湖北省随州市2020-2021学年高一升高二教学检测数学试题 2020.8 Word版含答案

随州一中2020—2021学年度第一学期期中考试高二数学试题考试时间：120分钟 分值：150分★祝考试顺利★注意事项:1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

第1-8题是单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

第9-12题是多选题，多选不给分，漏选给3分。

请将正确的答案填涂在答题卡上）1．设公比为3的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31S =，则456a a a ++=( ) A ．3 B ．9C ．27D ．812．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且111313a S ==，则9a =( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ． 6 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为*,n S n ∈N ．若12130,0S S ><,则数列{}n a 的最小项是( )A ．第6项B ．第7项C ．第12项D ．第13项4．直线230x y --=与圆()()22239x y -++=交于,E F 两点,则EOF △(O 是原点)的面积为( )A ．32B ．34 C ． D ．5．已知P 是直线:3480l x y ++=上的动点，,PA PB 是22:2210C x y x y +--+=的两条切线（,A B 为切点），则四边形PACB 面积的最小值为（ ）AB ．C ．2D ．6．直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为则直线的斜率为( )A B ．C ．D ．7．已知直线:l y x m =+与曲线x ,则实数m 的取值范围是( )A ．[2,-B ．(2]--C ．[2,D ．(2]-8．在正整数数列中,由1开始依次按如下规则,将某些数染成红色．先染1;再染两个偶数2,4;再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9;再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16;再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25．按此规则一直染下去,得到一红色数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,…,则在这个红色数列中,由1开始的第2018个数是( ) A ．3971 B ．3972 C ．3973 D ．39749．（多选题）设有一组圆()224*:(1)()k C x y k k k -+-=∈N ,则下列为真命题的是( )A ．存在k ,使圆与x 轴相切B ．存在一条直线与所有的圆均相交C ．存在一条直线与所有的圆均不相交D ．所有的圆均不经过原点10．（多选题）已知函数()22()()n n f n n n ⎧⎪=⎪⎩-⎨当为奇数时当为偶数时，且()()1n a f n f n =++，则n a 等于( )A ．()21n -+B ．21n -C ．21n +D ．12n -11．（多选题）下列命题是真命题的是( ) A ．直线()3430)3(m x y m m ++-+=∈R 恒过定点()3,3--B ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:0l x y -的距离等于1C ．若圆221:20C x y x ++=与圆222:480(20)m C x y x y m =-+<+-恰有三条公切线,则4m =D ．若直线221cos sin 10(1)(sin )16x y x y θθθ+-=-+-=与圆相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是12．（多选题）在数列{}n a 中,*123311,2,3,(1)1(N )n n n a a a a a n ++===+-=∈,数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列结论正确的是( ) A ．数列{}n a 为等差数列 B ．1810a = C ．173a =D ．31146S =二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡相应的位置上） 13．设()4732*()2222n f n n -=++⋅⋅⋅+∈+N ,则()f n =______________．14．过点()4,1A 的圆C 与直线10x y --=相切于()2,1B ,则圆C 的方程为________．15．设点0(,1)M x ,若在圆22:1O x y +=上存在点N ,使得45OMN ∠=,则0x的取值范围是__________．16．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第5行（3n ≥）从左向右的第3个数为______． 第n 行（3n ≥）从左向右的第3个数为______．三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 满足: 2414,aa +=613a =．{}n a 的前n 项和为n S（1）求na 及nS（2）令211n n b a =- (*n N ∈),数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证: 1184n T ≤<18．（本小题满分12分）已知圆22:(1)5C x y +-=,直线:10l mx y m -+-=． （1）求证:对任意的m R ∈,直线l 与圆 C 恒有两个交点;（2）设l 与圆 C 相交于,A B 两点,求线段AB 的中点M 的轨迹方程．19．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ,21(N )n n a S n *=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设3nn n b a λ=+,若数列{}n b 是递增数列,求实数λ的取值范围．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为正方形，平面ABE ⊥底面BCDE ，AB AE BE ==，点,M N 分别是,AE AD 的中点．（1）求证：//MN 平面ABC ； （2）求证：BM ⊥平面ADE ；（3）在棱DE 上求作一点P ，使得CP AD ⊥，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知()()()()1122,,,A x f x B x f x 是函数()()2sin f x x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点,且角ϕ的终边经过点()1,3P -,当()()124f x f x -=时, 12x x -的最小值为3π．（1）求函数()f x 的解析式;（2）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,不等式()()2mf x m f x +≥恒成立,求实数m 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知圆C 经过点(2,0),(0,2)A B -，且圆心C 在直线y x =上，又直线:1l y kx =+与圆C 相交于P Q 、两点． （1）求圆C 的方程；（2）若2OP OQ ⋅=-，求实数k 的值；（3）过点(0,4)作动直线m 交圆C 于,E F 两点．试问：在以EF 为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P ，使得圆P 经过点(2,0)M ？若存在，求出圆P 的方程；若不存在，请说明理由．随州一中2020—2021学年度第一学期期中考试高二数学参考答案1.答案：C2.答案：C解析：设等差数列{}n a 的公差为d ,∵111311131213,1013132a S a d a d ⨯==∴+=+=， 解得117,3a d =-=. 则917837a =-+⨯=.故选：C. 3.答案：B解析：由题意12130,0S S ><及()()()12112671311371366,132S a a a a S a a a =+=+=+=,得6770,0a a a +><,所以6670,a a a >>,且公差0d <,所以7a ,最小.故选B.4.答案：D解析：圆心到直线的距离为d ===,所以4EF ==,而O 到直线EF的距离为5d ==,所以142EOF S ∆=⨯=.选D5.答案：B解析：圆的方程为: 222210x y x y +--+= ∴圆心()1,1C 、半径r 为1由于四边形PACB 面积等于122PA PC PA ⨯⨯=，而PA =故而PC 最小是，四边形PACB 面积最小又PC 的最小值等于圆心C 到直线:3480l x y ++=的距离d，而3d ==故而四边形PACB= 6.答案：D解析：因为直线3y kx =+被圆22(2)(3)4x y -+-=截得的弦长为所以圆心()2,3C 到直线的距离1d ,1=,解得k =,故选D.7.答案：B解析：由x 得224(0)x y x +=≥,如图. 当直线:l y x m =+与224(0)x y x +=≥相切时2=,解得m =±又m =不合题意,故m =-结合图像可知若直线:l y x m =+与曲线x =,则实数m的取值范围是(2]--.故选B.8.答案：B解析：由题意可知,第一组有1个数,第二组有2个数,...,根据等差数列的前n 项和公式,可知前n 项共有()12n n +个数.由于()()636316464120162018208022⨯+⨯+=<<=,因此,第2018个数时第64组的第2个数,由于第1组最后一个数时1,第2组最后一个数是4,第3组最后一个数是9,......,第n 组最后一个数是2n ,因此,第63组最后一个数是2633969=,第64组为偶函数,其第一个数为3970, 第2个数为3972,故选B. 9.答案：ABD解析：根据题意得这组圆的圆心为()1,k ,半径为2k ,选项A,当2k k =,即1k =时,圆的方程为22(1)(1)1x y -+-=,圆与x 轴相切,故A 为真命题； 选项B,直线1x =过圆的圆心()1,k ,所以直线1x =与所有圆都相交,故B 为真命题；选项C,若k 取无穷大,半径2k 也无穷大,则可以认为所有直线都与圆相交,故C 为假命题；选项D,将()0,0代入圆的方程,则有241k k +=,不存在*k ∈N 使此式成立,即所有圆不过原点,故D 为真命题.故选ABD. 10.答案：AC 11.答案：BCD解析：A 中,直线(3)4330()m x y m m ++-+=∈R 可化为(3)3430m x x y +++-=,由303430x x y +=⎧⎨+-=⎩,得33x y =-⎧⎨=⎩,则直线恒过定点(3,3)-,故A 为假命题；B 中,圆心(0,0)到直线:0l x y -+=的距离1d =,圆的半径2r =,因此圆上有且仅有3个点到直线l 的距离为1,故B 为真命题；C 中,圆221:20C x y x ++=,即22(1)1x y ++=,圆222:480(20)C x y x y m m +--+=<,即22(2)(4)20x y m -+-=-,若1C 与2C 恰有三条公切线,则12,C C 外切,51=解得4m =,故C 为真命题；D 中,圆心到直线的距离等于半径，即有222111|cos sin 1|,|cos cos |,cos cos 444θθθθθθ+-=-=-=或21cos cos 4θθ-=-（不符合题意，舍去）.由21cos cos 4θθ-=，得1cos ,sin 2θθθ==又为锐角，所以故该直线的斜率是cos sin 3θθ-=-. 故选BCD. 12.答案：BD解析：依题意得,当n 是奇数时,311n n a a ++-=即数列{}n a 中的偶函数构成以22a =为首项,1为公差的等差数列,所以182(91)110a =+-⨯=,当n 是偶数时,311n n a a +++=,所以531n n a a +++=,两式相减,得51n n a a ++=,即数列{}n a 中的奇数项从3a 开始,每隔一项的两项相等,即数列{}n a 的奇数呈周期变化,所以174355a a a ⨯+==,在311n n a a +++=中,令2n =,得531a a +=,因为33a =,所以172a =-,对于数列{}n a 的前31项,奇数项满足357927293147331,1,1,3a a a a a a a a a ⨯++=+=+====,偶数项构成以22a =为首项,1为公差的等差数列,所以3115(151)1731521462S ⨯-=+++⨯+=,故选BD二、填空题13.答案：()2817n⋅-解析：数列4322,2,,2n -是首项为2,公比为328=,项数为n 的等比数列,()()2182()81187n nf n -∴==⋅--.14.答案：()2232x y -+=解析：设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=,由题意知:点(),a b 既在直线()12y x -=--上,又在AB 的垂直平分线上,由30{30x y x +-=-=,得圆心坐标为(3,0),r AC ===所以圆C 的方程为()2232x y -+=.15.答案：[-1,1]解析：由题意,可知点M 在直线 1?y =上运动,设直线 1?y =与圆221x y +=相切于点()0,1P .当00x =,即点M 与点P 重合时,显然圆上存在点()1,0N 或()1,0N -符合要求;当00x ≠时, 过M 作圆的切线,切点之一为点P ,此时对于圆上任意一点N .都有OMN OMP ∠≤∠,故要存在45OMN ∠=,只需45OMP ∠≥︒. 特别地,当45OMP ∠=︒时,有01x =±.结合图形可知,符合条件x 的取值范围为[]1,1-.16.答案：2613;2n n -+解析： 三、解答题17.答案： （1）设等差数列{}n a 的公差为d ,因为2414,aa +=613a =,所以有13,2a d ==,所以32(1)21n a n n =+-=+;2n(n-1)3n+2=n +2n 2n S =⨯ （2）由1知21n a n =+,所以221111111=-1(2n+1)14n(n+1)4n n+1n n b a ⎛⎫==⋅=⋅ ⎪--⎝⎭,所以1111111111-+++-1-4223n n+1414n T n ⎛⎫⎛⎫=⋅-=<⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,又118n T T ≥=单调递增,故1184n T ≤<.解析：18.答案：（1）由已知可得直线 :(1)10l x m y --+=, 所以直线l 恒过定点(1,1)P . 又()2211115,+-=<所以点P 在圆内,所以对任意的m R ∈,直线l 与圆 C 恒有两个交点.（2）如图所示,由1,知直线l 恒过定点(1,1)P ,且直线l 的斜率存在. 又M 是AB 的中点, CM MP ∴⊥,所以点M 在以CP 为直径的圆上. 又()()0,1,1,1,C P所以以CP 为直径的圆的方程为2211()(1)24x y -+-=,又直线l 的斜率存在, 1x ∴≠,所以点M 的轨迹方程为2211()(1)(1)24x y x -+-=≠.解析：19.答案： （1）由已知:()2_11n n a S n =+≥1121n n a S ++∴=+ 1122n n n a a a ++∴-=即: 12,(1)n n a a n +=≥, 又由1121a a =+得:11a =,所以12n n a -=（2）由1知: 123n nn b λ-=⋅+依题意:1n nb b +>对*n N ∈恒成立.