意性可得120112d d ()d d GG u ucv f v k u u s k s t n σσρρ∂∂=+-+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （1.32）令2σ趋于1σ，此时2n趋于1n -=n -，且区域G 的体积趋于零，（1.32）中三重积分趋于零，故有111 [()]d 0 ukk u u s nσ∂--=∂⎰⎰, 由Ω∂⊂1σ的任意性可得11 ()0 ,ukk u u n ∂--=∂ ,uu g nσ∂+=∂ (,,,).x y z t ∈∑ （1.33） 其中1k k σ=﹥0，1 g u σ=.（1.33）式称为热传导方程的第三类边界条件，有时也记为( ) uu g nσ∑∂+=∂，其物理意义为导热体在边界上与周围介质按Newton定律进行自然的热交换.注5 我们比较详细地给出了(1.14)和(1.33)的推导过程，主要目的是告诉同学们边界条件的导出和方程的导出过程是基本相同的. 惟一的区别在于在导出方程时，在( , b)a 或Ω内取小区间或小区域；而在推导边界条件时，要取包含区间端点的小区间或包含Ω的边界的小区域.注6 (1.33)式也可以利用热流量公式直接给出. 在导热体边界内部和外部的热流量分别为q k u =-∇ 和1111()q k u u n =-，在边界上二者应相等，即有1q n q n ⋅=⋅ ,此即11()uk u u k n∂-=-∂ , （1.34）(1.34)即为(1.33)式. 请同学们给出(1.14) 类似的导出过程.注7 如果导热体体积充分大，可认为导热体体积为无穷大，这时定解条件就只有初始条件而无边界条件，此类问题通常称为Cauchy 问题.1.1.3波以松方程和定解条件在上面研究导热体的温度分布问题中，如果f 和边界条件中的g 与t 无关，则经过相当长时间后，区域G 内各点温度趋于定值，因而有0=t u . 由(1.28) 得f a u 21=∆-. （1.35） (1.35)称为波以松(Poisson)方程, 当0≡f 时称为Laplace 方程. 由于u , f 与t 无关，所以Poisson 方程的定解条件只有边界条件而无初始条件. 下面给出Poisson 方程的三个定解问题., (,,), (,,).u f x y z u x y z ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ （1.36）其中 (,,)f x y z , ),,(z y x ϕ为已知函数. （1.36）通常称为狄利克莱(Dirichlet)问题., (,,), (,,) .u f x y z u x y z n ϕ-∆=∈Ω⎧⎪∂⎨=∈∂Ω⎪∂⎩ （1.37）(1.37）称为诺依曼（Neumann ）问题., (,,)( ), (,,) .u f x y z u u x y z n σϕ-∆=∈Ω⎧⎪∂⎨+=∈∂Ω⎪∂⎩ （1.38）（1.38）称为Poisson 方程的第三边值问题.在上面的三个定解问题中，如果(,,)0f x y z =，则称u 为区域Ω内的调和函数. 调和函数在偏微分方程的理论和应用研究中起着重要的作用，在后面的章节中要多次遇到这类函数.注8 考虑带有稳定电流的导体，如果内部无电流源，可以证明导体内的电位势满足Laplace 方程. 类似地对带有稳定电荷的介质，稳定电荷产生的静电势也满足Poisson 方程. 因而Laplace 方程和Poisson 方程有时也称为位势方程.§1.2 定解问题的适定性1.2.1 一些基本概念在第一节中我们已经介绍了偏微分方程的一些术语，下面再介绍一些相关的概念.凡含有未知函数以及未知函数偏导数的等式称为偏微分方程. 方程中最高阶导数的阶数称为偏微分方程的阶数. 如果方程关于未知函数及它的偏导数是线性的(一次的)，称方程为线性偏微分方程，否则称为非线性偏微分方程. 方程中不含有未知函数或它的偏导数的项称为自由项. 自由项为零的方程称为齐次偏微分方程，否则称为非齐次偏微分方程. 例如下面各方程均为偏微分方程. y x u u y u x y yy xx 22221=++ （2.1） x u e u xu xxx t 32=+- （2.2）cos 0tt xx x u u -= （2.3） 20 x y u u u += （2.4）xy u u u u x yyyy xxxx +=++2cos （2.5）其中(2.1)—(2.3)是二阶线性偏微分方程，(2.1)，(2.2)是非齐次的，而(2.3)是齐次的.(2.4)是一阶非线性齐次方程，这是由于y x u u 这一项是二次项.(2.5)是四阶非线性非齐次方程，非线性产生于u cos 和2x u 两项，自由项为xy .第一节导出的三类方程均为二阶线性偏微分方程.如果在一个定解问题中，方程和定解条件关于未知函数及它的偏导数全是线性的，称该问题为线性定解问题，否则称为非线性定解问题. 在第一节建立的定解问题中，它们都是线性定解问题. 