兰州市中考数学试题及答案解析

2023年甘肃兰州中考数学试题及答案注意事项：1．全卷共120分，考试时间120分钟．2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.－5的相反数是()A.15-B.15C.5D.-52.如图，直线AB 与CD 相交于点O ，则BOD ∠=（）A.40︒B.50︒C.55︒D.60︒3.计算：255a aa -=-（）A.5a - B.5a + C.5 D.a4.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角1∠=（）A.45︒B.60︒C.110︒D.135︒5.方程213x =+的解是（）A.1x =B.=1x - C.5x = D.5x =-6.如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧 AB ，圆弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB ∠=︒，则»=AB （）A.20cm πB.10cmπ C.5cmπ D.2cmπ7.已知二次函数()2323y x =---，下列说法正确的是（）A.对称轴为2x =-B.顶点坐标为()2,3 C.函数的最大值是－3 D.函数的最小值是－38.关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根，则()2212b c -+=（）A .－2B.2C.－4D.49.2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度20222021100%2021-=⨯年当月销量年当月销量年当月销量）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（）A.2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆B.2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个C.相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%D.相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低10.我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a 和直线外一定点O ，过点O 作直线与a 平行．（1）以O 为圆心，单位长为半径作圆，交直线a 于点M ，N ；（2）分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA OB =；（3）连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a b ∥．按以上作图顺序，若35MNO ∠=︒，则AOC ∠=（）A.35︒B.30︒C.25︒D.20︒11.一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小，当2x =时，y 的值可以是（）A.2B.1C.－1D.－212.如图，在矩形ABCD 中，点E 为BA 延长线上一点，F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G ，连接BG ．若4AB =，10CE =，则AG =（）A.2B.2.5C.3D. 3.5二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.因式分解：2225x y -=______．14.如图，在ABCD Y 中，BD CD =，AE BD ⊥于点E ，若70C ∠=︒，则BAE ∠=______︒．15.如图，将面积为7的正方形OABC 和面积为9的正方形ODEF 分别绕原点O 顺时针旋转，使OA ，OD 落在数轴上，点A ，D 在数轴上对应的数字分别为a ，b ，则b a -=______．16.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106158264527105615872850盖0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.5300面朝上频率下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．其中正确的是______．（填序号）三、解答题（本大题共12小题，共72分）17.．18.计算：()()()2234x y x y y y +---．19.解不等式组：312(1)223x x x x ->+⎧⎪+⎨>-⎪⎩．20.如图，反比例函数()0ky x x=<与一次函数2y x m =-+的图象交于点()1,4A -，BC y ⊥轴于点D ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B ，C ．（1）求反比例函数ky x=与一次函数2y x m =-+的表达式；（2）当1OD =时，求线段BC 的长．21.综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC OD =，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是AOB ∠的平分线．请写出OE 平分AOB ∠的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE 不一定必须是等边三角形，只需CE DE =即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB ∠的边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB ∠的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．．在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）22.如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD 高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC 上，在平行于水平地面的A 处测得38BAC ∠=︒、53BAD ∠=︒，18m AB =．求“龙”字雕塑CD 的高度．（B ，C ，D 三点共线，BD AB ⊥．