1-3单纯形法

θi 32.5 40 25
5 7. 5
注意：单纯形法中， 注意：单纯形法中， 1.每一步运算只能用矩阵初等行 1.每一步运算只能用矩阵初等行 变换； 变换； 2.表中第3列的数总应保持非负 2.表中第 表中第3 （≥ 0）； 3.当所有检验数均非正（≤ 0） 3.当所有检验数均非正 当所有检验数均非正（ 得到最优单纯形表。 时，得到最优单纯形表。
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1.初始单纯形表： 1.初始单纯形表： 初始单纯形表
CB XB b b1 b2 ┇ bm f
m
cn+1 xn+1 cn+2 xn+2 ┇ ┇ cn+m xn+m m -z
c1 x1 a11 a21 ┇ am1 σ1
… … … … ┇ … …
cn xn a1n a2n ┇ amn σn
m
cn+1 xn+1 1 0 ┇ 0 m 0
-z
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在最优单纯形表中，非基变量的检验数不 在最优单纯形表中， 是正数,于是得到最优解为X 是正数,于是得到最优解为X*=(15,10,0,0,45)T 最优目标值为z =32500。注意到非基变量x 最优目标值为z*=32500。注意到非基变量x4 的检验数是0 如果选x 为进基变量， 的检验数是0，如果选x4为进基变量，迭代 还可以进行下去，但是最优值不会增大， 还可以进行下去，但是最优值不会增大， 而只有最优解改变，这就是多解的情况。 而只有最优解改变，这就是多解的情况。 下面再迭代一步，如表2 所示。 下面再迭代一步，如表2-9所示。
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解：单纯形法求解过程如下表。 单纯形法求解过程如下表。
CB XB
0 0 0 -z 7 0 0 -z x1 x6 x7 x5 x6 x7

由于任意系数列向量均可由基向量组线性表示，则非基向 量中的 Pj 用基向量组线性表示为：
Pj a ijPi
i 1
2017/5/5
m

Pj a ijPi 0,
i 1
m
( j m 1,...,n )
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设有 0，则
( Pj aij Pi ) 0
i 1
只要取
(0) (0) x x min i aij 0 l 为
正，于是非零分量的个数
m
，并可证得
P P2 ... Pl 1 Pl 1 ... Pm , Pj 1
线性无关，所以 X (1) 是新的基可行解。
2017/5/5
a12 a22
a1n a2 n
am 2 amn
1 0 0 0 1 0 0 0 1
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由于该矩阵含有一个单位子矩阵，因此，这个单位阵就是一组 基，就可以求出一个基可行解：
X 0,,0, b1,, bm
令：X X (1) (1 ) X ( 2 )
0 1
则AX A(X (1) (1 ) X ( 2 ) ) AX (1) AX ( 2 ) AX ( 2 ) b
X C C 为凸集
引理：线性规划问题的可行解X＝(x1,x2,……xn)为基可行解的充要条件是 X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的（所组成的矩阵是非奇 异的）。
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由构造初始可行基的方法知前m 个基向量恰好是一个单位
阵，所以约束方程组的增广矩阵为
P1 P2 ... Pm Pm1 ... Pj ... Pn b
1 0 ... 0 0 ... 0 1 ... 0 ... ... ... 0 ... 1 a1,m 1 ... ... a1, j ... ... a2,m 1 ... a2, j am,m 1 ... am , j ... a1,n b1 ... a2,n b2 ... ... ... ... am,n bm

cj →
CB XB s1 0 s2 0 s3 0 b
3
1
0
0
0
σ
0 s1 1 0 s2 5 3 x1 3
x1 x2 4 1 1 2 −1 1 18 [6] 2 3 1 j
0 0 1 2 3 4 3 1 3
s1 s2 s3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 − 1 6 1 6 1 6
例（大M法） ：线性规划问题 法
max z = − 3 x1 + x 3 x1 + x 2 + x 3 ≤ 4 − 2 x + x − x ≥ 1 1 2 3 st 3 x2 + x3 = 9 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0
解：先把原问题化为标准形式
max z = −3x1 + x3 + 0s1 + 0 s2 x1 + x2 + x3 + s1 = 4 − 2 x + x − x − s = 1 1 2 3 2 s.t. 3x2 + x3 = 9 x1 , x2 , x3 , s1 , s2 ≥ 0
0 1 0
2 −1 4
0 1 3 2 [ ] 3 1
1 0 0
−
1 −1 3
1 2 0 1 2 −
−1 1 −3
1 2 0 1 2 −
0 0 1
1 2
1 − 1
− 9 3 2
6M-3
0 3 1
0 5 2 3 2
0 0 1
0
0 1 0
4M+1 0
0 0
3M -4M 0
1 3 1 6

-f 3 –6M -1+M -1+3M 0
0 -M -M x5 x6 x7 B-1b
0 0 0 11 -1 1 0 3 001 1 -M 0 0 4M
3 -1 -1 0 0 -M -M
xj x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 B-1b
0 x4 -M x6 -1 x3
3 -2 0 1 0100 -2 0 1 0
0 1 0 0 0.5 12
40 0 0 0 -25 -600
6/1=6 36/3=12 __
第二步迭代
40 50 0 0 0
xj
基变量
x1 x2
x3 x4 x5
b
40 x1
1 0 1 0 -1 6
0 x4 0 0 -3 1 2 18
50 x2
0 1 0 0 0.5 12
0 0 -40 0 15 -840
f 428 1.36 x4 0.52 x5
X 3 (20 24 84 0 0)T 目标函数值 f 3 = 428。
X3为最优解
即当A产品生产20kg，B产品生产24kg，工厂才能获得最大利 润428百元。x3=84代表煤的剩余量为84t，x4 = x5 = 0表示电力 和劳动日完全利用，没有剩余。
2.单纯形法的主要步骤
Step1. 标准化，找初始基可行解，建立初始的单纯形表；
对于(max , )，松弛变量对应的列构成一个单位阵 Step2.检验当前基可行解是否为最优解
所有检验数 λj 0，则得到最优解（若存在λk ＞0，且pk 0,则该问题
无最优解，停止计算） 否则进行下一步。
Step3.换基迭代（改进基可行解）
例2 用单纯形法求解下列LP问题