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2.3__Griffith微裂纹强度理论讲解

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脆性断裂现象理论结合强度Griffith微裂

脆性断裂现象理论结合强度Griffith微裂
外力作用时，在这些缺陷处就会引起应 力集中，导致裂纹成核。如：位错运动 中的塞积，位错组合，交截等。 如图2.8
⑵ 材料表面的机械损伤与化学腐蚀形成表面裂纹。这 种表面裂纹最危险，裂纹的扩展常常由表面裂纹开 始。
⑶ 由于热应力形成裂纹 ①晶粒在材料内部取向不同，热膨胀系数 不同，在晶界或相界出现 应力集中。 ②高温迅速冷却，内外温度差引起热应力。 ③温度变化发生晶型转变，体积发生变化。
• a.将一单位厚度的薄板拉长到 l ，l 此时板中储存
的弹性应变能为:
we1

1 2
F
l
• b.人为地在板上割出一条长度为2c的裂纹，产生两 个新表面，此时，板内储存的应变能为:
we2

1 2
F

F l
•
c. 应变能降低
we

w w
e1
e2
1 F l 2
当裂纹尖端处的横向拉应力尚不足以引起扩展，但在 长期受力情况下，会出现裂纹的缓慢生长。
第二节 理论结合强度
要推导材料的理论强度，应从原子间的结合力入 手，只有克服了原子间的结合力，材料才能断裂。
Orowan提出了以正弦曲线来近似原子间约束力随 原子间的距离X的变化曲线（见图2.1）。
得出：


当 r ＜＜ c ， →0 时，即为裂纹 尖端处的一点。
K
xx
yy 2 r
yy是裂纹扩展的主要动力
三. 应力场强度因子及几何形状因子
K 2r 2 2 r c Y c

A

r c
K 是反映裂纹间断应力场强度的强度因子,
Y 为几何形状因子，它和裂纹型式，试件几何

材料的脆性断裂与强度

材料的脆性断裂与强度

材料的脆性断裂与强度§2．1 脆性断裂现象⼀、弹、粘、塑性形变在第⼀章中已阐述的⼀些基本概念。

1．弹性形变正应⼒作⽤下产⽣弹性形变，剪彩应⼒作⽤下产⽣弹性畸变。

随着外⼒的移去，这两种形变都会完全恢复。

2．塑性形变是由于晶粒内部的位错滑移产⽣。

晶体部分将选择最易滑移的系统(当然，对陶瓷材料来说，这些系统为数不多)，出现晶粒内部的位错滑移，宏观上表现为材料的塑性形变。

3．粘性形变⽆机材料中的晶界⾮晶相，以及玻璃、有机⾼分⼦材料则会产⽣另⼀种变形，称为粘性流动。

塑性形变和粘性形变是不可恢复的永久形变。

4．蠕变：当材料长期受载，尤其在⾼温环境中受载，塑性形变及粘性形变将随时间⽽具有不同的速率，这就是材料的蠕变。

蠕变的后当剪应⼒降低(或温度降低)时，此塑性形变及粘性流动减缓甚⾄终⽌。

蠕变的最终结果：①蠕变终⽌；②蠕变断裂。

⼆．脆性断裂⾏为断裂是材料的主要破坏形式。

韧性是材料抵抗断裂的能⼒。

材料的断裂可以根据其断裂前与断裂过程中材料的宏观塑性变形的程度，把断裂分为脆性断裂与韧性断裂。

1．脆性断裂脆性断裂是材料断裂前基本上不产⽣明显的宏观塑性变形，没有明显预兆，往往表现为突然发⽣的快速断裂过程，因⽽具有很⼤的危险性。

因此，防⽌脆断⼀直是⼈们研究的重点。

2．韧性断裂韧性断裂是材料断裂前及断裂过程中产⽣明显宏观塑性变形的断裂过程。

韧性断裂时⼀般裂纹扩展过程较慢，⽽且要消耗⼤量塑性变形能。

⼀些塑性较好的⾦属材料及⾼分⼦材料在室温下的静拉伸断裂具有典型的韧性断裂特征。

3．脆性断裂的原因在外⼒作⽤下，任意⼀个结构单元上主应⼒⾯的拉应⼒⾜够⼤时，尤其在那些⾼度应⼒集中的特征点(例如内部和表⾯的缺陷和裂纹)附近的单元上，所受到的局部拉应⼒为平均应⼒的数倍时，此过分集中的拉应⼒如果超过材料的临界拉应⼒值时，将会产⽣裂纹或缺陷的扩展，导致脆性断裂。

