2019年东北师大附中附中二模数学试卷

吉林省长春市东北师大附中2019届高三二模试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x∈R|1≤x≤5}，B={x∈R|x＜2}，则A∩B为（）A．{x∈R|1≤x＜2} B．{x∈R|x＜1}C．{x∈R|2＜x≤5} D．{x∈R|2≤x≤5} 2．已知i是虚数单位，若1+i=z（1﹣i），则z=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i3．已知数列{a n}为等差数列，a2+a3=1，a10+a11=9，则a5+a6=（）A．4 B．5 C．6 D．74．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．一个算法的流程图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣36．函数f（x）=Acos（ωx+φ）在区间[0，π]上的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=2cos（2x+）B．f（x）=﹣cos（x﹣）C．f（x）=﹣cos（2x﹣）D．f（x）=cos（2x﹣）7．已知m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的个数是（）①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m⊥n，n⊥α，则m∥α；③若m⊥β，α⊥β，则m∥α；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．A．1 B．2 C．3 D．48．已知命题p：若奇函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），则f（6）=0；命题q：不等式log2x﹣1＞﹣1的解集为{x|x＜2}，则下列结论错误的是（）A．p∧q真B．p∨q真C．（￢p）∧q为假D．（￢p）∧（￢q）为真9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．4+B．4+3πC．4+πD．4++10．若向量=（1，﹣1），|=||，•=﹣1，则向量与﹣夹角为（）A．B．C． D．11．已知圆心为C1的圆（x+2）2+y2=1，圆心为C2的圆（x﹣4）2+y2=4，过动点P 向圆C1和圆C2引切线，切点分别为M，N，若|PM|=2|PN|，则△PC1C2面积最大值为（）A．3B．3C．3D．1512．设函数f′（x）是函数f（x）（x≠0）的导函数f′（x）＜，函数y=f（x）（x≠0）的零点为1和﹣2，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（1，+∞）二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．函数f（x）=的定义域是．14．已知实数x，y满足，则目标函数z=的最大值为．15．设正三角形ABC的外接圆内随机取一点，则此点落在正三角形ABC内的概率为．=S n，则数列{}的前2016 16．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，若S n+1项和为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知向量=（sin，1），=（cos，），f（x）=•．（I）求f（x）的最大值，并求此时x的值；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足f（B）=，a=2，c=3，求sinA的值．18．在甲、乙两个训练队的体能测试中，按照运动员的测试成绩优秀与不优秀统计成绩后，得到得到如下2×2列联表：（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为运动员的测试成绩与所双在训练队有关系；（Ⅱ）采用分层抽样的方法在两个训练队成绩优秀的120名运动员中抽取名运动员组成集训队．现从这6名运动员中任取2名运动员参加比赛，求这2名运动员分别来自于甲、乙两个不同训练队的概率．附：（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，各棱长均为2，D，E，F，G 分别是棱AC，AA1，CC1，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FG∥平面BDE；（Ⅱ）求三棱锥B1﹣BDE的体积．20．已知抛物线C：y=x2，直线l：y=x﹣1，设P为直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A、B（Ⅰ）当点P在y轴上时，求线段AB的长；（Ⅱ）求证：直线AB恒过定点．21．已知函数f（x）=lnx+a（x2﹣3x）（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修五、[选修4-4：坐标系与参数方程]22．直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程ρ=﹣4cosθ，圆C的圆心到直线l的距离为．（Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）已知P（1，0），若直线l于圆C交于A、B两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]．23．已知a，b，c为正数，且a+b+c=1（Ⅰ）求++的最小值；（Ⅱ）求证： ++≥++．吉林省长春市东北师大附中2019届高三二模试卷（文科数学）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2019届高三数学第二次模拟试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题.在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式得到集合，再根据题中条件，即可判断出与之间关系.【详解】由得或，故或，又，所以.故选D【点睛】本题主要考查集合之间的关系，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知（为虚数单位），则复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先将式子化为，再由复数的除法运算即可得出结果.【详解】因为，所以，故.故选C【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.3.圆与圆的公切线共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】D【解析】【分析】把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而可以判断出有几条公切线。

