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2023-2024学年江苏省无锡市锡东高级中学高三（下）段考数学试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.已知，则()A. B. C. D.3.已知等比数列的前3项和为168，，则()A.14B.12C.6D.34.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了A. B. C. D.5.在平行四边形ABCD中，，若，则()A. B. C. D.6.为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有种.A.40B.24C.20D.127.在中，，的角平分线AD交BC于点D，的面积是面积的3倍，则()A. B. C. D.8.已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，则()A.是偶函数，也是周期函数B.的最大值为C.的图像关于直线对称D.在上单调递增10.已知点，，点P 为圆C ：上的动点，则()A.面积的最小值为B.AP 的最小值为C.的最大值为D.的最大值为11.定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有() A.，B.函数既有极大值又有极小值C.函数有三个零点D.过可以作两条直线与图像相切三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2020年江苏省无锡市善卷中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于( )A．1 B．C．D．参考答案：C【考点】等差数列的性质；一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】设4个根分别为x1、x2、x3、x4，进而可知x1+x2和x3+x4的值，进而根据等差数列的性质，当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列，进而求得m和n，则答案可得．【解答】解：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，∴m=，n=．∴|m﹣n|=．故选C【点评】本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是运用了等差数列当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q 的性质．2. 已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n为数列{a n}的前n项和，则的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．2参考答案：A【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】a1，a3，a13成等比数列，a1=1，可得：a32=a1a13，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得a n，S n．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：∵a1，a3，a13成等比数列，a1=1，∴a32=a1a13，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．S n=n+×2=n2．∴===n+1+﹣2≥2﹣2=4，当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故选：A．3. 在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，且直线bx＋ycos A＋cos B＝0与ax＋ycos B＋cos A＝0平行，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰或直角三角形参考答案：C4. 用秦九韶算法求n 次多项式的值，当时，求需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（）A. B.n,2n,n C.0,n,n D. 0,2n,n参考答案：C略5. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），则该几何体的表面积及体积分别为A. 24cm 2，12cm3B. 15cm 2，12cm3C. 24cm 2，36cm3D.以上都不正确参考答案：A6. 下列推理合理的是（）A. 若函数y＝f（x）是增函数，则f'（x）＞0B. 因为a＞b（a，b∈R），则a+2i＞b+2i（i是虚数单位）C. A是三角形ABC的内角，若cos A＞0，则此三角形为锐角三角形D.α，β是锐角△ABC的两个内角，则sinα＞cosβ参考答案：D【分析】根据导函数、虚数、三角函数的相关知识一一进行判断可得答案.【详解】解：对于A，根据导函数的概念可知，若f（x）是增函数，则f'（x）≥0，故错误；对于B，虚数无法比较大小，故错误；对于C，若A是△ABC的内角，且cosA＞0，则A为锐角，但△ABC不一定为锐角三角形，故错误．对于D，若α，β是锐角△ABC的两个内角，∴α+β，∴sinα＞sin（β）＝cosβ，故正确；故选：D．【点睛】本题主要考查命题真假的判定与应用，涉及的知识有函数、虚数、三角函数、诱导公式等，需灵活运用所学知识进行判定.7. 现釆用随机模拟的方法估计该运动员射击次，至少击中次的概率:先由计算器给出到之间取整数值的随机数，指定、表示没有击中目标,、、、、、、、表示击中目标,以个随机数为一组,代表射击次的结果,经随机模拟产生了组随机数：根据以上数据估计该射击运动员射击次至少击中次的概率为、、、、参考答案：D8. 设函数的导数,则数列的前n项和A. B. C. D.参考答案：C9. 若曲线在点处的切线与直线平行，则a=（）A. 3B. 4C. 5D. 6参考答案：C【分析】对函数求导，由切线与直线平行，得出导数在的导数值为，于此可得出实数的值。
江苏省无锡市综合高级中学2020-2021学年高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于的二面角分别为的中点，若，则线段MN长度的取值范围为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】连接和，由二面角的定义得出，由结合为的中点，可知是的角平分线且，由的范围可得出的范围，于是得出的取值范围。
【详解】连接，可得，即有为二面角的平面角，且，在等腰中，，且，，则，故答案为：，故选：A。
【点睛】本题考查线段长度的取值范围，考查二面角的定义以及锐角三角函数的定义，解题的关键在于充分研究图形的几何特征，将所求线段与角建立关系，借助三角函数来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题。
2. 已知函数f(x)＝A cos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为 ()A．－ B．－ C. D．－参考答案：D3. 已知正六边形的边长为1，则的最大值是（）A. 1B.C.D. 2参考答案：B【分析】依题意得，分别计算出当时的值，比较即可得出答案.【详解】解：如图，当时，的值相应是，故最大值为.【点睛】本题考查正多边形的性质、余弦定理和向量数量积的运算等知识.4. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 ( )A． B． C．D．参考答案：A5. 设函数的最小正周期是T，将其图象向左平移后，得到的图象如图所示，则函数的单增区间是（）A. B.C. D.参考答案：A由已知图象知，的最小正周期是所以解得.由得到，单增区间是或：因为所以将的图象向左平移后，所对应的解析式为.由图象知，所以.由得到，单增区间是点晴：本题考查的是三角函数的图像和性质.已知函数的图象求解析式;(1);(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.确定解析式后，再根据可得单增区间是.6. 计算= ( )A. B. C. D.参考答案：A7. 已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，则·等于（） A．-6 B．6 C．8 D．-8参考答案：B略8. 如图，在三棱锥S﹣ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是（）A．相交B．平行C．异面D．以上都有可能参考答案：B【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据三角形的重心定理，可得SG1=SM且SG2=SN，因此△SMN中，由比例线段证出G1G2∥MN．在△ABC中利用中位线定理证出MN∥BC，可得直线G1G2与BC的位置关系是平行．【解答】解：∵△SAB中，G1为的重心，∴点G1在△SAB中线SM上，且满足SG1=SM同理可得：△SAC中，点G2在中线SN上，且满足SG2=SN∴△SMN中，，可得G1G2∥MN∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC因此可得G1G2∥BC，即直线G1G2与BC的位置关系是平行故选：B【点评】本题给出三棱锥两个侧面的重心的连线，判定它与底面相对棱的位置关系，着重考查了三角形重心的性质、比例线段的性质和三角形中位线定理等知识，属于基础题．9. 若关于x的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是 ( )A． B． C．D．参考答案：B10. 若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且，则A?ω=（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【专题】压轴题；图表型．【分析】根据图象求出函数的周期，再求出ω的值，根据周期设出M和N的坐标，利用向量的坐标运算求出A的值，即求出A?ω的值．【解答】解：由图得，T=4×=π，则?=2，设M（，A），则N（，﹣A），∵，A＞0，∴×﹣A×A=0，解得A=，∴A?ω=．故选C．【点评】本题考查了由函数图象求出函数解析式中的系数，根据A、ω的意义和三角函数的性质进行求解，考查了读图能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设数集，，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的长度的最小值是．参考答案：略12. 在集合上定义两种运算和如下：那么_____________.参考答案：【知识点】集合的运算解：由题知：a c=c,所以故答案为：13. 函数的值域为▲ .参考答案：14. 高一年级某班的部分同学参加环保公益活动---收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，已组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个．若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有个学生参考答案：解析：设甲、已、丙三个组的人数分别为．则有，故233=，同理，均为整数，则或，检验的方可．15. 在平面直角坐标系中，若圆的圆心在第一象限，圆与轴相交于、两点，且与直线相切，则圆的标准方程为．参考答案：16. 设数列则是这个数列的第项。
江苏省无锡市六校联考2020—2021学年高一下学期调研考试数学试卷2021.5（试卷分值：150分，考试时间：120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数512ii= -（）A．2i-B．12i-C．2i-+D．12i-+2.若1sin3α=，则cos2α=（）A.89B.79- C.79D.89-3.在ABC中，1,4,30a b C===︒，则这个三角形的面积是（）A.14B.13C.12D.14.已知向量且则A. 3B.C.D.5.已知，是平面，m，n是直线，下列命题中不正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则6.某全日制大学共有学生人，其中专科生有人，本科生有人，研究生有人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取A. 65人，150人，65人B. 30人，150人，100人C. 93人，94人，93人D. 80人，120人，80人7.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的等腰三角形，其中，则原平面图形的面积为A. 1B.C.D. 2第7题图第8题图8.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15︒的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30︒，第一排和最后一排的距离为56米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一水平面上.则旗杆的高度为（）A.15米B.103米C.20米D.203米βmβ⊥二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．已知复数21z i=-+，则下列结论正确的是（ ） A ．||2z = B ．20z > C ．z 的共轭复数为1i + D ．z 的虚部为1-10.下列等式成立的是（ ） A.223cos 15sin 152-= B.2sin cos 884ππ= C.13sin40cos40sin7022+= D.tan1523=-11．如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ） A ．直线A 1C 1与AD 1为异面直线 B ．A 1C 1∥平面ACD 1C ．正方体的外接球的表面积为12πD ．三棱锥D 1—ADC 的体积为8312．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．若2C π>，则222sin sin sin C A B >+C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知tan α，tan β是方程23340x x ++=的两根，且α､,22ππβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则()tan αβ+等于__________.14.将一钢球放入底面半径为的圆柱形玻璃容器中，水面升高了，则钢球的半径是________cm ．15.若z C ∈，且1z =，则34z i --的最小值为___________16.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设2DF FA =，若AB =DF 的长为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)若定义一种运算：(,)c a b ac bd d ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦.已知z 为复数，且(1,)94i 2z z ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦（1）求复数z ；（2）设t 为实数，若02z t i =+，且0z z为纯虚数，求t 的值.18.(本小题满分12分) 已知向量，，，且，．求与 若，，求向量，的夹角的大小．19．(本小题满分12分)已知cos α5=，sin （α﹣β）10=，且α、β∈（0，2π）．求：（Ⅰ）cos （2α﹣β）的值； （Ⅰ）β的值．20.(本小题满分12分)如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是矩形，点E ，F 分别为BC ，的中点． 求证：； 平面．21.(本小题满分12分)已知在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的面积为S ，若2224,6S b c a b =+-=.（1）求A ；（2）若__________，求ABC 的面积S 的大小.(在Ⅰ22cos cos20B B +=，Ⅰcos cos 31b A a B +=+，这两个条件中任选一个，补充在横线上)22.(本小题满分12分) 已知O 为坐标原点，，． 求的最小正周期；将图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为，且，求的值．江苏省无锡市六校联考2020—2021学年高一下学期调研考试数学试卷2021.5（试卷分值：150分，考试时间：120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数512ii=-（ ） A ．2i - B ．12i - C ．2i -+ D ．12i -+ 答案：C2.若1sin3α=，则cos2α=（）A.89B.79- C.79D.89-答案：C3.在ABC中，1,4,30a b C===︒，则这个三角形的面积是（）A.14B.13C.12D.1答案：D4.已知向量且则A. 3B.C.D.答案：B5.已知，是平面，m，n是直线，下列命题中不正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则答案：A6.某全日制大学共有学生人，其中专科生有人，本科生有人，研究生有人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取A. 65人，150人，65人B. 30人，150人，100人C. 93人，94人，93人D. 80人，120人，80人答案：A7.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的等腰三角形，其中，则原平面图形的面积为A. 1B.C.D. 2第7题图第8题图答案：Aβmβ⊥8.（非常好）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15︒的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30︒，第一排和最后一排的距离为56米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一水平面上.则旗杆的高度为（ ） A.15米 B.103米 C.20米 D.203米答案：A二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．（基本题）已知复数21z i=-+，则下列结论正确的是（ ） A ．||2z = B ．20z > C ．z 的共轭复数为1i + D ．z 的虚部为1- 答案：AD10.（好题）下列等式成立的是（ ） A.223cos 15sin 15-= B.2sin cos 884ππ= C.13sin40cos40sin702+= D.tan1523=- 答案：ABD 11．（好题）如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ） A ．直线A 1C 1与AD 1为异面直线 B ．A 1C 1∥平面ACD 1C ．正方体的外接球的表面积为12πD ．三棱锥D 1—ADC 的体积为83答案：ABC12．（非常好）在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．若2C π>，则222sin sin sin C A B >+★★C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形 ★★D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ 答案：ABC点评：C 选项对角A 进行讨论，因为角B 为锐角. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（好题）已知tan α，tan β是方程23340x x ++=的两根，且α､,22ππβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则()tan αβ+等于__________.答案：314.