锐角三角函数知识点

锐角三角函数知识点总结与复习1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c2、如以下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 那么∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得B A 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 对边邻边Cαsin0 21 22 23 1 αcos1 23 2221 0 αtan 0 33 1 3 不存在 αcot不存在3133 06、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。

1、解直角三角形的定义：边和角〔两个，其中必有一边〕→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量防止使用中间数据和除法)2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角； (2)俯角：视线在水平线下方的角。

(3)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即h i l=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i lα==。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

:i h l=hl α如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

锐角三角函数讲义【知识点拨】知识点一：锐角三角函数的概念：锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b ，c ． ∠A 的正弦=A asin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注意：我们说锐角三角函数都是在直角三角形中讨论的！若没有直角，要想方设法构造直角。

课堂练习：1. 把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ＇B ＇C ＇，那么锐角A.A ＇的余弦值的关系为（ ）．A.cosA ＝cosA ＇B.cosA ＝3cosA ＇C.3cosA ＝cosA ＇D.不能确定 2. 已知中，AC =4，BC =3，AB =5，则（ ）A ．B ．C ．D ．3. 三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin α的值是（ ）Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45α图14.在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin B＝（）A． B． C． D．5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cos A＝，sin B＝，tan B＝，6.⑴如图1－1－7①、②锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律；⑵根据你探索到的规律，试比较18○、34○、50○、61○、88○这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．知识点二：特殊角三角函数值的计算知识点三：运用三角函数的关系化简或求值 1．互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin A tan （900－A ）＝ctan A ； ctan （900－A ）＝tan A2．同角的三角函数关系． ①平方关系：sin 2A+cos 2A=l ② 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==sin cos a a += ③倒数关系： tgα·ctgα=1．课堂练习：1. 如α∠是等腰直角三角形的一个锐角，那么cos α的值等于（ ）Ａ．12Ｄ．12. 45cos 45sin +的值等于（ ） A. 1B. 2C. 3D.213+ 3. 下列计算错误的是（ ）A ．sin 60sin 30sin 30︒-︒=︒B ．22sin 45cos 451︒+︒=C ．sin 60cos 60cos 60︒︒=︒D ．cos30cos30sin 30︒︒=︒4. 已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于（ ）A 20°B 30°C 40°D 50°5. 若tan(a+10°)=3，则锐角a 的度数是 ( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50°6. (兰州市)如果sin 2α＋sin 230°＝１那么锐角α的度数是（ ）Ａ．１５° Ｂ．３０° Ｃ．４５° Ｄ．６０° 7. 已知α为锐角，且sin α－cos α=12 ，则sin α·cos α=___________8. cos 2α+sin 242○ =1，则锐角α=______.9. tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45°10. 22sin30cos60tan 60tan30cos 45+-⋅+︒．11. 22sin 45cos30tan 45+-知识点四：锐角三角函数的增减性三角函数的单调性1． 正弦和正切是增函数，三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．2． 余弦是减函数，三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。

锐角三角函数的定义能量储备锐角α的正弦、余弦、正切统称为锐角α的三角函数．通关宝典★ 基础方法点方法点1：无论直角三角形如何放置，其顶点字母如何标记，正弦总是该锐角的对边比斜边，余弦总是该锐角的邻边比斜边，正切总是该锐角的对边比邻边。

例：如图24­3­2所示，在Rt △OPQ 中，∠O ＝90°，OP ＝6，OQ ＝2，求∠P 和∠Q 的三个三角函数值．解：根据勾股定理，得PQ ＝OP 2＋OQ 2＝10，故sin P ＝OQ PQ ＝210＝105，cos P ＝OP PQ ＝610＝155， tan P ＝OQ OP ＝26＝63；sin Q ＝OP PQ ＝610＝155，cos Q ＝OQ PQ ＝210＝105，tan Q ＝OP OQ ＝62. 方法点2：运用锐角三角函数的定义求三角函数值的实质就是求直角三角形的两边之比，因此求值的关键是求出直角三角形的三边长．一般是缺什么条件就先求什么条件，通常会用到勾股定理．另外，最后的结果应进行化简.例1：如图24­3­3所示，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是( ) A.23 B.32 C.21313 D.31313解析：如图24­3­4所示，设小正方形的边长为1，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝90°，AC ＝3，OC ＝2，∴ tan ∠AOB ＝AC OC ＝32. 答案：B例2：如图24­3­5所示，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 上的F 处，如果AB BC＝23，那么tan ∠DCF 的值是________．解析：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ＝CD ，∠D ＝90°. ∵ 将矩形ABCD沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 上的F 处，∴ CF ＝BC .∵ AB BC ＝23，∴ CD CF＝23.设CD ＝2x ，CF ＝3x ，∴ DF ＝CF 2－CD 2＝5x ，∴ tan ∠DCF ＝DF CD ＝5x 2x ＝52. 答案：52★★易混易误点易混易误点: 求角的三角函数值时因忽视三角函数是放在直角三角形中定义的而导致错误 例：如图24­3­25所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求tan B ．常见错解：tan B ＝AC BC ＝56.正确解法：如图24­3­25所示，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵AB ＝AC ，∴BD ＝12BC ＝12×6＝3.在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝52－32＝4，∴tan B ＝AD BD ＝43.蓄势待发考前攻略求锐角的三角函数值，有时求网格图中某个角的三角函数值，以选择题、填空题的形式呈现，难度不大；有时与三角形、特殊四边形等知识相结合，各种题型都有，难度较大． 完胜关卡。

锐角三角函数（公式、定理、结论图表）--中考数学知识必备考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 所对的边BC 记为a，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA，即cos A bA c∠==的邻边斜边；BCa c锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA a AA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．典例1：（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为．．【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式两边同时除以ac得：＝+1，令＝x，则有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），当x＝时，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sin A＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．典例2：（2022•天津）tan45°的值等于（）A．2B．1C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：tan45°的值等于1，故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.典例3：（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理构建方程求解．【解答】解：（1）结论：CD是⊙O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠CBE，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BD，∵CD⊥BD，∴CD⊥OC，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵OC⊥DC，CD⊥DB，∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，∴四边形CDEJ是矩形，∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，∴OC⊥AE，∴AJ＝EJ，∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，∴DE＝3，CD＝4，∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.典例4：（2022•黑龙江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（）米A．600﹣250B．600﹣250C．350+350D．500【分析】设EF＝5x米，根据坡度的概念用x表示出BF，根据勾股定理求出x，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设EF＝5x米，∵斜坡BE的坡度为5：12，∴BF＝12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，解得：x＝100，则EF＝500米，BF＝1200米，由题意可知，四边形DCFE为矩形，∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，在Rt△ADE中，tan∠AED＝，则DE＝＝AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，解得：AD＝600﹣750，∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高典例5：（2022•湖北）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C 点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为16m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB ＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，进而可得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图．则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，∴BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，∴AB＝16m．故答案为：16．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键典例6：（2022•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）（1）求点D与点A的距离；（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．【解答】解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△ADC中，∴（米），答：点D与点A的距离为300米．（2）过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是东西走向，∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，在Rt△ADE中，∴（米），在Rt△BDE中，∴（米），∴（米），答：隧道AB的长为米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，(1)三边之间的关系：222a b c +=；(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B＝90°；(3)边与角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos cos a A B c ==，cos sin b A B c ==，1tan tan a A b B==．(4)如图，若直角三角形ABC 中，CD⊥AB 于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a 2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b 2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h 2＝pq；由△ACD∽△ABC 或由△ABC 面积，得ab＝ch．(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则①CD＝AD＝BD＝12AB；②点D 是Rt△ABC 的外心，外接圆半径R＝12AB．(6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c ab r a b c +-==++．直角三角形的面积：①如图所示，111sin 222ABC S ab ch ac B === △．（h 为斜边上的高）②如图所示，1()2ABCS r a b c=++△．典例7：（2022•黄石）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π≈＝3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（）A．12sin15°B．12cos15°C．12sin30°D．12cos30°【分析】利用圆内接正十二边形的性质求出A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”，即可解决问题．【解答】解：在正十二边形中，∠A6OM＝360°÷24＝15°，∴A6M＝sin15°×OA6＝R×sin15°，∵OA6＝OA7，OM⊥A6A7，∴A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，∴π≈＝12sin15°，故选：A．【点评】本题主要考查了圆内接多边形的性质，解直角三角形等知识，读懂题意，计算出正十二边形的周长是解题的关键．。

