第4讲 二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数x 是自变量,α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x 12,y ＝x －1.(2)图象(3)性质①幂函数在(0,＋∞)上都有定义；②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增； ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x －m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a<0)图象定义域 (－∞,＋∞)(－∞,＋∞)值域 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 12是幂函数．( )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点．( ) (3)当n<0时,幂函数y ＝x n是定义域上的减函数．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c,x ∈[a,b]的最值一定是4ac －b24a.( )(5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c,x ∈R 不可能是偶函数．( )(6)在y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)中,a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1.(必修1P77图象改编)如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图象,则a,b,c 的大小关系为________．解析：根据幂函数的性质可知a<0,b>1,0<c<1,故a<c<b. 答案：a<c<b2．(必修1P39B 组T1改编)函数g(x)＝x 2－2x(x∈[0,3])的值域为________．解析：由g(x)＝x 2－2x ＝(x －1)2－1,x ∈[0,3],得g(x) 在[0,1]上是减函数,在[1,3]上是增函数． 所以g(x)min ＝g(1)＝－1,而g(0)＝0,g(3)＝3. 所以g(x)的值域为[－1,3]． 答案：[－1,3] [易错纠偏](1)二次函数图象特征把握不准； (2)二次函数的单调性规律掌握不到位； (3)幂函数的图象掌握不到位．1．如图,若a<0,b>0,则函数y ＝ax 2＋bx 的大致图象是________(填序号)．解析：由函数的解析式可知,图象过点(0,0),故④不正确．又a<0,b>0,所以二次函数图象的对称为x ＝－b2a>0,故③正确．答案：③2．若函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3,＋∞)上是减函数,则m 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3,＋∞)上是减函数, 所以⎩⎪⎨⎪⎧m<0－12m ≤3,即m≤－16.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－16 3．当x∈(0,1)时,函数y ＝x m的图象在直线y ＝x 的上方,则m 的取值范围是________． 答案：(－∞,1)幂函数的图象及性质(1)幂函数y ＝f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y ＝f(x)的图象是( )(2)若(a ＋1)12<(3－2a)12,则实数a 的取值范围是________． 【解析】 (1)设幂函数的解析式为y ＝x α, 因为幂函数y ＝f(x)的图象过点(4,2), 所以2＝4α,解得α＝12.所以y ＝x,其定义域为[0,＋∞),且是增函数,当0<x<1时,其图象在直线y ＝x 的上方,对照选项,故选C.(2)易知函数y ＝x 12的定义域为[0,＋∞),在定义域内为增函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a<23.【答案】 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)判断幂函数y ＝x α(α∈R)的奇偶性时,当α是分数时,一般将其先化为根式,再判断． (3)若幂函数y ＝x α在(0,＋∞)上单调递增,则α>0,若在(0,＋∞)上单调递减,则α<0.1．已知幂函数f(x)＝xm 2－2m －3(m∈Z)的图象关于y 轴对称,并且f(x)在第一象限是单调递减函数,则m ＝________．解析：因为幂函数f(x)＝xm 2－2m －3(m∈Z)的图象关于y 轴对称,所以函数f(x)是偶函数,所以m 2－2m －3为偶数,所以m 2－2m 为奇数,又m 2－2m<0,故m ＝1. 答案：12．当0<x<1时,f(x)＝x 1.1,g(x)＝x 0.9,h(x)＝x －2的大小关系是________．解析：如图所示为函数f(x),g(x),h(x)在(0,1)上的图象,由此可知h(x)>g(x)>f(x)．答案：h(x)>g(x)>f(x)求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式．【解】 法一：(利用一般式)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x －m)2＋n(a≠0)． 因为f(2)＝f(－1), 所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12. 所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8,所以n ＝8,所以f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. 