虽然与此同时，由于外⼒引起的平均剪应⼒尚⼩于临界值，不⾜以产⽣明显的塑性变形或粘性流动。

知识资料Griffith理论和能量释放率

知识资料Griffith理论和能量释放率
断裂力学 第二讲
Griffith能量释放率
问题
• 寻找身边的断裂的事例，用手机或者其他手段记录下来。 • 为什么玻璃等脆性材料的强度远低于材料的理论强度？ • 把Inglis应力集中分析应用到材料强度理论，能否说明含
裂纹固体的强度丧失？ • 含有尖锐裂纹的脆性固体（如玻璃），为什么仍然具有一
定强度？什么因素阻碍了裂纹扩展？ • 脆性裂纹体的强度由什么因素控制？ • 将Griffith关于表面能的讨论应用到（脆性）金属材料，会
确定受载荷作用裂纹体的裂纹驱动力
两种载荷情况
— 恒定位移加载和恒定载荷加载
恒位移载荷和恒拉伸载荷
载荷与裂纹驱动力
通过实验确定材料的断裂阻力
R曲线方法
END
遇到什么问题？什么因素阻碍了金属材料中的裂纹扩展？ • 如何分析（计算）受载荷固体的裂纹扩展驱动力？ • 实验中如何确定材料的断裂阻力（断裂能）？
Griffith问题
受外载荷作用的裂纹体能量
虚拟裂纹扩展
裂纹驱动力： 裂纹扩展阻力：
固体强度：
金属材料的断裂能量
• 除表面能之外，材料的断裂能包括材料 发生பைடு நூலகம்离时的塑性变形能量耗散。后者 可能比表面能高两个两级。

清华大学断裂力学讲义 Griffith断裂理论共52页PPT

清华大学断裂力学讲义 Griffith断裂理论共52页PPT
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
பைடு நூலகம்
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
清华大学断裂力学讲义 Griffith断裂 理论
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。

清华大学断裂力学讲义第二章-Griffith断裂理论

清华大学断裂力学讲义第二章-Griffith断裂理论
封闭系统：系统与环境之间只有能量交换，没有物质交换。
内能
U S,V
焓
H S, P U PV
Helmholtz 自由能
F T,V U TS
Gibbs 自由能
GT, P U PV TS
min U
min H min F
达到平衡状态
min G
能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。
5
Legendre变换
的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的
差就是新函数。 Leຫໍສະໝຸດ endre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
6
Griffith理论
Alan Arnold Griffith (1893-1963). He was born in London on 13 June 1893. He earned his B.Eng. in mechanical engineering in 1914, M.Eng. in 1917, and D.Eng. in 1921, all from the University of Liverpool. In 1915, he entered the Royal Aircraft Factory (later known as the Royal Aircraft Establishment), and advanced through a workshop traineeship followed by other positions to become senior scientific officer in
Charles Inglis, 1913

断裂力学讲义ch2-Griffith理论_474608451

断裂力学讲义ch2-Griffith理论_474608451



E' / L


u2
2 如果以(b) 为应变能零状态,要求解u (c) 状态能量,先转 换成求(d)状态能量
对于一般的问题能用叠加来计算能量吗？
若不能,为什么这里可以？
计算弹性应变能 U e（有限板情形），采用叠加原理

