全国高中数学联赛模拟题(3)(4)
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全国高中数学联赛模拟题（3）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1. 已知数列{}n a 满足.)2
1)(72(8n
n n a -+=若{}n a 中存在最大项与最小项，分别设为
q p 、，则=+q p .
2. 在四面体ABCD 中，已知.4
1
,3,AD AG FC AF EB AE =
==则四面体ABCD 被截面EFG 分得的两个多面体的体积之比为 .
3. 已知抛物线)0(2:2>=p px y C 和点).0)(0,('),0,(>-t a A a A 过点'A 的直线与抛物线交于点.Q P 、则直线AQ AP 、的斜率之和=+AQ AP k k .
4. 已知点P 在曲线x
e y 2=上，点Q 在曲线2
ln
x
y =上。
则PQ 的最小值是 . 5. 已知定义在
R
上的函数
)(x f ,对任意的,R x ∈均有
,0)()1(,0)()(=++=+-x f x f x f x f 且当)1,0(∈x 时，.)(x x f =则当]2
5
,3[--∈x 时，)(x f 的取值范围是 .
6. 对任意的整数)2(≥n n ,用n A 表示方程][]3[]2[n
x
x x x +++= 的解集，其中，][x 表示
不超过实数x 的最大整数。
则=32A A . 7. 在锐角ABC ∆中，已知
.4
2
tan ,0cos sin sin ==+A C B A 则=B tan . 8. 设d a 、是非负数，c b 、是正数，且.d a c b +≥+则b
a c
d c b +++的最小值是 .
二、解答题（共56分） 9. 设.21
11,1=++>z
y x z y x 、、证明：.1)1)(1)(1(8≤---z y x
10.设.20≤<λ求函数)0(11)(>+++=x x x
x x f λ
λ的值域。
11. 设二次曲线)0(1:22
22>=+b a b
y a x C 、与x 轴的交点为B A 、，经过x 轴上异于B
A 、和原点O 的点P 的直线与曲线C 交于两点M N M （、在N 的右侧），直线BN AM 、交于点.Q 证明：⋅为定值。
加 试
一、已知BE AD 、分别为锐角ABC ∆的边CA BC 、上的高，以AD 为直径的圆分别与AC AB 、交于点.H G 、联结GH GD 、分别与BE 交于点J I 、，延长DJ 与AB 交于点.L 证明：.BC LI ⊥
二、已知数列{}n a 满足),,2,1](2[ ==n n a n 其中，[]x 表示不超过实数x 的最大整数。
证明：存在{}n a 的无穷子序列{}n a ',使得对一切n 均有).4(mod 1'≡n a
三、设{}n a 是各项为正的数列，).1(21≥-=+n a a a n
n n 记∑==
n
i i n a S 1
.证明:.3
2
ln
1++≤n S
n
四、记)(X S 为数集X 的元素和。
试问：当)(4+∈=N k k n 时，是否存在集合
{}n M 5,2,1 =的分拆：n n B B B A A A ,,,,,,,2121 ,使得
（1）);,,2,1(2,3n i B A i i ===
（2）对一切的),,2,1(n i i =都有).()(i i B S A S =
全国高中数学联赛模拟题（4）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1. 设集合{}A M ,100,,2,1 =是M 的子集，且A 中至少含有一个立方数。
则满足要求的子集A 的个数是 .
2. 已知复数b a 、满足.2))((=+-i b i a 若,2
2
=
a 则=-i
b 3 . 3. 已知点P 在曲线x e y =上，点Q 在曲线x y ln =上。
则PQ 的最小值是 .
4. 已知C B A ∠∠∠、、为ABC ∆三内角，向量.2,2
sin 3,2cos =+-=
αα）（B
A B A 如果当C ∠最大时，存在动点,M
使得
成等差数列，则最大值
是 .
5. 甲和乙轮流掷一枚均匀硬币，谁先掷出正面谁获胜，此时本场结束，而且负方在下一场先掷。
设甲乙一共玩了10场，且甲第一场先掷，记甲赢得第k 场的概率为.k P 若
,81)12(319<-<k P 则k 的值为 .
6. 设a 是实数，且方程013)51(32
4
2
3
4
=++--++a a x a a ax x 有实根且不同的实根至多有两个。
则a 的值为 .
7. 设集合{}{}321,,,15,,2,1a a a A S == 是S 的子集，且),,(321a a a 满足
.6,15123321≤-≤<<≤a a a a a 则满足条件的子集的个数为 .
8. 设{}n a 是单调递增的正整数列，且对于四元数组),1)(,,,(n l k j i l k j i ≤<≤<≤若
,k j l i +=+必有,k j l i a a a a +>+则81a 的最小值为 .
二、解答题（共56分） 9. 给定
正
整
数
n
,令
.1
1
3121,,12112121n n n n n T n T T U S S S T n S ++++=+++=+++=
求.201320112012U S -
10. 已知P 为正三棱锥BCD A -的边界上一点，DBC ADC ABD ABC ∆∆∆∆、、、的重
心分别为.H G F E 、、、若底面BCD 的边长为1，侧棱,11===AD AC AB
PG PF +++的最大值。
11. 在椭圆842
2
=+y x 中，AB 是长为2
5
的动弦，O 为坐标原点。
求AOB ∆面积S 的最大值。
加 试
一、在梯形ABCD 中，,//CD AB 圆1ϖ和2ϖ均在梯形内，圆1ϖ与梯形的边CB DC AD 、、均相切，圆2ϖ与梯形的边CB AB AD 、、均相切，过点B 作圆1ϖ的切线11(l l 不同于),BC 过点D 作圆2ϖ的切线22(l l 不同于).DA 证明：.//21l l
二、m 为正整数，!m 所含因子2的个数记为).(m f 证明：存在正整数,20122012
>m 使
).(32012m f m +=
三、已知,0,021>>a a 且,212n n n a a a +=++定义：.1,,1,max 11⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=++n n n
n n a a a a M
证明：.4
1
433+≤+n n M M
四、已知,1,>∈+n N n 且n a a a ,,,21 是任意给定的一组实数。
证明：存在实数n b b b ,,,21 满足：
（1）对每个{}i i b a n i -∈,,,2,1 正整数；
（2）.121
)(212
-≤-∑≤<≤n b b n
j i j i。
