下载文档原格式
专题27.1 图形的相似（8个考点）【考点1 比例性质】【考点2 比例线段】【考点3 成比例线段】【考点4 相似图形】【考点5相似多边形的性质】【考点6 黄金分割比】【考点7 由平行线判断成比例的线段】【考点8 由平行截线求相关相关线段的长或比值】【考点1 比例性质】1．如果ad=bc（a，b，c，d均不为零），那么下列比例式正确的是（）A．bc =adB．ba=cdC．ab=cdD．cb=ad2．若mn =38，则m+nn的值是（）A．118B．311C．113D．811【答案】A3．若xy =32，且x ≠0，则x+yy 的值为（ ）A ．23B ．32C ．53D ．524．若ab = 23，则下列式子不正确的是（ ）A ．ba = 32B ．a+bb= 53C ．a 2 = b3D ．a a−b = 23【答案】D【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质判断即可．【详解】解：A ，B ，C 选项分别对应比例的反比性质、合比性质、更比性质，只有D 选项不正确．故选D ．5．若ab =23，则aa+b =．6．已知线段a、b、c满足a:b:c=3:2:6，且a+2b+c=26．(1)求a、b、c的值；(2)若线段a，b，c，d是成比例线段，求d的值．【答案】(1)6，4，12(2)8【分析】本题主要考查了比例线段，解一元一次方程，（1）利用a:b:c=3:2:6，可设a=3k，b=2k，c=6k，代入a+2b+c=26求出k的值，即可求出a、b、c的值；（2）根据题意得bc=ad，代入求得d即可．【详解】（1）解：∵a:b:c=3:2:6，∴设a=3k，b=2k，c=6k，又∵a+2b+c=26，∴3k+2×2k+6k=26，即3k+4k+6k=26，合并同类项，得：13k=26，系数化为1，得：k=2，∴a=3k=3×2=6，b=2k=2×2=4，c=6k=6×2=12；（2）解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，∴bc=ad，∴4×12=6×d，即d=8，【考点2 比例线段】7．一种精密零件长2毫米，把它画在图纸上，图上零件长10厘米，这张图纸的比例尺是（）A ．1:500B ．500:1C ．1:50D ．50:1【答案】D【分析】本题考查比例尺，关键是掌握比例尺的定义．比例尺=图上距离与实际距离的比，由此即可计算．【详解】解：∵10厘米=100毫米，∴100：2=50：1，∴这张图纸的比例尺是50：1．故选：D ．8．若线段a =1m ，b =50cm ，则ba =（ ）A ．2B ．12cmC ．12D ．509．若在比例尺为1:10000的地图上，测得两地的距离为3.5厘米，则这两地的实际距离是 千米．【答案】0.35【分析】本题考查了比例尺的应用，设两地间的实际距离是x cm ，根据题意可得方程1:10000=3.5:x ，解方程即可求得x 的值，然后换算单位即可求得答案．【详解】解：设两地间的实际距离是x cm ，∵比例尺为1:10000，量得两地间的距离为3.5cm ，∴1:10000=3.5:x ，解得：x =35000，经检验，x =35000是原方程的解，∵35000cm=0.35km，∴两地间的实际距离是0.35千米，故答案为：0.35．10．已知线段a=9厘米，c=16厘米，则它们的比例中项b为.【答案】12厘米/12cm【分析】根据比例中项的性质：比例中项平方等于两外项的积直接求解即可得到答案；【详解】解：∵线段a=9厘米，c=16厘米，它们的比例中项为b，∴b2=9×16，解得：b=12（厘米），b=−12（厘米）（不符合题意舍去），故答案为：12厘米；11．如果线段a=4cm，b=5mm，那么a的值为．b【考点3 成比例线段】12．下列各组线段的长度成比例的是（ ）A．0.3m，0.6m，0.5m，0.9mB．30cm，20cm，90cm，60cmC．1cm，2cm，3cm，4cmD．2cm，3cm，4cm，5cm【答案】B【分析】本题主要考查相似图形，根据四条线段成比例的定义逐项判断即可．【详解】A、0.3×0.9≠0.6×0.5，各组线段的长度不成比例，该选项不符合题意；B、20×90=30×60，各组线段的长度成比例，该选项符合题意；C、1×4≠2×3，各组线段的长度不成比例，该选项不符合题意；D、2×5≠3×4，各组线段的长度不成比例，该选项不符合题意．故选：B13．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）A．a=1，b=2，c=3，d=4B．a=2，b=3，c=4，d=5C．a=2，b=3，c=4，d=6D．a=2，b=4，c=6，d=8【答案】C【分析】此题考查了成比例线段，若ad=bc，则a，b，c，d成比例，据此进行计算判断即可．【详解】解：A、1×4≠2×3，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；B、2×5≠3×4，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；C、2×6=3×4，故此选项中四条线段成比例，符合题意；D、2×8≠4×6，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意，故选：C．14．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（）A．1、2、3、4；B．1、2、4、8；C．2、3、4、5；D．5、10、15、20．【答案】B【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【详解】解：A、4×1≠2×3，故本选项不符合题意；B、1×8=2×4，故本选项符合题意；C、2×5≠3×4，故本选项不符合题意；D、5×20≠10×15，故本选项不符合题意；故选：B．15．已知线段a，b，c，d成比例，且a=3b，c=12cm，则线段d的长为（）A．4cm B．6cm C．9cm D．36cm16．已知四个数a，b，c，d成比例，且a=3，b=2，c=4，那么d的值为（）A．2B．3C．43D．8317．已知四个数−3，9，2，d成比例，则d等于（ ）A．3B．6C．−3D．−6【答案】D【分析】本题主要考查了比例．熟练掌握比例的定义，比例的基本性质，是解决问题的关键．比例的定义：在四个数中，如果两个数的比等于另外两个数的比，就叫做这四个数成比例；比例的基本性质：两内项之比等于两外项之比．根据比例的定义，写出比例式，运用比例的基本性质解答．【详解】∵四个数−3，9，2，d成比例∴−3:9=2:d，∴−3d=18，解得，d=−6．故选：D．【考点4 相似图形】18．下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查了图形相似的概念：形状相同，大小不同的两个图形；根据图形相似的概念即可作出判断．【详解】解：由图形相似的概念知，选项D中的两个图形不相似；故选：D．19．下列结论中正确的是（）A．两个正方形一定相似B．两个菱形一定相似C．两个等腰三角形一定相似D．两个矩形一定相似【答案】A【分析】本题考查了相似形的判定，根据相似图形的定义逐项判断即可求解，掌握正方形、菱形、等腰三角形和矩形的性质是解题的关键．【详解】解：A、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故A正确；B、两个菱形的边成比例，但角不一定相等，所以不一定相似，故B错误；C、两个等腰三角形的腰的比与底边的比不一定相等，角不一定相等，所以不一定相似，故C错误；D、两个矩形的角都是直角一定相等，但边不一定成比例，所以不一定相似，故D错误；故选：A．20．下列各组图形中，不一定相似的是（）A．两个菱形B．两个有30°角的直角三角形C．两个正六边形D．两个正方形【答案】A【分析】题主要考查相似形．根据相似形的定义对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】解：A. 两个菱形得各边成比例，但角不一定相等，不一定相似，符合题意；B. 根据有两个角分别相等的两个三角形是相似三角形可知两个有30°角的直角三角形是相似性，不符合题意；C. 两个正六边形的各边成比例，各角相等，是相似形，不符合题意；D. 两个正方形的各边成比例，各角相等，是相似形，不符合题意；故选A．21．下列哪组图形是相似图形（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了相似图形的判定，属于简单题，熟悉相似图形的定义是解题关键．【详解】解：A、图形不是相似图形；B、图形不是相似图形；C、图形是相似图形；D、图形不是相似图形；故选：C．