结果精确到0.1m）（参考数据：sin 380.62︒≈，cos380.79︒≈，tan 380.78︒≈，sin 530.80︒≈，cos 530.60︒≈，tan 53 1.33︒≈）23.一名运动员在10m 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB 的高度()m y 与离起跳点A 的水平距离()m x 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A 的水平距离为1m 时达到最高点，当运动员离起跳点A 的水平距离为3m 时离水面的距离为7m ．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长．24.如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CD OE ∥，直线CE 是线段OD 的垂直平分线，CE 分别交OD AD ，于点F ，G ，连接DE ．（1）判断四边形OCDE 的形状，并说明理由；（2）当4CD =时，求EG 的长．25.某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x 表示，分成六组：A ．10x <；B ．1015x ≤<；C ．1520x ≤<；D ．2025x ≤<；E ．2530x ≤<；F ．30x ≤）．信息二：排球垫球成绩在D ．2025x ≤<这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24信息三：掷实心球成绩（成绩用y 表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：分组 6.0y < 6.0 6.8y ≤< 6.87.6y ≤<7.68.4y ≤<8.49.2y ≤<9.2y≤人数2m 10962信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：学生学生1学生2学生3学生4学生5学生6排球垫球262523222215掷实心球▲7．87．8▲8．89．2根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m =______；（2）下列结论正确的是_____；（填序号）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；②掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n ≤<；③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．26.如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径， BCBD =，DE AC ⊥于点E ，DE交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F ∠=∠，连接BD ．（1）求证：BF 是O 的切线；（2）判断DGB 的形状，并说明理由；（3）当2BD =时，求FG 的长．27.在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，如果点P 到直线EF 的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴随点”．例如：如图1，已知点()1,2A ，()3,2B ，()2,2P 在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．（1）如图2，已知点()1,0A ，()3,0B ，P 是线段AB 上一点，直线EF 过()1,0G -，30,3T ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭两点，当点P 是直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；（2）如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC y ⊥轴，顶点A 在y 轴上且在BC 上方，5=OC P 是ABC 上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；（3）如图4，以()1,0A ，()2,0B ，()2,1C 为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y x b =-+的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围．28.综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ⊥于点F ，GD DF ⊥，AG DG ⊥，AG CF =．试猜想四边形ABCD 的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ⊥于点F ，AH CE ⊥于点H ，GD DF ⊥交AH 于点G ，可以用等式表示线段FH ，AH ，CF 的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，AH CE ⊥于点H ，点M 在CH 上，且AH HM =，连接AM ，BH ，可以用等式表示线段CM ，BH 的数量关系，请你思考并解答这个问题．2023年兰州市初中学业水平考试数学注意事项：1．全卷共120分，考试时间120分钟．2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】A【11题答案】【答案】D【12题答案】【答案】C二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）【13题答案】【答案】()()55x y x y +-【14题答案】【答案】50【15题答案】【答案】3【16题答案】【答案】①③三、解答题（本大题共12小题，共72分）【17题答案】【答案】【18题答案】【答案】23x y-【19题答案】【答案】34x <<【20题答案】【答案】（1）反比例函数的表达式为4y x=-；一次函数的表达式为22y x =-+；（2）142BC =．【21题答案】【答案】（1）SSS ；（2）证明见解析；（3）作图见解析；【22题答案】【答案】“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．【23题答案】【答案】（1）y 关于x 的函数表达式为2210y x x =-++；（2）运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长为(1m +．【24题答案】【答案】（1）四边形OCDE 是菱形，理由见解析（2）433EG =．【25题答案】【答案】（1）11（2）②③（3）75人【26题答案】【答案】（1）见解析（2）DGB 是等腰三角形，理由见解析（3）4FG =【27题答案】【答案】（1）()3,0P（2）2（3）11b -≤≤【28题答案】【答案】（1）四边形ABCD 是正方形，证明见解析；（2）FH AH CF =+；（3）MC =，证明见解析；。

