(2)数列递推关系形如an＋1＝g(n)an，其中{g(n)}的
前n项的乘积容易化简．此数列求通项公式一般采
用累乘法．
(3)数列递推关系形如 an＋1＝c·n＋d(c、 为常数) a d 求通项公式常用构造新数列法． (4)数列的递推关系形如 an＋1＝par (p、r 为常数， n 且 p>0，an>0)，求 an 时一般采用递推关系式两 边取对数的方法．
(3)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，令bn＝ an＋1， 所以{bn}是以2为公比的等比数列．
所以bn＝b1· n－1＝(a1＋1)· n－1＝2n＋1， 2 2
所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N＋)．
(4)由已知，an>0，在递推关系式两边取对数，
有lgan＋1＝2lgan＋lg3.令bn＝lgan，则bn＋1＝2bn＋ lg3. 所以bn＋1＋lg3＝2(bn＋lg3)，所以{bn＋lg3}是等 比数列．
10 n 1)( ) (n∈N＋)，试问该数列{an}有没有最大项？ 11 若有， 求出最大项的项数； 若没有， 说明理由． 【思路点拨】 本题可用作差法或作商法比
an≥an＋1 较 an 与 an＋1 的大小，也可用 列出 an≥an－1
首项 其中数列的第1项a1也称____；an是数列的第n项，
也叫数列的____ ． 通项
2．数列的分类 分类原则 按项数分 类 类型 满足条件 有限 项数____ 无限 项数____
有穷数列
无穷数列 递增数列
按项与项 间的大小 关系分类
递减数列 常数数列
an＋ > a 1__< n an＋ 1__an an＋1＝ an
【失误点评】
在解决有关通项公式的问题时易
在以下环节出错： (1)项数搞错； (2)由归纳法求通项时，只满足前几项，而不能满 足所有的情况．
变式训练1
根据下面各数列前几项的值，写出
数列的一个通项公式．
(1)－1,7，－13,19，…； 2 4 6 8 10 (2) ， ， ， ， ，…； 3 15 35 63 99 1 9 25 (3) ，2， ，8， ，…； 2 2 2 (4)5,55,555,5555，…； (5)5,0，－5,0,5,0，－5,0，…； (6)1,3,7,15,31，….
【解】
(1)注意前四项中有两项的分子均为 4， 4 4 4 4 不妨把分子都统一为 4，即： ， ， ， ，…. 5 8 11 14 4 因而有 an＝ . 3n＋2 (2)注意到 6＝2× 3,10＝2× 5,15＝3× 5，规律还不明 1× 2× 3× 2 3 4 显， 再把各项同乘以 2 再除以 2， 即 ， ， ， 2 2 2
例3 已知下面各数列{a }的前n项和S 的公式， n n
【思路点拨】
S1 利用关系式 an＝ Sn－Sn－1
n＝1 求解． n≥2
【解】
(1)a1＝S1＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5. 由于a1也适合此式，因此an＝4n－5(n∈N＋)．
由Sn求an
由 Sn 求 an 时，要分 n＝1 和 n≥2 两种情况讨 论， 然后验证两种情况可否用统一解析式表示， 若不能，则用分段函数的形式表示为 an ＝
S1 (n＝1) . Sn－Sn－1 (n≥2)
求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2；(3)Sn＝3an－2.
3．(2011年宿州质检)若数列{an}的前n项和Sn＝n2 －1，则a4等于( A．7 ) B．8
C．9
答案：A
D．17
4．数列{an}的通项公式 an＝
，则 a2011 n＋ n＋1
1
＝________， 10－3 是此数列的第____项．
答案： 2012－ 2011
9
5．已知数列{an}满足a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝ an，n∈N＋，则a2011＝______；a2018＝______. 答案：0 1
2．周期性：若an＋k＝an对n∈N＋(k为常数)成立，则
{an}为周期数列．对于一些数列，若通项无法求出时，
可考虑其周期性．
3．有界性：若{an}满足：|an|≥M或|an|≤M，则称{an} 为有界数列，并能求出数列中的最大项或最小项．
例4
已 知 数 列 {an} 的 通 项 an ＝ (n ＋
作这个数列的通项公式．
思考感悟 数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都 有通项公式？
提示：不唯一，如数列－1,1，－1,1，…的通 项 公 式 可 以 为 an ＝ ( － 1)n 或 an ＝
－1，n为奇数 ，有的数列没有通项公式． 1，n为偶数
课前热身 1．(教材习题质检)已知数列{an}的通项公式为
§5.1 数列的概念与简单表示法
§ 5.1 数 列 的 概 念 与 简 单 表 示 法
双基研习·面对高考
考点探究·挑战高考
考向瞭望·把脉高考
双基研习•面对高考
基础梳理
1．数列的概念 按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每 项 一个数叫作这个数列的___．数列一般形式可以
写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为数列{an}，
个通项公式： 4 1 4 2 (1) ， ， ， ，…；(2)1,3,6,10,15，…； 5 2 11 7 1 1 5 13 (3) ， ，－ ， ，…；(4)7,77,777，…. 2 4 8 16
【思路点拨】 由所给数列前几项的特点，归 纳出其通项公式，注意项与项数的关系，项与 前、后项之间的关系，通项公式的形式并不唯 一．
解：(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示．其各 项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比 它前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n
－5)(n∈N＋)．
(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分
母可分解成1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项
都是两个相邻的奇数的乘积，经过组合，则所求数 列的通项公式为
所以bn＋lg3＝2n－1· 2lg3＝2nlg3.
