(2013.1.9整理)圆与方程期末复习练习卷

圆方程测试题及答案一、选择题1. 已知圆的一般方程为 \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \)，其中 \( g \)、\( f \) 和 \( c \) 是常数。

若圆心坐标为 \( (-g, -f) \)，那么 \( c \) 的值应该是：A. \( g^2 + f^2 \)B. \( -g^2 - f^2 \)C. \( 1 \)D. \( 0 \)答案：A2. 圆 \( (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 \) 的半径是多少？A. 3B. 5C. 10D. 20答案：B二、填空题1. 圆的标准方程为 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)，其中 \( (a,b) \) 是圆心坐标，\( r \) 是半径。

如果圆心坐标为 \( (3, 4) \)，半径为 5，则该圆的方程为________________。

答案：\( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 \)2. 圆 \( x^2 + y^2 = 9 \) 与直线 \( y = x \) 相切，求切点坐标。

答案：切点坐标为 \( (±\sqrt{2}, ±\sqrt{2}) \)。

三、解答题1. 已知圆 \( C \) 的圆心在 \( (1, 1) \)，半径为 2，求圆 \( C \) 的方程。

解答：根据圆的标准方程，圆 \( C \) 的方程为 \( (x-1)^2 + (y-1)^2 = 4 \)。

2. 已知圆 \( x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0 \) 与直线 \( 2x + y- 3 = 0 \) 相切，求圆心到直线的距离。

解答：首先，将圆的方程化为标准形式，得到 \( (x+1)^2 + (y-2)^2 = 4 \)。

圆心坐标为 \( (-1, 2) \)。

利用点到直线距离公式\( \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)，将圆心坐标代入直线方程，得到距离 \( d = \frac{|2(-1) + 1(2) - 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \)。

绝密★启用前复习卷（二)-圆与方程第I卷（选择题)一、单选题（每道题只有一个正确答案，每道题5分12)1．已知直线1,:21x tly t⎧=⎪⎨⎪=+⎩(t为参数）与曲线22:1C x y+=，则直线l与曲线C的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定，与t 有关【答案】C【解析】【分析】把直线方程化为普通方程，再用圆心到直线的距离求解。

【详解】把直线l的参数方程化为普通方程得21y x=+.由圆221x y+=的方程，得到圆心坐标为(0,0)，半径1r=,则圆心到直线l的距离1d r==<=，所以直线l与曲线C相交.【点睛】参数方程化为普通方程的方法：1、代入法消参数；2、加减法消参数；3、整体法消参数。

2．圆22cos4sin30ρρθρθ++-=上到直线cos sin10ρθρθ++=的距离等于的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】把圆和直线方程化为直角坐标方程，结合点到直线的距离公式与直线与圆的位置关系求解。

【详解】试卷第2页，总16页因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以圆的直角坐标方程为22(1)(2)8x y +++=， 这是一个以()1,2--为圆心，以直线的直角坐标方程为10x y ++=. 圆的圆心到直线10x y ++=的距离d == 易知圆上有3个点满足题意. 【点睛】本题主要考察极坐标方程化为直角坐标方程，直线与圆的位置关系。