（好题）将一钢球放入底面半径为的圆柱形玻璃容器中，水面升高了，则钢球的半径是________cm ．【答案】315.（非常好）若z C ∈，且1z =，则34z i --的最小值为___________答案：416.（非常好）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设2DF FA =，若AB =则DF 的长为__________.答案：4 点评：建模.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（非常好）(本小题满分10分)若定义一种运算：(,)c a b ac bd d ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦.已知z 为复数，且(1,)94i 2z z ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦（1）求复数z ；（2）设t 为实数，若02z t i =+，且0z z 为纯虚数，求t 的值. 答案：（1）34i z =- ……5分 （2）83……10分18.（好题）(本小题满分12分) 已知向量，，，且，．求与 若，，求向量，的夹角的大小．【答案】解：由，得，解得．……2分 由，得，解得．……4分 所以，．……6分 因为，，所以，……8分，．……10分所以，，又因为夹角的范围为，所以向量，的夹角为．……12分（没有写范围扣2分） 点评：注意书写的规范性和完整性[0,]π19．（好题）(本小题满分12分) 已知cos α55=，sin （α﹣β）1010=，且α、β∈（0，2π）．求：（Ⅰ）cos （2α﹣β）的值； （Ⅰ）β的值． 【详解】（∈）∈02παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∈α﹣β∈（2π-，2π），∈5cos α=，()10sin αβ-=， ∈sin α2251sin α=-=，cos （α﹣β）()23101cos αβ=-+=，……3分 ∈cos （2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos （α﹣β）cosα﹣sin （α﹣β）sinα310510252=⨯-⨯=，……6分 （∈）由（∈）得，cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosα cos （α﹣β）+ sinα sin （α﹣β）5310251022=⨯+⨯=，……9分又∈02πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∈β4π=．……12分 20.（好题）(本小题满分12分)如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是矩形，点E ，F 分别为BC ，的中点． 求证：； 平面．【答案】解：因为侧面是矩形，所以， 因为平面平面， 平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以BC ．……6分（少条件要扣分）取的中点G ，连接FG ，CG ，在中，F ，G 分别是，的中点，所以，且， 在矩形中，E 是BC 的中点，所以，且，所以，且，所以四边形EFGC 为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以EF 平面．……12分21.（好题）(本小题满分12分)已知在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的面积为S，若2224,S b c a b =+-（1）求A ；（2）若__________，求ABC 的面积S 的大小.(在Ⅰ22cos cos20B B +=，Ⅰcos cos 1b A a B +=，这两个条件中任选一个，补充在横线上)答案：（1）因为2224S b c a =+-，所以22214sin 2bc A b c a ⋅=+-， 由余弦定理得，2222cos b c a bc A +-=，所以2sin 2cos bc A bc A =，所以sin cos A A =，又ΔABC 是锐角三角形，故tan 1A =，因为02A π<<，所以4A π=.……5分（没有写范围扣2分）（2）若选①，因为22cos cos20B B +=，所以21cos 4B =，所以1cos 2B =± 因为02B π<<，所以3B π=.……7分由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin 43a π=，所以2a =.……9分所以113sin 2sin 22432S ab C πππ+⎛⎫==⋅--= ⎪⎝⎭.……12分 若选②，因为cos cos 1b A a B +=，由余弦定理得222222122b c a a c b b a bc ac+-+-+=，解得1c =, (9)分)11sin 1sin 224S bc A π==⋅=.……12分22.（好题）(本小题满分12分) 已知O 为坐标原点，，． 求的最小正周期；将图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为，且，求的值． 【答案】解：由题意得．……4分 所以函数的最小正周期为．……5分 由题意得，……7分又，即， 因为所以所以，……9分 所以，……11分 所以．……12分()sin()3g x x π=+。
无锡市普通高中2020年春学期高二基础性调研测试高二数学(本试卷满分150分,考试时间120分钟)一.选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.命题“∀x> 2,都有230x ->”的否定是 A.∃x> 2,使得230x -> B.∀x> 2,都有230x -≤ C.∃x>2, 使得230x -≤D.∀x≤2,都有230x ->2.双曲线221x y -=的焦点到其渐近线的距离为()2.A B.1.2CD.23.若a<b<0,则下列不等关系中，不一定成立的是()22.A a b >11.B a b>11.C a b b>-1133.D a b <4.已知抛物线22(0)y px p =>上的点M(2, m)到其焦点的距离为3,则该抛物线的准线方程为() A.x=-2B.x=-1C.x= 1D.x=25. 如图,在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若1,,,AB AC AA ===u u u r u u u r u u u r a b c 则BM u u u u r可表示为( )11.22A -+a b c111.222B -+a b c 1.2C --+a b c1.2D -++a b c6.不等式22||0x x -<的解集为().{|02}A x x <<B.{x|-2<x<0或0<x<2} .{|20}C x x -<<D. {x|-2<x<2}7.已知向量a =(-1,0,1),b =(1,1,-1),且a +k b 与b 互相垂直，则k=() A.12.3B C.-12.3D -8.下列直线中与双曲线C: 22184x y -=有两个不同交点的是() A.y=x.0B x -+=.C y =D.y=x-39.在数列{}n a 中，11,a =且1(21)(21)n n n a n a +-=+，则数列1{}n n a a +⋅的前10项和等于()9.19A18.19B10.21C20.21D 10.如图所示，正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形, 如此继续下去,得到一个树形图形,称其为“勾股树”.若某勾股树共有1023个正方形，且最小的正方形的边长为1,16则最大的正方形的边长为()9.19A18.19B10.21C20.21D 11.设12,F F 是椭圆221164x y +=的左、右焦点,过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则22AF BF +的最大值为( ) A.14B.13C.12D.1012. 设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 下列条件:217;n a n =-①160;S =②160S >③且170,S <使得8||||.n a a ≥其中对任意正整数n 都成立的是() A.①②B.①③C.②③D.①②③二.填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分.13.若向量a =(7,λ,8),b =(1,-1,2),c =(2,3,1), 且a ,b ,c 共面，则λ=_____ 14.在等比数列{}n a 中，若35764,a a a ⋅⋅=则19a a +的最小值为____ 15.下列函数中，最小值为2的有_____(填写所有满足条件的函数的序号)246;y x x =-+①22;x x y -=+②221log ;log y x x=+③1sin (0).sin y x x xπ=+<<④ 16.点A 是抛物线21:2(0)C y px p =>与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的交点.若点A 到抛物线1C 的准线的距离为3,2p 则双曲线2C 的离心率等于____ 四.解答题:本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分10分)已知函数2()1,f x x ax b =-++不等式f(x)<0的解集为(-1,3).(1)求实数a,b 的值;(2)若关于x 的不等式2()50f x k -+≥对∀x ∈R 恒成立,求实数k 的取值范围.18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且满足1.n n a S =- (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设2(),n n b n n a =+求数列{}n b 的最大项.19. (本小题满分12分)如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,∠ABC=∠BAD=90°AD=AA 1=4,AB= BC=2,M 是1A C 的中点,点N 在线段AD 上.(1) 当AN= 1时，求异面直线MN 和1A B 所成角的余弦值; (2)当AN 为何值时,直线MN 与平面1A BC 所成角的正弦值为45？20. (本小题满分12分)已知等差数列{}n a 满足247102,21.a a a a =++=数列{}n b 是递减的等比数列,11,b a =且353b 是2b 和4b 的等差中项.(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和.n S21. （本小题满分12分）现有一块长方形钢板ABCD （如图），其中AB=4米，AD= 6米，运输途中不慎将四边形AEPF 部分损坏，经测量AE= 1.5米，AF =3米，tan ∠AEP=4，∠AFP= 45°.现过点P 沿直线MN 将破损部分切去（M,N 分别在AB,AD 上），设DN=t 米..（1）请将切去的△AMN 的面积表示为t 的函数f （t ）；（2）当DN 的长度为多少时，切去的△AMN 面积最小？并求出最小面积。
专题05 数 列（单选题）1．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S = A ．31 B ．32 C ．63D ．64【试题来源】甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高二第一学期期中考试（文） 【答案】C【分析】根据等比数列前n 项和的性质列方程，解方程求得6S ．【解析】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列， 所以()()242264S S S S S -=-，即()()62153315-=-S ，解得663S =．故选C ． 2．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S = A ．200 B ．100 C ．90D ．80【试题来源】广东省东莞市第四高级中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】C【解析】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=．故选C ． 3．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a = A ．7 B ．10 C ．13D ．16【试题来源】山东省济宁市2020-2021学年高三第一学期学分认定 【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，141,16a S ==，41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=，71613a a d ∴=+=．故选C ．4．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a = A ．13 B ．14 C ．15D ．16【试题来源】广西南宁市第十中学2020-2021学年高二上学期段考【答案】A【解析】由等差数列的性质可得1742a a a +=， 所以1474339a a a a ++==，解得413a =，故选A ．5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和．若1476a a a ++=，则7S = A ．10- B ．8 C ．12D ．14【试题来源】福建省莆田第二十五中学2020-2021学年高二上学期期中考试 【答案】D【分析】利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【解析】147446=32a a a a a ++=∴=，则()177477142a a S a +===，故选D ． 6．在数列{}n a 中，21n n a n +=+，则{}n a A ．是常数列 B ．不是单调数列 C ．是递增数列D ．是递减数列【试题来源】河南省焦作市2020-2021学年高二（上）期中（理） 【答案】D【分析】由21111n n a n n +==+++，利用反比例函数的性质判断即可． 【解析】在数列{}n a 中，21111n n a n n +==+++， 由反比例函数的性质得{}n a 是*n N ∈时单调递减数列，故选D ． 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S = A ．45 B ．50 C ．60D ．80【试题来源】江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三第二次模拟考试（文） 【答案】C【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解． 【解析】{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =，1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====，故选C ．8．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为 A ．8 B ．13 C ．26D ．162【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2020-2021学年高一上学期期中联考（理） 【答案】B【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果．【解析】因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =， 又()1131371313131132a a S a +===⨯=，故选B ．【名师点睛】等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=．9．已知函数()()837,8,8x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()()*n a f n n N =∈，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是 A ．()1,3B ．17,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．17,39⎛⎫⎪⎝⎭D ．[)2,3【试题来源】湖北省随州市2020-2021学年高二上学期9月联考 【答案】C【分析】由题意可得分段函数()f x 在每一段都是单调递增且98a a >，即可得解．【解析】因为函数()()837,8,8x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，()()*n a f n n N =∈，且{}n a 是递增数列，则()98301837a a a a -⎧->⎪>⎨⎪>--⎩，解得1739a <<．故选C ． 【名师点睛】在处理函数与数列的综合问题时，要注意数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点．10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则n n S =aA ．14n -B ．41n -C ．12n -D ．21n -【试题来源】河南省洛阳市第一高级中学2020-2021学年高三上学期10月月考（文） 【答案】D【解析】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，所以2413514522q a a a a =++==，因此()()111111111221112n nn n n n n n na q Sq q a a q q q ---⎛⎫- ⎪--⎝⎭====--⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选D ．11．设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若4228S S =+，则d = A ．1 B ．2 C ．3D ．4【试题来源】浙江省温州市2020-2021学年高三上学期11月高考适应性测试（一模） 【答案】B【分析】由4228S S =+，直接利用等差数列的前n 项和公式求解． 【解析】因为4228S S =+，所以()()14124282a a a a +=++， 所以()()11112328a a d a a d ++=+++，即48d =，解得2d =，故选B ．12．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =A ．1B ．8【试题来源】吉林省乾安县第七中学2020-2021学年高二上学期第二次质量检测（理） 【答案】B【解析】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==， 所以33810371178b b b b b b b ===．故选B ．13．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231n n a nb n =+，则2121S T 的值为A ．1315 B ．2335C ．1117D ．49【试题来源】甘肃省会宁县第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理） 【答案】C 【解析】2121S T ＝12112121()21()22a ab b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝2113111⨯⨯+＝1117．故选C ．14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=A ．2B ．3C ．4D ．5【试题来源】江苏省苏州市相城区陆慕高级中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】B【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果． 【解析】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=， 解得343a a +=．故选B ．15．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =C ．6D ．