中考复习：锐角三角函数知识梳理一、锐角三角函数（正弦、余弦、正切）1、定义：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sinc ）， 记作sin A ，即sin A aA c∠==的对边斜边。

把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine ），记作cos A ，即；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tan A ，即。

锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数（trigonometric function of acute angle ）。

当锐角A 的大小确定时，∠A 的对边与斜边的比（正弦）、∠A 的邻边与斜边的比（余弦）、∠A 的对边与邻边的比（正切）分别是确定的。

2、增减性：在0°到90°之间，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦随着角度的增大而减小。

3、取值范围：当∠A 为锐角时，三角函数的取值范围是：0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0。

4、互余两角的函数关系：如果两角互余，则其中一有的正弦等于另一角的余弦，即：若α是一个锐角，则sin α=cos （90°-α），cos α=sin （90°-α）。

5、正、余弦的平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。

二、300、450、600的正弦值、余弦值和正切值如下表：三、解直角三角形bcos c A A ∠==的邻边斜边atan bA A A ∠=∠的对边＝的邻边C ∠A 的邻边b∠A 的对边a在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。

1、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c （以下字母同），则解直角三角形的主要依据是：（1）边角之间的关系： sinA ＝cosB ＝a c ， cosA ＝sinB ＝bc，tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝b a。

初中数学锐角三角函数初中知识点一、锐角三角函数的定义1.勾股定理：直角三角形两直角边a .b 的平方和等于斜边c 的平方。

222c b a =+ 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B )：定 义表达式 取值范围 关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=coscbA =cos1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A Aba A =tan 0tan >A(∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A Atan α＝sin cos αα，cot α＝cos sin αα余切的对边的邻边A A A ∠∠=cotab A =cot 0cot >A(∠A 为锐角)注意：（1）正弦.余弦.正切.余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；（2）sinA 不是sin 与A 的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。

“sinA ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（3）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。

例题:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，a =1，b =2，则cosA =________ ，tanA =_________．2. 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AB =5，BC =3，则sinA =________ ，tanA =_________．3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角， ∠A =300，b =4，则a =__________，c =__________4.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝31，则sinB ＝（ ） A ．1010B ．23 C ．34D ．310105.在△ABC 中，∠C =90°，a, b, c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列各式错误的是（ ）A .a =c ·sinAB ．b =c ·cosBC ．b =a ·tanBD ．a =b ·tanA6.在△ABC 中，∠C ＝90°，(1)已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B .a .b ． (2) 已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B .b .c .7.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan 的值是（ ）A ．35B ．43 C ．34D ．45练习:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，若sinA =53，则cosB =_________． 2.已知cosA =23，且∠B =900-∠A ，则sinB =__________． 3.∠A 为锐角，已知sinA =135，那么cos (900-A)=___________ ． 4.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC =4，BC =3，则sinA =（ ） A ．43 B ．34 C ． 53 D ．54 5.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA =22，则cosB 的值是( ) A ．21 B ．23 C ．1D ．22知识点二、特殊角所对的三角函数值1. 0°.30°.45°.60°.90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0° 30°45°60°90° αsin0 2122 231 αcos1 23 22210 αtan 0 331 3- αcot-3133注意：记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法：0°.30°.45°.60°.90°的正弦值分别是02.12.22.32.42，而它们的余弦值分别是42.32.22.12.02；30°.45°.60°的正切值分别是13.22.31，而它们的余切值分别是31.22.13。

锐角三角函数知识点锐角三角函数：一、基本概念：1、什么是锐角三角函数：锐角三角函数是一类特殊的函数，涉及到角度和角度对应的三角函数值，用于计算平面向量在多边形中和求解三角形的面积。

2、锐角三角函数的定义：锐角三角函数是基于角度θ，从而定义的三角函数值。

一般情况下，它用半圆线直叙指函数如下所示：sinθ，cosθ，tanθ，cotθ，secθ，cscθ。

3、锐角三角函数的基本关系：cosθ= sin (π/2-θ)；sinθ= cos (π/2-θ)；tanθ=cot (π/2-θ)；cotθ=tan (π/2-θ)；secθ=csc(π/2-θ)；cscθ=sec (π/2-θ)。

二、圆周角：1、什么是圆周角：圆周角是指以圆等分线在a轴上的量度，即由圆心和两个点确定的弧的长度。

圆周角定义在一个圆的周围，与半径的长度有关，可以用角度μ来表示。

2、单位：圆周角的单位是弧度rad，又称为radian，表示当一个圆的半径为1时，圆周角的长度。

三、锐角的余弦定理：1、锐角余弦定理是用弦和角定义的三角形问题，可以求解共有三角形A、B、C三个锐角所对应边长a、b、c满足关系：a²=b²+c²-2bc cosA；b²=a²+c²-2ac cosB；c²=a²+b²-2ab cosC。

2、此外，锐角余弦定理也可以利用三角形所有边长求解A、B、C三个锐角所对应的角度值，记为A=cos-1[(b²+c²-a²)/2bc]；B=cos-1[(a²+c²-b²)/2ac]；C=cos-1[(a²+b²-c²)/2ab]。

四、锐角的正弦定理：1、锐角正弦定理是求解三角形的已知一边和两个对边角的问题，满足条件如下：a=b sinA/sinB；b=a sinB/sinA；c=a sinC/sinA，c=bsinC/sinB。