3．已知圆22:230C x y x ay +++-=（a 为实数）上任意一点关于直线:20l x y -+=的对称点都在圆C 上，则a =（ ） A ．1 B ．2C ．1-D ．2-【答案】D 【解析】 【分析】根据条件可知直线过圆心，将圆心坐标代入直线解得结果. 【详解】由题意可知：直线20x y -+=过圆心1,2a ⎛⎫--⎪⎝⎭1202a ⎛⎫∴---+= ⎪⎝⎭，解得：2a =-本题正确选项：D 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系问题，关键是能够根据圆的对称性判断出直线过圆心. 4．若坐标原点在圆22222240x y mx my m +-++-=的内部，则实数m 的取值范围是（ ） A.()1,1- B.22⎛- ⎝⎭C.(D.(【答案】D 【解析】 【分析】将原点坐标代入圆的方程得到不等式，解不等式得到结果. 【详解】把原点坐标代入圆的方程得:222002020240m m m +-⨯+⨯+-< 解得：m < 本题正确选项：D 【点睛】本题考查点与圆的位置关系的问题，属于基础题.5．已知点,A B 分别在圆()2211x y +-=与圆()()22259x y -+-=上，则,A B 两点之间的最短距离为（ ） A ．B ．2C ．4D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心距可判断出两圆相离；从而可知最短距离为圆心距与半径和的差值. 【详解】124r r =>=+ ∴两圆相离 ,A B ∴两点之间的最短距离为：4本题正确选项：C 【点睛】本题考查根据圆与圆的位置关系求解距离的最值问题，关键是明确两圆相离的情况下，两圆上点距离的最小值为圆心距与半径和的差值.6．过原点的直线与圆22430x y x +++=相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ） A.y = B. y =C.3y x =D.3y x =-【答案】C 【解析】 【分析】由直线与圆相切可知圆心到直线距离等于半径，构造方程解出斜率；再根据切点在第三象限求得结果. 【详解】试卷第4页，总16页易知切线的斜率存在，设切线方程为y kx = 圆的方程可化为：()2221x y ++=，圆心为()2,0-，半径1r =1=，解得：3k =±又切点在第三象限 k ∴= 本题正确选项：C 【点睛】本题考查圆的切线方程的求解，关键是明确直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径.7．若直线240x y +-=，30x ky +-=与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则此四边形的面积为（ ） A.114C.4120D.5【答案】C 【解析】 【分析】根据对角互补的四边形有外接圆，可得直线240x y +-=与30x ky +-=垂直，求出k ，进而可得两直线与坐标轴交点坐标，以及两直线的交点坐标，结合面积公式，即可求出结果. 【详解】圆的内接四边形对角互补，因为x 轴与y 轴垂直， 所以240x y +-=与30x ky +-=垂直. 所以有2110k ⨯+⨯=，解得2k =-.又直线240x y +-=与坐标轴的交点为2004（，），（，）， 直线230x y --=与坐标轴的交点为30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，30（，）， 两直线交点的纵坐标为25-， 所以四边形的面积13124131222520⨯⨯-⨯⨯=. 故选C 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的面积，熟记圆内接四边形的特征，以及两直线交点坐标的求法即可，属于常考题型.8．方程||3y -=表示的曲线为（ ） A.一个圆 B.半个圆C.两个半圆D.两个圆【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分3y …与3y -…两种情况讨论，分别整理曲线方程，即可得出结果. 【详解】由题知||30y -…，故3y -…或3y …. 当3y …时，方程可化为22(1)(3)1x y -+-=； 当3y -…时，方程可化为22(1)(3)1x y -++=.故该方程表示两个半圆. 故选C 【点睛】本题主要考查圆的方程，根据题意，分类讨论，整理曲线方程即可，属于常考题型.9．