3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 习题

直线AB与PQ垂直.
例4. 已知A(5，-1)，B(1，1)，C(2，3)三点， 试判断△ABC的形状.
△ABC是直角三角形.
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练习
1. 若三点A(5，1)，B(a，3)，C(- 4，2) 在同一条直线上，确定常数a的值.
a= -13.
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2. 已知A(0，3)，B(－ 1，0)，C(3，0)，求D点 的坐标，使四边形ABCD为直角梯形 (A、B、C、 D按逆时针方向排列).
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tan0 0
3 tan30 3 tan45 1

tan tan( 180 ) tan120 3

tan135 1
tan60 3
tan90 不存在；
3 tan150 3

当0 90 时， tan 0 k 0； 当90 180 时， tan 0 k 0.
y
18 9 D(3，3)或D ( , ). 5 5
A
.
O
D
D
B
.
.
C
x
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作业
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l1 l2 k1k2 1.
注意:上面的等价是两直线斜率存在．
特殊情况下的两直线垂直． 两条直线中有一条直线没有斜率, 另一条直线 的斜率为0 (或:一条直线的倾斜角为90°,另一条 直线的倾斜角为0°)两直线互相垂直.
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例题示范
例3．已知A(-6，0)，B(3，6)，P(0，3) ， Q(6，－6)，判断直线AB与PQ的位置关系.
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思考：l1⊥l2 时，k1与k2满足什么关系？.

13．已知△ABC 的顶点分别为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．14．已知四点A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状．3.1.2 两条直线平行与垂直的判定答案例1 (1)直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (1,2)，B (a －1,3)，l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．－3B ．1 C.103 D.74例1.1(2)已知l 1经过点A (－3,3)，B (－8,6)，l 2经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－212，6，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－3，求证：l 1∥l 2. 【解析】 (1)直线l 2的斜率k 2＝3－2a －1－1＝1a －2，∵l 1∥l 2，∴k 1＝k 2，∴1a －2＝34，∴a ＝103.(2)证明：直线l 1的斜率为k 1＝6－3－8－－3＝－35，直线l 2的斜率为k 2＝6－－3－212－92＝－35，因为k 1＝k 2，且k AN ＝3－－3－3－92＝－45，所以l 1与l 2不重合，所以l 1∥l 2. 【答案】 (1)C (2)见解析跟踪训练1 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行． (1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3,23)，N (－2，－33)．解析：(1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45.因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2.(2)由题意知k 1＝tan60°＝3，k 2＝－33－23－2－3＝ 3.因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合． 例2 判断下列各题中l 1与l 2是否垂直．(1)l 1经过点A (－3，－4)，B (1,3)，l 2经过点M (－4，－3)，N (3,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,10)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)．【解析】 (1)k 1＝3－－41－－3＝74，k 2＝1－－33－－4＝47，k 1k 2＝1，∴l 1与l 2不垂直．(2)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴；k 2＝40－4010－－10＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2.跟踪训练2 已知点A (－2，－5)，B (6,6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－6) B ．(0,7) C ．(0，－6)或(0,7) D ．(－6,0)或(7,0)解析：由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1，即y ＋52·⎝⎛⎭⎪⎫－y －66＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0,7)，故选C. 