2015高一升高二暑期数学第8讲——直线与方程

高中数学第三章 直线与方程(校外补课必备)一、倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向 与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°.当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式:给定两点),(),,(222111y x P y x P ,21x x ,用两点的坐标来表示直线21P P 的斜率：斜率公式:3.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即二、直线方程.①直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k②直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b③直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠④直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B),0(b ，其中0,0≠≠b a⑤直线的一般式方程: 0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）注意：各种直线方程之间的互化。

30天决战高考原创资料中心30天决战高考——2015学年高考数学分类讲解：直线方程主编：贾海琴老师 主编单位：永辉中学生教育学习中心一、直线的斜率与倾斜角： 1、直线的斜率：（1）、b kx y +=，其中k 为斜率。

（2）、直线的斜率：2121x x y y k --=（其中),(11y x ，),(22y x 为直线上的两点）。

（3）、设),(11y x A ，),(22y x B 是直线b kx y +=上两点得到b kx y +=11①；b kx y +=22②； ①-②得到：212121212121)()()(x x y y k x x k kx kx b kx b kx y y --=⇒-=-=+-+=-。

2、直线的倾斜角：（1）、直线的倾斜角的定义：直线与x 轴正方向的夹角； （2）、直线的倾斜角的计算：如下图所示：如图：α角为直线的倾斜角，),(11y x ，),(22y x 为直线上的两点； 根据三角函数在直角三角形中的定义得到：2121tan x x y y --=α；根据直线的斜率计算式得到：2121x x y y k --=；所以：αtan =k 。

（3）、直线的倾斜角与斜率之间的关系：αtan =k （斜率等于倾斜角的正切）。

二、直线的平行与垂直以及两条直线的夹角： 1、两条直线的平行：如下图所示：设：111:b x k y l +=；222:b x k y l +=；2121//θθ=⇒l l （两条直线平行，同位角相等）2121tan tan k k =⇒=⇒θθ（直线的斜率等于倾斜角的正切）。

所以：2121//l l k k ⇔=。

（两条直线斜率相等，两条直线平行） 如果两条直线都是一般式方程：直线0:1111=++C y B x A l ，直线1l 的斜率为111B A k -=； 直线0:2222=++C y B x A l ，直线2l 的斜率为222B A k -=； 所以：122122112121//B A B A B AB A k k l l =⇔-=-⇔=⇔。

α0°。

则直线的l 与x l 做直线的倾斜角。

当直线轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为倾斜角的取值2.确定一条直线的条件：直线上的一点和这个直线的倾斜角可以惟一确定一条直线。

3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角。

4.坡度（倾斜程度）：日常生活中，我们用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即α的正切值叫做这条直线的斜率5.斜率：一条直线的倾斜角，我们用斜率表示直线的倾斜程度。

斜率常用表示，小写字母k注意：倾斜角是90°的直线没有斜率。

的直线的斜率公式(,),(,)6.经过两点≠P x y P x y x x 11122212()为l 1与l 2l l 1k 1=k 2l 1和l 2注意：若直线可能重合时，我们得到⇔∥2或重合8.如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果它们的斜率之积等于1⊥2⇔12=--1，那么它们互相垂直，即l l k k 15二、直线的方程（个）-0==0,l l 与x l 的倾斜角为0°时，tan0°=0，即k=0y -y 0=k (x -x 01.直线的点斜式方程（简称点斜式）：)【当直线，这是直线轴平行或重合，的方程就是y y y y 或0】注意：直线的点斜式方程仅适用于有斜率的情形，所以在求直线的方程时，应先讨论直线有无斜率。

0,y l x a l 与x 截距：我们把直线轴交点,0()的横坐标a 叫做直线在轴上的截距。

我们把直线与轴交点b () l 在y 的纵坐标b 叫做直线轴上的截距。

注意：截距不是距离，截距是数。

2.直线的斜截式方程（简称斜截式）：=+y kx b 注意：直线的斜截式方程仅适用于有斜率的直线。

注意：①直线的两点式方程不适用于没有斜率或斜率为0的直线。

一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的夹角α叫高一数学必修：直线与方程（知识点）②若P x y P x y ,,,111222()()中有=x x 12或=y y 12时，直线PP 12没有两点式方程。

1 高一升高二精品衔接材料（直线的一般方程）一：基础知识1.直线和二元一次方程的关系（1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程.因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，在α≠90°和α＝90°两种情况下，直线的方程可分别写成y ＝kx ＋b 和x ＝1x 这两种形式，它们又都可变形为Ax ＋By ＋C ＝0的形式，（且A 、B 不同时为0）.（2）在平面直角坐标系中，任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.因为x ，y 的二元一次方程的一般形式是Ax ＋B y ＋C ＝0，其中A 、B 不同时为0，在B ≠0和B ＝0的两种情况下，二元一次方程可分别化成直线的斜截式方程y ＝－B C x B A -和表示与y 轴平行或重合的直线方程x ＝－AC . 根据上述结论，我们可以得到直线方程的一般式.2.直线方程的一般式：Ax ＋By ＋C ＝0（其中A 、B 不同时为0）.说明：（1）对于一般式，其更深刻的含义在于反映了直线与方程（即形与数）的一一对应关系。