因为f(2)＝－1,所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1,解得a ＝－4,所以f(x)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2,x 2＝－1, 故可设f(x)＋1＝a(x －2)(x ＋1), 即f(x)＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8,即4a （－2a －1）－a24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去),所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,但所给条件不同选取的求解方法也不同,选择规律如下：1．若函数f(x)＝(x ＋a)(bx ＋2a)(常数a,b ∈R)是偶函数,且它的值域为(－∞,4],则该函数的解析式f(x)＝________．解析：由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y 轴对称,所以－a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a b ,即b ＝－2,所以f(x)＝－2x2＋2a 2,又f(x)的值域为(－∞,4],所以2a 2＝4,故f(x)＝－2x 2＋4.答案：－2x 2＋42．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x 轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R ,都有f(2－x)＝f(2＋x),求f(x)的解析式．解：因为f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R 恒成立, 所以f(x)的对称轴为x ＝2.又因为f(x)的图象被x 轴截得的线段长为2, 所以f(x)＝0的两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(x)＝a(x －1)(x －3)(a≠0), 又f(x)的图象过点(4,3), 所以3a ＝3,a ＝1, 所以所求f(x)的解析式为 f(x)＝(x －1)(x －3), 即f(x)＝x 2－4x ＋3.二次函数的图象与性质(高频考点)高考对二次函数图象与性质进行考查,多与其他知识结合,且常以选择题形式出现,属中高档题．主要命题角度有：(1)二次函数图象的识别问题； (2)二次函数的单调性问题； (3)二次函数的最值问题． 角度一 二次函数图象的识别问题已知abc>0,则二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )【解析】 A 项,因为a<0,－b2a<0,所以b<0. 又因为abc>0,所以c>0,而f(0)＝c<0,故A 错． B 项,因为a<0,－b2a>0,所以b>0.又因为abc>0,所以c<0,而f(0)＝c>0,故B 错． C 项,因为a>0,－b2a <0,所以b>0.又因为abc>0,所以c>0,而f(0)＝c<0,故C 错．D 项,因为a>0,－b2a >0,所以b<0,因为abc>0,所以c<0,而f(0)＝c<0,故选D. 【答案】 D角度二 二次函数的单调性问题函数f(x)＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1,＋∞)上是递减的,则实数a 的取值范围是________． 【解析】 当a ＝0时,f(x)＝－3x ＋1在[－1,＋∞)上递减,满足条件． 当a≠0时,f(x)的对称轴为x ＝3－a2a,由f(x)在[－1,＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a<03－a 2a ≤－1，解得－3≤a<0.综上,a 的取值范围为[－3,0]． 【答案】 [－3,0](变条件)若函数f(x)＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1,＋∞),则a 为何值？解：因为函数f(x)＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间为[－1,＋∞),所以⎩⎪⎨⎪⎧a<0，a －3－2a ＝－1,解得a ＝－3.角度三 二次函数的最值问题已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋1,x ∈[－1,2]． (1)若a ＝1,求f(x)的最大值与最小值；(2)f(x)的最小值记为g(a),求g(a)的解析式以及g(a)的最大值． 【解】 (1)当a ＝1时,f(x)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2,x ∈[－1,2], 则当x ＝1时,f(x)的最小值为0,x ＝－1时,f(x)的最大值为4. (2)f(x)＝(x －a)2＋1－a 2,x ∈[－1,2], 当a<－1时,f(x)的最小值为f(－1)＝2＋2a, 当－1≤a≤2时,f(x)的最小值为f(a)＝1－a 2, 当a>2时,f(x)的最小值为f(2)＝5－4a, 则g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ，a<－1，1－a 2，－1≤a≤2，5－4a ，a>2，可知,g(a)在(－∞,0)上单调递增,在(0,＋∞)上单调递减,g(a)的最大值为g(0)＝1.(1)确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向； 二是看对称轴和最值,它确定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点,函数图象的最高点或最低点等．从这三个方面入手,能准确地判断出二次函数的图象．反之,也可以从图象中得到如上信息． (2)二次函数最值的求法二次函数的区间最值问题一般有三种情况：①对称轴和区间都是给定的；②对称轴动,区间固定；③对称轴定,区间变动．解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合,三点指的是区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴．具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解．对于②、③,通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论．1．若函数f(x)＝x 2＋ ax ＋b 在区间[0, 1]上的最大值是M,最小值是m,则M －m( ) A ．与a 有关,且与b 有关 B ．与a 有关,但与b 无关 C ．与a 无关,且与b 无关 D ．与a 无关,但与b 有关解析：选 B.f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a 24＋b,①当0≤－a 2≤1时,f(x)min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b,f(x)max ＝M ＝max{f(0),f(1)}＝max{b,1＋a ＋b},所以M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关,与b 无关；②当－a2<0时,f(x)在[0,1]上单调递增,所以M －m ＝f(1)－f(0)＝1＋a 与a 有关,与b 无关；③当－a2>1时,f(x)在[0,1]上单调递减,所以M －m ＝f(0)－f(1)＝－1－a 与a 有关,与b 无关．综上所述,M －m 与a 有关,但与b 无关,故选B.2．若函数f(x)＝ax 2＋20x ＋14(a ＞0)对任意实数t,在闭区间[t －1,t ＋1]上总存在两实数x 1,x 2,使得|f(x 1)－f(x 2)|≥8成立,则实数a 的最小值为________．解析：因为a ＞0,所以二次函数f(x)＝ax 2＋20x ＋14的图象开口向上．在闭区间[t －1,t ＋1]上总存在两实数x 1,x 2, 使得|f(x 1)－f(x 2)|≥8成立, 只需t ＝－10a时f(t ＋1)－f(t)≥8,即a(t ＋1)2＋20(t ＋1)＋14－(at 2＋20t ＋14)≥8, 即2at ＋a ＋20≥8,将t ＝－10a代入得a≥8. 所以a 的最小值为8. 故答案为8. 答案：8三个“二次”间的转化(2020·金华市东阳二中高三调研)已知二次函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a,b ∈R)．(1)当a ＝－6时,函数f(x)的定义域和值域都是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，b 2,求b 的值； (2)当a ＝－1时在区间[－1,1]上,y ＝f(x)的图象恒在y ＝2x ＋2b －1的图象上方,试确定实数b 的范围．【解】 (1)当a ＝－6时,函数f(x)＝x 2－6x ＋b,函数对称轴为x ＝3,故函数f(x)在区间[1,3]上单调递减,在区间(3,＋∞)上单调递增．①当2<b≤6时,f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，b 2上单调递减；故有⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝b2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＝1,无解；②当6<b≤10时,f(x)在区间[1,3]上单调递减,在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤3，b 2上单调递增,且f(1)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2,故⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝b 2f （3）＝1,解得b ＝10； ③当b>10时,f(x)在区间[1,3]上单调递减,在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤3，b 2上单调递增,且f(1)<f(b 2),故⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＝b 2f （3）＝1,无解．所以b 的值为10.(2)当a ＝－1时,f(x)＝x 2－x ＋b,由题意可知x 2－x ＋b>2x ＋2b －1对x∈[－1,1]恒成立, 化简得b<x 2－3x ＋1,令g(x)＝x 2－3x ＋1,x ∈[－1,1],图象开口向上,对称轴为x ＝32,在区间[－1,1]上单调递减,则g(x)min＝－1,故b<－1.(1)二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”,它们常结合在一起,而二次函数又是三个“二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体．因此,解决此类问题首先采用转化思想,把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a ≥f(x)max ,a ≤f(x)恒成立⇔a ≤f(x)min .[提醒] 当二次项系数a 是否为0不明确时,要分类讨论．1．(2020·宁波市余姚中学期中检测)设a<0,(3x 2＋a)(2x ＋b)≥0在(a,b)上恒成立,则b －a 的最大值为( )A.13 B.12 C.33D.22解析：选A.因为(3x 2＋a)(2x ＋b)≥0在(a,b)上恒成立, 所以3x 2＋a≥0,2x ＋b≥0或3x 2＋a≤0,2x ＋b≤0,①若2x ＋b≥0在(a,b)上恒成立,则2a ＋b≥0,即b≥－2a>0,此时当x ＝0时,3x 2＋a ＝a≥0不成立, ②若2x ＋b≤0在(a,b)上恒成立,则2b ＋b≤0,即b≤0,若3x 2＋a≤0在(a,b)上恒成立,则3a 2＋a≤0,即－13≤a ≤0,故b －a 的最大值为13.2．已知函数f(x)＝x 2－x ＋1,在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x ＋m 恒成立,则实数m 的取值范围是________．