第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛(小学组)试题与答案

第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(小学组)试题时间:3月13日10:00~11:00一、选择题:(每小题10分，满分60分。

以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）1. 如图所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影 部份的面积占平行四边形面积的 。

(A) 21 (B) 32 (C) 52 (D) 1252. 两条纸带，较长的一条为23cm ，较短的一条为15cm 。

把两条纸带减下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是 cm 。

(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 93. 两个水池内有金鱼若干条，数目相同。

亮亮和红红进行捞鱼比赛，第一个水池内的金鱼被捞完时，亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3:4；捞完第二个水池内的金鱼时，亮亮比第一次多捞33条，与红红捞到的金鱼数目比是5:3。

那么每个水池内有金鱼 条。

(A) 112(B) 168(C) 224 (D) 3364. 从21，31，41，51，61中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与76最接近，去掉的两个数 是 。

(A) 21，51 (B)21，61(C)31，51(D)31，415. 恰有20个因子的最小自然数是 。

(A) 120 (B) 240 (C) 360 (D) 4326. 如图的大正方行格板是由81个1平方厘米的小正方形铺成，B ，C 是两个格点。

若请你在其它的格点中标出一点A ，使得 ABC 的面积恰等于3平方厘米，则这样的A 点共有 个。

(A) 6(B) 5(C) 8(D) 10B CA 二、 填空题 (每小题10分，满分40分)7. 算式41325.0721⨯+-+4.03.13.02-⨯的值为 。

8. “低碳生活”从现在做起，从我做起。

据测算，1公顷落叶阔叶林每年可吸收二氧化碳14吨。

如果每台空调制冷温度在国家提倡的26︒C 基础上调到27︒C ，相应每年减排二氧化碳21千克。

第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(小学组)试题2010年3月13日10：00~11：00一、选择题：(每小题10分，满分60分。

以下每题的四个选项中，仅有一个是1占平行四边形面积的 。

(A) 21 (B) 32(C) 52 (D) 122．两条纸带，较长的一条为23cm ，较短的一条为15cm 。

把两条纸带减下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是 cm 。

(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 93．两个水池内有金鱼若干条，数目相同。

亮亮和红红进行捞鱼比赛，第一个水池内的金鱼被捞完时，亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3：4；捞完第二个水池内的金鱼时，亮亮比第一次多捞33条，与红红捞到的金鱼数目比是5：3。

那么每个水池内有金鱼 条。

(A) 112 (B) 168 (C) 224 (D) 3364．从21，31，41，51，61中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与76最接近，去掉的两个数是 。