通过计算做功来计算 能量差异

E' / L


u2 u2
第二章 能量平衡方法
能量守恒（热力学第一定律）
系统又有往能量极小演化的趋势
似乎有矛盾，怎么回事？
热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况 下的发展方向 ◎ 热能区别于其他能量形式 ◎ 很多能量都最终耗散转化为热能 ◎ 事实上系统演化是一个熵增的过程
※断裂过程中的能量平衡及转化——Griffith理论
e GBda W dU d 最一般情形：
外势能（外力势） 杨卫教材
G
1 B a
P
1 U e 系统位移边界固定： ， B a （1.10） 1 G Ue w Ue （1.17） B a （1.18） G
P 固定情形：
材料常数？
塑性 区
F
F
1． 塑性变形仅局限于裂纹尖端（即塑性区尺寸远小 a 或其他 特征长度尺寸） 2． 裂纹扩展所释放的机械能大部分消耗于裂纹尖端的塑性变 形功 3． 塑性功的大小足以表征材料的断裂性能
一些讨论 什么是表面能？ 裂纹长度 a 是单调增的！？ 怎么理解能量释放率 G 与加载方式无关（广义构型力，能量 平衡） Legendre 变换和状态函数的选择 存在一个特征尺度，尺寸效应
上面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统和外界功 的交换，即 W 0 下面的例子试件子系统与外界会有功的交换， 但是若将试验机和试件视为一个总系统，首先 仍研究没有功交换的情形

断裂强度的裂纹理论格里菲斯裂纹理论为了解释玻璃陶瓷等脆性材料断

断裂强度的裂纹理论格里菲斯裂纹理论为了解释玻璃陶瓷等脆性材料断

断裂强度的裂纹理论（格里菲斯裂纹理论）为了解释玻璃、陶瓷等脆性材料断裂强度的理论值与实际值的巨大差异，格里菲斯(A.Giffith)在1921年提出，实际材料中已经存在裂纹，当平均应力还很低时，裂纹尖端的应力集中已经达到很高值（σm ），从而使裂纹快速扩展并导致脆性断裂，他根据能量平衡原理计算出裂纹自动扩展时的应力值，即计算了含裂纹体的强度。

能量平衡原理指出，由于裂纹的存在，系统弹性能降低，若要保持系统总能量不变，裂纹释放的弹性能必然要与因存在裂纹而增加的表面能平衡。

如果弹性能的降低足以满足表面能的增加的需要，则裂纹的扩展就成为系统能量降低的过程，因而裂纹就会自发扩展引起脆性破坏。

设有一单位厚度的无限宽薄板，对之施加一拉应力，并使其固定以隔绝与外界的能量交换。

在垂直于板表面方向上可以自由位移，板处于平面应力状态。

如果在此板的中心割开一个垂直于应力σ，长度为2A 的贯穿裂纹，则原来弹性拉紧的平板就产生直径为2a 的弹性松弛区，并释放弹性能，如图1所示。

松弛前弹性能的密度等于σ2/2E ，被松弛区的体积为πa 2。

根据弹性理论计算，释放的弹性能为：裂纹所增加的表面能为式中，γe 为表面能密度。

于是，整个系统的能量变化为：Ua 、Ur 及Ua+Ur 和裂纹长度的关系可以用图2表示。

如果裂纹的长度对应于能量Ua+Ur 的极大值，裂纹就可以自发的扩展（裂纹扩展，系统能量降低），因而裂纹自发扩展的能量判据可表示为：(于是，裂纹自发扩展的临界应力为对三维介质中钱币形裂纹进行过更精确的计算，也得出类似的结果，只是数值因素略有图2 裂纹尺寸与能量的关系差异：式(1)和(2)称为格里菲斯公式。

