线代重修第三章矩阵初等变换与线性方程组

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组说明与要求:上一章已经介绍了求解线性方程组的克莱姆法则．虽然克莱姆法则在理论上具有重要的意义，但是利用它求解线性方程组，要受到一定的限制．首先，它要求线性方程组中方程的个数与未知量的个数相等，其次还要求方程组的系数行列式不等于零．即使方程组具备上述条件，在求解时，也需计算n +1个n 阶行列式．由此可见，应用克莱姆法则只能求解一些较为特殊的线性方程组且计算量较大．本章讨论一般的n 元线性方程组的求解问题．一般的线性方程组的形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (I)方程的个数m 与未知量的个数n 不一定相等，当m =n 时，系数行列式也有可能等于零．因此不能用克莱姆法则求解．对于线性方程组(I )，需要研究以下三个问题：(1)怎样判断线性方程组是否有解？即它有解的充分必要条件是什么？ (2)方程组有解时，它究竟有多少个解及如何去求解？ (3)当方程组的解不唯一时，解与解之间的关系如何？ 目的与要求：掌握矩阵的初等变换，能用初等变换化矩阵为行阶梯形、行最简形和标准型。

理解矩阵的秩概念、掌握用初等变换求矩阵的秩。

了解初等矩阵的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。

掌握用初等变换求解线性方程组。

本章重点：矩阵的初等变换；解线性方程组；秩；线性方程组解的判定. 。

本章难点：秩；线性方程组解的判定.§3.1 矩阵的初等变换在本章的§2.3节中给出了矩阵可逆的充分必要条件，并同时给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法．但是利用伴随矩阵法求逆矩阵，当矩阵的阶数较高时计算量是很大的．这一节将介绍求逆矩阵的另一种方法——初等变换法．为此我们先介绍初等矩阵的概念，并建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系．一. 初等变换定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换：1．互换两行（记）；2．以数乘以某一行（记）；3．把某一行的倍加到另一行上（记）。