(A) 21，51 (B) 21，61 (C) 31，51 (D) 31，415．恰有20个因子的最小自然数是 。

(A) 120 (B) 240 (C) 360 (D) 4326．如图的大正方行格板是由81个1平方厘米的小正方形铺成，B 点。

若请你在其它的格点中标出一点A ，使得 ABC 的面积恰等于则这样的A 点共有 个。

(A) 6 (B) 5 (C) 8 (D) 10二、 填空题 (每小题10分，满分40分)7．算式41325.0721⨯+-+4.03.13.02-⨯的值为 。

8．“低碳生活”从现在做起，从我做起。

据测算，1公顷落叶阔叶林每年可吸收二氧化碳14吨。

如果每台空调制冷温度在国家提倡的26︒C 基础上调到27︒C ，相应每年减排二氧化碳21千克。

某市仅此项减排就相当于25000公顷落叶阔叶林全年吸收的二氧化碳；若每个家庭按3台空调计。

第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛团体赛(口试)试题解答上半场题1（开场共答1）15++=⨯⨯华杯赛少俊金坛论数上面的算式中, 不同的汉字代表1~9中的不同数字, 当三位数“华杯赛”取得最大值时, 请你写出一种使等式成立的填数法.【答案】97515284613=⨯++⨯ 或97515.164328=⨯++⨯ 【解答】由15++=⨯⨯华杯赛少俊金坛论数可知, 华杯赛被15整除. 要求三位数“华杯赛”取得最大值, 我们从最大的被15整除的3位数进行筛选:990, 975, 960, 945, 930, 915, ……最大的合要求的是975, 而975 ÷ 15 = 65, 也就是++⨯⨯少俊金坛论数=65.容易由1, 2, 3, 4, 6, 8试凑得: 2×8+46+1×3=65. 于是得出合于题目要求的如下填数法,97515284613=⨯++⨯.或试凑1×6+43+2×8=65, 得97515.164328=⨯++⨯图A-57图A-56【解答】 因为正六边形的一个内角为120, 是一个周角的1.3所以, 以正六边形的顶点为圆心、正六边形的边长为半径的圆弧, 等于1厘米. 阴影部分周长可以拼接为2个圆周, 所以是6厘米.题3（必答A1）班级小书架共有12本科普读物.据统计, 数学小组的每个成员恰借阅过其中的两本, 而每本科普读物都恰被3名数学小组的成员借阅过. 问：这个数学小组共有多少人？ 【答案】18人.【解答】 因为小书架共有12本科普读物, 而每本科普读物都恰被3名数学小组的成员借阅过. 所以共被借阅12336⨯=（人次）. 设数学小组共有x 名成员, 由于每个成员恰借阅过其中的两本科普读物, 所以共被借阅2x 人次.因此 236x =,18x =.题4（必答A2）如图A-57, 有一个圆和三个正方形. 中间正方形的顶点在圆上, 圆与最大正方形的交点以及最小正方形的顶点都是所在线段的中点. 最大正方形的面积是12平方厘米, 问: 最小正方形的面积是多少平方厘米？【答案】3平方厘米.【解答】如图A-58, 绕中心O 旋转圆面, 使得点P 重合于E , 于是点Q 重合于F , 点S 重合于G , 点T 重合于H .成右图. 容易看出,图A-59图A-601111112322244IJKL PQST ABCD ABCD S S S S ⎛⎫====⨯= ⎪⎝⎭（平方厘米）. 题5（必答A3）国家规定年满18周岁不超过70周岁的成人才有资格申请机动车驾驶证.小学六年级的学生李明说:“我老爸有汽车驾照, 他的年龄数与生辰月、日数的乘积为2975”, 请问李明的父亲多少岁? 【答案】35.【解答】17535177252975⨯⨯=⨯⨯=, 由于月份数取1~12的自然数, 日期数取1~31的自然数, 所以, 李明父亲要么是25岁, 7月17日生, 要么是35岁, 5月17日生.由于李明已经小学六年级, 他老爸不可能25岁, 所以李明父亲的年龄是35岁.题6（必答A4）如图A-59, D 是BC 边上一点, 且2,BD DC = DP//CA . 三角形APD 的面积为14cm 2, 问三角形ABC 的面积是多少cm 2.【答案】63cm 2.【解答】连结PC , 见图A-60. 因为 DP//CA , 所以14PCD APD S S ∆∆==.又因为2,BD DC = 所以21428PBD S ∆=⨯=( cm 2). 所以281442ABD PBD APD S S S ∆∆∆=+=+=( cm 2).因此,33426322ABC ABD S S ∆∆=⨯=⨯= ( cm 2).题7（必答A5）如果一个自然数既能写成两个连续自然数之和也能写成三个连续自然数之和, 就称为一个“好数”. 请找出2007, 2008, 2009, 2010, 2011图A-62图A-61中的“好数”. 【答案】2007.【解答】 易知：一个数为“好数”, 当且仅当它是一个奇数且能被3整除. 因此, 2007是“好数”, 而2008, 2010不是“好数”, 因为它们不是奇数, 2009, 2011也不是“好数”, 因为它们不能被3整除．事实上, 2007=1003+1004=668+669+670, 符合“好数”的定义. 题8（必答A6）如图A-61, 大正六边形的面积是1平方厘米, 问绿色正六边形的面积是多少平方厘米?【答案】31平方厘米.【解答】由正六边形的性质, 图A-62中阴影跳棋盘部分被分成12个边长相等的正三角形. 而图中未着色的6个三角形都是等腰三角形, 其中一个角为120, 两个底角为30. 腰长等于小正三角形的边长. 因此未着色的三角形的面积等于小正三角形的面积. 正六边形A’B’C’D’E’F’的面积是正六边形ABCDEF 的31186=. 故正六边形A’B’C’D’E’F’的面积是31平方厘米. 题9（必答A7）袋里的红球占袋中总球数的167；再往袋里放入40个红球后, 红球占总数的43. 问最后袋里共有多少个球？ 【答案】72个.【解答】设最后袋里共有球x 个, 则根据题设, 有4340167)40(⨯=+⨯-x x , 即图A-63图A-64图A-657(40)16401272.x x x ⨯-+⨯==，题10（必答A8）图A-63中所标出的10个角的度数总和是多少?【答案】1080︒.【解答】图A-64中, 阴影四边形的内角和是360, 这样四边形有5个, 度数和是1800；其中围绕中间的五边形 ABCDE 顶点的10个角度数的和恰是这个五边形外角和360的2倍, 故图中所求的10个内角和是180023601080-⨯=.题11（群答2）将分别写有华、杯、赛、好的四张卡片, 选出其中三张, 字面朝下依次摆在桌子上.甲、乙、丙三人分别猜每张卡片上是什么字, 猜的情况如下：第一张 第二张 第三张 甲 华 杯 赛 乙 华 好 杯 丙赛华好结果是一人全对, 一人全错, 另外一人只对一个. 请指出全猜错的是谁. 【答案】丙.【解答】全对的只能是甲(或乙), 只对一个的是乙（或甲）（因为甲、乙两人第一张猜到同样的结果）, 因此, 全错是丙.题12（群答3）如图A-65, A 是邮局, B , C , D , E , F 是5户人家. 相邻两家的路程如图所标示. 邮递员从邮局出发要给这5户人家送信（每家都有信）, 要求最后把信送到D 户. 问：邮递员走的最短路程是多少米？图A-66图A-68【答案】500米.【解答】100100100100100.A B C F E D −−→−−→−−→−−→−−→题13（共答2）在3×3×3的正方体玻璃支架上有27 个单位立方体空格.