(完整)空间向量与立体几何知识点和习题(含答案),推荐文档

空间向量与立体几何练习题（带答案）一、选择题1．若空间向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不同的方向B．有不相等的模C．不可能是平行向量D．不可能都是零向量【解析】若a＝0，b＝0，则a＝b，这与已知矛盾，故选D．【答案】D图2－1－72．如图2－1－7所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，在下列选项中，CD→的相反向量是()A.BA→B．A1C1→C.A1B1→D．AA1→【解析】由相反向量的定义可知，A1B1→是CD→的相反向量．【答案】C图2－1－83．在如图2－1－8所示的正三棱柱中，与〈AB→，AC→〉相等的是() A．〈AB→，BC→〉B．〈BC→，CA→〉C．〈C1B1→，AC→〉D．〈BC→，B1A1→〉【解析】∵B1A1→＝BA→，∴〈BA→，BC→〉＝〈AB→，AC→〉＝〈BC→，B1A1→〉＝60°，故选D．【答案】D4．在正三棱锥A-BCD中，E、F分别为棱AB，CD的中点，设〈EF→，AC→〉＝α，〈EF→，BD→〉＝β，则α＋β等于()A.π6B．π4C.π3D．π2【解析】如图，取BC的中点G，连接EG、FG，则EG∥AC，FG∥BD，故∠FEG＝α，∠EFG＝β.∵A－BCD是正三棱锥，∴AC⊥BD．∴EG⊥FG，即∠EGF＝π2.∴α＋β＝∠FEG＋∠EFG＝π2.【答案】D5．如图2－1－9所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有()图2－1－9A．8个B．7个C．6个D．5个【解析】与向量AB→平行的向量就是直线AB的方向向量，有AB→，BA→，A1B1→，B1A1→，C1D1→，D1C1→，CD→，DC→，共8个，故选A.【答案】A二、填空题6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则向量CE→和BD→的夹角为________．【解析】∵BD→为平面ACC1A1的法向量，而CE在平面ACC1A1中，∴BD→⊥CE→.∴〈BD→，CE→〉＝90°.【答案】90°7．下列命题正确的序号是________．①若a∥b，〈b，c〉＝π4，则〈a，c〉＝π4.②若a，b是同一个平面的两个法向量，则a＝B．③若空间向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c.【解析】①〈a，c〉＝π4或3π4，①错；②a∥b；②错；③当c＝0时，推不出a∥c，③错；④由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对．【答案】④8．在棱长为1的正方体中，S表示所有顶点的集合，向量的集合P＝{a|a ＝P1P2→，P1，P2∈S}，则在集合P中模为3的向量的个数为________．【解析】由棱长为1的正方体的四条体对角线长均为3知：在集合P 中模为3的向量的个数为8.【答案】8三、解答题图2－1－109．如图2－1－10所示，在长、宽、高分别为AB＝3、AD＝2、AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为5的所有向量；(3)试写出与AB→相等的所有向量．【解】(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA1→，A1A→，BB1→，B1B→，CC1→，C1C→，DD1→，D1D→这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD1→，D1A→，A1D→，DA1→，BC1→，C1B→，B1C→，CB1→共8个．(3)与向量AB→相等的所有向量(除它自身之外)共有A1B1→，DC→及D1C1→3个．图2－1－1110．如图2－1－11所示，正四棱锥S－ABCD中，O为底面中心，求平面SBD的法向量与AD→的夹角．【解】∵正四棱锥底面为正方形，∴BD⊥AC，SO⊥AC又∵BD∩SO＝O∴AC⊥平面SBD．∴AC→为平面SBD的一个法向量．∴〈AC→，AD→〉＝45°.图2－1－1211．如图2－1－12，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD 为正方形且PD＝AD，E、F分别是PC、PB的中点．(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量．【解】(1)取AD的中点M，连接MF，连接EF，∵E、F分别是PC、PB的中点，∴EF綊12BC，又BC綊AD，∴EF綊12AD，则由EF綊DM知四边形DEFM是平行四边形，∴MF∥DE，∴FM→就是直线DE的一个方向向量．(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵平面PCD，∴DE⊥BC，又PD＝CD，E为PC中点，∴DE⊥PC，从而DE⊥平面PBC，∴DE→是平面PBC的一个法向量，由(1)可知FM→＝ED→，∴FM→就是平面PBC的一个法向量.。

