全国高中数学联赛模拟试题(七)
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全国高中数学联赛模拟试题（七）一。
选择题1、在等比数列 {}n a中，记 12,n n s a a a =+++ 已知546523,23a s a s =+=+则此数列的公比为A 2B 3C 4D 52、设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =，恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为A 0B 9C 12D 183、已知点A 为双曲线221x y -=的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，A B C 是等边三角形，则A B C 的面积是A．3 B。
2 C。
D4．设 12,x x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则219951112221()()x x x s x x x =++++ 的值为A 0B -998C 998D 15．正方体棱长为a ，与正方体一条对角线垂直的最大截面面积为A．22B。
22244C D6．函数y =.,,,.,,,22.,,..,,242224A k k k z B k k k z k k k k C k z D k zπππππππππππππ⎡⎤⎡⎤++∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦二．填空题 7．已知lg 10,1010.yx x y +=+=则x y +=8．函数()f x 对任意正实数,x y 。
都满足：1()()()(2)1,()64f xy f x f y f f =+=且则的值是9．cos cos ABC AB A B 中，边为最长边，sinAsinB=的最大值为410．已知(0,1)a ∈的常数，1,(,)x y f x y ax y +≤=+函数的最大值为11．已知,,,3421)379(),a b c d N ab ad cd bcd b d ∈++++=++且满足（abcd 32101010M a b c d =⋅+⋅+⋅+设 则M 的值为12．已知99个数12,,a a a 每个都只能取1或-1，则12131992a a a a a a a a a a ++++++ 的最小值是三．解答题13．已知{}2()(0),(0)n n f x x a a =≥>又数列中，12a =，这数列的前n 项和()n s n N ∈ 对所有大于1的正整数n 都有1()n n s f s -= （1）求数列{}n a 的通项公式。
（2）若2211()2n n n n na ab n N a a ++++=∈，求证：12()1lim n n bb b n →∞++-=14．已知函数211()()(1),1()(1x f x x fx m m x --=>->-+如果不等式（对区间11,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的每一个 x 值恒成立，求实数m 的范围。
15．如果抛物线 22x px = 的切线交等轴双曲线 1xy = 于 12,P P 两点，求 12P P 中点的轨迹全国高中数学联赛模拟试题（七）答案选择题1、 B. 6655456552()2,3,3q a a s s a a a q q -=-==∴==公比2、 D.f x x =⨯关于对称,每一对根之和为6,6个实根和为63=18, 3、 C.,,33,(2,B x AB x C ABC =+AB 设点在轴上方由已知得K 直线方程为y=3代入双曲线方程,得B(2,同理故的面积为4、 D. ()1212,,,i i x x x rex reθθ-==由已知与共轭设24231133222,,,133ii i x x reR ee s x x ππθππθ=∈===则得或所以或代入s 中得 5、B. 当A 、B 、C 、D 、E 、F 均为所在棱的中点时，正六边形ABCDEF ，所在面与正方体对角线垂直、且面积最大，正方形边长为22,6).2424a a ⨯=故面积为6、A.20,:1sin 1sin 22co s y y y x x x>=-+++=+2因易证与具有相同的单调区间,y[]2|c o s |,,.x y πθπ而的周期为故只需研究在的单调性[]22,,,,2y y πθππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在内的单调增区间为从而的单调增区间为,(),,()22k k k z y k k k z ππππππππ⎡⎤⎡⎤++∈++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故的单调增区间为一、填空题7、10 .()10,(),10,t f t t f t =+=y令则是严格递增函数故存在唯一的实数y,使得y+101010l g 10,0,(10)1010,xxx x x x --=-=-+=又故1即所以10-x=y,即x+y=108、—6 .(11)(1)(1),(1)0,(4)(2)(2)2,(8)(2)(4)3f f f f f f f f f f ⨯=+==+==+=由得111(64)(8)(8)6,0(1)(64)(64)(),()6646464f f f f f f f f =+===⨯=+=-所以9、42,,sin sin 4ABC AB A B -=中为最长边则cosAcosB 的最大值为4,,,AB A B ∠∠≤由是最长边知均为锐角,cosAcosB+sinAsinB=cos(A-B)1cos cos 1sin sin ,sin sin 44A B A B A B A B ≤-=∠=∠==当即等号成立10、1.(,)(1)(1)1,0,0,f x y ax y ax y a x x a x x y =+≤+≤+-=-+≥≥前一个等号成立应有m ax m ax 01,01,()(1)1,0,()10()11x a g x a x x g x x g x y ≤≤<<=-+===⎧=⎨=⎩当时为减函数时故时,11、19491,.11a b c a=+++1由已知得1+连分数表示法唯一19+14+912、11222221299121199()2()992n i j n i j a a a a a a a a a a ∈<≤+++=++++⇒++=+∑∑,551,441,-∑使99+2为完全平方数的最小正整数为121即当取个个 199551,4411111.a a-++=∴∑ 或个个可使的最小值为 13、21(1),0,n S S =>==n 因为S 所以且211,2(2),42,2n n n n n S n n a S S n a -==≥=-=-=故即即42(1)n a n n =-≥所以211()211(1)111,2(21)(21)2121n n n na a a a n n n n ++-=+=+=-++--+n 由可知b1212111,1,2121n n b b b n b b b n n n +++=-++++-=-++ 所以12lim ()1n n b b b n →∞+++-= 因此14、21222(1)12()()()()(1)1(1)11x x f x fx f x x x x x ---=⇒===->+++由因且()()(01)f x x x =<<-1故的值域为(0,1),故f2(1((110m m m m-⋅>-++->由题设故1,10,14x x m m ≤≤+≠≠-1对一切满足的恒成立显然即16211()(1)1(),(),42t t m t m t t ϕϕ==++-≤≤令则故是一个一次函数211()(1)(1)0,,,42t m t m ϕ⎡⎤=++->⎢⎥⎣⎦且对比恒成立由一次函数的单调性15(1)1,()01,(2))0.44m m m ϕϕϕ>->⇒-<<>⇒∈1当时只要当m<-1时,只要(25,1.4m m -<<综上的范围为15、2111200122(,),(,).p p xpy x y p p p x y =设与抛物线的切点为M 的中点为2120012002(,)0(1)p p x py M x y p p x x py py =--= 因是抛物线切于的切线,则方程为 1111111212(,),20(2)p p p x y p p y x x y x y +-= 同理是双曲线xy=1以为中点的弦易求方程为111100(1)(2),::()(2):(),y x x p x y p y =-=--与是同一条直线所以有1021000010(3),(,),2,2py x M x y x py xy y ⎧-=⎪=⎨⎪=-⎩ 从而但点在抛物线上所以有12112111(3)()2(2),().4p y p y x p y x-=-=-将代入得即 21(,)(1)4x y p x p y xy =-≥以代换动点的坐标有所求方程为[相关优质课视频请访问：教学视频网 /] [文章来源：教师之家 / 转载请保留出处]。