3【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2019-2020学年高一下学期期中（文） 【答案】A【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ，代入即可得出结论．【解析】由3914a a +=，23a =，又{}n a 为等差数列，得39121014a a a d +=+=，213a a d =+=，解得12,1a d ==，则101+92911a a d ==+=；故选A ．16．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是 A ．32n - B ．322n - C ．3122n -D ．3122n +【试题来源】内蒙古呼和浩特市第十六中学2020-2021学年高二上学期期中考试（文） 【答案】C【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式． 【解析】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则公差为31322a a d -==， 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-．故选C ． 17．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于 A ．160 B ．180 C ．200D ．220【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高三上学期期中 【答案】B【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解． 【解析】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=．所以2012020()10181802S a a =+=⨯=．故选B ． 18．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a = A ．29B ．38【试题来源】甘肃省永昌县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学理试题 【答案】A【分析】根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ； 【解析】因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==， 所以414a =．由59410a a a a +=+43=，得1029a =，故选A ． 19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a = A ．11 B ．12 C ．23D ．24【试题来源】河南省焦作市2020-2021学年高二（上）期中（理） 【答案】C 【解析】32153S a ==，25a ∴=，12a =，∴公差213d a a =-=，81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选C ．20．若数列{}n a 的通项公式为2(2)n a n n =-，其中*n N ∈，则5a = A ．25 B ．50 C ．75D ．100【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题 （理） 【答案】C 【解析】2(2)n a n n =-，525375a ∴=⨯=，故选C ．21．已知数列{}n a 满足121n n n a a a +-=，132a =，则2021a = A ．20202019 B ．20212020 C ．20222021D ．20232022【试题来源】甘肃省永昌县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学理试题 【答案】D【分析】根据题意可得112n n a a +=-，先求132a =，211423a a =-=，321524a a =-=，431625a a =-=，…，所以猜测21n n a n +=+，经验证即可得解． 【解析】因为121n n n a a a +-=，所以112n na a +=-， 因为132a =，所以211423a a =-=，321524a a =-=，431625a a =-=，…， 所以猜测21n n a n +=+，代入124231211121n n n n n n n a a a n n n n +++++-=-⨯==++++， 所以21n n a n +=+满足题意，所以202120232022a =，故选D ．【名师点睛】本题考查了通过数列的递推关系求通项公式，考查了利用规律对通项公式的猜想和验算，属于中档题．解本类问题有两个关键点：（1）当数列无法直接得出通项公式时，可观察前几项的规律；（2）通过前几项的规律进行猜想；（3）最后验算，必须带入原等式进行验算． 22．数列1111,,,57911--，…的通项公式可能是n a = A ．1(1)32n n --+B ．(1)32nn -+C ．1(1)23n n --+D ．(1)23nn -+【试题来源】甘肃省庆阳市宁县第二中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】D【解析】因为数列1111,,,, (57911)--可写成()()()()2342322311111,1,1,12,..24.333-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯， 所以其通项公式为(1)(1)23213nnn a n n -=-=++⨯．故选D ． 23．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n －2)，其中n ∈N *，则a 6＝ A ．8B ．15C ．24D ．35【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题 （文） 【答案】C【解析】代入通项公式得，66424a =⨯=，故选C ． 24．数列{}n a 的通项公式为2π1sin2n n a n =+，前n 项和为n S ，则100S = A ．50 B ．-2400 C ．4900-D ．9900-【试题来源】河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试（理） 【答案】C 【分析】由πsin2n y =的周期为4，可得22222210010013579799S =+-+-+⋅⋅⋅+-，利用并项求和可得解．【解析】2111a =+，21a =，2313a =-，41a =，…，考虑到πsin2n y =的周期为4， 所以()222222100100135797991002135799S =+-+-+⋅⋅⋅+-=-⨯++++⋅⋅⋅+(199)50100249002+⨯=-⨯=-．故选C ．25．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）．则下列埃及分数113⨯，135⨯，157⨯，…，120192021⨯的和是A ．20202021 B ．10102021C ．10092019D ．20182019【试题来源】江苏省南通市平潮高级中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】B【解析】因为()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭111113355720192021∴++++⨯⨯⨯⨯11111111123355720192021⎛⎫=-+-+-+⋯+- ⎪⎝⎭11122021⎛⎫=- ⎪⎝⎭10102021=，故选B ． 26．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为A ．89B ．910C ．1011D ．1112【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文） 【答案】C【分析】首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案．【解析】当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=． 检验111a S ==，所以n a n =．设()1111111n n n b a a n n n n +===-++，前n 项和为n T ， 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…．故选C ． 27．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为 A ．2± B ．2 C ．3±D ．3【试题来源】江苏省无锡市锡山高级中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】D【解析】4个数成等比数列，则3813q =，故3q =．故选D ．28．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于若第六个单音的频率为f ，则A ．第四个单音的频率为1122f - B ．第三个单音的频率为142f - C ．第五个单音的频率为162fD ．第八个单音的频率为1122f【试题来源】湖北省宜昌市秭归县第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】B【分析】根据题意得该单音构成公比为再根据等比数列通项公式依次求第三、四、五、八项即可得答案．【解析】根据题意得该单音构成公比为f ，141422f f -==．661122f f -==．所以第五个单音的频率为1122f =．所以第八个单音的频率为1262f f =，故选B ．29．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a += A ．45 B ．54 C ．99D ．81【试题来源】河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试（理） 【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q ，因为341a a q =，所以3q =，所以24352299a a q q +=+=．故选C ．30．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于 A ．40 B ．81 C ．121D ．242【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2020-2021学年高一上学期期中联考（理） 【答案】C【分析】根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出5S 的结果．【解析】因为12234,12a a a a +=+=，所以23123a a q a a +==+，所以1134a a +=，所以11a =，所以()5515113121113a q S q--===--，故选C ．31的等比中项是A ．－1B ．1CD ．【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题 （理） 【答案】D【解析】23111()()()2222-==±，12与12的等比中项是2±． 故选D ．32．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a = A ．2 B ．4 C ．8D ．16【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文） 【答案】C【分析】根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示，解出q ，然后再由前4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ． 【解析】设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42340q q --=，解得24q =或21q =-（舍），所以2q，又等比数列{}n a 的前4项和为30，所以23111130a a q a q a q +++=，解得12a =，所以2318a a q ==．故选C ． 33．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =．则313232020log log log a a a +++=A ．3B ．505C ．1010D ．2020【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（理）【答案】C【解析】由120202201932018101010113a a a a a a a a =====，所以313232020log log log a a a +++()10103101010113log log 31010a a ===．故选C ．34．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则42S S = A ．76B ．32 C ．2132D ．14【试题来源】四川省内江市第六中学2020-2021学年高三上学期第三次月考（文） 【答案】B【分析】由5312a a a +=，解得q ，然后由414242212(1)111(1)11a q S q q q a q S qq---===+---求解． 【解析】在等比数列{}n a 中，5312a a a +=，所以421112a q a q a +=，即42210q q +-=，解得212q =，所以414242212(1)1311(1)121a q S q q q a q S q q---===+=---，故选B ． 35．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S A ．180 B ．160 C ．210D ．250【试题来源】云南省玉溪第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理） 【答案】C【分析】首先根据题意得到5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案．【解析】因为{}n a 为等比数列，所以5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列． 所以()()2155010=1050S --，解得15210S =．故选C ．36．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则2122210log log log a a a +++=A ．15B ．10C ．5D ．3【试题来源】甘肃省庆阳市宁县第二中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】A【解析】因为478a a ⋅=， 则()()52212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ⋅⋅⋅=+⋅++=()2475log 15a a =⋅=．故选A ．37．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21(1*)n n S a n n N =-≥∈，，则数列{}n na 前5项和为 A ．126 B ．127 C ．128D ．129【试题来源】江苏省苏州市星海中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】D【分析】利用已知n S 和n a 的关系，求{}n a 的通项公式，即可求解． 【解析】当1n =时，11121S a a =-=，解得11a = 当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=- ，即12n n a a -=， 所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n na ，所以{}n na 前5项和为012341222324252129⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故选D ． 【名师点睛】本题考查已知n S 和n a 的关系，求{}n a 的通项公式，分三步： 当1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，检验1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥，即可得{}n a 的通项公式．38．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大212，则该数列的项数是 A ．8 B ．4 C ．12D ．16【试题来源】安徽省蚌埠市第三中学2019-2020学年高一下学期5月月考 【答案】A【分析】设项数为2n ，由题意可得()21212n d -⋅=，及6S S nd -==奇偶可求解． 【解析】设等差数列{}n a 的项数为2n ，末项比首项大212，()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=①24S =奇，30S =偶，30246S S nd ∴-=-==奇偶②．由①②，可得32d =，4n =，即项数是8，故选A ．39．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则S n 取最大值时n 的值为 A ．4 B ．5 C ．4或5D ．5或6【试题来源】湖南省五市十校2020-2021学年高二上学期第一次联考 【答案】C【分析】由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差12d =-，再由等差数列的前n 项和公式即可得解．【解析】设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，134,,a a a 成等比数列，2314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+，则12d =-，()()211119812244216n n n n n S a n d n n --⎛⎫∴=+=-=--+ ⎪⎝⎭，所以当4n =或5时，n S 取得最大值．故选C ．40．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【试题来源】江苏省苏州市吴中区2020-2021学年高二上学期期中 【答案】C【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ． 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =，故选C ．41．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a = A ．1010 B ．1011 C ．2020D ．2021【试题来源】四川省遂宁市2021届高三零诊考试（理） 【答案】B【解析】由121()2n n a a n N *++=∈，则11()2n n a a n N *+=+∈，即112n n a a +-=，所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列，所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=，所以2021a =2021110112+=．故选B ． 42．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S = A ．7 B ．12 C ．14D ．21【试题来源】广东省东莞市第四高级中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】C【分析】判断出{}n a 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得7S ．【解析】因为212n n n a a a ++=-，所以211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 为等差数列． 因为534a a =-，所以354a a +=，所以173577()7()1422a a a a S ++===．故选C ． 43．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于 A ．