主成分分析在学生成绩分析中的应用

主成分分析法在学生成绩分析中的应用摘要：本文采用主成分方法研究了学校实行的学分绩的合理性，还给出了学科成绩方面的分析，并且发现一年级的排序和二、三年级的排序的成绩显著相关，说明一年级的成绩对后面的成绩有影响，对教学管理有一定指导意义。

关键词：平均学分绩 第一主成分法 学生成绩 学年如何科学地、可观地、全面地评价学生的综合成绩对学生和学校都特别重要。

目前，大多数院校统计学生综合成绩的普遍做法是学分绩，这种方法能够体现学时多，即学分高的课程的重要性，但各门课程给定的学分数是否合理，学分绩是否能全面反应原始数据的主要信息?我们知道主成分运用少数几个无关的指标来代替原来众多的相关指标，能全面地反应映原变量的信息量，用主成分得到的成绩排序来看学分绩的得到的学生成绩是否合理。

我们可以用学分绩和主成分两种方法研究一年级学生成绩排序和后续学年的排序是否相关？1.研究对象本文以天津工业大学电信专业05级99名为例，以三个学年成绩作为样本将每学年的各科成绩作为变量，以三学年成绩排序为研究对象，数据由天津工业大学教务科提供。

2.评价学生综合成绩的模型2.1平均学分绩模型天津工业大学实施以学分绩对学生进行学业评价的制度，每位学生的学分绩是按照下面的公式算出：（总和的）百分制成绩×学分÷总学分。

2.2主成分分析模型下面是主成分分析的步骤：设有n 个样本，每个样本有m 个数据，记为：11121213m m n m x x x a x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=（12,,...,m x x x ） （1） 对x 的列进行标准化变换： *()/ij ij j j x x x σ=- i=1,2,…,n;j=1,2,…,m其中111m 22*212m 1n13m x x 11,(),x x=x x x x n j ij j ij J i X X x X n n σ=⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭∑得到标准化矩阵，仍记为 i i1i2x =x x ,1,...,T in i n =（，，...,x ） （2） 用计算机计算指标变量的相关系数矩阵： 111'21211m m n nm r r R r r x x n r r ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，其中11n ij ij ik r X X n =∑ j ，k=1,2，…,m （3） 用相关系数矩阵计算R 的特征值i λ。

基于主成分分析法的学⽣成绩评价与分析-最新教育⽂档
基于主成分分析法的学⽣成绩评价与分析
2.运⽤主成分分析法对学⽣成绩进⾏综合评价与分析
以周⼝师范学院数学系45名学⽣在2013―2014学年的考试科成绩为例，把45名学⽣成绩作为⼀个整体，把9科考试科⽬作为变量，分别⽤X1，X2，…，X9来表⽰。

为科学评价学⽣的成绩，以各科学时除以总学时作为该科权重，再乘以此课程的原始成绩。

利⽤SPSS软件将原始数据标准化，并求出该矩阵的相关系数矩阵Q。

计算矩阵Q的特征值，得到各主成分的⽅差贡献率和累计⽅差贡献率。

累计贡献率达到80%以上的主成分系数有四个，所以可得出关系如下。

将标准化处理以后得到的数据分别代⼊到以上各个式⼦中，这样就可以得到样本在G1，G2，G3，G4，G上的得分及综合排名。

由以上分析可以知第⼀主成分对泛函分析解释⽐较充分，表⽰数学抽象理解能⼒；第⼆主成分对运筹学解释⽐较充分，作为学⽣的计算能⼒指标；第三主成分对⽑中特代表较⼤为学⽣对于时事政治⽅⾯的关注程度；第四主成分对于数学教学论解释较⼤，表⽰学⽣作为师范⽣所必须具备的实际课堂教学技能⽅⾯的能⼒。