即: 112323n n n nλλ+-⋅+>⋅+整理得: 34(N )2nn λ*⎛⎫>-⋅∈ ⎪⎝⎭ ∵当1n =时:342n⎛⎫- ⎪⎝⎭取最大值6- 故6λ>-》解析：20.答案：（1）因为点,M N 分别是,AE AD 的中点， 所以//MN DE .因为四边形BCDE 为正方形，所以//BC DE . 所以//MN BC .因为MN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以//MN 平面ABC .（2）因为平面ABE ⊥底面BCDE ，DE BE ⊥， 所以DE ⊥平面ABE .因为BM ⊂平面ABE ，所以DE BM ⊥.因为AB AE BE ==，点M 是AE 的中点，所以BM AE ⊥.因为DE AE E ⋂=，DE ⊂平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以BM ⊥平面ADE .（3）取BE 的中点F ，连接,AF DF ，过C 点作CP DF ⊥，交DE 于点P ，则点P 即为所求作的点.理由：因为AB AE BE ==，点F 是BE 的中点，所以AF BE ⊥.因为平面ABE ⊥底面BCDE ，所以AF ⊥平面BCDE ，所以AF CP ⊥.因为CP DF ⊥，AF DF F ⋂=，所以CP ⊥平面ADF .因为AD ⊂平面ADF ，所以CP AD ⊥.解析：21.答案：（1）角ϕ的终边经过点(1,P,∴tan =又02πϕ-<<,∴3πϕ=-.∵当()()124f x f x -=时, 12x x -的最小值为3π,∴23T π=,即223ππω=,∴3ω=,∴()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()1f x ≤≤,于是()20f x +>,于是()()2mf x m f x +≥即为()()()2122f x m f x f x ≥=-++,由()1f x ≤≤,得()212f x -+的最大值为13.∴实数m 的取值范围是13m ≥.解析：22.答案： （1）设圆心(,)C a a ，半径为r ．因为圆C 经过点(2,0),(0,2)A B -，所以||||AC BC r==，即rr ==，解得0,2a r==，所以圆C的方程是224 x y+=（2）因为22cos,2 OP OQ OP OQ⋅=⨯⨯=-，且OP与OQ的夹角为POQ∠，所以1cos,1202POQ POQ∠=-∠=︒所以圆心C到直线:10 l kx y-+=的距离1d=，又d=k=（3）（ⅰ）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆C的圆心C，此时直线m与圆C的交点为(0,2)E，(0,2)F-，EF即为圆C的直径，而点(2,0)M在圆C上，即圆C也是满足题意的圆（ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线:4m y kx=+，由2244x yy kx⎧+=⎨=+⎩，消去y整理，得22(18)120k x kx+++=，由226448)(10k k∆=+->，得k>k<设1122(,),(,)E x yF x y，则有12212281121kx xkx xk⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩①由①得22121212122164(4)(4)4()161k y y kx kx k x x k x xk-=++=+++=+，②1212122844()81y y kx kx k x xk+=+++=++=+，③若存在以EF 为直径的圆P 经过点(2,0)M ，则ME MF ⊥，所以0ME MF ⋅=，因此1212(2)(2)0x x y y --+=，即1212122()40x x x x y y -+++=， 则2222121616440111k k k k k -+++=+++，所以16320k +=,2k =-，满足题意．此时以EF 为直径的圆的方程为2212121212())(0x y x x x y y y x x y y -++-+++=， 即2216812555x y x y +--+=，亦即2255168120x y x y +-+-=．综上，在以EF 为直径的所有圆中，存在圆22:55168120P x y x y +-+=-或224x y +=，使得圆P 经过点(2,0)M 解析：。

湖北省随州市第一中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1222a S -=．则过点()()2,,1,n n A n a B n a ++的直线斜率为（ ） A ．4B ．4-C ．2D ．2-2．已知直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行，且10ax by ++=在y 轴上的截距为13，则+a b 的值为（ ） A ．7- B ．1-C ．1D ．73．在圆22x y 2x 6y 0+--=内，过点()E 0,1的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．B ．C ．D ．4．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>22221x y a b -=的渐近线方程为 A ．12y x =±B ．2y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（ ）. A ．24里B ．12里C ．6里.D ．3里6．已知方程22112x y m m -=+-表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A ．1m >-B ．2m >C ．1m <-或2m >D ．12m -<<7．圆224x y +=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．88．空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC PD =--，则实数x 的值为（ ） A ．13 B ．13- C ．23D ．23-9．若圆22:4C x y +=上恰有3个点到直线:0(0)l x y b b -+=>的距离为1，1:0l x y -+=,则l 与1l 间的距离为（ ）A ．1B ．2CD ．310．已知数列{}n a 的通项公式为23nn a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 中的最大项为（ ） A ．89B ．23C ．6481D ．12524311．已知两点()()2,1,5,3---A B ，直线:10+--=l ax y a 与线段AB 相交，则直线l 的斜率取值范围是( ) A ．(]2,2,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭B ．22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．223，⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦12．已知直线10x -+=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,A B 两点，且线段AB 中点为M ，若直线OM （O 为坐标原点）的倾斜角为150︒，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．23CD ．3二、填空题13．已知向量()()2,1,3,1,2,1a b =-=-，若()a ab λ⊥-，则实数λ的值为______.14．过三点()1,5A -、()5,5B 、()6,2C -的圆的方程为____________________. 15．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则44a b =_____．16．已知圆1C ：22(2)(3)1x y -+-=，圆2C ：22(4)(5)1x y -+-=，M ，N 分别为圆1C ，2C 上的动点，点P 是x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为__________．三、解答题17．（1）求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程；（2）过点()2,0M 作斜率为1的直线l 与抛物线24y x =交于A B 、两点，求AB .18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，416S =，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19．已知ABC ∆的顶点(5,1),A AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=.求（1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程.20．已知圆22:(2)(3)4C x y -+-=外有一点()41-,，过点P 作直线l ． (1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；(2)当直线l 的倾斜角为135︒时，求直线l 被圆C 所截得的弦长．21．已知递增等比数列{}n a ，11a =，且1a ，22a +，3a 成等差数列，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，点(),n P n S 在抛物线2y x 上．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设n n nb c a =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若()*21n T a n N <-∈恒成立，求实数a 的取值范围．22．已知椭圆C: 22221(0)x y a b a b +=>>的左,右焦点分别为12,F F 且椭圆C 上的点P(1,2到12,F F 两点的距离之和为4 (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点,O 为坐标原点直线,OM ON 的斜率之积等于14-，试探求△OMN 的面积是否为定值，并说明理由参考答案1．B 【解析】试题分析：∵数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，∵1222a S -=，∴11222a a a -+=（），即212a a d -==-；∴过点()()21n n A n a B n a ++，，， 的直线斜率()2241n nAB a a k d n n+-===-+-，故选B ．考点：等差数列的性质． 2．A 【详解】分析：根据两条直线平行，得到,a b 的等量关系，根据直线在y 轴上的截距，可得b 所满足的等量关系式，联立方程组求得结果.详解：因为直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行， 所以43b a =，又直线10ax by ++=在y 轴上的截距为13， 所以1103b +=，解得3b =-，所以4a =-， 所以7a b +=-，故选A.点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y 轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果. 3．B 【解析】分析：由过圆22260x y x y +--=内一点()0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，可知最长弦为直径，最短弦为过点()0,1E 且与直径AC 垂直．把圆22260x y x y +--=变形标准方程22(1)(3)10x y -+-=．进而可求圆心为(1,3)P ，半径r =．所以2AC r ==()0,1E ，求得PE ==进而求得BD ===进而可求四边形ABCD 的面积为1122S AC BD =⨯⨯=⨯=详解：圆22260x y x y +--=变形为22(1)(3)10x y -+-=．所以圆心为(1,3)P ，半径r =因为点()0,1E ，所以PE ==因为过圆22260x y x y +--=内点()0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，所以2AC r ==BD ===．且AC BD ⊥所以四边形ABCD 的面积为1122S AC BD =⨯⨯=⨯=． 故选B ．点睛：⑴过圆内一点A 的最长弦为过点A 的直径，最短弦为过点A 且与过点A 的直径垂直的弦；⑵ 过圆P 内一点A 的最短弦长为 4．A 【详解】椭圆的离心率c e a ==即2222234c a b a a -==，12b a =， 所以双曲线22221x y a b-=的渐近线为12y x =±．故选A ．考点：椭圆与双曲线的几何性质． 5．C 【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由6378S =求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程． 【详解】解：记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得：1192a =，65119262a ∴=⨯=， 故选C ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础的计算题． 6．C 【分析】双曲线的焦点可能在x 轴，也可能在y 轴上，分别写出两种情况下的双曲线的标准方程，22112x y m m -=+-或22121y x m m -=---，可得10,20,m m +>⎧⎨->⎩或20,10,m m ->⎧⎨-->⎩，解不等式可得答案. 【详解】当双曲线的焦点在x 轴上，双曲线方程22112x y m m -=+-，则10,20,m m +>⎧⎨->⎩解得：2m >； 当双曲线的焦点在y 轴上，双曲线方程22112x y m m -=+-22121y x m m ⇔-=---，所以20,10,m m ->⎧⎨-->⎩解得：1m <-；故选：C. 【点睛】本题考查双曲线标准方程，求解的关键在于双曲线方程标准形式的认识. 7．B 【分析】将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程． 【详解】将两圆方程相减可得44124x y -+=即20x y -+= 当0x =时，2y =，当0y =时，2x =-交点()0,2与()2,0-1122222S x y ∆==⨯⨯=，故选B ． 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系．两圆方程分别为221110x y D x E y F ++++=，222220x y D x E y F ++++=，则两方程相减得()()1212120D D x E E y F F -+-+-=，为：两圆相交时是相交弦所在直线方程，两圆相切时，是过切点的公共切线的方程． 8．A 【分析】根据空间中四点共面的充要条件，即可求出结果. 【详解】因为空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点P 都有5133PA PB xPC PD =--，所以51133x --=，解得13x =. 故选A 【点睛】本题主要考查空间向量，熟记四点共面的充要条件，即可求出结果，属于常考题型. 