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抛物线专习题总结复习讲义及练习(答案

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精心整理抛物线1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质(0>p )：2.抛物线的焦半径、焦点弦 ①)0(22≠=p px y的焦半径=PF 2P x +;)0(22≠=p py x的焦半径=PF 2P y +；②过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p. ③AB 为抛物线px y22=的焦点弦，则=B A x x 42p ，=B Ay y2p -，||AB =p x x B A ++考点1抛物线的定义题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换[例1]已知点P 在抛物线y 2=4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为【解题思路】将点P 到焦点的距离转化为点P 到准线的距离 [解析]过点P 作准线的垂线l 交准线于点R ，由抛物线的定义知，PR PQ PF PQ +=+，当P 点为抛物线与垂线l 的交点时，PR PQ +取得最小值，最小值为点Q 到准线的距离,因准线方程为x=-1,故最小值为3【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关【新题导练】 1.已知抛物线22(0)ypx p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列，则有（ ）A ．321x x x =+ B ．321y y y =+C ．2312x x x=+D.2312y y y=+［解析］C 由抛物线定义，2132()()(),222p p px x x +=+++即：2312x x x =+． 2.已知点),4,3(A F 是抛物线x y82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时,M 点坐标是() A.)0,0( B.)62,3( C.)4,2( D.)62,3(-[解析]设M 到准线的距离为MK ,则MK MA MF MA +=+|||，当MK MA +最小时，M 点坐标是)4,2(，选C考点2抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程[例2]求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2)(2)焦点在直线240x y --=上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论. [解析](1)设所求的抛物线的方程为22y px =-或22(0)x py p =>,∵过点(-3,2)∴229)3(24⋅=--=p p 或 ∴2934p p ==或∴抛物线方程为243yx =-或292x y =,前者的准线方程是1,3x =后者的准线方程为98y =-(2)令0x =得2y =-，令0y =得4x =，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,42p =,∴8p =，此时抛物线方程216y x =;焦点为(0,-2)时22p= ∴4p =，此时抛物线方程28x y =-.∴所求抛物线方程为216yx =或28x y =-,对应的准线方程分别是4,2x y =-=.【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面 【新题导练】3.若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合,则p 的值[解析]4132=⇒+=p p4.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与Y 轴的交点，A 为抛物线上一点,且3||,17||==AF AM ，求此抛物线的方程[解析]设点'A 是点A 在准线上的射影，则3|'|=AA ，由勾股定理知22|'|=MA ，点A 的横坐标为)23,22(p-，代入方程py x 22=得2=p 或4，抛物线的方程y x 42=或yx82=考点3抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证[例3]设A 、B 为抛物线px y 22=上的点,且90=∠AOB (O 为原点),则直线AB 必过的定点坐标为__________. 【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置 ［解析］设直线OA 方程为kx y =,由⎩⎨⎧==pxy kxy 22解出A 点坐标为)2,2(2kp k p⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y x k y 212解出B 点坐标为)2,2(2pk pk-，直线AB方程为221)2(2k pk x k pk y ---=+,令0=y 得p x 2=，直线AB 必过的定点)0,2(p【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB,求交点即可；（2）B 点坐标可由A 点坐标用k1-换k 而得。