过点32M （，）的圆224240x y x y ++-+=的切线方程是（ ） A.2y =B.51290x y -+=或125260x y --=C.125260x y --=或2y =D.2y =或51290x y -+=【答案】D 【解析】 【分析】先由题意得到圆的圆心坐标，与半径，设所求直线方程为2(3)y k x -=-，根据直线与圆相切，结合点到直线距离公式，即可求出结果. 【详解】因为圆224240x y x y ++-+=的圆心为21-（，），半径为1， 由题意，易知所求切线斜率存在，设过点32M （，）与圆224240x y x y ++-+=相切的直线方程为2(3)y k x -=-，试卷第6页，总16页即320kx y k --+=，1=，整理得21250k k -=，解得0k =，或512k =； 因此，所求直线方程分别为：20y -=或52(3)12y x-=-， 整理得2y =或51290x y -+=. 故选D 【点睛】本题主要考查求过圆外一点的切线方程，根据直线与圆相切，结合点到直线距离公式即可求解，属于常考题型.10． 在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k 等于 ( ) A ．1 B ．2C ．0D ．－1【答案】C 【解析】如图，由题意可知平行四边形OAMB 为菱形,对角线AB 与OM 垂直平分，又∵OA ＝OM ，∴△AOM 为正三角形． 又OA ＝2，∴OC ＝1，且OC ⊥AB . ＝1，∴k ＝0.故选C点睛：本题需要对已知条件进行转化，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAMB ，点M 在圆C 上，则转化为平行四边形OAMB 为菱形，对角线垂直且平分，所以圆心O 到直线AB 的距离为1，k 即得解，体现数学中的转化思想.11． 直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝ ( ) AB ．2C ．1D ．3【答案】B 【解析】依题意，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即=1×cos45°＝2，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2＝2. 故选B点睛：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到==cos45°，是解题的关键.12． 已知圆C 方程为(x －2)2＋(y －1)2＝9，直线l 的方程为3x －4y －12＝0，在圆C 上到直线l 的距离为1的点有几个 ( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】圆心C (2,1)，半径r ＝3，圆心C 到直线3x －4y －12＝0的距离d ＝2，即r －d ＝1.∴在圆C 上到直线l 的距离为1的点有3个． 故选B试卷第8页，总16页第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（45分)13．参数方程33cos,33sinxyθθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）表示的图形上的点到直线y x=的最短距离为______.【答案】3【解析】【分析】根据平方关系消去参数化为普通方程，由方程判断出图形特征，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，判断出圆与直线的位置关系，再求出图形上的点到直线y＝x的最短距离．【详解】解：由题意知，参数方程3333x cosy sinθθ=+⎧⎨=-+⎩，（θ为参数），消去θ得，（x﹣3）2+（y+3）2＝9，∴方程（x﹣3）2+（y+3）2＝9表示的图形是以（3，﹣3）为圆心，3为半径的圆，则圆心（3，﹣3）到直线y＝x的距离d==3，∴圆与直线y＝x相离，∴圆上的点到直线y＝x的最短距离为3，故答案为：3．【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系，属于基础题．14cos sin10θρθ+-=与圆2sinρθ=交于,A B两点，则||AB=_____.【答案】2【解析】【分析】转为在直角坐标系下求解。