9．D 【分析】根据圆上有3个点到直线l 的距离为1，得到圆心到直线l 的距离为1，由此列方程求得b 的值，再利用两平行直线间的距离公式，求得l 与1l 间的距离. 【详解】由于圆的圆心为()0,0，半径为2，且圆上有3个点到直线l 的距离为1，故到圆心到直线l的距离为11=，由于0b >，故上式解得b =所以:0l x y -=.由3=，故选D. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查两平行直线间的距离公式，属于基础题. 10．A 【分析】由12233nn n n a a +-⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，当n <2时，a n ＋1－a n >0，当n <2时，a n ＋1－a n >0，从而可得到n ＝2时，a n 最大. 【详解】解：112222(1)3333n n nn n n a a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3，且2328239a a ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A . 【点睛】此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题. 11．A 【分析】求出直线所过定点P ，画出图形，再求出PA ，PB 的斜率，数形结合得答案． 【详解】解：直线:10+--=l ax y a 过定点(1,1)P ，11221PA k --==--，312135PB k --==--， ∴直线:10+--=l ax y a 与线段AB 相交，则直线l 的斜率取值范围是(,2][23,)-∞-+∞．故选A ． 【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线斜率的求法，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题． 12．D 【解析】 【分析】利用点差法求解可得直线AB 和OM 斜率间的关系，进而得到2213b a =，再根据椭圆离心率的定义可得所求． 【详解】设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，∵点,A B 在椭圆22221x y a b+=上，∴2222112222221,1x y x y a b a b+=+=， 两式相减整理得2121221212y y y y b x x x x a+-⋅=-+-， ∴20122012y y y b x x x a -⋅=--，即22OM AB b k k a⋅=-，∴221tan1503333b a︒⨯=-=-=-，∴2213b a =， ∴椭圆C的离心率为3e ===． 故选D ． 【点睛】求椭圆离心率或其范围的方法：①根据题意求出,,a b c 的值，再由离心率的定义2222222e 1()c a b b a a a-===-直接求解．②由题意列出含有,,a b c 的方程(或不等式)，借助于222b a c =－消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解． 13．2 【分析】由题意知，向量()a ab λ⊥-，所以()0a a b λ⋅-=，由空间向量的坐标运算，即可求解． 【详解】由题意知，向量()a ab λ⊥-，所以()0a a b λ⋅-=， 又由()()()()222222132112311470a a b a a b λλλλ⎛⎫⎡⎤⋅-=-⋅=-++--⨯-+⨯+⨯=-=⎪⎣⎦⎝，解得2λ=． 【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 14．2242200x y x y +---=. 【分析】分别求出AB,BC 的中垂线所在直线方程，两直线交点为圆心D 坐标，再求圆半径r=AD.即可写出圆的方程． 【详解】点()1,5A -、()5,5B 的中点为（2，5），0AB k =，中垂线为x=2. 点()5,5B 、()6,2C -的中点为113(,)22，7BC k =-，所以17k =,中垂线为x-7y+5=0. 两直线交点为圆心D （2，1），r=AD=5.所以圆的方程为22(2)(1)25x y -+-=，也即2242200x y x y +---=.填2242200x y x y +---=.【点睛】求过不共线A,B,C 三点的圆的方程常见两种方法：一是根据所求圆为ABC ∆的外接圆，即求任意两边的中垂线交点为圆心坐标，顶点到圆心距离为半径，即可求出圆的方程．二是待定系数法，设圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，把三个点的坐标代入，求出待定系数D,E,F ，即可求出圆的方程． 15．238【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的174417a a ab b b +=+，再由等差数列的求和公式，转化为77S T ，从而得到答案. 【详解】因为数列{}n a 、{}n b 均为等差数列 所以7474141422a a b b a a b b ==++ ()()1771777272a a S b b T +==+37223718⨯+==+【点睛】本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题. 16．2 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形，求出圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A 与半径，再求出圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，即为|PM |+|PN |的最小值． 【详解】解：如图所示，作出圆C 1关于x 轴的对称的圆A圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A （2，3），半径为1， 圆C 2的圆心坐标C 2（4，5），半径为1，|PM |+|PN |的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，2=2．故答案为：2． 【点睛】本题考查圆的对称圆方程以及两圆的位置关系，两点距离公式的应用问题，也考查了转化思想与计算能力，数形结合思想的应用问题，是综合性题目．17．（1）22135x y -=（2）【分析】（1）先求得椭圆22185x y +=的焦点和顶点，从而得到双曲线的顶点和焦点，再写出双曲线的方程.（2）设直线方程为2y x =-，与抛物线方程联立，再利用弦长公式求解. 【详解】（1）因为椭圆22185x y +=的焦点为()),，顶点为()(),-，所以双曲线的顶点为()),，焦点为()(),-，所以双曲线的2225a c b c a ===-=，所以双曲线的方程为：22135x y -=.（2）设直线方程为2y x =-，与抛物线方程联立，224y x y x=-⎧⎨=⎩， 消去y 得2840x x -+=， 所以12128,4x x x x +=⋅=，所以AB ==【点睛】本题主要考查椭圆、双曲线的几何性质和直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．(1) 21n a n =-. (2) 21n nT n =+ 【分析】（1）根据等差数列的通项及前n 项和列出方程组，求出首项公差即可（2）利用裂项相消法求出前n 项和n T . 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ， ∵23a =，416S =，∴13a d +=，14616a d +=， 解得11a =，2d =. ∴21n a n =-. （2）由题意知，()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+111111123352121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前n 项和公式，裂项求和，属于中档题. 19．（1）(4,3)C （2）6590x y --= 【分析】（1）先求AC 所在边的直线方程，然后与CM 所在直线方程建立方程组求解.（2）先设(,)B m n ，求出5m 1(,)22nM ++，代入CM 直线方程，再根据(,)B m n 在BH 所在直线上，代入BH 的直线方程，建立方程组求出点B 的坐标，再用两点式写出BC 所在的直线方程. 【详解】（1）因为AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=， 所以2AC k =-，又因为点(5,1)A ，所以AC 所在边的直线方程为：2110x y +-=又因为AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，由2110250x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得43x y =⎧⎨=⎩所以(4,3)C（2）设(,)B m n ，则AB 的中点5m 1(,)22nM ++在中线CM 上 所以5m 125022n++⨯--=，即210m n --= 又点(,)B m n 在BH 所在直线上 所以250m n --=由250210m n m n --=⎧⎨--=⎩，解得13m n =-⎧⎨=-⎩所以(1,3)B -- 所以直线BC 的方程333141y x ++=++，即6590x y --= 【点睛】本题主要考查两条直线的交点，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 20．（1）4x =或3480x y +-=（2） 【分析】(1)根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果;(2)先求出直线方程，然后求得圆心C 与直线l 的距离,由弦长公式即可得出答案. 【详解】解: (1)由题意可得()2,3C ,直线l 与圆C 相切 当斜率不存在时，直线l 的方程为4x =,满足题意 当斜率存在时，设直线l 的方程为14y k x +=-,即410kx y k ---=2=,解得34k =-∴直线的方程为3480x y +-=∴直线l 的方程为4x =或3480x y +-=(2)当直线l 的倾斜角为135︒时，直线l 的方程为30x y +-= 圆心()2,3C 到直线l 23322∴弦长为=【点睛】本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式，培养了学生分析问题与解决问题的能力.21．（1）13-=n n a ；21n b n =-（2）{}2a a ≥ 【分析】（1）直接利用等差数列等比数列公式和1n n n b S S -=-计算得到答案.（2）1213n n n n b n c a --==，利用错位相减法得到1133n n n T -+=-,得到3n T <，代入计算得到答案. 【详解】解：（1）由1322(2)a a a +=+即2230q q --= 可得3q =或1q =-．因为数列{}n a 为递增等比数列，所以3q =，11a =． 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列．所以13-=n n a ． 由点(),n P n S 在抛物线2yx 上，所以2n S n =121(2)n n n b S S n n -=-=-≥验证当1n =时，111b S ==也成立 故21n b n =- （2）因为1213n n n n b n c a --== 所以0121135213333n n n T --=++++， 123111352321333333n n n n n T ---==++++． 两式相减有1211113322222121112133333313n n n n nn n T --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭--⎢⎥⎣⎦=++++-=+⨯--1121233n n n --⎛⎫=--⎪⎝⎭． 所以，21112113323233n n n n n n T ----+=--=-⋅⋅．1121213)(3)0333(n n n n n n n T n T -++++----=>=故数列n T 单调递增，又3n T < 若21n T a <-恒成立，则321a ≤-．解得：2a ≥，所以，实数a 的取值范围是{}2a a ≥．【点睛】本题考查了数列的通项公式，通项与前N 项和的关系，错位相减法，数列的恒成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力和对数列公式方法的灵活运用.22．（1）2214x y +=；（2）定值1 【分析】（1）由已知求得2a =，又点P 在椭圆上，代入求得21b =，即可得到椭圆的方程；（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程组，求得212122284(1),1414mk m x x x x k k-+=-=++，又由直线,OM ON 的斜率之积等于14-，化简求得22241m k =+，再由弦长公式和面积公式，即可求解. 【详解】（1）由已知24a =，即2a =，又点P 在椭圆上，所以221214b+=（，所以21b =，故椭圆方程为2214x y +=. （2）设1122(,),(,)M x y N x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2214)84(1)0k mkx m +++-=（， 则22226416(14)(1)0m k k m ∆=-+->，即22140k m +->，且212122284(1),1414mk m x x x x k k -+=-=++， 因为直线,OM ON 的斜率之积等于14-， 2212121212121212()()()14y y kx m kx m km x x k x x m x x x x x x +++++===-，所以22222222(8)4(1)(14)414(1)4(1)4km km k m m k m k m m -+-++-==---，即22241m k =+， 又O 到直线MN的距离为d =MN ==所以112OMN S MN d ∆=⋅==. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.。