每个单位立方体空格中至多放有一个彩球. 要使主视图、俯视图、左视图都如图A-66中所示. 问正方体支架上至少需放多少个彩球？请你放置出来. 【答案】9个. 一种放法如图A-67.题14（必答B1）如图A-68, 在正方形ABCD 中, 正方形AMOP 的面积是8平方厘米, 正方形CNOQ 的面积是24.5平方厘米. 问：正方形ABCD 的面积是多少平方厘米？ 【答案】60.5平方厘米.【解答】因为正方形AMOP 的面积是8平方厘米, 所以对角线AO = 4厘米, 正方形CNOQ 的面积是24.5平方厘米, 所以对角线OC =7厘米. 因此正方形ABCD 的对角线等于 4 + 7 = 11厘米.所以正方形ABCD 的面积=5.6011212=⨯平方厘米.图A-67图A-69图A-70题15 （必答B2）在两个□中分别填入整数, 使得 7⨯□5+⨯□11111= 成立, 请你回答, 两个□中填入的整数之和能等于偶数吗? 试说明理由. 【答案】不能.【解答】设两个□中填入的整数分别为,x y , 若x y +等于偶数, 则,x y 奇偶性相同. 若,x y 同为奇数, 则7,5x y 都为奇数, 75x y +为偶数, 不能等于11111；若,x y 同为偶数, 则7,5x y 都为偶数, 75x y +也为偶数, 也不能等于11111. 综上可知, 两个□中填入的整数之和不能等于偶数.题16（必答B3） 如图A-69, MN 是面积为76平方厘米的梯形ABCD 的中位线. P 是下底BC 上一点. 问:三角形MNP 的面积是多少平方厘米? 【答案】19平方厘米.【解答】设梯形的高为h , 则 1111()()22242M N P h S A D B C A D B C h ∆=⨯+⨯=⨯+1761944ABCD S ===(平方厘米). 题17 （必答B4）一种电子表在10点28分6秒时, 显示的时间如图A-70所示. 那么从10点至10点半这段时间内, 电子表上六个数字都不相同的时间共有多少秒？【答案】 90秒.【解答】在10点至10点半这段时间内, 要使电子表上六个数字都不相同, 前三个数字显然是1, 0, 2.设时间为10:2a :bc , 其中b 可在3, 4, 5中选择, a , c 可在3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中选择.先确定b , 有3种选法；然后确定a , 有6种选法；最后确定c , 有5种选法. 所以, 从10点至10点半这段时间内, 电子表上六个数字都不相同的时间一共有3 × 6 × 5 = 90（个）, 也就是图A-72电子表上六个数字都不相同的时间共有90秒.题18（必答B5）如图A-71, E , F , G , H 分别是四边形ABCD 的边AB , BC , CD , DA 的中点. BH 与DE 的交点为M , BG 与 DF 的交点为N . 问?BMDNABCDS S = 【答案】13BMDN ABCD S S =. 【解答】如图A-72, 连接BD , CN , 填入面积,x y , 则由三角形CDF 与BGD 比较可知,13BDN BCD S x y S ∆∆=+=.同理可得,13BDM ABD S S ∆∆=.相加即得13BMDN ABCD S S =. 题19（必答B6）如图A-73, 五行五列共亮着的25个灯.共有5个行开关和5个列开关, 每个开关只同时控制一行或一列的5个灯泡. 规定每次操作都要从中选一列改变状态, 再从中选一行改变状态. 问能否通过有限次操作使得25盏灯都熄灭？【答案】不能.【解答】依题意, 每次操作都对一行、一列进行操作, 则一次操作改变状态灯泡的为10个灯次, 设k 次操作能使得25盏灯都熄灭, 则k 次操作共改变灯泡状态为10k 个灯次, 是个偶数；而若要使得一盏灯由亮到熄灭, 必须改变奇数次状态, 25盏灯都熄灭时改变状态的灯次总数为25个奇数之和, 等于奇数个灯次, 但奇数个灯次不等于偶数个灯图A-74图A-76图A-75次, 所以不能通过有限次操作使得25盏灯都熄灭.题20（必答B7）如图A-74, P 为正六边形ABCDEF 的AB 边上一点. PM//CD 交EF 于M , PN//BC 交CD 于N .红、蓝两个小精灵从N 点同时出发分别沿五边形NPMED 周界和六边形CBAFED 周界匀速行走, 各绕一周后同时回到N 点. 问：蓝精灵的速度是红精灵速度的多少倍?【答案】1.2倍.【解答】 如图A-75, 设正六边形边长为a , 则蓝精灵走一周的路程为6a , 红精灵走一周的路程为5a , 所以蓝精灵速度:是红精灵速度的61.25=倍. 题21（必答B8）将33写成n 个连续自然数之和. 当n 取最大值时, 将写成的和式中的所有“+”号全变为“×”号后, 其乘积等于多少? 【答案】20160.【解答】因为12345672833,++++++=<23456783533.++++++=>所以33不能写成7个或多于7个的连续自然数之和. 因此 6.n ≤而33 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8, 所以n 得最大值为 6. 又n =6时,87654333+++++=, 从而有20160876543=⨯⨯⨯⨯⨯.下半场题22 （共答3） 将长方形ABCD 绕顶点A 顺时针旋转90, 边CD 扫过的面积如图A-76中阴影所示. 请用无刻度直尺、圆规为工具在图中画出一个圆, 使它的面积等于图中阴影部分的面积.图A-78图A-77【答案】作法如图A-78所示.【解答】如图A-77, 连接AC , AC 1, 则阴影部分面积S 2222()444AC AD AC AD πππ=-=-2242CD CD ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.阴影部分面积等于以CD 为直径的圆面积. 因此, 得如下作图法：延长C 1B 1交BC 于E , 连接BB 1与AE 交于M , 连接AC 1与D 1B 1交于N , 连接MN 交AB 1于O . 以O 为圆心AO 为半径画圆, 该圆的面积即等于图中阴影部分面积.题23（群答4）1+++=++++振兴中华两岸四地同心在上面的算式中, 不同的汉字代表 0 - 9 中的不同的数字. 若已知“同心=10”, 问：振 + 兴 + 中 + 华 = ？【答案】 27. 【解答】由于1+++=++++振兴中华两岸四地同心,易知振+兴+中+华=两+岸+四+地+10,即（振+兴+中+华）-（两+岸+四+地）=10. ①但振+兴+中+华+两+岸+四+地+1+0=45,所以+（振+兴+中+华）（两+岸+四+地）=44. ② 因此, 由① + ②得振+兴+中+华=10445427.22+== 题24（群答5）给出字谜算式:()()+++2010⨯=华老百年华诞三年-(金坛+翻+番),其中不同的汉字代表0~9中的不同数字, 相同的汉字代表相同数字, 使得等式成立. 请你写出一种使等式成立的填数法.【答案】 ()(291028)50(3746)2010.++⨯-+++=【解答】()20106730(291028)50(3746).=⨯=++⨯-+++【注】常州日报2010年8月1日消息, 金坛市推出“3年翻番计划”, 将规划建设“二城一都”; 华罗庚科技新城和环钱资荡滨湖城, 同时, 全力打造“光伏之都”. 