甘肃省兰州市2022年中考[数学]考试真题与答案解析一、选择题1.的结果是（ ）A.±2 B. 2C. D. 答案：B解析：4的算术平方根是2=2，故选B ．2. 如图，直线，直线c 与直线a ，b 分别相交于点A ，B，，垂足为C ．若，则（ ）A. 52°B. 45°C. 38°D. 26°答案：C解析：∵a b ，∴∠1=∠ABC=52°，∵AC ⊥b ，∴∠ACB=90°，∴∠2=90°-∠ABC=38°，故选：C ．a b ∥AC b ⊥152∠=︒2∠=∥3. 下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔贝维尔冬奥运会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是（ ）A. B.C. D.答案：D解析：A ．不能沿一条直线折叠完全重合；B ．不能沿一条直线折叠完全重合；C ．不能沿一条直线折叠完全重合；D ．能够沿一条直线折叠完全重合；故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，关键在于熟练掌握轴对称图形的概念，并对选项作出正确判断．4. 计算：（ ）A. B. C. D. 答案：A解析：原式=故选：A．()22x y +=2244x xy y ++2224x xy y++2242x xy y ++224x x +2244x xy y ++5. 如图，内接于，CD 是的直径，，则（ ）A. 70°B. 60°C. 50°D. 40°答案：C解析：∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CAD ＝90°，∴∠ACD+∠D ＝90°，∵∠ACD ＝40°，∴∠ADC ＝∠B ＝50°．故选：C ．6. 若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（）A. B. C. D. 答案：A解析：∵一次函数y=2x+1中，k=2＞0，∴y 随着x 的增大而增大．∵点（-3，y 1）和（4，y 2）是一次函数y=2x+1图象上的两个点，-3＜4，∴y 1＜y 2．故选：A ．7. 关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则（）ABC V O e O e 40ACD ∠=︒B ∠=21y x =+()13,y -()24,y 1y 2y 12y y <12y y >12y y ≤12y y ≥2210kx x +-=k =A. -2B. -1C. 0D. 1答案：B 解析：∵原方程有两个相等的实数根，∴△＝b 2−4ac ＝4−4×（−k ）＝0，且k ≠0；解得．故选：B ．8. 已知，，若，则（ ）A. 4B. 6C. 8D. 16答案：A解析：∵，∴，即，解得．故选：A ．9. 无色酚酞溶液是一中常见常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（）A. B. C. D. 答案：B 解析：∵酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色，∵总共有5种溶液，其中碱性溶液有2种，∴将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色概率是：．故选：B ．10. 如图，菱形ABCD 对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，连接OE ，的的1k =-ABC DEF ∽△△12AB DE =2BC =EF =ABC DEF ∽△△12AB BC DE EF ==212EF =4EF =1525354525，，则（ ）A. 4B. C. 2D. 答案：C 解析：是菱形，E 为AD 的中点，，．是直角三角形，．，，．，即，，．故选：C ．11. 已知二次函数，当函数值y 随x 值的增大而增大时，x 的取值范围是（）A. B. C. D. 答案：B 解析：∵∵开口向上，对称轴为x=1，∴x ＞1时，函数值y 随x 的增大而增大．故选：B ．12. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分60ABC ∠=︒BD =OE =ABCD Y AB AD DC BC ∴===AC BD ⊥∴AOD △12OE AD =60ABC ∠=︒ BD =113022ADO ADC ABC ∴∠=∠=∠=︒1122OD BD ==⨯=22214AD AD OD -= 23124AD =4AD ∴=114222OE AD ==⨯=2245y x x =-+1x <1x >2x <2x >()22245213y x x x =-+=-+示意图如图2所示，它是以O 为圆心，OA ，OB 长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D. 答案：D解析：S 阴影=S 扇形AOD -S 扇形BOC====2.25π（m 2）故选：D ．二、填空题13. 因式分解：___________．答案：解析：原式，，故答案为：．14. 如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔120O ∠=︒3m OA = 1.5m OB =24.25m π23.25m π23m π22.25m π22120120360360OA OB ππ⋅⋅-()22120360OA OB π-()223 1.53π-216a -=(4)(4)a a +-224a =-(4)(4)a a =+-(4)(4)a a +-山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是______．答案：解析：如图，根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，∴黄河母亲像的坐标是 ．故答案为：．15. 如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 在BC 边上，将沿DE 翻折得到，点F 落在AE 上．若，，则______cm．()4,1-()4,1-()4,1-CDE △FDE V 3cm CE =2AF EF =AB =答案：解析：∵将△CDE 沿DE 翻折得到△FDE ，点F 落在AE 上，，四边形ABCD 是矩形，∴EF=CE=3cm ，CD=DF ，∠DEC=∠DEF ，∠DFE=∠C=90°=∠DFA ，∵AF=2EF ，∴AF=6cm ，∴AE=AF+EF=6+3=9(cm)，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD=DF ，，∴∠ADE=∠DEC=∠DEF ，∴AD=AE=9cm ，∵在Rt △ADF 中，AF 2+DF 2=AD 2∴62+DF 2=92，∴DF= (cm)，AB=DF= (cm)，故答案为∶．16. 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：幼树移植数（棵）100100050008000100001500020000幼树移植成活数（棵）878934485722489831344318044幼树移植成活的频率0.8700.8930.8970.9030.8980.8960.902估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1）答案：0.9解析：∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902，∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9，故答案为：0.9．3cm CE AD BC ∥三、解答题17. 解不等式：．答案：x<7解析：去括号得：2x-6<8，移项得：2x<8+6，合并同类项得：2x<14，系数化1得：x<7，故不等式的解集为：x<7．18. 计算：．答案：解析：，=，=，=．19. 如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的大小．答案：解析：∵，∴，∴，∴在和中，∴，∴．()238x -<()211x x x x +⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭1x()211x x x x +⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭21+x x x x x +⋅()11x x x x x +⋅+1x AB AE =AC AD =BAD EAC ∠=∠50C ∠=︒D ∠50D ∠=︒BAD EAC ∠=∠BAD CAD EAC CAD ∠+∠=∠+∠BAC EAD ∠=∠ABC V AED V AB AE BAC EADAC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABC AED SAS ≌△△50D C ∠=∠=︒20. 如图，小睿为测量公园的一凉亭AB 的高度，他先在水平地面点E 处用高1.5m 的测角仪DE 测得，然后沿EB 方向向前走3m 到达点G 处，在点G 处用高1.5m 的测角仪FG 测得．求凉亭AB 的高度．（A ，C ，B 三点共线，，，，．结果精确到0.1m ）（参考数据：，，，，，）答案：m解析：由题意得：BC ＝FG ＝DE ＝1.5，DF ＝GE ＝3，∠ACF ＝90°，设CF ＝x ，∴CD ＝CF+DF ＝（x+3），在Rt △ACF 中，∠AFC ＝42°，∴AC ＝CF•tan42°≈0.9x （m ），在Rt △ACD 中，∠ADC ＝31°，∴tan31°，∴x ＝6，经检验：x ＝6是原方程的根，∴AB ＝AC+BC ＝0.9x+1.5＝6.9（m ），∴凉亭AB 的高约为6.9m ．21. 人口问题是“国之大者”．以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，31ADC ∠=︒42AFC ∠=︒AB BE ⊥AC CD ⊥CD BE =BC DE =sin 310.52︒≈cos310.86︒≈tan 310.60︒≈sin 420.67︒≈cos 420.74︒≈tan 420.90︒≈6.90.90.63AC x CD x ==≈+准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：（数据分成6组：，，，，，）信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；信息三：2010——2021年全国大陆人口数及自然增长率；请根据以上信息，解答下列问题：020x ≤<2040x ≤<4060x ≤<6080x ≤<80100x ≤<100120x ≤≤4060x ≤<（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为______百万人．（2）下列结论正确的是______．（只填序号）①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区；②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；③2010-2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．（3）请写出2016-2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．答案：（1）40（2）②（3）答案见解析【小问1详解】解：将这31个省、自治区、直辖市人口数从小到大排列处在中间位置的数是40百万人，因此中位数是40百万人，故答案为：40；【小问2详解】解：①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区，故原结论正确，符合题意；②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢，故原结论正确，符合题意；③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率的情况是：2010﹣2012，2013﹣2014，2015﹣2016年增长率持续上升；2012﹣2013，2014﹣2015，2016﹣2021年增长率持续降低，故原结论错误，不符合题意．所以结论正确的是②．