8 B ．10 C ．12D ．14【试题来源】北京市第三中学2021届高三上学期期中考试 【答案】C【解析】{a n }为等差数列，S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =．由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=， 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=， 所以62612a =⨯=．故选C ．44．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+ A1 B1 C．3-D．3+【试题来源】福建省莆田第二十五中学2020-2021学年高二上学期期中考试 【答案】D【分析】根据1a ，312a ，22a 成等差数列可得3121222a a a ⨯=+，转化为关于1a 和q 的方程，求出q 的值，将91078a a a a ++化简即可求解．【解析】因为{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列， 所以3121222a a a ⨯=+，即21112a q a a q =+，所以2210q q --=，解得1q =1q =，2229107878783a a a q a q q a a a a ++===+++D ． 45．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【试题来源】北京市铁路第二中学2021届高三上学期期中考试 【答案】B【解析】设等比数列{}n a 为q ，则等比数列的公比414141328a qa -===，所以12q =， 则其通项公式为116113222n n n n a a q ---⎛⎫=⋅=⨯= ⎪⎝⎭，所以()()5611542212622222nn +n n n n n T a aa ---==⨯==，令()11t n n =-，所以当5n =或6时，t 有最大值，无最小值，所以n T 有最大项，无最小项．故选B ．46．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为 A ．825两 B ．845两 C ．865两 D ．885两 【试题来源】吉林省通榆县第一中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文） 【答案】C【分析】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，数列{}n a 是等差数列，8106100a S =⎧⎨=⎩利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a ．【解析】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，由题意可得 设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则由题意得8106100a S =⎧⎨=⎩，即1176109101002a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得186585a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 所以长兄分得865两银子．故选C ． 【名师点睛】本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式． 47．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S = A ．16 B ．-16 C ．4D ．-4【试题来源】吉林省通榆县第一中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文）【答案】A 【解析】由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====．故选A ．48．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a = A ．1n - B ．n C ．21n -D ．2n【试题来源】贵州省遵义市2020~2021学年度高二上学期数学期中联合考试 【答案】B【解析】因为3518a S +=，633a a =+，所以11161218523a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，所以111a d =⎧⎨=⎩，所以()111n a n n =+-⨯=，故选B ．49．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划．已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离．若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为A ．34000米B ．36000米C ．38000米D ．40000米【试题来源】江苏省无锡市锡山高级中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】B【解析】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=．故选B ． 50．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有 A ．a 5＝4 B ．a 6＝4 C ．a 5＝2D ．a 6＝2【试题来源】湖北省宜昌市秭归县第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】C【解析】因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2．故选C ．51．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是 A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列【试题来源】湖北省宜昌市秭归县第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】D【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误．【解析】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误．故选D ．52．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为 A ．24- B ．3- C ．3D ．8【试题来源】甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高二第一学期期中考试（文） 【答案】A【分析】根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和．【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2326a a a =，即2(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)661(2)2422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-．故选A ． 53．已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+，则数列{}1n n a a +的前n 项和n T =A ．21nn - B ．21nn + C ．221nn + D ．42nn +【试题来源】吉林省长春市长春外国语学校2020-2021学年高三上学期期中考试 【答案】B【分析】利用倒数法求出数列{}n a 的通项公式，进而利用裂项相消法可求得n T ． 【解析】已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+，在等式+121n n n a a a =+两边同时取倒数得112112n n n n a a a a ++==+，1112n na a +∴-=， 所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且首项为111a ，公差为2，则()112121n n n a =+-=-，121n a n ∴=-，()()11111212122121n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭，因此，1111111111111112323525722121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21nn =+．故选B ． 【名师点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．54．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =．定义数列{}m b 如下：()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519b b b b ++++=A ．25B ．50C ．75D ．100【试题来源】河南省商丘市虞城高级中学2020~2021学年高三11月质量检测（理） 【答案】B【分析】根据2n S n =先求出21n a n =-；由题意，得出21m k =-，得出()()11212m m m mk m b m m +===++，即21212k k b --=，根据等差数列的性质，即可得出结果． 【解析】由2n S n =，可得()1212n n n a S S n n -=-=-≥，当1n =时，111a S ==满足21n a n =-，所以21n a n =-，n ∈+N ； 由n a m ≥，得21n m -≥，解得12m n +≥．当21m k =-，（*k N ∈）时，1m m b k m+=， 即()()11212m m m mk m b m m +===++，即21212k k b --=， 从而()()13519111351951195022b b b b +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=⨯⨯+=．故选B ． 【名师点睛】求解本题的关键，在于根据()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，求出21m k =-，得出21212k k b --=，根据等差数列的性质求解． 55．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律．其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”．现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为 A ．32 B ．33 C ．34D ．35【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题 （理） 【答案】D【分析】设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，由他们年龄依次相差一岁得出(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=，结合等差数列的求和公式得出111429m n =-，再由[]90,100m ∈求出n 的值．【解析】根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，[]90,100m ∈， 则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m ++++++++=++=，则有291114n m +=，则111429m n =-，所以90111429100m ≤-≤， 解得34.96635.31n ≤≤，因为年龄为整数，所以35n =．故选D ．56．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为 A ．21 B ．20 C ．19D ．19或20【试题来源】甘肃省永昌县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学理试题 【答案】B【分析】由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解．【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+， 解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小．故选B ．57．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 A ．4S B ．5S C ． 6SD ． 7S【试题来源】云南省玉溪第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理） 【答案】B【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值．【解析】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩，所以015n a n >⇒≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S ．故选 B ． 58．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝132，a 8＋a 9＝272，则S 3＝A ．35B ．78C ．98D ．127【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题 （文） 【答案】B【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则212891327,22S a a a a =+=+=，两式相减得14d =7，故12d =，代入12132a a +=，得13a =，所以13131211337822S ⨯=⨯+⨯=，故选 B ． 59．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：n m n m S S S ++=，且110a =，那么10a = A ．1 B ．9 C ．10D ．55【试题来源】宁夏银川市北方民族大学附属中学2020-2021学年度（上）高二10月月考 （理） 【答案】C【分析】首先赋值令1m =，利用n a 与n S 的关系求通项公式． 【解析】令1m =，则11n n S S S ++=， 则11110n n S S S a +-===，所以110n a +=， 所以数列{}n a 是常数列，则1010a =．故选C ．60．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第20项与21项的和为A ．380B ．410C ．420D ．462【试题来源】湖北省随州市2019-2020学年高二下学期期末 【答案】C【分析】由前10项，可得奇数项和偶数项的通项公式，再求2021a a +．【解析】由数列的前10项可知，数列的偶数项的通项公式222n a n =，220210200a ∴=⨯=， 奇数项的通项公式()2121n a n n -=-，21211121011220a a ⨯-∴==⨯⨯=，2021200220420a a ∴+=+=．故选C ．61．已知在数列{}n a 中，112,1n n na a a n +==+，则2020a 的值为 A ．12020 B ．12019C ．11010D ．11009【试题来源】江苏省苏州市相城区陆慕高级中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】C 【解析】11n n na a n +=+，即11n n a n a n +=+，12321123211232121232n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⨯--2n=， 20202120201010a ∴==．故选C ． 62．数列{}n a 满足1111,(2)2n n n a a a n a --==≥+，则5a 的值为A ．18 B ．17 C ．131D ．16【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2019-2020学年高一下学期期中（文） 【答案】C【解析】因为1111,(2)2n n n a a a n a --==≥+，所以211123a ==+，31131723a ==+，411711527a ==+，51115131215a ==+，故选C ． 63．定义12nn p p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n，又2n n a b =，则1223910111b b b b b b +++= A ．817B ．1021C ．1123D ．919【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2019-2020学年高一下学期期中（文） 【答案】D【解析】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题意可得12n n S n=，则：22n S n =， 当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-， 且14122a =⨯-=，据此可得 42n a n =-，故212nn a b n ==-，()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 据此有1223910111111111112189191933517192b b b b b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选D ．64．已知lg3≈0．477，[x ]表示不大于x 的最大整数．设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2且S n +1＝3S n -2n +2，则[lg(a 100-1)]＝ A ．45 B ．46 C ．47D ．48【试题来源】湖北省宜昌市秭归县第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】C【分析】利用数列的递推式，得到a n +1＝3a n -2，进而得到a n ＝3n -1+1，然后代入[lg(a 100-1)]可求解．【解析】当n ≥2时，S n ＝3S n -1-2n +4，则a n +1＝3a n -2，于是a n +1-1＝3(a n -1)，当n ＝1时，S 2＝3S 1-2+2＝6，所以a 2＝S 2-S 1＝4．此时a 2-1＝3(a 1-1)，则数列{a n -1}是首项为1，公比为3的等比数列．所以a n -1＝3n -1，即a n ＝3n -1+1，则a 100＝399+1，则lg(a 100-1)＝99lg3≈99×0．477＝47．223，故[lg(a 100-1)]＝47．故选C ．65．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为 A ．23B ．13C ．2-D ．3-【试题来源】河南省焦作市2020-2021学年高二（上）期中（理）【答案】B【解析】因为111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，所以111n n na a a ++=-，21132113a +∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯，4n n a a +∴=． 123411···2(3)()132a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=．则{}n a 的前2021项之积50511133=⨯=．故选B ．【名师点睛】已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解．66．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则13525a a a a ++++=A ．350B ．