2020年湖北省随州市数学高二第二学期期末调研试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若y 关于x 的线性回归方程0.70.35y x =+是由表中提供的数据求出，那么表中m 的值为( )A ．3.5B ．3C ．2.5D ．2【答案】C 【解析】由表可得样本中心点的坐标为11.54.5,4m +⎛⎫⎪⎝⎭，根据线性回归方程的性质可得11.50.7 4.50.354m+⨯+=，解出 2.5m =，故选C. 2．若,αβ均为第二象限角，满足3sin 5α=，5cos 13β=-，则cos()αβ+=（ ）A ．3365-B ．1665-C ．6365D ．3365【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosα和sinβ的值，两角和的三角公式求得cos （α+β）的值． 【详解】解：∵sinα35=，cosβ513=-，α、β均为第二象限角，∴cosα45==-，sinβ1213==，∴cos （α+β）＝cosαcosβ-sinαsinβ45⎛⎫=- ⎪⎝⎭•（513-）3121651365-⋅=-，故答案为B【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，属于基础题．3．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，公元五世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A ，B 为两个同高的几何体，:p A ，B 的体积不相等，:q A ，B 在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：利用祖暅原理分析判断即可. 详解：设A ，B 为两个同高的几何体，:p A ，B 的体积不相等，:q A ，B 在等高处的截面积不恒相等．如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等，∴根据祖暅原理可知，p 是q 的充分不必要条件.故选：A.点睛：本题考查满足祖暅原理的几何体的判断，是基础题，解题时要认真审查，注意空间思维能力的培养. 4．设随机变量~(1,1)X N ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） （注：若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，()220.9544P X μσμσ-<<+≈）A ．7539B ．7028C ．6587D ．6038【答案】C 【解析】 【分析】由题意正方形的面积为1S =，再根据正态分布曲线的性质，求得阴影部分的面积，利用面积比的几何概型求得落在阴影部分的概率，即可求解，得到答案． 【详解】由题意知，正方形的边长为1，所以正方形的面积为1S = 又由随机变量服从正态分布()~1,1X N ， 所以正态分布密度曲线关于1x =对称，且1σ=， 又由()0.6826P X μσμσ-<<+≈，即()020.6826P X <<≈，所以阴影部分的面积为10.682610.65872S =-=， 由面积比的几何概型可得概率为10.6587SP S==，所以落入阴影部分的点的个数的估计值是100000.65876587⨯=，故选C ． 【点睛】本题主要考查了正态分布密度曲线的性质，以及面积比的几何概型的应用，其中解答中熟记正态分布密度曲线的性质，准确求得落在阴影部分的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5．已知复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-（i 为虚数单位），则12z z =（ ） A ．4355i - B ．4355i -+ C ．4355i -- D ．4355i + 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，求得13z i =-，则23z i =+，再根据复数的除法运算，即可求解． 【详解】由题意，复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-，则23z i =+，则根据复数的运算，得12343355z i i z i -==-+.故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6．已知函数()22ln 3f x x a x =++，若[)()1212,4,x x x x ∀∈+∞≠，[]2,3a ∃∈，()()21122f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是（ ） A ．[)2,-+∞ B ．)5,2⎡-+∞⎢⎣ C ．9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．19,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据题意将问题转化为()()112222f x mx f x mx +>+，记()()2g x f x mx =+，从而()g x 在()0,∞+上单调递增，从而()'0g x ≥在[)4,+∞上恒成立，利用分离参数法可得44am -≤+，结合题意可得max 44a m ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭即可.【详解】 设12x x >，因为()()21122f x f x m x x -<-，所以()()112222f x mx f x mx +>+.记()()2g x f x mx =+，则()g x 在()0,∞+上单调递增， 故()'0g x ≥在[)4,+∞上恒成立，即2220ax m x++≥在[)4,+∞上恒成立， 整理得am x x-≤+在[)4,+∞上恒成立. 因为[]2,3a ∈，所以函数ay x x=+在[)4,+∞上单调递增，故有44am -≤+.因为[]2,3a ∃∈，所以max 19444a m ⎛⎫-≤+= ⎪⎝⎭，即194m ≥-. 故选：D 【点睛】本题考查了导数在不等式恒成立中的应用、函数单调性的应用，属于中档题. 7．若121x x >>，则（ ） A ．1221xxx e x e > B ．1221x xx e x e < C ．2112ln ln x x x x > D ．2112ln ln x x x x <【答案】A 【解析】 【分析】根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小. 【详解】①令()()1x e f x x x =>，则()()21'0x x e f x x-=>，∴()f x 在1,上单调递增，∴当121x x >>时，1212x x e e x x >，即1221x xx e x e >，故A 正确．B 错误. ②令()()ln 1x g x x x =>，则()21ln 'xg x x-=，令()0g x =，则x e =， 当1x e <<时，()'0g x >；当x e >时，()'0g x <，∴()g x 在()1,e 上单调递增， 在(),e +∞上单调递减，易知C ，D 不正确， 故选A ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.8．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若26442,S 6a S a =-=，则5a = A ．4 B ．10 C ．16 D ．32【答案】C 【解析】由64S S -=6546a a a +=得，()22460,60q q a q q +-=+-=，解得2q，从而3522=28=16a a =⋅⨯，故选C.9．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，则此数列前135项的和为( )A ．18253-B ．18252-C ．17253-D ．17252-【答案】A 【解析】 【分析】利用n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x ＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可． 【详解】n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x 2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x ＝1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推 即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n 项和为S n n1212-==-2n ﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则T n ()n n 12+=，可得当n ＝15，在加上第16行的前15项时，所有项的个数和为135， 由于最右侧为2，3，4，5，……，为首项是2公差为1的等差数列， 则第16行的第16项为17，则杨辉三角形的前18项的和为S 18＝218﹣1， 则此数列前135项的和为S 18﹣35﹣17＝218﹣53， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．10．已知全集U ＝{x ∈Z|0<x<10}，集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x|x ＝2a ，a ∈A}，则(∁U A)∩B ＝( ) A ．{6，8} B ．{2，4}C ．{2，6，8}D ．{4，8}【答案】A 【解析】 【分析】先化简已知条件,再求,()U U C A C A B ⋂. 【详解】由题得{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,U =U C A ={}5,6,7,8,9,因为{}2,4,6,8B =, ∴()U C A B{}6,8,故答案为A【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平. 11．函数()cos xf x e x =⋅在()()0,0f 处切线斜率为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】分析：首先求得函数()f x 的导函数，然后结合导函数研究函数的切线即可. 详解：由函数的解析式可得：()()()'cos sin cos sin xxxf x e x e x ex x =+⨯-=-，则()()()0'0cos0sin01101f e =-=⨯-=，即函数()xf x e cosx =⋅在()()0,0f 处切线斜率为1.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．设集合，那么集合A 中满足条件“”的元素的个数为 ( )A ．60B ．100C ．120D ．130【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，中取0的个数为2,3,4.根据这个情况分类计算再相加得到答案. 【详解】集合A 中满足条件“”中取0的个数为2,3,4. 则集合个数为： 故答案选D 【点睛】本题考查了排列组合的应用，根据中取0的个数分类是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题13．已知定义域为R 的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，满足2()()4,(1)1f x xf x f >'+=,则21()2f x x >-的解集为_________． 【答案】()()1,,1+∞-∞-【解析】 【分析】令()22()2g x x f x x =-，对函数求导，根据条件可得()g x 单调递增，且()22()2g x x f x x =-单调递增，进而利用单调性和奇偶性求解． 【详解】21()2f x x>-的解集为22()21x f x x -->的解集，令()22()2g x x f x x =-， 则()22()()4g x xf x x f x x ''=+-，因为2()()4f x xf x '+>，所以当0x >时有22()()40xf x x f x x '+->，所以()22()()40g x xf x x f x x ''=+->，即当0x >时，()22()2g x x f x x =-单调递增，又因为(1)1f =，所以()1(1)21g f =-=-，所以22()21x f x x -->的解集为()()1g x g >的解集，由单调性可知，1x >又因为()f x 为偶函数，所以解集为()()1,,1+∞-∞-【点睛】本题解题的关键是构造新函数()22()2g x x f x x =-，求导进而得出函数的单调性，然后利用奇偶性和单调性求解．14．双曲线2222x y -=的焦点坐标为____________.【答案】()【解析】 【分析】首先将双曲线方程整理为标准方程的形式，然后求解其焦点坐标即可. 【详解】双曲线方程即：2212y x -=，其中221,2a b ==，故23,c c ==由双曲线的方程可知双曲线焦点在x 轴上，故焦点坐标为().故答案为：()． 【点睛】本题主要考查双曲线方程焦点的计算，属于基础题. 15．在直角坐标系xOy 中，若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆4cos :5sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的左顶点，则a =__________． 【答案】4-. 【解析】分析：直接化参数方程为普通方程，得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的左顶点，代入直线的方程，即可求得a 的值.详解：由已知可得圆4cos :sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）化为普通方程，可得22116x y +=，故左顶点为(4,0)-，直线x t y t a=⎧⎨=-⎩（t 为参数）化为普通方程，可得y x a =-，又点(4,0)-在直线上， 故04a =--，解得4a =-，故答案是4-.点睛：该题考查的是有关直线的参数方程与椭圆的参数方程的问题，在解题的过程中，需要将参数方程化为普通方程，所以就需要掌握参数方程向普通方程的转化-----消参，之后要明确椭圆的左顶点的坐标，以及点在直线上的条件，从而求得参数的值.16．NBA 总决赛采用7场4胜制，2018年总决赛两支球队分别为勇士和骑士，假设每场比赛勇士获胜的概率为0.7，骑士获胜的概率为0.3，且每场比赛的结果相互独立，则恰好5场比赛决出总冠军的概率为__________． 【答案】0.3108 【解析】分析：设“勇士以比分4：1获胜”为事件A ，“第i 场比赛取胜”记作事件i A ，由12345123451234512345P A P A A A A A P A A A A A P A A A A A P A A A A A =+++（）（）（）（）（）， 能求出勇士队以比分4：1获胜的概率．设“骑士以比分4：1获胜”为事件B ，“第i 场比赛取胜”记作事件i B ，由12345123451234512345P B P B B B B B P B B B B B P B B B B B P B B B B B =+++（）（）（）（）（）， 能求出骑士队以比分4：1获胜的概率．则恰好5场比赛决出总冠军的概率为()()P A P B +.详解：设“勇士以比分4：1获胜”为事件A ，“第i 场比赛取胜”记作事件i A ，由12345123451234512345P A P A A A A A P A A A A A P A A A A A P A A A A A =+++（）（）（）（）（）， 能求出勇士队以比分4：1获胜的概率．则12345123451234512345P A P A A A A A P A A A A A P A A A A A P A A A A A =+++（）（）（）（）（）314377;101010C ⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭设“骑士以比分4：1获胜”为事件B ，“第i 场比赛取胜”记作事件i B ，由12345123451234512345P B P B B B B B P B B B B B P B B B B B P B B B B B =+++（）（）（）（）（）， 能求出骑士队以比分4：1获胜的概率．则12345123451234512345P B P B B B B B P B B B B B P B B B B B P B B B B B =+++（）（）（）（）（），314733;101010C ⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭则恰好5场比赛决出总冠军的概率为()()3311443777330.3108.101010101010P A P B C C ⎛⎫⎛⎫+=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即答案为0.3108.