空间向量与立体几何一、空间向量及其加减运算知识梳理知识点一 空间向量的概念【例1】判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．① 向量AB 与AC 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；② ②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB =DC ；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD 在同一条直线上.②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同.③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④不正确，因为A 、B 、C 、D 可能共线.⑤正确.⑥不正确，如图所示，AC 与BC 共线，虽起点不同，但终点却相同.【反思感悟】 解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．【跟踪训练】下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律 D.在四边形ABCD 中，一定有AB +AD =AC 答案 B解析|a|=|b|，说明a 与b 模长相等，但方向不确定；对于a 的相反向量b=-a 故|a|=|b|，从而B 正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB +AD =AC，只有平行四边形才能成立.故A 、C 、D 均不正确.知识点二 空间向量的加、减运算 【例2】如图所示，已知平行六面体ABCD —A1B1C1D1，M 为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式． （1）1AA +11B A ；（2）2111B A + 2111D A ； （3）1AA +2111B A +11D A ； （4）AB +BC +1CC +11A C +A A 1;解 （1）11AA B B + =1AB . （2）11111122A B A D +=11111()2A B A D +=11112A C A M =（3）111111122AA A B A D ++11AA A M AM =+=（4）1110AB BC CC C A +++=【反思感悟】 向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，同平面向量相同，封闭图形，首尾连续向量的和为0..【跟踪训练】已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′,化简下列向量表达式: (1)';AA CB -(2)'''''AB B C C D ++解 (1)'AA CB -='AA BC + ='''AA A D AD += A(2)''''''AB B C C D AD ++=知识点三 向量加减法则的应用【例3】在如图所示的平行六面体中，求证：''2'AC AB AD AC ++=证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴ ,AC AB AD =+ '',AB AB AA =+ AD ′→＝AD →＋AA ′→.∴''AC AB AD ++=(')AD AA ++=()(')AB AD AB AA +++=2('),AB AD AA ++又由于 AB ＝CC ′→，AD →＝BC →，∴ AB ＋AD →＋AA ′→= AB ＋BC →＋CC ′→=AC ＋CC ′→＝AC ′→，∴AC ＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.【反思感悟】 在本例的证明过程中,我们应用了平行六面体的对角线向量AC ′→='AB AD AA ++,该结论可以认为向量加法的平行四边形法则在空间的推广(即平行六面体法则). 【跟踪训练】在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，画出表示下列向量的有向线段.（1）AB ＋AD →＋1AA ;；（2）11AB CC DD +-;. 解 如图，（1）AB ＋AD →＋1AA = 11AC AA AC +=;(2)11AB CC DD +-=111111AB BB AA AB AA A B +-=-= 图中1AC ，11A B 为所求.课堂小结：1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a －b 表示的是由减数b 的终点指向被减数a 的终点的一条有向线段．课后作业一、选择题1．判断下列各命题的真假：①向量AB 的长度与向量BA →的长度与向量BA →的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 ①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑥假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．2. 已知向量AB ，AC →，，AC →，BC → 满足 |AB →| ＝ |AC →|＋|BC →|，则( )A ．AB ＝AC →＋BC → B ．AB ＝－AC →－BC →C ．AC →与BC →同向D ．AC →与CB →与CB →同向答案 D解析 由 |AB | = |AC → | + |BC → | = |AC → | + |CB →|,知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →与CB →同向3. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量表达式1DD AB BC-+化简后的结果是（ ） A.1BD B .1D BC .1BD D.1DB答案 A解析 如图所示，因 1DD ＝AA 1→，DD 1→－AB →＝AA 1→－AB →＝1BA ，1BA ＋BC →＝BD 1→，∴1DD －AB →＋BC →＝BD 1→.4．空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( )A .EB ＋BF →＋EH →＋GH →＝0 B . EB ＋FC →＋EH →＋GE →＝0C . EF ＋FG →＋EH →＋GH →＝0D .EF －FB →＋CG →＋GH →＝0答案 B解析 如图所示，EB ＋FC →＋EH →＋GE →＝(EB ＋BF →)＋(GE →＋EH →)= EF ＋FE →＝0.5. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，如图所示，下列各式中运算的结果为向量1BD 的是（ ）① (11A D －A 1A →)－AB →；② (BC ＋BB 1→)－D 1C 1→；③（AD －AB →)－2DD 1→；④（11B D －A 1A →)＋DD 1→.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案 A(11A D －A 1A →)－AB → ＝ AD 1→－AB →＝BD 1→.(BC ＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→.∴①、②正确．二、填空题6. 如图所示 a ，b 是两个空间向量，则AC 与A ′C ′→与A ′C ′→是________向量，AB →与B ′A ′→是________向量．答案 相等 相反7. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,化简向量表达式AB →+ CD + BC DA 的结果为 ________．答案 0 解析AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DA →)=AC ＋CA →＝0. 三、解答题8．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连结AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简（1）AB →＋BC →＋CD →，（2）AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解 （1）AB →＋BC →＋CD → = AC ＋CD →＝AD →.(2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 中点．∴BE ＝EC →，EF →＝GD →.∴AB →＋GD →＋EC → = AB →＋BE →＋EF →= AF9. 已知ABCD 是空间四边形,M 和N 分别是对角线AC 和BD 的中点.求证: MN = 1()2AB CD + 证明MN =MA AB BN ++又MN =AB MC DN ++,∴2MN = ()()MA MC AB CD BN DN +++++ 由于M,N 分别是AC 和BD 的中点,所以．MA MC += 0.∴MN ＝ 12(AB →＋CD →)．10．设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求证：1(3AG AB =+AC →＋AD →)．证明 连结BG ，延长后交CD 于E ，由G 为△BCD 的重心， 知 23BG BE =∵E 为CD 的中点，∴BE ＝12BC →＋12BD →.∴AG ＝AB →＋BG → = AB →＋23BE →=AB →＋13(BC ＋BD →)=AB → +1()()3AC AB AD AB ⎡⎤-+-⎣⎦=13(AC →＋AC →＋AD →)．二、空间向量的数乘运算知识梳理知识点一 空间向量的运算【例1】已知ABCD —A ′B ′C ′D ′是平行六面体.(1)化简12'23AA BC AB ++(2)设M 是底面ABCD 的中心,N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点,设'MN AB AD AA αβγ=++,试求α,β,γ的值.解 (1)方法一 取AA ′的中点为E,则1''2AA EA =又'',BC A D ='',AB D C =取F 为D ′C ′的一个三等分点(D ′F=23D ′C ′),则D ′F =23AB ∴12'AA +BC +23AB ='EA +''A D +'D F =EF方法二 取AB 的三等分点P 使得23PB AB =, 取CC ′的中点Q,则 12 'AA +BC +23AB =122'3CC BC AB ++=CQ BC PB ++=,PB BC CQ PQ ++=(2) 13'24MN MB BN DB BC =+=+= 13()(')24DA AB BC CC +++ = 13()(')24AD AB AD AA -+++=113'244AB AD AA ++ ∴α＝12，β＝14，γ＝34.【反思感悟】 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时可转化为加法，也可按减法进行运算．本题第一问是开放式的表达式，形式不唯一，有多种解法．【跟踪训练】如图所示,平行六面体A 1B 1C 1D 1- ABCD ，M 分AC 成的比为12，N 分A 1D →成的比为12，N 分A 1D →成的比为2，设AB ＝ a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a 、b 、c 表示MN ，解 11111233MN MA AA A N CA AA A D =++=++ = 1112()33AC AA A A AD -+++ ＝－13(a ＋b )＋c ＋23(－c ＋b )＝－13a ＋13b ＋13c知识点二 共线问题【例2】设空间四点O ，A ，B ，P 满足,OP mOA nOB =+其中m+n=1，则（ ）A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D. AB 与AP →与AP →的方向一定相同 答案 A解析 已知m+n=1，则1,m n =- (1)OP n OA nOB OA nOA nOB =-+=-+()OP OA n OB OA ