运用三角函数和几何知识巧解物体的平衡问题
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运用三角函数知识和几何知识巧解物体的平衡问题（高一、高三）
朱海英（浙江省丽水中学 323000）
物体的受力情况及运动状态的分析常要运用三角函数知识和几何知识得出空间的数量关系，再运用所学的物理规律找出各物理量之间的制约关系才得以求解。
这类题目虽然有时所运用的物理规律比较明确，但是学生常因为找不到各物理量的数学表述，或是由于数学的运算能力不够而失之交臂。
一、应用相似三角形法巧解物体平衡问题：
在研究物体在共点力作用下处于平衡状态问题时，常要运用相似三角形法来进行解题，以几何三角形与力的三角形相似为突破口。
例1：固定在水平面上的光滑半球，球心O 的正上方固定一小定滑轮。
细线一端拴一小球A ，另一端绕过定滑轮。
今将小球如图1所示的初位置缓慢地拉至B 点。
在小球到达B 点前的过程中，小球对半球的压力N 及细线的拉力T 的大小变化是： A ．N 变大，T 变大 C ．N 不变，T 变小 B ．N 变小，T 变大 D ．N 变大，T 变小
解析：以小球为研究对象，它受到重力G ，绳子的拉力T
和球面支持力N 的作用。
小球缓慢移动，故任一时刻均处于平衡状态（动态平衡），受力如图2所示。
设滑轮悬于C 点，且AC=L ，
BC=d ，大球半径为R 。
作力的平行四边形得，T 与G 的合力F 与N 大小相等、方向相反，T 、G 、F 三力组成的三角形与ΔAOC 相似，即： R
d G
R N L T +== 在小球运动的过程中，L 变小，而d 和R 不变，即T 变小，N 不变，选C 正确。
二、应用同角三角函数的基本关系式解决平衡问题
例2： 人对均匀细杆的一端施力，力的方向垂直于杆，要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬到竖直位置，试求杆与地板间的最小动摩擦因数。
解析：人将杆缓慢抬起的过程中，地板对杆作用的弹力和摩擦力会不断地发生变化，因此，抬起至某一位置时可能要发生滑动，解题时需判断何处最易滑动（这是第一个难
点），当杆与水平面的角度成α时受力如图3所示，取重力
和人作用于杆的力F 作用线的交点O 为轴，设杆长为2L ，根据力矩的平衡条件得： NLcos α=fL(1/sin α+sin α)=fL α
α
sin sin 12+
因此， α+α=α
+ααα=α+αα=ctg tg 21
N cos sin 2sin cos N sin 1sin cos N
f 222
要使杆不滑动，须满足条件：N f μ≤，
即
ααμctg tg +≥
21
，
因为2tg αctg α=2为正值，所以当2tg α=ctg α时，有极值， 即：22tg =
α时， 4
2min =μ 三、综合利用几何知识和三角函数知识解决平衡问题
例3：三个完全相同的光滑圆筒，半径为R ，如图4所示放置，在最下面左右两边各放置一个厚度为h ，长度
图3
图1
图2
h
与圆筒等长的固定垫块把圆筒支承着，为了使圆筒不倒，垫块的厚度至少应为多少？
解析：由于最上面的圆筒有重量，左、右两筒有向两边分开的趋势，即要绕下面圆筒与垫块的接触点转动，这时下面两圆筒之间、两圆筒与地面之间都没有弹力。
选取上面那个圆筒作为研究对象，其受力如图5所示，由对称性可知下面圆筒对它的弹力方向与竖直线夹角α=30°，设弹力大小为N 1，应有： 2N 1cos α=mg
再取下面左侧圆筒为研究对象，圆筒将要发生滚动时，受力如图6所示，以
圆筒与垫片接触处为轴，根据力矩平衡得： mgRsin θ=N 1Rsin(α-θ)
另由几何关系还可得：
cos θ=
R
h R min
- 代入数据得：h min =0.018R