下面定解问题20(,,,), (,,), 0, (,,),0(,,), (,,) .tt u u f x y z t x y z t u u x y z t nu x y z x y z ϕ=⎧-∆=∈Ω>⎪∂⎪=∈∂Ω≥⎨∂⎪⎪=∈Ω⎩其中方程是线性偏微分方程, 但边界条件为非线性的, 所以该问题是一个非线性定解问题.一般来讲，研究线性问题比较容易，而非线性问题的研究却要困难许多. 本书主要讨论线性定解问题.如果一个函数在自变量的某区域内具有某偏微分方程中所有的各阶连续偏导数，并且将它代入该方程时使方程成为恒等式，则称此函数为该方程的古典解.同理，对一个定解问题，如果一个函数是该定解问题中偏微分方程的古典解，并且满足定解条件，则称此函数为定解问题的古典解.例 2.1 设F (x ),G (x )在直线R 上具有二阶连续导数，),(),(1at x F t x u +=)(),(2at x G t x u -=，验证21u u 和在xot 平面上都是02=-xx tt u a u 的古典解.解 直接计算可得).( ),(''212'1at x F xu at x F x u +=∂∂+=∂∂ ).()( ,)( ''22''212'1at x F a a at x F tu a at x F t u +=+=∂∂+=∂∂ 代212 x u ∂∂，212 tu ∂∂到方程中即得结论成立. 类似可证2u 也是方程的古典解. 例2.2 （1）记2020)()(y y x x r -+-=， 1ln 21ru π=，验证u 在{}200R \(,)x y 上是方程0=+yy xx u u 的一个古典解.（2）记 202020)()()(z z y y x x r -+-+-=，1 4 u r π=,验证u 在{}3000R \(,,)x y z 上是方程0=++zz yy xx u u u 的一个古典解. 解（1） 21111(,)l n l n l n 224u x y r r r πππ==-=-，直接计算可得2042()1 2 xx x x u r r ππ-=- ， 2042()1 2 yy y y u r r ππ-=- , 222004242()()11 0 xx yy x x y y r u u r r r r ππππ-+-+=-=-=. （2） 类似可验证.例2.3 验证 ),(2y x y x u =在平面2R 上是 2y u u yy xx =+一个古典解.解 y u xx 2=， 0 =yy u ， y u u yy xx 2=+.例2.4 设t a x e xt a t x u 2421),(-=，验证),(t x u 在0>t 是20t xx u a u -=的古典解.本例请同学们自己验证.1.2.2 适定性概念定解问题的适定性(well-posed property),是讨论人们从实际问题中提出的数学模型，单纯地从数学上看是否很好. 这里牵涉到所谓“数学模型很好”在数学上的确切涵义问题. 由于回答这个问题需要较多的数学知识，在本课程中不可能完全讲清楚这一问题. 因此，我们只对适定性概念简单地给出解释，以使同学们对适定性概念了解其大意.从数学上讲，为使一个偏微分方程的定解问题正确地反映客观实际，就要求该定解问题的解存在，且只有一个解(绝大部分实际问题如此)以及解对定解数据是连续依赖的，简称定解问题的解具有存在惟一性和稳定性. 如果一个定解问题的解具有存在惟一性和稳定性，就称这个定解问题是适定的，在数学上就认为该定解问题是一个好的数学模型. 需要说明的是：自然界中的一些实际问题，本身就具有多个解或者解对定解数据比较敏感，其相应的数学模型也具有类似的性质. 相对于适定问题而言，这类问题的解不同时具有存在惟一性和稳定性，称为不适定问题或“病态问题”.解的存在惟一性与在什么样的函数类内寻求定解问题的解有关，而解的稳定性与在所考虑的函数类中选取的度量有关. 在近代偏微分方程的理论中[1]，提出了与古典解不同的所谓强解、弱解、广义解等概念. 在以后的工作和学习中,同学们可能会接触到这些概念，在这里我们就不介绍它们了. 本书所涉及到定解问题的适定性，均指古典解的存在惟一性和稳定性.书中遇到的大多数定解问题，它们的适定性都已被前人解决了，我们主要是研究定解问题的解法.下面给出一个弦振动方程定解问题的适定性结果.考虑两端固定的弦振动方程的混合问题20 , 0 , 0(0,)(,)0 , 0 (,0)() , (,0)() , 0tt xx t u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（2.6）定理2.1*[1] 设[][] ,0C (x) , ,0)(23l l C x ∈∈ψϕ以及)( , )(x x ψϕ在点),0,0( )0,(l 适合以下的相容性条件：0)()0()()0()()0(''''======l l l ψψϕϕϕϕ （2.7） 则定解问题（2.6）是适定的.