２０１９.３江苏外语教学研究基于主成分分析法(ＰＣＡ)的大学英语考试成绩综合评定王㊀辉(广东财经大学华商学院)㊀㊀摘要:英语是一门语言ꎬ仅仅通过期末考试成绩很难科学地评定学生的英语水平ꎮ为了使考试成绩评定更加科学合理ꎬ本文提出了一种基于主成分分析(ＰＣＡ)的成绩综合评定方法ꎮ首先以考试试题各项目满分值为基础对各分项目的成绩进行归一化处理ꎬ然后利用主成分分析方法求取各项目的权值系数ꎬ最后对各项目的分数进行综合评定得出综合成绩ꎬ作为学生的最终成绩ꎮ研究表明ꎬ本文所提出的方法能够有效地反映考试中难度最大和得分最离散项目的影响ꎬ与各项直接相加所得的成绩相比ꎬ综合成绩更加科学合理ꎬ也更能够反映不同考生的学习水平ꎮ关键词:考试成绩ꎻ归一化ꎻ主成分分析０.引言考试成绩是衡量学生学习情况的重要指标ꎬ也是教师教学效果的重要反映ꎮ准确㊁客观㊁全面㊁科学地评价考生的学业综合成绩对考生和教师来说都是非常重要的ꎮ目前大部分高校采取传统的评价方法ꎬ即以考试总分或学分绩点作为评价学生综合成绩的手段ꎮ但是ꎬ知识本位观影响下的教学评价内容狭窄ꎬ仅仅着眼于学生对知识掌握的多少及精确度ꎮ(李光梅ꎬ２００７)如何科学地评价学生的成绩这个话题是国际上共同关心的话题ꎮ学生考试成绩不应该仅以分数论高低ꎬ学生成绩应该体现学生在本学科多方面的水平ꎮ美国采用ＣＡＡＰ(ＣｏｌｌｅｇｉａｔｅＡｓｓｅｍｅｎｔｏｆＡｃａｄｅｍｉｃＰｒｏｆｉ￣ｃｉｅｎｃｙ)及ＣＬＡ(ＣｏｌｌｅｇｉａｔｅＬｅａｒｎｉｎｇＡｓｓｅｓｓｍｅｎｔ)测试ꎬ其共同测试内容就包括了批判性思维㊁阅读能力㊁写作能力ꎮ(赵婷婷ꎬ２０１５)英语作为一门语言ꎬ其掌握水平需要学生听说读写译各方面能力的展现ꎬ而课程考试的成绩并不能完全体现出学生的水平ꎮ例如ꎬ有的学生平常课堂上体现出的英语水平跟英语考试分数并不能成正比ꎮ因此ꎬ本文采用主成分分析法来对考生成绩进行科学的评价ꎮ将试题各个项目通过ＰＣＡ计算分析ꎬ最终得出能体现学生真实的英语水平的成绩ꎮ１.研究方法本研究方法的原理如图１所示ꎬ首先对试题各项分数进行归一化处理ꎬ然后利用主成分分析方法(ＰｒｉｎｃｉｐａｌＣｏｍｐｏｎｅｎｔＡｎａｌｙｓｉｓꎬＰＣＡ)计算得出各主成分的系数ꎬ最后根据各项系数计算得出新成绩ꎮ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀各项分数归一化ң㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ＰＣＡ分析求权值系数ң㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀计算新成绩图１㊀方法的原理１.１㊀成绩归一化试题通常由多个分项构成ꎬ英语考试常见的分项有听力㊁词汇㊁填空㊁阅读㊁翻译㊁作文等ꎬ各个分项的满分不同ꎮ在改卷时一个项目通常由一组判卷尺度相近的教师审阅ꎬ为了消除各项满分不同和教师判卷给分尺度不同所造成的影响ꎬ需要对各项分数进行归一化处理ꎮ设一次考试试题有ｎ个项目ꎬ每个项目的满分为Ｍｉ(ｉ＝１ꎬ ꎬｎ)ꎬ总共有ｍ位考生参加了考试ꎬ则由考生成绩构成的矩阵Ｙ＝(ｙ１ꎬｙ２ꎬ ꎬｙｎ)为一个ｍ行ｎ列的矩阵ꎬ其每一行表示一位考生的ｎ个项目的成绩ꎬ其每一列ｙｉ表示ｍ位考生某一项的成绩ꎬ则归一化处理方法为:ｘｉ＝ｙｉ/Ｍｉ(ｉ＝１ꎬ ꎬｎ)(１)这种归一化方法有两个好处:一是有效地消除了教师改卷时给分尺度的问题ꎬ将尺度统一化ꎻ二是有效地消除各项满分不同所造成的差别ꎮ１.