四、构造两角和与差的三角函数求解物体的平衡问题
例4．一物体质量为m ，置于倾角为α的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。
解析：设拉力与斜面的夹角为θ，物体的受力分析，如图7所示。
由物体的平衡条件可得：
0sin mg )sin F cos mg (cos F =α-θ-αμ-θ
即：θ
μ+θαμ+α=
sin cos mg
)cos (sin F
令1/μ=tan β，则
)sin(1sin cos 2θ+βμ+=θμ+θ≤2
1μ+
拉力的最小值：2
min 1mg
)cos (sin F μ
+αμ+α=
五、运用半角、倍角知识求解物体的平衡问题。
例5：重为G 的匀质球，半径为R ，已知墙和板AB 表面皆光滑，板的A 端由铰链连接，B 用水平绳索BC 拉住，板长为l ，板和墙的交角为，如图8所示。
板的重力不计，求绳索的拉力F T ，并问为何值时，绳的拉力为最小，最小值是多少？
解析：小球及板的受力情况如图9，小球处于静止状态，即G 、N 、F 三力平衡，由力的平行四边形定则，
可得：N=G/sin α。
由牛顿第三定律有：
N ′=N ，板处于静止状态，则N ′、F T 两力的力矩平衡，即：T F T N l F l N =''，代入各已知量有：
αα
cos 2
tan
sin l F R G
T ⋅=⋅，整
图
6
A
B 图8
图9
′
图5
图7
理得：αα
α
cos 2
tan sin ⋅⋅=
R l G
F T
当αα
αcos 2
tan
sin ⋅有最大值时，F T 有最小值，化简：
αα
αα
ααααcos 2
cos
2sin
2
cos 2sin 2cos 2tan sin ⋅
=⋅
α
ααα
cos )cos 1(cos 2
sin 22
-==
当且仅当（1-cos α）=cos α时，FT 有最小值，即当cos α=1/2时，
l GR
F T 4max =
，此时α=60º。
六、运用和差化积知识求解物体的平衡问题
例6：一空心环形圆管沿一条直径截成两部分，一半竖直在铅垂平面内，如图10所示，管口连线在一水平线上，向管内装入与管壁相切的小滚珠。
左、右侧第一个滚珠都与圆管截面相切。
已知单个滚珠重G ，共2n 个，求：从左边起第k 个和第k+1个滚珠之间的相互压力N K 。
假设系统中处处无摩擦。
解析：除第一个球和第2n 个滚珠外，其余滚珠受
四个力作用处于平衡状态。
第k 个珠的受力如图11所示。
其中：2
θ
=
α 如考虑1至k 号滚珠，取O 点为转轴，则对O 点产生力矩的仅有k 个珠子的重量以及第K+1个滚珠对第K 个滚珠的弹力N K ，则：
∑==-k
i Gi K M r R N 1
2/cos )(θ
其中：
k
k
i Gi
x G x G x G M
⋅++⋅+⋅=∑= 211
，
而：2cos
)(1θ
r R x -=，
23cos
)(2θr R x -=
…
2
)12(cos
)(θ
--=k r R x K 。
即：
]
2)1k 2(cos 23cos 2)[cos r R (G xi G 2/cos )r R (N k
1i K θ
-++θ+θ-==θ-∑=
又θ=π/2n ，根据和差化积知识可化简得：G n
kn
N K ⋅=
2sin
2sin
π
π。
图10
图11
K-1
[写作缘由]
1、近年来对物理能力培养很重要的一部分就是数学运用能力的培养，加强物理和数学的结合，使数学和
物理能力共同发展，相互促进。
2、本论文是本人在实施《物理学科中的数学方法研究》（本课题获浙江省2002年物理教科研课题二等奖）
中的一个力学和数学方法结合专题中的部分内容。
3、本专题中每个问题都巧妙地运用数学方法给予解决，数理结合，值得推广。
