2020年中考数学知识点训练：数与式(解析版)

专题01 数与式问题【方法指导】1.实数运算：（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．（3）实数大小比较：任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．2.整式的化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．常涉及到整体思想和乘法公式的灵活应用．3.因式分解（1）因式分解的方法：提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等（2）实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．（3）因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．4.分式的化简求值问题：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．分式化简求值时需注意的问题（1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”．（2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．5.二次根式的计算：（1）在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍【题型剖析】【类型1】实数综合计算【例1】（2019•苏州）计算：（）2+|﹣2|﹣（π﹣2）0【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解析】原式＝3+2﹣1＝4．方法小结：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．【变式1-1】（2019•宿迁）计算：（）﹣1﹣（π﹣1）0+|1|．【分析】直接利用负指数幂的性质和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解析】原式＝2﹣1 1．【变式1-2】（2019•连云港）计算（﹣1）×2（）﹣1．【分析】分别根据有理数乘法的法则、二次根式的性质以及负整数指数幂化简即可求解．【解析】原式＝﹣2+2+3＝3．方法小结：本题考查了实数的运算法则，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式的化简以及负整数指数幂．【变式1-3】（2019•盐城）计算：|﹣2|+（sin36°）0tan45°．【分析】首先对绝对值方、零次幂、二次根式、特殊角三角函数分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果，【解析】原式＝2+1﹣2+1＝2．【类型2】：整式的化简求值【例2】（2019•南京）计算（x+y）（x2﹣xy+y2）【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn，计算即可．【解析】（x+y）（x2﹣xy+y2），＝x3﹣x2y+xy2+x2y﹣xy2+y3，＝x3+y3．故答案为：x3+y3．方法小结：本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．【变式2-1】（2019•建湖县二模）先化简，再求值：（x﹣3）2+2（x﹣2）（x+7）﹣（x+2）（x﹣2），其中x2+2x ﹣3＝0．【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，求出方程的解得到x的值，代入计算即可求出值．【解析】原式＝x2﹣6x+9+2x2+10x﹣28﹣x2+4＝2x2+4x﹣15，由x2+2x﹣3＝0，得到x2+2x＝3，则原式＝2（x2+2x）﹣15＝6﹣15＝﹣9．【变式2-2】（2019•宜兴市二模）（1）计算：（3﹣π）0﹣（）﹣2﹣tan30°（2）化简：（2a﹣b）2﹣（a﹣b）（4a﹣b）【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算，再求出即可；（2）先算乘法，再合并同类项即可．【解析】（1）原式＝1﹣4＝﹣3；（2）原式＝4a2﹣4ab+b2﹣4a2+ab+4ab﹣b2＝ab．【变式2-3】（2019•江都区一模）（1）计算：2cos45°+|1|（﹣2019）0（2）化简：（2+a）（2﹣a）+a（a﹣1）【分析】（1）先算三角函数值，去绝对值，根式化简和零指数，然后分数约分和去括号，最后合并同类二次根式．（2）是整式加减乘除混合运算，平方差公式，再单项式×多项式，最后合并同类项．【解析】（1）原式═2（1）﹣2 1═1﹣2 1═0（2）原式═22﹣a2+a2﹣a═4﹣a方法小结：第（1）题考查了学生对实数运算的基本运算能力是否具有方向性，同时求三角函数值、零指数，无理数的估算，去绝对值、二次根式化简等放到实数运算中，让一部分学生计算中不知道怎样处理，这给课堂提出了更高的要求；第（2）考查了整式的运算，学生只要理解整式运算顺序，才会计算此题，同时平方差公式的运用既体现多项式×多项式的法则通法通解，也体现了该公式特殊性．两个小题放在一起，既可以类比学习从熟悉的实数运算到式的运算，又为梯度式教学设计提供一个很好的教学素材模式．【类型3】：因式分解【例3】（2019•苏州）因式分解：x2﹣xy＝．【分析】直接提取公因式x，进而分解因式即可．【解析】x2﹣xy＝x（x﹣y）．故答案为：x（x﹣y）．