【新题导练】6.若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a =[解析]-17.过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A ()A.45B.60C.90D.120[解析]C 基础巩固训练 1.过抛物线x y42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于)(422R a a a∈++，则这样的直线（）A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.1条或2条D.不存在 [解析]C 44)1(52||22≥++=++=++=a a a p x xAB B A，而通径的长为4．2.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线24xy =上的点P 到该抛物线焦点的距离为5，则点P 的纵坐标为 （ ）A.3B.4C.5D.6[解析]B 利用抛物线的定义，点P 到准线1-=y 的距离为5，故点P 的纵坐标为4．3.两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且,b a >则抛物线2()yb a x =-的焦点坐标为()A ．1(0,)4-B ．1(0,)4C ．1(,0)2-D ．1(,0)4-[解析]D.1,4,5-=-==a b b a4.如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21*∈N n x x x n成等差数列且45921=+++x xx ，则||5F P =（）．A ．5B ．6C ．7D ．9[解析]B 根据抛物线的定义，可知12ii i pPFx x =+=+（1i =，2，……，n ），)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ,55=x ,||5F P =65、抛物线,42F x y的焦点为=准线为l ，l 与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AB ⊥l ，垂足为B ，则四边形ABEF 的面积等于（） A ．33 B ．34 C ．36 D ．38[解析]C.过A 作x 轴的垂线交x 轴于点H ，设),(n m A ，则1,1-=-=+==m OF OH FH m AB AF ，32,3)1(21==∴-=+∴n m m m四边形ABEF 的面积==⨯++32)]13(2[21366、设O 是坐标原点，F 是抛物线24yx =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为． [解析]21.过A 作AD x ⊥轴于D ，令FD m =，则m FA 2=即m m 22=+，解得2=m ． 综合提高训练7.在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短，求该点的坐标[解析]解法1：设抛物线上的点)4,(2x x P ，点P 到直线的距离17|544|2+-=x x d 1717417|4)21(4|2≥+-=x ，当且仅当21=x 时取等号，故所求的点为），（121解法2：当平行于直线45y x =-且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为b x y +=4，代入抛物线方程得0442=--b x x ，由01616=+=∆b 得21,1=-=x b ，故所求的点为），（121 8.已知抛物线2:ax y C =（a 为非零常数）的焦点为F ，点P 为抛物线c上一个动点，过点P 且与抛物线c 相切的直线记为l ．（1）求F 的坐标；（2）当点P 在何处时，点F 到直线l 的距离最小？ 解：（1）抛物线方程为y ax12=故焦点F 的坐标为)41,0(a（2）设20000),(ax y y xP =则直线l 的方程是)(2 002x x ax axy -=-9.设抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点．点C 在抛物线的准线上，且BC ∥X 轴．证明直线AC 经过原点O ． 证明:因为抛物线22y px =（0p >）的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为 2px my =+，代人抛物线方程得 2220y pmy p --=．若记()11,A x y ，()22,B x y ，则21,y y 是该方程的两个根，所以212y y p =-．因为BC ∥X 轴，且点C 在准线2p x =-上，所以点C 的坐标为2,2p y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故直线CO 的斜率为21112.2y y p k p y x ===- 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ．10.椭圆12222=+by a x 上有一点M （-4，59）在抛物线px y22=（p>0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点. （1）求椭圆方程；（2）若点N 在抛物线上，过N 作准线l的垂线，垂足为Q 距离，求|MN|+|NQ|的最小值.解：（1）∵12222=+b y a x 上的点M 在抛物线px y 22=（p>0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.∴c=-4，p=8……① ∵M （-4，59）在椭圆上∴125811622=+ba ……② ∵222c b a+=……③∴由①②③解得：a=5、b=3∴椭圆为192522=+y x由p=8得抛物线为x y162=设椭圆焦点为F （4，0）， 由椭圆定义得|NQ|=|NF| ∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF| =541)059()44(22=-+--，即为所求的最小值.。

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(word版)高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案,文档

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抛物线y22px y22px x22py x22py(p0)(p0)(p0)(p0)y y yy l l lF OxOF x F O xO x Fl定义范围对称性焦点顶点离心率准线方程顶点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径A(x1,y1)焦点弦长AB平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

{MMF=点M 到直线l 的距离}x0,y R x0,y R xR,y 0 xR,y 0关于x 轴对称关于y 轴对称(p,0) ( p,0)(0,p)(0, p )2222焦点在对称轴上 O(0,0) e=1pxpppxy2 y222准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。

p 2 ppAFppAFpAFx 1x 1AFy 1y 12222(x 1 x 2) p (y 1 y 2) p (y 1 y 2) p (x1 x2) p焦点弦AB的几条性质A(x1,y1)假设AB的倾斜角为B(x2,y2)切线y0yp(xx0)方程yAx1,y1o Fxx2,y2以AB为直径的圆必与准线l相切，那么AB2p假设AB的倾斜角为，那么2p sin2ABcos2 x1x2p224y1y2p11AFBF AB2AF BF AF?BF AF?BF py0y p(xx0)x0xp(yy0)x0x p(yy0)一．直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y 得：〔1〕当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；〔2〕当k≠0时，＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；=0，直线l与抛物线相切，一个切点；＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。