第9讲锐角三角函数知识点1 锐角三角函数1.如图在△ABC中，∠C是直角，锐角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数．2.特殊角的三角函数值3.锐角三角函数值的变化规律当0°≤α≤90°时，sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小；当0°<α<90°时，tanα随α的增大而增大．【典例】例1在△ABC 中，∠C ＝90°，如果AC ＝8，BC ＝6，那么∠A 的正弦值为（ ） A ．35B ．45C ．34D ．43例2在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝2，那么AC 的长为（ ） A ．2sin α B ．2cos αC ．2tan αD ．2cot α例3计算：tan 260°−2sin30°4cos 245°+cot30°．【随堂练习】1．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，那么tan B 的值等于（ ） A ．23B ．√53C ．√52D ．2．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝α，AC ＝2，那么AB 的长等于（ ） A ．2sinαB ．2sin αC ．2cosαD ．2cos α3．计算：2sin45°+2sin60°﹣tan60°•tan45°．4．计算：tan 245°cot30°−2cos45°−2sin60°．知识点2 解直角三角形1.定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．2.基础知识在Rt △ABC 中，∠A ∠B ∠C 所对的边分别是a ，b ，c. （1）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2 （2）锐角之间的关系：A ∠+B ∠=C ∠=90（3）边角之间的关系：sin A =a c cos A =b c tan A =ab sin B =bc cos B =ac tan B =ba（4）面积公式：S=12ab=12ch （h 为斜边上的高） 3. 解直角三角形的基本类型及其解法【典例】例1如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，AB ＝4，AC ＝3，∠A ＝30°．（1）求AD 的长． （2）求sin C 的值．例2如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．若∠BPC =12∠BAC ，求sin ∠BPC ．例3如图，在△ABC 中，cos B =√22，sin C =35，AC ＝10，求△ABC 的面积．【随堂练习】1．如图，在△ABC 中，tan C =35，点D 在边BC 上，AB ＝AD ，CD ＝2BD ＝4，求sin B 的值．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12，AC ＝4√3，解这个直角三角形．3．如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝，点D 为边AC 上一点，若∠BDC ＝45°，DC ＝6，求AD 的长．（结果保留根号）知识点3 解直角三角形的应用——坡度、坡角问题1.坡角：坡面与水平面的夹角，用字母α表示．2.坡度（坡比）：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，用字母i 表示，则i=ℎl =tan α．【典例】例1如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC ∥AD ，BE ⊥AD ，斜坡AB 长26m ，斜坡AB 的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A 不动，则坡顶B 沿BC 至少向右移 m 时，才能确保山体不滑坡．（取:i h l=hlαtan50°≈1.2）例2如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB 的坡角α＝45°，坡长AB＝6米，背水坡CD的坡度i＝1：，求背水坡的坡长CD为多少米．例3 如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为6√2米（结果保留根号）．【随堂练习】1．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝tan∠CAB＝1：√3，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（）A．5 m B．10m C．5√3m D．8 m2.小明一家去某著名风景区旅游，准备先从山脚A走台阶步行到B，再换乘缆车到山顶C．从A到B的路线可看作是坡角为30°的斜坡AB，长度为1000米；从B到C的缆车路线可看作是线段BC，长度为2400米，其与水平线的夹角为48°，求山顶C到地面AD的距离CE 的长．（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）3．农用温棚的上半部分如图所示，迎阳坡AD 的坡度i ＝1：1.8，背阳坡AC 坡度i ＝1：0.5，棚宽CD ＝11.5米，要铅直竖立两根立柱AB 、EF ，其中BF ＝AB ．求AB 、EF 的长．知识点4 解直角三角形的应用——仰角俯角问题1.仰角和俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．【典例】例1如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB 的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为50米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A 的仰角为30°，底端B 的俯角为10°，请你根据以上数据，求出楼AB 的高度．（精确到0.1米）仰角水平线视线视线俯角（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，＝1.41， 1.73）例2某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B 处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）[参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60]例3如图，永州市德雅、高峰学校老师们联合组织九年级学生外出开展数学活动，路经白石山公园时，发现工人们正在建5G信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱进行测量．已知信号柱直立在地面上，在太阳光的照射下，信号柱影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得信号柱顶端A的仰角为30°，在C处测得信号柱顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝8米，求信号柱AB的长度．（结果保留根号）【随堂练习】1．如图，小颖在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，在点N处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小颖的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度．（结果精确到1m）【参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43】2．某地有一座大桥（图1），某初中数学兴趣小组想测量该大桥的外拱塔的最高点D距离桥面的高度CD，他们在桥面上选取了一个测量点A测得点D的仰角为26.6°，然后他们沿AC方向移动40m到达测量点B（即AB＝40m），在B点测得点D的仰角为37°，如图2所示．求外拱塔的最高点D距离桥面的高度CD．【参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50】3．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE ＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，≈1.73，sin53°≈，（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．知识点5 解直角三角形的应用——方向角问题1. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角．目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．2.方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角．如下图所示，目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．【典例】例1如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且AB＝75km．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯塔B的北偏西50°方向．（1）求∠ACB的度数；（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．例2 某公园中有条东西走向的小河，河宽固定，小河南岸边上有一块石墩A，北岸边上有一棵大树P，小杨利用它们测量小河的宽度，于是，他去了河边，如图．他从河的南岸石墩A处测得大树P在其北偏东30°方向，然后他沿正东方向步行80米到达点B处，此时测得大树P在其北偏西60°方向．请根据以上所测得的数据，计算小河的宽度．（结果保留根号）例3 一艘货船以30海里/小时的速度向正北航行，在A处看见灯塔C在船的北偏东30°，20分钟后货船至B处，看见灯塔C在船的北偏东60°，已知灯塔C周围7.1海里以内有暗礁，问这艘船继续航行是否能绕过暗礁？（提供数据：√2≈1.414，√3≈1.732）【随堂练习】1．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（）A ．100mB ．100√2mC ．100√3mD ．200√33m2．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P 、Q 两点分别测定对岸一棵树T 的位置，T 在P 的正北方向，且T 在Q 的北偏西70°方向，则河宽（PT 的长）可以表示为（ ）A ．200tan70°米B ．200tan70°米C ．200sin 70°米D ．200sin70°米3．如图，MN 是公园劳动湖边一段东西走向的笔直湖岸，A ，B 是岸边两建筑物，一小艇在点C 处，与MN 的距离CE ＝60米，小艇向北偏西30°方向行驶100米到达点D ，此时，小艇上的人测量A 在小艇的南偏西60°方向，B 在南偏西30°方向，求A 、B 两建筑物之间的距离．综合运用1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，sin B=1213，则AC的长是（）A．25B．12C．5D．13 2．计算：（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cos60°；（2）sin45°cos30°−tan60°+cos45°•sin60°．3．如图，某建筑AB与山坡CD的剖面在同一平面内，在距此建筑AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得建筑楼顶A点的仰角为30°，求此建筑AB的高度．（结果用无理数表示）4．设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b＝6，c＝10，求sin A、cos A和tan A．5．如图所示，某水库大坝的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，坝顶宽AD＝2.5米，坝高AE＝DF＝4米，背水坡AB的坡度是1：1，迎水坡CD的坡度是1：1.5，求坝底宽BC．6．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2，使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA＝OB＝36cm，O'C⊥AC于点C，O′C＝18cm．（1）求∠CAO′的度数．（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（3）如图4，垫入热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？7．近日，市委、市政府公布了第七批重庆市爱国主义教育基地名单，重庆市育才中学创办的陶行知纪念馆位列其中，如图，为了测量陶行知纪念馆AB的高度，小李在点C处放置了高度为1.5米的测角仪CD，测得纪念馆顶端A点的仰角∠ADE＝51°，然后他沿着坡度i＝1：2.4的斜坡CF走了6.5米到达点F，再沿水平方向走4米就到达了纪念馆底端点B．（结果精确到0.1，参考数据：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）（1）求点D到纪念馆AB的水平距离；（2）求纪念馆AB的高度约为多少米？8.如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°．（1）直接写出：在小岛C看点A俯角大小是；点B在小岛D什么方位？；（2）求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49≈0.66，tan49°≈1.15）。

锐角三角函数第一课时：三角函数定义与特殊三角函数值知识点一：锐角三角函数的定义：一、 锐角三角函数定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= , ∠A 的余弦可表示为cosA=∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数例1．如图所示，在Rt △ABC 中,∠C ＝90°．①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______； ②斜边)(cos =A ＝______,斜边)(cos =B ＝______; ③的邻边A A ∠=)(tan ＝______, )(tan 的对边B B ∠=＝______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,若a ＝9，b ＝12，则c ＝______,sin A ＝______,cos A ＝______，tan A ＝______, sin B ＝______,cos B ＝______，tan B ＝______．例3．已知:如图，Rt △TNM 中,∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求:sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．对应练习:1、 在Rt△ABC 中,a ＝5，c ＝13，求sinA ，cosA ，tanA ．2、 如图,△ABC 中，AB=25,BC=7，CA=24．求sinA 的值．25247C BA3、 已知α是锐角，且cos α=34,求sin α、tan α的值．4、在Rt ABC △中，90C ∠=，5AC =,4BC =，则tan A = ．5、在△ABC 中,∠C=90°，sinA=53,那么tanA 的值等于（ ）。

A ．35B 。

45C. 34D 。

436、 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA 3,c ＝4，则a ＝_______．7、如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为（2，3）， 则sinα=_______，cosα=_________,tanα=______ _．αyxP(2,3)OA知识点二：特殊角的三角函数值 当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值． （1）。