（2）今后在求直线方程时，如无特别说明结果一般都须用直线的一般式方程表示。

二：例题讲解例1：根据下列条件，写出直线方程，并把它化成一般式。

（1）经过点（8，-2），斜率为21-； （2）经过点（4，2），平行于x 轴；（3）经过点)4,5(),2,3(21--P P ； （3）在x,y 轴上的截距分别是3,23-。

变式练习：1：已知直线经过点A (6，－４)，斜率为－34，求直线的点斜式、斜截式和一般式方程； 2：求过点（2，-1），倾斜角是直线4340x y -+=倾斜角的一半的直线方程。

课堂练习：1.求过点P （2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程.2、已知直线:0l ax by c ++= 且0,0ab bc <<，则l 不通过的象限是第___象限A 、第一B 、第二C 、第三D 、第四10、已知直线l 与直线0743=-+y x 的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程。

讲义：直线与方程内容讲解：1、直线的倾斜角和斜率：（1）设直线的倾斜角为0180，斜率为k ，则tan2k.当2时，斜率不存在. （2）当090时，0k ；当90180时，0k.（3）过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线斜率212121()y y k x x x x .2、两直线的位置关系：两条直线111:l y k x b ，222:l y k x b 斜率都存在，则：（1）1l ∥2l 12k k 且12b b ；（2）12121l l k k ；（3）1l 与2l 重合12k k 且12b b 3、直线方程的形式：（1）点斜式：00y y k x x （定点，斜率存在）（2）斜截式：y kx b （斜率存在，在y 轴上的截距）（3）两点式：1121212121(,)y y x x y y x x y y x x （两点）（4）一般式：2200x y C A B （5）截距式：1xya b（在x 轴上的截距，在y 轴上的截距）4、直线的交点坐标：设11112222:0,:0l Ax B y c l A x B y c ，则：（1）1l 与2l 相交1122A B A B ；（2）1l ∥2l 111222A B C A B C；（3）1l 与2l 重合111222A B C A B C .5、两点111(,)P x y ，222(,)P x y 间的距离公式22122121()()PP x x y y 原点0,0与任一点,x y的距离22OPxy6、点000(,)P x y 到直线:0l xy C 的距离022Ax By CdA B（1）点000(,)P x y 到直线:0l x C 的距离0Ax CdA （2）点000(,)P x y 到直线:0l y C 的距离0By CdB （3）点0,0到直线:0l x y C 的距离22C dAB7、两条平行直线10xy C 与20xy C 间的距离1222C C dAB8、过直线1111:0l A x B y c 与2222:0l A xB y c 交点的直线方程为111222()()A xB yC A x B y c R9、与直线:0l x y C 平行的直线方程为0x y D C D与直线:0l xy C 垂直的直线方程为xy D 10、中心对称与轴对称：（1）中心对称：设点1122(,),(,)P x y E x y 关于点00(,)M x y 对称，则12012022x x x y y y （2）轴对称：设1122(,),(,)P x y E x y 关于直线:0l x y C 对称，则：a 、0B 时，有122x x C A且12y y ；b 、0A 时，有122y y C B且12x xc 、0A B 时，有1212121222y y B x x A x x y y AB C 典型例题例1.已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．①当m ＝时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝时，直线在x 轴上的截距为1．③当m ＝时，直线在y 轴上的截距为－23．④当m ＝时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝时，直线过原点．变式训练 1.（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°（2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是（）A ．－3，4B ．2，－3C ．4，－3D ．4，3（3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是（）A ．7B ．－77C ．77D ．－7（4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是．例2.已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.变式训练 2.设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.例3．直线3y x 绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( )（Ａ）1133yx（Ｂ）113yx （Ｃ）33yx （Ｄ）113yx 例4．（全国Ⅰ文）若直线m 被两平行线12:10:30l xy l xy 与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15②30③45④60⑤75其中正确答案的序号是.（写出所有正确答案的序号）例5.已知三角形的顶点是A(－5,0)、B(3,－3)、C(0,2) ，求这个三角形三边所在的直线方程.例6.一条直线从点A(3,2)出发,经过x轴反射,通过点B(－1,6),求入射光线与反射光线所在的直线方程例7、已知点A(－3,5) 和B(2,15) , 在直线l：3x－4y+4=0上找一点P, 使|PA|+|PB|最小, 并求这个最小值.例8、在等腰直角三角形中,已知一条直角边所在直线的方程为2x-y=0,斜边的中点为A(4,2),求其它两边所在直线的方程.例9、求过点P(－5,－4)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程.PA的值为最小.例10、已知点A(2,5)与点B(4,－7),试在y轴上求一点P,使及PB例11、过点A(0,1)做一直线l,使它夹在直线1l:x-3y+10=0和2l:2x+y-8=0间的线段被A点平分,试求直线l的方程.巩固训练，则m的值是（）1、直线(2m2-5m-3)x-(m2-9)y＋4=0的倾斜角为4A、3B、2C、-2D、2与32、点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是 ( )A、 (－a,－b) B 、 (a,－b) C、 (b,a) D、 (－b,－a)3、已知l 平行于直线3x+4y－5=0, 且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是 ( )A、3x+4y－122=0B、 3x+4y+122=0C、 3x+4y－24=0D、3x+4y＋24=04、若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为( )A、1B、2C、3D、45、已知菱形的三个顶点为（a,b ）、（－b,a ）、（0，0），那么这个菱形的第四个顶点为（）A 、(a －b,a ＋b) B、(a ＋b, a －b) C、(2a,0) D、(0,2a)6、若点(4，a)到直线4x-3y=1的距离不大于3，则a 的取值范围是（）A 、010， B、(0，10)C 、13313，D 、(-∞，010，＋∞）7、过定点P(2,1)作直线l ,交x 轴和y 轴的正方向于A 、B ，使△ABC 的面积最小，那么l的方程为（）A 、x-2y-4=0 B、x-2y+4=0 C、2x-y+4=0 D、x+2y-4=08、若直线Ax ＋By ＋C=0与两坐标轴都相交，则有（）A 、A ·Ｂ0 B、A 0或B 0 C、C 0 D、A 2＋B 2=09、已知直线l 1：3x ＋4y=6和l 2：3x-4y=-6，则直线l 1和l 2的倾斜角是（）A 、互补 B、互余 C、相等 D、互为相反数10、直线(2m 2-5m-3)x-(m 2-9)y ＋4=0的倾斜角为4，则m 的值是（）A 、3 B、2 C、-2 D、2与311、△ABC 的一个顶点是A(3,-1),∠B 、∠Ｃ的平分线分别是x=0,y=x ，则直线BC 的方程是（） A、y=2x+5 B 、y=2x+3 C、y=3x+5 D、y=-252x 12、直线kx －y=k －1与ky －x=2k 的交点位于第二象限，那么k 的取值范围是( )A 、k ＞1 B、0＜k ＜21 C 、k ＜21 D 、21＜k ＜113、直线(m+2)x+m y m m 2)32(2在x 轴上的截距是3,则实数m 的值是( )A 、52 B 、6 C 、-52 D、-614、若平行四边形三个顶点的坐标为(1，0)，(5，8)，(7，4),则第四个顶点坐标为。