351C ．674D ．675【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2020-2021学年高一上学期期中联考（理） 【答案】A【分析】先利用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值．【解析】当1n =时，21112112a S ==+⨯-=；当2n ≥时，()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦．12a =不适合上式，2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩．因此，()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=；故选A ．【名师点睛】利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥．67．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．下图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1，3，6，10，⋅⋅⋅构成的数列{}n a 的第n 项，则15a 的值为A ．210B ．150C ．120D ．118【试题来源】内蒙古呼和浩特市2021届高三质量普查调研考试（理） 【答案】C【分析】通过观察可得()11n n a a n n N *+=++∈，通过累加法可得211,22n a n n n N *=+∈，从而可求出15a ．【解析】由题意知，()11n n a a n n N *+=++∈，即()11n n a a n n N *+-=+∈，所以2132123...1n n a a a a a a n +-=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=+⎩ ，则()21111323..12222n n n a a n n n n +--=++++=+=+，即2211131312222n a a n n n n +=++=++，当2n ≥时，()()2213111112222n a n n n n =-+-+=+，当1n =时，111122a =+=，所以211,22n a n n n N *=+∈，则21511151512022a =⨯+⨯=．故选C ．68．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()(),(1)32f x f x f -=-=，数列{}n a 满足11a =，且21n nS a n n=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则56()()f a f a += A ．1 B ．3 C ．-3D ．0【试题来源】云南省玉溪第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理） 【答案】C【分析】判断出()f x 的周期，求得{}n a 的通项公式，由此求得56()()f a f a +．【解析】依题意定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()()2f x f x -=，所以()333332222f x f x f x fx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()32f x f x f x ⎛⎫=---=--= ⎪⎝⎭，所以()f x 是周期为3的周期函数．由21n n S a n n=-得2n n S a n =-①， 当1n =时，11a =，当2n ≥时，()1121n n S a n --=--②， ①-②得11221,21n n n n n a a a a a --=--=+（2n ≥），所以21324354213,217,2115,2131a a a a a a a a =+==+==+==+=，652163a a =+=．所以56()()f a f a +=()()()()()()()316331013211013f f f f f f f +=⨯++⨯=+=--=-，故选C ．69．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n n S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 【试题来源】河南省焦作市2020-2021学年高二（上）期中（理） 【答案】D【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项． 【解析】(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，∴当1n =时，有110S a a ==≠；当2n ≥时，有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅，又当1n =时，01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，令n b a b bn =+-，12n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确； 因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{}12n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数列，故AB 错．故选D ．【名师点睛】由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力．70．已知1()()32g x f x =+-是R 上的奇函数，1(0)()n a f f n=++1()(1)n f f n-++，n *∈N ，则数列{}n a 的通项公式为A ．1n a n =+B ．31n a n =+C ．33n a n =+D ．223n a n n =-+【试题来源】江苏省扬州中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】C【分析】由()132F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在R 上为奇函数，知11622f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12t x =-，则112x t +=-，得到()()16f t f t +-=．由此能够求出数列{}n a 的通项公式． 【解析】由题已知()132F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，故()()F x F x -=-， 代入得()11622f x f x x R ⎛⎫⎛⎫-++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数()f x 关于点132⎛⎫⎪⎝⎭，对称， 令12t x =-，则112x t +=-，得到()()16f t f t +-=， 因为()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，。
2020年江苏省无锡市华星高级中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等差数列｛a n｝中，若, 是数列｛｝的前项和，则的值为（）A.48B.54C.60D.66参考答案：B2. 设函数，其中n为正整数，则集合中元素个数是k*s*5*u ()A． 0个B．1个C．2个D．4个参考答案：C略3. 在一个2×2列联系表中，由其数据计算得x=13.01,则两个变量间有关系的可能性为（）A.99%B.95%C.90%D.无关系参考答案：A略4. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图1所示，则导函数y=f ￠(x)的图象可能为（）参考答案：D略5. (理)在等差数列{a n}中，已知a5=3，a9=6，则a13=A．9 B．12 C．15 D．18参考答案：A6. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总费用与总存储费用之和最小，则x=（）A．10 B．20 C．40 D．80参考答案：B考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式．分析：根据已知条件便可得，一年的总费用和总存储费用之和为，当x=20时取“=“，这便求出了使一年的总费用和总存储费用之和最小时的x值了．解答：解：由已知条件知，一年的总费用与总存储费用之和为；当，即x=20时取“=“；即要使一年的总费用与总存储费用之和最小，则x=20．故选B．点评：考查对基本不等式：a+b，a＞0，b＞0，的运用，注意等号成立的条件7. 已知方程，它们所表示的曲线可能是（）参考答案：B8. 已知正方体棱长为，则正方体内切球表面积为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D9. 为虚数单位，复数的实部和虚部之和为（A）0 （B）1 （C）2 （D）3参考答案：B10. 不等式的解集为，函数的定义域为，则为（）A． B．C．D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 从1、2、3、4、5、6六个数中选出两位奇数和两位偶数组成无重复数字的四位数，要求两位偶数相邻，则共有个这样的四位数（以数字作答）.参考答案：10812. 已知函数f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+100），则f'（0）=．参考答案：100!【考点】导数的运算．【分析】根据题意，将f（x）的变形可得f（x）=x[（x+1）（x+2）…（x+100）]，对其求导可得f′（x）=1?[（x+1）（x+2）…（x+100）]+x[（x+1）（x+2）…（x+100）]′，将x=0代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+100）=x[（x+1）（x+2）…（x+100）]，其导数f′（x）=（x）′[（x+1）（x+2）…（x+100）]+x[（x+1）（x+2）…（x+100）]′=1?[（x+1）（x+2）…（x+100）]+x[（x+1）（x+2）…（x+100）]′则f′（0）=1×2×3×4×…×100+0=100！；故答案为：100!．13. 将编号为1，2，3，4，5的5个小球，放入三个不同的盒子，其中两个盒子各有2个球，另一个盒子有1个球，则不同的放球方案有▲种（用数字作答）。
无锡市普通高中2020年秋学期高一期终教学质量抽测建议卷数学命题单位：惠山区教师发展中心 制卷单位：无锡市教育科学研究院注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案填涂在答题卡相应位置.1.已知集合{}2230A x x x =--+>∣，全集为R ，则R C A =（ ）A.{}|31x x -≤≤B.{}|31x x -<<C.{}|31x x x <->或D.{}|31x x x ≤-≥或 2.已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则该扇形的弧长为（ ）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm3.函数()2ln f x x x =+的图象大致是（ ）A. B.C. D.4.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：m/s ）可以表示为31log 2100Q v =，其中Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼以1.5m/s 的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（ ）A.2500B.2600C.2700D.2800 5.已知0.5log 7a =，1723b ⎛⎫=⎪⎝⎭，1354c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a b c << B.a c b <<C.b c a <<D.b a c << 6.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.则函数()323f x x x =+图象的对称中心为（ ）A.()1,2-B.()1,2--C.()1,2D.()1,2-7.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100毫升血液中酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml ，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时25%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶（ ）A.6B.5C.4D.38.已知函数()231,21024,2x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩若函数()()()()22F x f x mf x =-，且函数()F x 有6个零点，则非零实数m 的取值范围四（ ）A.()()2,00,16-B.()2,16C.[)2,16D.()()2,00,-+∞二、多项选择题：本题共4小题每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.请把正确答案填涂在答题卡相应位置.9.下列说法正确的是（ ）A.若a b >且11a b>，则0ab > B.若0a b >>且0c <，则c c a b > A.若0a b c >>>，则a a c b b c +<+ B.若0a b >>，0c d <<，则ac bd <10.已知函数()sin cos f x x x =-，则下列说法正确的是（ ）A.()y f x =的图象关于直线()2x k k ππ=+∈Z 对称B.()y f x =的图象关于点()(),0k k π∈Z 对称C.()f x的值域为⎡⎤⎣⎦D.()f x 在[],2ππ上单调递增11.对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（ ）A.若()()21f f >，则()f x 在R 上不是减函数.B.若()f x 为奇函数，且满足对12,x x ∀∈R ，()()12120f x f x x x +>+，则()f x 在R 上是增函数. C.若()()22f f -=，则函数()f x 是偶函数. D.若函数()f x 是奇函数，则()()22f f -≠一定成立12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且(]0,1x ∈时，()2f x x =-，则关于()f x 的结论正确的是（ ）A.()f x 是周期为4的周期函数B.()f x 所有零点的集合为{}|2,x x k k =∈ZC.()3,1x ∈--时，()26f x x =+D.()y f x =的图像关于直线1x =对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案直接填写在答题卡的相应位置上.13.函数()()1211f x x x x =+>-的最小值为______. 14.已知幂函数()()2157m f x m m x -=-+为偶函数，则m =______，若()()23f xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g x 的值域为______.（本题第一空2分，第二空3分）15.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图）.假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M 距离水面的高度H （单位：米）与转动时间t （单位：秒）满足函数关系式52sin 604H t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且0t =时，盛水筒M 与水面距离为2.25米，当筒车转动100秒后，盛水筒M 与水面距离为______米.16.已知实数a ，b 满足37aa +=，3log 2b =，则3a b +=______.四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知角α是第二象限角，且tan α=-（1）求2sin 2sin cos ααα+的值；（2）求5sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 18.（本小题满分12分）已知集合{}A x y x ==∈R ∣，集合{}|121B x m x m =+≤≤-，集合{}310,C x x x =≤<∈Z ∣.（1）求A C 的子集的个数；（2）若命题“x AB ∀∈，都有x A ∈”是真命题，求实数m 的取值范围. 19.（本小题满分12分）已知()2522sin 1224f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （2）将()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到()g x 的图象，求满足()0g x ≥的x 取值范围. 20.（本小题满分12分） 经调查，某产品在过去两周内的日销售量（单位：千克）与日销售单价（单位：元）均为时间t （天）的函数.其中日销售量为时间t 的一次函数，且1t =时，日销售量为34千克，10t =时，日销售量为25千克.日销售单价满足函数()2525,18114,814t t f t t t t t ⎧-≤<∈⎪=+⎨⎪+≤≤∈⎩N N且且. （1）写出该商品日销售额y 关于时间t 的函数（日销售额=日销售量×销售单价）；（2）求过去两周内该商品日销售额的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数()()2,2x x b f x a b a+=∈+R . （1）若4a =-，8b =-，解关于x 的不等式()12f x <；（2）已知()f x 为定义在R 上的奇函数.①当(],0x ∈-∞时，求()f x 的值域；②若()()()210f mx f mx f +->对任意x ∈R 成立，求m 的取值范围.22.（本小题满分12分） 已知函数()()cos22cos 2f x x a x a a =--∈R 的最小值为12，函数()()sin cos sin cos g x m x m x x x m =-+∈R .（1）求a 的值；（2）已知2x ππ≤≤时，()g x a ≤-恒成立，求实数m 的取值范围.无锡市普通高中2020年秋学期高一期终教学质量抽测建议卷数学参考答案及评分标准一、单选题1.D2.C3.B4.B5.A6.A7.C8.C二、多选题9.BD 10.AC 11.AB 12.ABD三、填空题13.214.3 (]0,1 15.0.25 16.6四、解答题17.（1）222222sin 2sin cos tan 2tan 8sin 2sin cos sin cos tan 19ααααααααααα++-+===++.（2）由题意，sin 3α=，1cos 3α=-， 5333sin sin sin cos cos sin 4444ππππαααα⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13⎛⎛⎫=+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.18.（1）由23100x x -++≥解得25x -≤≤，所以{}|25A x x =-≤≤， 又因为{}|310,C x x x =≤<∈Z ，所以{}3,4,5A C =.所以A C 的子集的个数为8个.（2）因为命题“x AB ∀∈都有x A ∈”是真命题，所以A B A =，即B A ⊆， 当B =∅时，121m m +>-，解得2m <.当B ≠∅时，12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m ≤≤，综上所述：3m ≤.19.