解析：f(x)>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m,即x 2－3x ＋1－m>0, 令g(x)＝x 2－3x ＋1－m,要使g(x)＝x 2－3x ＋1－m>0在[－1,1]上恒成立,只需使函数g(x)＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． 因为g(x)＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减, 所以g(x)min ＝g(1)＝－m －1. 由－m －1>0,得m<－1 .因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞,－1)． 答案：(－∞,－1)[基础题组练]1．已知幂函数f(x)＝k·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22,则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 解析：选C.因为函数f(x)＝k·x α是幂函数,所以k ＝1,又函数f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22,解得α＝12,则k ＋α＝32. 2．若幂函数f(x)＝x mn(m,n ∈N *,m,n 互质)的图象如图所示,则( )A ．m,n 是奇数,且mn <1B ．m 是偶数,n 是奇数,且mn >1C ．m 是偶数,n 是奇数,且mn <1D ．m 是奇数,n 是偶数,且mn>1解析：选C.由图知幂函数f(x)为偶函数,且mn <1,排除B,D ；当m,n 是奇数时,幂函数f(x)非偶函数,排除A ；选C.3．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意的x∈R 都有f(x －1)＝f(3－x),则以下结论中正确的是( ) A ．f(0)<f(－2)<f(5) B ．f(－2)<f(5)<f(0) C ．f(－2)<f(0)<f(5)D ．f(0)<f(5)<f(－2)解析：选A.若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意的x∈R 都有f(x －1)＝f(3－x),则f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝1且函数f(x)的图象的开口方向向上,则函数f(x)在(1,＋∞)上为增函数,所以f(2)<f(4)<f(5),又f(0)＝f(2),f(－2)＝f(4),所以f(0)<f(－2)<f(5)．4．(2020·瑞安四校联考)定义域为R 的函数f(x)满足f(x ＋1)＝2f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)＝x 2－x,则当x∈[－2,－1]时,f(x)的最小值为( )A ．－116B ．－18C ．－14D ．0解析：选A.当x∈[－2,－1]时,x ＋2∈[0,1],则f(x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2,又f(x ＋2)＝f[(x ＋1)＋1]＝2f(x ＋1)＝4f(x),所以当x∈[－2,－1]时,f(x)＝14(x 2＋3x ＋2)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－116,所以当x ＝－32时,f(x)取得最小值,且最小值为－116,故选A.5．若函数f(x)＝x 2－2x ＋1在区间[a,a ＋2]上的最小值为4,则a 的取值集合为( ) A ．[－3,3] B ．[－1,3] C ．{－3,3}D ．{－1,－3,3}解析：选C.因为函数f(x)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2,对称轴为x ＝1,因为在区间[a,a ＋2]上的最小值为4,所以当1≤a 时,y min ＝f(a)＝(a －1)2＝4,a ＝－1(舍去)或a ＝3,当a ＋2≤1时,即a≤－1,y min ＝f(a ＋2)＝(a ＋1)2＝4,a ＝1(舍去)或a ＝－3,当a<1<a ＋2,即－1<a<1时,y min ＝f(1)＝0≠4,故a 的取值集合为{－3,3}．6．(2020·温州高三月考)已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0),g(x)＝f(f(x)),若g(x)的值域为[2,＋∞),f(x)的值域为[k,＋∞),则实数k 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C.设t ＝f(x),由题意可得g(x)＝f(t)＝at 2＋bt ＋c,t ≥k,函数y ＝at 2＋bt ＋c,t ≥k 的图象为y ＝f(x)的图象的部分,即有g(x)的值域为f(x)的值域的子集, 即[2,＋∞)⊆[k,＋∞), 可得k≤2,即有k 的最大值为2. 故选C.7．已知幂函数f(x)＝x －12,若f(a ＋1)<f(10－2a),则实数a 的取值范围是________．解析：因为f(x)＝x －12＝1x (x>0),易知x∈(0,＋∞)时为减函数,又f(a ＋1)<f(10－2a),所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a>0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a>－1，a<5，a>3，所以3<a<5. 答案：(3,5)8．已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R,值域为[1,＋∞),则a 的值为________． 解析：由于函数f(x)的值域为[1,＋∞),所以f(x)min ＝1.又f(x)＝(x －a)2－a 2＋2a ＋4,当x∈R 时,f(x)min ＝f(a)＝－a 2＋2a ＋4＝1,即a 2－2a －3＝0,解得a ＝3或a ＝－1.答案：－1或39．