注1 记号[]l C k ,0或[]()0,k C l （k 为非负整数）表示在闭区间[]l ,0上的一切k 阶连续可导的函数所成的集合. 当0=k 时，即连续函数所成的集合. 对于多元函数也常用该记号. 设n R Ω⊂为有界区域，)(Ωk C 表示在Ω内的一切具有k 阶连续偏导数的函数所成的集合，而)(Ωk C 则表示在闭区域Ω上的一切具有k 阶连续偏导数的函数所成的集合. 当0=k 时，即由一切连续函数所成的集合.§1.3 叠加原理1.3.1 叠加原理线性问题和非线性问题最根本的区别是:线性问题的解满足所谓的叠加原理(superposition principle)，而非线性问题解一般来讲不满足叠加原理. 从物理上解释，叠加原理即是对一个线性系统，几种不同的外因同时作用所产生的效果等于各外因单独作用产生的效果的累加. 例如，若干个点电荷产生的电位，可由这些点电荷各自单独存在时所产生的电位相加而得出；又如，几个外力作用在一个物体上所产生的加速度，等于这些外力单独作用在该物体上产生的加速度之和.可以举出许多这样的例子，因此可以说叠加原理是一切线性问题所共有的性质，对求解线性偏微分方程有着重要的作用. 下面我们以二个自变量的二阶线性偏微分方程为例，比较详细地介绍这一重要原理.设自变量为,x y （也可为t x ,）未知函数为),(y x u . 则二阶线性偏微分方程的一般形式为 22211122212222u u u u u a a a b b cu f x x y y x y∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂ （3.1） 这里f c i b j i a i ij ,),21(),2,1(≤≤≤≤均是自变量y x ,的函数. 如果记 22211122212222u u u u u Lu a a a b b cu x x y y x y∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂, 这里L 是下面的算符 22211122212222L a a a b b c x x y y x y∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂, （3.2） 通常称L 为二阶偏微分算子.设βα,是两个常数，),(),,(21y x u y x u 是二个具有二阶连续偏导数的函数，一般地简记为12,u u . 利用求导运算的线性性质易证下式成立1212()L u u Lu Lu αβαβ+=+ , （3.3）即L 是一个线性算子.引进今后常用的三个二阶偏微分算子如下： □＝22222xa t ∂∂-∂∂ （3.4） △＝2222x y∂∂+∂∂ （3.5） 222xa t H ∂∂-∂∂= （3.6） 它们分别称为波算子， Laplace 算子和热算子. 由于它们均是（3.2）的特殊形式，故这三个算子全是二阶线性偏微分算子.叠加原理1 设L 是（3.2）中的二阶线性偏微分算子，(1)i i n α≤≤为n 个任意常数，(,)(1)i f x y i n ≤≤为平面区域Ω内的n 个已知函数，∑==ni i i f f 1α .若)1)(,(n i y x u i ≤≤在区域Ω内是如下方程的解i f Lu = （3.7）则方程f Lu = （3.8） 可解，且∑==ni i i u u 1α是（3.8）在区域Ω内的一个解.注1 叠加原理1是线性偏微分方程解关于自由项f 的叠加性. 如要解方程2132f f Lu -=，只要解方程21f Lu f Lu ==和，如果它们可解且解分别为),,(),(21y x u y x u 和则原方程解为1223u u u =-.注 2 叠加原理1中给出的自由项1ni i i f f α==∑是有限和. 对于无穷级数1i i i f f α∞==∑，如果该级数在区域Ω内收敛，且相应的解1i i i u u α∞==∑在区域Ω内也收敛并且可以逐项求一阶和二阶偏导数，相应的二阶偏导数的级数在区域Ω内一致收敛，此时叠加原理1的结论仍成立. 下面介绍的叠加原理也具有类似性质，今后不再重复说明.对于线性定解问题,如果边界条件为齐次的，则叠加原理也成立. 下面我们以弦振动方程的一个混合问题为例来介绍，对其它定解问题类似结论仍成立.考虑如下定解问题，其中□为（3.4）中的波算子，212(,), 0, 0 (0,)g (), (,)g (), 0(,0)(), (,0)(), 0.tt xx t u u a u f x t x l t u t t u l t t t u x x u x x x l ϕψ⎧=-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩口 （3.9） 首先将边界条件齐次化，即将)(1t g ，)(2t g 化为零. 其方法是选一个已知的二元函数),(t x w 满足)(),0(1t g t w =，)(),(2t g t l w =. 