锐角三角函数知识点总结一、引言锐角三角函数是数学中的基础知识点，它在解决与直角三角形相关的问题中扮演着重要角色。

本文将总结锐角三角函数的基本概念、性质和公式，以及它们在实际问题中的应用。

二、基本概念1. 锐角：角度小于90度的角。

2. 直角三角形：一个角为90度的三角形。

3. 边的命名：- 对边（Opposite side）：锐角所对的边。

- 邻边（Adjacent side）：锐角旁边的边，但不包括斜边。

- 斜边（Hypotenuse）：直角三角形中最长的边，对直角的两边进行闭合。

4. 锐角三角函数：- 正弦（Sine, sin）：锐角的对边与斜边的比值。

- 余弦（Cosine, cos）：锐角的邻边与斜边的比值。

- 正切（Tangent, tan）：锐角的对边与邻边的比值。

三、基本公式1. 定义公式：- sin(θ) = 对边 / 斜边- cos(θ) = 邻边 / 斜边- tan(θ) = 对边 / 邻边2. 互余关系：- sin(90° - θ) = cos(θ)- cos(90° - θ) = sin(θ)- tan(90° - θ) = cot(θ)3. 基本恒等式：- sin²(θ) + cos²(θ) = 1- 1 + tan²(θ) = sec²(θ)- 1 + cot²(θ) = csc²(θ)4. 特殊角的三角函数值：- sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = √3/3 - sin(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1- sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3四、应用1. 解直角三角形问题：- 利用三角函数求解边长。

28.1 锐角三角函数知识点一、锐角三角函数的定义我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦把∠A的对边与邻边的比叫做正切注：（1）正弦、余弦、正切函数反映里直角三角形边角之间的关系，是两条线段的比值，没有单位。

锐角三角函数值只与锐角的大小有关，与三角形的边的长短无关，即与三角形的大小无关。

（2）表示某个角的三角函数时，可直接将角的名称或度数写在符号（“sin”、“cos”、“tan”）后面。

如sin∠ABC，sin∠1，sin60°等。

若角的名称是用一个大写字母或一个小写希腊字母表示的，在表示它的三角函数时，习惯省略“∠”的符号，如“sinA，sinα”等。

（3）三角函数的乘方运算，“（sinA ）n”可简写为“sin n A”（4）锐角三角函数只能在直角三角形中应用。

（5）锐角三角函数的取值范围：0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA ＞0知识点三、求锐角三角函数值的方法（1）直接利用定义求值：当已知条件为直角三角形的两边长时，利用勾股定理可求第三边长，依据三角函数的定义，直接代入求值。

（2）根据特殊角的三角函数值求值，关键要熟记30°，45°，60°角的三角函数。

（3）求等角的三角函数值：当直接用三角函数的定义求某锐角的三角函数值有困难时，可通过转化求等角的三角函数值。

（4）设参数求三角函数值：当已知某两条线段的比或某一三角函数值，可设参数求解。

知识点四、锐角三角函数的增减性当锐角的度数在0°~90°之间变化时，其正弦值、正切值随角度的增大（或减小）而增大（或减小），其余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