所以bn＝2nlg3－lg3＝(2n－1)lg3＝lgan. 所以an＝32n－1.
【规律小结】
(1)数列递推关系形如 an＋1＝an＋
f(n)，其中{f(n)}的前有限项可求和．此种类型的
数列求通项公式时，常常是相邻两项作差，然后
对差式求和，这是求通项公式的一种重要方法．
n
【思路点拨】 (1)由 an＋1＝an＋2 得 an＋1－an＝ n 2 ，可采用累加求和的方法； n＋2 an＋1 n＋2 (2)由 an＋1＝ a 得 ＝ ，可采用累乘的 n n an n 方法； (3)可构造等比数列求解； (4)由条件可知 an>0， 可采用两边取对数的方法求 解．
n
【解】 (1)由 an＋1－an＝2 ，把 n＝1,2,3，…， n－1(n≥2)代入，得(n－1)个式子， 累加即可得(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) 2 3 n－1 ＝2＋2 ＋2 ＋…＋2 ， n－1 2(1－2 ) 所以 an－a1＝ ， 1－2 即 an－a1＝2n－2， 所以 an＝2n－2＋a1＝2n－1. 当 n＝1 时，a1＝1 也符合， 所以 an＝2n－1(n∈N＋)．
n(n＋1) 4× 5× 5 6 ， ，…，因而有 an＝ . 2 2 2
(3)其分母的规律是明显的，关键在于观察分子， 分子后三项绝对值递增，且比分母小 3.又注意到 第三项为负， 而第一项的分子也可以写成－(－1)， 2n－3 ∴an＝(－1)n n . 2 (4)把各项除以 7，得 1,11,111，…，再乘以 9，得 9,99,999，…. 7 n ∴an＝ (10 －1)． 9
其中n∈N＋
3.数列与函数的关系
从函数观点看，数列可以看作定义域为 N＋或它的有限子集 _________________的函数，当自变量从小到大 依次取值时，该函数对应的一列______就是这个 函数值
数列． 4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以 an＝f(n) 用一个式子表示成_______，那么这个式子就叫
【失误点评】
在解答过程中易忽视n＝1时，a1
＝S1，而直接利用an＝Sn－Sn－1求an的情况，导 致此种错误的原因是没有熟练掌握数列{an}的前n 项和Sn与通项an之间的关系或粗心大意．
数列的函数特性 1．数列的单调性：若an＋1>an，则{an}为递增数列， 若an＋1<an，则{an}为递减数列，否则为摆动数列或常 数列．
n
n＋2 an＋1 n＋2 (2)由递推关系 an＋1＝ an，1＝4， a 有 ＝ ， n an n an－1 a2 a3 4 a4 5 n 于是有 ＝3， ＝ ， ＝ ，…， ＝ ， a1 a2 2 a3 3 an－2 n－2 an n＋1 an n(n＋1) ＝ ， 将这(n－1)个式子累乘， ＝ 得 . a1 2 an－1 n－1 n(n＋1) 所以当 n≥2 时，an＝ a1＝2n(n＋1)． 2 当 n＝1 时，a1＝4 符合上式， 所以 an＝2n(n＋1)(n∈N＋)．
(2)a1＝S1＝1，当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(3 －2)－(3
1 ∴an＝ n－1 3 2·
n n－1
－2)＝2· 3
n－ 1
.
Байду номын сангаас
n＝1， n≥2.
(3)∵an＝Sn－Sn－1＝(3an－2)－(3an－1－2)， 3 ∴an＝ an－1(n≥2)． 2 又 a1＝S1＝3a1－2，∴a1＝1. 3 ∴{an}是以 1 为首项， 为公比的等比数列． 2 3 n－1 3 n－1 ∴an＝1· ) ＝( ) . ( 2 2