【详解】圆心坐标为（2，0）半径为2；圆心坐标为，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3,所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条。

故本题选D.【点睛】本题重点考查了圆与圆的位置关系的判定、公切线的条数。

解决的方法就是利用圆的标准方程求出圆心坐标以及半径，比较圆心距与两圆半径和差的关系。

4.将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率为（ ） A. B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】此问题相当于进行3次独立重复试验恰好发生2次正面朝上的概率。

【详解】将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率是.故本题选B 。

【点睛】本题考查了n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率。

5.已知是第三象限角，且，则（ ） A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式可以求出角的正弦值，再由同角的正弦值与余弦值的平方和为1这一关系，可求出的余弦值，最后运用二倍角正弦公式求出。

第1页，总17页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………吉林省东北师大附中2019届高三文数二模试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共12题)）A .B .C .D .2. 若在中，，则此三角形的形状是( )A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等边三角形D . 等腰直角三角形 3. 若集合 ，，则 （ ） A . B .C .D .4. 设 是虚数单位，若复数，则 =（ ）答案第2页，总17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A .B .C .D .5. 已知向量 =（2，x ）， =（1，2），若 ∥ ，则实数x 的值为（ ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 46. 设 则 =（ ）A .B .C .D .7. 函数 的零点所在的区间为（ ）A .B .C .D .8. 下列有关命题的说法正确的是（ ） A . 若 为假命题，则均为假命题 B .是的必要不充分条件C . 命题 若 则 的逆否命题为真命题D . 命题使得 的否定是：均有9. 元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的 的值为（ ）。

