《计算方法》实验报告
指导教师：
学院：
班级：
团队成员：
一、题目
例2.7应用Newton 迭代法求方程210x x --=在1x =附近的数值解
k x ，并使其满足8110k k x x ---<
原理：
在方程()0f x =解的隔离区间[],a b 上选取合适的迭代初值0x ，过曲线()y f x =的点()()
00x f x ，引切线
()()()1000:'l y f x f x x x =+-
其与x 轴相交于点：()()
0100 'f x x x f x =-，进一步,过曲线()y f x =的
点()()11x f x , 引切线
()()()2111: 'l y f x f x x x =+-
其与x 轴相交于点：()
()
1211 'f x x x f x =-
如此循环往复，可得一列逼近方程()0f x =精确解*
x 的点
01k x x x ,,,,,其一般表达式为：
()()
111 'k k k k f x x x f x ---=-
该公式所表述的求解方法称为Newton 迭代法或切线法。
程序：
function y=f(x)%定义原函数
y=x^3-x-1;
end
function y1=f1(x0)%求导函数在x0点的值
syms x;
t=diff(f(x),x);
y1=subs(t,x,x0);
end
function newton_iteration(x0,tol)%输入初始迭代点x0及精度tol x1=x0-f(x0)/f1(x0);k=1;%调用f函数和f1函数
while abs(x1-x0)>=tol
x0=x1;x1=x0-f(x0)/f1(x0);k=k+1;
end
fprintf('满足精度要求的数值为x(%d)=%1.16g\n',k,x1);
fprintf('迭代次数为k=%d\n',k);
end
结果：
二、题目
例3.7试利用Jacobi 迭代公式求解方程组
1234451111101112115181
11
1034x x x x ----⎛⎫⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 要求数值解()k X 满足()42
10k --≤X X ，其中T (1,2,3,4)=X 为方程
组的精确解。
原理：
将线性方程组的系数矩阵1112121
2221
2
n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
A 分解为=++A L D U ，其中1122=(,,,)nn diag a a a D ，
31
32,1
211
2
000000000=0n n n n a a a a a a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
L ，12
1312321,00=00
00000
0n n n n a a a a a a -⎛⎫ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
U 当对角阵D 可逆时，方程组=AX b 可等价地写成
()11 --=-++X D L U X D b ,
据此可得Jacobi 迭代公式为
(
)
()()111 0,1,
k k
k +--=-++=X D L U X D b, ，
其中()
()()()
(
)
T
12=,k k k n n
k x x x ∈X
R ,,，该迭代公式也可以写成如下的分
量形式
1(()11)
,,1,2,,1n
k k i ij j j j i ii i
x
b a i n a x ++=≠⎛⎫= ⎪⎭
=⎝-∑
程序：
function jacobi()
%输入矩阵A 、b 、精度tol%
A=[5 -1 -1 -1; -1 10 -1 -1; -1 -1 5 -1; -1 -1 -1 10]; b=[-4 12 8 34]'; tol=10^-4;
% A=input('系数矩阵A=');%输入矩阵A % b=input('矩阵b= ');%输入矩阵b
% tol=input('精度要求tol=');%输入精度tol X=inv(A)*b; [n,~]=size(A); D=diag(diag(A)); L=tril(A)-D; U=triu(A)-D; X0=zeros(n,1);
X1=inv(D)*b-inv(D)*(L+U)*X0; X0=X1; X2=X-X0; k=1;
while abs(norm(X2,2))>=tol
X1=inv(D)*b-inv(D)*(L+U)*X0; X0=X1; X3=X-X0; %收敛性判断%
if norm(X3,2)>norm(X2,2) break; else
X2=X3; k=k+1; end end
% 结果输出%
if X2~=X3