第二十四章圆期末复习卷班级姓名座号成绩一、选择题(每题6分,共30分)1.下列说法正确的是()A.两个端点能够重合的弧是等弧B.圆的任意一条弦必定把圆分成劣弧和优弧两部分C.经过平面上任意三点可作一个圆D.三角形的外心到各顶点距离相等2.圆的半径为5cm,圆心到一条直线的距离是7cm,则直线与圆的公共点个数是( )A.0个B.1个C.2个D.1个或2个3.如图,△ABC的三边分别切⊙O于D、E、F,若∠A=50,则∠DEF=( )A.50°B.65°C.80°D.130°4.已知两圆的圆心距为3,两圆的半径分别是方程2430x x-+=的两根,那么这两个圆的位置关系是( )A.外离B.外切C.相交D.内切5.一个扇形半径30cm,圆心角120,用它作一个圆锥的侧面,则圆锥底面半径为( )A.5cmB.10cmC.20cmD.30cm二、填空题(每题6分,共24分)6.如图,在⊙O中,直径AB⊥CD,若AB=10cm,OE=4cm,则CD= cm.第6题第7题第8题第9题7.如图,一宽为2cm的刻度尺在圆上移动,当刻度尺的一边与圆相切时,另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位：cm),则该圆的半径为cm.8.如图,已知A，B，C，D，E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=．9.如图,已知圆锥的母线OA=8,底面圆的半径2r=,若一只小虫从A点出发,绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点,则小虫爬行的最短路线的长是 (结果保留根式).三、解答题（共46分）10.(10分)如图,△OAB中OA=OB,以O为圆心的圆交BC于点C、D,求证:AC=BD.11.(10分)如图,P为⊙O直径延长线上一点,PC是⊙O的切线,∠P=30,求证CA=CP.12.(10分)请用2个等腰三角形,2条平行线,2个圆,在下面方框内设计一个轴对称图形,并13.(16分)某工厂中有若干个形状完全相同的直角三角形铁片余料,如图,已知∠ACB=90，AC=3,BC=4,现准备对两块铁片余料进行裁剪,方案如下：方案一：如图1,裁出一个扇形,圆心为点C,并且与AB相切于点D；方案二：如图2,裁出一个半圆,圆心O在BC上,并且与AB、AC相切于点D、C.(1)分别计算以上两种方案裁剪下来的图形的面积,并把计算结果直接填在横线上.按照方案一裁出的扇形面积是；按照方案二裁出的半圆的面积 .(2)写出按照方案二裁出的半圆面积的计算过程.参考答案一、选择题(每题6分,共30分)1.下列说法正确的是( D )A.两个端点能够重合的弧是等弧B.圆的任意一条弦必定把圆分成劣弧和优弧两部分C.经过平面上任意三点可作一个圆D.三角形的外心到各顶点距离相等2.圆的半径为5cm,圆心到一条直线的距离是7cm,则直线与圆的公共点个数是( A )A.0个B.1个C.2个D.1个或2个3.如图,△ABC的三边分别切⊙O于D、E、F,若∠A=50,则∠DEF=( B )A.50°B.65°C.80°D.130°4.已知两圆的圆心距为3,两圆的半径分别是方程2430x x-+=的两根,那么这两个圆的位置关系是( C )A.外离B.外切C.相交D.内切5.一个扇形半径30cm,圆心角120,用它作一个圆锥的侧面,则圆锥底面半径为( B )A.5cmB.10cmC.20cmD.30cm二、填空题(每题6分,共24分）6.如图,在⊙O中,直径AB⊥CD,若AB=10cm,OE=4cm,则CD= 6cm.第6题第7题第8题第9题7.如图,一宽为2cm的刻度尺在圆上移动,当刻度尺的一边与圆相切时,另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位:cm),则该圆的半径为134cm.8.如图,已知A，B，C，D，E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=90°．9.如图,已知圆锥的母线OA=8,底面圆的半径2r=,若一只小虫从A点出发,绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点,则小虫爬行的最短路线的长是82(结果保留根式).三、解答题（共46分）10.(10分)如图,△OAB中OA=OB,以O为圆心的圆交BC于点C、D,求证:AC=BD.证明:过O作OE⊥AB于E∵OA=OB，OE⊥AB ∴AE=BE又∵CD是⊙O的弦，OE⊥CD∴CE=DE∴AE-CE=BE-DE即AC=BD11.(10分)如图,P为⊙O直径延长线上一点,PC是⊙O的切线,∠P=30,求证CA=CP.解:连接OC .∵PC 是⊙O 的切线∴∠OCP =90°，∴9060COP P ∠=-∠=∵OA =OC ，∴A OCA ∠=∠ ∴11 = =603022A COP ∠∠⨯= ∴∠P =∠A∴CA =CP12.(10分)请用2个等腰三角形,2条平行线,2个圆,在下面答案略，能用条件画一个轴对称图形即得分，说明有理由就可以.13.(16分)某工厂中有若干个形状完全相同的直角三角形铁片余料,如图,已知∠ACB =90，AC =3,BC =4,现准备对两块铁片余料进行裁剪,方案如下：方案一：如图1,裁出一个扇形,圆心为点C ,并且与AB 相切于点D ；方案二：如图2,裁出一个半圆,圆心O 在BC 上,并且与AB 、AC 相切于点D 、C .(1)分别计算以上两种方案裁剪下来的图形的面积,并把计算结果直接填在横线上.按照方案一裁出的扇形面积是3625π ；按照方案二裁出的半圆的面积98π . (2)写出按照方案二裁出的半圆面积的计算过程.解:在图2中,连接OD ,则OD ⊥AB .∵AC 、AD 分别切半⊙O 于C 、D∴AD =AC =3在Rt △ABC 中AC =3，BC =4∴AB =5∴BD =2设半圆的半径为x ,则OD =OC =x ,OB =4x -在Rt △ODB 中222OB OD BD =+∴(4-x )2=x 2+22解得 32x = ∴半圆的面积2139π()π228=⋅=.。