2019届吉林省东北师大附中 高三二模数学（文科）试卷数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．若集合A ={x|−1<x <1}，B ={x|0<x <2}，则A ∪B =A ．{x|−1<x <1}B ．{x|−1<x <2}C ．{x|0<x <2}D ．{x|0<x <1} 2．设i 是虚数单位，若复数z =i1+i ，则z =A ．12+12i B ．1+12i C ．1−12i D ．12−12i3．已知向量=（2，x ），=（1，2），若∥，则实数x 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．设sinθ+cosθ=√22,则sin2θ= A ．12B ．−12C ．14D ．√245．函数y =12lnx +x −1x−2的零点所在的区间为A ．(1e ,1) B ．(1,2) C ．(2,e ) D ．(e,3) 6．下列有关命题的说法正确的是 A ．若"p ∧q"为假命题，则p,q 均为假命题B ．"x =−1"是"x 2−5x −6=0"的必要不充分条件C ．命题"若x >1,则1x <1 "的逆否命题为真命题D ．命题"∃x 0∈R,使得x 02+x 0+1<0"的否定是："∃x ∈R,均有x 2+x +1≥0 "7．元朝时，著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，与店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x =0时，问一开始输入的x =A ．34 B ．78 C ．1516 D ．31328．若在△ABC 中，sin(A +B)sin(A −B)=(sin C )2，则此三角形的形状是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 9．函数y =x +cosx 的大致图象是A ．B ．C ．D ．10．已知函数f(x)={log a x ， 0<x <1(4a −1)x +2a ，x ≥1 满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立， 则实数a 的取值范围是此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．(0,16)B ．(0,16]C ．(0,14) D ．(1,+∞)11．已知f(x)=−13x 3+x 在区间(a,10−a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是 A ．a <−1 B ．−2≤a <3 C ．−2≤a <1 D ．−3<a <112．在等腰直角ΔABC 中，AC =BC ，D 在AB 边上且满足:CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =tCA ⃑⃑⃑⃑⃑ +(1−t)CB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,若 ∠ACD =60∘，则t 的值为A ．√3−12B ．√3−1C ．3−√32D ．√3+12二、填空题13．若sin(π2+α)=−35,α∈(0,π)，则sinα=___________．14．已知向量a =(λ,3),b =(3,−2)，如果a 与b 的夹角为直角，则λ=_________. 15．已知函数y =log 2(ax −1)在(−2,−1)上单调递减，则a 的取值范围是____________. 16．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x +4)=f (x )，且当x ∈[−2，0]时，f (x )=(13)x−6.在区间(−2，6]内关于x 的方程f (x )−log a (x +2)=0(a >1)恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题17．已知函数f(x)=√3cos2x +sin2x +m . （1）求f(x)的最小正周期；（2）当x ∈[0,π2]时，f(x)的最小值为5，求m 的值.18．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且asinB −bcosA =0． （1）求角A 的大小：（2）若a =2√5，b =2．求△ABC 的面积．19．如图,在四棱锥P ABCD -中,棱PA ⊥底面ABCD ,且AB BC ⊥, //AD BC ,22PA AB BC AD ====, E 是PC 的中点.(1)求证: DE ⊥平面PBC ； (2)求三棱锥A PDE -的体积.20．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是E 、F，离心率e =点F 的直线交椭圆C 于A 、B 两点， ABE ∆的周长为16．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为原点，圆D ： ()2223x y r -+=（0r >）与椭圆C 交于M 、N 两点，点P 为椭圆C 上一动点，若直线PM 、PN 与x 轴分别交于G 、H 两点，求证： OG OH ⋅为定值．21．已知函数f (x )=xlnx −ax (a ∈R )． （1）求函数f (x )的单调区间； （2）若f (x )+a ≥0恒成立，求a 的值.22．直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1{x cos y sin αα=+=（α为参数），曲线222:13x C y +=.（1）在以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求12,C C 的极坐标方程； （2）射线()03πθρ=≥与1C 异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求AB .23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x =-．（1）若()()29f t f t +<，求t 的取值范围；（2）若存在[]2,4x ∈，使得()23f x x a ++≤成立，求a 的取值范围．2019届吉林省东北师大附中高三二模数学（文科）试卷数学答案参考答案1．B【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解.【详解】因为A={x|−1<x<1}，B={x|0<x<2}，所以A∪B={x|−1<x<2}. 故答案为：B【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 2．A【解析】【分析】利用复数的除法化简即得解.【详解】由题得z=i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i2=12+12i.故答案为：A【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力. 3．D【解析】解：向量=（2，x），=（1，2），∥，可得x=4．故选：D．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．4．B【解析】【分析】把已知方程两边同时平方,结合二倍角公式即可得解.【详解】由题得(sinθ+cosθ)2=(√22)2=12,∴1+sin2θ=12,∴sin2θ=−12.故答案为：B 【点睛】本题主要考查同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.5．C【解析】试题分析：由题意，求函数y=12lnx+x−1x−2的零点，即为求两个函数12lnx=−x+1x+2的交点，可知12lnx=−x+1x+2等号左侧为增函数，而右侧为减函数，故交点只有一个，当x=2时，12lnx<−x+1x+2，当x=e时，12lnx>−x+1x+2，因此函数y=12lnx+x−1x−2的零点在(2,e)内，故选C．考点：1、函数的零点定理；2、函数的单调性.6．C【解析】【分析】对每一个命题逐一判断得解.【详解】A. 若"p∧q"为假命题，则p,q中至少有一个假命题，所以该选项是错误的；B. "x=−1"是"x2−5x−6=0"的充分不必要条件，因为由"x2−5x−6=0"得到“x=-1或x=6”，所以该选项是错误的；C. 命题"若x>1,则1x<1"的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，而原命题的真假性和其逆否命题的真假是一致的，所以该选项是正确的；D. 命题"∃x0∈R,使得x02+x0+1<0"的否定是："x∈R,均有x2+x+1≥0"，所以该选项是错误的.故答案为：C【点睛】本题主要考查复合命题的真假和充要条件的判断，考查逆否命题及其真假，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7．B【解析】。