然后令w u v -=，将关于u 的定解问题（3.9）转化为关于v 的具有齐次边界条件的定解问题.满足)(),0(1t g t w =，)(),(2t g t l w =的(,)w x t 很多，几何上表示在(,)x w 平面找一条曲线过))(,())(,0(21t g l t g 和两点（这里将t 视为常数）. 最简单的曲线是过二点的直线，故可选),(t x w 如下x lt g t g t g t x w )()()(),(121-+=. 令w u v -=，则有111(,)(0,)(,)0(,0)(,0)(,0)()(,0)()(,0)(,0)(,0)()(,0)() .t t t t v u w f w f x t v t v l t v x u x w x x w x x v x u x w x x w x x ϕϕψψ=-=-====-=-==-=-=口口口口这里11(,) ,()f x t x ϕ和()x ψ都是已知函数. 仍将11(,) ,(,) ,()v x t f x t x ϕ和1()x ψ记为(,) , (,), () u x t f x t x ϕ和()x ψ，则（3.9）成为如下定解问题2(,), 0, 0 (0,) (,)0,0 (,0)(), (,0)(), 0. tt xx t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（3.10）将上面定解问题（3.10）分解为如下三个定解问题2(,), 0, 0 (0,) (,)0, 0(,0)0, (,0)0, 0 tt xx t u a u f x t x l t u t u l t t u x u x x l ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⋅⎩（3.11） 20, 0, 0 (0,) (,)0, 0 (,0)(), (,0)0, 0 tt xx t u a u x l t u t u l t t u x x u x x l ϕ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⋅⎩（3.12）20, 0, 0 (0,) (,)0, 0 (,0)0, (,0)(), 0 tt xx t u a u x l t u t u l t t u x u x x x l ψ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⋅⎩（3.13）叠加原理 2 设12(,) ,(,)u x t u x t 和3(,)u x t 分别是定解问题（3.11），（3.12）与（3.13）的解，则321u u u u ++=是定解问题（3.10）的解.叠加原理 3 对定解问题（3.10），设11(,)(,), ()(),n n n n f x t f x t x x ϕϕ∞∞====∑∑1 ()()n n x x ψψ∞==∑， 如果对每个1n ≥，(,)n u x t 是如下问题的解2(,), 0, 0 (0,) (,)0, 0(,0)=(), (,0)(), 0 tt xx n n t n u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⋅⎩则1(,)(,)n n u x t u x t ∞==∑是定解问题（3.10）的一个解.注3 和附注2中的说明类似，叠加原理 3的证明也要用到无穷级数一致收敛和逐项求导的相关知识，在这里我们不做专门讨论，而是假定所要求的运算都成立.例3.1 求方程2237xx yy u u u x xy y ∆=+=+- （3.14） 的任意一个解.解 由叠加原理1可知，只需分别求出如下三个方程的一个解2x u =∆,2y u =∆,xy u =∆. 易见41121),(x y x u =，42121),(y y x u =和331(,)6u x y x y =分别是上述三个方程的一个解，故13237u u u u =+-是原方程的一个解.例3.2 将如下定解问题中的方程齐次化222222223, , .xx yy u u u x xy y x y R u xy x y R ⎧∆=+=+++<⎪⎨=+=⎪⎩ （3.15） 解 由例1知4431231(,)3(6)12w x y u u u x y x y =++=++是方程的一个解，令w u v -=，则（3.15）转化为 2224432220 , 1(6), .12v x y R v xy x y x y x y R ⎧∆=+<⎪⎨=-+++=⎪⎩1.3.2 叠加原理的应用偏微分方程定解问题的解绝大多数以无穷级数或函数卷积形式给出，解的这种形式在本质上是叠加原理在求解过程的反映.设A 为n m ⨯矩阵，n T n R x x x ∈=),,(1 ，秩r A =)(. 在线性代数中我们知道：齐次线性方程组0=Ax 的解构成n R 的一个)(r n -维线性子空间0X . 