（1）()1cos 251222122x f x x ππ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+-⨯ ⎪⎝⎭5552cos 212sin 2112121212x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 532sin 212sin 211234x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，352,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以，当35244x ππ+=时，()f x的最小值为1. （2）()32sin 212sin 21444g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 由()0g x ≥可得1sin 242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，则5222646k x k πππππ+≤-≤-. 所以72424k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 即()0g x ≥对应的x 取值的集合是7,2424x k x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣. 20.（1）设日销售量()g t （千克）关于时间t （天）的函数为()g t kt b =+，则341025k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1k =-，35b =，所以()35g t t =-. 所以()()()252535,18,11435,814,t t t t y t t t t ⎧⎛⎫--≤<∈⎪ ⎪+=⎝⎭⎨⎪+-≤≤∈⎩N N .（2）当18t ≤<时，()(362537137256251y t t ⎡⎤=-+-≤-⨯=⎢⎥+⎣⎦， 当且仅当()2136t +=，即5t =时，取等号.当814t ≤≤时，221490y t t =-++.当10t =或11t =时，min 600y =.因为625600>，所以5t =时，max 625y =.答：第5天的销售额最大，最大日销售额为625元.21.（1）4a =-，8b =-时，由()12f x <可得281242x x -<-，令()20x t t =>，得8142t t -<-， 解得412t <<，即4212x <<，所以{}22log 12x x <<∣（2）①因为()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，即20a b +=，则1b =-， 所以()212x x f x a-=+，根据()f x 为R 上的奇函数可得()()0f x f x -+=， 所以2121022x x x x a a ----+=++，即()()()()2110212x x x a a a --=⋅++对任意x ∈R 恒成立. 所以1a =，()2121x f x =-+，令()210x t x =+≤，则12t <≤. 所以原函数的值域转化为()2112t y t =-<≤的值域. 又因为21y t=-在(]1,2上单调递增，所以()f x 的值域为(]1,0-. ②()2121x f x =-+，设任意12,x x ∈R ，且12x x <， 则()()()()()21212212222211021212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=> ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在R 上单调递增.又因为()()()210f mxf mx f +->对任意x ∈R 成立，且()f x 为R 上的奇函数， 所以()()21f mxf mx >-对任意x ∈R 成立， 所以210mx mx -+>对任意x ∈R 成立.当0m =时，满足题意；当0m ≠时，20Δ40m m m >⎧⎨=-<⎩，解得0m <<4， 综上所述，0m ≤<4.22.（1）令cos t x =，11t -≤≤，则函数22221y t at a =---，[]1,1t ∈-的最小值为12. 当12a <-即2a <-时，min 1y =，不合题意； 当112a -≤≤，即22a -≤≤时，2min 12221222a a y a a ⎛⎫=-⋅--= ⎪⎝⎭， 解得1a =-或3a =-，所以1a =-. 当12a >即2a >时，min 122212y a a =---=，18a =（舍去）. 综上，1a =-.（2）当2x ππ≤≤时，()g x a ≤-恒成立，又由（1）1a =-，即1(sin cos )sin cos 1m x x x x -≤-+≤，令sin cos s x x =-，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.则4s x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则s ⎡∈⎣，所以21112s ms --≤+≤，即312222s s m s s -≤≤+对任意s ⎡∈⎣恒成立.记()322s h s s =-，s ⎡∈⎣，()122s s s ϕ=+，s ⎡∈⎣，则()()max min h s m s ϕ≤≤，因为()h s 在[]1,2上单调递增，()max 4h s h ==-，又因为()1122s s s ϕ=+≥=，当且仅当1s =时，取等号，所以()min 1s ϕ=.综上所述，14m -≤≤.。
2020年江苏省无锡市国际学校高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过点C(4,0)的直线与双曲线的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围( )A．|k|≥1B．|k|> C．|k|≤D．|k|<1参考答案：B略2. 如图，在中△ABC，∠CBA=∠CAB=30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（）A．B．1 C．2D．2参考答案：A【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】根据题意设出AB，进而根据椭圆的定义可求得a和c的关系式，求得椭圆的离心率．进而利用双曲线的性质，求得a和c关系，求得双曲线的离心率，然后求得二者离心率倒数和．【解答】解：设|AB|=2c，则在椭圆中，有c+c=2a， ==，而在双曲线中，有c﹣c=2a， ==，∴+=+=故选A3. 已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）参考答案：A【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之．【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），则向量==（﹣7，﹣4）；故答案为：A．4. 执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用；简单线性规划．【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．故选：C．5. 设某大学的女生体重（单位：）与身高（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（），用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是A．与具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心C．若该大学某女生身高增加，则其体重约增加D．若该大学某女生身高为，则可断定其体重必为参考答案：D略6. 以下不等式所表示的平面区域中包含坐标原点的是A. B. C. D.参考答案：D7. 集合｛Z︱Z＝｝，用列举法表示该集合，这个集合是（）A．｛0，2，－2｝ B．｛0，2｝ C．｛0，2，－2，2｝ D．｛0，2，－2，2，－2｝参考答案：A 8. 是虚数单位，复数等于（）A． B． C． D ．参考答案：C略9. 下列说法中正确的是（）A．若分类变量和的随机变量的观测值越大，则“与相关”的可信程度越小B．对于自变量和因变量，当取值一定时，的取值具有一定的随机性，，间的这种非确定关系叫做函数关系C．相关系数越接近1，表明两个随机变量线性相关性越弱D．若分类变量与的随机变量的观测值越小，则两个分类变量有关系的把握性越小参考答案：10. 在等差数列中，有，则此数列的前13项和为（）A． 24 B．39 C．52 D．104参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面直角坐标系中，已知双曲线：（）的一条渐近线与直线：垂直，则实数▲ .参考答案： 212. 已知直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直，垂足为（1，c ）,则a+b+c=参考答案：13. 若，则,,,按由小到大的顺序排列为参考答案：略14. 已知x ≥ 1，则动点 A ( x +，x –)与点 B ( 1，0 )的距离的最小值是 。
无锡市普通高中2023年春学期高二期终调研考试试题数学2023.06注意事项及说明: 本卷考试时间为120分钟， 全卷满分为150分．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1.设集合A ={x |-6<x <0}，B ={x |x 2+3x -10≤0}，则A ∪B =()A.(-6,2]B.[-5,0)C.[-2,0)D.(-5,2]2.已知一次降雨过程中，某地降雨量L (单位：mm )与时间t (单位：min )的函数关系可近似表示为L =10t ，则在t =40 min 时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬时变化率)为()A.2 mm /min B.1 mm /min C.12 mm /min D.14mm /min3.若P (x ≤m )=a ，P (x ≥n )=b ，其中n <m ，则P (n ≤x ≤m )=()A.a +bB.1-a -bC.a +b -1D.1-ab4.函数f x =x e x -e -x 的图象大致是()Oxy OxyOxyOxyAB C D5.某工厂为研究某种产品的产量x (单位：吨)与所需某种原料y (单位：吨)的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据如下表：x /吨3467y /吨2.534m根据表格中的数据，得出y 关于x 的经验回归方程为y =0.7x +a ．据此计算出样本点(4,3)处的残差为-0.15，则表格中m 的值为()A.5.9B.5.5C.4.5D.3.36.一批产品中有一等品若干件，二等品3件，三等品2件，若从中任取3件产品，至少有1件一等品的概率不小于1112，则该批产品中一等品至少有()A.3件B.4件C.5件D.6件7.已知函数f (x )=a ln x +x 2，在区间(0,2)上任取两个不相等的实数x 1,x 2，若不等式f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是()A.[-8，+∞)B.(-∞,-8]C.0，+∞D.(-∞,0]8.已知函数f (x )=x 2+3，若存在区间[a ,b ]⊂(0,+∞)，使得f (x )在[a ,b ]上的值域为[k (a +1),k (b +1)]，则实数k 的取值范围为()A.(0,3)B.[2,+∞)C.(2,3]D.(2,3)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.若x5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+⋯+a5(x-1)5，其中a0,a1,a2,⋯,a5为实数，则()A.a0=1B.a2=a3C.a1+a2+⋯+a5=31D.a1-2a2+3a3-4a4+5a5=8010.已知a+2b=ab a>0,b>0，则下列结论正确的是()A.ab的最小值为2B.a+b的最小值为3+22C.1a +1b的最大值为1 D.4a2+1b2的最小值为1211.从装有2个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出一球，摸出的球不再放回．记“第一次摸出的是红球”为事件A1，“第一次摸出的是蓝球”为事件B1，“第二次摸出的是红球”为事件A2，“第二次摸出的是蓝球”为事件B2．则下列说法正确的是()A.P(A2)=25B.P(B1B2)=925C.P(B2|A1)+P(A2|B1)=1D.P(A2|A1)+P(B2|B1)=3412.记函数f(x)=x3-sin x的图象为Γ，下列选项中正确的结论有()A.函数f(x)的极大值和极小值均有且只有一个B.有且仅有两条直线与Γ恰有两个公共点C.不论实数k为何值，方程f(x)=k(x+1)一定存在实数根D.Γ上存在三个点构成的三角形为等腰三角形，且这样的等腰三角形个数有限三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13.(x-1x)6的展开式中的常数项是．14.某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈n(n=0,1,2,⋯,1000)人的概率记为P n，则当P n取最大值时，n的值为．15.不等式12x-14>ln(x-1)的解集为．16.将四个“0”和四个“1”按从左到右的顺序排成一排，这列数有种不同排法；若这列数前n(n=1，2，3，4)个数中的“0”的个数不少于“1”的个数，则这列数有种不同排法．(用数字作答)四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知集合A={x|log2(x+1)<1}，B={x||x-b|<a},且B为非空集合．(1)当b=2时，A∩B=∅，求实数a的取值范围；(2)若“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件，求实数b的取值范围．18.已知函数f x 是定义在R上的奇函数，当x>0时，f x =4x-2x+1.(1)求x<0时f x 的解析式；(2)求不等式f x >0的解集.19.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收货时各随机抽取了50个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其箱产量如下表所示．养殖法箱产量箱产量<50kg箱产量≥50kg旧养殖法3020新养殖法1535(1)根据小概率α=0.005的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关．(2)现需从抽取的新、旧网箱中各选1箱产品进行进一步检测，记X为所选产品中箱产量不低于50kg的箱数，求X的分布列和期望．附：P(χ2≥7.879)=0.005,χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d20.已知函数f(x)=x(x-c)2．(1)若函数f(x)在x=2处有极大值，求实数c的值；(2)若不等式f(x)≤8对任意x∈[0,2]恒成立，求实数c的取值范围.21.某校拟对全校学生进行体能检测，并规定:体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的5%，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼．(1)为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制(一方获胜四局则本轮比赛结束)．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为23，求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率；(2)经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为μ，标准差记为σ，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布N(μ,σ2)．已知μ=74，σ=7，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？附：若随机变量ξ~N(μ,σ2)，则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973．22.已知函数f(x)=xe x，g(x)=ln x．(1)若直线y=kx与函数y=g(x)的图像相切，求实数k的值；(2)若不等式f(x)-g(x)>ax+1对定义域内任意实数x都成立，求实数a的取值范围．无锡市普通高中2023年春学期高二期终调研考试试题数学参考答案与评分标准2023.06一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1. A2. D3. C4. B5. A6. C7. C8. D二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．在全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9. ABC10. BD11. AD12. AC三、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 1514. 80015. 1,216. 70;25第一空2分，第二空3分四、解答题本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. (1)A={x|-1<x<1}，B为非空集合，则a>0当b=2时，B={x|2-a<x<2+a}，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分A∩B=∅，所以2+a≤-1或2-a≥1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分解得0<a≤1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则{x|-1<x<1}∩{x|b-1<x<b+1}≠∅⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分所以-1<b-1<1或-1<b+1<1或b-1=-1b+1=1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分得-2<b<0或0<b<2或b=0，所以-2<b<2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分(说明：缺b=0扣2分)18. (1)f x 是定义在R上的奇函数，则f-x=-f x当x<0时，-x>0，则f-x=4-x-2-x+1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分所以，f x =-4-x+2-x+1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)当x=0时，f0 =0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分当x>0时，f x =4x-2x+1>0,解得2x<0或2x>2,解得x>1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分当x<0时，f x =-4-x+2-x+1>0,解得0<2-x<2,解得-1<x<0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分综上所述，不等式f x >0的解集为x|-1<x<0或x>1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分19. (1)零假设H0：箱产量与养殖方法无关．根据列联表数据可得：χ2=100×(30×35-15×20)245×55×50×50≈9.09>7.879=x0.005．⋯⋯⋯⋯4分所以依据小概率值α=0.005的独立性检验，H0不成立，即认为箱产量与养殖方法有关．