〔3〕假设直线与抛物线只有一个公共点 ,那么直线与抛物线必相切吗?〔不一定〕二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l：y kxb抛物线，(p0)①联立方程法：y kx bk2x22(kbp)xb20y22px设交点坐标为(,y1),B(x2,y2)，那么有0,以及x1x2,x1x2，还可进一步求出Ax1y1y2kx1bkx2bk(x1x2)2b，y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方相交弦AB的弦长AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x21k2a或AB11y211(y1y2)24y1y21k2k2y1k2ab.中点M(x0,y0),x0x1x2，y0y1y222②点差法：设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得y122px1y222px2将两式相减，可得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)y1y22px1x2y1y2a. 在涉及斜率问题时，k AB2py1y2在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，y1y22p2p p，x1x2y1y22y0y0即k AB p，y0同理，对于抛物线x22py(p0)，假设直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(x0,y0)是弦AB的中点，那么有k ABx1x22x0x02p2p p〔注意能用这个公式的条件：1〕直线与抛物线有两个不同的交点，2〕直线的斜率存在，且不等于零〕抛物线练习及答案1、点P在抛物线y2=4x上，那么点 P到点Q〔2，－1〕的距离与点 P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为。

抛物线专题复习讲义及练习答案

抛物线专题复习讲义及练习答案

抛物线1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质(P.O):2.抛物线的焦半径、焦点弦①y2= 2px(p 式0)的焦半径pF = x+p；x2=2py(pH0)的焦半径| p” = y+_| ；②过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径•其长度为2p.2③AB 为抛物线y2 =2px 的焦点弦，贝卩x A x B = —，y A y B二- p2，| AB | = x A x B p4 ---- ----------------- 考点1抛物线的定义题型利用定义，实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换［例1 ］已知点P在抛物线y2二4x上，那么点P到点Q(2，—1)的距离与点p 到抛物线焦点距离之和的最小值为 ___________________【解题思路】将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离［解析］过点P作准线的垂线I交准线于点R,由抛物线的定义知，PQ P^PQ PR，当P点为抛物线与垂线|的交点时，PQ - PR取得最小值，最小值为点Q到准线的距离，因准线方程为x=-1,故最小值为3【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说，用定义问题都与焦半径问题相关【新题导练】1.已知抛物线y2=2px(pA0)的焦点为F，点R(X1, yj, F2(X2，y2)，卩3化，y a)在抛物线上，且|RF|、|F2F|、丨新|成等差数列，则有( )A.人X2 n B • % 丫2 二y aC.咅X3 二2X2D. y1 y a 二2y2［解析］C 由抛物线定义，2(x2-p^(X1 -p) (x3-p),即：X「X3=2X2 .2.已知点A(3,4), F是抛物线y2 = 8x的焦点,M是抛物线上的动点，当| MA十| MF|最小时,A. (0, 0)B. (3, 2、. 6)C. (2, 4)D. (3, -2 6)［解析］设M到准线的距离为MK ,则|MA|+MF MA+|MK ,当MA + MK最小时，M点坐标是(2, 4)，选C考点2抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程［例2 ］求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2) 焦点在直线x—2y—4=0上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意幵口方向的讨论［解析］(1)设所求的抛物线的方程为y2 = -2px或x2=2py(p 0),•••过点(-3,2) ••• 4 二―2p(-3)或9 = 2p 2. 2十9…p =—或p =-3 4•••抛物线方程为y2 - - 4x或x2 =9y,3 2前者的准线方程是^-,后者的准线方程为y - -93 8(2) 令x=0 得y=-2，令y = 0 得x = 4，•抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时，卫=4,2 •p =8，此时抛物线方程y2=16x；焦点为(0,-2)时£=2•P = 4，此时抛物线方程x2 - -8y .•所求抛物线方程为y2=16x或x2 - -8y ,对应的准线方程分别是x - -4, y = 2 .【名师指弓I】对幵口方向要特别小心，考虑问题要全面【新题导练】1 -k 223. 若抛物线y 2 = 2px 的焦点与双曲线 —-y 2 . 1的右焦点重合，则p 的值 __________3［解析冷=3 1二.p = 44. 若抛物线的顶点在原点，幵口向上， F 为焦点，M 为准线与Y 轴的交点，A 为 抛物线上一点，且| AM |= AF |=3，求此抛物线的方程［解析］设点A'是点A 在准线上的射影，则|AA'| = 3，由勾股定理知|MA'|=2、、2， 点A 的横坐标为（2...2,3-号），代入方程x 2 = 2py 得p=2或4,抛物线的方程x 2 = 4 y 或 xl8y考点3抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证 ［例3 ］设A B 为抛物线y 2=2px 上的点，且.AOB =90 （O 为原点），贝y 直线AB必过的定点坐标为 ___________【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置［解析］设直线OA 方程为y=kx ,由｛；；=二解出A点坐标为（备护=—1 - 2 y k x解出B 点坐标为(2pk 2,-2pk)，直线AB 方程为y+2pk= k(x-2pk ) 2 cy =2px令y=0得x =2p ，直线AB 必过的定点（2p, 0）【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线 AB,求交点即可；（2） B 点 坐标可由A 点坐标用-丄换k 而得。