方法小结：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．【变式3-1】（2019•南京）分解因式（a﹣b）2+4ab的结果是．【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再利用公式法分解因式得出答案．【解析】（a﹣b）2+4ab＝a2﹣2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．故答案为：（a+b）2．【变式3-2】（2019•无锡）分解因式4x2﹣y2的结果是（）A．（4x+y）（4x﹣y）B．4（x+y）（x﹣y）C．（2x+y）（2x﹣y）D．2（x+y）（x﹣y）【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解析】4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）．故选：C．【变式3-3】（2019•广陵区校级二模）下列多项式因式分解的结果不含a﹣1的是（）A．a2﹣1 B．a2﹣a C．a2﹣a﹣2 D．a4﹣1【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．【解析】A、原式＝（a+1）（a﹣1），不符合题意；B、原式＝a（a﹣1），不符合题意；C、原式＝（a﹣2）（a+1），符合题意；D、原式＝（a2+1）（a+1）（a﹣1），不符合题意，故选：C．方法小结：此题考查了因式分解﹣十字相乘法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【类型4】：分式的化简求值【例4】（2019•南通）先化简，再求值：（m），其中m2．【分析】先化简分式，然后将m的值代入计算．【解析】原式•＝m2+2m，当m2时，原式＝m（m+2）＝（2）（2+2）＝2﹣2【变式4-1】（2019•淮安）先化简，再求值：（1），其中a＝5．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．【解析】（1）（）•＝a+2，当a＝5时，原式＝5+2＝7．【变式4-2】（2019•苏州）先化简，再求值：（1），其中，x3．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解析】原式（）•，当x3时，原式．【变式4-3】（2019•盐城）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：第一次菜价3元/千克质量金额甲1千克3元乙1千克3元第二次：菜价2元/千克质量金额甲1千克2元乙 1.5千克3元（1）完成上表；（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价．（均价＝总金额÷总质量）【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价、，比较、的大小，并说明理由．【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1；如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v+p），逆水航行速度为（v﹣p），所需时间为t2．请借鉴上面的研究经验，比较t1、t2的大小，并说明理由．【分析】（1）金额＝单价×质量可求第二次甲的金额与乙的质量；（2）利用均价＝总金额÷总质量可求甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价；【数学思考】分别表示出、，然后求差，把分子配方，利用偶次方的非负性可得答案；【知识迁移】分别表示出、，然后求差，判断分式的值总小于等于0，从而得结论．【解析】（1）2×1＝2（元），3÷2＝1.5（元/千克）故答案为2；1.5．（2）甲两次买菜的均价为：（3+2）÷2＝2.5（元/千克）乙两次买菜的均价为：（3+3）÷（1+1.5）＝2.4（元/千克）∴甲两次买菜的均价为2.5（元/千克），乙两次买菜的均价为2.4（元/千克）．【数学思考】，∴═0∴【知识迁移】t1，t2∴t1﹣t2═∵0＜p＜v∴t1﹣t2＜0∴t1＜t2．【类型5】：代数计算的创新考法【例5】（2019•宿迁模拟）若2019个数a1、a2、a3、…、a2019满足下列条件：a1＝2，a2＝﹣|a1+5|，a3＝﹣|a2+5|，…，a2019＝﹣|a2018+5|，则a1+a2+a3+…+a2019＝（）A．﹣5040 B．﹣5045 C．﹣5047 D．﹣5051【分析】通过前面几个数的计算，根据数的变化可得出从第3个数开始，按﹣2，﹣3依次循环，按此规律即可得出a1+a2+a3+…+a2019的值．【解析】依题意，得：a1＝2，a2＝﹣|2+5|＝﹣7，a3＝﹣|﹣7+5|＝﹣2，a4＝﹣|﹣2+5|＝﹣3，a5＝﹣|﹣3+5|＝﹣2，a6＝﹣|﹣2+5|＝﹣3，……由上可知，这2019个数a1、a2、a3、…、a2019从第三个数开始按﹣2，﹣3依次循环，故这2019个数中有1个2，1个﹣7，1009个﹣2，1008个﹣3，∴a1+a2+a3+…+a2019＝2﹣7﹣2×1009﹣3×1008＝﹣5047，故选：C．【变式5-1】（2019•徐州二模）如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“•”的个数为a1，第2幅图形中“•”的个数为a2，第3幅图形中“•”的个数为a3，…，以此类推，则的值为．【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可．