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分(2)X=0,1,2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分P(X=0)=3050×1550=950，P(X=1)=3050×3550+2050×1550=2750，P (X =2)=2050×3550=1450，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分E (X )=0×950+1×2750+2×1450=11⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1210分20. (1)f (x )=3x 2-4cx +c 2=3x -c3当f (x )=0，即x =(x -c )．c3或x =c 时，函数f (x )可能有极值．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分由题意，函数f (x )在x =2处有极大值，所以c >0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分所以，x ∈-∞,c 3 时，f (x )>0，f (x )在区间-∞,c3上单调递增；x ∈c 3,c 时，f (x )<0，f (x )在区间c 3,c 上单调递减；x ∈(c ,+∞)时，f (x )>0，f (x )在区间(c ,+∞)上单调递增；所以，当x =c 3时，f (x )取得极大值，此时c3=2，c =6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)若c ≤0，x ∈[0,2]时，f (x )>0，f (x )在区间[0,2]上单调递增，f (x )max =f (2)=2(2-c )2≤8，解得0≤c ≤4．所以c =0符合题意．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分若c3≥2即c ≥6，由(1)可知，f (x )在区间[0,2]上单调递增所以f (x )max =f (2)=2(2-c )2≤8，解得0≤c ≤4．所以c ≥6，不合题意．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分若c3<2即0<c <6，由(1)可知，f (x )在区间[0,2]上的最大值为f (x )max =max f c3 ,f (2) ，所以只需f c 3 ≤8f (2)≤8 ，即c 3c 3-c 2≤82(2-c )2≤8，解得0<c ≤332．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分综上所述：0≤c ≤332．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分21. (1)设“甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜”为事件A ，“甲以4:1或4:2或4:3获胜”分别记为事件A 1,A 2,A 3，“甲前3局比赛均获胜”为事件B ．则P (A 1)=C 14×13×23 4=6435，P (A 2)=C 25×13 2×23 4=16036，P (A 3)=C 36×13 3×23 4=32037，P (A )=P (A 1)+P (A 2)+P (A 3)=137637．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分P (AB )=23 4×13+23 4×13 2+23 4×13 3=20837，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分P (B |A )=P (AB )P (A )=2081376=1386．所以甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率为1386．⋯7分(2)设该校高二年级学生体能检测的成绩为X ，则X ~N (74,72)．P (60<X ≤88)=0.9545，所以P (X <60)=P (X >88)=12(1-0.9545)=0.02275，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分所以高二年级学生体能检测不合格的人数约为1000×0.02275≈23人，而231000<5%，所以该校高二年级学生体能检测成绩合格．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分22. (1)设直线y =kx 与函数y =g (x )的图像相切于点x 0,x 0ln ,则k =g 'x 0 =1x 0,所以x 0ln =1x 0∙x 0=1⟹x 0=e ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分所以k =1e.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分(2)f (x )-g (x )>ax +1在定义域(0,+∞)上恒成立，即xe x -ln x >ax +1，即a <e x -ln x +1x在(0,+∞)上恒成立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分令h (x )=e x -ln x +1x ，则h(x )=x 2e x +ln x x 2．令t (x )=x 2e x +ln x ，则t '(x )=2xe x +x 2e x +1x >0，则t (x )在(0,+∞)上单调递增，又t (1)=e >0,t 1e =e1ee2-1<0，所以存在唯一实数x 0∈1e,1，使得t (x 0)=0，即t (x 0)=x 02e x 0+ln x 0=0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分且当x ∈(0,x 0)时，t (x )<0，所以h (x )=t (x )x 2<0，h (x )单调递减，当x ∈(x 0,+∞)时，t (x )>0，所以h (x )=t (x )x2>0，h (x )单调递增．所以h (x )min =h (x 0)=e x0-ln x 0+1x 0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分由t (x 0)=x 02e x 0+ln x 0=0可得x 0e x 0=-1x 0ln x 0=1x 0ln 1x 0=ln 1x 0e ln 1x0，即f (x 0)=f ln 1x 0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分因为x ∈(0,+∞)时，f 'x =x +1 e x >0所以f (x )=xe x 在(0,+∞)上单调递增，所以x 0=ln 1x 0=-ln x 0．所以h (x )min =h (x 0)=e -ln x 0--x 0+1x 0=1x 0+1-1x 0=1，所以a <1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分。
江苏省无锡市成化高级中学2020年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数f（x）=a2﹣sinx，则f′（β）等于（）A．2a﹣cosβ B．﹣cosβC．﹣sinβD．a2﹣cosβ参考答案：B【考点】导数的运算．【专题】计算题；函数思想；定义法；导数的概念及应用．【分析】根据基本导数公式求导即可．【解答】解：f′（x）=﹣cosx，∴f′（β）=﹣cosβ，故选B【点评】本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．2. 双曲线的焦点坐标是（）A．B．C．D．参考答案：C由于所以此双曲线的两个焦点坐标分别为(-2,0),(2,0).3. 小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（）A．96种B．120种C．480种D．720种参考答案：C【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】小孔的拿法有一种，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人的拿法有4种，其余人的拿法有种，根据乘法原理求得梨子的不同分法．【解答】解：由题意知，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个的拿法有种，其余人的拿法有种，则梨子的不同分法共有480种，故选：C．4. 已知两点A(－1，2)，B(2，1)，直线l: 3x－my－m=0与线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是（）A．B．C．[－3，1]D．参考答案：D略5. 圆x2+y2-4x-2y-5=0的圆心坐标是：（）A.(-2,-1);B.(2,1);C.(2,-1);D.(1,-2).参考答案：B6. 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，若，则的值为A．5 B．6C．8 D．10参考答案：C7. 复数等于（）A. 1＋iB. 1－iC. －1＋iD.－1－i参考答案：A略8. 下列运算正确的是 ( )(A) (B)(C) (D)参考答案：D9. 老师给出了一个定义在R上的二次函数f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在(－∞,0]上函数f(x)单调递减；乙：在[0,+∞)上函数f(x)单调递增；丙：函数f(x)的图象关于直线对称；丁：f(0)不是函数f(x)的最小值．若该老师说：你们四个同学中恰好有三个人说法正确，那么你认为说法错误的同学是( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁参考答案：B如果甲，乙两个同学回答正确，∵在上函数单调递增；∴丙说“在定义域上函数的图象关于直线对称”错误．此时是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，与“四个同学中恰好有三个人说的正确”矛盾，所以只有乙回答错误．故选．10. 在中, ，,点在上且满足,则等于( )A． B． C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过双曲线(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)作圆的切线，切点为E，若切线FE交轴于点，则双曲线的离心率为 __参考答案：12. 长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，点P是面A1B1C1D1内一动点，则|PA|+|PC|的最小值为．参考答案：5【考点】棱柱的结构特征．【分析】设A关于平面A1B1C1D1的对称点为A′，则|PA|+|PC|的最小值为A″C，利用勾股定理即可求解．【解答】解：设A关于平面A1B1C1D1的对称点为A′，则|PA|+|PC|的最小值为A″C==5，故答案为5．13. 已知双曲线的焦距为，右顶点为A，抛物线的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的离心率为参考答案：14. 在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，则|AB|=_________.参考答案：15. 若球O的球面上共有三点A、B、C，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的，经过A、B、C这三点的小圆周长为4π，则球O的体积为．参考答案：288π【考点】球的体积和表面积．【分析】由条件：“经过A、B、C这三点的小圆周长为4π，”得出正三角形ABC的外接圆半径r=2，再结合球的性质知：三角形ABC的外接圆半径r、球的半径、球心与三角形ABC的外接圆的圆心的连线构成直角三角形，再利用直角三角形的勾股定理，解出球半径R，即可求出球O的体积．【解答】解：因为正三角形ABC的外径r=2，故高AD=3，D是BC的中点．在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=，所以BC=BO=R，BD=BC=R．在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB2=BD2+AD2，得R2=R2+27，所以R=6则球O的体积为：V==288π．故答案为：288π．16. 已知都是定义在上的函数，且满足以下条件：①；②；③．若，则=_______．参考答案：17. 已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n=2S n﹣1（n≥2），则a n= ．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】利用n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，确定数列{S n}是以1为首项，3为公比的等比数列，从而可得结论．【解答】解：n≥2时，∵a n=2S n﹣1，∴S n﹣S n﹣1=2S n﹣1，∴S n=3S n﹣1，∵a1=1，∴S1=1∴数列{S n}是以1为首项，3为公比的等比数列∴S n=3n﹣1，∴n≥2时，a n=2S n﹣1=2?3n﹣2，又a1=1，∴a n=故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．小明同学喜欢篮球，假设他每一次投篮投中的概率为23，则小明投篮四次，恰好两次投中的概率是（）A．481B．881C．427D．8272．已知函数2(1),0()43,0xe xf xx xx+⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a=-有四个不同的零点，从小到大依次为1x，2x，3x，4x，则1234x x x x+的取值范围为（）A．(4,5]B．[4,5)C．[4,)+∞D．(,4]-∞3．设函数()'f x是奇函数()f x的导函数，当0x>时，()ln()0f x x x f x'⋅+<，则使得2(1)()0x f x-<成立的x的取值范围是（）A．(,1)(1,)-∞-+∞B．(,1)(0,1)-∞-C．(1,0)(0,1)-D．(1,0)(1,)4．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A． B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A ．3B ．-6C ．10D ．12 6．用数学归纳法证：11112321n n ++++<-…（*n N ∈时1n >）第二步证明中从“k 到1k +”左边增加的项数是（ ） A ．21k +项B ．21k -项C ．12k -项D ．2k 项7．设0x 为方程28x x +=的解.若0(,1)()x n n n N +∈+∈，则n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．某城市关系要好的A ，B ，C ，D 四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ） A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．48种9．若复数11miz i+=+在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()1,0-C ．()1,+∞D ．(),1-∞-10．已知83a x x ⎫⎪⎭展开式中的常数项是4与10的等差中项，则a 的值为（ ） A ．12B ．2C ．12±D ．2±11．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A ．423+B 31C 31D 31+ 12．抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是（ ） A ．“两次得到的点数和是12” B ．“第二次得到6点” C ．“第二次的点数不超过3点”D ．“第二次的点数是奇数” 二、填空题：本题共4小题13．若复数z 满足()12i Z i +=（i 为虚数单位），则Z 的共轭复数Z =__________． 14．已知函数()lgx f x =，实数(),a b a b ≠满足()()f a f b =，则ab 的值为__________．15．22318lg1002-⎛⎫++= ⎪⎝⎭______.16．已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则其焦点到准线的距离为________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
江苏省无锡市华星高级中学2020年高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象的大致形状是 ( )参考答案：D2. 关于函数 f（x）=x3的性质表述正确的是( )A．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递增B．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递减C．偶函数，在（﹣∞，+∞）上单调递增D．偶函数，在（﹣∞，+∞）上单调递减参考答案：A【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】计算题．【分析】利用f（﹣x）=﹣x3=﹣f（x）可判断函数f（x）的奇偶性，再利用导数值的符号与原函数单调性的关系可判断函数f（x）的单调性，两者结合即可判断选项．【解答】解：函数 f（x）=x3的定义域为R，关于原点对称，又∵f（﹣x）=﹣x3=﹣f（x），∴函数f（x）=x3为奇函数，∵f′（x）=3x2≥0，故函数 f（x）=x3在（﹣∞，+∞）上单调递增．故选A．【点评】本题考查函数奇偶性的判断、函数单调性的判断与证明，着重考查导数工具的应用，属于基础题．3. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，。
A．⑴、⑵ B．⑵、⑶ C．⑷ D．⑶、⑸参考答案：C（1）定义域不同；（2）定义域不同；（3）对应法则不同；（4）定义域相同，且对应法则相同；（5）定义域不同；4. 已知，若，则的值为（）A. B.7 C. D. 3参考答案：D5. 已知全集，则集合（）A． B． C． D．参考答案：C由题意得，根据集合中补集的概念，得集合。
6. 已知函数，正实数、满足，且，若在区间[]上的最大值为，则、的值分别为( )A．、2 B．、4 C．、 D．、2参考答案：B7. 当时,在同一坐标系中,函数的图象是（）A BC D参考答案：A8. =A．B．C．D．参考答案：D9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L!：由三视图求面积、体积．【分析】该几何体由一个圆柱和半个圆锥构成，半圆锥和圆柱的底面半径均为1，半圆锥的高为2，圆柱的高为2，代入圆锥和圆柱的体积公式，可得答案．【解答】解：该几何体由一个圆柱和半个圆锥构成，半圆锥和圆柱的底面半径均为1，半圆锥的高为2，圆柱的高为2，故组合体的体积：，故选B．10. 直线x+y+3=0的倾角是（）A．﹣B．C．D．参考答案：D【考点】直线的倾斜角．【分析】把直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率公式求出直线的倾斜角．【解答】解：由x+y+3=0得，y=﹣x﹣3，∴斜率k=﹣1，则tanθ=﹣1，∴直线x+y+3=0的倾斜角为，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数的图象经过点，则函数的图象必定经过的点的坐标是 .参考答案：略12. 与直线和圆都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.参考答案：解：由已知圆可化为：。