吉林省东北师范大学附属中学2020届高三上学期第二次模拟数学试题（文）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知31iz i-=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为( ) A. i -B. 1-C. 1D. 2『答案』B 『解析』因为3(3)(1)4221(1)(1)2i i i iz i i i i --++====+--+, 所以2z i =-，故z 的虚部为1-，故选B.2.若A={{y|y B x|y ===，，则（ ）A. A=BB. A B ∅⋂=C. A B ⊆D. B A ⊆『答案』C『解析』y =-2,2』，易知u=24x -的值域为『0,4』故y =0,2』即A =『0,2』 ，B =『-2,2』 ，易得A B ⊆，故选C.3.已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A. 21cmB. 22cmC.24cmD. 24cm π『答案』C『解析』因为扇形的圆心角α＝2弧度，它所对的弧长l ＝4cm ，所以根据弧长公式|α|lR =可得：圆的半径R ＝2， 所以扇形的面积为：S 114222lR ==⨯⨯=4cm 2；故选C ．4.已知,04πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭且24sin225α=-，则sin cos αα+=（ ）A.15 B. 15-C. 75-D.75『答案』A 『解析』24sin 225α=-， 242sin cos 25αα∴=-， ,04πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，cos sin 0αα∴+>，1sin cos 5αα∴+===. 故选：A2(sin cos )12sin cos 1sin 2x x x x x +=+=+，属于基础题.5.条件:2p x ≠或3y ≠，条件:5q x y +≠，p 是q （ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要『答案』B『解析』若p 成立，例如当4x =，1y =时，q 不成立，即p q ⇒不成立，反之，若2x =且3y =，则5x y +=是真命题，所以若5x y +≠，则2x ≠或3y ≠是真命题，即q p ⇒成立， 所以p 是q 的必要而不充分条件， 故选B.6.若角A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，则下列等式中一定成立的是（ ） A. ()cos cos A B C += B. ()sin sin A B C +=- C. cos sin 2A C B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭D. sincos 22B C A+= 『答案』D『解析』因为角,,A B C 是ABC 的三个内角,cos()cos()cos A B C A B C C ππ∴+=-∴+=-=-,故排除A ;又sin()sin()sin A B C C π+=-=,故排除B ;sinsin sin cos 22222B C A A A ππ+-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故D 正确; 由于2AC +有可能为钝角,故cos 2A C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可能小于零,而sin 0B >, 故C 选项不一定正确; 故选D .7.设0.52a =，0.5log 0.6b =，4tan 5c π=，则（ ） A. a b c << B. c b a << C. b c a <<D. c a b <<『答案』B『解析』由指数函数的性质，可得0.521a =>，由对数函数的性质可得()0.5log 0.60,1b =∈， 根据正切函数的性质，可得4tan05c π=<，所以c b a <<，故选B. 8.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A. B.C. D.『答案』B『解析』函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在1x =处取得极大值，∴当1x >时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=；当1x <时，()0f x '>.0x ∴<时，()0y xf x '=->，01x <<时，()0y xf x '=-<，当0x =或1x =时，()0y xf x '=-=；当1x >时，()0xf x '->. 故选：B9.如图是偶函数()()sin()0,0,0f x A x A ωφωφπ=+>><<的部分图像，KML ∆为等腰直角三角形，90KML ∠=，1KL =，则16f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A. 4-B. 14-C. 12-D.4『答案』D『解析』根据已知的等腰直角三角形可知1122A KL ==，22T KL ==， 所以22T πω==，即ωπ=.所以()1sin()2f x x πφ=+，又因为该函数为偶函数0φπ<<，所以2πφ=，所以1sin()262164f ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 故选D.10.