第3章　矩阵的初等变换与线性方程组本章先引进矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念，并利用初等变换讨论矩阵的秩的性质；然后利用矩阵的秩讨论线性方程组无解、有惟一解或有无限多解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法.§1矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用.为引进矩阵的初等变换，先来分析用消元法解线性方程组的例子.引例　求解线性方程组解这里，　（1）→（B1）是为消x1作准备. （B1）→（B2）是保留①中的x1，消去②、③、④中的x1.（B2）→（B3）是保留②中的x2并把它的系数变为1，然后消去③、④中的x2，在此同时恰好把x3也消去了.　（B3）→（B4）是消去x4，在此同时恰好把常数也消去了，得到恒等式0=0（若常数项不能消去，就将得到矛盾方程0= 1，则说明方程组无解）.至此消元完毕.（B4）是4个未知数3个有效方程的方程组，应有一个自由未知数，由于方程组（B4）呈阶梯形，可把每个台阶的第一个未知数（即x1，x2，x4）选为非自由未知数，剩下的x3选为自由未知数.这样，就只需用“回代”的方法便能求出解：由③得x4=-3；将x4=-3代入②，得x2 = x3 +3；以x4=-3， x2 =x3+3代入①，得x1=x3+4.于是解得其中x3可任意取值.或令x3=c，方程组的解可记作即其中c为任意常数.在上述消元过程中，始终把方程组看作一个整体，即不是着眼于某一个方程的变形，而是着眼于整个方程组变成另一个方程组.其中用到三种变换，即：　（i）交换方程次序（ⓘ与ⓙ相互替换）；　（i i）以不等于0的数乘某个方程（以ⓘ×k替换ⓘ）；　（i i i）一个方程加上另一个方程的k倍（以ⓘ+kⓙ替换ⓘ）.由于这三种变换都是可逆的，即因此变换前的方程组与变换后的方程组是同解的，这三种变换都是方程组的同解变换，所以最后求得的解（2）是方程组（1）的全部解.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算.因此，如果记方程组（1）的增广矩阵为那么上述对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B的变换.把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上，就得到矩阵的三种初等变换.定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（i）对换两行（对换i，j两行，记作r i↔r j）；（i i）以数k≠0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记作r i×k）；（i i i）把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作r i+k r j）.把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）.矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换.显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换；变换r i↔r j的逆变换就是其本身；变换r i×k的逆变换为变换r i+kr j的逆变换为r i+（-k）r j（或记作r i-k r j）.如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作；如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作；如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A～B.矩阵之间的等价关系具有下列性质：（i）反身性A～A；（i i）对称性　若A～B，则B～A；（i i i）传递性　若A～B，B～C，则A～C.下面用矩阵的初等行变换来解方程组（1），其过程可与方程组（1）的消元过程一一对照：由方程组（B4）得到解（2）的回代过程，也可用矩阵的初等行变换来完成，即B5对应方程组取x3为自由未知数，并令x3=c，即得其中c为任意常数.矩阵B4和B5的特点是：都可画出一条从第一行某元左方的竖线开始到最后一列某元下方的横线结束的阶梯线，它的左下方的元全为0；每段竖线的高度为一行，竖线的右方的第一个元为非零元，称为该非零行的首非零元.具有这样特点的矩阵称为行阶梯形矩阵.为明确起见给出如下定义：定义2 （1）非零矩阵若满足（i）非零行在零行的上面；　（i i）非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的右面，则称此矩阵为行阶梯形矩阵；（2）进一步，若A是行阶梯形矩阵，并且还满足：　（i）非零行的首非零元为1；（i i）首非零元所在的列的其他元均为0，则称A为行最简形矩阵.于是B4和B5都是行阶梯形矩阵，且B5还是行最简形矩阵.用归纳法不难证明（这里不证）：对于任何非零矩阵A m×n，总可经有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.利用初等行变换，把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，是一种很重要的运算.由引例可知，要解线性方程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵.由行最简形矩阵B5，即可写出方程组的解（2）；反之，由方程组的解（2）也可写出矩阵B5.由此可猜想到一个矩阵的行最简形矩阵是惟一确定的（行阶梯形矩阵中非零行的行数也是惟一确定的）.对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵，称为标准形.例如矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元全为0.对于m×n矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.所有与A等价的矩阵组成一个集合，标准形F是这个集合中形状最简单的矩阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，为探讨它的应用，需要研究它的性质，下面介绍它的一个最基本的性质.定理1设A与B为m×n矩阵，那么（i）的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使PA =B；（i i） A～B的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使A Q=B；（i i i）A～B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PA Q=B.为证明定理1，我们引进初等矩阵的知识.定义3由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应有三种初等矩阵.（i）把单位矩阵中第i，j两行对换（或第i，j两列对换），得初等矩阵用m阶初等矩阵E m（i，j）左乘矩阵A=（a i j）m×n，得其结果相当于对矩阵A施行第一种初等行变换：把A的第i行与第j行对换（r i↔r j）.类似地，以民阶初等矩阵E n（i，j）右乘矩阵A，其结果相当于对矩阵A施行第一种初等列变换：把A的第i列与第j列对换（　c i↔c j）.（i i）以数k≠0乘单位矩阵的第i行（或第i列），得初等矩阵可以验知：以E m（i（k））左乘矩阵A，其结果相当于以数k乘A的第i行（r i×k）；以E n（i（k））右乘矩阵A，其结果相当于以数k乘A的第i列（c i×k）.（i i i）以k乘单位矩阵的第j行加到第i行上或以k乘单位矩阵的第i列加到第j列上，得初等矩阵可以验知：以E m（i j（k））左乘矩阵A，其结果相当于把A的第j行乘k加到第i行上（r i+kr j）；以E n（i j（k））右乘矩阵A，其结果相当于把A的第i列乘k加到第j 列上（c j+kc i）.归纳上面的讨论，可得性质1设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘相应的n阶初等矩阵.显然初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵是同一类型的初等矩阵：性质2方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2，…，P l，使A =P1P2…P l.证　先证充分性.设A=P1P2…P l，因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆.故A可逆.再证必要性.设n阶方阵A可逆，它经有限次初等行变换成为行最简形矩阵B.由性质1，知有初等矩阵Q1，…，Q l使Q l…Q1A=B.因A，Q1，…，Q l均可逆，故B也可逆，从而B的非零行数为n，即B有n个首非零元1，但B总共只有n个列，故B=E.于是这里为初等矩阵，即A是若干个初等矩阵的乘积. 证毕下面应用初等矩阵的知识来证明定理1.定理1的证明：（i）依据A～B的定义和初等矩阵的性质，有A～B ⇔A经有限次初等行变换变成B⇔存在有限个m阶初等矩阵P1，P2，…， P l，使P l… P2P1A=B⇔存在m阶可逆矩阵P，使PA=B.类似可证明（i i）和（i i i）.证毕定理1把矩阵的初等变换与矩阵的乘法联系了起来，从而可以依据矩阵乘法的运算规律得到初等变换的运算规律，也可以利用矩阵的初等变换去研究矩阵的乘法.下面先给出定理1的一个推论，然后介绍一种利用初等变换求逆阵的方法.推论　方阵A可逆的充分必要条件是证A可逆⇔存在可逆矩阵P，使PA=E定理1表明，如果，即A经一系列初等行变换变为B，则有可逆矩阵P，使PA=B.那么，如何去求出这个可逆矩阵P？由于因此，如果对矩阵（A，E）作初等行变换，那么，当把A变为B时，E就变为P.于是就得到所求的可逆矩阵P.例1设的行最简形矩阵为F，求F，并求一个可逆矩阵P，使PA=F.解　把A用初等行变换化成行最简形矩阵，即为F.但需求出P，故按上段所述，对（A，E）作初等行变换把A化成行最简形矩阵，便同时得到F和P.运算如下：故为A的行最简形矩阵，而使PA=F的可逆矩阵注　上述解中所得（F，P），可继续作初等行变换r3×k，r1+kr3，r2+kr3，则F不变而P变.由此可知本例中使PA=F的可逆矩阵P不是惟一的.例2设证明A可逆，并求A-1.解　如同例1，初等行变换把（A，E）化成（F，P），其中F为A的行最简形矩阵.如果F=E，由定理1之推论知A可逆，并由PA=E，知P=A-1.运算如下：例3求解矩阵方程A X=B，其中解　设可逆矩阵P使PA =F为行最简形矩阵，则P（A，B）=（F，P B），因此对矩阵（A，B）作初等行变换把A变为F，同时把B变为PB.若F=E，则A 可逆，且P=A-1，这时所给方程有惟一解X=PB=A-1B.由可见因此A可逆，且即为所给方程的惟一解.例2和例3是一种用初等行变换求A-1或A-1B的方法，当A为3阶或更高阶的矩阵时，求A-1或A-1B通常都用此方法.这是当A为可逆矩阵时，求解方程A X=B的方法（求A-1也就是求方程A X=E的解）.这方法就是把方程A X=B 的增广矩阵（A，B）化为行最简形矩阵，从而求得方程的解.特别地，求解线性方程组Ax=b （A为可逆矩阵）时把增广矩阵（A，b）化为行最简形矩阵，其最后一列就是解向量，从而得到了一个求解线性方程组的新途径.例4求解线性方程组解　记此方程组为Ax=b，则增广矩阵因故　A可逆，于是方程组有解，且解为此方程组我们已在第2章例16中分别用克拉默法则和逆矩阵求解过.比较这三种方法，显然这里介绍的方法最为方便和快捷.§2矩阵的秩为了更好地理解矩阵的秩的概念，重新讨论上节引例中增广矩阵B及其行阶梯形矩阵B4和B5：我们发现B4和B5都恰好有3个非零行.自然要问：每一个与B行等价的行阶梯形矩阵是否都恰好有3个非零行？回答是肯定的.为阐明这一问题先引入矩阵子式的概念.定义4在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.m×n矩阵A的k阶子式共有个.现在来观察行阶梯形矩阵B4的子式.取B4的第1、第2、第3行和第1、第2、第4列，得到三阶非零子式而它的任一四阶子式都将因含有零行而成为0.换言之，B4中非零子式的最高阶数是3.同样B5中非零子式的最高阶数也是3.非零子式在矩阵的初等行变换中的意义可以表述成如下的引理.引理　设，则A与B中非零子式的最高阶数相等.证　先证B是A经过一次初等行变换而得的情形.设D是A中的r阶非零子式.当或对，在B中总能找到与D相对应的r阶子式D1，由于D1=D或D1=-D或D1=kD，因此D1≠0.当时，因为对于作变换r i↔　r j时结论成立，所以只需考虑这一特殊情形.分两种情形讨论：　（①　D不包含A的第1行，这时D也是B的r阶非零子式；②　D包含A 的第1行，这时把B中与D对应的r阶子式D1记作若p=2，则D1=D≠0；若p≠2，则D2也是B的r阶子式，由D1-kD2=D≠0，知D1与D2不同时为0.总之，B中存在r阶非零子式D1或D2.记A和B中非零子式的最高阶数分别为s和t，那么上述表明s≤　t.因A经一次初等行变换成为B，B也就可经一次初等行变换成为A，故又有t≤　s，于是s=t.经一次初等行变换结论成立，即可知经有限次初等行变换结论也成立. 证毕现在可以回答本节一开始提出的问题了.设C是任一与B行等价的行阶梯形矩阵，由引理，C中非零子式的最高阶数应与B4中非零子式的最高阶数相同，即C有且仅有3个非零行.值得注意的是上面的讨论中，关心的并不是非零子式（作为行列式）本身，而是它的阶数，尤其是非零子式的最高阶数.由此给出矩阵的秩的定义：定义5设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）.并规定零矩阵的秩等于0.由行列式的性质可知，在A中当所有r+1阶子式全等于0时，所有高于r+1阶的子式也全等于0，因此把r阶非零子式称为最高阶非零子式，而A的秩R（A）就是A的非零子式的最高阶数.由于R（A）是A的非零子式的最高阶数，因此，若矩阵A中有某个s阶子式不为0，则R（A）≥s；若A中所有t阶子式全为0，则R（A）＜t.显然，若A为m×n矩阵，则0≤R（A）≤mi n｛m，n｝.由于行列式与其转置行列式相等，因此A T的子式与A的子式对应相等，从而R（A T）=R（A）.对于n阶矩阵A，由于A的n阶子式只有一个︳A ︳，故当︳A ︳≠0时R（A）= n，当︳A ︳=0时R（A）＜n.可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数.因此，可逆矩阵又称满秩矩.阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵.矩阵的初等变换作为一种运算，其深刻意义在于它不改变矩阵的秩，即有定理2若A～B，则R（A）=R（B）.证　由引理，只须证明A经初等列变换变成B的情形，这时A T经初等行变换变为B T，由引理知R（A T）=R（B T），又R（A）=R（A T），R（B）=R（B T），因此R（A）= R（B）.总之，若A经有限次初等变换变为B（即A～B），则R（A）=R（B）. 证毕由于A～B的充分必要条件是有可逆矩阵P、Q，使PA Q=B，因此可得推论　若可逆矩阵P、Q使PA Q=B，则R（A）=R（B）.对于一般的矩阵，当行数与列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.然而对于行阶梯形矩阵，如前所示，它的秩就等于非零行的行数，一看便知毋须计算.因此依据定理2把矩阵化为行阶梯形矩阵来求秩是方便而有效的方法.例5求矩阵A和B的秩，其中解　在A中，容易看出一个2阶子式A的3阶子式只有一个经计算可知因此R（A）= 2.对B作初等行变换变成行阶梯形矩阵因为行阶梯形矩阵有3个非零行，所以R（B）= 3.例6设求矩阵A及矩阵B=（A，b）的秩.解　对B作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设B的行阶梯形矩阵为，则就是A的行阶梯形矩阵，故从中可同时看出R（A）及R（B）.因此R（A）=2，R（B）= 3.从矩阵B的行阶梯形矩阵可知，本例中的A与b所对应的线性方程组Ax=b是无解的，这是因为行阶梯形矩阵的第3行表示矛盾方程0=1.例7设已知R（A）=2，求λ与μ的值.解因R（A）=2，故下面讨论矩阵的秩的性质.