22．下列多边形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个平行四边形C．两个正五边形D．两个六边形【答案】C【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似形的定义（如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形相似）是解题的关键．根据相似三角形的定义逐项判断即可．【详解】解：A、两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形并不一定相似，三个角度没有确定，故A 不正确；B、两个平行四边形对应角度及对应边都不一定成比例，所以不一定相似，故B不正确；C、两个正五边形角度相等，放大缩小后可以完全重合，两图形相似，故C正确；D 、两个正六边形相似，但是两个六边形并不一定相似，故D 不正确．故选C ．【考点5相似多边形的性质】23．两个相似多边形的面积之比为1:4，则它们的对应边之比为（ ）A ．B ．1:2C ．1:4D ．1:8【答案】B【分析】本题主要考查相似多边形的性质质．根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可．【详解】解：两个相似多边形的面积之比为1:4，则它们的对应边之比为1:2，故选：B ．24．若四边形ABCD ∽四边形A ′B ′C ′D ′，且AB:A ′B ′=3:5，已知B ′C ′=15，则BC 的长是（ ）A ．25B ．9C ．20D ．15【答案】B【分析】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例．由相似多边形的性质推出AB:A′B′=BC:B′C′，代入有关数据，即可求出BC 的值．【详解】解：∵四边形ABCD ∽四边形A ′B ′C ′D ′，∴AB:A ′B ′=BC:B ′C ′，∵AB:A ′B ′=3:5，B ′C ′=15，∴BC =9．故选：B ．25．如图，已知五边形ABCDE ∽五边形A 1B 1C 1D 1E 1，若ABA 1B 1=25，则S 五边形ABCDES五边形A 1B 1C 1D 1E 1=（ ）A ．52B ．25C ．254D ．425【答案】D【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键在于熟知相似多边形的面积之比等于相似比26．如图，在矩形ABCD中，AB=6，点EF分别在AD、BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且面积比为1:9，则AD长为（）A．20B．18C．12D．927．如图，把一张矩形纸片ABCD沿着AD和BC边的中点连线EF对折，对折后所得的矩形正好与原来的矩形相似，则原矩形纸片长与宽的比为（ ）A．4:1B．2:1CD．【答案】C【分析】本题考查的是相似多边形的性质，根据对应边的比相等列出比例式，计算即可，掌握相似多28．如图，四边形ABCD和EFGH相似，则α和x的大小分别为（）A．75°30B．75°33C．80°30D．80°33【考点6 黄金分割比】29．射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的边BC取中点O，以O为圆心，线段OD为半径作圆，其与边BC的延长线交于点E，这样就把正方形ABCD延伸为黄金矩形ABEF，若CE=4，则AB=．30．若点C是线段AB的一个黄金分割点，AB=2，且AC>BC，则AC=（结果保留根号）．31．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长为2AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为cm．（结果保留根号）32．宽与长的比是黄金分割数计．如图，已知四边形ABCD是黄金矩形，若长AB+1，则该矩形ABCD的面积为．(结果保留根号)33．如图是意大利著名画家达・芬奇（daVinci，1452～1519年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形ABCD内，图中四边形BCEF为正方形．已知点F为线段AB的黄金分割点，且AF<FB，AB=20 cm．则FB=．【考点7 由平行线判断成比例的线段】34．在△ABC中，DE∥BC，AD:DB=2:3，AE=4，则EC等于（ ）A．10B．8C．9D．635．如图，直线AB ∥CD ∥EF ，则（ ）A ．AC AE =BDBF B ．AC AE =BDDFC ．AC CE =BDBFD ．AC CE =DFBD36．如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点DE ∥BC ，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ．则下列结论中一定正确的是（ ）A．ADAB =AEECB．AGGF=AEBDC．BDAD=CEAED．AGGF=ACEC37．在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，连接DE、DF，如果DE∥AC，DF∥AB，且AE:EB=1:2，那么AF:FC的值是（）A．3B．13C．2D．1238．如图，l 1∥l 2∥l 3，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F ，已知AB BC =32，若DF =10，则DE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．639．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，AC与DF 相交于点H ，则下列式子不正确的是（ ）A ．AB BC =DEEFB ．AH CH =DHFHC．ABAC =DEDFD．ABBC=BECF40．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：①ABAC=DEDF ；②ADBE=BECF；③ABDE=BCEF；④BCAB=EFDE．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个41．如图，AD 、BC 相交于点O ，点E 、F 分别在BC 、AD 上，AB∥CD∥EF ．若CE =6，EO =4，BO =5，AF =6，则AD = ．【考点8 由平行截线求相关相关线段的长或比值】42．如图，AB ∥CD ∥EF ，AC =2，AE =5，BD =1.5，那么BF 的长为（ ）A ．154B ．94C ．52D ．7【答案】A【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理判断即可．43．已知，如图，直线l1∥l2∥l3，AB=3cm，BC=5cm，DE=2.4cm，则DF的长（）A．3cm B．8cm C．6cm D．6.4cm44．如图，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、D、F和点B、C、E．若BCCE=45，AD=4.4，则DF的长为（）A．4.4B．5.5C．9.9D．10.145．如图，l1∥l2∥l3,DE=3,EF=4,AB=52，则BC的长为（）A．3B．72C．103D．15846．已知l1∥l2∥l3,AM=3,BM=2,BC=4,DF=15，求DM,ED,EF．。