已知ABC ∆，6AB =，3AC =，N 是边BC 上的点，且2BN NC =，O 为ABC ∆的外心，AN AO 的值为（ ） A. 8B. 10C. 18D. 9『答案』D『解析』因为2BN NC =，所以22AN AB AC AN -=-，因此1233AN AB AC =+；取AB ，AC 中点分别为,D E ，则⊥OD AB ，OE AC ⊥；因此21182AB AO AB AD AB ===，21922AC AO AC AE AC === 所以12126393333AN AO AB AC AO AB AO AC AO ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭.故选D.11.已知函数()32log f x x =+的定义域为[]1,3，()()()22g x fx f x m =++，若存在实数(){}123,,a a a y y g x ∈=，使得123a a a +<，则实数m 的取值范围是 A. 114m <-B. 134m <-C. 1m <D. 2m <『答案』A『解析』由题意得()()()()22233332log 2log log 6log 6g x x x m x x m =++++=+++，由21313x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，得1x ≤≤∴函数()g x 的定义域为⎡⎣．令31log ,0,2t x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，且()()226t 633h t t m t m =+++=+-+， ∴函数()h t 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()()()13706,24min maxh x h m h x h m ⎛⎫==+==+ ⎪⎝⎭，∴()()376,4min max g x m g x m =+=+． 由题意得“存在实数(){}123,,a a a y y g x ∈=，使得123a a a +<”等价于“()()2min max g x g x <”， ∴()37264m m +<+， 解得114m <-. 故选A ．12.已知实数x ，y 满足()2ln 436326x y x y e x y +-+--≥+-，则x y +的值为（ ）A. 2B. 1C. 0D. 1-『答案』A『解析』设m 4x 3y 6=+-，n x y 2=+-，则m n 3x 2y 4-=+-n lnm e m n 2-≥--，nlnm m e n 2,(m 0)-≥-->令()f m lnm m =-，f '(m)=11,0m-∴<m<1,f '(m)>0,;m>1, f '(m)<0,则()f m 在()0,1单调递增()1,∞+单调递减()()max f m f 11∴==-，()f m 1∴≤-令()nh n e n 2=--，()()()ne 1,0,0;0,0,h n n h n n h n =-∴>'<'<'>则()()h n ,0∞-单调递减，()0,∞+单调递增()()()min h n h 01h n 1∴==-∴≥- 由题意()()f m h n m 1≥∴=，n 0=，436120x y x y +-=⎧∴⎨+-=⎩，x 1∴=，y 1=,故x+y=2故选A.二、填空题：本小题共4小题，每题5分，共20分.13.已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为60︒，则a b +在a 上的投影为 ．『答案』2『解析』因为21()1+12=22a b a a a b +⋅=+⋅=⨯⨯，所以a b +在a 上的投影为()221a b a a +⋅==.所以『答案』应填：2． 14.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求60ACB ︒∠=，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为____________米『答案』2『解析』设AC x =，则0.5AB x =-由余弦定理得2222cos60AB AC BC AC BC ︒=+-⋅⋅ 2141BC x BC -⇒=- 令1t BC =-，0t > 则()211342224t x t tt +-==++≥=+当且仅当34t t =，即2t =时，即12BC =+时，AC取得最小值2本题正确结果：215.已知函数22()21f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．『答案』.『解析』因为2(())01()1()2f f x a f x a a x a a <⇒-+<<+⇒<-<+，所以当且仅当20a +≤时等式(())0f f x <的解集为空集，因此实数a 的取值范围是(],2-∞-16.已知()()()2log 44,13,1aax x x f x a x b x ⎧-+≥⎪=⎨-+≤⎪⎩对任意实数1x ，2x 满足()()21210f x f x x x ->-，则b 的取值范围为______.