经济总量计划三年翻番.题25（抢答1）现在有11个齿轮如图A-79啮合在一起. 问这样一个齿轮系统能否转动起来？试说明理由.图A-79【答案】 不能.【解答】 齿轮要么逆时针转动, 要么顺时针转动. 一个齿轮不可能同时既逆时针转动又顺时针转动.如图A-80, 将齿轮依次编号, 假设1号轮为主动轮是逆时针转动, 那么2号轮则顺时针转动, 3号轮则逆时针转动, 4号轮则顺时针转动, 依次下去, 奇数号的轮逆时针转动, 偶数号的轮顺时针转动, 所以第11号轮应逆时针转动. 但第11号轮又将传动第1号轮, 于是第1号轮（相当于第12号轮）应顺时针转动. 这样, 第1号轮同时既要逆时针转动, 又要顺时针转动, 这是不可能的！ 所以图A-79中所示的11个齿轮的传动系统是不可能转动起来的！题26（抢答2）将某同学生日的月份数与31的乘积、日数与12的乘积相加, 得到和为376. 问这位同学的生日是几月几号.【答案】4月21日.【解答】设这个同学的生日为x 月y 日, 其中,x y 都是正整数, 112,x ≤≤131.y ≤≤ 且满足关系式3112376x y +=.由于376与12都被4整除, 所以31x 被4整除, 由于31与4互质, 所以x 被4整除, 因此x 只能取4或8或12. 376被3除余1, 12y 被3整除, 所以31x 被3除余1, 而31被3除余1, 所以只能x 被3除余1. 因此 4.x =图A-80而 12376314376124252,y =-⨯=-=所以25221.12y == 即这个同学的生日是 4月21日.题27（抢答3）将半径分别为1cm, 3cm, 5cm 的三个半圆形量角器的圆心重合于O , 直径也重合在一条直线上, 如图A-81所示. 记甲、乙两块阴影截扇形与半圆丙的面积分别为S S S 甲乙丙，，, 求 ::S S S 甲乙丙.【答案】::48:40:1S S S =甲乙丙【解答】因为211.22S ππ=⨯=丙21143.3223S πππ⎡⎤=⨯-=⎢⎥⎣⎦乙22111853.5225S πππ⎡⎤=⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦甲所以84::::48:40:15.532S S S πππ==甲乙丙 题28（抢答4）某城市网上挑选机动车号牌编码规则为：号牌后五位必须有两个英文字母（其中字母I 、O 不可用）且最后一位必须为数字. 问：满足规定的编码共有多少个?图A-81图A-82图A-83【答案】3456000个.【解答】根据网上选号规则, 可供挑选的英文字母有26-2=24（个）, 且只能在第一至第四位上的两个位置出现, 而其余两个位置以及第五位则出现数字.两个字母为前4位中占2位, 共6种方法. 每个字母有24种选法, 其余3个位置是数码, 每个数码有10种选法. 所以满足规定的编码共有624241010103456000⨯⨯⨯⨯⨯=（个）.题29（抢答5）机器人在长为16米宽为8米的长方形场地上, 沿图A-82所示的小路按箭头的指向表演行走. 问当机器人从A 处走到B 处时共走了多少米的路程？假设图中相邻的两条平行小路之间的宽度都是1米 (B 点与竖直路段最近的距离也是1米). 【答案】152米.【解答】将横、竖各段路程长度加起来就会得到结果：16 + 8 + 16 + 7 + 15 + 6 + 14 + 5 + 13 + 4 + 12 + 3 + 11 + 2 + 10 + 1 + 9(116)161616178161361522+⨯=+=+⨯=+=（米）. 另法: 如图A-83所示, 将16×8的长方形各边都向外扩充0.5米, 成为一个17×9的长方形. 这样黑粗线成为了宽为1米的平行线的正中平行线, 其中只少了A , B 处两个白色的面积为0.5×1=0.5的小矩形. 所以设想的拖地板的服务员, 拖的地板面积比总面积少拖1平方米, 因此, 机器人走的总路程=17×9-1=152（米）.题30（抢答题6）图A-84为金坛市政区图, 现在用棕、绿、黄、粉四种颜色给该市未涂彩色的四个政区涂色. 如果要求相邻（有公共边界）政区的颜色不同, 则共有多少种涂色方法？图A-84【答案】18种.【解答】分两种情况:（1）直溪镇与指前镇同色.给直溪镇与指前镇染色: 有3种情况; 给朱林镇染色: 2种情况;给薛埠镇染色: 2 种情况. 共计3×2×2=12种.（2）直溪镇与指前镇异色.给直溪镇与指前镇染色: 有6种情况; 给朱林镇染色: 1种情况;给薛埠镇染色: 1 种情况. 共计6×1×1=6种.总计：共有12+6=18种染色方法.题31（抢答7）由数字0、1、2（既可全用也可不全用）组成的大于1000的自然数, 按照从小到大排列, 2010排在第几个？【答案】第30个.图A-85图A-86【解答】 由数字0、1、2生成的最高位为1的4位数共有3×3×3=27个, 其中大于1000的共有27-1=26个. 由0, 1, 2生成的最高位为2而不大于2010的自然数从小到大只有2000, 2001, 2002, 2010四个. 因此, 由数字0、1、2（既可全用也可不全用）组成的大于1000且不超过2010的自然数, 总计有26 + 4=30个, 2010是其中最大的, 因此按照从小到大排列, 排在第30个.题32（抢答8）如图A-85, P 为正方形ABCD 内一点, 并且∠APB ＝90°, AC 、BD 交于O ．已知AP =3cm 、BP =5cm.求三角形OBP 的面积． 【答案】2.5 cm 2.【解答】连DP , 并将三角形ADP 绕A 点顺时针旋转90, 到三角形ABM 的位置, 见图A-86. 则AMBP 是直角梯形. 其面积等于(5+3)×3÷2=12, 即凹四边形ABPD 的面积是12. 又正方形ABCD 的面积为 2223534AB =+=. 从而三角形ABD 的面积为17.所以, 三角形PBD =（17－12）=5. 因此, 三角形OBP 的面积 = 2.5 cm 2.题33（共答4）如图A-87, 房间里有一只老鼠, 门外有一只小猫, 立在北墙跟第3块地板砖的右上角点. 整个地面由80块大小相同的正方形地砖铺成, 那么小猫能监控到的范围占整个地板面积的百分之多少?（小猫和老鼠分别看作两个点, 墙的厚度忽略不计）【答案】66.875%.【解答】设地板正方形边长为1, 则这个房间面积为80. 如图A-88,图A-88阴影部分区域为老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围. 这个范围的总面积为(27)52422S +⨯⨯=+= 26.5. 所以小猫能监控到的面积为8026.553.5.-=占房间总面积的53.50.6687566.875%.80== 题34（群众共答）在每个人心里都默记住两个不等于0的数. 算出这两个数和的平方, 其结果记做“共”; 算出这两个数差的平方, 其结果记做“迎”; 再算出这两个数的乘积, 记做“接”. 请用你的“共”, “迎”, “接”来计算式子2?-⎛⎫= ⎪⎝⎭共迎接 请大家一起同声回答！图A-87【答案】16.【解答】设想的两个非0数为,.a b 则222222()()4416.a b a b ab ab ab ⎛⎫-+--⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭共迎接。