答案：C例3 已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，求第四个顶点D 的坐标． 【解析】 设第四个顶点D 的坐标为(x ，y )， 因为AD ⊥CD ，AD ∥BC ，所以k AD ·k CD ＝－1，且k AD ＝k BC .所以⎩⎪⎨⎪⎧y －1x －0·y －2x －3＝－1，y －1x －0＝2－03－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1不合题意，舍去．所以第四个顶点D 的坐标为(2,3).跟踪训练3 已知A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，D (2,3)，试判断四边形ABCD 的形状．解析：由题意，可得k AB ＝0－11－0＝－1，k CD ＝3－22－3＝－1，k BC ＝2－03－1＝1，k DA ＝3－12－0＝1，∵k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ，∴AB ∥CD ，BC ∥DA ， ∴四边形ABCD 为平行四边形． 又∵k AB ·k BC ＝－1，∴直线AB 与BC 垂直，即∠ABC ＝90°， ∴四边形ABCD 为矩形． [巩固提升] 一、选择题1．下列命题中，正确的是( ) A ．斜率相等的两条直线一定平行B ．若两条不重合的直线l 1，l 2平行，则它们的斜率一定相等C ．直线l 1：x ＝1与直线l 2：x ＝2不平行D ．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3平行解析：A 错误，斜率相等的两条直线还可能重合．B 错误，当两条不重合的直线l 1，l 2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在．C 错误，直线l 1与l 2的斜率都不存在，且1≠2，所以两直线平行．D 正确，由于直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的斜率分别为k 1＝1－2，k 2＝－12＋1＝1－2，则k 1＝k 2，所以l 1∥l 2.答案：D2．由三条直线l 1：2x －y ＋2＝0，l 2：x －3y －3＝0和l 3：6x ＋2y ＋5＝0围成的三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角三角形解析：kl 2＝13，kl 3＝－3，∴kl 2·kl 3＝－1，∴l 2⊥l 3.答案：A3．若两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1解析：因为两条直线平行，则a ＝2－a ，得a ＝1. 答案：B4．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A.1aB ．a(4)当90°<α<180°时，l2的倾斜角为α－90°.(如图4)答案：无（α=45°，D也可以）(1)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5)；(2)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)； (3)l 1经过点A (－1,6)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)．解析：(1)由题意知l 1的斜率不存在，且l 1不是y 轴，l 2的斜率也不存在，l 2恰好是y 轴，所以l 1∥l 2.(2)由题意知k 1＝－1－1－2－0＝1，k 2＝3－42－3＝1，虽然k 1＝k 2，但是k EG ＝4－13－0＝1，即E ，F ，G ，H 四点共线，所以l 1与l 2重合．(3)直线l 1的斜率k 1＝2－61－－1＝－2，直线l 2的斜率k 2＝1－－12－－2＝12，k 1k 2＝－1，故l 1与l 2垂直．12．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线： (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．解析：(1)由k AB ＝m －32m 2＝－1，得2m 2＋m －3＝0，解得m ＝－32或1.(2)由－7－20－3＝3及垂直关系，得m －32m 2＝－13，解得m ＝32或－3.(3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34或－1.经检验m ＝－1，m ＝34均符合题意．13．已知△ABC 的顶点分别为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5×1＋11－5＝－1，解得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5×m －12－1＝－1，解得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5×m －12－1＝－1，解得m ＝±2.综上，m 的值为－7，－2,2或3.14．已知四点A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状． 解析：由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置如图所示，由斜率公式可得k AB ＝5－32－－4＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－－4＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，所以AB ∥CD ，因为k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行．又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．。