【解析】a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，a n＝n（n+2）；∴（1）（），故答案为：，【变式5-2】．（2019•莘县一模）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，第六个叠放的图形中，小正方体木块总数应是．【分析】可用逐条分析的方法，从最高的那条开始计数．根据所给图形可知，从上到下逐层条是添加四个小正方体，通过计算得出结果．【解析】根据题意可得知：图（1）中有1×1＝1个小正方体；图（2）中有1×2+4×1＝6个小正方体；图（3）中有1×3+4×2+4×1＝15个小正方体；以此类推第六个叠放的图形中，小正方体木块总数应是1×6+4×5+4×4+4×3+4×2+4×1＝66个．故答案为：66．方法小结：此题考查了学生由特殊到一般的归纳能力．注意此题中第六个叠放的图形中，小正方体木块总数应是1×6+4×5+4×4+4×3+4×2+4×1＝66个．【变式5-3】（2019•临清市一模）在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为4a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为a的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3），称为第二次变化．如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案．如不断发展下去到第n次变化时，图形的面积是否会变化，（填写“会”或者“不会”），图形的周长为．【分析】观察图形，发现对正方形每进行1次分形，周长增加1倍；每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变．【解析】周长依次为16a，32a，64a，128a，…，2n+4a，即无限增加，所以不断发展下去到第n次变化时，图形的周长为2n+4a；图形进行分形时，每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变，是一个定值16a2．故答案为：不会、2n+4a．【达标检测】一．选择题（共10小题）1．（2019•南通）下列计算，正确的是（）A．a2•a3＝a6B．2a2﹣a＝a C．a6÷a2＝a3D．（a2）3＝a6【答案】D【解析】∵a2•a3＝a5，∴选项A不符合题意；∵2a2﹣a≠a，∴选项B不符合题意；∵a6÷a2＝a4，∴选项C不符合题意；∵（a2）3＝a6，∴选项D符合题意．故选：D．2．（2019•常州）下列各数中与2的积是有理数的是（）A．2B．2 C．D．2【答案】D【解析】∵（2）（2）＝4﹣3＝1；故选：D．3．（2019•常州）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x≠﹣1 D．x≠3【答案】D【解析】∵代数式有意义，∴x﹣3≠0，∴x≠3．故选：D．4．（2019•泰州）若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】4a2﹣6ab+3b，＝2a（2a﹣3b）+3b，＝﹣2a+3b，＝﹣（2a﹣3b），＝1，故选：B．5．（2019•南京）实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（）【答案】A【解析】因为a＞b且ac＜bc，所以c＜0．选项A符合a＞b，c＜0条件，故满足条件的对应点位置可以是A．选项B不满足a＞b，选项C、D不满足c＜0，故满足条件的对应点位置不可以是B、C、D．故选：A．6．（2019•镇江一模）小明根据右表，作了三个推测：x21 210 1.11000 1.00110000 1.0001（1）2（x＞0）的值随着x的增大越来越小；（2）2（x＞0）的值有可能等于1；（3）2（x＞0）的值随着x的增大越来越接近于1；则推测正确的是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）【答案】B【解析】22﹣（1）＝1，（1）当x＞0时，会随着x的增大而减小．所以，1会随着x的增大而减小，故（1）对；（2）不为0，故，1的值不可能等于1，故（2）不对；（3）又因为当x ＞0时，0，所以11，且会随着x 的增大而越来越接近1，故正确．故选：B ． 7．（2019•鼓楼区校级模拟）甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，在C 地相遇后，甲又经过t 1小时到达B 地，乙又经过t 2小时到达A 地，设AC ＝S 1，BC ＝S 2，那么t 1：t 2等于（ ）A ．S 1：S 2B ．2212S S ：C ．S 2：S 1D ．2221S S ：【答案】D【解析】设甲的速度为v 甲，乙的速度v 乙， 由相遇时的时间相同，可得，即，∴t 1：t 2S 22：S 12．故选：D ．8．（2019•相城区校级二模）下列运算中，正确的是（ ）A ． 3B ．（a +b ）2＝a 2+b 2C ．（）2（a ≠0）D ．a 3•a 4＝a 12【答案】C【解析】（﹣3）3＝﹣27，负数没有平方根，故A 错误；（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，故B 错误； （）2，故C 正确；a 3•a 4＝a 7，故D 错误．故选：C ．9．