第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学组）一、选择题（每小题10分，满分60分。

以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。

）1、如图所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影部分的面积占平行四边形面积的（）。

（A）12（B）23（C）25（D）5122、两条纸带，较长的一条为23cm，较短的一条为15cm。

把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是（）cm。

（A）6 （B）7 （C）8 （D）93、两个水池内有金鱼若干条，数目相同。

亮亮和红红进行捞鱼比赛，第一个水池内的金鱼被捞完时，亮亮和红红所捞的金鱼数目比是3︰4 ；捞完第二个水池内的金鱼时，亮亮比第一次多捞33条，与红红捞的金鱼数目比是5：3。

那么每个水池内有金鱼有（）条。

（A）112 （B）168 （C）224 （D）3364、从12，13，14，15，16中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与67最接近，去掉的两个数是（）。

（A）12，15（B）12，16（C）13，15（D）13，145、恰有20个因数的最小自然数是（）。

（A）120 （B）240 （C）360 （D）4326、如图的大正方形格板是由81个1平方厘米的小正方形铺成，B，C是两个格点。

若请你在其它的格点中标出一点A，使得△ABC的面积恰等于3平方厘米，则这样的A点共有（）个。

（A）6 （B）5 （C）8 （D）10二、填空题（每小题10分，满分40分）的值为nm,则m＋n的值是_____。

7、算式8、“低碳生活”从现在做起，从我做起。

据测算，1公顷落叶阔叶林每年可吸收二氧化碳14吨。

如果每台空调制冷温度在国家提倡的26℃基础上调到27℃，相应每年减排二氧化碳21千克。

某市仅此项减排就相当于25000公顷落叶阔叶林全年吸收的二氧化碳；若每个家庭按3台空调计，该市家庭约有_____万户。

第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛试题解答 少年一组二试一、填空题1. 不满足不等式2|1||2|>--+x x 的x 应满足的条件是 .【答案】5.05.1≤≤-x .【解答】解答1：当2-≤x 时, 原不等式化为 2|)1(2|>----x x 或 23>. 可见, 当2-≤x 时, 原不等式恒成立.当12≤<-x 时, 原不等式化为 2)1(2>--+x x 或 212>+x , 即 212>+x 或212-<+x . 解得 5.0>x , 此时 15.0≤<x ; 或 5.1-<x , 此时5.12-<<-x .当 1>x 时, 原式化为 2)1(2>--+x x 或 23>. 可见, 当1>x 时, 原式恒成立.于是, x 应满足条件是 5.05.1≤≤-x .解答2：当 2-≤x 时, 原不等式化为 2|)1(2|>----x x ,2|)1(2|≤----x x 恒不成立.当12≤<-x 时, 原不等式化为2)1(2≤--+x x , 212≤+x , 即2122≤+≤-x . 解得5.05.1≤≤-x .当 1>x 时, 原式化为2)1(2≤--+x x , 23≤, 恒不成立.故当5.05.1≤≤-x 时, 原不等式不成立.2. 分别写有1、2、3、4、5的五张纸片, 从小到大正面向上, 摞成一摞. 现在将1、3和5反面后, 仍放在原来位置. 将整摞纸片从任一张纸片分成两摞, 将上一摞整摞反转后再放在下一摞上, 或者把5张纸片整摞反转, 算是一次“反转” . 若要使上述摆放的五张纸片都转变成正面向上的状态, 则至少要进行 次“反转”. （有数字的面为正面）【答案】5.【解答】若把整摞纸片看成为, 每一部分都是同方向的“子摞”而成. 因此原来的整摞纸片有5摞纸片组成.一次“反转”只能从一张纸片开始, 把上部分最上面的纸片与下部分的上面第一张纸片相邻. 注意到上部分反转时, 中间次序没有发生变化, 一次反正后“子摞”数只会出现三种情况：增加1, 不变, 减少1. 并且整摞反转时, “子摞”数目, 不会发生变化.按照要求, 要把5变成正面向上, 一定有一次要5张纸片一次“反转”. 而整摞的数码保持不变. 要把5个“子摞”变成一个子摞, 至少“反转”4次. 因此, 至少反转5次.下面说明5次可以保证5张纸片都是正面向上的状态：即将1先“反转”, 再将1和2同时反转, 依次再反转2、1、3；再反转3、1、2、4. 最后反转4、2、1、3、5就全都正面向上了. 共5次. （此种反转为其中一种）3. ][a 表示不大于a 的最大整数, 已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡17173172171k 被13除的余数是7, 则不超过48的最大的正整数k ＝ .【答案】45.【解答】设)70(,7<≤+=l l n k , n 是整数, 则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡17173172171k =l n )1(321777+⨯⨯⨯⨯ ,)13(mod 1183222347≡⨯≡⨯=,)13(mod 33113333337≡⨯⨯≡⨯⨯=,)13(mod 444467≡⨯=,)13(mod 881555347≡⨯≡⨯=,)13(mod 767≡,其中式子)(mod m a N ≡表示整数N 和a 被整数m 除有相同的余数. 故)13(mod 8784311163217777≡⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯ .而)13(mod 45678≡=⨯, )13(mod 22874≡=⨯,)13(mod 172≡⨯, )13(mod 771≡⨯,则最大的正整数k 是45.二、解答题4. 扑克牌中的J, Q, K 分别看成11, 12, 13点. 从1到13点的13张扑克牌中至多挑出几张牌, 使得没有2对牌, 其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和？【答案】6.【解答】解法 1. 设最多可以挑出来n 张. 而 }13,8,5,3,2,1{满足要求, 所以6≥n . 设挑出来n 张牌为 n a a a a <<<< 321, 如果其中j k a a a a l k j i ≠,,,,, 满足条件：l k j i a a a a -=- （1）则挑出来的牌不满足要求.若7≥n , 则1727374757,,,,a a a a a a a a a a -----, 5个差值是各不相同的;1626364656,,,,a a a a a a a a a a -----, 5个差值是各不相同的;15253545,,,a a a a a a a a ----, 4个差值是各不相同的.如果j i a a a a -=-67, j i a a a a -=-57, j i a a a a -=-56, j i a a ≠, 则不满足要求. 以上14个差值取值在1到12. 因此, 只有下列情况时不满足条件（1）:i a a a a -=-557, j a a a a -=-556.所以j i a a a a a +=+=6752, 挑出的7个数不满足要求.所以6=n .解法2. 设至多挑出n 张牌, 但是}13,8,5,3,2,1{中没有2对牌, 其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和, 所以6≥n .若7=n , 所取的7张牌, 从小到大排列为：{721,,,a a a }, 任取2个m a 和n a , 无妨设n m a a >, 则共有21267=⨯个取值在1～12的差. 这些差中 （1）不可能出现n k n m a a a a -=-;（2）若有l n n m a a a a -=-, 即)(,2l n m a a a l m n >>+=, 则不能有l l m m ≠≠11,(11l n m >>), 使得,211l m n a a a +=否则存在2对牌, 其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和. 即对于同一个n , 出现l n n m a a a a -=-或)(2l n m a a a l m n >>+=具有唯一性.出现)(2l n m a a a l m n >>+=至多有5组, 相当于从21组中取出这5组, 尚有16组, 16个取值在1～12的差, 必有两个相同.5. 汽车队去往受灾群众安置点运送物资, 每辆汽车载重量为10吨, 若每个帐篷分配1.5吨物资, 则余下不足一车物资；若每个帐篷分配1.6吨物资, 则尚差2车多的物资. 问: 这个安置点最少有多少顶帐篷?【答案】213.【解答】解法1. 设车队有b 辆车, 安置点有a 个帐篷. 为了方便设每车有100份物质, 则)3(10016)2(10010015)1(100+<<+<<<-b a b b a b .所以2]16.0[,1]15.0[+=-=b a b a , 3]15.0[]16.0[+=a a .现在求满足上式的a 的最小值.340.16{0.16}0.15{0.15} 3. {}{} 3.1002025a a a a a a a -=-++=+由高斯记号的定义, 对于任意大于0的数y x ,有⎩⎨⎧>++<++=+.1}{}{ 1,-}{}{;1}{}{ },{}{}{时当时当y x y x y x y x y x 注意到 1001203254+=有, ⎝⎛≥++<+++=+ 1.}100{}203{ ,1-}100{}203{1;}100{}203{ },100{}203{3}203{100a a a a a a a a a a 当当当1100203<⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧a a 时, 3100,1002033203100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+a a a a a , 300≥a . 当1100203≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧a a 时, 2100,11002033203100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+a a a a a , 200≥a . 当207200200<+=≤r a 时, 60≤≤r ,11009710016100203100203<<=+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧r r r a a , 不满足要求.当214200207<+=≤r a 时, 137≤≤r , 100100)7(15715100203100203r r r r a a +⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⨯+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧<<=>=-=+-⨯+=.13,1,13,110010016100100)7(155r r r r r 所以, 满足条件的最小整数a = 213.解法2. 设车队有b 辆车, 安置点有a 个帐篷. 有)3(106.1)2(10,105.1)1(10+<<+<<-b a b b a b ,)3(10016)2(100,10015)1(100+<<+<<-b a b b a b .解不等式组1001510015, , 100(2)16100(2)16a b a b b a b a ⎧<⎪<⎧⎪⎨⎨+<+⎩⎪<⎪⎩可得30>b .取31=b , 代入)3(10016)2(100,10015)1(100+<<+<<-b a b b a b , 得 212207,206200,3400163300,3100153000≤≤≤<<<<<a a a a .a 无解.取32=b , 代入)3(10016)2(100,10015)1(100+<<+<<-b a b b a b , 得 218213,213207,3500163400,3200153100≤≤≤≤<<<<a a a a .因此, a ＝213.6. （1）如图A-46中的大正方形被分成了4个小长方形. 已知黑色小长方形的总面积与白色小长方形的总面积相等. 证明, 一定能将这两个黑色小长方形完整地对接拼成为一个大长方形.（2）如果图A-47所示的大正方形中黑色小长方形的总面积与白色小长方形的总面积相等. 还能将这些黑色小长方形完整地对接拼在一起成为一个大长方形吗？【解答】（1）在图A-48中, 只要能证明MK=NK 或PK=QK , 就可以将这两块黑色长方形拼在一起成为一个大长方形.依题意, MKQD NKPB KNCQ APKM S S S S 长方形长方形长方形长方形+=+,所以MK QK NK PK NK QK MK PK ⨯+⨯=⨯+⨯.于是NK QK MK QK NK PK MK PK ⨯-⨯=⨯-⨯,即)()(NK MK QK NK MK PK -=-, 0))((=--QK PK NK MK .因此, 要么NK MK NK MK ==-,0, 要么QK PK QK PK ==-,0.若MK=NK , 此时KNC Q MKQD S S 长方形长方形=, 将长方形KNCQ 上移与长方形MKQD 重合, 则黑色部分拼成了一个大长方形. 若PK=QK , 此时N K P B KNCQ S S 长方形长方形=, 将矩形KNCQ 左移与矩形NKPB 重合, 则黑色部分拼成了一个大长方形.综上可得, 总能将这些黑色小长方形形拼在一起成为一个大长方形.（2）经过适当的平移可将图A-47变为图A-46, 根据（1）, 可知图A-47中这些黑色小长方形拼在一起也能成为一个大长方形.。