点睛：本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，同时考查了分析问题的能力和计算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020-2021学年湖北省随州一中高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.在等差数列{a n }中，满足a 3+a 6+a 9=9，则不等式(x +3)[x 2+(a 5+a 7)x +8]≤0的解集是( )A. (−∞,−3]∪[2,4]B. (−∞,−4]∪[−3,−2]C. [−4,−3]∪[2,+∞)D. [−3,2]∪[4,+∞)2.已知直线l 过点(1,1)且平行于直线4x +y −8=0，则直线l 的方程是( )A. x −4y +3=0B. x −4y −5=0C. 4x +y +5=0D. 4x +y −5=03.若点P 在圆C ：x 2+y 2=4上，则P 到直线3x +4y −15=0的距离的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 44.设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的实轴长与焦距分别为2，4，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. y =±√33x B. y =±13xC. y =±√3xD. y =±3x5.已知向量a ⃗ =(a n ,−1)，b ⃗ =(2,a n+1)，n ∈N ∗且a 1=2，a ⃗ ⊥b ⃗ ，则数列{a n }的前n 项和为S n =( ) A. 2n+1−2B. 2−2n+1C. 2n+1D. 3n −16.已知曲线C 1：|y|−x =2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A. (−∞,−1]∪[0,1)B. (−1,1]C. [−1,1)D. [−1,0]∪(1，+∞)7.过点作圆的两条切线，切点分别为则的直线方程为( )A.B.C.D.8.已知O 是△ABC 的外心，AB =2，AC =3，x +2y =1，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(xy ≠0)，则cos∠BAC =( )A. 34B. √74C. 14D. √1549.点P(sinθ,√3cosθ)到直线x +y +8=0的距离的最小值为( )A. 4B. 2√3C. 3√2D. 5√210. 设f(n)=2+24+27+210+⋯+23n+10(n ∈N)，则f(n)等于( )A. 27(8n −1)B. 27(8n+1−1)C. 27(8n+3−1)D. 27(8n+4−1)11. 已知过点A(m,−1)和B(2,m)的直线与直线x −y −1=0平行，则m 的值为( )A. 12B. −12C. 1D. −112. 设F 为抛物线y 2=5x 的焦点，P 是抛物线上x 轴上方的一点，若|PF|=3，则直线PF 的斜率为( )A. 3√3B. √30C. √35D. 2√10二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知空间三点A(−2,0，2)，B(−1,1，2)，C(−3,0，4)，设a ⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若向量k a ⃗ +b ⃗ 与k a ⃗ −2b⃗ 互相垂直，则实数k 的值为____．14. 若直线3x −4y +12=0与两会标轴交点为A 、B ，则以线段AB 为直径的圆的方程是______ ．15. 已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若s 5s 3=2，则a5a 3的值为______ ．16. 设P 是圆(x −3)2+(y +1)2=4上的动点，Q 是直线x =−3上的动点，则|PQ|的最小值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (本小题满分12分)已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，过椭圆的右焦点的动直线与椭圆相交于、两点．(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若线段中点的横坐标为，求直线的方程;18. 已知{a n }是首项为2的等比数列，各项均为正数，且a 2+a 3=12．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =1nlog2a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 已知l 1：x +my +6=0，l 2：(m −2)x +3y +2m =0，分别求m 的值，使得l 1和l 2：(1)垂直； (2)平行； (3)重合； (4)相交．20. 已知圆C ：x 2+y 2=20，直线l 的参数方程为{x =3−√22ty =2+√22t(t 为参数)． (1)写出圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P (3,2)，求|PA|·|PB|的值和|PA|+|PB|的值．21. 已知某中学食堂每天供应3000名学生用餐，为了改善学生伙食，学校每星期一有A 、B 两种菜可供大家免费选择(每人都会选而且只能选一种菜).调查资料表明，凡是在这星期一选A 种菜的，下星期一会有20%改选B 种菜；而选B 种菜的，下星期一会有40%改选A 种菜．用a n ，b n 分别表示在第n 个星期一选A 的人数和选B 的人数，如果a 1=2000． (1)请用a n 、b n 表示a n+1与b n+1； (2)证明：数列{a n −2000}是常数列．22. 如图，椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点A(0,1)，且离心率为√22． (1)求椭圆E 的方程；(2)若M 点为右准线上一点，B 为左顶点，连接BM 交椭圆于N ，求MNNB 的取值范围；(3)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q(均异于点A)证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．【答案与解析】1.答案：B解析：解：等差数列{a n}中，a3+a6+a9=9，∴3a6=9，解得a6=3．∴a5+a7=2a6=6．那么方程(x+3)[x2+(a5+a7)x+8]≤0即(x+3)(x2+6x+8)≤0，即(x+3)(x+2)(x+4)≤0，解得x≤−4或−3≤x≤−2，故不等式的解集为(−∞,−4]∪[−3,−2]故选：B．等差数列{a n}中，a3+a6+a9=9，可得3a6=9，解得a6.根据a5+a7=2a6=6.即可判断出不等式(x+3)[x2+(a5+a7)x+8]≤0的解集的情况．本题考查了等差数列的性质、方程的根的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.答案：D解析：本题考查直线的一般式方程，直线平行的求解，利用平行直线系是解决本题的关键．设与直线4x+y−8=0平行的直线l的方程为4x+y+c=0，代入点的坐标求出c即可．解：设与直线4x+y−8=0平行的直线l的方程为4x+y+c=0，∵直线l：4x+y+c=0过点(1,1)，∴4+1+c=0，即c=−5，则直线方程为4x+y−5=0，故选：D．3.答案：A解析：解：圆的圆心坐标(0,0)，到直线3x+4y−15=0的距离是3，所以圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y−15=0的距离的最小值是3−2=1故选A．先求圆心到直线的距离，再减去半径即可．本题考查直线和圆的位置关系，数形结合的思想，是基础题．。

2022-2021学年湖北省随州市高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）A．第一或其次象限角B．其次或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角考点：象限角、轴线角．专题：三角函数的图像与性质．分析：依据cosθ•tanθ＜0和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来推断角θ所在的象限．解答：解：∵cosθ•tanθ=sinθ＜0，∴角θ是第三或第四象限角，故选C．点评：本题的考点是三角函数值的符号推断，本题化简后能比较直接得出答案，一般此类题需要利用题中三角函数的不等式和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”对角的终边位置进行推断．2．（2021春•随州期末）下表表示y是x的函数，则函数的值域是（）x 0＜x＜5 5≤x＜10 10≤x＜15 15≤x≤20y 2 3 4 5A．[2，5]B．N C．（0，20]D． {2，3，4，5} 考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：由表示函数的方法表格法可直接得到函数的值域．解答：解：由图表可知，，∴函数的值域为{2，3，4，5}．故选：D．点评：本题考查了函数的表示法，考查了函数的值域，是基础题．3．（2021春•随州期末）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A．B．C．D．考点：平面图形的直观图．专题：作图题；空间位置关系与距离．分析：依据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变，平行于y 的线段变为原来的，由此得出原来的图形是什么．解答：解：依据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变，平行于y 的线段变为原来的，∵O′C′=1，O′A′=，∴OC=O′C′=1，OA=2O′A′=2；由此得出原来的图形是A．故选：A．点评：本题考查了平面图形的斜二测画法应用问题，是基础题目．4．（2011•未央区校级模拟）据科学记算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分别，则这一过程需要的时间是（）A．10秒钟B．13秒钟C．15秒钟D． 20秒钟考点：等差数列的前n项和．专题：应用题；综合题．分析：设出每一秒钟的路程为一数列，由题意可知此数列为等差数列，然后依据等差数列的前n项和的公式表示出离地面的高度，让高度等于240列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．解答：解：设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，a n，则数列{a n}是首项a1=2，公差d=2的等差数列，由求和公式有na1+=240，即2n+n（n﹣1）=240，解得n=15，故选C．点评：此题考查同学机敏运用等差数列的前n项和的公式解决实际问题，是一道综合题．5．（2010•广东）若函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x的定义域均为R，则（）A．f（x）与g（x）均为偶函数 B． f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）与g（x）均为奇函数 D． f（x）为偶函数，g（x）为奇函数考点：函数奇偶性的推断．专题：函数的性质及应用．分析：首先应了解奇函数偶函数的性质，即偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g （x）．然后在推断定义域对称性后，把函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x代入验证．即可得到答案．解答：解：由偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）．对函数f（x）=3x+3﹣x有f（﹣x）=3﹣x+3x满足公式f（﹣x）=f（x）所以为偶函数．对函数g（x）=3x﹣3﹣x有g（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣g（x）．满足公式g（﹣x）=﹣g（x）所以为奇函数．所以答案应选择D．点评：此题主要考查函数奇偶性的推断，对于偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）做到理解并记忆，以便更简洁的推断奇偶性．6．（2021春•随州期末）若＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有（）①a+b＜ab②|a|＞|b|③a＜b④+＞2．A．1个B．2个C．3个D． 4个考点：基本不等式．分析：由已知条件可得b＜a＜0，利用不等式的性质，逐一分析各选项，从而确定正确答案．解答：解：∵＜＜0，∴b＜a＜0．∴a+b＜0，ab＞0，|b|＞|a|，故①正确，②③错误．∵a、b同号且a≠b，∴、均为正．∴+＞2=2．故④正确．∴正确的不等式有2个．故选B．点评：依据给定的条件，利用不等式的性质，推断不等式或有关的结论是否成立，是高考考查的重点内容，需娴熟把握．7．（2021春•随州期末）如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的表面积为（）A．14B．6+C．12+2D． 16+2考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，高为2，底面正三角形的一边上的高为．据此即可计算出其表面积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，高为2，底面正三角形的一边上的高为．∴底面正三角形的边长为2．该几何体的表面积S=2××22+3×2×2=12+2．故选：C点评：本题考查的学问点是由三视图求几何体的体积或表面积，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．8．（2021春•随州期末）在△ABC中，∠C=120°，，则tanAtanB的值为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数．分析：依据A+B=180°﹣C=60°，先求出tan（A+B）的值，再求tanAtanB．解答：解：，故，即．故选B．点评：本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．9．（2022•陕西）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A． B． C．D．考点：余弦定理．专题：计算题；压轴题．分析：通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值．解答：解：由于a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC==．故选C．点评：本题考查三角形中余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查计算力气．10．（2022•山东）若，，则sinθ=（）A．B．C． D．考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：结合角的范围，通过平方关系求出二倍角的余弦函数值，通过二倍角公式求解即可．解答：解：由于，，所以cos2θ=﹣=﹣，所以1﹣2sin2θ=﹣，所以sin2θ=，，。