『答案』[)01，『解析』由题意，函数()()()()()2log 44131a ax x x f x a x b x ⎧-+≥⎪=⎨-+≤⎪⎩在[)1,+∞上是增函数，()()3f x a x b =-+为增函数，并且3og 1a a b l a -+==①当1x ≥时，()()2log 44a f x ax x =-+由于内层函数244t ax x =-+的图象开口向上，对称轴是2x a =，则内层函数在2,a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦是减函数，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数. 要使()()2log 44a f x ax x =-+在[)1+∞，上增函数， 故有，2110a a a ⎧≤⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩解得2a ≥②当1x <时，由于()()3f x a x b =-+为增函数，则30a ->，即3a < ③由于3log 12a a b a a b -+==⇔=+， 综上可知，223b ≤+<，故01b ≤< 故『答案』为：D三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知函数()222sin cos 122cos sin 22x x f x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-，函数()1y f x =-在()0,∞+上的零点按从小到大的顺序构成数列{}()Nxn a n ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设24(456)nn a b n n n π=+-，求数列{}n b 的前n 项和n S是解：（1） ()222sin cos 122cos sin 22x x f x x x⎛⎫+- ⎪⎝⎭=- sin tan cos x x x ==， 由tan 1x =及0x >得,4x k k N ππ=+∈，数列{}n a 是首项4π，公差d π=的等差数列，所以34n a n ππ=-． （2）由（1）得24(456)nn a b n n n π=+- 243()431114()(456)(2)(43)22n n n n n n n n n n πππ--===-+-+-+， 则11111111111(1)232422212n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 32342(1)(2)n n n +=-++ 18.已知向量(3cos ,cos()a x xωω=,(sin ,cos ),0b x x ωωω=-> 且函数()f x a b=⋅的两个对称中心之间的最小距离为2π． （I ）求()f x 的『解析』式及π()3f 的值；（Ⅱ）若函数()1()2xg x a =+在[]0,x π∈上恰有两个零点,求实数a 的取值范围．解：(Ⅰ)21()3sin cos cos 2(1cos 2)22f x a b x x x x x ωωωωω=⋅=-=-+ 1112cos 2sin(2)22262x x x πωωω=--=-- ∵函数()f x a b =⋅的两个对称中心之间的最小距离为2π∴22T π=,得T π=即2T ππω==,得1ω=即1()sin(2)62f x x π=-- 则111()sin(2)1336222f πππ=⨯--=-= (Ⅱ)令1()1()1sin()0262xg x a a x π⎤=+-=+---=⎥⎦得：)162a x π=---,当0x π≤≤时,5666x πππ-≤-≤ 当5666x πππ≤-≤且62x ππ-≠时,sin()6y x π=-才有两个相同的函数值, 此时1sin()126x π≤-<则)26x π≤-<即0)622x π≤--<∴1)11622x π-≤---<-即：112a -≤<-即实数a的取值范围是1,12⎡⎫--⎪⎢⎪⎣⎭19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，1AA AC =，90ACB ∠=︒.（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；（2）若160A AC ∠=︒，22AC CB ==，求四棱锥11A BCC B -的体积. （1）证明：平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，90ACB ∠=.BC ∴⊥平面11ACC A1A C ⊂平面11ACC A 1BC AC ∴⊥ 11//B C BC 111AC B C ∴⊥ 四边形11ACC A 是平行四边形，且1AA AC = ∴四边形11ACC A 是菱形11AC AC ∴⊥ 1111AC B C C = 1A C ∴⊥平面11AB C又1AC ⊂平面11A B C ∴平面11AB C ⊥平面11A B C （2）解：四边形11ACC A 是菱形，160A AC ∠=，2AC =1122sin 6032ACC S ∆∴=⨯⨯⨯=11//B C BC ，11B C BC =，BC ⊥平面11ACC A ，1BC =11111111333B ACC ACC V S B C -∆∴=⨯⨯==，111111223A BCC B A CC B B ACC V V V ---∴===即四棱锥11A BCC B - 20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(2,1)M 在抛物线C ：2x ay =上，直线l ：(0)y kx b b =+≠与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线OA ，OB 的斜率之和为-1.