它说明裂纹扩展的临界应力σc和裂纹半场度a的平方根成反比。

与格里菲斯公式中σc对应的裂纹半长度a称为格里菲斯裂纹，用a c表示。

对于薄板：上式表明，与一定的应力水平相对应，存在一个临界裂纹2a c，a c也可以作为脆性断裂的断裂依据。

griffith关于裂纹扩展的论述

griffith关于裂纹扩展的论述

griffith关于裂纹扩展的论述《Griffith关于裂纹扩展的论述》引言：裂纹扩展是材料科学领域的重要研究方向，对于材料的强度和可靠性具有重要意义。

Griffith在20世纪初提出了关于裂纹扩展的理论，为后来的研究奠定了基础。

本文将从Griffith的论述出发，探讨裂纹扩展的原理和应用。

一、Griffith的理论Griffith的理论认为，裂纹扩展是由于材料中存在的微小缺陷或裂纹的存在，而在外部应力的作用下发生的。

他提出了一个关于裂纹扩展速率的公式，即裂纹扩展速度与裂纹尖端处应力强度因子的平方根成正比。

这个公式揭示了裂纹扩展的基本规律，为后来的研究提供了重要的理论依据。

二、裂纹扩展的机制裂纹扩展的机制主要包括两个方面：裂纹尖端处的塑性变形和材料的断裂。

当外部应力作用于裂纹尖端时，材料会发生塑性变形，这会导致裂纹的尖端处发生局部的塑性区域。

同时，裂纹尖端处的应力集中也会导致材料发生断裂，从而引起裂纹的扩展。

裂纹扩展的速率取决于这两个过程。

三、裂纹扩展的应用裂纹扩展的研究对于材料的设计和使用具有重要意义。

通过研究裂纹扩展的机制，可以预测材料的寿命和安全性。

例如，在航空航天领域，对于飞机的机身和发动机部件的裂纹扩展进行研究，可以确保飞机的安全飞行。

此外，在能源行业，研究裂纹扩展可以指导石油管道和核电厂设备的设计和维护，从而确保能源的供应和安全。

结论：Griffith关于裂纹扩展的论述为我们理解和研究裂纹扩展提供了重要的理论基础。

裂纹扩展的机制包括裂纹尖端处的塑性变形和材料的断裂。

裂纹扩展的研究对于材料的设计和使用具有重要意义，并在航空航天、能源等领域有着广泛的应用。

通过对裂纹扩展的深入研究，我们可以提高材料的强度和可靠性，为社会的发展和进步做出贡献。

Griffith微裂纹强度理论

Griffith微裂纹强度理论
工程应用
将griffith微裂纹理论应用于实际工程中，如玻璃 制品、陶瓷刀具等，以提高其强度和可靠性。
未来研究方向
探讨griffith微裂纹理论的局限性以及未来发展方 向，为相关领域的研究提供参考。
05
结论与展望
研究结论
Griffith微裂纹理论为材料断 裂力学提供了重要的理论基础，
特别是对于脆性材料。
感谢观看
该理论指出，当裂纹尺寸达 到临界值时，裂纹扩展的驱 动力将由外应力决定，而不
是由残余应力决定。
Griffith理论还指出，裂纹扩 展的临界应力与材料的表面能 有关，表面能越低，临多情况下都能很好地预测裂纹的扩展，但在某些情况下，如多裂纹、非均匀应力 场等复杂情况下，该理论的预测能力有待提高。
该理论不仅在材料科学和工程领域有广泛 应用，还涉及到地质学、生物学和其他涉 及断裂行为的领域。
02
Griffith微裂纹理论概述
Griffith微裂纹定义
总结词
Griffith微裂纹是指在材料中由于内部应力集中而形成的细小 裂纹。
详细描述
Griffith微裂纹通常是由于材料内部存在的缺陷、晶界、相界 面等处的应力集中所引起的。这些微裂纹在材料中广泛存在 ，对材料的力学性能和稳定性产生重要影响。
目前对于Griffith理论的实验验证主要集中在宏观尺度上，而在微观和纳观尺度上，由于实验技术的限制， 该理论的验证仍然是一个挑战。
为了更好地理解Griffith理论，需要进一步研究裂纹扩展的微观机制，包括裂纹尖端的应力场、能量释放 率等。同时，也需要发展更精确的数值模拟方法来模拟裂纹扩展的过程。
THANKS
04
实验验证与案例分析
实验设计
实验材料