进而,若已知)1(r n k k -≤≤α 为0=Ax 的解，且1α ，…，r n -α 线性无关，则1α ，…，r n -α 构成0X 一个基，并称之为齐次方程0=Ax 的基解组. 因此Ax b =的任一解x 可表示为 1n rk k k x c x α-==+∑ ，其中x 为非齐次方程Ax b =的一个特解. 因此，求解非齐次方程Ax b =就归结为找出齐次方程的一个基解组},,{1r n -αα 和非齐次方程的一个特解，并利用基解组中向量的线性组合和特解给出非齐次方程的任一解.对于偏微分方程的线性定解问题，求解过程基本类似. 即先找出相应定解问题的基解组，在偏微分方程理论中称基解组中的解为特征函数(eigenfunction)，基本解(fundamental solution)或Green 函数(Greens function)，然后用特征函数，基本解或Green 函数表示一般解. 不同于线性代数方程组解表示的有限和形式，偏微分方程定解问题的解主要是以无穷级数（无穷和）或积分形式给出.根据定积分的定义，则积分形式可理解为离散无穷和的极限形式，即是无穷和的连续形式. 下面以一维热传导方程Cauchy 问题为例，说明其求解的基本思想和解的具体表示形式，这里重在说明方法而不苛求于运算的合理性.首先简单介绍广义函数δ－函数，它在偏微分方程理论中具有重要的作用.设在x 轴上有质量分布，线密度为),(x ρ则)(x ρ是xx m ∆∆)(当0x +∆→时极限，)(x m ∆表示该区间上质量. 因此，)(x ρ可理解为单位长度区间上的质量. 如在i x ξ=点置放一个单位质量而其余处无质量分布，利用密度的计算公式可得：x 轴上的质量密度函数为⎩⎨⎧=∞+=-其它,0 ,)(i i x x ξξδ 该函数不能用以前学过的函数概念来理解，它是一个广义函数，称为δ－函数.由于质量线密度的积分值为总质量，即⎰∞∞-=- 1)(dx x i ξδ.因此，广义函数()i x δξ-可以理解为直线上单点单位质量分布的质量密度函数.例如，在1x =-处置放三个单位质量而其余处无质量分布，则x 轴上的质量密度函数便为3(1)x δ+.设x 轴上有初始温度分布)()0,(x x u ϕ=，将质量与热量相比照，线密度)(x ρ与)(x ϕ相比照，可认为)(x ϕ表示单位长度区间上的热量，而)()0,(i x x u ξδ-=可理解为在i x ξ=点置放了一个单位热量的点热源而产生的初始温度分布.考虑如下定解问题2(,), , 0 (,0)(), .t xx u a u f x t x t u x x x ϕ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩ （3.16）将此问题分为二个定解问题20, , 0 (,0)(), .t xx u a u x t u x x x ϕ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩ （3.17）2(,), , 0 (,0)0, .t xx u a u f x t x t u x x ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩ （3.18）现在考虑（3.17）和（3.18）的特殊情形20, , 0 (,0)(), .t xx u a u x t u x x x δξ⎧-=-∞<<∞>⎨=--∞<<∞⎩ （3.19）2()(), , (,0)0, .t xx u a u x t x t u x x δξδττ⎧-=---∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩ （3.20）其中R ∈ξ，0>τ.（3.19）的物理意义是在初始时刻0=t 时，在直线上ξ=x 点置放一单位点热源所产生的温度分布. 而（3.20）的物理意义则是在),(t x 平面上点),(τξ处置放一个单位点热源产生的温度分布. 记（3.19）和（3.20）的解分别为(,,)x t ξΓ和(,,,)x t ξτΓ，);,(ξt x Γ即为问题（3.16）的基本解. 利用基本解可给出（3.17）和（3.18）解的具体表达式.对问题（3.17），可将其近似分解为许多个类似于问题（3.19）的子问题.方法是将x 轴进行划分（如图3.1），分点为)(Z i i ∈ξ，在小区间[]1,+i i ξξ上将)(x ϕ视为常数，由于)(x ϕ表示单位长度区间上的热量，故该子区间的热量近似为i i i i i ξηϕξξηϕ∆=-+)())((1，[]1,+∈i i i ξξη.将此热量集中到i x η=点视为点热源，由于单位点热源产生的温度为);,(i t x ηΓ,由叠加原理可知此点热源产生的温度应为(,,)()i i i x t ηϕηξΓ∆. 在每个小区间上如法处理，并再次利用叠加原理可得（3.17）解近似为(,)(,,)()i i i i u x t x t ηϕηξ+∞=-∞≈Γ∆∑，。

