4.1-正交函数集的概念PPT课件

第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
信号与系统_第 三章连续信号 的正交分解
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
学习内容及要求
内容：
信号的分量与分解、正交函数集的概念，信号 的傅立叶级数分解
周期信号的频谱分析 非周期信号的频谱分析，常用典型信号的傅立 叶变换，掌握傅立叶变换的技巧 傅立叶变换的性质，帕塞瓦尔定理与能量频谱
示任何的复杂信号;
找到---信号如何分解，如何将信号分解或表示为该函数集中单 元函数的组合(付里叶级数（三角付里叶级数，指数付里叶级 数）) –从信号分量组成情况讨论信号特性
周期信号频谱； 非周期信号频谱；
–信号时域特性与频域特性的关系
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
§3.1 引言
t 2
2 (t) min 1 2 1 t 1 2 2 f ( t ) dt 1 t1 t t 2 1
1 2
12

t2 t1
t2
t1
f1(t)f2(t)dt
t2 t1 2 2 1 2
[ f (t)dt ] f (t)dt
2 1
A n C 1V 1 C 2V 2 C rV r C nV n 并且： V V K V 2 m m m m V ,l m m 0 l V
为使近似误差矢量的模 或是模的平方最小，
Cr AV r V r V r AV r V r

t2
t1
f1(t) f2(t)dt
t2 t1

f2 (t)dt
2
§3.2 正交函数集与信号分解
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解

完备正交函数集。 称此函数集为完备正交函数集 称此函数集为完备正交函数集。 例如： 例如： 三角函数集 {1，cos(n t)，sin(n t)，n=1,2,…} ， ， ， 虚指数函数集{e 虚指数函数集 jn t，n=0，±1，±2，…} ， ， ， 是两组典型的在区间(t 典型的在区间 +T)(T=2π/Ω)上的 上的完备 是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备 正交函数集。 正交函数集。
•本章以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号， 本章以正弦信号 虚指数信号e 为基本信号， 本章以正弦信号和 任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号 任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号 不同频率 或虚指数信号之和。 或虚指数信号之和。 频域分析。 •分析系统的独立变量是频率，故称频域分析。 分析系统的独立变量是频率 故称频域分析 分析系统的独立变量是频率，
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发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理 年 法国数学家傅里叶 在研究热传导理 论时发表了“热的分析理论” 论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为 正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础 理论基础。 正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •Poisson、Guass等把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 、 等把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 •进入 世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体 进入20世纪以后 进入 世纪以后，谐振电路、滤波器、 问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的 前景。 前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法 的理论研究和工程实际应用中， 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中 具有很多的优点。 具有很多的优点。 快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力 “

4.1信号分解为正交函数
知识点Z4.1
第四章 傅里叶变换与频域分析
矢量的正交分解
主要内容：
1.矢量正交、正交矢量集的定义 2.矢量的正交分解
基本要求：
1.掌握矢量正交、正交矢量集和矢量正交分解的基本概念 2.了解矢量正交分解对信号正交分解的启示
1
4.1信号分解为正交函数
第四章 傅里叶变换与频域分析
V V2 V2 V2
c3
V
cos3
V3
V V3 V3 V3
4
4.1信号分解为正交函数
第四章 傅里叶变换与频域分析
推广到n维空间:n维空间的任一矢量V，可以精确地表 示为n个正交矢量的线性组合， 即
V c1V1 c2V2 crVr cnVn 式中，Vi·Vj=0 (i≠j)，第 r 个分量的系数
Z4.1 矢量的正交分解
1.矢量正交
( 思考：基本信号？ Why？)
V2
复习：两矢量V1与V2正交，夹角为90°
两正交矢量的内积为零
90°
o
V1
V1 V2 V1 V2 cos 90 0
2.正交矢量集: 由两两正交的矢量组成的矢量集合。
2
4.1信号分解为正交函数 3. 非正交矢量的近似表示及误差
第四章 傅里叶变换与频域分析
c12V2 V1 cos
c12
V1 cos
V2
V1 V2 cos
V2 V2ຫໍສະໝຸດ V1 V2 V2 V2用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，则误差矢量
VeV1 c12V2
显然，当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1·V2=0。
3
4.1信号分解为正交函数
cr

Wa(l0,t)
O
Wal(1,t)
O
1/ 2
Wa(l2,t)
1
t
1
t
O
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t
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信号与系统 电子课件
如果是复函数集，正交是指：
若复函数集 {i(t)}i (1,2,,n)在区间（t1,t2）满足
t1 t2i(t)j(t)d t 0 K ,i 0,当 当 ii jj
信号与系统 电子课件
连续时间信号与系统的频域分析
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本章安排
• 信号的正交分解和傅里叶级数 • 周期信号和非周期信号的频谱 • 傅里叶变换的性质 • 周期信号的傅里叶变换 • LTI系统的频域分析和取样定理 • 离散傅里叶变换及其性质
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j 1
如何选择C j才能得到最佳近似。
2 1
t2t1
t1 t2[f(t)jn 1Cj
j(t)]2dt
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多元函数就极值问题
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C j t2t1
t1 t2[f(t)jn 1C j j(t)]2d t0
Ci
t2 t1
f (t)i(t)dt
则称 1和在2区间(t1,t2)内正交。
若有n个函数 1 (t) ,2 (t)构,, 成n ( 一t) 个函数集，
这些函数在区间(t1,t2)内满足
t1 t2i(t)j(t)d t 0 K ,i 0,
当 ij 当 ij