锐角三角函数知识点总结与复习1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方;2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角, 则∠A 的锐角三角函数为∠A 可换成∠B ：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值;4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值;5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值重要A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A邻边A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A直角三角形中 的边角关系解直角三角形当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小; 7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,cot α随α的增大而减小;一、知识性专题专题1：锐角三角函数的定义例 1 在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,BC ＝1,AB ＝2,则下列结论正确的是 A ．sin A B ．tan A ＝12C ．cos BD ．tan B 分析 sin A ＝BC AB ＝12,tan A ＝BC AC ,cos B ＝BCAB ＝12．故选D.例2 在△ABC 中,∠C ＝90°,cos A ＝35,则tan A 等于 ； 分析 在Rt △ABC 中,设AC ＝3k ,AB ＝5k ,则BC ＝4k ,由定义可知tan A ＝4433BC k AC k ==． 分析 在Rt △ABC 中,BC =3,∴sin A ＝35BC AB =．故填35．例312·哈尔滨在Rt △ABC 中,∠C=900,AC=4,AB=5,则sinB 的值是 ； 解析本题考查了锐角三角函数的意义．解题思路：在直角三角形中,锐角的正弦等于对边比邻边,故sinB=54. 例42012内江如图4所示,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则sinA 的值为 ；解析欲求sinA,需先寻找∠A 所在的直角三角形,而图形中∠A 所在的△ABC 并不是直角三角形,所以需要作高．观察格点图形发现连接CD 如下图所示,恰好可证得CD ⊥AB,于是有图4图4sinA ＝CD AC ＝210＝55．例5 2012宁波,Rt △ABC,∠C=900,AB=6,cosB=错误!,则BC 的长为 ；解析cosB=错误!=错误!,又∵AB=6∴BC=4例62012贵州铜仁如图,定义：在直角三角形ABC 中,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切,记作ctan α, 即ctan α=BCAC=的对边角的邻边角αα,根据上述角的余切定义,解下列问题：1ctan30◦= ；2如图,已知tanA=43,其中∠A 为锐角,试求ctanA 的值．分析1可先设最小边长为一个特殊数这样做是为了计算方便,然后在计算出其它边长,根据余切定义进而求出ctan30◦;2由tanA=43,为了计算方便,可以设BC=3 AC=4根据余切定义就可以求出ctanA 的值．解析1设BC=1, ∵α=30◦∴AB=2∴由勾股定理得：AC=3ctan30◦=BCAC=32 ∵tanA=43∴设BC=3 AC=4∴ctanA =BC AC =34例72012山东滨州把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A 的正弦函数值 A ．不变B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定 解析因为△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似,所以锐角A 的大小没改变,所以锐角A 的正弦函数值也不变．答案选A ．例82012湖南观察下列等式 ①sin30°= cos60°=②sin45°=cos=45°=③sin60°= cos30°=根据上述规律,计算sin 2a+sin 290°﹣a= ．解析：根据①②③可得出规律,即sin 2a+sin 290°﹣a=1,继而可得出答案． 答案：解：由题意得,sin 230°+sin 290°﹣30°=1；sin 245°+sin 290°﹣45°=1； sin 260°+sin 290°﹣60°=1；故可得sin 2a+sin 290°﹣a=1．故答案为：1．点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系,属于规律型题目,注意根据题意总结,另外sin 2a+sin 290°﹣a=1是个恒等式,同学们可以记住并直接运用．例9 2012山东德州为了测量被池塘隔开的A ,B 两点之间的距离,根据实际情况,作出如下图形,其中AB BE ⊥,EF BE ⊥,AF 交BE 于D ,C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：22题图①BC ,∠ACB ； ②CD ,∠ACB ,∠ADB ；③EF ,DE ,BD ；④DE ,DC ,BC ．能根据所测数据,求出A ,B 间距离的有哪 组解析对于①,可由公式AB=BC ×tan ∠ACB 求出A 、B 两点间的距离；对于②,可设AB 的长为x,则BC=x tan ACB ∠,BD=xtan ADB ∠,BD-BC=CD,可解出AB ．对于③,易知△DEF ∽△DBA,则DE BDEF AB=,可求出AB 的长；对于④无法求得,故有①、②、③三组点评此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定．在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA,SAS,SSS,两直角三角形相似的判定还有HL ． 例102012江苏泰州18如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上,AB 、CD 相交于点P,则tan ∠APD 的值是 ．解析 要求tan ∠APD 的值,只要将∠APD 放在直角三角形中,故过B 作CD 的垂线,然后利用勾股定理计算出线段的长度,最后利用正切的定义计算出结果即可． 答案作BM ⊥CD,DN ⊥AB 垂足分别为M 、N,则2,易得：10,设PM=x,则PD=22-x,由△DNP ∽△BMP,得：PN DN PM BM =,即10102PN x =,∴PN=55x,由DN 2+PN 2=PD 2,得：110+15x 2=22-x 2,解得：x 1=24,x 2=2舍去,∴tan ∠APD=2224BM PM ==2．例11. 2011江苏苏州如图,在四边形ABCD 中,E 、F 分別是AB 、AD 的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC 等ABCDEFF于 ．分析：根据三角形的中位线定理即可求得BD 的长,然后根据勾股定理的逆定理即可证得△BCD 是直角三角形,然后根据正切函数的定义即可求解．解答：解：连接BD ．∵E 、F 分別是AB 、AD 的中点．∴BD=2EF=4∵BC=5,CD=3∴△BCD是直角三角形．∴tanC= 43例122011山东日照在Rt△ABC 中,∠C=90°,把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA=ab．则下列关系式中不成立的是A ．tanA•cotA=1B ．sinA=tanA•cosAC ．cosA=cotA•sinAD ．tan 2A+cot 2A=1解答：解：根据锐角三角函数的定义,得 A 、tanA•c otA=a b b a ⋅=1,关系式成立；B 、sinA=c a ,tanA•cosA=cac b b a =⋅,关系式成立； C 、cosA=,cotA•sinA=c b a b c a =⋅,关系式成立；D 、tan 2A+cot 2A=b a 2+ab 2≠1,关系式不成立．故选D ．点评：本题考查了同角三角函数的关系．1平方关系：sin 2A+cos 2A=1 2正余弦与正切之间的关系积的关系：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比,即tanA=BAcos sin 或sinA=tanA•cosA．3正切之间的关系：tanA•tanB=1． 例132011•贵港如图所示,在△ABC 中,∠C=90°,AD 是BC 边上的中线,BD=4,AD=2,则tan∠CAD 的值是 ．解答：解：∵AD 是BC边上的中线,BD=4,∴CD=BD=4,在Rt△ACD中,AC===2,∴tan∠CAD===2．故选A ．例142011烟台如果△ABC 中,sin A =cos B 2,则下列最确切的结论是 A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形C. △ABC 是等腰直角三角形D. △ABC 是锐角三角形 解：∵sinA=cosB=22,∴∠A =∠B =45°,∴△ABC 是等腰直角三角形．故选C ． 例152011四川如图所示,在数轴上点A 所表示的数x 的范围是A 、330sin 602sin x ︒︒<< B 、3cos302x ︒︒<<cos45C 、3tan 302x ︒︒<<tan45D 、3cot 4502x ︒︒<<cot3 解答：故选D ．同步练习12011甘肃如图,A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ’B ’,则tanB ’的值为 ．解答：解：过C 点作CD ⊥AB ,垂足为D ．根据旋转性质可知,∠B′=∠B ．在Rt△BCD 中,tanB= CD ：BD =13,∴tan B′=tan B = 13． 2 2011甘肃兰州点M －sin60°,cos60°关于x 轴对称的点的坐标是 ． 解：∵sin60°=32,cos60°= 12,∴点M －32,12．∵点P m ,n 关于x 轴对称点的坐标P′m ,-n ,∴M 关于x 轴的对称点的坐标是－32,－12．故选B ． 32011广东已知：45°＜A ＜90°,则下列各式成立的是A 、sinA =cosAB 、sinA ＞cosAC 、sinA ＞tanAD 、sinA ＜cosA解答：解：∵45°＜A ＜90°,∴根据sin 45°=cos 45°,sinA 随角度的增大而增大,cosA 随角度的增大而减小,当∠A ＞45°时,sinA ＞cosA ,故选：B ．4、2011•宜昌教学用直角三角板,边AC=30cm,∠C=90°,tan∠BAC=33,则边BC 的长为 ．