无锡市第三高级中学2024-2025学年高二上学期第一次基础测试（9月）数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．在空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标为( )A. B. C. D.2．已知为直线l 的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），有下列说法：①；②；③；④.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3．已知向量，，向量在向量上的投影向量为( )A. B. C. D.4．，，是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是( )5．如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线，所成角的余弦值为( )6．已知实数x，y 满足A. B.()2,1,1A yOz (2,1,1)-(2,1,1)-(2,1,1)-(2,1,1)--v 1n 2n αβαβ12////n n αβ⇔ 12n n αβ⊥⇔⊥ 1////v n l α⇔1//v n l α⊥⇔()0,0,1a =()1,1,1b =- a b + a ()0,0,2()0,0,1()0,0,1-()0,0,2-PA PB PC 60︒PC PAB ABCD ⊥ABEF ABEF ABCD 60DAB ∠=︒AC FB 15y x =-2x ≤≤[)1,3,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. D.7．已知直线l 和平面，且，l 的方向向量为，平面的一个法向量为，A.2B.4C.8．在三棱锥中,PA ,PB ,PC 两两垂直,且.若M 为该三棱锥外接球上的一点,则的最大值为( )A.2B.4C.二、多项选择题9．如图,四棱柱中,M 为的中点,Q 为上靠近点的五等分点,则( )A. B.C. D.10．已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是( )A. B.C.点A 到直线11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，M ，N 分别是线段，的中点，Q 是线段上的一个动点（含端点D ，C ），则下列说法正确的是( )(][),13,-∞-+∞ []1,3-α//l α()2,,1l m =α()1,1,n n =- (0,0m n >>P ABC -2PA PB PC ===MB MC ⋅2++1111ABCD A B C D -1CD 1CA 1A 11132AM AB AD AA =++ 122AM AB AD AA =++1133545AQ AB AD AA =++ 154AQ AB AD AA =++ ()1,1,0A -()2,2,1B ()1,1,1C ()0,2,3D AB CD⊥AD =ABC ABCDES SA ⊥ABCD ABCD //DE SA 22SA AB DE ===BC SB DCA.存在点Q ，使得B.存在点Q ，使得异面直线与所成的角为C.三棱锥D.当点Q 自D 向C 处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大三、填空题12．已知向量，，且，则________.13．已知三点,,在同一直线上,则实数a 的值是________.四、双空题14．定义：设是空间的一组基，若向量，则称实数组为向量在基下的坐标.已知是空间向量的标准正交基，是空间向量的另一组基，若向量在基下的坐标为，则向量在基下的坐标是________，向量的模是________.五、解答题15．已知空间三点,,.设,.(2)求与的夹角;(3)若向量与互相垂直,求实数k 的值.16．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且平面，.求：NQ SB⊥NQ SA 60︒Q AMN -DC QMN (1,2,3)a m n =-+ (3,41,25)b m n =+- //a b m n +=(1,1)A -(,3)B a (4,5)C {}123,,a a a123p xa ya za =++(,,)x y z p{}123,,a a a {},,a b c {},,2a b a b c +- p {},,2a b a b c+- (1,2,3)p {},,a b c p ()4,0,4A -()2,2,4B -()3,2,3C -a AB = b BC =a b ka b + 2ka b -P ABCD -ABCD //AD BC 2AD =90ABC ∠=︒PA ⊥ABCD 1PA AB BC ===(1)求平面与平面夹角的余弦值；(2)点A 到平面的距离.17．如图，在长方体中，，，点E 在棱上移动.(1)当点E 在棱的中点时，求平面与平面所成的夹角的余弦值；(2)当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.18．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M ，N 分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记.（1）求的长；（2）a 为何值时，的长最小？（3）当的长最小时求平面与平面夹角的余弦值.19．图①是直角梯形，，，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点C 到达的位置，且PCD PBA PCD 1111ABCD A B C D -11AD AA ==2AB =AB AB 1D EC 1DCD AE 1A D 1D EC ABCD ABEF AC BF CM BN CM BN a ==(0a <<MN MN MN MNA MNB ABCD //AB CD 90D ∠=︒ABCE 60BCE ∠=︒BE BCE △1C 1AC =(1)求证：平面平面；(2)在棱上是否存在点P ，使得点P 到平面与平面所成角的正弦值：若不存在，请说明理由.1BC E ABED 1DC ABC EP 1ABC参考答案1．答案：A解析：在空间直角坐标系中,点关于平面对称点的坐标为．故选：A.2．答案：B解析：因为，不重合，对①，平面，平行等价于平面，的法向量平行，故①正确；对②，平面，垂直等价于平面，的法向量垂直，故②正确；对③，若，故③错误；对④，或，故④错误.故选：B.3．答案：A解析：因为向量，，所以，所以向量在向量上的投影向量为：，故选：A.4．答案：B 解析：解法一：如图，设直线在平面的射影为，作于点G ，于点H ，连接，(2,1,1)A yOz (2,1,1)-αβαβαβαβαβ1//v n l α⇔⊥1//v n l α⊥⇔l α⊂()0,0,1a =()1,1,1b =- ()1,1,2a b +=-a b + a()()()220,0,10,0,21a b a a a+⋅⋅=⋅=PC PAB PD CG PD ⊥CH PA ⊥HG易得，又，平面，则平面，又平面，则，有故.已知，，故解法二：如图所示，把，，放在正方体中，，，的夹角均为.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，，所以，，，设平面的法向量，则令，则，，所以，所以设直线与平面所成角为，所以所以故选B.CG PA ⊥CH CG C = ,CH CG ⊂CHG PA ⊥CHG HG ⊂CHG PA HG ⊥cos cos cos PH CPA PC PG PH PH CPD APD PC PG PC ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠⨯∠=⋅=⎪⎩cos cos cos CPA CPD APD ∠=∠⨯∠60APC ∠=︒30APD ∠=︒cos cos 60cos cos cos30CPA CPD APD ∠︒=∠︒∠==PA PB PC PA PB PC 60︒(1,0,0)P (0,0,1)C (1,1,1)A (0,1,0)B (1,0,1)PC =- (0,1,1)PA = (1,1,0)PB =-PAB (,,)n x y z = 00n PA y z n PB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1x =1y =1z =-(1,1,1)n =-cos ,PC n PC n PC n⋅===⋅PC PAB θsin cos ,PC n θ==cos θ==5．答案：D解析：取的中点O ，连接，四边形为菱形，，所以，由于平面平面，且两平面交线为，，平面，故平面，又四边形为正方形，故以O 为坐标原点，为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，则，，，，故，，则故直线，故选：D.6．答案：A解析：由于点满足关系式，可知在线段上移动，且，设，则，因为点在线段，故选：A.AB OD ABCD 60DAB ∠=︒DO AB ⊥ABCD ⊥ABEF AB DO AB ⊥DO ⊂ABCD DO ⊥ABEF ABEF AB ABEF (0,1,0)A -(0,1,0)B (2,1,0)F -(0,C AC = (2,2,0)BF =-cos ,AC BF AC BF AC BF ⋅===⋅AC (),x y 15y x =23x ≤≤(),M x y AB (2,1)A --(3,0)B ()1,2Q -()()21312QA k --==---201132QB k -==---(),M x y AB [)1,3,2⎤-∞-+∞⎥⎦7．答案：A解析：由得：，因为，，，当且仅当等号成立，故选：A.8．答案：C解析：如图,将三棱锥放置在正方体中,三棱锥的外接球就是正方体的外接球,球心为正方体对角线的交点,,,,,,,设三棱锥外接球的半径为R ,,,,,,,,//l α()()02,,11,1,202l n m n m n m n ⋅=⇒⋅-=-++=⇒+=()11111222n m m n n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0m >n >2m n +≥=()112222n +≥+=1m n ==()0,0,0P ()2,0,0A ()0,2,0B ()0,0,2C ()1,1,1O (),,M x y z 2R ==R =()()MB MC MO OB MO OC ⋅=+⋅+ ()2MO OB OC MO OB OC =++⋅+⋅ 223MO R == ()1,1,1OB =-- ()1,1,1OC =-- ()2,0,0OB OC +=- 1111OB OC ⋅=--=-,所以当时,取得最大值故选:C 9．答案：BD解析：,即,故A 错误、B 正确;,即,故C 错误,D 正确.故选:BD.10．答案：ABD解析：对于选项A:结合题意可得，，因为，所以，故选项A 正确；对于选项B:结合题意可得对于选项C ：结合题意可得取，，所以故选项C错误；对于选项D：结合题意可得，，，设平面的法向量为，()cos ,,OB OC MO OB OC MO OB OC MO OB OC MO +⋅=++=+ 3,12,MB MC OB OC MO OB OC ⋅=++-=++ cos ,1OB OC MO += MB MC ⋅2+()112AM AB CM A BC B CD AD CC =++=+++1111112222AD AA AD A A B A B A AB =+-+=++ 122AM AB AD AA =++()11111111111155A Q A C A AQ AA AA AA D C D C C=+=+=+++ ()11111145555A AD AB AB A A A A D A A =++-=++ 154AQ AB AD AA =++()3,1,1AB = ()1,1,2CD =-3120AB CD ⋅=-++=AB CD ⊥AD ==()1,1,0BC =--()3,1,1a BA ==--- )1,1,0BC u BC ⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭2a =u ⋅= BC ==()3,1,1AB = ()2,0,1AC = ()1,1,3AD =ABC (),,n x y z =则，令，则，所以点D到平面的距离为故选：ABD.11．答案：ACD解析：以A为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，，；对于A，假设存在点，使得，则，又，所以，解得，即点Q与D重合时，，A正确；对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，因为，，，B错误；3020n AB x y zn AC x z⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1x=()1,1,2n=--ABC dABADAS()0,0,0A()2,0,0B()2,2,0C()0,2,0D()0,2,1E()0,0,2S()1,0,1N()2,1,0M()(),2,002Q m m≤≤NQ SB⊥()1,2,1NQ m=--()2,0,2SB=-()2120NQ SB m⋅=-+=m=NQ SB⊥()(),2,002Q m m≤≤NQ SA60︒()1,2,1NQ m=--()0,0,2SA=-,NQ SANQ SANQ SA⋅===⋅对于C ，连接，，，设，因为所以当，即点Q 与点D 重合时，取得最大值2；又点N 到平面的距离，所以对于D ，由上分析知：，，若是面的法向量，则，令，则，因为，设直线与平面所成的角为，，所以当点Q 自D 向C 处运动时，m 的值由0到2变大，此时也逐渐增大，因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D 正确.故选：ACD12．答案：解析：向量，，，AQ AM AN ()02DQ m m =≤≤2AMQ ABCD ABM QCM ADQ S S S S S =---= △△△△0m =AMQ S △AMQ 112d SA ==()()max max 1213Q AMN N AMQ V V --==⨯⨯=()1,2,1NQ m =-- ()1,1,1NM =-(),,m x y z = NMQ ()1200m NQ m x y z m NM x y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ()1,2,3m m m =-- ()2,0,0DC = DC QMN θπ0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin DC n DC n θ⋅===⋅ sin θsin y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦θ21-(1,2,3)a m n =-+ (3,41,2b m n =+- 412m m +==-7m =-14n =-所以.故答案为：.13．答案：3解析：三点,,在同一直线上,,.故答案为:3.14．答案：解析：因为向量在基，下的坐标为，所以，所以向量在基下的坐标是，又因为是空间向量的标准正交基，，且，故答案为：15．答案：（1）（3）解析：（1）因为,,所以,所以因为,,所以（2）由（1）可知21m n +=-21- (1,1)A -(,3)B a (4,5)C AB AC k k ∴=∴41a =-3=(3,-p {},,2a b a b c +- (1,2,3)()()23236p a b a b c a b c =++-+⨯=-+ p {},,a b c (3,1,6)-{},,a b c 0a b b c c a ⋅=⋅=⋅= ====(3,-k =()4,0,4A -()2,2,4B -()2,2,0a AB == a == ()2,2,4B -()3,2,3C -(1,0,1b BC ==-- =cos ,a b a b a b〈〉===⋅⋅又,所以与（3）由（1）可知,,又向量与互相垂直,所以,所以,即,解得解析：（1）以A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，所以，，设平面法向量，则，令，则，，所以，取平面法向量为，与面（2）因为，平面法向量为，所以点A到平面的距离(2)当时，直线与平面[]0,π,a b〈〉∈,a b〈〉=b()21,2,1ka b k k+=--()22,22,2kka kb-=+ka b+2ka b-()()20kaka bb-+⋅=()()21,2,122,2,20k k k k--⋅+=()()22122420k k k-++-=k=AB AD AP (0,0,0)A(1,0,0)B()1,1,0C(0,2,0)D(0,0,1)P(0,2,1)PD=-(1,1,1)PC=-PCD(,,)n x y z=20y zx y z-=⎧⎨+-=⎩2z=1y=1x= (1,1,2)n=PBA(0,1,0)m==(0,2,0)AD=PCD(1,1,2)n=PCD||||AD nnd⋅==2AE=1A D1D EC解析：（1）以D 为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，当点E 在棱的中点时，则，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，所以平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，所以所以平面与平面（2）设，则，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，DA DC 1DD AB 1(0,0,1)D (1,1,0)E (0,2,0)C (0,0,0)D (1,0,0)A 1(1,1,1)ED =-- (1,1,0)EC =- (1,0,0)DA = 1D EC (,,)n x y z = 1·0·0n ED x y z n EC x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩ 1x =1y =2z =1D EC (1,1,2)n = 1DCD (1,0,0)DA = ·cos ,DA n DA n DA n===⋅ 1D EC DCD AE m =1(0,0,1)D (1,,0)E m (0,2,0)C (0,0,0)D 1(1,0,1)A 1(1,,1)ED m =-- (1,2,0)EC m =-- (02)m ≤≤1(1,0,1)DA = 1D EC (,,)n x y z = 1·0·(2)0n ED x my z n EC x m y ⎧=--+=⎪⎨=-+-=⎪⎩ 1y =2x m =-2z =1D EC (2,1,2)n m =- 1A D 1D EC θ则令，则当时，（2）解析：解析：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，.当（3）由（2）可知，当M ，N 为中点时，最短，11sin n DA n DA θ⋅===⋅ 4[2,4]m t -=∈sin θ====2t =sin θMN =a =()1,0,0A ()0,0,1C ()1,1,0F ()0,1,0E CM BN a == M ∴-N ⎫⎪⎭MN ==MN ==a =MN则，，取的中点G ，连接，，则，，，，，是平面与平面的夹角或其补角.，，平面与平面19．答案：(1)证明过程见解析；(2)存在，直线与平面解析：（1）取的中点F ，连接，，因为四边形是边长为2的菱形，并且，所以，均为等边三角形，故，，且因为，由勾股定理逆定理得：，又因为，是平面内两条相交直线，11,0,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,,022N ⎛⎫ ⎪⎝⎭MN AG BG 111,,244G ⎛⎫ ⎪⎝⎭AM AN = BM BN =AG MN ∴⊥BG MN ⊥AGB ∴∠MNA MNB 111,,244GA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 111(,,244GB =--- cos ,GA GB GA GB GA GB⋅∴=⋅ ==∴MNA MNB EP ABC BE AF 1C F ABCE 60BCE ∠=︒ABE △1BEC △AF BE ⊥1C F BE ⊥1AF C F ==1AC =22211AF C F AC +=1AF C F ⊥AF BE ABE所以平面，即平面，因为平面，所以平面平面；(2)以F 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设，，，故，解得：，，故，设平面的法向量为，则，，，故，令，则，故，其中1CF ⊥ABE 1C F ⊥ABED 1C F ⊂1BEC 1BC E ⊥ABED FA FB 1C F()0,0,0F )A ()0,1,0B (1C ()0,1,0E -3,02D ⎫-⎪⎪⎭(,,)P m n t 1DP DC λ= [0,1]λ∈[]33,,0,122m n t λλ⎛⎫⎛-+=∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝m =32n λ==33,22P λ⎫--⎪⎪⎭1ABC (,,)v x y z = (AB = 1(AC = 100v AB y v AC ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =y =1z =v = 33(,)22AP λ=-则解得：，，设直线与平面所成角为，则，直线与平面d λ=3(4AP =- 14EP = EP 1ABC θsin =cos ,EP v EP v EP vθ⋅==⋅ EP ABC。