第2课时 相似多边形与比例线段1.结合现实情境了解成比例线段，并能运用比例线段进行计算求值，理解并掌握相似多边形的性质以及运用相似多边形的性质解决实际问题.2.在探索过程中激发学生的求知欲，发展学生的交流合作精神.阅读教材P26-27，自学“例”，掌握相似多边形的概念及性质，理解并掌握“相似比”的概念，能运用相似多边形的性质进行相关的计算.自学反馈 学生独立完成后集体订正①对于四条线段a 、b 、c 、d,如果其中两条线段的比等于 ,如a b =c d(即ad=bc),那么我们就说这四条线段是 .②相似多边形的 相等，对应边 .③相似多边形 的比称为相似比，当相似比为1，这两个多边形 .④用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若该四边形的边长放大5倍，下列说法正确的是( )A.角A 是原来的5倍B.周长是原来的5倍C.每一个内角都发生了变化D.以上说法都不对⑤五边形ABCDE 的五边长分别为5 cm 、20 cm 、30 cm 、35 cm 、40 cm.另一个和它相似的五边形的最短边长是10 cm ，则这个五边形的最长边为 .第④题注意相似多边形的角的度数相等，对应边成比例；第⑤题注意对对应的理解.活动1 小组讨论例1 在两个相似的五边形中，一个边长分别为1、2、3、4、5，另一个最大边为8，则后一个五边形的周长是多少？ 解：设1、2、3、4对应边长为a 、b 、c 、d ，根据相似多边形对应边的比相等，则有1a =2b =3c =4d =85， 解得a=85,b=165,c=245,d=325. ∴另一个五边形的周长为： a+b+c+d+8=85+165+245+325+8=24.相似多边形对应边成比例，关键要理解“对应”二字，最长边对应最长边. 活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.已知相似的两个矩形中，一个矩形的长和面积分别为4和12，另一个矩形的宽为6，求这两个矩形的面积的比.解决问题要从题中的需要入手，因为矩形的面积等于长与宽的积，而题中已知另一矩形的宽，应求出长.2.下列各组线段中，成比例线段的是( )A.1、2、3、4B.1、2、2、4C.3、5、9、13D.1、2、2、33.已知A 、B 两地的实际距离AB=5 km ，画在地图上的距离CD=2 cm ，则这张地图的比例尺是 .图上距离与实际距离的比叫做比例尺.4.在一张由复印机出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1 cm变成了4 cm，那么这次复印的放缩比例为.5.把矩形对折后得到的矩形和原来的矩形相似，那么这个矩形的长与宽之比为.6.已知三个数，1、，请你再添上一个(只填一个)数，使它们能构成一个比例式，则这个数是.活动3 课堂小结本节学习的数学知识:1.比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比等于另两条线段的比，如ab=cd(即ad=bc)，那么这四条线段是成比例线段，简称比例线段.2.相似多边形的性质:相似多边形对应角相等，对应边的比相等.3.相似比:相似多边形对应边的比.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈①另两条线段的比比例线段②对应角成比例③对应边全等④B⑤12米⑥80 cm【合作探究】活动2 跟踪训练1.1∶42.B3.1∶250 0004.4∶1∶16.略。
（第2课时）【自学指导】第二节1、相似多边形的定义：两个多边形大小不等，但各角，各边这样的两个相似多边形叫做相似多边形。
注意：与相似三角形的定义的不同点。
2、叫做相似比。
3、判断：（1）各角都对应相等的两个多边形是相似多边形。
（）（2）各边对应成比例的两个多边形是相似多边形。
（）思考：要判断两个相似多边形相似需要满足的条件。
4、观察下列图形，它们之间是否相似？【尝试练习】5、判断：（1）所有的正三角形都相似。
( )（2）所有正方形都相似。
( )（3）所有正五边形都相似。
( )（4）所有正多边形都相似。
( )思考：所有的正n边形都相似吗？【巩固训练】1、已知菱形ABCD与菱形A′B′C′D′,若使菱形ABCD∽菱形A′B′C′D′,可添加一个条件2、如图，一个长3米，宽1.5米的矩形黑板，其外围的木质边匡宽75厘米。
边框内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？3、四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∠A′=75°，∠B=85°，∠D′=118°,AD=18, A′D′=8, A′B′=12.求∠C′的度数和AB的长度。
【达标测试】如上图，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∠A=70°，∠B′=60°，∠D=125° ,AD=7, A′D′=4.2,BC=8,求∠C的度数和B′C′的长度。
C D′C【开拓思维】在相似多边形中，对应对角线的比与相似比有何关系？怎样证明？。
27.1 图形的相似【考点1 比例性质】【考点2 比例线段】【考点3 成比例线段】【考点4 黄金分割比】【考点5 由平行线判断成比例的线段】【考点6 由平行截线求相关相关线段的长或比值】【考点7 相似图形】【考点8相似多边形的性质】知识点1 比例线段1．线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成a mb n =．2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）．【考点1 比例性质】【典例1】若x2=y3=z4≠0，则x−y+z2y=．【变式1-1】．若a4=b3，则ab的值是（）A．34B．43C．12D．112【变式1-2】已知3a =5b，则3a+2ba−b的值为（）A．−192B．−19C．192D．19【变式1-3】已知ab =cd=ef=12，则a−3c+2eb−3d+2f=（）A．12B．13C．14D．15【考点2 比例线段】【典例2】已知线段a，b满足a5=b12，且a+b=34．(1)求a，b的值；(2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值．【变式2-1】小红的爸爸是汽车制造厂的工程师．他要将一个长4毫米、宽2毫米的零件画在一张A3纸（42cm×29.7cm）上，适合的比例尺是（ ）A．1∶80B．80∶1C．1∶800D．800∶1【变式2-2】线段1cm、4cm的比例中项为cm．【变式2-3】点C在线段AB上，若ACCB =35，则ABCB=．【考点3 成比例线段】【典例3】下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1、2、3、4B．2、3、4、5C．3、4、6、9D．2、3、4、6【变式3-1】下面四组线段中不能成比例线段的是（）A．3、6、2、4B．4、6、5、10C．1、2、3、6D．25、20、4、5【变式3-2】下列四组线段中，是成比例线段的一组是（）A．a=1,b=2,c=3,d=4B．a=1,b=C．a=5,b=6,c=7,d=8D．a=4,b=6,c=6,d=8【变式3-3】下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ）A ．4cm ，5cm ，6cm ，7cm B ．3cm ，4cm ，5cm ，8cm C ．3cm ，5cm ，9cm ，15cmD ．1cm ，3cm ，4cm ，8cm知识点2 黄金分割比1.黄金分割的定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BCAB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.注意：AC AB =≈叫做黄金分割值).2.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB .（2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.注意：一条线段的黄金分割点有两个.【考点4 黄金分割比】【典例4】射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD 的边BC 取中点O ，以O 为圆心，线段OD 为半径作圆，其与边BC 的延长线交于点E ，这样就把正方形ABCD 延伸为黄金矩形ABEF ，若CE =4，则AB = ．【变式4-1】如图，点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA >PB ，若AB =2，则PA 的长度是（ ）AB ．C ．D ．1【变式4-2】宽与长的比是黄金分割数金矩形的设计．如图，已知四边形ABCD是黄金矩形，若长 AB =，则该矩形ABCD 的面积为．(结果保留根号)【变式4-3】如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =108°，以B 为圆心，BA 为半径，两弧交BC 于点D ，此时，点D 为线段BC 的黄金分割点，若BC =2，则BD 的长为．知识点3 平行线分线段成比例类型1 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.几何语言：,BD FDAC EC ==如图一：直线A B //C D //E F,直线A E 、B F 分别交A B 、C D 、E F 于A 、B 、C 、D 、E 、F.若则图一拓展：1）.如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等；1212=,BD FD=如图一：直线A B //C D //E F,直线A E 、B F 分别交A B 、C D 、E F 于A 、B 、C 、D 、E 、F.且A B 、C D 、E F 距离为d 、d 若d d 则A C =E C ,2）.经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边；∆如图二：在A B C 中，D 为A B 中点，D E //B C 交A C 于点F ，则A E =C E 。