《圆与方程》课后训练题答案1. 圆x 2＋y 2＋x －3y －＝0的半径是________________ 【答案】2【详解】将圆的一般223302x y x y ++--=，化为标准方程为2213422x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可得圆的半径2r ,故答案为2.2. 点P(5a ＋1,12a)在圆(x －1)2＋y 2＝1的外部，则a 的取值范围为_______ 【答案】113a <-或113a > 【详解】由题意()()22511121a a +-+>，解得113a <-或113a >． 3. 直线5x ＋12y －8＝0和圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝8的位置关系是_______________ 【答案】相离．【详解】由()()22138x y -++=可得，圆的圆心坐标为()1,3-，圆的半径为22，()1,3-到直线51280x y +-=的距离为325144=+，因为322>，所以直线与圆的位置关系是相离．故答案为相离.4. 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为_____________ 【答案】x 2＋y 2－4x ＝0.【详解】设圆心坐标为(,0)(0)a a >,则圆方程为:(x −a )2+y 2=4,根据点到直线的距离公式,得223404234a d R +⨯+===+,解得a =2或143a =-(舍去),所以圆C 的方程为:(x −2)2+y 2=4,整理为一般方程为:2240x y x +-=.5. 能够使得圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0上恰有两个点到直线2x ＋y ＋c ＝0距离等于1的c 的一个值为( ) A. 2 B.5C. 3D. 35【答案】C【详解】由圆的标准方程()()22124x y -++=，可得圆心为()1,2-，半径为2，根据圆的性质可知，当圆心到直线的距离大于1且小于3时，圆上有两点到直线20x y c ++=的距离为1，由()1,35c d =∈可得()()35,55,35c ∈--⋃，经验证，()35,35c =∈，符合题意，故选C.6. 若x 2＋y 2＋(λ－1)x ＋2λy ＋λ＝0表示圆，则λ的取值范围为___________________ 【答案】λ>1或15λ<【详解】根据二元二次方程表示圆的条件可得，()()221240λλλ-+->，化为25610λλ-+> 解得1λ>或15λ<，故答案为1λ>或15λ<. 7. 直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＋2x ＝0只在第二象限有公共点，则 k 的取值范围是___________ 【答案】3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】画出直线与圆的图象，如图所示：直线2y kx =+与圆相切时223141k k k -=⇒=+，直线2y kx =+过()2,0-时，1k =，直线2y kx =+与圆2220x y x ++=只在第二象限有公共点，∴实数k 的取值范围是3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故答案为3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭.8. 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差为____ 【答案】6.【详解】试题分析：将圆的方程变形为，可知圆心，半径．圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为．故C 正确．9. 两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线的条数为____条 【答案】3【详解】试题分析：圆O 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0可变为()()22221x y ++-=，圆心为()2,2-，半径为11r =；圆O 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0可变为()()222516x y -+-=，圆心为()2,5，半径为24r =；所以125O O ==，125r r +=，所以两圆相切；所以与两圆都相切的直线有3条.10. 已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程是__________【答案】()2211x y ++=【详解】圆()2211A x y -+=圆心为1,0A ，半径等于1，设圆心1,0A 关于直线y x =-对称点(),C m n ，则有()0111n m -⨯-=--，且0122n m ++=-，解得0,1m n ==-，故点()0,1C -，由于对称圆C 的半径与圆()22:11A x y -+=的半径相等，故圆C 的方程为()2211x y ++=，故答案为()2211x y ++=.11. 已知动点M 到定点(8,0)的距离等于M 到(2,0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程___________________________ 【答案】x 2＋y 2＝16【详解】设(),M x y ，因为M 到定点()8,0的距离等于M 到 ()8,0的距离的2倍，所以2=，化简可得2216x y +=，故答案为2216x y +=.12. 