（2019•宿迁三模）若（2x +1）4＝a 0x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x +a 4，则a 0+a 2+a 4的值为（） A ．82 B ．81 C ．42 D ．41【答案】D【解析】令x＝1，得34＝a0+a1+a2+a3+a4，①令x＝﹣1，得1＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4，②①+②得：2（a0+a2+a4）＝82，则a0+a2+a4＝41，故选：D．10．（2019•昆山市一模）若2x﹣3y2＝3，则1﹣x y2的值是（）A．﹣2 B．C．D．4【答案】B【解析】∵2x﹣3y2＝3，∴x y2，则原式＝1﹣（x y2）＝1，故选：B．二．填空题（共10小题）11．（2019•海州区校级模拟）某市在一次扶贫活动中，共捐款21900000元，将2190000科学记数法表示为．【答案】2.19×106．【解析】2190000＝2.19×106，故答案为：2.19×106．12．（2019•工业园区校级二模）当x＝1时，代数式ax3+bx+1的值为5，则代数式4﹣a﹣b的值＝．【答案】0【解析】由题意得，a+b+1＝5，∴a+b＝4，当a+b＝4时，原式＝4﹣（a+b）＝4﹣4＝0．故答案为0．13．（2019•常熟市二模）若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为．【答案】20【解析】∵a+b＝4，a﹣b＝1∴（a+2）2﹣（b﹣2）2＝[（a+2）+（b﹣2）][（a+2）﹣（b﹣2）]＝（a+b）（a﹣b+4）＝4×（1+4）＝20故答案为：2014．（2019•建邺区校级二模）计算（）2的结果是．【答案】．【解析】原式22．故答案为．15．（2019•玄武区二模）分解因式（a﹣b）（a﹣9b）+4ab的结果是．【答案】（a﹣3b）2．【解析】（a﹣b）（a﹣9b）+4ab＝a2﹣9ab﹣ab+9b2+4ab＝a2﹣6ab+9b2＝（a﹣3b）2．故答案为：（a﹣3b）2．16．（2019•兴化市二模）已知：a﹣b＝b﹣c＝1，a2+b2+c2＝2，则ab+bc+ac的值等于．【答案】﹣1．【解析】∵a﹣b＝b﹣c＝1，∴a﹣c＝2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝3，∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣3＝2﹣3＝﹣1；故答案为：﹣1．17．（2019•常州一模）已知分式的值为2，且y≠﹣1，则分式的值为．【答案】2【解析】，3x＝2x+2y，x＝2y，∴原式2，故答案为：2．18．（2019•高邮市一模）对于每个正整数n，设g（2n）表示2+4+6+…+2n的个位数字．如：当n＝1时，g （2）表示2的个位数字，即g（2）＝2；当n＝2时，g（4）表示2+4的个位数字，即g（4）＝6；当n ＝4时，g（8）表示2+4+6+8的个位数字，即g（8）＝0．则g（2）+g（4）+g（6）+…+g（2022）的值为．【答案】2022．【解析】g（2）＝2，g（4）＝6，g（6）＝2，g（8）＝0，g（10）＝0，…从10以后，每5组就是一组循环，∵g（2）+g（4）+g（6）+g（8）+g（10）＝10，又∵g（2）+g（4）+g（6）+…+g（2022）有202组余下g（2022），根据规律可得g（2022）＝2，∴g（2）+g（4）+g（6）+…+g（2022）＝202×10+2＝2022．故答案为2022．19．（2019•姑苏区校级二模）已知x+y＝2，则5﹣x﹣y的值是．【答案】3【解析】∵x+y＝2，∴5﹣x﹣y＝5﹣（x+y）＝5﹣2＝3．故答案是：3．20．（2019•徐州二模）如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“•”的个数为a1，第2幅图形中“•”的个数为a2，第3幅图形中“•”的个数为a3，…，以此类推，则的值为．【答案】【解析】a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，a n＝n（n+2）；∴（1）（），故答案为：三．解答题（共6小题）21．（2019•建湖县二模）先化简，再求值：（x﹣3）2+2（x﹣2）（x+7）﹣（x+2）（x﹣2），其中x2+2x﹣3＝0．【答案】﹣9【解析】原式＝x2﹣6x+9+2x2+10x﹣28﹣x2+4＝2x2+4x﹣15，由x2+2x﹣3＝0，得到x2+2x＝3，则原式＝2（x2+2x）﹣15＝6﹣15＝﹣9．22．（2019•宜兴市二模）（1）计算：（3﹣π）0﹣（）﹣2﹣tan30°（2）化简：（2a﹣b）2﹣（a﹣b）（4a﹣b）【答案】(1) ﹣3；(2) ＝ab．【解析】（1）原式＝1﹣4＝﹣3；（2）原式＝4a2﹣4ab+b2﹣4a2+ab+4ab﹣b2＝ab．23．（2019•宿豫区模拟）计算：﹣12020（）﹣2﹣2sin60°．【答案】1【解析】原式＝﹣1﹣（2）+4＝﹣1﹣24＝124．（2019•海陵区校级三模）（1）计算：|﹣1|（2）化简：【答案】【解析】（1）原式＝11+4＝11+2；（2）原式[][]•＝a．25．（2019•工业园区校级二模）先化简，再求值：，其中x＝﹣3+2．【答案】．【解析】原式•，当x＝﹣3+2时，原式．26．（2019•宿豫区模拟）先化简，再求值：（x﹣1），其中x的值从不等式组的整数解中选取．【答案】3．【解析】原式••，解不等式2﹣x≤3，得x≥﹣1，解不等式2x﹣4＜1，得x，∴不等式组的解集为﹣1≤x，它的整数数解为﹣1，0，1，2，∵x≠﹣1，0，2，∴x＝1，当x＝1时，原式＝3．。