27.1.1 相似图形及成比例线段一、教学目标1.通过实例知道相似图形的意义.2.经历观察、猜想和分析过程，知道相似多边形对应角相等，对应边的比相等，反之亦然.二、教学重点和难点1.重点：相似图形和相似多边形的意义.2.难点：探索相似多边形对应角相等，对应边的比相等.三、教学过程（一）创设情境，导入新课师：（出示两张全等的图片）大家看这两个图形，（稍停）这两个图形形状相同，大小也相同，它们叫什么图形？生：（齐答）叫全等图形.师：（出示两张相似的图片）大家看这两个图形，（稍停）这两个图形只是形状相同，它们叫什么图形？（稍停）它们叫相似图形.也可以说，这两个图形相似（板书：相似）.师：和全等一样，相似也是两个图形的一种关系.从今天开始我们要学习新的一章，这一章要学的内容就是相似（在“相似”前板书：第二十七章）. （二）尝试指导，讲授新课师：相似图形在我们的生活中是很常见的，大家把课本翻到第34页，（稍停）34页上有几个图，左上方是用同一张底片洗出的不同尺寸的照片，它们是相似图形；还有大小不同的两个足球，它们也是相似图形；还有一辆汽车和它的模型，它们也是相似图形.师：看了这些相似图形，哪位同学能给相似图形下一个定义？生：……（让几名同学回答）（师出示下面的板书）形状相同的两个图形叫做相似图形.师：请大家一起把相似图形的概念读两遍.（生读）师：（出示两张全等的图片）全等图形，它们不仅形状相同，而且大小也相同；（出示两张相似的图片）而相似图形，它们只是形状相同，它们的大小可能相同，也可能不相同.师：明确了相似图形的概念，下面请同学们来举几个相似图形的例子，谁先来说？生：……（让几位同学说，如果学生说的题材不够广泛，师可以再举几个例子.譬如，放电影时，屏幕上的画面与胶片上的图形是相似图形；实际的建筑物与它的模型是相似图形；复印机把一个图形放大，放大后的图形和原来图形是相似图形）师：好了，下面请大家做一个练习.（三）试探练习，回授调节1.下列各组图形哪些是相似图形？(1) (2) (3)(4) (5)(6)2.如图，图中是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗？（四）尝试指导，讲授新课（师出示下图）///B AC C B A师：（指准图）这个三角形和这个三角形形状相同，所以它们是相似三角形.从图上看，这两个相似三角形的角有什么关系？生：∠∠A ′，∠∠B ′，∠∠C ′.（生答师板书：∠∠A ′，∠∠B ′，∠∠C ′） 师：（指图）这两个相似三角形的边有什么关系？（让生思考一会儿）师：（指准图）与A ′B ′的比是AB A B ⅱ（板书：AB A B ⅱ），与B ′C ′的比是BCB C ⅱ（板书：BC B C ⅱ），与C ′A ′的比是CA C A ⅱ（板书：CAC A ⅱ），这三个比相等吗？ 生：（齐答）相等.师：为什么相等？（稍停后指准图）△A ′B ′C ′可以看成是△缩小得到的，假如是A ′B ′的2倍，那么可以想象，也是B ′C ′的2倍，也是C ′A ′的2倍，所以这三个比相等（在式子中间写上两个等号）.师：我们再来看一个例子.（师出示下图）师：（指准图）这个四边形和这个四边形形状相同，所以它们是相似四边形.从图上看，这两个相似四边形的角有什么关系？生：∠∠A ′，∠∠B ′，∠∠C ′，∠∠D ′.（生答师板书：∠∠A ′，∠∠B ′，∠∠C ′，∠∠D ′）师：（指图）这两个相似四边形的边有什么关系？ 生：AB A B ⅱBC B C ⅱCA C A ⅱDA D A ⅱ.（生答师板书：AB A B ⅱBC B C ⅱCA C A ⅱDAD A ⅱ） 师：（指式子）这四个比为什么相等？（稍停后指准图）四边形A ′B ′C ′D ′可以看成是四边形放大得到的，假如是A ′B ′的一半，那么可以想象，也是B ′C ′的一半，也是C ′D ′的一半，也是D ′A ′的一半，所以这四个比相等.师：从这两个例子，大家想一想，你能得出一个什么结论？（等到有一部分同学举手再叫学生）生：……（多让几名学生发表看法）（师出示下面的板书）相似多边形对应角相等，对应边的比也相等.////A B C D D A B C师：请大家把这个结论一起来读两遍.（生读）师：相似多边形对应角相等，对应边的比也相等.实际上，这个结论反过来也是成立的，反过来怎么说？生：……（让几名学生说）（师出示下面的板书）对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似多边形.师：请大家把反过来的结论一起来读两遍.（生读）师：我们知道，形状相同的多边形是相似多边形.但是，什么样才算形状相同呢？（稍停）从这两个结论我们可以看到，对多边形来说，所谓形状相同，实际上指的就是对应角相等，对应边的比也相等.对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似多边形.所以，现在我们可以给相似多边形下一个更明确的定义. （师出示下面的板书）对应角相等，对应边的比也相等的两个多边形叫做相似多边形.师：下面我们利用相似多边形的概念来做两个练习.（五）试探练习，回授调节3.如图，△与△A′B′C′相似，则∠C′= °，B′C′= .4.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.(1)两个等边三角形一定相似；（）(2)两个正方形一定相似；（）(3)两个矩形一定相似；（）(4)两个菱形一定相似. （）（六）归纳小结，布置作业师：（指准板书）本节课我们学习了相似图形和相似多边形的概念.什么叫做相似图形？形状相同的两个图形叫做相似图形.从这两个结论，我们进一步发现，对多边形来说，所谓形状相同指的就是对应角相等，对应边的比也相等.所以我们又给相似多边形下了一个更明确定义：对应角相等，对应边也相等的两个多边形叫做相似多边形.（作业：P35练习138习题1.4.）C/ 110533//BA AB C四、板书设计。
第二十七章相似27．1 图形的相似第1课时相似图形教学目标1．通过对事物图形的观察、思考和分析，认识相似的图形．2．经历动手操作的活动过程，增强学生的观察和动手能力．3．体会图形的相似在现实生活中的存在与应用，进一步提高学生的数学应用意识．预习反馈阅读教材P24～25，弄清楚相似图形的概念，能正确判断两个图形是否相似．并完成下列预习内容．①把形状相同的图形叫做相似图形．②两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．③从放大镜里看到的三角板和原来的三角板相似吗？相似．④哈哈镜中人的形象与本人相似吗？不相似．⑤全等三角形相似吗？相似．⑥生活中哪些地方会见到相似图形？答案不唯一．【点拨】研究几何主要是研究几何图形的形状、大小与位置，只要形状相同的两个图形就叫做相似图形．例题讲解：例1下列各图中哪组图形是相似图形(C)A BC D【点拨】观察图形，要从本质入手，如C，将小图的位置稍加旋转就可以发现它们是相似图形．【跟踪训练1】下列图形中，不是相似图形的是(C)A BC D【跟踪训练2】(教材P25练习2)如图，图形(a)～(f)中，哪些与图形(1)或(2)相似？解：(d)与(1)相似，(e)与(2)相似．巩固训练1．如图所示各组图形中，两个图形形状不相同的是(C)A BC D2．下列图形中：①放大镜下的图片与原来的图片；②幻灯片的底片与投影在屏幕上的图象；③天空中两朵白云的照片；④卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片．其中相似的组数有(C)A．4组B．3组C．2组D．1组课堂小结1．本节课学习了哪些主要内容？2．全等三角形和相似三角形有哪些区别和联系？第2课时相似多边形与比例线段教学目标1．结合现实情境了解成比例线段，并能运用比例线段进行计算求值，理解并掌握相似多边形的性质以及运用相似多边形的性质解决实际问题．2．在探索过程中激发学生的求知欲，发展学生的交流合作精神．预习反馈阅读教材P26～27，理解并掌握“相似多边形”及“相似比”的概念，并完成下列预习内容：①对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比等于另两条线段的比，如ab＝cd(即ad＝bc)，那么我们就说这四条线段是成比例．