cm解：在直角三角形ABC 中,根据三角函数定义可知：tan ∠BAC=BCAC,又AC=30cm,tan ∠3则BC=ACtan 33cm ．故选C ． 5、 2011福建莆田如图,在矩形ABCD 中,点E 在AB 边上,沿CE 折叠矩形ABCD ,使点B 落在AD 边上的点F 处,若AB =4,BC=5,则tan ∠AFE 的值为 ．ABCC ’ B ’解答：解：∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A =∠B =∠D =90°,CD =AB =4,AD =BC =5,由题意得：∠EFC =∠B =90°,CF =BC =5,∴∠AFE +∠DFC =90°,∠DFC +∠FCD =90°, ∴∠DCF =∠AFE ,∵在Rt △DCF 中,CF =5,CD =4,∴DF =3,∴tan ∠AFE =tan ∠DCF =DFDC =34 ．6、2012连云港小明在学习“锐角三角函数”中发现,将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B的直线折叠,使点A 落在BC 上的点E 处,还原后,再沿过点E 的直线折叠,使点A 落在BC 上的点F 处,这样就可以求出°的角的正切值是 ．EC DA BF答案设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE 中,用勾股定理求出AE=EF=2x,于是2在直角三角形ABF 中,tan ∠FAB=21)BF xAB x=2°.选B; 7、2012福州如图15,已知△ABC,AB=AC=1,∠A=36°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,则AD 的长是 ,cosA 的值是 .结果保留根号解析：由已知条件,可知△BDC 、△ADB 是等腰三角形,且DA=DB=BC,可证△BDC ∽△ABC,则有BC DC AC BC =,设BC=x,则DC=1-x,因此21,101x xx x x -=+-=即,解方程得, 125151x x ---==,舍去,即AD=512；又cosA=512451512AB AD===--⨯答案：5151,24 8、2012南京如图,将45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O 与尺下沿的端点重合,OA 与尺下沿重合.OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读书恰为2厘米,若按相同的方式将37°的∠AOC 放置在该刻度尺上,则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数为 厘米.结果精确到厘米,参考数据sin370≈,cos370≈,tan370≈C B AO4321解析：由于∠AOB=45°,B 点读书为2厘米,则直尺的宽为2厘米,解直角三角形得点C 的读数为2÷tan370≈2÷≈厘米.答案：9、2012·湖南张家界黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠A=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=23千米,请据此解答如下问题：1 求该岛的周长和面积结果保留整数,参考数据2≈ 73.13≈45.26≈ 2 求∠ACD 的余弦值.解答1结AC,∵AB=BC=15千米,∠B=90°,∴∠BAC=∠ACB=45°,AC=152千米. 又∵∠D=90°, ∴AD=2222)23()215(-=-CD AC =123千米∴周长=AB+BC+CD+DA=30+32+123=30++≈55千米. 面积=S △ABC +S △ADC =21×15×15+21×123×32=2225+186≈157平方千米. 2cos ∠ACD=5121523==AC CD . 10、2012甘肃兰州在建筑楼梯时,设计者要考虑楼梯的安全程度;如图1,虚线为楼梯的倾斜度,斜度线与地面的夹角为倾角θ,一般情况下,倾角越小,楼梯的安全程度越高；如图2,设计者为了提高楼梯的安全程度,要把楼梯的倾角1θ减至2θ,这样楼梯占用地板的长度由d 1增加到d 2 ,已知d 1=4米,140θ∠=,236θ∠=,楼梯占用地板的长度增加了多少米 计算结果精确到米;参考数据：tan40°=,tan36°=AC解析：根据在Rt△ACB中,AB=d1tanθ1=4tan40°,在Rt△ADB中,AB=d2tanθ2=d2tan36°,即可得出d2的值,进而求出楼梯占用地板增加的长度．解：由题意可知可得,∠ACB=∠θ1,∠ADB=∠θ2在Rt△ACB中,AB=d1tanθ1=4tan40°,在Rt△ADB中,AB=d2tanθ2=d2tan36°,得4tan40°=d2tan36°,∴d2=4tan40tan36≈,∴d2-d1==≈,答：楼梯占用地板的长度增加了米．11、2012贵州为促进我市经济的快速发展,加快道路建设,某高速公路建设工程中需修隧道AB,如图,在山外一点C测得BC距离为200m,∠CAB=54°,∠CBA=30°,求隧道AB的长．参考数据：sin54°≈,cos54°≈,tan54°≈,≈,精确到个位解析：首先过点C作CD⊥AB于D,然后在Rt△BCD中,利用三角函数的知识,求得BD,CD的长,继而在Rt△ACD 利用∠CAB的正切求得AD的长,继而求得答案．答案：解：过点C作CD⊥AB于D∵BC=200m,∠CBA=30°,∴在Rt△BCD中,CD=BC=100m,BD=BC•cos30°=200×=100≈173m,∵∠CAB=54°,在Rt△ACD中,AD=≈≈74m,∴AB=AD+BD=173+74=247m．答：隧道AB的长为247m．12、2011新疆建设兵团如图,在△ABC中,∠A＝90°．1用尺规作图的方法,作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1保留作图痕迹；2若AB＝3,BC＝5,求tan∠AB1C1．第22题图d2解答：解：1作∠CAB 的平分线,在平分线上截取AB 1＝AB ,作C 1A ⊥AB 1,在AC 1上截取AC 1＝AC ,如图所示即是所求．2∵AB ＝3,BC ＝5,∴AC ＝4,∴AB 1＝3,AC 1＝4,tan∠AB 1C 1＝错误!＝错误!． 专题2 特殊角的三角函数值例12012,湖北孝感计算：cos 245°+tan30°·sin60°=________．答案1例22012陕西计算：(02cos 45-38+1-2=︒　．解析原式2=2-322+1=-52+12⨯⨯答案-52+1 例32012广安计算：---)32(218cos45o +13- ； 解析：1182()cos 4533---︒+=322212323+-+21 例4 计算|－3|＋2cos 45310． 解：原式＝3＋22－122． 例5 计算－12⎛⎫- ⎪⎝⎭9＋－12007－cos 60°．解：原式＝12＋3＋－1－12＝3－1＝2． 例6 计算|2＋cos 60°－tan 30°08 21十＋221． 例7 计算312-⎛⎫ ⎪⎝⎭－π－0－|1－tan 60°|32-.解：原式＝8－13132＝10. 例82012呼和浩特计算：11|122sin 45--+︒解析三角函数、绝对值、乘方答案11|12sin 45--+︒11)2211232=-+=+=例92011天水计算：si n 230°+tan 44°tan 46°+si n 260°= ． 分析：根据特殊角的三角函数值计算．tanA •tan 90°﹣A =1． 解答：解：原式=14+1+34=2．故答案为2． 例102011•莱芜若a=3﹣tan60°,则196)121(2-+-÷--a a a a = ;33-解答：解：a=3﹣tan60°=3﹣3,∴原式=23-a 1-a 121）（⨯---a a =31-a =33313331-=-=--故答案为：33-． 练习1、2011浙江计算：|－1|5－π0+4cos45°. 解原式=1－122练习2、2011浙江衢州1计算：|﹣2|﹣3﹣π0+2c os45°；解答：解：1原式=2122-+⨯,=1 练习3、计算：20110＋8－2sin45°；原式＝1＋22－2＝1＋2；练习3、观察下列各式：①sin 59°＞sin 28°；②0＜cos α＜1α是锐角；③tan 30°＋tan 60°＝tan 90°；④tan 44°＜1．其中成立的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 练习3、C 提示：sin 59°＞sin 28°成立,0＜cos α＜1α是锐角成立,tan 30°＋tan 60tan 90°,tan 44°＜tan 45°,即tan 44°＜1．练习4、计算2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝ ．练习5、如图28－146所示,在△ABC 中,∠A ＝30°,tan B ＝13,BC 10则AB 的长为 ． 练习6、当x ＝sin 60°时,代数式2242x x x -+·22244x x x x +-+＋42xx-的值是 ．练习7、已知cos 59°24′≈,则sin 30°36′≈ ．练习8、若∠A ,∠B 互余,且tan A －tan B ＝2,则tan 2A ＋tan 2B ＝ ．练习9、如图28－147所示,在菱形ABCD 中,AE ⊥BC 于E ,EC ＝1,cos B＝513,则这个菱形的面积是 . 10．已知正方形ABCD 的边长为1,若将线段BD 绕着点B 旋转后,点D落在DC 延长线上的点D ′处,则∠BAD ′的正弦值为 . 11．如图28－148所示,若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD 的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角等于 ．12．在△ABC 中,∠B ＝30°,tan C ＝2,AB ＝2,则BC ＝ ．13．设θ为锐角,且x 2＋3x ＋2sin θ＝05．则θ＝ ． 14．如图28－149所示,在△ABC 中,∠C ＝90°,点D 在BC 边上,BD ＝4,AD ＝BC ,cos ∠ADC ＝35． 1求DC 的长；2求sin B 的值．练习4、23 提示：2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝2×1231＝23 练习5、33提示：过点C 作CD ⊥AB ,垂足为D ,在Rt △BDC 中,tan B ＝13．∴13CD BD =,∴BD ＝3CD ,∵BC 10∴CD 2＋3CD 210,∴CD ＝1,BD ＝3．在Rt △ADC 中,tan A ＝CDAD,∴AD 3∴AB ＝AD ＋BD ＝33 练习632242x x x -+·22244x x x x +-+＋42xx-＝2x ,∴原式＝2sin 603练习7、提示：sin 30°36′＝cos 59°24′．