(2020·杭州四中第一次月考)已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋1,若存在x 0使|f(x 0)|≤14,|f(x 0＋1)|≤14同时成立,则实数a 的取值范围为________．解析：由f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋4－a 24,考察g(x)＝x 2＋h,当h ＝0时,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤14,⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1≤14同时成立；当h ＝－12时,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤14,|g(－12＋1)|≤14同时成立．所以－12≤h ≤0,即－12≤4－a 24≤0,解得－6≤a ≤－2或2≤a≤ 6.答案：[－6,－2]∪[2,6]10．设函数f(x)＝x 2－1,对任意x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立,则实数m 的取值范围是________．解析：依据题意,得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x－1)2－1＋4(m 2－1)在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立,即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立．当x ＝32时,函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53,所以1m 2－4m 2≤－53,即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0,解得m≤－32或m≥32. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 11．已知幂函数f(x)＝(m 2－5m ＋7)x m －1为偶函数．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)－ax －3在[1,3]上不是单调函数,求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意m 2－5m ＋7＝1,解得m ＝2或m ＝3, 若m ＝2,与f(x)是偶函数矛盾,舍去, 所以m ＝3,所以f(x)＝x 2.(2)g(x)＝f(x)－ax －3＝x 2－ax －3,g(x)的对称轴是x ＝a 2,若g(x)在[1,3]上不是单调函数, 则1<a2<3,解得2<a<6.12．(2020·台州市教学质量调研)已知函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,3),且关于直线x ＝1对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若m ＜3,求函数f(x)在区间[m,3]上的值域．解：(1)因为函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,3),且关于直线x ＝1对称, 所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝1－b ＋c ＝3－b 2＝1,解得b ＝－2,c ＝0,所以f(x)＝x 2－2x.(2)当1≤m＜3时,f(x)min ＝f(m)＝m 2－2m, f(x)max ＝f(3)＝9－6＝3, 所以f(x)的值域为[m 2－2m,3]；当－1≤m＜1时,f(x)min ＝f(1)＝1－2＝－1, f(x)max ＝f(－1)＝1＋2＝3,所以f(x)的值域为[－1,3]．当m ＜－1时,f(x)min ＝f(1)＝1－2＝－1, f(x)max ＝f(m)＝m 2－2m,所以f(x)的值域为[－1,m 2－2m]．[综合题组练]1．(2020·台州质检)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分,图象过点A(－3,0),对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a－b ＝1；③a－b ＋c ＝0；④5a<b.其中正确的结论是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③解析：选B.因为二次函数的图象与x 轴交于两点,所以b 2－4ac>0,即b 2>4ac,①正确；对称轴为x ＝－1,即－b2a ＝－1,2a －b ＝0,②错误；结合图象,当x ＝－1时,y>0,即a －b ＋c>0,③错误；由对称轴为x ＝－1知,b ＝2a,又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确．故选B.2．(2020·温州市十校联考)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x≥0时,f(x)＝12(|x －a 2|＋|x－2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R,f(x －1)≤f(x),则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 解析：选B.因为当x≥0时,f(x)＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2),所以当0≤x≤a 2时,f(x)＝12(a 2－x ＋2a 2－x －3a 2)＝－x ；当a 2＜x ＜2a 2时,f(x)＝12(x －a 2＋2a 2－x －3a 2)＝－a 2；当x≥2a 2时,f(x)＝12(x －a 2＋x －2a 2－3a 2)＝x －3a 2.