考点二 整式的运算 1.整式的加减 （1）同类项与合并同类项 所含的__字__母_相同，并且___相__同__字__母__的__指__数__也分别相同的单项式叫 做同类项.把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则 是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的__指__数__不变. （2）去括号与添括号 ①括号前是“+”号，去掉括号和它前面的“+”号，括号里的各项 都不改变符号；括号前是“-”号，去掉括号和它前面的“-”号，括号里 的各项__都__改__变__符__号_.
同分分式的母运的算分式相加减，分母不变，把分子相加减，即ac±bc＝_a_±c__b_. 异分a母d±的b分c 式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即ab±cd ＝____b_d___.
2．分式的乘除法 分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即
a c ac b·d＝__b_d__.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除 式相乘，即ab÷cd＝__ab_·__dc__＝__ab_dc__.
考点三 因式分解 1.因式分解的定义及与整式乘法的关系 (1)_把__一__个__多__项__式__化__为__几__个__整__式__的__积__的__形__式_,这种运算就是因式分解. (2)因式分解与整式乘法是互逆运算． 2．因式分解的常用方法 (1)提公因式法 如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式，那么这个相同的因 式，就叫做公因式．
(3)约分的关键是确定分式的分子与分母中的_最__大__公__因__式__.确定最大 公因式的一般步骤是：当分子、分母是多项式时，先_因__式__分__解__，取系数 的_最__大__公__因__式__，相同字母（因式）的_最__低__次__幂______的积为最大公因式.