第二章 无机材料的断裂强度

第二章 无机材料的断裂强度


(1 u2 ) c2
E
2
则，推出平面应力状态的临界应力为： c
2E C
平面应变状态的临界应力为： c
2E (1 u2 )c
Griffith推导的结果与（2.12）基本一致，只系数稍有差 别，与（2.6）理论强度公式类似。（2.6）中a为原子间 距，而上式中c为裂纹半长，可见使a、 c在同一数量级， 就可以使材料达到理论强度
键合方式
简化

th
sin
2x
σth –理论结合强 度（材料原子 间结合力的最 大值）
原子间结合力与距离的关系
将材料拉断时，产生两个新表面，因此使单位面
积的原子平面分开所作的功等于产生两个单位面
积的新表面所需的表面能，材料才能断裂。
分开单位原子平面所作
的功：v
2 0

th
sin
采用弯曲方法测量无机材料的断裂强度： 三点弯曲或四点弯曲梁实验
一般以0.5mm/min的位移速率对试样进行加载，测 出试样断裂时的临界载荷P。对于三点弯曲实验，试 样的强度3-pt由P40 式（2.24）计算；对于四点弯 曲实验，试样的强度4-pt由P40 式（2.25）计算。
导致测试误差的因素：
Griffith从能量平衡的观点出 发，认为裂纹扩展的条件是： 物体内储存的弹性应变能的 减小大于或等于开裂形成两 个新表面所需增加的表面能。 反之，裂纹不会扩展。即物 体内储存的弹性应变能的是 裂纹扩展的动力
平面应力状态下应变能的降
低为：
We