练习8、6提示：∵∠A ,∠B 互余,∴tan A ·tan B ＝1,tan 2A ＋tan 2B ＝tan A －tan B 2＋2tan A ·tan B ＝22＋2＝6． 练习9、3916提示：∵cos B ＝513,设BE ＝5x ,则AB ＝13x ,∴AE 22AB BE -12x ．∵AB ＝BC ＝BE ＋CE ,∴13x ＝5x ＋1,∴x ＝18,则AE ＝12x ＝12×18＝32,BC ＝5x ＋1＝5×18＋1＝138,∴S ＝32×138＝3916．10．5提示:如图28－155所示,根据题意得DD ′＝2DC ,设正方形的边长为x ,则AD ＝x ,DD ′＝2x ．∵∠ADD ′＝90°,根据勾股定理得AD 22AD DD '+5x ．∵AD ＝x ,∴sin ∠AD ′D ＝ADAD '＝555x x=.∵AB ∥DD ′,∴∠BAD ′＝∠AD ′D ,∴sin ∠BAD ′＝55．11．30°提示：如图28＝156所示,∵S ABCD＝12S 矩形BEFC ,且BC ＝BC 底相同, ∴GC ＝12FC ．∵CF ＝DC ,∴GC ＝12DC ,12CG DC =．∵∠DGC ＝90°,sin 30°＝12,∴∠CDG ＝30°,即这个平行四边形的一个最小内角为30°． 12．12＋3 13．30°提示：x 1·x 2＝2sin θ,x 1＋x 2＝－3,则x 1－x 22＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝9－8sin θ＝52,∴sin θ＝12,∴θ＝30°． 14．解：1∵cos ∠ADC ＝35,∴设CD ＝3x ,则AD ＝5x ,AC ＝4x ,∴BC ＝AD ＝5x ．∵BD ＝BC－CD ,∴5x －3x ＝4,∴x ＝2,∴CD ＝3x ＝6． 2∵AC ＝4x ＝8,BC ＝5x ＝10,∴AB ＝2222810241AC BC +=+=,∴sin B ＝844141241AC AB ==． ★ 专题三：题型一俯角与仰角仰角：视线在水平线上方的角；★ 俯角：视线在水平线下方的角;仰角铅垂线水平线视线视线俯角例1、2012湖北襄阳在一次数学活动中,李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪,去测量学校内一座假山的高度CD ．如图5,已知李明距假山的水平距离BD 为12m,他的眼睛距地面的高度为,李明的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C,此时,铅垂线OE 经过量角器的60°刻度线,则假山的高度为 m ．解析如下图,过点A 作AF⊥CD 于F,则AF ＝BD ＝12m,FD ＝AB ＝．再由OE∥CF 可知∠C＝∠AOE＝60°．所以,在Rt△ACF 中,CF ＝tan 60AF＝43,那么CD ＝CF ＋FD ＝43＋m ．例2、2012珠海如图,水渠边有一棵大木瓜树,树干DO 不计粗细上有两个木瓜A 、B 不计大A O BE D CF图5 CDA BO E小,树干垂直于地面,量得AB=2米,在水渠的对面与O 处于同一水平面的C 处测得木瓜A 的仰角为45°、木瓜B 的仰角为30°.求C 处到树干DO 的距离CO.结果精确到1米参考数据：41.12,73.13≈≈第16题图D BA OC解析如图,根据题意,得∠COD ＝90°, ∠ACO ＝45°, ∠BCO ＝30°, AB ＝2,求CO.设CO 为x 米, 根据AO ＝CO,列方程,解得即可.答案解:设CO 为x 米在Rt △BCO 中,tan30°＝BO CO ,则BO ＝33x 在Rt △ACO 中,AO ＝CO,得方程33x ＋2＝x 解得x ≈5.答: CO 长大约是5米. 例3、2012江苏盐城如图所示,当小华站立在镜子EF 前A 处时,他看自己的脚在镜中的像的俯角为450 ：如果小华向后退米到B 处,这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为300.求小华的眼睛到地面的距离;结果精确到米,参考数据：3≈.答案设AC=BD=x,在Rt △ACA 1中,∠AA 1C=450,∴AA 1=x,在Rt △DBB 1中,BB 1=tan30x=3x ,又∵12BB 1-12AA 1=12,即12×3x -12x=12,解得：x=312+≈米． 例4、2012山西如图,为了开发利用海洋资源,某勘测飞机预测量一岛屿两端A ．B 的距离,飞机在距海平面垂直高度为100米的点C 处测得端点A 的俯角为60°,然后沿着平行于AB 的方向水平飞行了500米,在点D 测得端点B 的俯角为45°,求岛屿两端A ．B 的距离结果精确到米,参考数据：解析解：过点A 作AE⊥CD 于点E,过点B 作BF⊥CD 于点F,∵AB∥CD,∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°,∴四边形ABFE 为矩形．第24题图∴AB=EF,AE=BF．由题意可知：AE=BF=100米,CD=500米．…2分 在Rt△AEC 中,∠C=60°,AE=100米．∴CE===米． …4分在Rt△BFD中,∠BDF=45°,BF=100． ∴DF===100米．…6分∴AB=EF=CD+DF﹣CE=500+100﹣≈600﹣×≈600﹣≈米． …8分答：岛屿两端A ．B 的距离为米．例5、2012呼和浩特22如图,线段AB 、DC 分别表示甲、乙两建筑物的高;某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高,用自制测角仪在B 处测得D 点的仰角为α,在A 处测得D 点的仰角为β;已知甲、乙两建筑物之间的距离BC 为m ;请你通过计算用含α、β、m 的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度;答案解：过点A 作AM ⊥CD 于M在Rt △BCD 中,tan α=CD BC ∴CD =BC ·tan α=m tan α在Rt △AMD 中,tan β=DMAM∴DM =AM ·tan β=m tan β∴AB =CD –DM =mtan α–tan β例6、2012湖北随州,20在一次暑假旅游中,小亮在仙岛湖的游船上A 处,测得湖西岸的山峰太婆尖C 处和湖东岸的山峰老君岭D 处的仰角都是45°,游船向东航行100米后B 处,测得太婆尖、老君岭的高度为多少米3 1.732 ,结果精确到米;解析：设太婆尖高h 1米,老君岭高h 2米;可分别在直角三角形中利用正切值表示出水平线段的长度,再利用移动距离为AB=100米,可建立关于h 1、h 2的方程组,解这个方程组求得两山峰高度;答案：设太婆尖高h 1米,老君岭高h 2米,依题意,有FE第20题图60304545D (老君岭)C （太婆尖）BAβα乙甲ADB M C⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-10060tan 45tan 10045tan 30tan 2211h h h h 1376.136)1732.1(50)13(5045tan 60tan 1001≈=+=+=-=h 米33110030tan 45tan 1002-=-=h 2376.236)732.13(50)33(50)13(350≈=+=+=+=米答：太婆尖高度为137米,老君岭高度为237米;题型二方位角问题1、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角;如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°;2、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角;如图4：OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°东北方向,南偏东45°东南方向,南偏西60°西南方向,北偏西60°西北方向;例1、2011山东省潍坊轮船从B 处以每小时海里的速度沿男偏东30°方向匀速航行,在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C 处,在观测灯塔A 北偏东60°方向上,则C 处与灯塔A 的距离是 ．海里解答： BC=50×=25海里；根据方位角知识得,∠BCD=30°,=75°－30°；CB=∠BCD+∠ACD=30°+60°=90°；∠A=∠CBD=45°所以CA=CB 所以CB=25海里例2、2012年四川德阳某时刻海上点P 处有一客轮,测得灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向,且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行32小时到达B 处,那么tan ∠ABP=A.21 C.55 D.552解析如图6所示,根据题意可知∠APB=90°．且AP=20, PB=60×23=40. 所以tan ∠ABP=201402PA PB ==例3、2012连云港已知B 港口位于A 观测点北偏东°方向,且其到A 观测点正北方向的距离BD 的长为16km;一艘货轮从B 港口以40km/h 的速度沿如图所示的BC 方向航行,15min 后到达C 处;现测得C 处位于Ａ观测点北偏东°方向;求此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长精确到.25东北CBDCBH解析过点B 作AC 的垂线,把所求线段AC 换为两线段的差;利用Rt △ABH 和Rt △BCH 求线段AH 、CH 的长,利用AH －CH 确定AC 的长; 答案BC=40×1560=10.在Rt△ADB 中,sin ∠DAB=DB AB , °≈;所以AB=DAB DB ∠sin ≈1.60.8=20.如图,过点B 作BH⊥AC,交AC 的延长线于H;在Rt△AHB 中,∠BAH=∠DAC －∠DAB=°―37°=°,tan∠BAH=BH AH ,=BH AH,AH =＋CH 2=AB 2,BH 2+2BH 2=2025所以AH=85,在Rt△AHB 中, BH 2＋CH 2=BC 2,CH=2108025-=所以第22题图APCB °°AC=AH―CH=85―25＝65≈.例4、2012四川攀枝花如图6,我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行,在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场．若渔政310船航向不变,航行半小时后到达B 处,此时观测到我渔船C在北偏东30°方向上．问渔政310船再航行多久,离我渔船C的距离最近假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值．