数学模型在物理实验中的构建方法摘要：在物理实验中，数学模型的构建是一项关键任务。

本文将介绍数学模型的构建方法，并探讨其在物理实验中的应用。

首先，我们将讨论数学模型的基本概念和构建步骤。

然后，我们将通过几个具体的实例来说明数学模型在物理实验中的应用。

最后，我们将总结数学模型在物理实验中的重要性。

1. 数学模型的基本概念和构建步骤数学模型是利用数学语言和方法来描述和解释实际问题的工具。

在物理实验中，数学模型可以帮助我们理解复杂的物理现象，并对其进行定量分析。

构建数学模型的第一步是明确问题和目标，然后确定模型的基本假设和变量。

接下来，我们需要选择合适的数学表达式和方程来描述变量之间的关系。

最后，我们需要利用计算机软件或数值方法对模型进行求解，并通过实验数据进行验证和修正。

2. 数学模型在物理实验中的应用实例（1）弹簧振子模型：考虑一个简单的弹簧振子系统，我们可以通过数学模型来描述其振动的频率和周期。

首先，我们需要建立弹簧的力学方程，即胡克定律。

然后，我们可以通过求解这个方程来得到弹簧振子的频率和周期。

实验可以通过测量弹簧的振动频率和周期来验证数学模型的准确性。

（2）热传导模型：考虑一个热传导问题，我们需要构建一个数学模型来描述热量在不同材料之间的传递过程。

首先，我们可以利用热传导方程来描述热量的传递。

然后，我们可以通过求解这个方程来得到不同材料之间的温度分布和变化规律。

实验可以通过测量不同材料的温度分布和变化来验证数学模型的准确性。

（3）流体力学模型：考虑一个流体力学问题，比如水流经一段管道的流速和压力变化。

我们可以利用流体力学方程和连续性方程来建立一个数学模型。

然后，我们可以通过求解这个模型来得到流速和压力的变化规律。

实验可以通过测量水流的流速和压力变化来验证数学模型的准确性。

3. 数学模型在物理实验中的重要性数学模型在物理实验中起着至关重要的作用。

首先，数学模型可以帮助我们理解和解释物理现象，并揭示其背后的规律性。

常见的建立数学模型的方法1983年，数学建模作为一门独立的课程进入我国高等学校，在清华大学首次开设。

1987年高等教育出版社出版了国内第一本《数学模型》教材。

20多年来，数学建模工作发展的非常快，许多高校相继开设了数学建模课程，我国从1989年起参加美国数学建模竞赛，1992年国家教委高教司提出在全国普通高等学校开展数学建模竞赛，旨在“培养学生解决实际问题的能力和创新精神，全面提高学生的综合素质”。

近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越来越高，而数学模型和数学建模也被广泛地应用于其他学科和社会的各个领域。

本文主要介绍了数学建模中常用的方法。

常见的建立数学模型的方法 1原型就是人们在社会实践中所关心和研究的现实世界中的事物或对象。

模型是指为了某个特定目的将原型所具有的本质属性的某一部分信息经过简化、提炼而构造的原型替代物。

一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。

数学模型是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，进行一些必要的抽象、简化和假设，借助数学语言，运用数学工具建立起来的一个数学结构。

数学建模是指对特定的客观对象建立数学模型的过程，是现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示，是构造刻画客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。

二、教学模型的分类数学模型从不同的角度可以分成不同的类型，从数学的角度，按建立模型的数学方法主要分为以下几种模型：几何模型、代数模型、规划模型、优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型等。

常见的建立数学模型的方法 31.类比法数学建模的过程就是把实际问题经过分析、抽象、概括后，用数学语言、数学概念和数学符号表述成数学问题，而表述成什么样的问题取决于思考者解决问题的意图。

类比法建模一般在具体分析该实际问题的各个因素的基础上，通过联想、归纳对各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知关系，在不同的对象或完全不相关的对象中找出同样的或相似的关系，用已知模型的某些结论类比得到解决该“类似”问题的数学方法，最终建立起解决问题的模型。