故答案为：①②；【小问3详解】解：2016﹣2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．22. 综合与实践问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A 沿圆周移动，直到，在圆上标记A ，B ，C 三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A ，B 点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D 点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A ，B ，C ，D 四点，连接AD ，BC 相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A ，B ，C ，D 四点，链接AD ，BC 相较于点O ，即O 为圆心．AB AC（1）问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在上，，且，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）（2）类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在上，，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）（3）拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：______________________________．答案：（1）见解析（2）见解析（3）见解析【小问1详解】解：如图所示，点O就是圆的圆心．Oe AB AC⊥AB AC= Oe AB AC⊥O e作∠ABD=90°，　BD 与圆相交于D ，连接BC 、AD 相交 于点O ，∵∠CAB=∠ABC=90°，∴BC 、AD 是圆的直径，∴点O 是圆的圆心．小问2详解】解：如图所示，点O 就是圆的圆心．作∠ABD=90°，　BD 与圆相交于D ，连接BC 、AD 相交 于点O ，∵∠CAB=∠ABC=90°，∴BC 、AD 是圆的直径，∴点O 是圆的圆心．【小问3详解】解：如图所示 ，点O 就是圆的圆心．作AB 的垂直平分线DE ，作AC 的垂直平分线MN ，DE 交MN 于O ，【∵DE 垂直平分AB ，∴DE 经过圆心，即圆心必在直线DE 上，∵MN 垂直平分AC ，∴MN 经过圆心，即圆心必在直线MN 上，∴DE 与MN 的交点O 是圆心．确定圆心的理由：弦的垂直平分线经过圆心．23. 如图，在中，，，，M 为AB 边上一动点，，垂足为N ．设A ，M 两点间的距离为xcm （），B ，N 两点间的距离为ycm （当点M 和B 点重合时，B ，N 两点间的距离为0）．小明根据学习函数的经验，对因变量y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是根据A ，M 两点间的距离x 进行取点、画图、测量，得到了y 与x 的几组对应值：x/cm 00.51 1.5 1.82 2.53 3.54 4.55y/cm 4 3.96 3.79 3.47a 2.99 2.40 1.79 1.230.740.330请你通过计算，补全表格：______；（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，Rt ABC △90ACB ∠=︒3cm AC =4cm BC =BN CM ⊥05x ≤≤=a (),x y并画出函数y 关于x 的图像；（3）探究性质：随着自变量x 的不断增大，函数y 的变化趋势：______．（4）解决问题：当时，AM 的长度大约是______cm ．（结果保留两位小数）答案：（1）3.2（2）答案见解析（3）y 随x 的增大而减小（4）1.67【小问1详解】解：如图，在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，根据勾股定理得，AC ＝5，过点C 作CM'⊥AB 于M，2BN AM∴S △ABC ＝AC•BC ＝AB•CM'，∴CM'＝，在Rt △ACM'中，根据勾股定理得，AM'，当a ＝1.8时，点M 与点M'重合，∴CM ⊥AB ，∵BN ⊥CM ，∴点M ，N 重合，∴a ＝BN ＝BM ＝AB ﹣AM ＝3.2，故答案为：3.2；【小问2详解】解：如图所示，【小问3详解】解：由图像知，y 随x 的增大而减小，故答案为：y 随x 的增大而减小；【小问4详解】解：如图，直线OD 的解析式为，1212125 1.8=2y x =借助表格和图像得，当BN ＝2AM 时，AM 的长度大约是1.67cm ，故答案为：1.67．24. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y （m ）与水平距离x（m ）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m 处．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m ，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．5m 3答案：（1）y 关于x 的函数表达式为； （2）该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．【小问1详解】解∶∵当水平距离为3m 时，实心球行进至最高点3m 处，∴设，∵经过点(0， )，∴解得∶∴，∴y 关于x 的函数表达式为；【小问2详解】解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶∵对于二次函数，当y=0时，有∴，解得∶， (舍去)，∵>6.70，∴该女生在此项考试中是得满分．25. 如图，点A 在反比例函数的图像上，轴，垂足为，过作轴，交过B 点的一次函数的图像于D 点，交反比例函数的图像于E 点，．24852793y x x =-++()233y a x =-+()233y a x =-+53()250333a =-+4,27a =-224485(3)3272793y x x x =--+=-++24852793y x x =-++24852793y x x =-++248502793x x -++=2424450x x --=1152x =232x =-152(0)k y x x=>AB x ⊥()3,0B ()5,0C CD x ⊥32y x b =+3AOB S =△（1）求反比例函数和一次函数的表达式：（2）求DE 的长．