（1）求a 和k 的值；（2）若1b >，设直线l 与y 轴交于D 点，延长MD 与抛物线C 交于点N ，抛物线C 在点N处的切线为n ，记直线n ，l 与x 轴围成的三角形面积为S ，求S 的最小值.解：（1）将点()2,1M 代入抛物线C ：2x ay =，得4a =，24x y y kx b⎧=⎨=+⎩，得2440x kx b --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x b =-， 解法一：1212OA OB y y k k x x +=+ 2212121144x x x x + ()1214x x =+， 由已知得()12114x x +=-，所以414k =-，1k =-. 解法二：1212OA OB kx b kx b k k x x +++=+ ()12122b x x k x x +=+ 424kb k k b =+=-， 由已知得1k =-.（2）在直线l 的方程y x b =-+中，令0x =得()0,D b ，12DM b k -=， 直线DM 的方程为：()1122b y x --=-，即()12b x y b -=+， 由()2124b x y b x y ⎧-=+⎪⎨⎪=⎩，得()22140x b x b ---=， 解得：2x =，或2x b =-，所以()22,N b b-， 由24x y =，得214y x =，1'2y x =，切线n 的斜率()122k b b =-=-， 切线n 的方程为：()22y b b x b -=-+，即2y bx b =--，由2y bx b y x b ⎧=--⎨=-+⎩，得直线l 、n 交点Q ，纵坐标221Q b y b =-， 在直线y x b =-+，2y bx b =--中分别令0y =，得到与x 轴的交点(),0R b ，(),0E b -， 所以12Q S RE y = ()23122211b b b b b b =+=--，()()22223'1b b S b -=-，()1,b ∈+∞， 当31,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数单调递减；当3,2b ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，函数单调递增；∴当32b =时，S 最小值为272.21.设函数()2a 2x f x x alnx (a 0)x -=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．解：（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x +----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减；若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a ==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a =++->， ∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减；当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->． ∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 4sin 4ρθρθ-=（1）若4πα=，求直线l 的极坐标方程以及曲线C 的直角坐标方程： （2）若直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，且12MN =，求直线l 的斜率．解：（1）由题意，直线2:2x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得直线l 是过原点的直线， 故其极坐标方程为()4R πθρ=∈， 又22cos 4sin 4ρθρθ-=，故244x y =+；（2）由题意，直线l 的极坐标为()R θαρ=∈，设M 、N 对应的极径分别为1ρ，2ρ，将()R θαρ=∈代入曲线C 的极坐标可得： 22cos 4sin 4ρραα-=， 故1224sin cos αρρα+=，1224cos ρρα=-，∴12MN ρρ=-=24cos α=， 故2412cos α=，则21cos 3α=，即222sin 1cos 3αα=-= ，222sin tan 2cos ααα==，所以tan k α==故直线l 的斜率是23.选修4—5：不等式选讲 已知关于x 的不等式32x x m m +++≥的解集为R ．(1)求m 的最大值；(2)已知0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=，求222234a b c ++的最小值及此时a ，b ，c 的值． 解： (1)因为3x x m +++≥ ()()3x x m +-+ 3m =-.当3x m -≤≤-或3m x -≤≤-时取等号，令32m m -≥所以32m m -≥或32m m -≤-．解得3m ≤-或1m ≤∴m 的最大值为1．(2)∵1a b c ++=．由柯西不等式，()222111234234a b c ⎛⎫++++⎪⎝⎭ ()21a b c ≥++=, ∴2221223413a b c ++≥，等号当且仅当234a b c ==，且1a b c ++=时成立． 即当且仅当613a =，413b =，313c =时，222234a b c ++的最小值为1213．。