２㊀权值系数求取在实际中ꎬ很多观测变量并不是相互独立的ꎬ部分变量包含了相同的信息ꎬ主成分分析的目的主要有三方面:一㊁提取数据中最重要的信息ꎻ二㊁去除不重要的信息ꎬ以简化压缩数据ꎻ三㊁决定变量的重要程度与相互关系ꎮ(ＡｂｄｉꎬＷｉｌｌｉａｍｓꎬ２０１０ꎻＷｏｌｄꎬ１９８７)主成分分析通过对输入变量进行线性组合ꎬ生成一系列正交的主成分ꎬ并按照变量的变化速度大小进行排序ꎮ对考生成绩进行主成分分析ꎬ求取主成分系数的过程如下:首先ꎬＸ＝(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)ꎬＣ＝ｃｏｖ(ｘ１ꎬｘ１)ｃｏｖ(ｘ２ꎬｘ１) ｃｏｖ(ｘｎꎬｘ１)ìîíïïïï式(２)中ｃｏｖ(ｘｉꎬｘ于ｃｏｖ(ｘｉꎬｘｊ)＝ｃｏｖ(ｘｊＪｉａｎｇｓｕＦｏｒｅｉｇｎＬａｎｇｕａｇｅＴｅａｃｈｉｎｇａｎｄＲｅｓｅａｒｃｈ２０１９.３然后ꎬ求协方差矩阵的特征值ꎬ求特征值的方程为:λＩ－Ｃ＝０(３)式(３)中Ｉ为单位矩阵ꎮ当求出特征值λｉ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬｎ)之后ꎬ将其按从大到小的顺序进行排列(即λ１ȡλ２ȡ ȡλｎ)ꎮ之后ꎬ求取各主成分的权值系数和累计贡献率ꎬ权值系数最大的主成分通常包含了数据中最重要的信息ꎬ主成分的权值系数ｒｉ和累计贡献率Ｌ的计算式为:ｒｉ＝λｉ/ðｎｉ＝１λｉ(４)Ｌ＝ðｋｉ＝１λｉ/ðｎｉ＝１λｉ(ｋɤｎ)(５)式(５)中Ｌ表示前ｋ个主成分的累计贡献率ꎬ通常要求主成分的累计贡献率不低于８０％ꎮ最后ꎬ分别求取从大到小的ｋ个特征值λｉ(ｉ＝１ꎬ ꎬｋ)所对应的正交单位化特征向量ｅｉ(ｉ＝１ꎬ ꎬｋ)ꎬ设Ｒ＝[ｒ１ꎬｒ２ꎬ ꎬｒｋ]ＴꎬＥ＝[ｅ１ꎬｅ２ꎬ ꎬｅｋ]ꎬ则各分项的权值系数矩阵为:Ｆ＝ＥＲ(６)１.３㊀综合成绩评定利用归一化处理之后的成绩Ｘ和各分项的权值系数Ｆ计算综合成绩系数:Ｐ＝ＸＦ(７)由于前文对成绩进行了归一化处理ꎬ因此公式(７)计算得出的为分布在０~１之间的综合成绩系数ꎬ为了使综合评定成绩的量纲与原成绩保持一致ꎬ按下式计算综合成绩:Ｚ＝ｋ Ｐ(８)公式(８)中ｋ＝ðｎｉ＝１Ｍｉꎬ为各项目的满分之和ꎬ即试卷的总分ꎮ２.研究数据及结果２.１㊀研究数据本研究以广州某独立学院２０１６级大学英语成绩作为数据来源ꎬ选取了工商㊁金融㊁会计三个班共１２２位考生某次期末英语考试的成绩ꎬ其中工商班４０位考位考生ꎬ所有班级考㊁词汇㊁填空㊁阅读㊁２５㊁１０㊁１０㊁Ｙ为１２２行Ｙ进行归一化处理ꎬ最低ꎬ表明听力项是本次考试中难度最大㊁最难得分的一项ꎬ填空项平均归一化成绩最高ꎬ表明填空项是本次考试中最容易得分的一项ꎬ按照难度从大到小排列的顺序依次为听力㊁阅读㊁词汇㊁作文㊁翻译㊁填空ꎮ表１㊀各项的平均归一化成绩项目听力词汇填空阅读翻译作文平均归一化成绩０.４７０.７００.８６０.６３０.８４０.７５㊀㊀归一化后的成绩Ｘ的６个分项目的标准差如表２所示ꎬ标准差越大表示考生在该项目得分的离散程度越大ꎬ从表２中可以看出词汇的标准差最大ꎬ表明词汇项的分数分布最离散ꎮ表２㊀各项分数的标准差项目听力词汇填空阅读翻译作文标准差０.１３５０.２７９０.１９７０.１５５０.１８００.１２７㊀㊀然后ꎬ计算各主成分的累计贡献率ꎬ计算发现前４个主成分的累计贡献率为８４％ꎬ因此取前４个主成分进行分析ꎮ进而按照公式(６)计算各项目的权值系数ꎬ如表３所示ꎬ从表３中可以看出ꎬ各项权值系数从大到小排列依次为听力项㊁词汇项㊁翻译项㊁填空项㊁阅读项和作文项ꎬ其中听力项的权值最大ꎬ表明听力项最难最重要ꎬ听力对综合成绩的影响也最大ꎬ这与表１的分析结果一致ꎮ此外ꎬ词汇项的权值系数也较大ꎬ主要是因为词汇项的离散程度最大ꎬ离散程度越大的项目越容易区分出不同学生的学习水平ꎮ表３㊀各分项的权值系数听力项词汇项填空项阅读项翻译项作文项０.３２４０.２４７０.１０７０.０６１０.２２１０.０５１㊀㊀最后ꎬ按照公式(８)计算得到各位考生的综合成绩ꎮ综合成绩与原成绩的对比如图２所示ꎬ与原成绩相比综合成绩的分布更为分散ꎬ最高分由原成绩的９１提高到了９４.７ꎬ最低分由原成绩的４４降低到了３７ꎬ更加分散的成绩分布则更容易区分不同考生的水平ꎮ图２㊀综合成绩与原成绩的对比２.３㊀研究结果原成绩中８０分至１００分的１０位高分考生的原成２０１９.