2024年中考数学总复习第一章《数与式》第一节：实数★解读课标★--------------熟悉课标要求，精准把握考点1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小；了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值；2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道|a|的含义；3.会用科学记数法表示数；4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念．会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根，会用平方运算求百以内整数的平方根；5.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题．★中考预测★--------------统计考题频次，把握中考方向1.实数与运算在历年中考中以考查基础为主，也是考查重点，年年考查，是广大考生的得分点，分值为14~28分。

2.预计2024年各地中考还将继续重视对正负数的意义、相反数、绝对值、倒数、数轴等实数的相关概念及实数的分类的考查，也会对有理数的运算、科学记数法、数的开方、零次幂、负整数指数幂、二次根式及运算等进行考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握。

★聚焦考点★--------------直击中考考点，落实核心素养有理数及其相关概念1.整数和分数统称为有理数。

（有限小数与无限循环小数都是有理数。

）2.正整数、0、负整数统称为整数。

正分数、负分数统称分数。

3.正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。

4.正数和负数表示相反意义的量。

【注意】0既不是正数，也不是负数。

数轴 1.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

数轴是一条直线。

2.所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定都是有理数。

3.数轴上，右边的数总比左边的数大；表示正数的点在原点的右侧，表第1页共44页。

第一单元数与式第2讲代数式及整式的运算1.理解用字母表示数的意义，会用代数式表示简单问题的数量关系，了解单项式、多项式及整式的相关概念.2.理解整式的加减运算、乘除运算、去括号法则、乘法公式等常用的整式运算法则，能熟练运用于整式的运算.3.了解因式分解的概念，学会用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.4.理解配方法、换元法、待定系数法等重要的数学方法，能灵活用这些方法处理整式.1．（2018秋•吴兴区期末）﹣的系数是（）A．﹣2 B．﹣C．D．2【思路点拨】根据单项式的概念即可求出答案．【答案】解：该单项式的系数为，故选：B．【点睛】本题考查单项式，解题的关键是熟练运用单项式的概念，本题属于基础题型．2．（2019•金华）计算a6÷a3，正确的结果是（）A．2 B．3a C．a2D．a3【思路点拨】根据同底数幂除法法则可解．【答案】解：由同底数幂除法法则：底数不变，指数相减知，a6÷a3＝a6﹣3＝a3．故选：D．【点睛】本题是整式除法的基本运算，必须熟练掌握运算法则．本题属于简单题．3．（2018•西湖区一模）某企业今年1月份产值为x万元，2月份比1月份增加了10%，3月份比2月份减少了20%，则3月份的产值是（）万元．A．（1+10%）（1﹣20%）x B．（1+10%+20%）xC．（x+10%）（x﹣20%）D．（1+10%﹣20%）x【思路点拨】根据题意可以先列出2月份的产量为（1+10%）x，再根据题意可列三月份的产量．【答案】解：根据题意可得2月份产量为x（1+10%）万元∵3月份比2月份减少了20%∴3月份的产量为（1+10%）（1﹣20%）x故选：A．【点睛】本题考查了列代数式，能根据题意正确列出代数式是本题关键4．（2019•衢州一模）下面是小林做的4道作业题：（1）2ab+3ab＝5ab；（2）2ab﹣3ab＝﹣ab；（3）2ab﹣3ab＝6ab；（4）2ab÷3ab＝．做对一题得2分，则他共得到（）A．2分B．4分C．6分D．8分【思路点拨】这几个式子的运算是合并同类项的问题，根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．【答案】解：（1）2ab+3ab＝5ab，正确；（2）2ab﹣3ab＝﹣ab，正确；（3）∵2ab﹣3ab＝﹣ab，∴2ab﹣3ab＝6ab错误；（4）2ab÷3ab＝，正确．3道正确，得到6分，故选：C．【点睛】本题主要考查合并同类项得法则．即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．5．（2019•宁波）下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3•a2＝a6C．（a2）3＝a5D．a6÷a2＝a4【思路点拨】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．【答案】解：A、a3与a2不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；B、a3•a2＝a5故选项B不合题意；C、（a2）3＝a6，故选项C不合题意；D、a6÷a2＝a4，故选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．6．（2018•金华）化简（x﹣1）（x+1）的结果是x2﹣1．【思路点拨】原式利用平方差公式计算即可得到结果．【答案】解：原式＝x2﹣1，故答案为：x2﹣1【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．7．（2019•宁波）分解因式：x2+xy＝x（x+y）．【思路点拨】直接提取公因式x即可．【答案】解：x2+xy＝x（x+y）．【点睛】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．8．（2019•滨江区一模）先化简，再求值：（2﹣a）（3+a）+（a﹣5）2，其中a＝4．【思路点拨】根据多项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．【答案】解：（2﹣a）（3+a）+（a﹣5）2＝6+2a﹣3a﹣a2+a2﹣10a+25＝﹣11a+31，当a＝4时，原式＝﹣11×4+31＝﹣44+31＝﹣13．