前面我们已经提出了矩阵秩的一些最基本的性质，归纳起来有①0≤R（A m×n）≤　min｛ m，n｝.②R（A T）=R（A）.③若A～B，则R（A）= R（B）.④若P、Q可逆，则R（PA Q）=R（A）.下面再介绍几个常用的矩阵秩的性质：⑤ma x｛R（A），R（B）｝≤R（A，B）≤R（A）+R（B），特别地，当B=b为非零列向量量时，有R（A）≤R（A，b）≤R（A）+1.证　因为A的最高阶非零子式总是（A，B）的非零子式，所以R（A）≤R（A，B）.同理有R（B）≤R（A，B）.两式合起来，即为max｛R（A），R（B）｝≤R（A，B）.设R（A）=r，R（B）=t.把A T和B T分别作初等行变换化为行阶梯形矩阵和.因由性质2，R（A T）=r，R（B T）=t，故和中分别含r个和t个非零行，从而中只含r+t个非零行，并且.于是证毕例如令则⑥　R（A+B）≤R（A）+R（B）.证　无妨设A，B为m×n矩阵.对矩阵作初等行变换ri-r n+i（i=1，2，…，n）即得于是证毕后面我们还要介绍两条常用的性质，现先罗列于下：⑦　R（A B）≤mi n｛R（A），R（B）｝（见下节定理7）.⑧若A m×n B n×l=O，则R（A）+R（B）≤　n（见下章例13）例8设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥　n.证　因（A+E）+（E-A）=2E，由性质⑥，有R（A+E）+R（E-A）≥R（2E）= n，而R（E-A）= R（A-E），所以R（A+E）+R（A-E）≥≥n.例9证明：若A m×n B n×l=C，且R（A）= n，则R（B）=R（C）.证　因R（A）=n，知A的行最简形矩阵为，并有m阶可逆矩阵P，使于是由矩阵秩的性质④，知R（C）=R（PC），而故R（C）=R（B）.本例中的矩阵A的秩等于它的列数，这样的矩阵称为列满秩矩阵.当A为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵.因此，本例的结论当A 为方阵这一特殊情形时就是矩阵秩的性质④.本例另一种重要的特殊情形是C=O，这时结论为设A B=O，若A为列满秩矩阵，则B=O.这是因为，按本例的结论，这时有R（B）=0，故B=O.这一结论通常称为矩阵乘法的消去律.§3线性方程组的解设有n个未知数m个方程的线性方程组（3）式可以写成以向量x为未知元的向量方程A x=b，（4）第二章中已经说明，线性方程组（3）与向量方程（4）将混同使用而不加区分，解与解向量的名称亦不加区别.线性方程组（3）如果有解，就称它是相容的；如果无解，就称它不相容.利用系数矩阵A和增广矩阵B=（A，b）的秩，可以方便地讨论线性方程组是否有解（即是否相容）以及有解时解是否惟一等问题，其结论是定理3 n元线性方程组Ax=b（i）无解的充分必要条件是R（A）＜R（A，b）；（i i）有惟一解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）=n；（i i i）有无限多解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）＜n.证　只需证明条件的充分性，因为（i），（i i），（i i i）中条件的必要性依次是（i i）（i i i），（i）（i i i），（i）（i i）中条件的充分性的逆否命题.设R（A）=r.为叙述方便，无妨设B=（A，b）的行最简形矩阵为（i）若R（A）＜R（B），则中的d r+1=1，于是的第r+1行对应矛盾方程0= 1，故方程（4）无解.（i i）若R（A）=R（B），则进一步把B化成行最简形矩阵，而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A化成行最简形矩阵.（i i i）设R（A）=R（B）=r，把行最简形中r个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数，其余n-r个未知数取作自由未知数，并令自由未知数分别等于c1，c2，…，c n-r，由B（或A）是行最简形矩阵，即可写出含n-r个参数的通解.例10求解齐次线性方程组解　对系数矩阵A施行初等行变换变为行最简形矩阵即得与原方程组同解的方程组由此即得令x3 =c1，x4=c2，把它写成通常的参数形式其中c1，c2为任意实数，或写成向量形式例11求解非齐次线性方程组解　对增广矩阵B施行初等行变换可见R（A）=2，R（B）=3，故方程组无解.例12求解非齐次线性方程组解　对增广矩阵B施行初等行变换即得亦即例13 设有线性方程组问λ取何值时，此方程组（1）有惟一解；　（2）无解；　（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解.解法1对增广矩阵B=（A，b）作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有（1）当λ≠0且λ≠-3时，R（A）= R（B）=3，方程组有惟一解；（2）当λ=0时，R（A）=1，R（B）= 2，方程组无解；（3）当λ=-3时，R（A）=R（B）= 2，方程组有无限多个解，这时由此便得通解即解法2因系数矩阵A为3阶方阵，故有R（A）≤　R（A，b）3×4≤　3.于是由定理3，知方程有惟一解的充分必要条件是A的秩R（A）=3，即︳A ︳≠0.而因此，当λ≠0且λ≠-3时，方程组有惟一解.当λ=0时知R（A）=1，R（B）=2，故方程组无解.当λ=-3时知R（A）=R（B）=2，故方程组有无限多个解，且通解为比较解法1与解法2，显见解法2较简单.但解法2的方法只适用于系数矩阵为方阵的情形.对含参数的矩阵作初等变换时，例如在本例中对矩阵B作初等变换时，由于λ+1，λ+3等因式可以等于0，故不宜作诸如这样的变换.如果作了这种变换，则需对λ+1=0（或λ+3=0）的情形另作讨论.因此，对含参数的矩阵作初等变换较不方便.由定理3容易得出线性方程组理论中两个最基本的定理，这就是定理4 n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R（A）＜n.定理5线性方程组A x=b有解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）.显然，定理4是定理3（i i i）的特殊情形，而定理5就是定理3（i）.为了下一章论述的需要，下面把定理5推广到矩阵方程.定理6矩阵方程A X=B有解的充分必要条件是R（A）= R（A，B）.证　设A为m×n矩阵，B为m×l矩阵，则X为n×l矩阵.把X和B按列分块，记为X=（x1，x2，…，x l）， B=（b1，b2，…，b l），则矩阵方程A X=B等价于l个向量方程A x i=b i（i=1，2，…，l）.又，设R（A）=r，且A的行最简形矩阵为，则有r个非零行，且的后m-r行全为零行.再设从而由上述讨论并依据定理5，可得A X=B有解⇔Ax i=b i有解（i=1，2，…，l）⇔R（A，b i）=R（A） （i=1，2，…，l）⇔b i的后m-r个元全为零（i=1，2，…，l）⇔（b1，b2，…，b l）的后m-r行全为零行⇔R（A，B）=r=R（A）. 证毕利用定理6，容易得出矩阵的秩的性质7，即定理7设A B=C，则R（C）≤min｛ R（A），R（B）｝.证　因A B=C，知矩阵方程A X=C有解X=B，于是据定理6有R（A）= R（A，C）.而R（C）≤R（A，C），因此R（C）≤R（A）.又B T A T=C T，由上段证明知有R（C T）≤R（B T），即R（C）≤　R（B）.综合便得R（C）≤min｛R（A），R（B）｝.证毕定理6和定理7的应用，我们在下一章中讨论.习　题　三1.用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵：2.设求一个可逆矩阵P，使PA为行最简形矩阵.3.设（1）求可逆矩阵P，使PA为行最简形矩阵；（2）求一个可逆矩阵Q，使QA T为行最简形矩阵.4.试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：5.试利用矩阵的初等行变换，求解第2章习题二第15题之（2）.6. （1）设求X使A X=B；（2）设　求X使XA=B；（3）设A A X=2X+A，求X.7.在秩是r的矩阵中，有没有等于0的r-1阶子式？有没有等于0的r阶子式？8.从矩阵A中划去一行得到矩阵B，问A，B的秩的关系怎样？9.求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是（1，0，1，0，0），（1，-1，0，0，0）.10.求下列矩阵的秩：11.设A、B都是m×n矩阵，证明A～B的充分必要条件是R（A）=R（B）.12.设，问k为何值，可使（1）R（A）= 1；（2）R（A）=2；（3）R（A）=3.13.求解下列齐次线性方程组：14.求解下列非齐次线性方程组：15.写出一个以为通解的齐次线性方程组.16.设有线性方程组问λ为何值时（1）有惟一解；（2）无解；　（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解.17.λ取何值时，非齐次线性方程组（1）有惟一解；　（2）无解；　（3）有无限多个解？并在有无限多解时求其通解.18.非齐次线性方程组当λ取何值时有解？并求出它的通解.19.设问λ为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无限多解？并在有无限多解时求其通解.20.证明R（A）=1的充分必要条件是存在非零列向量　a及非零行向量　b T，使A=ab T.21.设A为列满秩矩阵，A B=C，证明线性方程Bx=0与Cx=0同解.22.设A为m×n矩阵，证明方程A X=E m有解的充分必要条件是R（A）=m.。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组上一章我们看到, 当我们引进矩阵的运算和逆矩阵等概念后, 矩阵逐渐显露出它的作用. 这一章我们再引进矩阵的初等变换和秩的概念, 又增添了它的应用活力. 利用它们我们可以很方便地判断一个线性方程组是否有解, 若有解, 又有什么样的解. 并方便的求出它的解.主要内容1. 矩阵的初等变换.2. 矩阵的秩.3. 线性方程组的解.重点内容 矩阵的初等变换与矩阵的秩.第一节 矩阵的初等变换一、消元法解线性方程组引例 求解线性方程组1231231233 48,23 9,121212 1.x x x x x x xx x ++=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=-⎩(1)解 用消元法求解.对方程组进行变换: 对增广矩阵B 作初等行变换:(1)1231231231212121,2 3 9, 3 4 8.x x x x x x x x x -+=-⎧⎪↔-+-=⎨⎪++=⎩13121212123193148r r -⎛⎫⎪↔-- ⎪ ⎪⎝⎭B ; 123123123 2,223 9, 3 4 8;x x x x x x x x x -+=-⎧⎪⨯-+-=⎨⎪++=⎩ 11112 2 23193148r --⎛⎫⎪⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭; 1232323 2,2 5,(3) 4 14;x x x x x x x -+=-⎧⨯+⎪+=⎨⨯-+⎪+=⎩12131112(2)0115(3)04114r r r r --⎛⎫⨯-+⎪ ⎪⨯-+ ⎪⎝⎭; 1232332,(4) 5, 3 6.x x x x x x -+=-⎧⎪⨯-++=⎨⎪-=-⎩231112(4)01150036r r --⎛⎫⎪⨯-+ ⎪ ⎪--⎝⎭. 由此回代得: 3212,3, 1.x x x ===-说明 1) 解线性方程组可以通过对其对应的系数矩阵做一系列变换来进行;2) 引例中最后一个方程组称为阶梯型方程组, 其对应的矩阵称为行阶梯型矩阵(简称阶梯形矩阵), 其特点是每一个非零行的第一个非零元素下方的元素全为零.例1 求解线性方程组123123123231,352,22 3.x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩ 解 将增广矩阵化为阶梯型12311231123131520541054121230541002---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭B , 对应的阶梯型方程组为12323323 1,54 1, 0 2.x x x x x x -+=⎧⎪-=-⎨⎪⋅=⎩由此可看出方程组无解.二、矩阵的初等变换定义1 对矩阵做如下三种变换称为矩阵的初等行(列)变换: 1)对调矩阵的任意两行(对调j i ,两行, 记作j i r r ↔); 2)用0k ≠乘矩阵的某一行(第i 行乘k , 记作k r i ⨯);3)将矩阵的某一行乘数k 加到另一行(第j 行的k 倍加到第i 行上, 记作j i kr r +). 把定义中的“行”换成“列”, 即得初等列变换的定义(所用记号是把r 换成c ). 矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换. 说明 1) 矩阵的三种初等变换都是可逆的;2) 若矩阵A 经有限次初等行变换变成B , 则称A 与B 行等价, 记为: B A r~; 若矩阵A 经有限次初等列变换变成B , 则称A 与B 列等价, 记为: B A c~; 若矩阵A 经有限次初等变换变成B , 则称A 与B 等价, 记为: B A ~. 等价关系具有以下性质: (i) 反身性 ~A A ;(ii) 对称性 若~A B , 则~B A ;(iii) 传递性 若~A B , ~B C , 则~A C .数学上把具有上述三条性质的关系称为等价, 例如, 两个线性方程组同解, 就称这两个线性方程组等价.例2 试用初等变换将矩阵12133250323814312121--⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪--⎝⎭A化为阶梯型.解12133121330123801238~~024512000140001400014----⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎪⎪--⎝⎭⎝⎭A11213301238~000140000--⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-⎪⎝⎭B ,矩阵1B 为阶梯形矩阵. 若将1B 再作初等行变换化为如下形状1210501701204~00014000-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪⎝⎭B B ,则2B 称为行最简形矩阵, 其特点是非零行的第一个非零元素为1, 且这些非零元所在列的其他元素全为零.说明 1) 用数学归纳法可以证明, 任何一个矩阵m n ⨯A , 是可以经有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.2) 再经过初等列变换, 1B 或2B 可化为21000001 000~0010000⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B F , 矩阵F 称为矩阵A 的标准形, 其特点是F 的左上角为一个单位矩阵, 其余元素全为零. 一般地, 对m n ⨯矩阵A , 总可以通过初等变换(行变换和列变换)化为下面的标准形:00 0r m n⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭E F ,此标准型由r n m ,,三个数完全确定, 其中r 就是行阶梯型矩阵中非零行的行数. 所有与A 等价的矩阵组成一个集合, 称为一个等价类, 标准型F 是这个等价类中最简单的矩阵.第二节 初 等 矩 阵一、初等矩阵的概念定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应三种初等矩阵：1、对调两行或对调两列1011(,)11011i j ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭E2、以数0k ≠乘某行(列)11(())11i k k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭E3、以数k 乘某行(列) 加到另一行(列)11(())11k ij k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭E第i 行第j 行第i 列第j 列第i 行第j 列第i 行第j 行第i 列第j 列二、矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系下面观察用初等矩阵左乘和右乘A 与初等变换有何关系. 例如111213111213212223313233313233212223100(2,3)001010a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭E A .由上面可以看出, 用初等矩阵(2,3)E 左乘A , 相当于将A 的2,3行交换, 即对A 做相应的初等行变换.11121311121113212223212221233132333132313310(13())010001a a a a a ka a k k a a a a a ka a a a a a a ka a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭AE .由上面可以看出, 用初等矩阵(13())k E 右乘A , 相当于将A 的第一列乘数k 加到第三列, 即对A 做相应的初等列变换.定理 1 用初等矩阵左乘A , 相当于对A 做相应的初等行变换; 用初等矩阵右乘A , 相当于对A 做相应的初等列变换.注记 容易验证, 这三种初等矩阵都可逆, 且它们的逆阵也都是初等矩阵1(,)(,)i j i j -=E E ; 11(())(())i k i k-=E E ; 1(())(())ij k ij k -=-E E .三、矩阵可逆的充要条件定理2 矩阵A 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵12,l P P P , 使12l =A P P P .证 先证充分性. 设12l =A P P P , 因为12,,,l P P P 可逆, 从而12l =≠A P P P 0,所以A 可逆.再证必要性. 设n 阶矩阵A 可逆, 它的标准型矩阵为F , 因为~F A , 所以存在初等矩阵12,,,l P P P , 使121s s l +=A P P P FP P .因为A 及12,,,l P P P 都可逆, 所以11111111s s l s ------+=F P P P AP P ,即F 也是可逆矩阵, 故=F E , 从而有12l =A P P P . 证毕推论 1 方阵A 可逆的充要条件是~rA E .推论2 m n ⨯矩阵~A B 的充要条件是存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q , 使得=PAQ B .四、初等变换在求逆矩阵中的应用设有矩阵方阵=AX B , 当A 为可逆阵时, 得1-=X A B . 下面利用定理2可推导出用初等变换求1-A B 及1-A 的方法.设A 为可逆阵, 则由定理2 知12l =A P P P , 其中i P (1,2)i l =为初等方阵. 于是,111111221()l l -----==A P P P P P P .设1(1,2)i i i l -==P Q , 则i Q 也是初等方阵, 且有121l-=A Q Q Q , 故有21l =Q Q Q A E ; ① 121l-=Q Q Q B A B , ②①、②两式说明: 对A 做一系列初等行变换, 将A 化为单位阵E 的同时, 用同样的初等行变换可将B 花为1-A B , 即1(,)~(,)r-A B E A B ,当=B E 时, 有1(,)~(,)r-A E E A .例3 设112215319--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A , 求1-A .解 由于11210010047 3(,)215010~0103 3 1319001001121r ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A E , 所以1473331121---⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A .例4 设三阶矩阵,A B 满足2=+AB A B , 其中301110014⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,求矩阵B .解 由2=+AB A B 得(2)-=A E B A . 而1012110012⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭A E ,易知210-=-≠A E . 所以, 2-A E 可逆, 故1(2)-=-B A E A . 由于101301101301(2,)110110~011211012014012014r ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E A 101301100522~011211~010432001223001223rr --⎛⎫⎛⎫⎪⎪------⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭100522~010*********r --⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭, 所以522432223--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭B .说明 若做初等列变换, 则采用如下格式:(1) 1~c-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E E A ; (2)1 ~ c-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A EB BA . 第三节 矩阵的秩一、 矩阵的秩的概念定义3 在m n ⨯矩阵A 中任取k 行与k 列(min(,))k m n ≤, 位于这些行、列交叉处的2k 个元素, 不改变他们在A 中所处的位置次序而得到的k 阶行列式, 称为A 的k 阶子式.说明 m n ⨯矩阵A 的k 阶子式共有k km n C C ⋅个.定义4 若在矩阵A 中有一个r 阶子式D 不为零, 且所有的1r +阶子式(如果存在的话)全等于零, 则D 称为A 的最高阶非零子式. 数r 称为矩阵A 的秩. 记作()R A . 并规定零矩阵的秩等于零.说明 1) 由行列式按行按列展开的性质知, 在A 中所以的1r +阶子式全为零时, 所有高于1r +阶的子式也全为零. 因此, 矩阵A 的秩()R A 就是A 中不为零的子式的最高阶数.2) 由定义知()min(,)R m n ≤A , 且有且()()TR R =A A .3) 对n 阶方阵A , 当()R n =A 时, 称A 为满秩矩阵; 当()R n <A 时, 称A 为降秩矩阵. 若n 阶方阵A 可逆, 则0≠A , 故()R n =A , 因此可逆矩阵一定是满秩矩阵, 从而A 可逆⇔A 非奇异⇔A 满秩.例5 求矩阵A 和B 的秩, 其中1025341214312-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A , 1025045170000-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B解 易知A 的一个二阶子式104034=≠- , 而A 的四个三阶子式都为零 即：1023410143--=--, 1534201412-=-,12531201312--=--, 02541204312-=-,所以()2R =A .矩阵B 为阶梯形矩阵, 很容易观察得出其秩为()2R =B , 即为其非零行的行数.二、 矩阵的秩的求法定理3 若~A B , 则()()R R =A B .证 先证明: 若A 经一次初等行变换变为B , 则()()R R ≤A B . 设()R r =A , 且A 的某个r 阶子式0D ≠.1)当~ i jr r ↔A B 或~ i r k⨯A B 时, 在B 中总能找到与D 相对应的子式1D , 由于1D D =, 或1D D =- 或1D kD =, 因此10D ≠, 从而()R B r ≥.2)当 ~ j i kr r +A B 时, 分三种情况讨论：(i) D 中不含第i 行, 此时10D D =≠, 所以()R r ≥B ;(ii) r D 中同时含有第i 行和第j 行, 此时由行列式的性质知, 此时10D D =≠, 所以()R r ≥B ;(iii) r D 中含有第i 行但不含第j 行, 此时由12ij ij D r kr r k r D kD =+=+=+,若20D =, 则10D D =≠, 所以()R r ≥B ; 若20D ≠, 由于2D 是不含第i 行的r 阶子式, 因此在矩阵A 中必有一个不含第i 行的非零r 阶子式. 从而由情形(1)知, ()R r ≥B .综上所述, 若A 经一次初等变换变为B , 则()()R R ≤A B . 由于B 亦经一次初等行变换变为A , 故()()R R ≤B A , 因此有()()R R =B A . 因为经一次初等行变换矩阵的秩不变,那么经有限次初等行变换矩阵的秩也不变. 设A 经初等列变换变B , 则TA 经初等行变换变为TB , 由上段证明知()()T T R R =A B , 又()()T R R =A A , ()()T R R =B B , 所以()()R R =A B .总之, 若A 经有限次初等列变换变为B (即~A B ),则()()R R =A B . 证毕 说明 据此定理, 我们可以找到一个求()R A 的简便方法, 先通过初等行变换将A 化为阶梯形矩阵B , 则()R A 等于B 的非零行的行数.例6设1234532050323612015316414 ⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪---⎝⎭↓↓↓↓↓A ααααα 求A 的秩, 并求A 的一个最高阶非零子式.解 对A 做初等行变换化为阶梯形矩阵：1641404311000480000--⎛⎫⎪--⎪= ⎪-⎪⎝⎭A ,所以()3R =A .下面求A 的一个最高阶非零子式. 因为()3R =A , 所以A 的最高阶非零子式为三阶,而A 的三阶子式共有334540C C =个, 要从中找出一个非零子式比较麻烦. 若A 的第i 列记为,(1,2.3,4,5)i i =α, 则A 的可记为()12345,,,,=A ααααα,又易知矩阵()124,,=B ααα的行阶梯形矩阵为161041004000-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪⎝⎭, 所以()3R =B . 由此知B 中必有三阶非零子式, 而()124325326,,205161⎛⎫⎪-⎪== ⎪⎪-⎝⎭B ααα 的前三行构成的子式325326160205⎛⎫ ⎪-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭.所以, 这就是我们所求的一个最高阶非零子式.例7 求矩阵112302164132711161a b -⎛⎫⎪-- ⎪=⎪-⎪---⎝⎭A 的秩.解 因为1123001221~008000002a b -⎛⎫ ⎪----⎪⎪+ ⎪+⎝⎭A , 所以1) 当8,2a b =-=-时, ()2R =A ;2) 当8,2a b ≠-=-或当8,2a b =-≠-时, ()3R =A 时; 3) 当8,2a b ≠-≠-时, ()4R =A .例8 设1112312536αβ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ,已知()2R =A , 求,αβ的值. 解 对A 作行初等变换, 得111211120344034408540510ααβαβ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪→+--→+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭A . 因为()2R =A , 所以505101ααββ-==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩. 三、 矩阵的秩的性质1) {}0()min ,m n R m n ⨯≤≤A . 2) ()()TR R =A A .3) 若~A B , 则()()R R =A B . 4) 若,P Q 可逆, 则()()R R =PAQ A .5) {}max (),()(,)()()R R R R R ≤≤+A B A B A B , 特别地, 当=Βb 为列向量时 , 有()(,)()1R R R ≤≤+A A b A .证 因为A 的最高阶非零子式总是矩阵(,)A B 的非零子式, 所以()(,)R R ≤A A B ; 同理有()(,)R R ≤B A B , 因此有{}max (),()(,)R R R ≤A B A B .设(),()R r R t ==A B , 将,A B 分别做初等列变换化为列阶梯形,A B , 则,A B 中分别含有r 个和t 个非零列. 故可设1~(,,00)cr =A A a a , 1(,,00)t c =B B b b从而(,)~(,)cA B A B . 因为矩阵(,)A B 只含有r t +个非零列, 所以(,)R r t ≤+A B .而(,)(,)R R =A B A B , 故(,)R r t ≤+A B . 即(,)()()R R R ≤+A B A B . 证毕6) ()()()R R R +≤+A B A B .证 不妨设,A B 为m n ⨯矩阵, 对矩阵(,)+A B B 做列变换(1,2)i n i c c i n +-=, 即得(,)~(,)c+A B B A B . 于是由性质5, 有()(,)(,)()()R R R R R +≤+=≤+A B A B B A B A B . 证毕7) {}()min (),()R R R ≤AB A B , 即()()R R ≤AB A 且()()R R ≤AB B . 8) 若m n n l ⨯⨯=A B 0, 则()()R R n +≤A B . 说明 性质7)和8)的证明在后续章节中进行. 例9 已知12324369t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q ,P 为三阶非零矩阵, 且=PQ 0, 则下列结论中正确的是: ()6A t =时 , ()1R =P ; ()6B t =时 , ()2R =P ;()6C t ≠时 , ()1R =P ; ()6D t ≠时 , ()1R ≠P .分析：当6t =时,123123246~000369000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ,所以()1R =Q , 由性质8)知, ()()()13R R R +=+≤P Q P , 所以()2R ≤P . 证明P 的秩可以是2或1, 排除(),()A B 两选项. 当6t ≠时, 易知()2R =Q , 从而()1R ≤P , 又因为0≠P , 所以()0R ≠P , 故()1R =P , 所以选()C .第四节 线性方程组的解一、线性方程组求解设有m 个方程的n 元线性方程组11112211211222221122,,,n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (2)(2)式可写成以向量x 为未知元的向量方程=Ax b , (3) 其中()ij m n a ⨯=A 称为(2)的系数矩阵, b 为m 维列向量, (,)=B A b 称为增广矩阵. 说明 线性方程组(2)有解, 就称它是相容的，如果无解，就称它不相容.定理4 设有n 元线性方程组=Ax b , 则 1) =Ax b 无解的充要条件是()(,)R R <A A b ; 2) =Ax b 有唯一解的充要条件是()(,)R R n ==A A b ; 3) =Ax b 有无穷解的充要条件是()(,)R R n =<A A b . 证 只证充分性, 必要性在充分性成立的情况下是显然的.设()R r =A , 为叙述方便不妨设矩阵(,)=B A b 的行最简形为:111,1212,21,11000100010000000000000000n r n r r r n r r r b b d b b d b b d d ---+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B . 