随州市高一升高二教学检测数学试题（本卷满分150分，考试时间120分钟；在答题卡相应处作答方才有效）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2|1B x x =≤，则A B =（ ）A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}1,1-D. {}0,1,2 【答案】A【解析】【分析】 解不等式确定集合B ，然后由交集定义计算．【详解】2{|1}{|11}B x x x x =≤=-≤≤，所以{1,0,1}A B ⋂=-．故选：A ．【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键．2. i 为虚数单位，若复数()()11mi i ++是纯虚数，则实数m =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 0或1 【答案】C【解析】分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简()()1i 1i m ++，再利用纯虚数的定义求解即可．【详解】()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++是纯虚数，10 10m m -=⎧∴⎨+≠⎩，即1m =，故选C ． 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 若a b <，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 11a b > B. 22a b > C. sin sin a b < D. 22a b <【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质，对四个选项逐一判断即可.【详解】若a b <，不妨设0a <，0b >，显然11a b >不成立，故选项A 不正确， 若0a b <<，则22a b <，故选项B 不正确，因为sin y x =具有周期性，故a b <不一定sin sin a b <，故选项C 不正确，因为2x y =在R 上单调递增，所以a b <时22a b <，故选项D 正确，故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.4. “sin 0α=”是“cos 1α=”的（ ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】判断两个命题：sin 0α=⇒cos 1α=和cos 1α=⇒sin 0α=的真假即可得．【详解】由于22sin cos 1αα+=，且sin 0α=，得到cos 1α=±，故充分性不成立；当cos 1α=时，sin 0α=，故必要性成立.故选：B.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题方法是根据充分必要条件的定义．即判断两个命题p q ⇒和q p ⇒的真假．5. 在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则BE =（ ） A. 3144AB AC B. 1344AB ACC. 3144AB AC -+D. 3144AB AC 【答案】C【解析】 【分析】 用AB 、AC 表示AE ，再利用向量的减法法则可得出EB 关于AB 、AC 的表达式.【详解】因为AD 为BC 边上的中线， 所以1122AD AB AC =+， 111111222244AE AD AB AC AB AC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ， 所以11144344AB A BE A C AB A A A C E B B +-=+-==-， 故选：C 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理，以及向量的线性运算，属于基础题.6. 若正数a 、b 满足2a b ab +=，则（ ）A. 1ab ≤B. 2a b +≥C. 2a b +≤D. 1ab >【答案】B【解析】【分析】 利用基本不等式可求出ab 的最最小值，+a b 的最小值，即可选出正确选项.【详解】因为a b ab +≥()2224a b a b ab ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ ， 所以22a b ab ab +=≥)210abab ≥，解得：1≥ab ， 当且仅当a b =时等号成立； ()2224a b a b ab ++=≤⨯，即()()22a b a b +≥+，所以2a b +≥，当且仅当a b =时等号成立.故选：B【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，属于基础题.7. 下列说法正确的有（ ）个①三个不同的平面可以把空间分成7个部分；②若直线l 平行于平面α，则l 平行于α内的无数条直线；③如果空间中的两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等；④若一个四面体有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也互相垂直.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】C【解析】【分析】逐项分析排除，对于命题④取三角形BCD 的垂心H ，由AB CD ⊥，AD BC ⊥，得到AH ⊥面BCD ，BD ⊥面ACJ ，所以BD AC ⊥.【详解】对于①，三个不同的平面可以把空间分成4或6或7或8个部分，正确；对于②，若直线l 平行于平面α，则l 平行于α内的无数条直线，正确；对于③，如果空间中的两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补，所以错误；对于④，若一个四面体有两组对棱互相垂直，设四面体ABCD 中，AB CD ⊥，AD BC ⊥,取三角形BCD 的垂心H ，延长BH 交直线CD 于E ，延长DH 交直线BC 于F ，则CD ⊥面ABE ，CB ⊥面ADF ，得到AH CD ⊥，AH CB ⊥，故AH ⊥面BCD ，延长CH 交BD 于J ，则BD ⊥面ACJ ，所以BD AC ⊥.则第三组对棱也互相垂直，正确.故选：C.【点睛】本题考查了空间中平面基本性质，直线和平面的位置关系，要求有好的空间想象力.8. 进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是35.用计算机生成了20组随机数，结果如下，若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ）116 785 812 730 134 452 125 689 024 169334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 A. 35 B. 12 C. 1320 D. 25【答案】B【解析】【分析】从20个随机数中观察随机数的三个数中恰有2个在0，1，2，3，4，5中的个数，然后可得概率．【详解】观察20个随机数，其中有116，812，730，217，109，361，284，147，318，027共10个表示3天中恰有2天发布高温橙色预警信号， 因此所求概率为101202P ==． 故选：B ．【点睛】本题考查随机数表，解题关键是正确理解题意，从随机数中求得表示3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的个数，从而得出概率．9. 设棱长为a 的正四面体的高、内切球的半径、外接球的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确的是（ ）A. h R r =+B. 3R r =C. 6r =D. 6R =【答案】D【解析】【分析】根据正四面体的性质求解．其内切球与外接球球心重合，在正四面体的高上，作出图形求出高、内切球的半径、外接球的半径可得结论．【详解】由正四面体的性质，其内切球与外接球球心重合，在正四面体的高上，如图，AM是正四面体ABCD 的一条高，O是外接球球心，M是底面三角形外心，因为棱长为a，所以33 h DM a ==，22363AM a a a⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭，,OA R OM r==，则由222OD OM MD=+得2223633R a a R⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得6R a=，所以666r a a a=-=，因此,,A B C正确，D错误．故选：D．【点睛】本题考查正四面体的性质，正四面体的内切球与外接球球心重合，在正四面体的高上．这个结论应记住．10. 已知O是平面上一点，，A、B、C是平面上不共线的三个点，点O满足AB AC BA BCOA OBAB AC BA BC⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⋅-=⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则O点一定是△ABC的（）A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心【答案】B【解析】【分析】由所给等式利用数量积的定义可得cos<,=cos<,OA AB OA AC>>，推出O点为BAC∠的角平分线上的点，同理O 点为ABC ∠的角平分线上的点，即可判断. 【详解】0AB AC OA AB AC ⎛⎫ ⎪⋅-= ⎪⎝⎭，=AB AC OA OA AB AC ∴⋅⋅， 即cos<,=cos<,ABACOA OA AB OA OA AC AB AC ⋅⋅>⋅⋅>，cos<,=cos<,OA AB OA AC ∴>>，O 点为BAC ∠的角平分线上的点，同理可得O 点为ABC ∠的角平分线上的点，所以O 点为△ABC 角平分线的交点，O 点是一定是△ABC 的内心.故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的定义及运算律、三角形内心的概念，属于中档题.11. 今年从6月2日至7月18日6时，中央气象台连续40余天发布暴雨预警，成为自2007年开展暴雨预警业务以来历时最长的一次.通常说的小雨、中雨、大雨、暴雨等，一般以日降雨量衡量，降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位，它可以直观地表示降雨的多少.其中小雨指日降雨量在10毫米以下；中雨日降雨量为10~24.9毫米；大雨降雨量为25～49.9毫米；暴雨降雨量为50~99.9毫米；大暴雨降雨量为100~250毫米；特大暴雨降雨量在250毫米以上.我国古代很早就有关于降雨量的记载，古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是几寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸，1寸133=厘米），设该次测得的降雨量为日降雨量，则按照现在的标准，这次降雨的级别为（ ）A. 中雨B. 大雨C. 暴雨D. 大暴雨 【答案】D【解析】【分析】求出盆中水的体积，得降雨量后可得结论．【详解】由题意盆底半径为6a =寸，盆口半径为14寸，水面半径为614102+=寸，水深9寸， 水体积为2219(661010)5883V ππ=⨯⨯+⨯+=，盆口面积为214196S ππ=⨯=，所以降雨量为10588101031963V p S ππ=⨯=⨯=厘米＝100毫米．为大暴雨． 故选：D ．【点睛】本题考查数学文化，考查圆台的体积公式，掌握圆台体积公式是解题关键．12. 若奇函数()f x 在[]1,0-上为单调递减函数，又α，β，γ为某钝角三角形的三内角（其中γ为钝角），则下列结论正确的为（ ）①()()sin cos f f αβ> ②()()cos sin f f αγ<③()()cos cos f f αγ< ④()()sin sin f f βγ>A. ①③④B. ①②③C. ②③④D. ①②④【答案】A【解析】【分析】 先利用奇函数对称性判断()f x 在[]11-，上单调递减，再根据三角形中角的关系，结合三角函数单调性逐一判断即可.【详解】因为()f x 在[]1,0-上单调递减，根据奇函数的对称性知()f x 在[]01，上也单调递减，因此()f x 在[]11-，上单调递减， 三角形中γ为钝角，故2παβ+<，022ππαβ∴<<-<，又sin y x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增， sin sin cos 2παββ⎛⎫∴<-= ⎪⎝⎭，()()sin cos f f αβ∴>，故①正确；三角形中，当120,30γαβ=︒==︒时cos sin αγ==()()cos sin f f αγ∴=故②错误； 三角形中，02παγπαπ<<<<-<，又cos y x =在[]0,π上递减，1cos 0cos 1αγ>>>>-，又()f x 在[]11-，上单调递减，()()cos cos f f αγ∴<，故③正确； 三角形中，02πβγπβπ∴<<<<-<，又sin y x =在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，()1sin sin sin 0γπββ>>-=>，()()sin sin f f βγ∴>，故④正确.故选：A.【点睛】本题考查了奇函数的对称性，三角形中三角函数单调性的应用，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上）13. 已知向量a 、b 满足2a =，1b =，()()31a b a b +⋅-=，则向量a 与向量b 的夹角为______. 【答案】34π【解析】【分析】 利用平面向量数量积的运算可求得a b ⋅的值，然后利用平面向量数量积可求得向量a 与向量b 的夹角的余弦值，由此可求得两向量的夹角.【详解】()()22232322311a b a b a a b b a b +⋅-=-⋅-=-⋅-⨯=，可得1a b ⋅=-，设向量a 与向量b 的夹角为θ，则2cos 2a ba b θ⋅==-⋅， 0θπ≤≤，因此，34πθ=. 故答案为：34π. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.14. 设角α，β满足()()2tan 112tan 5αβ+-=，则()tan αβ-的值为______.【答案】2【解析】【分析】根据题中条件，得到tan tan 22tan tan αβαβ-=+，再由两角差的正切公式，即可求出结果.【详解】由()()2tan 112tan 5αβ+-=得2tan 4tan tan 12tan 5ααββ-+-=，即tan tan 22tan tan αβαβ-=+，所以()tan tan tan 21tan tan αβαβαβ--==+. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查求两角差的正切值，熟记公式即可，属于基础题型.15. 瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数V 、棱数E 及面数F 满足等式2V E F -+=，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一，现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体，共有32个面，是由m 块白色正六边形面料和32m -块黑色正五边形面料构成的.