过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为________ 【答案】4【详解】将()2,4P -代入圆方程左边得：224316925+=+=，左边=右边，即P 在圆O 上，直线OP 的斜率为413224-=---，∴切线l 的斜率为43，即直线l 的方程为()4423y x -=+，整理得：43200x y -+=，直线:30m ax y -=与直线l 平行，433a ∴=，即4a =，∴直线m 方程为430x y -=，即430x y -=，直线l 与m4=，故答案为4. 13. 圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是_______ 【答案】相交．【详解】由圆221:20x y x O +-=与圆222:40O x y y +-=，分别得到标准方程()2211x y -+=和()2224x y +-=，则两圆坐标分别为()1,0和()0,2，半径分别为2,1R r ==，则两圆心之间的距离d ==2121-<<+，即1R r d R -<<+，∴故两圆的位置关系是相交，故答案为相交.14. 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是 _____ 【答案】a <1.【详解】方程22252104x y ax ay a a +++++-=表示圆，222544104a a a a ⎛⎫∴+-+-> ⎪⎝⎭，化为440a ->，解得1a <，故答案为1a <.15. 以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为___________ 【答案】(x －2)2＋(y ＋1)2＝9 【详解】因圆以点(()2,1-为圆心且与直线3450x y -+=相切，所以圆心到直线的距离等于半径,即()()2232415334r d ⨯-⨯-+===+-，∴所求圆的方程为()()22219x y -++=，故答案为()()22219x y -++=.16. 若方程220x y x y m -++=+表示一个圆，则实数m 的取值范围是______. 【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【详解】解：根据题意，方程220x y x y m -++=+表示一个圆，则有1140m +-⨯>， 解的12m <，即m 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；故答案为：1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．17. 若圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，则过点P (1，2)的最短弦所在直线l 的方程是_________ 【答案】x －2y ＋3＝0．【详解】将圆C 的一般方程化成标准方程为()2229x y -+=，所以()2,0C ,由题意知，过点()1,2P 的最短弦所在的直线l 应与PC 垂直，所以11PC k k ⋅=-,由20212PC k -==--，得112k =,所以直线l 的方程为()1212y x -=-，即230x y -+=,故答案为230x y -+=. 18. 过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是_____ 【答案】3y x =【详解】圆方程22430x y x +++=．化为2221x y ，圆心为()2,0-，半径为1，又因为过原点的直线与圆切点在第三象限，所以可设直线方程为()0y kx k =>由圆心到直线距离等于半径，223131k k k -=⇒=+或33k =-(舍去) 该直线的方程是33y x =,故答案为33y x =. 19. 若直线2x ＋ky －1＝0(k ∈R)与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切，则k 的值为 _______ 【答案】32【详解】由于直线210x ky +-=与圆()2211x y ++=相切，因此有圆心()0,1到直线210x ky +-=的距离等于半径1，即2114k k --=+，解得32k，故答案为32. 20. 若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝有公共点，则b 的取值范围是______________【答案】{b |－2≤b ≤2} 【详解】试题分析：曲线表示以原点为圆心，半径为2的圆在x 轴以上的部分，结合图形可知当直线过点()2,0时，b 最小为-2，当直线与曲线相切时，b 最大，此时22b = 21. 已知点P(x, y)是圆(x －3)2+(y －)2=6上的动点，则的最大值为_______；【答案】23+【详解】由y x的几何意义知,OP y k P x =在圆()()22336x y -+-=上，当P 点是由O 点向圆作切线的切点时，yx取最值，设直线OP 的斜率为k ，直线OP 的方程为y kx =，圆心1O 的坐标为()3,3，半径为6，圆心1O 到直线OP 的距离等于6，则有23361k k-=+，解得1223,32k k =+=-(最小值，舍去)，yx∴的最大值是23+，故答案为23+. 22. 