第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B 解答（小学组）一、填空题1．在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于11，不能是17，也不能是6的倍数，并且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球.【答案】174.【解答】至少需要17423222120191615141311=+++++++++(个).2．有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品，以及五种价格分别为3元、6元、9元、12元、15元的包装盒. 一个礼品配一个包装盒，共有 种不同的价格.【答案】9.【解答】任意的搭配共有25种，其中有价格重复的情况.由于礼品和包装盒的价格都是公差为3的等差数列，故当礼品和包装盒可以组成一个5元，8元，11元，14元，17元，20元，23元，26元，29元，共有9种不同的价格.3. 汽车A 从甲站出发开往乙站, 同时汽车B 、C 从乙站出发与A 相向而行开往甲站, 途中A 与B 相遇20分钟后再与C 相遇. 已知 A 、B 、C 的速度分别是每小时90km, 80km, 60km, 那么甲乙两站的路程是 km.【答案】425.【解答】设A 与B 出发t 小时后相遇, 两地距离为s , 则s t =+)8090(, s t =++)31)(9060(. 解之得 4255.2170=⨯=s .4. 将21, 31, 41, 51, 61, 71和这6个分数的平均值从大到小排列, 则这个平均值排在第 位.【答案】 3.【解答】先从小到大排列这6个分数: 2131********<<<<<, 因为前三个分数之和比后三个分数之和小，因此这6个分数的平均值不可能排在它们的中间.因为416716151413121⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++417151-⎪⎭⎫ ⎝⎛+==020171>-, 且⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++-⨯7161514131213160715143>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=. 所以这6个分数的平均值大于14，小于13. 即这六个分数的平均值排在第3位. 5. 若两位数的平方只有十位上的数字是0，则这样的两位数共有 个.【答案】9.【解答】设符合条件的两位数是ab . 两位数ab 的平方的十位上的数字等于2ab 个位上的数与2b 的十位上的数字之和的个位数字，为 0. 因为ab 的平方只有十位上的数字为0，所以0≠b .当b 取1～9时,2b 的十位上的数字分别为 0、0、0、1、2、3 、4、6、8.ab 2个位上的数字如下：当a 为 1时，分别为2、4、6、8、0、2、4、6、8；当a 为2时，分别为4、8、2、6、0、4、8、2、6；当a 为3时，分别为3、6、9、2、5、8、1、4、7；当a 为4时，分别为8、6、4、2、0、8、6、4、2；当a 为5时，分别为0、0、0、1、2、3、4、6、8；当a 为6或7时，分别与1或2时相同；当a 为8时，分别为6、2、8、4、0、6、2、8、4；当a 为9时，分别为8、6、4、2、0、8、6、4、2.所以这样的两位数有47，48，49，51，52，53，97，98，99，共9个.6. 图A-16所示的立体图形由10个棱长为1的立方块搭成, 这个立体图形的表面积为 .【答案】34. 【解答】 从上、下、前、后、左、右看这个立体图形的表面的面积分别为 6, 6, 5, 5, 6, 6, 总和为 34 .7. 数字卡片“3”、 “4”、 “5”各10张，从中任意选出8张，它们的数字和是31，则最多有 张是卡片“3”.【答案】4.【解答】假设摸出的8张卡片全是数字“3”，则其和为3×8＝24，与实际的和31相差8，这是因为将摸出的卡片“4”、 “5”都当成是卡片“3”的缘故. 用一张卡片“5”和“4”换一张卡片“3”，数字和可分别增加2和1. 为了使卡片“3”尽可能地多，应该多用卡片“5”换卡片“3”，现在8÷2＝4，因此可用4张卡片“5”换卡片“3”，这样8张卡片的数字之和正好等于32. 所以最多可能有4张是卡片“3”.8. 能同时表示成连续9个、10个和11个非零自然数的和的最小自然数是 .【答案】495.【解答】设所求的正整数为A ，则由题意得：A =459)9()3()2()1(+=++++++++p p p p p ， ①A =5510)10()3()2()1(+=++++++++m m m m m ， ②A =6611)9()3()2()1(+=++++++++n n n n n ， ③其中p , m , n 均为整数. 由①、②可得：5510459+=+m p ，所以)1(109+=m p . ④由②、③可得：66115510+=+n m ，所以)1(1110+=n m . ⑤因为10与11互质，所以由⑤可知，m 是11的倍数，由④可知，1+m 是9的倍数，所以m 是11的倍数，且被9除的余数为8，于是m 的最小值为44，A 的最小值为495554410=+⨯.二、解答下列各题9. 图A-17中有5个由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板. 问能用这5个硬纸板拼成图A-17中4×5的长方形吗？如果能, 请画出一种拼法；如果不能, 请简述理由.【答案】不能.【解答】 假设能拼成4×5的长方形, 如图A-18小方格黑白相间染色. 其中黑格、白格各10个.将五块纸板编号, 如图A-19所示, 除纸板④之外, 其余4张硬纸板每一张都盖住2个黑格, 而④盖住3个黑格或一个黑格. 这样一来, 由4个1×1的小正方 ① ②③④ ⑤图A-19图A-18格组成的不同形状的5个硬纸板, 只能盖住9或11个黑格, 与10个黑格不符.10. 图A-20中，ABCD 是一个梯形，且CD AB //，三角形ABO 和三角形OCD 的面积分别是16和4，求DC AB. 【答案】12. 【解答】由三角形面积公式，BCO OCD ABO AOD S S OC S S AO∆∆∆∆==. 又有AOD BCO S S ∆∆=，故416BCO BCOS S ∆∆=. 所以8BCO BCO S S ∆∆==.设梯形高为h , 因为, 22ABC DAC h AB h CD S S ∆∆⨯⨯==， 所以DAC ABC S CD S AB∆∆=. 又因为24, 12ABC ABO BCO DAC OCD AOD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=+==+=,所以12DC AB =.图A-2011. 长度为L 的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？【答案】28，72L . 【解答】（1）易知,红线与蓝线重合的条数是 31)12,8(=-；红线与黑线重合的条数是 1121)18,8(=-=-；蓝线与黑线重合的条数是 51)18,12(=-；红线、蓝线、黑线都重合的条数是 1121)18,12,8(=-=-.由红线7条，蓝线11条，黑线17条确定的位置的个数是271)513(17117=+++-++.因此，依不同位置的线条锯开一共得到28127=+（段）.（2） 最小公倍数72362]9,3,4[2]18,12,8[=⨯=⨯=.因此，将木棍等分成72段时，至少有一段是在上述红、蓝、黑线的某两条之间，并且再短（段数更多）时就做不到了. 所以锯得的木棍最短的一段的长度是72L . 12. 华罗庚爷爷出生于1910年11月12日. 将这些数字排成一个整数, 并且分解成=⨯19101112116316424, 请问这两个数1163和16424中有质数吗? 并说明理由.【答案】1163是质数.【解答】1163是质数, 理由如下:（1）显然16424是大于2的偶数, 是合数.（2）如果1163是合数, 但不是完全平方数, 则至少有2个不同的质因数, 因为31113311163=>, 所以, 如果1163有3个以上不同的质因数, 必有一个小于11. 但是显然2, 3, 5, 7都不能整除1163, 11也不能整除1163, 因此1163仅有2个不同的大于11的质因数. 大于11的质数有:13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 等等.既然237116337311147<<⨯=, 1163的两个不同的质因数一定有一个小于37, 另一个大于11. 计算97131261116311578913⨯=<<=⨯；73171241116311566817⨯=<<=⨯；67191273116311596119⨯=<<=⨯；53231219116310814723⨯=<<=⨯；41291189116310733729⨯=<<=⨯；41311271116311433731⨯=<<=⨯.所以1163是质数.三、解答下列各题13. 一批货物重13.5吨，每包货物重量不超过350千克，请问：能否用11辆载重为1.5吨的小货车一次运走？并对你的结论加以说明.【答案】能.【解答】一种方案如下：把11辆货车顺序编号为1，2，3，…，11. 先把1至8号车装上货物，每车一直装到不超过1.5吨为上限, 只要再装一包便超过1.5吨为止，并把这8个最后一包分成两组，每组4包，每组重量不超过14004350=⨯千克5.1<吨，用9，10号车可将这两组8包货物运走，这样1至10号车共装运了超过1.51213=5.-吨，这128=⨯（吨）货物，还剩下的货物的重量不超过5.1样可以用11号车把剩下的货物运走.14. 已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数.【答案】11，12，15，24，36.【解答】两位自然数共有90个，一个一个地去试算检验它是不是满足条件，工作量太大，显然需要开动脑筋，缩小试算范围.设“虎”、“威”两个汉字分表代表的数字为a，b. 显然a, b不等于0.因为10=+，10a bab a b+能+能被ab整除意味着10a b+能被a整除且10a b被b整除. 如果10a b+能被a整除，说明b能被a整除；如果10a b+能被b整除，说明10a能被b整除. 这就是说，数字a，b同时要满足两个条件：（1）a整除b，（2）b整除10a。