则m 的值为______.【答案】20【解析】【分析】求出顶点数和棱数，然后代入欧拉多面体公式可得m 值．【详解】由题意该几何体的顶点为65(32)16033m m m V +-+==，棱数为65(32)16022m m m E +-+==，又32F =， 由欧拉多面体公式得16016032232m m ++-+=，解得20m =． 故答案为：20．【点睛】本题考查数学文化，考查欧拉多面体公式的应用，解题关键是根据题意求出顶点数和棱数． 16. 函数()cos2sin f x x x λ=-在()0,n π上有101个零点，则λ=______，n =______.【答案】 (1). 1 (2). 67【解析】【分析】先换元sin x t =构造()h t ，利用其根的特征进行讨论，再结合sin y x =在()0,n π上的图像特点找到101个零点的情况即可.【详解】()2cos2sin 12sin sin f x x x x x λλ=-=+-，令sin x t =，则2()21h t t t λ=--+， 因为280λ∆=+>，开口向上，知()0h t =必有两互异根12,t t ，且12121,22t t t t λ+=-=-， 若两根绝对值都小于1，由sin y x =在()0,n π上的图像特点可知()f x 的零点个数必然是偶数，不符合题意；同理若一根绝对值都大于1，一根绝对值小于1， ()f x 的零点个数必然也是偶数，不符合题意；因此必然有一根绝对值为1 ，接下来讨论分析：①若一根为1，则另一根为12-，则12122t t λ+=-=，1λ=-，结合sin y x =在()0,n π上的图像特点知，sin 1x =和1sin 2x =-在每周期2π内有3个零点，而1013332=⨯+，即33个周期后再出现两个零点，66n =时区间()0,66π内有33399⨯=个零点，67n =时区间()0,67π内有3331100⨯+=个零点，68n =时区间()0,66π内有343102⨯=个零点，均不符合题意；②若一根为-1，则另一根为12，则12122t t λ+=-=-，1λ=，结合sin y x =在()0,n π上的图像特点知，sin 1x =-和1sin 2x =在每周期2π内有3个零点，而1013332=⨯+，即33个周期后再出现两个零点，66n =时区间()0,66π内有33399⨯=个零点，67n =时区间()0,67π内有3332101⨯+=个零点，68n =时区间()0,66π内有343102⨯=个零点，因此，要使()f x 在()0,n π上有101个零点，则有1λ=，67n =.故答案为：1λ=；67n =.【点睛】本题考查了一元二次方程根的特征和正弦函数图像的综合应用，属于难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知函数2()cos cos f x x x x =+. （1）求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 在区间,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的值域.【答案】（1）12；（2）30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】（1）直接代入计算即可；（2）由二倍角公式和两角和的正弦公式化为函数为一个角的一个三角函数形式，然后求正弦函数性质得出结论．【详解】（1）2cos cos 4444f ππππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭；（2）cos 211()2sin 22262x f x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，当,63x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，52,666x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，结合图象易知1sin 2,162x π⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， 故3()0,2f x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查求三角函数的值域，解题方法是利用二倍角公式，两角和与差的正弦公式化函数为()sin()f x A x h ωϕ=++形式，然后结合正弦函数性质求解．18. 新冠病毒怕什么？怕我们身体的抵抗力和免疫力！适当锻炼，合理休息，能够提高我们身体的免疫力，抵抗各种病毒.某小区为了调查居民的锻炼身体情况，从该小区随机抽取了100位居民，记录了他们某天的平均锻炼时间，其频率分布直方图如下：（1）求图中a 的值和平均锻炼时间超过40分钟的人数；（2）估计这100位居民锻炼时间的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. 【答案】（1）0.03a =；18人；（2）众数为35，平均数为30.2. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图所有频率之和为1可求得a ，由频率分布直方图得平均锻炼时间超过40分钟的频率后可得人数；（2）众数是频率最高的矩形这组数据的中点值，均值用每组数据中点值乘以频率相加即得． 【详解】（1）由(0.0050.0120.0350.0150.003)101a +++++⨯=， 解得0.03a =.平均锻炼时间超过40分钟的人数频率为(0.0150.003)100.18+⨯=， 故人数为1000.1818⨯=（人）.（2）根据该频率分布直方图可知，众数为35， 平均数为：50.00510150.01210250.0310350.03510⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯450.01510550.0031030.2+⨯⨯+⨯⨯=.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查用频率分布直方图求均值和众数，属于基础题，19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧面PAB 是正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 是PA 的中点.（1）求异面直线BM 与PD 所成角的大小；（2）求侧面PCD 与底面ABCD 所成二面角的余弦值. 【答案】（1）90︒；（2）277. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明BM ⊥平面PAD ，得到BM PD ⊥，即可得出结果；（2）取AB 、CD 中点E 、F ，连接PE 、EF 、PF ，得出PF CD ⊥，EF CD ⊥，故EFP ∠为侧面PCD 与底面ABCD 所成二面角的平面角，设AB PB a ==，根据题中条件，求出二面角的余弦值即可. 【详解】（1）在PAB △中，易知BM PA ⊥，由平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD ，且AD AB ⊥,所以AD ⊥平面PAB ，又BM ⊂平面PAB ，故AD BM ⊥，AD PA A ⋂=， 故BM ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，故BM PD ⊥，故异面直线BM 与PD 所成角的大小为90︒.（2）取AB 、CD 中点E 、F ，连接PE 、EF 、PF ，则//EF AD ；因为底面ABCD 为正方形，所以EF CD ⊥； 因为侧面PAB 是正三角形，所以PE AB ⊥，又侧面PAB ⊥底面ABCD ，所以PE ⊥底面ABCD ； 又CD ⊂底面ABCD ，所以PE CD ⊥； 又PE EF E ⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ， 所以CD ⊥平面PEF ，又PF ⊂平面PEF ， 因此PF CD ⊥.故EFP ∠为侧面PCD 与底面ABCD 所成二面角的平面角， 设AB PB a ==，则3PE a =，EF a =，7PF a =， 故27cos EF EFP PF ∠==， 故侧面PCD 与底面ABCD 所构成二面角的余弦值为27.【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，考查求二面角的余弦值，利用线面垂直证明异面直线垂直，根据二面角的定义求出二面角即可，属于常考题型.20. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期 12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差（C ︒） 10 11 13 12 8 发芽数y （颗） 2326312716该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.（1）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）【答案】（1）35；（2）ˆ522y x =-；（3）可靠的..【解析】 【分析】（1）设抽到不相邻两组数据为事件A ，求出任取2天数据的方法数，再求出事件A 的对立事件方法数，用对立事件的概率计算事件A 的概率；（2）根据公式计算回归方程的系数，得回归方程；（3）把10x =和8代入回归方程求出预测值，然后与实际值比较可得．【详解】（1）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种等可能出现的情况，其中抽到相邻两组数据的情况共有4种， 所以()431105P A =-=. （2）由表中12月2日至12月4日数据，求得111312123x ++==，263127283y ++==，由公式求得()()()122221(1)(2)130(1)5(1)102niii ni i x x y y b x x==-⨯-+⨯+⨯-==-++--=-∑∑， （或1222222111261331112273122851113123122ni ii ni i x y nx yb x nx==⨯+⨯+⨯⨯-⨯⨯==++-⨯-=-∑∑.） ˆˆ2ay bx =-=-.所以y 关于x 的线性回归方程ˆ522y x =-. （3）当10x =时，52232ˆyx =-=，23232-<，同样地，当8x =时， 582182ˆy=⨯-=，18162-≤，所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的. 【点睛】本题考查古典概型，考查线性回归直线方程，考查了学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题．21. 在平面四边形ABCD 中，已知34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =.（1）若5AC =ABC 的面积；（2）若4sin 5CAD ∠=，7AD =，求CD 的长. 【答案】（1）12；（2）42CD =. 【解析】 【分析】（1）在ABC 中，根据余弦定理求出2BC =（2）在ABC 中，利用两角差的正弦公式求出2sin 10BCA ∠=，利用正弦定理求出5AC =，ADC 中，利用余弦定理求出42CD =.【详解】（1）在ABC 中，由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠， 即222512(240BC BC BC BC =+-⨯⇒-=，解得2BC =所以1121sin 122222ABCSAB BC ABC =⋅⋅∠=⨯=. （2）因为90BAD ∠=︒，4sin 5CAD ∠=，所以4cos 5BAC ∠=，3sin 5BAC ∠=，所以22432 sin sin(cos sin)()4225510BCA BAC BAC BACπ⎛⎫∠=-∠=∠-∠=-=⎪⎝⎭.在ABC中，由正弦定理可得sin sinAC ABABC BCA=∠∠，∴21sin25sin210AB ABCACBCA⨯⋅∠===∠.所以22232cos2549257325CD AC AD AC AD CAD=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=.所以42CD=.【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，考查了正弦定理、余弦定理，考查了三角形的面积公式，属于中档题.22. 在正三棱锥S ABC-中，侧棱21SA=，底面边长6AB=，设点A在平面SBD上的正投影为E.连接SE并延长交BC于点D.（1）求证：D为BC的中点；（2）若过点E且平行于底面ABC的平面与SA、SB、SC分别交于点P、M、N，求三棱锥D PMN-的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）81364.【解析】【分析】（1）设BC的中点为D，连接AD'，SD'，根据题意，由线面垂直的判定定理及性质，证明BC SD⊥，即可得出结论成立；（2）连接AD，过S作SO⊥底面ABC，垂足为O，易知点O在AD上，且23 AOAD，根据题中条件求出19316PMN ABCS S==△△，设D 到平面PMN的距离为h，根据三角形相似求出h，再由几何体的体积，即可得出结果.【详解】（1）证明：设BC的中点为D，连接AD'，SD'，易知BC AD'⊥，BC SD'⊥，可得BC⊥平面SAD'，故BC SA⊥.又依题意可知AE⊥平面SBC AE BC⇒⊥，故BC⊥平面SAE BC SE⇒⊥.即BC SD⊥，又SB SC=.故D与D重合，为BC的中点.（2）连接AD，过S作SO⊥底面ABC，垂足为O，易知点O在AD上，且23AO AD.由6AB=，可知33AD=23AO=又21SA=3SO=，3OD AD AO=-=3SD=由cosDE DOADSAD SD∠==，可得332DE=故3SE SD DE=-=.故14SESD=.由平面//PMN平面ABC，可得2116PMNABCS SES SD⎛⎫==⎪⎝⎭△△，故1119366sin 601616216PMN ABC S S ==⨯⨯⨯⨯︒=△△. 设D 到平面PMN 的距离为h ， 易知34h ED SO SD ==，故3944h SO ==. 故三棱锥D PMN -的体积为119398133316464PMN S h ⨯⨯=⨯⨯=△.【点睛】本题主要考查线面垂直的性质，考查求几何体的体积，熟记线面垂直的判定定理和性质，以及几何体的体积公式即可，属于常考题型.。