1) 若()()R R <A B , 则B 中的11r d +=, 于是B 的第1r +行对应矛盾方程01=, 故方程无解;2) ()()R R r n ===A B , 则B 中的10r d +=(或1r d +不出现), 且ij b 都不出现, 于是B 对应方程组1122,,,n n x d x d x d =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 故方程组有唯一解.3) ()()R R r n ==<A B , 则B 中的10r d +=(或1r d +不出现, 于是B 对应方程组11111,122112,211,,,,r n r n r n r n n r r r n r n r x b x b x d x b x b x d x b x b x d +-+-+-=---+⎧⎪=---+⎪⎨⎪⎪=---+⎩令自由未知数11,r n n r x c x c +-==, 即得方程组的含n r -个参数的解:1111,1111,11n r n r r r r n r n r r r n n r b c b c d x x b c b c d x c x c ----+----+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪---+ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即1,11111,1100001n r r r r n r r n r r n b x b d x b b d c x x ---+-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (4)因为参数1,n r c c -可任意取值, 所以方程组有无穷多解.说明 1) 求解线性方程组的步骤归纳如下：(i) 写出=Ax b 的增广矩阵(,)=B A b , 并把它化为行阶梯形, 若()()R R ≠A B , 则方程组无解;(ii) 若()()R R =A B , 则进一步化为行最简形, 由此得出方程组的解. 2) 解(4)称为线性方程组(2)的通解. 3) 对于n 元齐次方程组A =x 0, 有: (i) A =x 0只有零解的充要条件是();R n =A (ii) A =x 0有非零解的充要条件是()R n <A . 例10 求解齐次方程组12341234123450,2230,3480.x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+-+=⎨⎪+++=⎩ 解 将系数矩阵A 化为行最简形1151115110125122301740174348100000000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ,由此得出同解方程组1342341250,740.x x x x x x +-=⎧⎨-+=⎩ 故得134234125,74x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩ (34,x x 可以任意取值).令3142,x k x k ==把它写为参数形式1122123142125,74,,x k k x k k x k x k =-+⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ (12,k k 为任意实数). 还可以写成向量形式121234125741001x x k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 例11 求解非齐次方程组12341234123424,3222,235310.x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩ 解 对增广矩阵做初等行变换化为行阶梯形11214112143212201112235310000 00----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B 1020201112000-⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭. 因为()()24R R n ==<=A B 所以方程组有无穷多解.同解方程组为132342,2x x x x x =+⎧⎨=++⎩ (34,x x 可以任意取值). 令3142,x k x k ==, 把它写为参数形式1121231422,2,,x k x k k x k x k =+⎧⎪=++⎪⎨=⎪⎪=⎩(12,k k 为任意实数), 或向量形式121234************x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 例12 设有线性方程组123123123(1)0,(1)3,(1).x x x x x x x x x λλλλ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 问λ取何值时, 此方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解？并在无穷多解时求其通解.解法1 对增广矩阵(),=B A b 作初等行变换1110111111311131111110λλλλλλλλ++⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+→+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭B 1110300(3)(1)(3)λλλλλλλλλ+⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭. 1) 当0λ≠, 且3λ≠-时, 因为()()3R R ==A B , 所以有唯一解; 2) 当0λ=时, 因为()1()2R R =≠=A B , 所以无解;3) 当3λ=-时, 因为()()2R R n ==<A B , 所以有无穷多解解, 此时1123101103360112000000----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B , 由此解得13231,2,x x x x =-⎧⎨=-⎩ 或123112101x x k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()k R ∈.解法2 因为系数矩阵A 为方阵, 所以方程组有唯一解0⇔≠A . 而2111111111(3)111(3)111111A λλλλλλλλ+=+=++=+++,所以当0λ≠, 且3λ≠-时方程组有唯一解;当0λ=时, 由于111011101113000111101110⎛⎫⎛⎫⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B , 而()()R R ≠A B , 所以方程组无解;当3λ=-时, 同解法1.注记 1) 解法2 只适于系数矩阵为方阵的情形.2) 对含参数的矩阵作初等变换时, 含参变量的式子不宜作分母, 若作分母, 则使分母为零的参数值需另行讨论.二、线性方程组理论中的几个基本的定理定理5 =Ax b 有解的充要条件是()(,)R R =A A b .定理6 n 元齐次线性方程组=Ax 0有非零解的充要条件是()R n <A . 为了下一章论述的需要, 下面把定理5 推广到矩阵方程. 定理7 矩阵方程=AX B 有解的充要条件是()(,)R R =A A B . 证 设,,m n m l n l ⨯⨯⨯A B X , 把X 和B 按列分块, 记为()()1212,,,,,,,l l ==X x x x B b b b ,则=AX B 有解等价为l 个向量方程i i =Ax b , 1,2i l =有解.先证充分性. 设()(,)R R =A A B , 由于()(,)(,)i R R R ≤≤A A b A B ,故有()(,)i R R =A A b , 从而根据定理5 知l 个向量方程i i =Ax b , 1,2i l =都有解, 于是矩阵方程=AX B 有解.再证必要性. 设矩阵方程=AX B 有解, 从而l 个向量方程i i =Ax b , 1,2i l =都有解, 设解为12i i i ni λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x 1,2i l =.记()12,,,n =A a a a , 即有1122(1,2)i i i ni n i i l λλλ=+++==Ax a a a b .对矩阵11(,)(,,,,,)n l =A B a a b b 作初等列变换11(1,2)n i i ni nc c c i l λλ+---=,便把(,)A B 的第1n +列第n l +列都变为零, 即(,)~(,)cA B A 0, 因此(,)()R R =A B A . 证毕定理8 设=AB C , 则{}()min (),()R R R ≤C A B 或{}()min (),()R R R ≤AB A B . 证 由=AB C 知矩阵方程=AX C 有解=X B , 于是根据定理7 有()(,)R R =A A C ,而()(,)R R =C A C , 所以()()R R =C A . 又因为T T T =B A C ,由上段证明知有()()TTR R ≤C B , 即()()R R ≤C B . 综合便得{}()min (),()R R R ≤C A B . 证毕 定理7和定理8的应用, 在下一章讨论, 定理6 也可以推广为: 定理9 矩阵方程m n n l ⨯⨯=A X 0只有零解()R n ⇔=A .。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（小结）一、矩阵的初等变换定义1 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 交换矩阵的两行(交换j i ,两行,记作j i r r ↔);(2) 以一个非零的数k 乘矩阵的某一行(第i 行乘数k ,记作k r i ⨯); (3) 把矩阵的某一行的k 倍加到另一行(第j 行乘k 加到i 行,记为j i kr r +).把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义(相应记号中把r 换成c ).初等行变换与初等列变换统称为初等变换. 注:初等变换的逆变换仍是初等变换, 且变换类型相同.例如，变换j i r r ↔的逆变换即为其本身；变换k r i ⨯的逆变换为kr i 1⨯；变换j i kr r +的逆变换为j i r k r )(-+或j i kr r -.定义2 若矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B , 则称矩阵A 与B 等价, 记为B A ~.矩阵之间的等价关系具有下列基本性质: (1) 反身性 A A ~; (2) 对称性 若B A ~,则A B ~; (3) 传递性 若B A ~,C B ~,则C A ~.满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵: (1) 零行(元素全为零的行)位于矩阵的下方;(2) 各非零行的首非零元的列标随着行标的增大而严格增大 .满足下列条件的阶梯形矩阵为行最简形矩阵： (1) 各非零行的首非零元都是1；(2) 每个首非零元所在列的其余元素都是零.矩阵A 的标准形F 具有如下特点：F 的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0.定理1 任意一个矩阵n m ij a A ⨯=)(经过有限次初等变换, 可以化为下列标准形矩阵11.00r E O A O O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭推论 如果A 为n 阶可逆矩阵, 则矩阵A 经过有限次初等变换可化为单位矩阵E , 即.~E A二、初等矩阵定义3 对单位矩阵E 施以一次初等变换得到矩阵称为初等矩阵. 三种初等变换分别对应着三种初等矩阵. (1) E 的第j i ,行(列)互换得到的矩阵列列列行j i j i j i E ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101111011),((2) E 的第i 行(列)乘以非零数k 得到的矩阵列行i i kk i E ;11))((⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= (3) E 的第j 行乘以数k 加到第i 行上,或E 的第i 列乘以数k 加到第j 列上得到的矩阵列列列行j i j i k k ij E .1111))((⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=命题1 关于初等矩阵有下列性质： (1)),(),(1j i E j i E =-; ));(())((11--=k i E k i E )).(())((1k ij E k ij E -=-(2) ;1|),(|-=j i E ;|))((|k k i E =1|))((|=k ij E定理2 设A 是一个n m ⨯矩阵, 对A 施行一次某种初等行(列)变换, 相当于用同种的)(n m 阶初等矩阵左（右）乘A . 三、求逆矩阵的初等变换法定理3 n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可以表示为若干初等矩阵的乘积.因此，求矩阵A 的逆矩阵1-A 时，可构造矩阵n n 2⨯矩阵 )(E A , 然后对其施以初等行变换将矩阵A 化为单位矩阵E ，则上述初等变换同时也将其中的单位矩阵E 化为1-A ，即)(E A −−−−→−初等行变换)(1-A E 这就是求逆矩阵的初等变换法. 四、用初等变换法求解矩阵方程B AX =设矩阵A可逆，则求解矩阵方程BAX =等价于求矩阵B A X 1-=，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵)(B A ，对其施以初等行变换将矩阵A 化为单位矩阵E ，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵B 化为B A 1-，即)(B A −−−−→−初等行变换)(1B A E -. 这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程B AX =的方法.同理, 求解矩阵方程,B XA = 等价于计算矩阵,1-BA 亦可利用初等列变换求矩阵1-BA . 即1E A B BA -⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换. 五、矩阵的秩定义1 在n m ⨯矩阵A 中，任取k 行k 列)1,1(n k m k ≤≤≤≤,位于这些行列交叉处的2k 个元素,不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的k 阶行列式, 称为矩阵A 的k 阶子式.注：n m ⨯矩阵A 的k 阶子式共有kn k m C C ⋅个.定义2 设A 为n m ⨯矩阵, 如果存在A 的r 阶子式不为零, 而任何1+r 阶子式(如果存在的话)皆为零, 则称数r 为矩阵A 的秩, 记为)(A r (或)(A R ). 并规定零矩阵的秩等于零.矩阵的秩具有下列性质：(1) 若矩阵A 中有某个s 阶子式不为0, 则s A r ≥)(; (2) 若A 中所有t 阶子式全为0, 则t A r <)(; (3) 若A 为n m ⨯矩阵, 则},min{)(0n m A r ≤≤; (4)).()(T A r A r =(5) 若,P Q 可逆, 则()().r PAQ r A = (6)max{(),()}(,)()().r A r B r A B r A r B ≤≤+ (7)()()().r A B r A r B +≤+ (8)()min{(),()}.r AB r A r B ≤注：当},,min{)(n m A r = 称矩阵A 为满秩矩阵. 否则称为降秩矩阵.六、矩阵秩的求法定理1 若B A ~, 则)()(B r A r =.根据上述定理, 我们得到利用初等变换求矩阵的秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩.注: 由矩阵的秩及满秩矩阵的定义, 显然,若一个n 阶矩阵A 是满秩的, 则.0||≠A 因而非奇异; 反之亦然.。