东北三省三校2019年高三第二次联合模拟考试（哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学)数学理试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 若}7,6,5{}3,2,1{}8,7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，，，则()()U U C A C B =A. ｛4,8}B. ｛2，4，，6，8｝C. ｛1，3，5，7}D 。

｛1,2，3,5，6，7}2。

已知复数i z 2321+-=，则=+||z z A 。

i 2321--B 。

i 2321+-C.i 2321+ D 。

i 2321- 3。

设随机变量ξ服从正态分布)9,2(N ，若)(c P >ξ=)2(-<c P ξ，则c 的值是 A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知113::<+≥x q k x p ，，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是 A 。

),2[+∞B. ),2(+∞C. ),1[+∞D. ]1,(--∞5。

已知△ABC 的内角A ，B,C 的对边分别为a ,b ，c,且BC Aa cbc sin sin sin +=--，则B= A.6π B.4π C 。

3π D 。

43π 6. 已知函数)1ln()(2+=x x f 的值域为}2,1,0{，则满足这样条件的函数的个数为 A. 8B. 9C. 26D. 277。

已知△ABC 16·10-==AC AB ，,D 为边BC 的中点,等于 A. 6B. 5C. 4D 。

38. 函数)42sin(2)(π+=x x h 的图象与函数)(x f 的图象关于点)1,0(对称,则函数)(x f 可由)(x h 经过 的变换得到A 。

向上平移2个单位,向右平移4π个单位 B. 向上平移2个单位，向左平移4π的单位 C. 向下平移2个单位，向右平移4π个单位 D 。

绝密★启用前东北师范大学附属中学 2019届高三第二次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．若集合 ， ，则A ．B ．C ．D ． 2．设 是虚数单位，若复数，则 =A ．B ．C ．D ．3．已知向量=（2，x ），=（1，2），若∥，则实数x 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．设则 = A ．B ．C ．D ．5．函数的零点所在的区间为 A ．B ．C ．D ． 6．下列有关命题的说法正确的是 A ．若 为假命题，则 均为假命题B ． 是 的必要不充分条件C ．命题 若 则的逆否命题为真命题D ．命题 使得的否定是： 均有7．元朝时，著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，与店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的 时，问一开始输入的 =A ．B ．C ．D ．8．若在 中， ，则此三角形的形状是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 9．函数 的大致图象是A ．B ．C ．D ．10．已知函数 ， ， 满足对任意 ，都有成立， 则实数 的取值范围是A ．B ．C ．D ．11．已知在区间 上有最大值，则实数a 的取值范围是此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．B ．C ．D ．12．在等腰直角 中， ， 在 边上且满足: ,若 ，则 的值为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若，则 ___________．14．已知向量 ，如果 与 的夹角为直角，则 _________. 15．已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围是____________. 16．设 是定义在 上的偶函数，对任意 ，都有 ，且当 ， 时，.在区间 ， 内关于 的方程 恰有 个不同的实数根，则实数 的取值范围是_________.三、解答题17．已知函数 . （1）求 的最小正周期；（2）当时， 的最小值为5，求 的值.18．已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ． （1）求角 的大小：（2）若 ．求 的面积．19．如图,在四棱锥P ABCD -中,棱PA ⊥底面ABCD ,且AB BC ⊥, //AD BC ,22PA AB BC AD ====, E 是PC 的中点.(1)求证: DE ⊥平面PBC ； (2)求三棱锥A PDE -的体积.20．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是E 、F，离心率4e =，过点F 的直线交椭圆C 于A 、B 两点， ABE ∆的周长为16．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为原点，圆D ： ()2223x y r -+=（0r >）与椭圆C 交于M 、N 两点，点P 为椭圆C 上一动点，若直线PM 、PN 与x 轴分别交于G 、H 两点，求证： OG OH ⋅为定值．21．已知函数 ． （1）求函数 的单调区间； （2）若 恒成立，求 的值.22．直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1{x cos y sin αα=+=（α为参数），曲线222:13x C y +=.（1）在以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求12,C C 的极坐标方程； （2）射线()03πθρ=≥与1C 异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求AB .23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x =-．（1）若()()29f t f t +<，求t 的取值范围；（2）若存在[]2,4x ∈，使得()23f x x a ++≤成立，求a 的取值范围．。

2019届东北三省三校高三第二次模拟数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式得到集合，再根据题中条件，即可判断出与之间关系. 【详解】由得或，故或，又，所以.故选D2.已知（为虚数单位），则复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先将式子化为，再由复数的除法运算即可得出结果.【详解】因为，所以，故.故选C3.过点的直线与圆相交于，两点，若，则该直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由题意，设直线的方程为；根据弦长和半径确定点到直线的距离，再由点到直线的距离公式即可求出结果.【详解】由题意设直线的方程为，因为圆的圆心为，半径为，又弦长，所以圆心到直线的距离为，所以有，解得.故选A4.将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为，现采用随机模拟的方法估计的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出现“恰有1次反面朝上”的频率记为，则，分别为（）111 001 011 010 000 111 111 111 101 010000 101 011 010 001 011 100 101 001 011A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据题意，可直接得到“连掷三次，恰出现1次反面朝上”的概率；根据题中数据，列举出“连掷三次，恰出现1次反面朝上”所包含的情况，即可得出；【详解】由题意可得，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率；由表中数据可得，“连掷三次，恰出现1次反面朝上”所包含的情况有：011，101，101，011，011，101，011共7组，所以.故选B5.已知，则（）A. B. C. D.。