若x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是________ 【答案】30－105【详解】把圆的方程化为标准方程得：()()221225x y -++=，则圆心A 坐标为()1,2-，圆的半径=5r ，设圆上一点的坐标为(),x y ，原点O 坐标为()0,0，则22xy +表示圆上一点和原点之间的距离的平方根据图象可知圆心到原点距离的最小值为圆的半径r 减去圆心到原点的距离，求得5,5AO AB r ===，55BO AB OA ∴=-=-，则22x y +的最小值为()25530105-=-，故答案为30105-.23. 已知圆C ：x 2＋y 2－4y ＝0，直线l 过点P(0,1)，则 ( )A. l 与C 相交B. l 与C 相切C. l 与C 相离D. 以上三个选项均有可能 【答案】A【详解】∵圆C 的圆心坐标为(0,2)，半径r ＝2，∴|CP |＝1<2，∴点P (0,1)在内部，∴直线l 与C 相交． 24. 以(－2,1)为圆心且与直线x ＋y ＝3相切的圆的方程为_____________ 【答案】(x ＋2)2＋(y －1)2＝8【详解】由所求的圆与直线30x y +-=相切，∴圆心()2,1-到直线30x y +-=的距离213222d -+-==，即圆的半径为22，∴所求圆的方程为()()22218x y ++-=，故答案为()()22218x y ++-=.25. 当a 为任意实数时，直线(1)10a x y a --++=恒过定点C ，则以点C 为圆心，半径为5的圆的方程为__________．【答案】22240x y x y ++-=详解：() a 1x y a 10--++=整理关于a 的表达式a x 1x y 10+-+-=（）（），关于a 的方程各项为0，x 10x y 10+=+-=，，解得x 1y 2=-=，，恒过定点C 1,2-（），以C 为圆心，半径为的圆为：()()22125x y ++-=26. 直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=__________.【答案】2【详解】试题分析：依题意，设与单位圆相交于两点，则∠°.如图，当时满足题意，所以.27. 设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上动点，Q 是直线3x =-上动点，则||PQ 的最小值为__________． 【答案】4【详解】圆心为(3,1)-到直线3x =-的距离，3(3)6d =--=，min ||4PQ d r =-=．28. 若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是____________【答案】33,00,33⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】因为()0y y mx m --=，所以0y =或0y mx m --=，当0y =时，显然2C 与圆2220x y x +-=有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需0y mx m --=与圆2220x y x +-=有两个不同的交点，且0m ≠，由方程组2220y mx m x y x --=⎧⎨+-=⎩消去y ，得关于x 的一元二次方程， ()()22221220m x m x m ++-+=再令0∆>，可得2130m ->，解得33,00,33m ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为33,00,m ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.29. 若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－有公共点，则b 的取值范围是_________【答案】[1－2，3]【详解】试题分析：曲线即 （x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4（1≤y≤3），表示以A （2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b 的距离等于半径2，解得 b=1+ b=1﹣．结合图象可得b 的范围．解：如图所示：曲线y=3﹣，即 （x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4（ 1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A （2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆． 由圆心到直线y=x+b 的距离等于半径2，可得 =2，∴b=1+，或b=1﹣．结合图象可得1﹣≤b≤3，故答案为[1﹣，3]．30. 过点A (4,1)的圆C 与直线x -y-1=0相切于点B （2,1），则圆C 的方程为____【答案】22(3)2x y -+=【详解】∵直线x −y −1=0的斜率为1，∴过点B 直径所在直线方程斜率为−1， ∵B (2,1)，∴此直线方程为y −1=−(x −2)，即x +y −3=0，设圆心C 坐标为(a ,3−a )， ∵|AC |=|BC |,即2222(4)(31)(2)(2)a a a a =-+---+-，解得：a =3，则圆C 方程为22(3)2x y -+=. 31. 设O 为原点，点M 在圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1上运动，则|OM |的最大值为____. 