第3章矩阵的初等变换与线性⽅程组.第三章矩阵的初等变换与线性⽅程组第1页⼉92页、消元法解线性⽅程组⼆、矩阵的初等变换第2页⼉92页求解线性⽅程组:2x, - 兀2 -兀3 + 乞=2,V, + 兀2 — 2兀3 + ⼯4 = 4,4x, — 6*2 + 2*3 — 2x 』=4, 3x^ + 6x2 ⼀ 9兀3 + 7⼼=9,X^ ⼗-⽦2 — 2X3 + “4 = 4, 2X] — ^2 _ ”丫3 + 兀4 = 2, 2Xj — 3兀2 + -^3 —兀4 = 2, 3x, +6乂2 — 9七 +7必4 =9, X^ + 兀2 — 2X3 + i =4, 2*2 — 2X3 + 2.v^ = 0,— 5*2 +5丸3 — 3兀4 = —6. 3*2 — 3乂3 + 4 尤4 = —3,X^ + 兀2 — 2兀3 + ￡ =4. 丸2 —兀3 +兀4 =（⼈ 2.丫4 = -6,1、消元法解线性⽅程组引例“4 = ⼀3,第6页⼈92页可取每—⾏的第⼀个未知数为⾮⾃由未知数，进⾏回代）尤4 = —3V ；=勺+ 3其中，￡可任意取值內=勺+ 4⽐⼀丫3 + 兀4 =°9 ②③ 0 = 0,④（4个未知数3个⽅程，⽆穷解。