答案：（1）y＝； （2）【小问1详解】解：∵点A 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图像上，AB ⊥x 轴，∴S △AOB ＝|k|＝3，∴k ＝6，∴反比例函数为y ＝，∵一次函数y ＝x+b 的图像过点B （3，0），∴×3+b ＝0，解得b ＝，∴一次函数为 ；【小问2详解】解：∵过C （5，0）作CD ⊥x 轴，交过B 点的一次函数y ＝x+b 的图像于D点，∴当x ＝5时y ＝＝；，∴E （5，），D （5，3），(0)k y x x =>32y x b =+6x 3922y x =-95k x 126x 323292-3922y x =-326x 6539322y x =-=65∴DE ＝3﹣．26. 如图，是的外接圆，AB 是直径，，连接AD ，，AC 与OD 相交于点E ．（1）求证：AD 是的切线；（2）若，，求的半径．答案：（1）见解析（2）2【小问1详解】证明：∵，∴∠COD=90°，∵∠BOC+∠COD+∠AOD=180°，∴∠BOC +∠AOD=90°，∵，∴∠ADO +∠AOD=90°，∵∠ADO +∠AOD+∠OAD=180°，∴∠OAD=90°，∵OA 是⊙O 的半径，∴AD 是⊙O 的切线；【小问2详解】6955=O e ABC V OD OC ⊥ADO BOC ∠=∠O e 1tan 2OAC ∠=32AD =O e OD OC ⊥ADO BOC ∠=∠解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠BAC+∠CAD=∠OAD=90°，∴∠B=∠CAD ，∵∠B+∠BOC+∠OCB=∠ADO+∠CAD+∠AED=180°，∠ADO=∠BOC ，∴∠AED=∠OCB ，∵OB=OC ，∴∠B=∠OCB ，∴∠AED=∠CAD ，∴DE=AD=，∵OC=OA ，∴∠OAC=∠OCA ，∵OC ⊥OD ，∴∠COE=90°，∴tan ∠OAC= tan ∠OCA=,设OC=OA=R,则OE=R ，在Rt △OAD 中，∠OAD=90°，由勾股定理，得OD 2=OA 2+AD 2，即，解得：R=2或R=0(不符合题意，舍去）,∴⊙O 的半径为2．27. 在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和3212OE OC =12222133222R R ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),P a b 1ak b =两个值中的最大值叫做点P 的“倾斜系数”k ．（1）求点的“倾斜系数”k 的值；（2）①若点的“倾斜系数”，请写出a 和b 的数量关系，并说明理由；②若点的“倾斜系数”，且，求OP 的长；（3）如图，边长为2的正方形ABCD 沿直线AC ：运动，是正方形ABCD 上任意一点，且点P 的“倾斜系数”a 的取值范围．答案：（1）3（2）①a-2b 或b=2a ，②（3【小问1详解】解：由题意，得，，∵3>，∴点的“倾斜系数”k=3；【小问2详解】2k b a=()6,2P (),P a b 2k =(),P a b 2k =3a b +=y x =(),P a b k <632=2163=13()6,2P解：①a=2b 或b=2a ，∵点的“倾斜系数”，当=2时，则a=2b ；当=2时，则b=2a ，∴a=2b 或b=2a ；②∵的“倾斜系数”，当=2时，则a=2b∵，∴2b+b=3，∴b=1，∴a=2，∴P(2，1)，∴；当=2时，则b=2a ，∵，∴a+2a=3，∴a=1，∴b=2，∴P(1，2)∴综上，【小问3详解】解：由题意知，当点P 与点D 重合时，且a 有最小临界值，如图，连接OD ，延长DA 交x 轴于E ，(),P a b 2k =a b b a (),P a b 2k =ab 3a b +==b a 3a b +==此时，则，解得：；经检验符合题意；当点P 与B 点重合，且a 有最大临界值，如图，连接OB ，延长CB 交x 轴于F ，此时，则，解得：，经检验符合题意，ba 2a a +=ab =2aa =-综上，若P 的“倾斜系数”28. 综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，，EP 与正方形的外角的平分线交于P 点．试猜想AE 与EP 的数量关系，并加以证明；（1）【思考尝试】同学们发现，取AB 的中点F ，连接EF 可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．（2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD 中，E 为BC 边上一动点（点E ，B 不重合），是等腰直角三角形，，连接CP ，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．（3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD 中，E 为BC 边上一动点（点E ，B 不重合），是等腰直角三角形，，连接DP ．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值．答案：（1）答案见解析（2），理由见解析（3），理由见解析【小问1详解】k <AE EP ⊥DCG △AEP △90AEP ∠=︒DCP ∠AEP △90AEP ∠=︒ADP △4AB =ADP △45︒4+解：AE＝EP，理由如下：取AB的中点F，连接EF，∵F、E分别为AB、BC的中点，∴AF＝BF＝BE＝CE，∴∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∵CP平分∠DCG，∴∠DCP＝45°，∴∠ECP＝135°，∴∠AFE＝∠ECP，∵AE⊥PE，∴∠AEP＝90°，∴∠AEB+∠PEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠PEC＝∠BAE，∴△AFE≌△ECP（ASA），∴AE＝EP；【小问2详解】解：在AB上取AF＝EC，连接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，∵AF＝EC，AE＝EP，∴△FAE≌△CEP（SAS），∴∠ECP＝∠AFE，∵AF＝EC，AB＝BC，∴BF＝BE，∴∠BEF＝∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∴∠ECP＝135°，∴∠DCP＝45°；【小问3详解】解：作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，由（2）知，∠DCP＝45°，∴∠CDG＝45°，∴△DCG是等腰直角三角形，∴点D与G关于CP对称，∴AP+DP的最小值为AG的长，∵AB＝4，∴BG＝8，由勾股定理得AG＝∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝4。