必修二《直线与方程》知识方法解析几何：又叫做坐标几何，早先也被称作笛卡尔几何，使用代数计算方法分 析研究几何学的问题。

重要思想：数形结合思想。

重要能力：计算能力。

基本知识方法：2、直线的倾斜角定义：当直线与x 轴相交时，兀轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角;当直线与兀轴平行或重合时,规定它的倾斜为为0度。

因此，倾斜角的取值范围是〔0° WaV180°2、直线的斜率（1）定义：£ = tana （&工90°）。

特別地，当□ =90°时，k 不存在.③ 两点式：丄二生=兰二互（州工左」H ”）（仅能表示斜率存在且不为0的直线） 旳一 X 兀2 一旺 一 一④ 截距式：兰+上=1@工0,/7北0）（仅能表示斜率存在且不为o 且不过原点的直线）a b⑤ 一般式：Ax+By + C = O （A 2 + B 2 ^0）,（能表示任意一条直线）特别地：过点（无°,%）的直线，当斜率为0时，直线的方程是y=v 0；当斜率不存在时，直线的方程是兀=兀。

说明：1、纵截距是直线与y 轴交点的纵坐标，横截距是直线与x 轴交点的横坐标。

切勿把“截距”与“距离”混淆2、通常选用“一般式”表示直线的方程。

注意：使用斜率需先判断斜率是否存在；使用截距需先判断截距是否为0。

若不确定，则需要分类讨论。

（2）公式:（兀|丰x 2）捉醒：所有直线均有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。

3、 斜率与倾斜角的变化关系本质是正切函数在［0,兀）内的图像与性质。

当0°<-QT 90°时，0<-kT+oo ；当 9 0°<-^^180° 时，—OOJ R T O 。

即：从左至右，上升的直线越陡，斜率越大；下降的直线越陡，斜率越小。

① 点斜式:y-y （）=k （x-x Q ）② 斜截式：y = kx + b（仅能表示斜率存在的直线）;5、三个距离公式① 两点间距离：\P }P 2\ = 7（^-^2）2+（^-^2）2② 点到直线距离：已知点P （；Wo ），A ：Ar+Ey + C = O则点P 到直线厶的距离为d 」山（广叭）+ 4 （使用前将直线方程化为一般式） ③平行直线间距离：已知/]： Ar+By + C]=O, /2: Ax+By + C 2 =0, (C)^C 2)6、四种两条直线位置关系判断的方法:（1）斜率法① 4 /〃2 U> =也=心=£或/，妬都不存在； 勺=W 】/〃2或4,厶重合。