【点睛】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．1.整式的概念及整式的加减（2）单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．（2）多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．（3）整式：单项式和多项式统称为整式．（4）同类项以及合并同类项法则：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．2.整式的乘除（1）幂的运算性质：(1)同底数幂相乘：a m·a n＝a m＋n(m，n都是整数，a≠0)．(2)幂的乘方：(a m)n＝a mn(m，n都是整数，a≠0)．(3)积的乘方：(ab)n＝a n·b n(n是整数，a≠0，b≠0)．(4)同底数幂相除：a m÷a n＝a m－n(m，n都是整数，a≠0)．（2）整式乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．单项式乘多项式：m(a＋b)＝ma＋mb．多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd．（3）乘法公式：①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2．（4）整式除法：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．3.因式分解（1）因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．因式分解与整式的乘法是互逆变形．（2）因式分解的基本方法：①提取公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．②公式法：运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2．（3）因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．②如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；如果项数较多，要分组分解．③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式．④意题中因式分解要求的范围，如在有理数范围内分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x2－3)；在实数范围内分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x＋3)(x－3)，题目不作说明的，一般是指在有理数范围内分解因式．【考点一整式及其加减运算】例1．（2019•乐清市一模）计算3x2+2x2的结果（）A．5 B．5x2C．5x4D．6x2【思路点拨】根据合并同类项法则进行计算即可得解．【答案】解：3x2+2x2，＝（3+2）x2，＝5x2．故选：B．【点睛】本题主要考查合并同类项的法则．即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．【变式训练】1．（2019•台州）计算2a﹣3a，结果正确的是（）A．﹣1 B．1 C．﹣a D．a【思路点拨】根据合并同类项法则合并即可．【答案】解：2a﹣3a＝﹣a，故选：C．【点睛】本题考查了合并同类项法则的应用，能熟记合并同类项法则的内容是解此题的关键．2．（2018•临安区）10名学生的平均成绩是x，如果另外5名学生每人得84分，那么整个组的平均成绩是（）分A．B．C．D．【思路点拨】整个组的平均成绩＝15名学生的总成绩÷15．【答案】解：先求出这15个人的总成绩10x+5×84＝10x+420，再除以15可求得平均值为分．故选：B．【点睛】此题考查了加权平均数的知识，解题的关键是求的15名学生的总成绩．3．（2018秋•黄岩区期末）已知x2+3x+5的值是7，则式子﹣3x2﹣9x+2的值是（）A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6【思路点拨】首先根据x2+3x+5的值是7，求出x2+3x的值是多少；然后代入式子﹣3x2﹣9x+2，求出算式的值是多少即可．【答案】解：∵x2+3x+5＝7，∴x2+3x＝7﹣5＝2，∴﹣3x2﹣9x+2＝﹣3（x2+3x）+2＝﹣3×2+2＝﹣6+2＝﹣4故选：C．【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．4．（2019•富阳区一模）化简：﹣3（x﹣2y）+4（x﹣2y）＝x﹣2y．【思路点拨】先去括号，再合并同类项即可．【答案】解：原式＝﹣3x+6y+4x﹣8y＝x﹣2y，故答案为x﹣2y．【点睛】本题考查了整式的加减，掌握去括号的法则和合并同类项的法则是解题的关键．5．（2017•杭州）某水果店销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价为6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉30﹣千克．（用含t的代数式表示．）【思路点拨】设第三天销售香蕉x千克，则第一天销售香蕉（50﹣t﹣x）千克，根据三天的销售额为270元列出方程，求出x即可．【答案】解：设第三天销售香蕉x千克，则第一天销售香蕉（50﹣t﹣x）千克，根据题意，得：9（50﹣t﹣x）+6t+3x＝270，则x＝＝30﹣，故答案为：30﹣．【点睛】本题主要考查列代数式的能力，解题的关键是理解题意，抓住相等关系列出方程，从而表示出第三天销售香蕉的千克数．【考点二整式的乘除运算】例2．（2018•宁波）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x＝﹣．【思路点拨】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把x的值代入即可．【答案】解：原式＝x2﹣2x+1+3x﹣x2＝x+1，当x＝﹣时，原式＝﹣+1＝．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算﹣﹣化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．【变式训练】1．（2019•瑞安市三模）计算x6÷x2的结果是（）A．x12 B．x8C．x4D．x3【思路点拨】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减进行计算即可．