2020年湖北省随州市数学高二第二学期期末调研试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】分别计算每个销量对应的利润，选出日利润不少于96元的天数，再利用排列组合公式求解. 【详解】 当时： 当时：当时： 当时：日利润不少于96元共有5天，2天日利润是97元 故故答案选A 【点睛】本题考查了频率直方图，概率的计算，意在考查学生的计算能力. 2．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1【答案】B【解析】 【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值. 【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.3．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为6π，且其图象向右平移23π个单位后得到函数()sin g x x ω=的图象，则ϕ=（ ） A ．6π B ．3π C ．29π D ．49π 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数()y f x =的周期求出ω的值，利用逆向变换将函数()y g x =的图象向左平行23π个单位长度，得出函数()y f x =的图象，根据平移规律得出ϕ的值. 【详解】由于函数()y f x =的周期为6π，2163πωπ∴==，则()1sin 3g x x =， 利用逆向变换，将函数()y g x =的图象向左平移23π个单位长度，得到函数()y f x =的图象，所以()1212sin sin 3339f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，29πϕ=，故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象的平移变换，本题利用逆向变换求函数解析式，可简化计算，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 4．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ） A ．若的观测值为=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；B ．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；C ．若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误；D ．以上三种说法都不正确. 【答案】C 【解析】试题分析：要正确认识观测值的意义，观测值同临界值进行比较得到一个概率，这个概率是推断出错误的概率，若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推判出现错误，故选C ．考点：独立性检验．5．已知等差数列{}n a 中，11a =，358a a +=，则237a a a ++=（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】C 【解析】分析：根据等差数列的通项公式，可求得首项和公差，然后可求出值。

湖北省随州市2021届新高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数ln(1),0 ()11,02x xf xx x+>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n<,且()()f m f n=，则n m-的取值范围为（）A．[32ln2,2)-B．[32ln2,2]-C．[1,2)e-D．[1,2]e-【答案】A【解析】分析：作出函数()f x的图象，利用消元法转化为关于n的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数()f x的图象，如图所示，若m n<，且()()f m f n=，则当ln(1)1x+=时，得1x e+=，即1x e=-，则满足01,20n e m<<--<≤，则1ln(1)12n m+=+，即ln(1)2m n=+-，则22ln(1)n m n n-=+-+，设()22ln(1),01h n n n n e=+-+<≤-，则()21111nh nn n-=+=++'，当()0h n'>，解得11n e<≤-，当()0h n'<，解得01n<<，当1n=时，函数()h n取得最小值()1122ln(11)32ln2h=+-+=-，当0n=时，()022ln12h=-=；当1n e=-时，()1122ln(11)12h e e e e-=-+--+=-<，所以32ln2()2h n-<<，即n m-的取值范围是[32ln2,2)-，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.2．若集合{}2|0,|121x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则A B I =（ ） A ．[2,2)- B ．(]1,1-C ．()11-，D ．()12-， 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A ，然后与集合B 取交集即可． 【详解】 由题意，{}2|0|211x A x x x x +⎧⎫=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭，{|12}B x x =-<<，则{|11}A B x x =-<<I ，故答案为C. 【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题．3．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞和0,1x x ==处函数的特征即可确定函数图像. 【详解】Q 函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在1x =处取得极大值，∴当1x >时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=；当1x <时，()0f x '>.0x ∴<时，()0y xf x '=->，01x <<时，()0y xf x '=-<，当0x =或1x =时，()0y xf x '=-=；当1x >时，()0xf x '->. 故选：B 【点睛】根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.4．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(,)DE AB AD R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v，则λμ+等于（ ）．A ．12-B ．12C ．1D ．1-【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量基本定理，化简得13DE AB AD 44u u u v u u u v u u u v =-，所以13λ,μ44==-，即可求解，得到答案．【详解】由平面向量基本定理，化简()11DE DA AE DA AC AD AB AD 44=+=+=-++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v13AB AD 44=-u u u v u u u v ，所以13λ,μ44==-，即1λμ2+=-， 故选A ．【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到13DE AB AD 44u u u v u u u v u u u v=-是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题．5．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得,m n 的值，即可比较各选项. 【详解】如下图所示，CE ⊂平面ABPQ ，从而//CE 平面1111A B PQ ，易知CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4m =，∵//EF 平面11BPPB ，//EF 平面11AQQ A ，且EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4n =，∴结合四个选项可知，只有m n =正确. 故选：A. 【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题.6．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若2AB =2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A ．23 B ．3C ．323D 23【答案】B 【解析】 【分析】首先由2AB =求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解. 【详解】由题意1b =将x c =-代入双曲线C 的方程,得1y a =±则22,2,3a c a===,由2121222AF AF BF BF a -=-==,得2ABF ∆的周长为2211||22||42||62AF BF AB a AF a BF AB a AB ++=++++=+=,设2ABF ∆的内切圆的半径为r ,则11362232,22r r ⨯=⨯⨯=, 故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题. 7．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB DC AD ===，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合为点F ，则三棱锥F DCE -的外接球的体积是（ ）A 6B 6C ．32π D ．23π 【答案】A 【解析】 【分析】由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积．【详解】由题意等腰梯形中DA AE EB BC CD ====，又60DAB ∠=︒，∴AED ∆，BCE ∆是靠边三角形，从而可得DE CE CD ==，∴折叠后三棱锥F DEC -是棱长为1的正四面体， 设M 是DCE ∆的中心，则FM ⊥平面DCE ，23313DM =⨯⨯=，226FM FD DM =-=， F DCE -外接球球心O 必在高FM 上，设外接球半径为R ，即OF OD R ==，∴22263()()R R =-+，解得6R =， 球体积为334466()3348V R πππ==⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体．8．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．3y =±B ．3y x =C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出2c b =，结合22224c b a b ==+，得出223a b =，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由双曲线()222210,0x y a b a b-=>>可知，焦点在x 轴上，则双曲线的渐近线方程为：by x a=±，由于焦距是虚轴长的2倍，可得：2c b =， ∴22224c b a b ==+， 即：223a b =，33b a =， 所以双曲线的渐近线方程为：33y x =±. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程.9．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A ．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D ．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格 【答案】D 【解析】 【分析】先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可 【详解】由折线图易知A 、C 正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B 错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为,,a b c ，由题意可知，b a =，1.9%a c c -=，则有1 1.9%ac a b =<=+，所以D 正确. 故选：D【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题. 10．下列不等式成立的是（ ） A ．11sincos 22> B ．11231122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．112311log log 32< D ．11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误. 【详解】 对于A ，1024π<<Q ，11sin cos 22∴<，A 错误； 对于B ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q 在R 上单调递减，11231122⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；对于C ，1221log log 313=>Q ，1331log log 212=<，112311log log 32∴>，C 错误； 对于D ，13y x =Q 在R 上单调递增，11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎭∴⎝，D 正确.故选：D . 【点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.11．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =-，则sin cos A A -的值为（ ） AB． CD ．5-3【答案】A 【解析】 【分析】由2sin 22sin cos 3A A A ==-，得到1sin cos 03A A =-<，得出(,)2A ππ∈，再结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由题意，角A 满足2sin 22sin cos 3A A A ==-，则1sin cos 03A A =-<，又由角A 是三角形的内角，所以(,)2A ππ∈，所以sin cos AA >，因为()225sin cos 12sin cos 1()33A A A A -=-=--=， 所以15sin cos A A -=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质，以及三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的化简、求值问题，着重考查了推理与计算能力.12．已知实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的取值范围是（ ）A ．25,225⎡⎤⎢⎥⎣ B ．4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,8【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域，根据可行域上的点到原点距离，求得22x y +的取值范围.【详解】由约束条件作出可行域是由(2,0)A ，(0,1)B ，(2,2)C 三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而22xy +可理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到AB 所在的直线220x y +-=的距离是可行域内的点到原点距离的最小值，此时222245OA OB x y OD AB ⋅⎛⎫+===⎪⎝⎭，点C 到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值，此时2222228x y +=+=.所以22xy +的取值范围是4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B 【点睛】本小题考查线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。