高中值域求法[1]

函数值域十三种求法1. 直接观察法利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。

例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域 解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]评注：配方法往往需结合函数图象求值域．3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 对于形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a ，2a 不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x 的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:.112..22222222b a y 型：直接用不等式性质k+xbx b. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx nx mx n d. y 型 x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1 例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

2
2
26
又 ∵ 在 [m, n] 上 当
x
增大时
f (x)
也
增
大
所
以
f (x)max f (n) f (x)min f (m)
3n 3m
m 4, n 0
解得
评注：解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了 m ，n 的取值范围，
避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。
(2) 求函数 y x(x a) 在 x [1 , 1] 上的最大值。
【解析】(1)二次函数的对称轴方程为 x a ，
当 a
1 2
即a
1 时， 2
f ( x )max
f ( 2 ) 4a 5 ；
当 a 1 2
即 a1 2
时，
f ( x )max f ( 1 ) 2a 2
。
f ( x )max 42aa52,,aa2121 。
y
x2 x2 x
x 1
x2 x x2
11 x 1
1
(x
1 1)2
3
不妨令：
24
f (x) (x 1)2 3 , g(x) 24
1 ( f (x) 0) 从而 f (x)
f
(
x)
3,
4
注意：在本题中应排
除
f
(x)
0 ，因为
f
(x)
作为分母。所以
g(x) 0,
3 4
故
y
1,1
3
f (x)max f (x)min
f (1) f (n)
3n 3m
，无解
④若
，则
f f
( x) max ( x) min

求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。

例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。

（★★）例2、 求函数x 3y -=的值域。

（★★） 答案：值域是：]3,[-∞ 【同步练习1】函数221xy+=的值域. （★★）解：}210{≤<y y（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。

（★★）例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

（★★★） 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。

（★★★★）（配方法、换元法）解：………所以当41=x 时，y 有最小值-2。

故所求函数值域为[-2，+∞）。

例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+的值域．解：12()4321(23)8xx x f x +=-+=--，02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-，∴函数的值域为[84]--，． 评注：配方法往往需结合函数图象求值域． 例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。

高中函数值域常见的求解方法作者：田黎来源：《高考·中》2019年第03期摘要：函数在高中阶段占有十分重要的地位，作为函数三要素之一的值域的重要性不言而喻.此外，值域（最值）的求解是函数的重难点，常在高考中出现，因此，掌握函数值域（最值）的求解方法是很有必要的，本文结合具体例子对函数值域（最值）的求解方法进行归纳.关键词：函数值域;求解方法一、观察法对函数的解析式进行观察，进而求出函数的值域适用函数类型：比较简单的函数例1求函数y=-2的值域解：∵≥0∴-2≥-2∴函数y=-2的值域为[-2，+∞）例2.求函数y=2x2+3（-1≤x≤1）的值域解：∵-1≤x≤1∴结合函数图象可得，y=2x2+3（-1≤x≤1）的值域为[3，5]二、配方法将式子或式子的某一部分化为完全平方式或几个完全平方式之和.适用函数类型：二次函数及能转化为二次函数的函数例3：求函数y=x2-2x+3（0≤x≤3）的值域∴结合函数图象可得：y=x2-2x+3（0≤x≤3）的值域为[2，6]例4求函数的值域解：∵-x2+4x+5≥0，即-1≤x≤5∴函数的定义域为[-1，5]又∵=∴结合函数图象可得，函数的值域为[3，6]三、换元法对于解析式中合有根式或三角函数模型的函数，可以通过换元法将原函数转化为简单函数，当根式里是一次式时，用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.换元过程中，要注意中间变量的取值范围.适用函数类型：能通过换元将含有根式或三角函数公式模型的函数转化为简单函数的函数例5求函数的值域解：令，则t≥0且x=t2+1∴结合函数图象可得：函数的值域为例6求函数的值域解：∵1-（x+1）2≥0，即（x+1）2≤1，且-1≤x+1≤1∴令.∴函数的值域为四、分离常数法将常数和变量分离适用函数类型：分子、分母是一次函数的有理分式，（a、b、c、d为常数，且a≠0），或分子、分母中有相似的项的函数.例7：求函数的值域∴x≠3∴y≠2∴函数的值域为（-∞，2）U（2，+∞）例8求函數的值域解：∵∴令则∴函数的值域为[-，1）五、反函数法利用反函数的定义域就是原函数的值域来求解函数值域适用函数类型：分子、分母是一次函数的有理分式.a.b.c.d为常数，且ac≠0）的函数例9求函数的值域解：∵反解得即反函数为（x≠2）∵反函数的定义域即为原函数的值域∴的值域为（-∞，2）U（2，+∞）六、判别式法将函数转化为关于x的二次方程f（x，y）=0，函数的定义域是R，通过方程有实数根，判别式△≥0得到原函数的值域，注意讨论二次项系数是否为0的情况.适用函数类型：形如为常数，且a1，a2不同时为零）的函数.例10求函数的值域①解：∵∴（y-1）x2+（1-y）x+y=0当y=1时，原方程化为1=0，故y≠1当y≠1时，△=（1-y）2-4y（y-1）≥0，即-又∵y≠1∴函数的值域为[-，1）七、单调性法利用函数在定义域上的单调性求出函数的值域适用函数类型：复合函数例11求函数的值域解：令U（x）=4x-x2=-（x-2）2+4∵U（x）>0，即-（x-2）2+4>0，得0∴结合U（x）的图象可得，U（x）∈（0，4]∴结合函数图象可得，函数的值域为[-2，+∞）八、有界性法利用函数的有界性求解值域适用函数类型：三角函数型函数，利用sinx∈[-1，1]，cosx∈[-1，1]求解值域. 例12求函数的值域解：∵∴（*）∵=1∴令则上式（*）为∵x∈R∴∴-1≤1，即∴函数的值域为不等式法（均值不等式法）利用（a>0，b>0，c>0）解题.注意利用均值不等式求最值的三个条件限制，即“一正，二定，三相等”.适用函数类型：函数解析式为“和式”时积为定值，函数解析式为“积式”时和为定值的函数，注意，有时需运用拆项，添项，两边平方等技巧.例13当x>0时，求函数f（x）=8x+的值域②解：当且仅当4x=，即x=1时取“=”∴函数f（x）=8x+的值域为[12，+∞）参考文献[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书.数学必修1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007[2]赵思林.初等代数研究[M].北京：科学出版社，2017.[3]包永梅.例谈函数值域的几种解法[J].中国校外教育，2010（09）：46[4]贾珊珊.探究高中数学函数的值域及求解方法.数学学习与研究，2016（05）。