兰州中考数学试题及答案兰州中考数学试题及答案一、选择题1. 下列各组数中，可以构成等差数列的是：A. 2, 4, 6, 8, 10B. 1, 3, 5, 6, 8C. 1, 4, 9, 16, 25D. 1, 2, 4, 7, 11答案：A2. 已知平行四边形ABCD的边长AB=6cm，BC=8cm，以AB为底边，作三角形APB（P为BC的中点），则三角形APB的面积为：A. 12cm²B. 18cm²C. 24cm²D. 36cm²答案：B3. 设函数y=2x+3，若x增加3个单位，y的值增加了多少个单位？A. 2B. 3C. 6D. 9答案：D4. 平方根是一个大于0的数x，那么下列说法正确的是：A. x的平方一定是0B. x的平方一定是1C. x的平方一定是正数D. x的平方可以是负数答案：C5. 在0-100之间的整数中，能被3整除但不能被5整除的数有：A. 15个B. 16个C. 17个D. 18个答案：A二、填空题1. 若一个等边三角形的周长为18cm，则每边的长度是_______ cm。

答案：62. 如果a:b=2:3，b:c=4:5，那么a:c= _____ 。

答案：8:153. 设f(x)=3x-5，则f(2)的值为 _______ 。

答案：14. 将15用质因数分解的结果是 _______ 。

答案：3 × 55. 在一个几何数列中，首项是3，公比是2，第5项是 _______ 。

答案：48三、解答题1. 有一个正方形ABCD，边长为6cm。

在AD边上取一点E，连接BE，交BC边于F。

求BE的长度和三角形DEF的面积。

解答：由正方形的性质可知ABFE为矩形，因此EF=AB=6cm。

三角形BDF和三角形EAF全等，所以BD=EA=6cm。

由直角三角形BDF可得DF=√(BD²-BF²)=√(36-16)=√20=2√5cm。

2022年甘肃省兰州市中考数学真题一、选择题1. 的结果是（ ）A. ±2B. 2C.D.【答案】B 【解析】表示4的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果．【详解】4的算术平方根是2=2， 故选B ．【点睛】本题考查算术平方根的定义，比较基础，正确把握算术平方根的定义是解题的关键．2. 如图，直线a b ∥，直线c 与直线a ，b 分别相交于点A ，B ，AC b ⊥，垂足为C ．若152∠=︒，则2∠=（ ）A. 52°B. 45°C. 38°D. 26°【答案】C 【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠ABC =52°，根据垂直定义可得∠ACB =90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答． 【详解】解：∵a ∥b ， ∴∠1=∠ABC =52°， ∵AC ⊥b ， ∴∠ACB =90°， ∴∠2=90°-∠ABC =38°， 故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 3. 下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔贝维尔冬奥运会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形．详解】解：A ．不能沿一条直线折叠完全重合； B ．不能沿一条直线折叠完全重合； C ．不能沿一条直线折叠完全重合； D ．能够沿一条直线折叠完全重合； 故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，关键在于熟练掌握轴对称图形的概念，并对选项作出正确判断．4. 计算：()22x y +=（ ） A. 2244x xy y ++B. 2224x xy y ++C. 2242x xy y ++D.224x x +【答案】A 【解析】【分析】根据完全平方公式展开即可． 【详解】解：原式=2244x xy y ++ 故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．5. 如图，ABC 内接于O ，CD 是O 的直径，40ACD ∠=︒，则B ∠=（ ）【A. 70°B. 60°C. 50°D. 40°【答案】C 【解析】【分析】由CD 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD ＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD 与∠D 互余，即可求得∠D 的度数，继而求得∠B 的度数．【详解】解：∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠CAD ＝90°， ∴∠ACD +∠D ＝90°， ∵∠ACD ＝40°， ∴∠ADC ＝∠B ＝50°． 故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．6. 若一次函数21y x =+的图象经过点()13,y -，()24,y ，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A. 12y y <B. 12y y >C. 12y y ≤D.12y y ≥【答案】A 【解析】【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据-3＜4即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y =2x +1中，k =2＞0， ∴y 随着x 的增大而增大．∵点（-3，y 1）和（4，y 2）是一次函数y =2x +1图象上的两个点，-3＜4， ∴y 1＜y 2． 故选：A ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．7. 关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个相等的实数根，则k =（ ）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】B 【解析】【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b 2−4ac ＝0，据此可列出关于k 的等量关系式，即可求得k 的值． 