答案作CD⊥AB于D,设BD=x,∵∠BCD=30°,∴CD=3x,因为∠CAD=45°,∴AD=CD3,AB3–x,依据题意3x–x=,x 31+,31+小时,离渔船C的距离最近;例5、2012山东东营如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处,观测到某港口城市P位于轮船的北偏西°,轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶,下午2时该船到达B处,这时观测到城市P位于该船的南偏西°方向,求此时轮船所处位置B 与城市P的距离参考数据：°≈35,°≈34,°≈1213,°≈125解析过点P作PC⊥AB,构造直角三角形,设PC=x海里,用含有x的式子表示AC,BC的值,从而求出x的值,再根据三角函数值求出BP的值即可解答．答案过点P作PC⊥AB,垂足为C,设PC=x海里．在Rt△APC中,∵tan∠A=PCAC,∴AC=5tan67.512PC x=︒．在Rt△PCB中,∵tan∠B=PCBC,∴BC=4tan36.93x x=︒．∵AC＋BC=AB=21×5,∴54215123x x+=⨯,解得60x=.∵sinPCBPB∠=,∴60560100sin sin36.93PCPBB===⨯=∠︒海里．∴向阳号轮船所处位置B与城市P的距离为100海里．例6、2012山东省青岛如图,某校教学楼AB的后面有一建筑物CD,当光线与地面的夹角是22°时,教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE ；而当光线与地面夹角是45°时,教学楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13米的距离B 、F 、C 在一条直线上 ⑴求教学楼AB 的高度；⑵学校要在A 、E 之间挂一些彩旗,请你求出A 、E 之间的距离结果保留整数.参考数据：sin22°≈错误!,cos22°≈错误!,tan22°≈错误! 答案解：⑴过点E 作EM ⊥AB,垂足为M.设AB 为x.Rt △ABF 中,∠AFB=45°,∴BF=AB=x,∴BC=BF+FC=x+13在Rt △AEM 中,∠AEM=22°,AM=AB-BM=AB-CE=x-2,∴tan22°= 错误!, 错误!=错误!,x=12.即教学楼的高12m.⑵由1可得ME=BC=x+13=12+13=25.在Rt △AME 中,cos22°= 错误!, ∴ＡＥ＝ 错误!≈ 错误!≈２７．即ＡＥ之间的距离约为２７ｍ．题型三、坡比是垂直高度与水平距离的比值,即是坡角的正切值应用举例： 坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度坡比;用字母i 表示,即hi l=;坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等;把坡面与水平面的夹角记作α叫做坡角,那么tan hi lα==;例1、2012广安如图2,某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3,堤坝高BC=50m,则迎水坡面AB 的长度是 ．m解：tan∠BAC=13,∠BAC=30°,sin∠BAC=12, sin∠BAC=BC AB ,AB=2BC=100m例2、小强在教学楼的点P 处观察对面的办公大楼．为了测量点P 到对面办公大楼上部AD的距离,小强测得办公大楼顶部点A 的仰角为45°,测得办公大楼底部点B 的俯角为60°,已知办公大楼高46米,CD ＝10米．求点P 到AD 的距离用含根号的式子表示．图2:i h l=hlαABCDPN M解析连结PA 、PB ,过点P 作PM ⊥AD 于点M ；延长BC ,交PM 于点N则∠APM =45°,∠BPM =60°,NM =10米………1分设PM =x 米 在Rt △PMA 中,AM =PM ×tan ∠APM =x tan 45°＝x 米…3分在Rt △PNB 中,BN =PN ×tan ∠BPM =x －10tan 60°＝x －103米…5分 由AM +BN =46米,得x +x －103 ＝46……6分解得,4610313x +=+ ,∴点P 到AD 的距离为4610313++米．结果分母有理化为()1838-米也可……8分答案4610313++结果分母有理化为()1838-米也可例3、2012湖北如图,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为18cm,深为30cm,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A ,斜坡的起始点为C ,现设计斜坡BC 的坡度1:5i =,则AC 的长度是 cm ．解析如图,过点B 作BD ⊥AC 于D,依题意可求得AD ＝60cm,BD ＝54cm ；由斜坡 BC 的坡度i ＝1：5,求得CD ＝270cm,故AC ＝CD －AD ＝270－60＝210cm ．例4、2012浙江省绍兴,19如图1,某超市从一楼到二楼的电梯AB 的长为米,按坡角∠BAC 为32°.1求一楼与二楼之间的高度BC 精确到米；2电梯每级的水平级宽均是米,如图2.小明跨上电梯时,该电梯以每少上升2级的高度运行,10秒后他上升了多少米精确到米 备用数据：sin 32°=,cos 32°=,tan 32°=.解析1在Rt△ABC 中,已知∠B AC=32°,斜边AB 的长为米,根据锐角三角函数的定义即可求得第20题图MPDCBA第12题A BC3018一楼与二楼之间的高度BC ．2先计算1级电梯的高,再根据10秒钟电梯上升了20级可计算10秒后他上升的高度．答案解：1∵sin ∠BAC =ABBC ,∴BC =AB ×sin32°=×≈米. 2∵tan32°= 级高级宽,∴级高=级宽×tan32°=×=,∵10秒钟电梯上升了20级,∴小明上升的高度为：20×米. 例5、2012浙江丽水,19学校校园内有一小山坡,经测量,坡角∠ABC=30°,斜坡AB 长为12米.为方便学生行走,决定开挖小山坡,使斜坡BD 的坡比是1:3即为CD 与BC 的长度之比,A,D 两点处于同一铅垂线上,求开挖后小山坡下降的高度AD.解析：∴AD=AC-CD=6-23.答：开挖后小山坡下降的高度AD 为6-23米.例6、2012深圳小明想测一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上,如图3,此时测得地面上的影长为8米,坡面上的影长为4米,已知斜坡的坡角为30,同一时刻,一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米,则树的高度为 ．米解答：如图3—1,根据坡角易求树的下半部分的高为2米,树的上半部分所在直角三角形的水平距离为(+823米,由两个直接三角形相似易求树的上半部分高度为(43米,知树的高度为()63米,选择A例72012江苏泰州24如图,一居民楼底部B 与山脚P 位于同一水平线上,小李在P 处测得居民楼顶A 的仰角为60°,然后他从P 处沿坡角为45°的山坡上走到C 处,这时,PC=30m,点C 与点A 在同一水平线上,A 、B 、P 、C 在同一平面内．1求居民楼AB 的高度；2求C 、A 之间的距离．精确到,参考数据：2≈,3≈,6≈60° CA B 45°图330°21图3-1第24题图解析过C作BP的垂线,垂足为G,利用特殊Rt△PCG和Rt△ABP中的边角关系,我们容易计算出CG即AB的长,最后用AC=BP+PG,就是C、A之间的距离．答案1过C作BP的垂线,垂足为G,在Rt△PCG中,CG=PCsin450=30×2所以=m2PG= PCcos450=30×2=所以C、A之间的距离例82012四川水务部门为加强防汛工作,决定对某水库大坝进行加固,大坝的横截面是梯形ABCD．如图9所示,已知迎水坡面AB的长为16米,∠B＝60°,背水坡面CD的长为,加固后大坝的横截面为梯形ABED,CE的长为8米．1已知需加固的大坝长为150米,求需要填土石方多少立方米2求加固后大坝背水坡面DE的坡度．解析1求出横截面△DCE的面积,然后乘以坝堤长度即可得出体积．可以分别过点A,D 作BC边上的高将问题转化为解直角三角形问题．2求大坝背水坡面DE的坡度就是求坡面DE上一点到BE的铅直高度与它到点E的水平宽度的比,这一点通常取梯形的顶点．答案解：1过点A作AG⊥BC于G,过点D作DH⊥BC于H,∴AG＝DH．在Rt△ABG中,AG＝sin60°·AB×16＝∴DH＝S△DCE＝12·DH·CE＝12×8＝∴需要填土石方150＝3．2在Rt△DHC中,HC24,∴HE＝HC＋CE＝24＋8＝32．∴加固后大坝背水坡面DE的坡度＝DHHE．AB CD图9E例9 2012江苏苏州如图,已知斜坡AB 长60米,坡角即∠BAC 为30°,BC⊥AC,现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体用阴影表示修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE ．请讲下面2小题的结果都精确到米,参考数据：≈．1若修建的斜坡BE 的坡角即∠BEF 不大于45°,则平台DE 的长最多为 米；2一座建筑物GH 距离坡角A 点27米远即AG=27米,小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角即∠HDM 为30°．点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面内,点C 、A 、G 在同一条直线上,且HG⊥CG,问建筑物GH 高为多少米解答： 解：1∵修建的斜坡BE 的坡角即∠BEF 不大于45°,∴∠BEF 最大为45°当∠BEF=45°时,EF 最短,此时ED 最长,∵∠DAC=∠BDF=30°,AD=BD=30,∴BF=EF=BD=15,DF=15,故：DE=DF ﹣EF=15﹣1≈；2过点D 作DP⊥AC,垂足为P ．在Rt△DPA中,DP=AD=×30=15,PA=AD•cos30°=×30=15． 在矩形DPGM 中,MG=DP=15,DM=PG=15+27,在Rt△DMH 中,HM=DM•tan30°=×15+27=15+9． GH=HM+MG=15+15+9≈．答：建筑物GH 高为米．A B C DE GH。

\ 1 /
锐角三角函数知识点总结
一、锐角三角函数的定义：
二、特殊角的三角函数的值：
三、锐角三角函数的性质
\ 2 / 四、解直角三角形
五、解直角三角形中的常见图形:
六、实际应用中的概念：
⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．
⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为i=h l ，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则i=h l =tan α．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵ ⑶ 方位角：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．。