综上,函数f(x)＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)在x≥0时的解析式等价于f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2＜x ＜2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R 上的大致图象如下,观察图象可知,要使∀x ∈R,f(x －1)≤f(x),则需满足2a 2－(－4a 2)≤1,解得－66≤a ≤66. 3．已知函数f(x)＝|x 2＋ax ＋b|在区间[0,c]内的最大值为M(a,b ∈R,c ＞0为常数)且存在实数a,b,使得M 取最小值2,则a ＋b ＋c ＝________．解析：函数y ＝x 2＋ax ＋b 是二次函数,所以函数f(x)＝|x 2＋ax ＋b|在区间[0,c]内的最大值M 在端点处或x ＝－a 2处取得．若在x ＝0处取得,则b ＝±2, 若在x ＝－a 2处取得,则|b －a24|＝2,若在x ＝c 处取得,则|c 2＋ac ＋b|＝2. 若b ＝2,则|b －a 24|≤2,|c 2＋ac ＋b|≤2,解得a ＝0,c ＝0,符合要求,若b ＝－2,则顶点处的函数值的绝对值大于2,不成立． 可得a ＋b ＋c ＝2.故答案为2. 答案：24．(2020·宁波市余姚中学高三期中)已知f(x)＝34x 2－3x ＋4,若f(x)的定义域和值域都是[a,b],则a＋b ＝________．解析：因为f(x)＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1,所以x ＝2是函数的对称轴,根据对称轴进行分类讨论：①当b<2时,函数在区间[a,b]上递减,又因为值域也是[a,b],所以得方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝bf （b ）＝a ,即⎩⎪⎨⎪⎧34a 2－3a ＋4＝b 34b 2－3b ＋4＝a,两式相减得34(a ＋b)(a －b)－3(a －b)＝b －a,又因为a≠b ,所以a ＋b ＝83,由34a 2－3a ＋4＝83－a,得3a 2－8a ＋163＝0,所以a ＝43,所以b ＝43,故舍去． ②当a<2≤b 时,得f(2)＝1＝a,又因为f(1)＝74<2,所以f(b)＝b,得34b 2－3b ＋4＝b,所以b ＝43(舍)或b＝4,所以a ＋b ＝5.③当a≥2时,函数在区间[a,b]上递增,又因为值域是[a,b],所以得方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝af （b ）＝b ,即a,b 是方程34x 2－3x ＋4＝x 的两根,即a,b 是方程3x 2－16x ＋16＝0的两根,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43b ＝4,但a≥2,故应舍去．综上得a ＋b ＝5.答案：55．已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0,b ∈R,c ∈R)． (1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0,且c ＝1,F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a ＝1,c ＝0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1,a －b ＋c ＝0,且－b2a ＝－1,解得a ＝1,b ＝2,所以f(x)＝(x ＋1)2.所以F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0. 所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f(x)＝x 2＋bx,原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立, 即b≤1x －x 且b≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x∈(0,1]时,1x －x 的最小值为0,－1x －x 的最大值为－2.所以－2≤b≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．6．(2020·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f(x)＝－x 2＋2bx ＋c,设函数g(x)＝|f(x)|在区间[－1,1]上的最大值为M.(1)若b ＝2,试求出M ；(2)若M≥k 对任意的b 、c 恒成立,试求k 的最大值．解：(1)当b ＝2时,f(x)＝－x 2＋4x ＋c 在区间[－1,1]上是增函数, 则M 是g(－1)和g(1)中较大的一个, 又g(－1)＝|－5＋c|,g(1)＝|3＋c|,则M ＝⎩⎪⎨⎪⎧|－5＋c|，c ≤1|3＋c|，c>1.(2)g(x)＝|f(x)|＝|－(x －b)2＋b 2＋c|,(ⅰ)当|b|>1时,y ＝g(x)在区间[－1,1]上是单调函数, 则M ＝max{g(－1),g(1)},而g(－1)＝|－1－2b ＋c|,g(1)＝|－1＋2b ＋c|,则2M≥g(－1)＋g(1)≥|f(－1)－f(1)|＝4|b|>4,可知M>2.(ⅱ)当|b|≤1时,函数y ＝g(x)的对称轴x ＝b 位于区间[－1,1]之内, 此时M ＝max{g(－1),g(1),g(b)}, 又g(b)＝|b 2＋c|,①当－1≤b≤0时,有f(1)≤f(－1)≤f(b),则M ＝max{g(b),g (1)}≥12(g(b)＋g(1))≥12|f(b)－f(1)|＝12(b －1)2≥12；②当0<b≤1时,有f(－1)≤f(1)≤f(b)．则M ＝max{g(b),g(－1)}≥12(g(b)＋g(－1))≥12|f(b)－f(－1)|＝12(b ＋1)2>12.综上可知,对任意的b 、c 都有M≥12.而当b ＝0,c ＝12时,g(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x 2＋12在区间[－1,1]上的最大值M ＝12,故M≥k 对任意的b 、c 恒成立的k 的最大值为12.。