3. 1.2 两条直线平行与垂直的判定一、选择题1、下列说法正确的有（ ）(注：两直线可以重合) ①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1=k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行。

A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、直线l 1、l 2的斜率是方程x 2－3x －1=0的两根，则l 1与l 2的位置关系是（ ） A 、平行 B 、重合 C 、相交但不垂直 D 、垂直3、给定三点A （1，0）、B （－1，0）、C （1，2），则过A 点且与直线BC 垂直的直线经过点（ ）A 、（0，1）B 、（0，0）C 、（－1，0）D 、（0，－1）4、已知直线x+my +6=0和(m －2)x+3y +2 m =0互相平行，则实数m 的取值为（ ） A ．—1或3 B ．—1 C ．—3 D ．1或—35、两条直线mx+y －n =0和x+my +1=0互相平行的条件是（ ） A m=1 B m=±1C ⎩⎨⎧-≠=11n m D ⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧-≠=1111n m n m 或6、直线l 1:ax+y=3;l 2:x+by －c=0，则ab=1是l 1||l 2的（ ） A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件7、与直线2x +3y －6=0关于点)1,1(-对称的直线方程是（ ） A ．2x +3y +8=0 B ．2x +3y +7=0 C ．3x －2y －12=0 D ．3x －2y +2=08、已知P(a,b )与Q(b －1,a +1)(a≠b －1)是轴对称的两点，那么对称轴方程是（ ） A x+y =0 B x －y =0C x +y －1=0D x －y +1=09、如果直线(2a +5)x +(a －2)y +4=0与直线(2－a )x +(a +3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（ ） A ． 2 B ．－2 C ．2,－2 D ．2,0,－210、两条直线A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0垂直的充要条件是 A.A 1A 2+B 1B 2=0 B.A 1A 2－B 1B 2=0C.2121B B A A =－1 D.2121A A B B =－1 11、点A （4，0）关于直线l ：5x +4y +21=0的对称点是（ ） A （－6，8） B （－8，－6） C （6，8） D （―6，―8） 12、直线xsinα+ycosα+1=0与xcosα－ysinα+2=0直线的位置关系是（ ） A 平行 B 相交但不垂直 C 相交垂直 D 视α的取值而定二、填空题13、直线ax +3y +1=0与直线2x +(a +1)y +1=0平行,则a 的值是 . 14、若直线x+ay +2=0和2x +3y +1=0互相垂直，则a 等于 15、已知点A (1,2)、B (3,1),则线段AB 的垂直平分线的方程是 .16、点P （2，5）关于直线x +y =1的对称点的坐标是 .17、已知点M （0，－1），点N 在直线x －y+1=0上，若直线MN 垂直于直线x+2y －3=0，则点N 的坐标是 .18、直线02052:1=+-y x l 和0102:2=--y mx l 与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为__________.三、解答题19、已知直线l 1: x +(1+m)y +m －2=0 , l 2: 2m x +4y +16=0 当且仅当m 为何值时直线l 1与l 2分别有下列关系？ (1) l 1⊥l 2 (2). l 1∥l 220.直线x+m 2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0没有公共点，求实数m 的值.21、已知A （1，－1），B （2，2），C （3，0）三点，求点D ，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD 。

3.2两条直线平行与垂直的判定基础知识梳理1.平行：对于直线21,l l 其斜率分别为2,1k k ，有2121//k k l l =⇔；另外，重合与或212121//l l l l k k ⇔=.2.垂直：如果两条直线21,l l 都有斜率,且其斜率分别为2,1k k ，则12121-=⇔⊥k k l l . 习题巩固一、选择题1．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)，(x,6)，且l 1∥l 2，则x 等于( )A ．2B ．－2C ．4D ．12．已知过A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是( )A ．－8B ．0C ．2D ．103．已知直线l 1经过点A (－2,5)，B (3,5)，直线l 2经过点M (2,4)，N (2，－4)，则直线l 1与l 2的关系是( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．重合D ．以上都不对4．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值是( )A ．－23B ．－32C ．23D ．325．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，且有一点D 满足CD ⊥AB ，CB ∥AD ，则D 点的坐标为( )A ．(－1,0)B ．(0，－1)C ．(1,0)D ．(0,1)6．已知A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形7．下列说法中正确的是( )A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等C ．垂直的两直线的斜率之积为－1D ．只有斜率相等的两条直线才一定平行8．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( )A ．1aB ．aC ．－1aD ．－1a或不存在 9．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)10．已知直线l 1过A (2,3)和B (－2,6)，直线l 2经过C (6,6)和D (10,3)．则l 1与l 2的位置关系为( )A ．l 1⊥l 2B ．l 1与l 2重合C ．l 1∥l 2D ．非以上答案11．给定三点A (1,0)，B (－1,0)，C (1,2)，则过A 点且与直线BC 垂直的直线经过点( )A ．(0,1)B ．(0,0)C ．(－1,0)D ．(0，－1)二、填空题12．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－1,0)，B (2,0)，C (2,3)，则AB 边上的高所在直线的斜率__________，BC 边上的高所在直线的斜率为__________．13．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2∥l 1，且l 2过点A (－2，－1)和B (3，a )，则a 的值为__________．三、解答题14.判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (2,1)，l 2经过点M (3,4)，N (－1，－1)；(2)l 1的斜率为1，l 2经过点A (1,1)，B (2,2)；(3)l 1经过点A (0,1)，B (1,0)，l 2经过点M (－1,3)，N (2,0)；(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．15.(1)l1经过点A(3,4)和B(3,6)，l2经过点P(－5,20)和Q(5,20)，判断l1与l2是否垂直；(2)直线l1过点(2m,1)，(－3，m)，直线l2过点(m，m)，(1，－2)，若l1与l2垂直，求实数m的值．16.已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．17．如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5 m，宽AB ＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？。