抛物线与几何图形的综合题型专题复习讲义(含答案)

抛物线与几何图形的综合题型专题复习讲义(含答案)

抛物线与几何图形的综合题型专题复习讲义(含答案)本文是一份关于抛物线与几何图形综合题型的复讲义，旨在帮助读者突破面积及点的存在性问题。

以下将对三种类型的题目进行讲解。

类型一：二次函数与三角形的综合题目1：已知抛物线$y=x^2+bx+c$经过点$(1,-4)$和$(-2,5)$，求解析式并判断是否存在点$D$，使得$\triangleABC$与$\triangle ABD$全等。

解析：根据已知条件，可列出方程组：begin{cases}b+c=-3\\4+b+c=1+4b+c\\4+4b+c=5\end{cases}$$解得$b=-2,c=-1$，因此抛物线的解析式为$y=x^2-2x-1$。

又因为抛物线的对称轴为$x=-\frac{b}{2}=1$，所以$x$轴交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，$y$轴交点为$(0,-1)$。

由于$\triangleABC$与$\triangle ABD$全等，所以$BD=AC$，即$x$轴上的交点到对称轴的距离相等，因此存在点$D$，坐标为$(4,-7)$。

类型二：二次函数与平行四边形的综合题目3：已知抛物线$y=ax^2+2ax+c(a>0)$与$y$轴交于点$C$，与$x$轴交于$A,B$两点，$A$点在$B$点左侧。

若点$E$在$x$轴上，点$P$在抛物线上，且以$A,C,E,P$为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点$P$有（）。

解析：根据已知条件，可列出方程组：begin{cases}c=a\\a+2a+c=0\\ae=2a+2ae+c\\ap=ae+2a+2c\end {cases}$$解得$a=-1,c=-1$，因此抛物线的解析式为$y=-x^2-2x-1$。

又因为$A,B$的坐标分别为$(-1,0)$和$(0,-1)$，所以$E$的坐标为$(1,0)$，$C$的坐标为$(0,-1)$。

将$P$的坐标设为$(x,-x^2-2x-1)$，代入四边形是平行四边形的条件可得：x^2+2x+1=0$$解得$x=-1$，因此符合条件的点$P$只有一个，坐标为$(-1,1)$。

抛物线课件及练习题含详解

抛物线课件及练习题含详解

2
为 y k(x p).
2
又因为A,B两点是直线AB与抛物线的交点，则
y k(x y2 2px
p ), 2
x2
(
2p k2
p)x
p2 4
0,
所以x1·x2=p2 .
4
由|AF|·|BF|=
x1
x2
p 2
x1
x
2
p2 4
1. 3
得 p2 p (4 p) 1 ,
2 23
3
即 2p 所1 ,以 p 1 ,
2p y21p2y1y1y1 y2
x
x1
,
= 2p x y1y2 2p (x y1y2 ),
y1 y2 y1 y2 y1 y2
2p
将y1·y2=-4p2代入上式得y 2p x 2p,
y1 y2
故直线AB恒过定点(2p,0).
【方法技巧】利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点：解决焦点弦问题.
|AF|=1，|BF|= 1，求抛物线及直线AB的方程.
3
【解题指南】设出A，B两点的坐标，根据抛物线定义可分别表
示出|AF|和|BF|，进而可求得|AF|+|BF|，求得x1+x2的表达
式，表示出|AF|·|BF|，建立等式求得p，则抛物线方程可得.
再由|AB|=
2p sin 2
得4， sin2θ=
(2)y2=2px(p＞0)的焦点为( p，0)，由题意得
2
( p 2)2 解9 得 5p，=4或p=-12(舍去).
2