c 2
E
2

平面应变状态下应变能的降低为：We
通常， P，所以由 P控制着断裂行为。一般， P103，所以金属材料的允许裂纹尺寸比陶瓷材料 高3个数量级。

材料的脆性断裂

材料的脆性断裂

23.8 30.1 100 95 29.5
150 81.4 38.5 51.6 130 60～ 46.7 100 ～28
9
§2．3 Griffith微裂纹理论
一．Griffith微裂纹理论要点
Griffith认为脆性材料发生断裂所需的能量在材料 中的分布是不均匀的，实际材料中总是存在许多细小 的裂纹或缺陷，在外力作用下，这些裂纹和缺陷附近 产生应力集中现象。当名义应力还很低时，局部应力 集中已经达到很高的数值，当应力达到一定程度时， 裂纹开始扩展，最后导致脆性断裂。 从此概念出发，需进行两种探讨：①直接考察裂纹 端部附近的应力集中；②考察裂纹的裂纹的扩展过程： 当和裂纹的伸长有关的储存于材料中的弹性能降低和 新表面的形成有关的表面能增加时,裂纹就扩展。
引言
断裂是工程上最危险的失效形式。 特点：（a）突然性或不可预见性； （b）低于屈服力，发生断裂； （c）由宏观裂纹扩展引起。 ∴工程上，常采用加大安全系数；浪费材料。 但过于加大材料的体积，不一定能防止断裂。 ∴发展出断裂力学 断裂力学的研究范畴： 把材料看成是裂纹体，利用弹塑性理论，研究裂纹 尖端的应力、应变，以及应变能分布；确定裂纹的扩展 规律；建立裂纹扩展的新的力学参数（断裂韧度）。
15
12
将一单位厚度的薄板拉长到l+Δ l，然后将两端固 定。此时板中储存的弹性应变能为 We1=1／2(F· Δ l) 然后人为地在板上割出一条长度为 2c 的裂纹，产生 两个新表面，原来储存的弹性应变能就要降低，有裂 纹后板内储存的应变能为 We2=1／2(F－Δ F) · Δl ∴应变能降低为： We＝We1－We2=1／2Δ F · Δl （２）根据弹性理论计算 当裂纹长2c时，平面应力状态下应变能的降低为：
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2.3 Griffith微裂纹强度理论
Griffith(格里菲斯)认为，实际材料中存在许多细小的裂 纹或缺陷。在外力作用下，这些裂纹和缺陷附近产生应 力集中现象。当应力达到一定程度时，裂纹开始扩展而 导致断裂。所以，断裂不是两部分晶体沿整个晶面拉断， 而是裂纹扩展的结果。
材料中的裂纹型缺陷：材料中的伤痕、裂纹、气孔、 杂质等宏观缺陷。
孔洞两个端部的应力几 乎取决于孔洞的长度和 端部的曲率半径，而与 孔洞形状无关。
(孔洞)裂纹
长度2c
平板弹性体孔洞端部的受力情况
孔洞端部应力： A=(1+2c/a), =a2/c
式中：A—孔洞端部应力；—外加应力 a—原子间距； —曲率半径
A = [1+2(c/)1/2]
若为扁平的锐裂纹，则c>> ，c/将很大，略去‘1’，得：
因此，当dwe/(2dc) <dws/(2dc)时，为稳定状态，裂纹 不会扩展； 当dwe/(2dc) =dws/(2dc)时，为临界状态； 当dwe/(2dc) >dws/(2dc)时，裂纹失稳，迅速扩 散。 将We=πc22/E和Ws = 4c 代入，可得临界条件为：
πcc2/E=2
即：
量……）
则：释放的弹性形变能中只有1/2用于增加表面能。因此， 临界状态下d(we/2)/(2dc) =dws/(2dc)，将We=πc22/E和Ws = 4c 代入，可得临界条件为： 1/2πcc2/E=2 得： c=(4E/πc)1/2
大于c=(2E/πc)1/2
可以引入扩展单位面积裂纹所需的塑性功p来描述延性 材料的断裂(与前面假设的考虑方向相反，即增加了新生表面
c=(2E/πc)1/2
若是平面应变状态，则为： c=[2E/(1-μ2) πc]1/2 c=(2E/πc)1/2与c=(E/4c) ½基本一致。而且与理论强 度公式th = (E/r0)1/2 类似。
1. 若能控制裂纹长度和原子间距在同一数量级， 则材料可以达到理论强度。（很难做到）
A = 2 (c/)1/2
是很小的，近似为原子间距a，则
A = 2 (c/a)1c增大，A进一步增 加……，最终导致材料断裂。 此时，A= th ， 即: 得 2 (c/a)1/2 =(E/a)1/2 =c=(E/4c) 1/2
2. 制备高强度材料：E和要大，裂纹尺寸尽可能小。
（P45实例）
这一理论能说明脆性断裂的本质—微裂纹扩展，能解 释强度的尺寸效应。应用于玻璃等脆性材料上很成功，
但在金属与非晶体聚合物时有了很大的误差，即实验
值比计算值大得多。
产生误差的原因：延性材料在受力时，产生大的塑性形
变，要消耗大量的能量。（假设塑性变形消耗了一半的能
c为断裂应力
前面只考虑了裂纹端部一点的应力，实际上裂纹端部
的应力状态是很复杂的。
Griffith从能量的角度上分析了裂纹扩展的条件：物体
内储存的弹性应变能的降低大于等于开裂形成两个新
表面所需的表面能。反之，前者小于后者，裂纹不会
扩展。因此，物体内储存的弹性应变能的降低是裂纹
扩展的动力。
将单位厚度的薄板拉长至l+∆l，然后固定两端。此时板中储 存的弹性应变能为 ½(F·∆l)。 在板上割出一条长度2c的裂纹，产生两个新的表面。因此， 弹性应变能降低。
很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不
变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端 受固定约束。
产生长度2c，厚度为1的两个新断面所需的表 面能为 Ws = 4c
(2c×1×)×2
—单位面积上的断裂表面能。
裂纹进一步扩展2dc，单位面积所释放的能量 为dwe/(2dc) (厚度为1)，形成新的单位表面积所 需的表面能为dws /(2dc)。
由弹性理论，割开长2c的裂纹时，平面应力状态下应变能
的降低为
We=πc22/E
若为厚板，则属于平面应变状态，此时应变能的降低为
We= (1-μ2)πc22/E
式中，μ为泊松比
补充内容：平面应变状态及平面应力状态
平面应力状态：讨论的弹性体为薄板，薄壁厚度远远小于结 构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面，其所受外力， 包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。 平面应变状态：比如压力管道、水坝等，这类弹性体是具有
能 )。
c=[E(+p)/πc)]1/2 通常p>>，因此，对于金属和陶瓷材料，当E和c相 同的情况下，其临界裂纹长度相差103数量级。（P46） 因此，塑性是阻止裂纹扩展的一个重要因素。