３江苏外语教学研究绩与综合成绩的对比如表３所示ꎬ从表中可以看出ꎬ原成绩中编号为４３的考生的成绩最高ꎬ而其综合成绩也最高ꎻ原成绩高于８０分的考生ꎬ他们的综合成绩也都高于８１.４分ꎬ表明本文介绍的方法不会埋没成绩优秀的考生ꎮ表３㊀１０位高分考生的原成绩与综合成绩的对比考生编号１６１９３９４３６３６５６６９１９８１２２原成绩８０８１８５９１８０８３８９８１８６８２综合成绩８１.４８４.１８６.１９４.７８５.６８７.６９１.１８４.９８７.３８８.１㊀㊀编号为１６和６３的两位考生ꎬ他们的原成绩都为８０分ꎬ从原成绩中无法区分两位考生的英语水平ꎬ而他们的综合成绩分类为８１.４分和８５.６分ꎬ存在明显的差别ꎻ编号为３９和１２２的两位考生的原成绩分别为８５分㊁８２分ꎬ考生３９的原成绩较高ꎬ而其综合成绩却低于考生１２２的综合成绩ꎮ以上４位考生的各项成绩如表４所示ꎬ从表中可以看出ꎬ考生１６的听力㊁词汇项得分都低于考生６３ꎬ而听力为本次考试中考生得分困难的一项ꎬ其在综合成绩中的权值系数也最大ꎬ并且词汇项的权值系数也较大ꎬ因此考生１６的综合得分低于考生６３ꎮ考生３９的听力㊁词汇㊁翻译㊁填空这四项权值系数最大的项目的得分都不高于考生１２２ꎬ因此其综合成绩低于考生１２２ꎮ表４㊀４位高分考生的各项成绩考生编号听力词汇填空阅读翻译作文原成绩综合成绩１６１５８１０２４１０１３８０８１.４６３１７９１０２３１０１１８０８５.６３９１６１０１０２６９１４８５８６.１１２２１７１０１０２５１０１０８２８８.１㊀㊀原成绩中低于５０分的８位低分考生的原成绩与综合成绩的对比如表５所示ꎬ从表５中可以看出ꎬ这８位原成绩低于５０分的考生ꎬ他们的综合成绩也不高于５６分ꎮ表５㊀８位低分考生的原成绩与综合成绩的对比考生编号１３６１７４１０９１１６１１７１１８原成绩４４４５４５４９４６４７４６４６综合成绩４７.９４１.２３７.０４８.６５６.０４２.９４２.５４３.４㊀㊀考生１０９的原成绩低于考生７４ꎬ而其综合成绩却得到了５６分ꎬ高于考生７４ꎮ这两位考生的各项成绩如表５所示ꎬ从表中可以看出ꎬ对于权值系数最大的四项 听力㊁词汇㊁翻译㊁填空ꎬ两位考生听力项的得分相同ꎬ翻译和词汇两项的权值系数相近ꎬ虽然考生１０９词汇项得分比考生７４少４分ꎬ但是考生１０９翻译项得分比考生７４高８分ꎬ并且考生１０９填空项得分比考生７４高ꎬ因此考生１０９比考生７４的综合得分高ꎮ表６㊀２位低分考生的各项成绩考生编号听力词汇填空阅读翻译作文原成绩综合成绩７４１０８５１５２９４９４８.６１０９１０４６６１０１０４６５６.０３.结语通过数据分析ꎬ可得出以下结论:(１)以主成分分析方法重新计算学生学习成绩ꎬ由综合成绩可以看出ꎬ原成绩高的学生综合成绩也高ꎬ原成绩低的学生综合成绩也没有太大改变ꎮ这说明ꎬ主成分分析得出的成绩对学生原成绩的影响并不太大ꎮ(２)本文所提出的基于主成分分析的综合评分法中ꎬ考试难度最大的项目是听力题ꎬ得分最离散的项目是词汇题ꎬ这两项对综合得分影响最大ꎮ按照多数学者的观点及学生自身的反映ꎬ听力和词汇确实属于相对较难的题型ꎮ以此来看ꎬ主成分分析方法比普通的直接相加计算总分的方法更加科学合理ꎮ此分析结果或许能为以后的英语教学提供一点启示ꎬ在教学中要注重听力和词汇的教学ꎬ学生也要加强听力和词汇方面的学习ꎮ同时ꎬ本文的方法能够为其他课程考试成绩的评定以及多课程的综合成绩的评定提供些许参考ꎮ参考文献[１]ＡｂｄｉＨꎬＷｉｌｌｉａｍｓＬＪ.Ｐｒｉｎｃｉｐａｌｃｏｍｐｏｎｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓ[Ｊ].Ｗｉｌｅｙ２０１０(４):４３３４５９.[２]ＷｏｌｄＳꎬＥｓｂｅｎｓｅｎｓｉｓ[Ｊ].１９８７(２):３７５２.[３]李光梅.[４]赵婷婷.大学生学究ꎬ２０１５.[作者信息]王㊀辉㊀ｉｂｅｌｉｅｖｅ＠１２６.ｃｏｍ。