(B4)解得X[ = C + 4 兀2 = c/|\ /即兀=C(2)2）回代=〃4第8页⼋92页⽅程组的同解变换（消元过程”3)A 对增⼴矩阵/i = {A\h ）进⾏相应的三种初等⾏变换2x, — *2 —⼼ + *4 = 2, *1 + *2 ⼀ 2*3 + ⼯4 = 4, -4 ⼯丄—6*2 + 2*3 — 2⽃=4,3X] + 6*2 — 9x3 + 7xj =9,第7页Jl92页⾏阶梯形:1) 对换两个⽅程?⼀⑦ 2) ? X Ar (k H 0)② <3)(Bl)=〃4第8页⼋92页X] + 尤2 — 2X3 + 兀4 = 49兀兀4 = —3,0 = 0,① I -2 1o|? -1 1①②③④(B4)4、 0 ⼀30 0 00 0 0⼃第10页⼈92页X] +乂2 ⼀ 2⼼ + ⽃=4, 兀2 —兀3 + Xj = 0， X4 = —3, 0 = 0, X^ + *2 — 2⼯3 = 7, 兀2 - 6 = 3, 兀4 = —3 ()=(\-V,-兀3 = 4,￡⼀⽦3 = 3,(B5)“4 = —3, 0 = 0.0 0 0 0⼃第9页⼈92页⽅程组的求解对增⼴矩阵（Alb ）施⾏初施凑换，变成⾏注意：初等列变换不能求解⽅程组，因为列变换是对变元进⾏变换，并不是⽅程的同解变换。