【详解】∵原方程有两个相等的实数根， ∴△＝b 2−4ac ＝4−4×（−k ）＝0，且k ≠0； 解得1k =-． 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 8. 已知ABC DEF ∽△△，12AB DE =，若2BC =，则EF =（ ） A. 4 B. 6C. 8D. 16【答案】A 【解析】【分析】根据相似三角形的性质得到AB BCDE EF=，代入求解即可． 【详解】解：∵ABC DEF ∽△△， ∴12AB BC DE EF ==，即212EF =， 解得4EF =． 故选：A ．【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形性质．相似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的相似比等于周长比，相似三角形的相似比等于对应高，对应角平分线，对应中线的比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．9. 无色酚酞溶液是一中常见常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（ ） A.15B.25C.35D.45【答案】B 【解析】【分析】根据概率公式求解即可．【详解】解：∵酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色， ∵总共有5种溶液，其中碱性溶液有2种，∴将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色概率是：25． 故选：B ．【点睛】此题考查了概率的知识，解题的关键是熟练掌握概率的求解方法． 10. 如图，菱形ABCD 对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，连接OE ，60ABC ∠=︒，BD =，则OE =（ ）A. 4B.C. 2【答案】C 【解析】【分析】根据菱形的性质得出AB AD DC BC ===，AC BD ⊥，再由AOD △直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出12OE AD =．利用菱形性质、直角三角形边长公式求出4=AD ，进而求出2OE =．【详解】ABCD 是菱形，E 为AD 的中点，AB AD DC BC ∴===，AC BD ⊥．∴AOD △是直角三角形，12OE AD =． 60ABC ∠=︒，BD =，113022ADO ADC ABC ∴∠=∠=∠=︒，1122OD BD ==⨯=22214AD AD OD -= ，即23124AD =， 4AD ∴=，114222OE AD ==⨯=．故选：C ．【点睛】本题主要考查菱形、直角三角形的性质的理解与应用能力．解题关键是得出的的12OE AD =并求得4=AD ．求解本题时应恰当理解并运用菱形对角线互相垂直且平分、对角相等，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质．11. 已知二次函数2245y x x =-+，当函数值y 随x 值的增大而增大时，x 的取值范围是（ ） A. 1x < B. 1x > C. 2x < D. 2x >【答案】B 【解析】【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断． 【详解】解：∵()22245213y x x x =-+=-+ ∵开口向上，对称轴为x =1，∴x ＞1时，函数值y 随x 的增大而增大． 故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．12. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O 为圆心，OA ，OB 长分别为半径，圆心角120O ∠=︒形成的扇面，若3m OA =， 1.5m OB =，则阴影部分的面积为（ ）A. 24.25m πB. 23.25m πC. 23m πD.22.25m π【答案】D 【解析】【分析】根据S 阴影=S 扇形AOD -S 扇形BOC 求解即可． 【详解】解：S 阴影=S 扇形AOD -S 扇形BOC=22120120360360OA OB ππ⋅⋅-=()22120360OA OB π-=()223 1.53π-=2.25π（m 2） 故选：D ．【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．二、填空题13. 因式分解：216a -=___________． 【答案】(4)(4)a a +- 【解析】【分析】利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式224a =-，(4)(4)a a =+-，故答案为：(4)(4)a a +-．【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 14. 如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是______．【答案】()4,1- 【解析】【分析】根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，然后根据点的坐标的表示方法写出黄河母亲像的坐标； 【详解】解：如图，根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系， ∴黄河母亲像的坐标是 ()4,1-． 故答案为：()4,1-．【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征是解题的关键．15. 如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 在BC 边上，将CDE △沿DE 翻折得到FDE V ，点F 落在AE 上．若3cm CE =，2AF EF =，则AB =______cm ．【答案】 【解析】【分析】由将△CDE 沿DE 翻折得到△FDE ，点F 落在AE 上，可得EF =CE =3cm ，CD =DF ，∠DEC =∠DEF ，由矩形的性质得∠DFE =∠C =90°=∠DFA ，从而得AF =6cm ，AD =AE =9cm ，进而由勾股定理既可以求解。