【答案】解：原式＝x4，故选：C．【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法，关键是掌握计算法则．2．（2018•湖州）计算﹣3a•（2b），正确的结果是（）A．﹣6ab B．6ab C．﹣ab D．ab【思路点拨】根据单项式的乘法解答即可．【答案】解：﹣3a•（2b）＝﹣6ab，故选：A．【点睛】此题考查单项式的除法，关键是根据法则计算．3．（2018•宁波）下列计算正确的是（）A．a3+a3＝2a3B．a3•a2＝a6C．a6÷a2＝a3D．（a3）2＝a5【思路点拨】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．【答案】解：∵a3+a3＝2a3，∴选项A符合题意；∵a3•a2＝a5，∴选项B不符合题意；∵a6÷a2＝a4，∴选项C不符合题意；∵（a3）2＝a6，∴选项D不符合题意．故选：A．【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．4．（2019•富阳区一模）化简：﹣3（x﹣2y）+4（x﹣2y）＝x﹣2y．【思路点拨】先去括号，再合并同类项即可．【答案】解：原式＝﹣3x+6y+4x﹣8y＝x﹣2y，故答案为x﹣2y．【点睛】本题考查了整式的加减，掌握去括号的法则和合并同类项的法则是解题的关键．5．（2018•宁波）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB＝2时，S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b【思路点拨】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．【答案】解：S1＝（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）＝（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD﹣a），S2＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），∴S2﹣S1＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）＝（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）＝b•AD﹣ab﹣b•AB+ab＝b（AD﹣AB）＝2b．故选：B．【点睛】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．【考点三因式分解】例3．（2019•婺城区模拟）分解因式：a3﹣4a2＝a2（a﹣4）．【思路点拨】直接找出公因式进而提取得出答案．【答案】解：a3﹣4a2＝a2（a﹣4）．故答案为：a2（a﹣4）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．【变式训练】1．（2019•舟山）分解因式：x2﹣5x＝x（x﹣5）．【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【思路点拨】直接提取公因式x分解因式即可．【答案】解：x2﹣5x＝x（x﹣5）．故答案为：x（x﹣5）．【点睛】此题考查的是提取公因式分解因式，关键是找出公因式．2．（2019•温州）分解因式：m2+4m+4＝（m+2）2．【思路点拨】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【答案】解：原式＝（m+2）2．故答案为：（m+2）2．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．3．（2019•杭州）因式分解：1﹣x2＝（1﹣x）（1+x）．【思路点拨】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解．【答案】解：∵1﹣x2＝（1﹣x）（1+x），故答案为：（1﹣x）（1+x）．【点睛】本题考查因式分解﹣运用公式法，解题的关键是明确平方差公式，会运用平方差公式进行因式分解．4．（2019•鹿城区校级二模）因式分解：a2x2﹣4a2y2＝a2（x+2y）（x﹣2y）．【思路点拨】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【答案】解：原式＝a2（x2﹣4y2）＝a2（x+2y）（x﹣2y），故答案为：a2（x+2y）（x﹣2y）【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【考点四乘法公式及其应用】例4．（2018•衢州）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．方案二：方案三：【思路点拨】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决．【答案】解：由题意可得，方案二：a2+ab+（a+b）b＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，方案三：a2+＝＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．【变式训练】1．（2019•柯城区校级一模）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣x（x﹣4）+（x﹣2）（x+2），其中x＝1．【思路点拨】根据完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x＝1代入化简后的式子即可解答本题．【答案】解：（x﹣1）2﹣x（x﹣4）+（x﹣2）（x+2）＝x2﹣2x+1﹣x2+4x+x2﹣4＝x2+2x﹣3，当x＝1时，原式＝12+2×1﹣3＝0．【点睛】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．2．（2019•南浔区二模）先化简，再求值：（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝﹣2，b ＝．【思路点拨】原式利用提取公因式，化简得到结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【答案】解：原式＝（a+b）（a+b﹣a+b）＝2b（a+b）＝2ab+2b2，当a＝﹣2，b ＝时，原式＝﹣2+＝﹣1．【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11。