【答案】6【详解】圆心C 的坐标为(3,4)，∴|OC |＝()()223040-+- ＝5，∴|OM |max ＝5＋1＝6.故答案为632. 已知圆C 的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 的方程为y ＝x ＋m ，求当m 为何值时，(1)直线平分圆；(2)直线与圆相切．【答案】（1）m ＝0；（2）m ＝±22． 【详解】试题分析：（1）直线平分圆，即直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程可得m 值（2）根据圆心到直线距离等于半径列方程，解得m 值试题解析：解：(1)∵直线平分圆，所以圆心在直线y ＝x ＋m 上，即有m ＝0.(2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， ∴d ＝1122mm -+=＝2，m ＝±22.即m ＝±22时，直线l 与圆相切．33. 一圆与两平行直线x ＋3y －5＝0和x ＋3y －3＝0都相切，圆心在直线2x ＋y ＋1＝0上，求圆的方程.【答案】22791=5510x y ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【详解】试题分析：根据直线和圆的位置关系，两平行线间的距离为直径，求出半径，设圆心为(),a b 则根据圆心在直线2x ＋y ＋1＝0上，及圆心到直线的距离为半径，可得出圆心，即可得到圆的方程. 试题解析：两平行直线之间的距离为＝，∴圆的半径为，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝，则，解得.故所求圆的方程为2＋2＝.34. 已知圆()22:15C x y +-=，直线():10l mx y m m R -+-=∈．（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长． 【答案】(1)直线l 与圆C 必相交 (2)．【详解】(1)直线l 可变形为y －1＝m (x －1)，因此直线l 过定点D (1，1)， 又＝1<，所以点D 在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交．(2)由题意知m ≠0，所以直线l 的斜率k ＝m ，又k ＝tan 120°＝－，即m ＝－． 此时，圆心C (0，1)到直线l ： x ＋y －－1＝0的距离d ＝＝，又圆C 的半径r ＝，所以|AB |＝2＝2＝．35. 已知圆2212280c x y x y +++-=：与圆222210240c x y x y +-+-=：相交于A ，B 两点. （1）求公共线AB 所在的直线的方程；（2）求圆心在直线y x =-上，且经过A,B 两点的圆的方程． 【答案】(1)x －2y ＋4＝0.(2)⊙M ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.【详解】试题分析：（1）由两圆方程相减即得公共弦AB 所在的直线方程；（2）求出过12,C C 的直线与直线y=-x 的交点，可得圆心坐标，求出圆心到AB 的距离，可得半径，从而可得圆的方程 试题解析：（1）22222280{210240x y x y x y x y +++-=+-+-=⇒x －2y ＋4＝0．（2）由（1）得x ＝2y －4，代入x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0中得：y 2－2y ＝0． ∴4{0x y =-=或02x y =⎧⎨=⎩，即A （－4，0），B （0，2），又圆心在直线y ＝－x 上，设圆心为M （x ，－x ）， 则|MA|＝|MB|，解得M （－3，3），∴⊙M ：（x ＋3）2＋（y －3）2＝10．36. 已知圆C 过点A (0，－6)，B (1，－5)且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆C 的方程． 【答案】(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.【详解】试题分析：由已知圆心为C 的圆经过点A （0，6-），B （1，5-）,知圆心C 在线段AB 的垂直平分线上,又圆心在直线l ：10x y -+= 上,写出线段AB 的垂直平分线的方程与直线l 的方程联立方程组就可求出圆心的坐标,再由圆经过点A 就可求出其半径,从而就可写出所求圆的方程. 试题解析：因为点A （0，6-），B （1，5-）,所以线段AB 的中点D 的坐标为,又直线AB 的斜率,因此线段AB 的垂直平分线的方程是:即;从而圆心C 的坐标是方程组的解,解此方程组得C(-3,-2);那么所求圆的半径,故圆心为C 的圆的标准方程是:.37. 一圆与两平行直线x ＋3y －5＝0和x ＋3y －3＝0都相切，圆心在直线2x ＋y ＋1＝0上，求圆的方程.【答案】22791=5510x y ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【详解】试题分析：根据直线和圆的位置关系，两平行线间的距离为直径，求出半径，设圆心为(),a b则根据圆心在直线2x＋y＋1＝0上，及圆心到直线的距离为半径，可得出圆心，即可得到圆的方程.试题解析：两平行直线之间的距离为＝，∴圆的半径为，设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝，则，解得.故所求圆的方程为2＋2＝.。