②相似多边形的对应角相等，对应边成比例．③相似多边形对应边的比称为相似比，当相似比为1，这两个多边形全等．④用一个放大镜看一个四边形ABCD，若该四边形的边长放大5倍，下列说法正确的是(B)A．角A是原来的5倍B．周长是原来的5倍C．每一个内角都发生了变化D ．以上说法都不对 例题讲解：例1 下列图形中，不一定相似的是(D) A ．任意两个等腰直角三角形 B ．任意两个等边三角形 C ．任意两个正方形 D ．任意两个菱形【跟踪训练1】 下列四组图形中，一定相似的是(D) A ．正方形与矩形 B ．正方形与菱形C ．菱形与菱形D ．正五边形与正五边形例2 (教材P26例)如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角α，β的大小和EH 的长度x.【解答】 因为四边形ABCD 和EFGH 相似，所以它们的对应角相等，由此可得，α＝∠C ＝83°，∠A ＝∠E ＝118°.在四边形ABCD 中，∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.因为四边形ABCD 和EFGH 相似，所以它们的对应边成比例，由此可得EH AD ＝EF AB ，即x 21＝2418.解得x ＝28.【点拨】 相似多边形对应边成比例，关键要理解“对应”二字．【跟踪训练2】 如图，DE ∥BC ，DE ＝3，BC ＝9，AD ＝1.5，AB ＝4.5，AE ＝1.4，AC ＝4.2. (1)求AD AB ，AE AC ，DEBC 的值；(2)求证：△ADE 与△ABC 相似．解：(1)AD AB ＝1.54.5＝13，AE AC ＝1.44.2＝13，DE BC ＝39＝13.(2)证明：∵DE ∥BC ， ∴∠D ＝∠B ，∠E ＝∠C.又∵∠DAE ＝∠BAC ，AD AB ＝AE AC ＝DEBC，∴△ADE 与△ABC 相似． 例3 已知A ，B 两地的实际距离AB ＝5 km ，画在地图上的距离CD ＝2 cm ，则这张地图的比例尺是1∶250__000． 【点拨】 图上距离与实际距离的比叫做比例尺．【跟踪训练3】 (教材P27练习1)在比例尺为1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm ，求两地的实际距离．解：设两地的实际距离为x.30x ＝110 000 000. 解得x ＝300 000 000.∵300 000 000 cm ＝3 000 km.∴两地的实际距离为3 000 km.巩固训练 1．下列各组线段中，成比例线段的是(B)A ．1，2，3，4B ．1，2，2，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，3 2．下列各组图形中，必定相似的是(D) A ．两个等腰三角形B ．各有一个角是40°的两个等腰三角形C ．两条边之比都是2∶3的两个直角三角形D ．有一个角是100°的两个等腰三角形3．在一张由复印机出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1 cm 变成了4 cm ，那么这次复印的放缩比例为4∶1．4．把矩形对折后得到的矩形和原来的矩形相似，那么这个矩形的长与宽之比为2．5．已知三个数，1，2，3，请你再添上一个(只填一个)数，使它们能构成一个比例式，则这个数是23． 6．在两个相似的五边形中，一个边长分别为1，2，3，4，5，另一个最大边为8，则后一个五边形的周长是多少？解：另一个五边形的周长为24. 课堂小结1．本节课学习了哪些内容？2．如何根据相似多边形的概念判断多边形相似？27．2 相似三角形 27．2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例教学目标1．理解相似三角形的概念．2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论． 3．掌握判定三角形相似的预备定理． 预习反馈阅读教材P29～31，弄懂相似三角形的概念，理解平行线分线段成比例定理和相似三角形判定的预备定理．并完成下面的预习内容．①如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k ，那么△A 1B 1C 1∽△ABC 的相似比为1k．②如图，l 1，l 2分别被l 3，l 4，l 5所截，且l 3∥l 4∥l 5，则AB 与DE 对应，BC 与EF 对应，DF 与AC 对应；AB BC ＝（DE ）（EF ），AB （AC ）＝（DE ）DF ，AB DE ＝（BC ）（EF ）＝（AC ）（DF ）.③平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似． 【点拨】 找准对应线段是关键． 例题讲解：例1 (教材补充例题)如图，DE ∥BC ，则下面比例式不成立的是(B)A.ADAB＝AEACB.DEBC＝ECACC.ADDB＝AEECD.BCDE＝ACAE【跟踪训练1】如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(A)A.ADDF＝BCCEB.BCCE＝DFADC.CDEF＝BCBED.CDEF＝ADAF例2(教材补充例题)如图，ED∥BC，EC，BD相交于点A，过A的直线交ED，BC分别于点M，N，则图中有相似三角形(C)A．1对B．2对C．3对D．4对【跟踪训练2】如图，在△ABC中，点D在BC上，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？解：共有3对相似三角形，分别是：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC.巩固训练1．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为(C)A．28°B．32°C．42° D．52°2．如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，射线CE，BA交于点F，下列等式成立的是(C)A.AE ED ＝CE EFB.AE ED ＝CD AFC.AE ED ＝FA ABD.AE ED ＝FE FC3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2，BC ＝6，AD ＝3，求BD 的长．解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC ，即3AB ＝26. ∴AB ＝9.∴BD ＝AB －AD ＝9－3＝6. 课堂小结1．本节课我们学习了哪些内容？2．当平行线与三角形两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似吗？第2课时 相似三角形的判定定理1，2教学目标掌握三边成比例的两个三角形相似和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这两个判定三角形相似的定理． 预习反馈阅读教材P32～34，理解相似三角形判定定理1与判定定理2.完成下列预习内容． ①如果两个三角形的三组边对应成比例，那么这两个三角形相似．②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．③下列是两位同学运用相似三角形的定义判定两个三角形是否相似，你认为他们的说法是否正确？为什么？并写出你的解答．判断如图所示的两个三角形是否相似，简单说明理由．甲同学：这两个三角形的三个内角虽然分别相等，但是它们的边的比不相等，AC IJ ≠AB HJ ≠BCHI ，所以他们不相似．乙同学：这两个三角形的三个内角分别相等，对应边之比也相等，所以它们相似．解：甲同学的说法不正确，甲同学所分析的边的比不是对应边的比，根据相似三角形的概念，甲同学的说法不正确；根据相似三角形的概念，乙同学的说法正确．【点拨】 判断三角形相似要注意对应关系，找对应边和对应角时可类比全等三角形中找对应边和对应角的方法．例题讲解：例1 (教材P33例1(1))根据下列条件，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由： AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，A ′B ′＝12 cm ，B ′C ′＝18 cm ，A ′C ′＝24 cm.【解答】 ∵AB A ′B ′＝412＝13，BC B ′C ′＝618＝13，AC A ′C ′＝824＝13，∴AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝ACA ′C ′.∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.【跟踪训练1】 如图，在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝40，AC ＝20，在△ADE 中，AE ＝12，AD ＝15，DE ＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．解：相似．理由：∵AC AE ＝2012＝53，AB AD ＝2515＝53，BC DE ＝4024＝53，∴AC AE ＝AB AD ＝BCDE.∴△ABC ∽△ADE. 例2 (教材P33例1(2))根据下列条件，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由： ∠A ＝120°，AB ＝7 cm ，AC ＝14 cm ，∠A ′＝120°，A ′B ′＝3 cm ，A ′C ′＝6 cm.【解答】 ∵AB A ′B ′＝73，AC A ′C ′＝146＝73，∴AB A ′B ′＝ACA ′C ′.又∠A ＝∠A ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.【跟踪训练2】 如图，四边形ABCD ，CDEF ，EFGH 都是正方形．(1)△ACF 与△ACG 相似吗？说说你的理由； (2)求∠1＋∠2的度数．解：(1)相似．理由：设正方形的边长为a ，则AC ＝a 2＋a 2＝2a ，∵AC CF ＝2a a ＝2，CG AC ＝2a 2a ＝2，∴AC CF ＝CGAC.又∵∠ACF ＝∠GCA ，∴△ACF ∽△GCA. (2)∵△ACF ∽△GCA ，∴∠1＝∠CAF.∵∠CAF ＋∠2＝45°，∴∠1＋∠2＝45°. 巩固训练1．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB ＝9 cm ，BC ＝8 cm ，CA ＝5 cm ，A ′B ′＝4.5 cm ，B ′C ′＝2.5 cm ，C ′A ′＝4 cm ，则下列说法错误的是(D)A ．△ABC 与△A ′B ′C ′相似 B ．AB 与B ′A ′是对应边C ．两个三角形的相似比是2∶1D ．BC 与B ′C ′是对应边2．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，已知AB ·B ′C ′＝BC ·A ′B ′，若使△ABC ∽△A ′B ′C ′，还应增加的条件是(C)A ．AC ＝A ′C ′B ．∠A ＝∠A ′C ．∠B ＝∠B ′D ．∠C ＝∠C ′3．如图，两个三角形的关系是相似(填“相似”或“不相似”)，理由是这两个三角形的三边对应成比例．4．右图中的两个三角形是否相似：不相似，说明理由：对应边不成比例．5．如图，DE 与△ABC 的边AB ，AC分别相交于D ，E 两点，若AE ＝2 cm ，AC ＝3 cm ，AD ＝2.4 cm ，AB ＝3.6 cm ，DE ＝43cm ，则BC 的长为多少？解：∵AE ＝2 cm ，AC ＝3 cm ，AD ＝2.4 cm ，AB ＝3.6 cm ， ∴AE AC ＝AD AB ＝23. ∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AE AC. 又∵DE ＝43 cm ，∴43BC ＝23.∴BC ＝2 cm. 【点拨】 运用相似三角形的判定和性质可以进行边的计算． 课堂小结1．本节课我们学习了什么内容？2．全等三角形的判定定理对相似三角形的判定定理有什么借鉴作用？第3课时 相似三角形的判定定理3教学目标1．掌握相似三角形的判定定理3.2．了解两个直角三角形相似的判定方法．3．深化对相似三角形的三个判定方法的理解，并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题．预习反馈阅读教材P35～36，理解相似三角形判定定理3及直角三角形相似的判定方法．完成下列预习内容． ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． ②如果两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．③要判定两个直角三角形相似，最简单的方法就是再找除直角外的一组内角对应相等，就可以根据相似三角形的判定3，判定这两个直角三角形相似．④如图所示，已知∠ADE ＝∠B ，则△AED ∽△ACB ．理由是两角分别相等的两个三角形相似．⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗？为什么？解：相似，理由：根据三角形内角和，顶点对应相等的两个等腰三角形其底角也对应相等．再根据“两角分别相等的两个三角形相似”这个判定定理即可判断这两个等腰三角形相似．【点拨】 要根据已知条件选择适当的方法判定三角形相似．例题讲解：例1 (教材P35例2)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8.E 是AC 上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为D.求AD 的长．【解答】 ∵ED ⊥AB ， ∴∠EDA ＝90°.又∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴△AED ∽△ABC. ∴AD AC ＝AE AB .∴AD ＝AC ·AE AB ＝8×510＝4. 【跟踪训练1】 如图，∠1＝∠3，∠B ＝∠D ，AB ＝DE ＝5，BC ＝4. (1)△ABC ∽△ADE 吗？说明理由； (2)求AD 的长．解：(1)△ABC ∽△ADE.理由如下：∵∠1＝∠3，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2， ∴∠BAC ＝∠DAE. 又∵∠B ＝∠D ， ∴△ABC ∽△ADE. (2)由(1)，知AB AD ＝BCDE .∴5AD ＝45.解得AD ＝254. 例2 (教材补充例题)已知：如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【解答】 ∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°， (1)当BC BD ＝ABCD 时，△ABC ∽△CDB ，此时BC BD ＝AB CD ＝AC BC ，即a b ＝b BD .∴BD ＝b 2a.即当BD ＝b2a 时，△ABC ∽△CDB.(2)当AB BD ＝BCCD 时，△ABC ∽△BDC ，此时AB BD ＝BC CD ＝AC BC ，即AB BD ＝AC BC. ∴a 2－b 2BD ＝a b ，BD ＝b a a 2－b 2.∴当BD ＝b aa 2－b 2时，△ABC ∽△BDC.综上所述，即当BD ＝b 2a 或BD ＝b aa 2－b 2时，这两个三角形相似．【点拨】 本题要考虑当两个三角形有一个角相等时，夹这个角的两边的比相等时有两种情况．【跟踪训练2】 在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A ＝∠A 1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(D) A ．∠B ＝∠B 1 B.AB A 1B 1＝ACA 1C 1C.AB A 1B 1＝BC B 1C 1 D.AB B 1C 1＝AC A 1C 1巩固训练 1．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是(C) A ．都含有一个40°的内角 B ．都含有一个50°的内角 C ．都含有一个60°的内角 D ．都含有一个70°的内角 2．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，有下列条件：(1)AB A ′B ′＝BC B ′C ′；(2)BC B ′C ′＝ACA ′C ′；(3)∠A ＝∠A ′；(4)∠C ＝∠C ′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的共有(C)A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，E 是BC 上一点，ED ⊥AB ，垂足为D.求证：△ABC ∽△EBD.证明：∵ED ⊥AB ， ∴∠EDB ＝90°. ∵∠C ＝90°， ∴∠EDB ＝∠C.∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△EBD. 课堂小结1．本节课我们学习了什么内容？2．全等三角形的判定定理与相似三角形的判定定理有何区别？27．2.2 相似三角形的性质教学目标理解并掌握相似三角形的性质． 预习反馈阅读教材P37～39，理解相似三角形的性质，并完成下列预习内容．(1)相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比．(2)如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k，AD ⊥BC 于点D ，A ′D ′⊥B ′C ′于点D ′.①你能发现图中还有其他的相似三角形吗？【解答】 其他的相似三角形还有△ABD ∽△A ′B ′D ′，△ADC ∽△A ′D ′C ′.②△ABC 与△A ′B ′C ′中，C △ABCC △A ′B ′C ′＝k ，S △ABCS △A ′B ′C ′＝k 2．【点拨】 在运用相似三角形的性质时，要注意周长的比与面积的比之间的区别，不要混为一谈，另外面积的比等于相似比的平方，反过来相似比等于面积比的算术平方根．例题讲解：例 (教材P38例3)如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D.若△ABC 的边BC 上的高为6，面积为125，求△DEF 的边EF 上的高和面积．【解答】 在△ABC 和△DEF 中， ∵AB ＝2DE ，AC ＝2DF ， ∴DE AB ＝DF AC ＝12.又∠D ＝∠A ， ∴△DEF ∽△ABC ，△DEF 与△ABC 的相似比为12.∵△ABC 的边BC 上的高为6，面积为125，∴△DEF 的边EF 上的高为12×6＝3，面积为(12)2×125＝3 5.【跟踪训练】 如图，在▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD ＝2DE.若△DEF 的面积为10，则▱ABCD 的面积为多少？解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CE.∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF.∴S△DEFS△CEB＝(DECE)2＝(DECD＋DE)2＝(DE3DE)2＝19，S△DEFS△ABF＝(DEAB)2＝(DECD)2＝(DE2DE)2＝14.∴S△CEB＝90，S△ABF＝40.∴S▱ABCD＝S△ABF＋S四边形BCDF＝S△ABF＋S△CEB－S△DEF＝40＋90－10＝120.巩固训练1．若两个相似三角形的相似比为1∶2，则它们面积的比为(C)A．2∶1 B．1∶ 2C．1∶4 D．1∶52．如图，在▱ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为(B)A．3∶4 B．9∶16 C．9∶1 D．3∶13．如果△ABC∽△DEF，A，B分别对应D，E，且AB∶DE＝1∶2，那么下列等式一定成立的是(D)A．BC∶DE＝1∶2B．△ABC的面积∶△DEF的面积＝1∶2C．∠A的度数∶∠D的度数＝1∶2D．△ABC的周长∶△DEF的周长＝1∶24．如果两个相似三角形的面积的比是4∶9，那么它们对应的角平分线的比是2∶3．5．已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是32，BE，B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE＝6，则B1E1＝4．6．如图所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM，EN分别是斜边AB，DF上的中线，已知AC＝9 cm，CB＝12 cm，DE＝3 cm.(1)求CM和EN的长；(2)你发现CMNE的值与相似比有什么关系？得到什么结论？解：(1)在Rt△ABC中，AB＝AC2＋CB2＝92＋122＝15，∵CM是斜边AB的中线，∴CM＝12AB＝7.5.∵Rt△ABC∽Rt△DFE，∴DEAC＝DFAB，即39＝13＝DF15.∴DF＝5.∵EN为斜边DF上的中线，∴EN＝12DF＝2.5.(2)∵CMEN＝7.52.5＝31，相似比为ACDE＝93＝31，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．课堂小结本节课我们学习了哪些内容？27.2.3 相似三角形应用举例教学目标1．通过本节相似三角形应用举例，发展学生综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力，提高学生的数学应用意识，加深对相似三角形的理解与认识．2．在活动过程中使学生积累经验与成功体验，激发学生学习数学的热情与兴趣．预习反馈阅读教材P39～40，进一步体会从实际问题中建立数学模型，并完成下列预习内容．(1)太阳光下，同一时刻，物体的长度与其影长成正比(正比或反比)．(2)太阳光下，同一时刻，物体的高度、影子、光线构成的三角形相似吗？答：相似．例题讲解：例1(教材P40例5)如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，请根据这些数据，计算河宽PQ.【解答】∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，∴△PQR∽△PST.∴PQPS＝QRST，即PQPQ＋QS＝QRST，PQPQ＋45＝6090，PQ×90＝(PQ＋45)×60.解得PQ＝90 m.答：河宽大约为90 m.【跟踪训练1】(菏泽中考)如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米，BC＝45米，AC＝30米，求M，N两点之间的直线距离．解：连接MN.∵ACAM＝301 000＝3100，ABAN＝541 800＝3100，∴ACAM＝ABAN.又∵∠BAC＝∠NAM，∴△BAC∽△NAM.∴BCMN＝3100，即45MN＝3100.∴MN＝1 500.答：M，N两点之间的直线距离为1 500米．例2小刚用下面的方法来测量学校大楼AB的高度．如图，在水平地面上的一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA＝21 m，当他与镜子的距离CE＝2.5 m时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知他的眼睛距地面高度DC＝1.6 m，请你帮助小刚计算出教学大楼的高度AB是多少m？(注意：根据光的反射定律，反射角等于入射角)【解答】 根据反射角等于入射角，则有∠DEF ＝∠BEF ，而FE ⊥AC ， ∴∠DEC ＝∠BEA.又∵∠DCE ＝∠BAE ＝90°， ∴△DEC ∽△BEA.∴CD AB ＝ECEA .又∵DC ＝1.6，EC ＝2.5，EA ＝21， ∴1.6AB ＝2.521.∴AB ＝13.44. 答：建筑物AB 的高度为13.44 m.【点拨】 从实际问题的情景中，找出相似三角形是解决本类题型的关键．【跟踪训练2】 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上．已知DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，目测点D 到地面的距离DG ＝1.5米，到旗杆的水平距离DC ＝20米，求旗杆的高度．解：由题意可得，△DEF ∽△DCA ，则DE DC ＝EFAC ，∵DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，DG ＝1.5米，DC ＝20米， ∴0.520＝0.25AC.解得AC ＝10. 故AB ＝AC ＋BC ＝AC ＋DG ＝10＋1.5＝11.5(米)． 答：旗杆的高度为11.5米． 巩固训练1．如图，小明在打网球时，击球点距球网的水平距离为8 m ，已知网高为0.8 m ，要使球恰好能打过网，而且落在离网4 m 的位置，则球拍击球时的高度h 为2.4m.2．如图，测得BD ＝120 m ，DC ＝60 m ，EC ＝50 m ，求河宽．解：由题意，可得∠B ＝∠C ＝90°，∠ADB ＝∠EDC ，∴△ADB ∽△EDC. ∴AB EC ＝BD CD ，即AB ＝BD ·EC CD ＝120×5060＝100(m)． 答：河宽AB 为100 m.【点拨】 证明相似三角形的方法很多，要根据实际情况，选择最简单、合适的一种．