学术研究中的主成分分析应用一、引言主成分分析（PCA）是一种广泛应用于数据分析的统计方法，它通过降维技术将高维数据转化为低维数据，从而更方便地进行可视化、分类和预测等任务。

在学术研究中，PCA的应用范围十分广泛，本文将就其在不同领域中的应用进行详细阐述。

二、PCA基本原理PCA的基本原理是通过最大化数据方差的方式来将数据降维。

具体来说，PCA将原始数据矩阵X分解为m个主成分，即PCs，其中每个PCs都是原始数据的线性组合，且各成分之间互不相关。

通过这种方式，原始数据中的信息被最大程度地保留下来。

三、PCA在生物医学领域的应用在生物医学领域，PCA被广泛应用于基因表达数据分析、疾病分类和药物筛选等方面。

例如，有研究利用PCA对肿瘤组织样本的基因表达数据进行降维，成功地将不同种类的肿瘤组织进行了分类。

此外，PCA也被应用于药物筛选中，通过对细胞系基因表达数据的分析，可以筛选出具有特定疗效的药物。

四、PCA在金融领域的应用在金融领域，PCA被广泛应用于股票价格预测、风险评估和投资组合优化等方面。

例如，有研究利用PCA对股票价格历史数据进行降维，成功地预测了未来股票价格的走势。

此外，PCA 还可以用于评估投资组合的风险，通过分析投资组合中各个证券的波动性，可以得出整个投资组合的风险水平。

五、PCA在教育领域的应用教育领域中，PCA被广泛应用于学生成绩分析、教育评价和课程设计等方面。

例如，有研究利用PCA对学生的学习成绩进行降维，发现不同学科之间的成绩差异，从而更好地对学生进行个性化教育。

此外，PCA还可以用于评价教师的教学效果，通过分析教师授课过程中产生的数据，可以得出教师的教学水平和效果。

六、PCA与其他方法的结合应用除了单独使用外，PCA还可以与其他方法结合使用，以更好地解决实际问题。

例如，在文本挖掘中，PCA可以与文本嵌入方法（如Word2Vec、GloVe等）结合使用，通过对文本进行降维和嵌入，可以更好地分析文本数据中的语义和结构信息。

主成分分析法在学生成绩分析与评价中的应用*郭兰兰1，付政庆2*，衣秋杰1（1.山东科技大学机械电子工程学院，山东青岛266590；2.山东科技大学数学与系统科学学院，山东青岛266590）引言在高等教育教学过程中，教学与考试都是非常重要且相互联系不可分割的，考试本身也可以看做一种教学活动[1]。