历年华杯赛试题及答案小学华杯赛，全称“全国青少年数学华罗庚金杯赛”，是中国最具影响力的青少年数学竞赛之一，旨在激发青少年对数学的兴趣，培养他们的数学思维能力。

以下是一些历年华杯赛小学组的试题及答案，供参考。

试题一：小明有3个红球和2个蓝球，他随机从袋子里摸出一个球，然后放回。

接着，他又随机摸出一个球。

请问小明两次都摸到红球的概率是多少？答案：小明第一次摸到红球的概率是3/5，放回后，第二次摸到红球的概率仍然是3/5。

因此，两次都摸到红球的概率是(3/5) * (3/5) = 9/25。

试题二：有一个数字序列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 这个序列的特点是每一项都是前两项的和。

请问这个序列的第10项是多少？答案：这是一个斐波那契数列。

根据题目给出的数列，第10项是第9项（21）和第8项（13）的和，即21 + 13 = 34。

试题三：一个班级有40名学生，其中20名男生和20名女生。

如果随机选择一名学生，那么选择到男生的概率是多少？答案：班级中有20名男生，总共40名学生，所以选择到男生的概率是20/40 = 1/2。

试题四：一个圆形的直径是14厘米，求这个圆的面积。

答案：圆的面积公式是A = πr²，其中r是圆的半径。

直径是14厘米，所以半径是14/2 = 7厘米。

代入公式得到面积A = π * 7² = 49π ≈ 153.94平方厘米。

试题五：小华有5个苹果，他决定将这些苹果平均分给3个朋友。

如果每个朋友分得的苹果数必须是整数，小华应该如何分配？答案：小华可以将5个苹果分成1, 2, 2的组合，这样每个朋友得到的苹果数都是整数。

试题六：一个长方体的长、宽、高分别是8厘米、6厘米和5厘米。

求这个长方体的体积。

答案：长方体的体积公式是V = 长 * 宽 * 高。

代入数值得到V = 8 * 6 * 5 = 240立方厘米。

试题七：如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数是什么？答案：这个数是0或1，因为0² = 0，1² = 1。

全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（五年级组）（时间：（时间： 10：00~11：30 ）一、填空题（每题10分，共80分）1、计算：)195167248(66.698.19)75.4285412375.2247816(-´´´´+´= 2、一次数学竞赛满分是100分，某班前六名同学的平均得分是95.5分，排名第六的同学的得分是89分，每人得分是互不相同的整数，那么排名第三的同学至少得至少得 分。