课堂小结利用相似三角形进行测量的一般步骤：(1)因地制宜，构造相似三角形；(2)测量与所求线段对应的边的长以及另外任意一组对应边的长；(3)根据相似三角形的对应边成比例进行计算.27.3 位似第1课时位似图形的概念及画法教学目标1．正确理解位似图形等有关概念，能够按照要求利用位似将图形进行放大或缩小以及能够正确地作出位似图形的位似中心．2．在实际操作和探究活动中，让学生感受、体会到几何图形之美，提高对数学美的认识层次，陶冶美育情操，激发学习热情．预习反馈阅读教材P47～48，完成下列预习内容．(1)两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．(2)下列说法正确的是(D)A．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等B．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似C．两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似D．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似(3)用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可能在(D)A．原图形的外部 B．原图形的内部C．原图形的边上 D．任意位置【点拨】位似的三要素即是判定位似的依据，也是位似图形的性质．例题讲解：例1如图，作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1.【解答】 1.在原图形上取点A，B，C，D，E，F，G，在图形外任取一点P；2．作射线AP，BP，CP，DP，EP，FP，GP；3．在这些射线上依次取A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，使PA′＝2PA，PB′＝2PB，PC′＝2PC，PD′＝2PD，PE′＝2PE，PF′＝2PF，PG′＝2PG；4．顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′.所得到的图形就是符合要求的图形．【点拨】作位似图形的步骤：(1)按要求作出各点的对应点后，(2)连线．注意：不要连错对应点之间的连线．【跟踪训练1】如图，请在8×8的网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶1.解：如图所示，△A′B′C′为所求的三角形．例2请画出如图所示两个图形的位似中心．图1 图2【解答】如图所示的点O1，就是图1的位似中心．如图所示的点O2，就是图2的位似中心．【点拨】正确地作出位似中心，是解位似图形的关键，可以根据位似中心的定义，位似图形的对应点连线的交点就是位似中心．【跟踪训练2】找出下列图形的位似中心．巩固训练1．在下列图形中，不是位似图形的是(D)A BC D2．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△DEF，已知△ABC与△DEF的面积比为1∶9，则AB∶DE的值为(A)A．1∶3 B．1∶2 C．1∶ 3 D．1∶9第2题图第3题图3．如图，以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形A′B′C′D′，若OA＝4，OA′＝8，则四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的周长的比为1∶2．4．如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，求它们的相似比．解：连接AD，CF交于点O，则点O即为所求．∵OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，∴OC ∶OF ＝3∶2.∴△ABC 与△DEF 的相似比为3∶2.5．如图，图中的小方格都是边长为1的小正方形，△ABC 与△A ′B ′C ′是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都是在小正方形的顶点上．(1)找出位似中心点O ；(2)△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比为2∶1；(3)按(2)中的位似比，以点O 为位似中心画出△ABC 的另一个位似图形△A ″B ″C ″.解：(1)如图所示，点O 即为所求． (2)∵AC A ′C ′＝21， ∴△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比为：2∶1.故答案为：2∶1. (3)如图所示，△A ″B ″C ″即为所求． 课堂小结1．本节课我们学习了哪些内容？2．位似图形与一般相似图形相比，有哪些特殊性？ 3．利用位似作图的步骤有哪些？第2课时 平面直角坐标系中的位似教学目标1．让学生理解掌握位似图形在平面直角坐标系上的应用，即会根据相似比，求位似图形顶点，以及根据位似图形对应点坐标，求位似图形的相似比和在平面直角坐标系上作出位似图形．2．让学生在应用有关知识解决问题的过程中，提高应用意识，体验数形结合的思想方法在解题中的运用． 预习反馈阅读教材P48～50，以原点为位似中心的两个位似图形对应顶点的坐标规律，并完成下列预习内容．(1)如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把线段AB 缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？答：线段缩小后，点A ，B 的坐标与其对应点的坐标的比为13.(2)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点坐标的比为k ． (3)△ABC 和△A 1B 1C 1关于原点位似且点A(－3，4)，它的对应点A 1(6，－8)，则△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比是12．(4)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(1，0)，C(3，3)，以原点O 为位似中心，相似比为2，把△ABC 放大得到其位似图形△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1各顶点的坐标分别为A 1(2，4)，B 1(2，0)，C 1(6，6)．例题讲解：例 (教材P49例)如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，0)，O(0，0)．以原点O 为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO 的相似比为32.【解答】 如图，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点A ′(－3，6)，B ′(－3，0)，O(0，0)．顺次连接点A ′，B ′，O ，所得△A ′B ′O 就是要画的一个图形．【点拨】 作位似变换时，要先弄清点的坐标的变化情况，求出变换后对应的坐标．然后在坐标中描出对应点，连线即可．【跟踪训练】 在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3)． (1)画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)以点M 为位似中心，在网格中画出△A 1B 1C 1的位似图形△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△A 1B 1C 1的相似比为2∶1.解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求． (2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求． 巩固训练1．某个图形上各点的横、纵坐标都变成原来的12，连接各点所得图形与原图形相比(C)A ．完全没有变化B ．扩大成原来的2倍C ．面积缩小为原来的14D ．关于纵轴成轴对称2．如图所示的△ABC ，以A 点为位似中心，放大为原来的2倍，画出一个相应的图形，并写出相应的点的坐标．解：根据题意，图中的△AB 1C 1就是满足题意的三角形，其中A 点的坐标不变，仍是(－3，－1)，B 1，C 1的坐标分别为(3，－3)，(1，3)．课堂小结1．本节课学习了什么内容？2．想一想位似作图与平移作图、轴对称作图、旋转作图有什么共同点？。