各个高校都非常重视使用考试手段对教育质量进行检测和监控，规范和引导教师的教学行为；激励学生努力地学习、培养他们分析问题和解决问题的能力[2]。

因此，考试成绩是能够体现学生在校学习情况的主要因素。

而对于阶段性的评价，经过分析后得到一些对以后非常有用的信息，所以对学生成绩进行分析评价有着重要的意义[3]。

采用多元统计分析的方法对这些信息认真研究，可以充分挖掘考试结果的数据，得到隐藏在学生考试成绩中的有用信息，为提高教学质量提供重要的依据[4]。

本文中，运用主成分分析法对某高校数学专业学生的成绩进行深入分析，得到了影响学生成绩的几个关键因素，并在此基础上对学生的学习特点进行了深入研究。

一、统计分析方法在对实际问题的研究过程中，影响因素往往不止一个，为了更加全面系统，通常这些因素都要考虑，这些因素即为研究的指标[5]。

每个指标或者因素都可以不同程度上反映问题的某些信息，这导致所反映的信息就会产生一定的重合，即各个原始指标之间往往会有一定的相关性。

采用统计方法分析多指标问题时，指标个数太多使问题的复杂程度大大增加。

在研究实际问题时，尽量通过较少的指标反映问题尽量多的信息[6]。

主成分分析法的基本思想为：对问题的原始指标做线性组合形成综合指标，按方差大小进行排序，选取前几个综合指标，依次定义为第一、第二、第三主成分等等。

这些主成分间是线性无关的。

这样处理，既能降低问题的复杂度，又能从原始数据中进一步挖掘实际问题的某些新信息[7-8]。

在实际问题中，为了降低分析的难度，提高分析效率，通常不直接对原始指标（p个）构成的随机向量x=（x1，x2，…，x p）进行分析，而是先对向量做线性变换，把原来的随机向量变换成新的综合变量y1，y2，…，y p。

主成分分析及其在统计综合评价系统中的应用一. 文献综述主成分分析法是在对于复杂系统进行统计分析时十分有效的一种方法。

本文主要是对主成分分析法进行详细介绍，并分析其在统计综合评价中的应用[1]。

突出介绍主成分分析法在学生综合成绩分析[2]、企业业绩分析[3]及景区游客服务满意度测评[4]这三个综合评价系统中的应用。

并在文末，对主成分分析法进行了一定的改进[5]，使得主成分分析法更加合理并贴近实际，且在一定程度上减小了统计分析过程中“线性化”产生的误差。

二.相关知识在我们进行系统分析时，多变量问题是经常会遇到的。

变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。

因此，我们就会很自然地想到，能否在各个变量之间相关关系研究的基础上，用较少的新变量代替原来较多的变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来较多的变量所反映的信息？事实上，这种想法是可以实现的，本文介绍的主成分分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力的方法。

（一）主成分分析方法的原理主成分分析是把原来多个变量化为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。

假定有n个样本，每个样本共有p个变量描述，这样可构成一个n×p阶的数据矩阵。

如何从这么多变量的数据中抓住事物的内在规律性呢？要解决这一问题，自然要在p维空间中加以考察，这是比较麻烦的。

为了克服这一困难，就需要进行降维处理，即用较少的几个综合指标来代替原来较多的变量指标，而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。

那么，这些综合指标（即新变量)应如何选取呢？显然，其最简单的形式就是取原来变量指标的线性组合，适当调整组合系数，使新的变量指标之间相互独立且代表性最好。

如果记原来的变量指标为，它们的综合指标——新变量指标为，（m≤p)。

则在（1)式中，系数由下列原则来决定：（1)与相互无关；（2)是的一切线性组合中方差最大者；是与不相关的的所有线性组合中方差最大者；……；是与都不相关的的所有线性组合中方差最大者。