分。

3、在下面的等式中，相同的字母表示同一数字，若abcd －dcba =□997，那么，那么 □ 中 应填应填 。

4、在梯形ABCD 中，上底长5厘米，下底长10厘米，20=D BOC S 平方厘米，则梯形ABCD 的面积是的面积是平方厘米。

平方厘米。

5、已知：10△3=14， 8△7=2， 43△141=，根据这几个算式找规律，如果，根据这几个算式找规律，如果85△x =1，那么x = . 6、右图中共有、右图中共有 个三角形。

个三角形。

7、有一个自然数，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，则这个数最小是，则这个数最小是 。

8、A 是乘积为2007的5个自然数之和，B 是乘积为2007的4个自然数之和。

那么A 、B 两数之差的最大值是两数之差的最大值是 。

装订线全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（五年级组）一、填空题（每题10分，共80分）分）题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 3 96 2 45 8124 59 1781 1~8题答案提示：题答案提示：1、3 解：原式=÷øöçèæ-´´úûùêëé´÷øöçèæ++´÷øöçèæ+1951679666.698.19419285412819247816 =19528953419285441912819247881916´÷øöçèæ´+´+´+´=195289531515713138´÷øöçèæ+++=195289531952895´÷øöçèæ+=3 2、96 解：要想排名第三的同学得分尽量低，则其它几人的得分就要尽量的高，故第一名应为100分，第二名应为99分，因此第三、四、五名的总分为：分，因此第三、四、五名的总分为： 95.5×95.5×66－100－99－89=285(分) 故第三、四、五名的平均分为故第三、四、五名的平均分为 285÷3=95（分），因此第三名至少要得96分。

第十五屆華羅庚金杯少年數學邀請賽決賽試題A 參考答案參考答案（（小學組小學組））一、 填空題（每小題 10分，共120分）二、解答下列各題 (每題10分，共40分, 要求寫出簡要過程)13.13. 答案答案：：不能！理由如下理由如下：：假設能拼成4×5的長方形，如圖A 小方格黑白相間染色。

其中黑格、白格各10個。

將五塊紙板編號，如圖B 所示，除紙板④之外，其餘4張硬紙板每一張都蓋住2個黑格，而④蓋住3個黑格或一個黑格。

這樣一來，由4個1×1的小正方格組成的不同形狀的5個硬紙板，只能蓋住9或11個黑格，與10個黑格不符！ 14. 答案答案：：28，72L解：（1）易知 紅線與藍線重合的條數是 31)12,8(=−；紅線與黑線重合的條數是 1121)18,8(=−=−； 藍線與黑線重合的條數是 51)18,12(=−；紅線、藍線、黑線都重合的條數是 1121)18,12,8(=−=−； 由紅線7條，藍線11條，黑線17條確定的位置的個數是（圖A ）①②③④ ⑤（圖B ）271)513(17117=+++−++. 因此，依不同位置的線條鋸開一共得到 28127=+（段）.（2）最小公倍數 72362]9,3,4[2]18,12,8[=×=×=.因此，將木棍等分成72段時，至少有一段是在上述紅、藍、黑線的某兩條之間，並且再短（段數更多）時就做不到了.所以鋸得的木棍最短的一段的長度是72L . 15. 答案答案：：5，7.解：設A ，B ，C ，D ，E 五隊的總分分別是a ，b ，c ，d ，e ，五隊的總分為S ，則e e d c b a S +=++++=20.五隊單迴圈共比賽10場，則30≤S . 如果有一場踢平，則總分S 減少1分. 因為00011+++==a ，001311114+++=+++==b ， 01337+++==c ， 11338+++==d ，所以比賽至少有3場平局，至多有5場平局. 所以330530−≤≤−S ，即272025≤+≤e . 故75≤≤e .事實上，E 隊勝A ，B ，負於C 隊，與D 踢平時，7=e ； E 隊勝A ，負於C ，但與B 、D 踢平時，5=e .所以E 隊至少得5分，至多得7分. 16. 答案：1163是質數.解：1163是質數,理由如下:（1）顯然16424是大於2的偶數,是合數.（2）如果1163是合數,但不是完全平方數,則至少有2個不同的質因數,因為31113311163=>,所以,如果1163有3個以上不同的質因數,必有一個小於11.但是顯然2,3,5,7都不能整除1163,11也不能整除1163,因此1163僅有2個不同的大於11的質因數.大於11的質數是:13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101. 既然237116337311147<<×=,1163的兩個不同的質因數一定有一個小於37,另一個大於11.計算97131261116311578913×=<<=×； 73171241116311566817×=<<=×； 67191273116311596119×=<<=×； 53231219116310814723×=<<=×； 41291189116310733729×=<<=×.所以1163是質數. 三、解答下列各題 （每小題 15分，共30分，要求寫出詳細過程）17. 答案：670.解：如圖，已知△ABC ，△BCD ，△CDE ，△DEF ，△EF A ，△F AB 的面積都等於335平方釐米，它們面積之和為33562010×=平方釐米=六邊形ABCDEF 的面積。

word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛 资格入围赛试卷（五年级组） （时间：2009年12月20日10：00～11：00） 一、填空题（每小题10分，满分80分） 1．计算：200.9×0.18+20.09×3.9+2.009×43= 。

2．比92大，比41小的分数有无数个，则分子为35的分数是 。

（写出一个即可） 3．有30个数，它们的平均数是75，若去掉其中两个数，这两个数之和为136，那么剩下的数的平均数是 。

4．2012年1月1日是星期日。

问2012年全年有 个月有五个星期日。

5．一个三位数，个位上的数字是十位上数字的4倍，十位上的数字是百位上数字的2倍。

这个三位数必定是 。

6．甲、乙两地相距20千米。

小王骑车每小时行12千米，小李每小时行8千米，两人分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。

分别到达乙、甲两地后，各休息2小时，然后返回。

问：两人第一次相遇后又经过 小时第二次相遇。

7．如下图，在七色球下面，按照图示的规律，依次逐个写自然数。

问：2009在 颜色的球下面。

8．小红、小明、小芳三人都喜欢集邮，他们已收集的邮票数都是两位数字，且小红的邮票最多，小芳的邮票最少，又知道这些邮票的总和是偶数，他们的积是3960，那么小红有邮票 张。

二、简答题（每题10分，满分40分，要求写出简要过程）9．某制衣厂委托小王加工缝制1000件服装的商标，商定每件加工费0.50元，如果缝出一件不符合标准的次品，不但没有加工费，还要赔偿3.50元。

全部完城市____________________学校___________________姓名_____________________考号________________word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载工后，小王共获得加工费480元，那么一共出了多少件次品？10． 下图是奥数兴趣班和写作兴趣班的男生和女生的人数统计图。