第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组第三章主要介绍了矩阵的初等变换与线性方程组的关系，以及利用矩阵的初等变换来求解线性方程组的方法。

一、矩阵的初等变换1.矩阵的初等变换包括三种操作：互换两行、用一些非零标量乘以其中一行、将其中一行的若干倍加到另一行上。

2.初等变换的性质：初等变换保持矩阵的秩不变；有逆变换；多次初等变换的结果等于这些变换分别作用于单位矩阵的结果的乘积。

二、线性方程组的解1.线性方程组可用矩阵表示为AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知向量，B为常数列。

2.系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A，B)的秩，即r(A)=r(A，B)。

3.齐次线性方程组与非齐次线性方程组：-齐次线性方程组为AX=0，其中0为零向量。

它总有零解，即使有非零解也有无穷多个。

-非齐次线性方程组为AX=B，其中B不为零向量。

它只有唯一解或无解两种可能。

4.矩阵的秩和线性方程组解的关系：r(A)=n，即系数矩阵A的秩等于未知数的个数，则线性方程组只有唯一解；r(A)<n，则线性方程组有无穷多解或无解。

三、求解线性方程组的方法1.初等变换法：-将线性方程组的系数矩阵A和常数列B增广为(A，B)的增广矩阵。

-利用初等变换将增广矩阵化为行简化形式。

-根据化简后的增广矩阵，确定线性方程组的解。

2.矩阵的逆法：-若系数矩阵A可逆，则可将AX=B两边同时左乘A的逆矩阵A-1，得到X=A-1B。

-利用矩阵的逆可以直接求解线性方程组的解。

3.克拉默法则：-若系数矩阵A可逆，则线性方程组AX=B的解可以表示为Xi=，Ai，/，A，其中Ai是将系数矩阵A的第i列替换为常数列B后所得到的矩阵，A，是系数矩阵A的行列式。

-克拉默法则可以用来求解二元线性方程组和三元线性方程组的解。

综上所述，矩阵的初等变换与线性方程组有着密切的关系。

利用矩阵的初等变换可以简化线性方程组的求解过程，而线性方程组的解与系数矩阵的秩有关。

在求解线性方程组时，可以通过初等变换法、矩阵的逆法或克拉默法则来得到方程组的解。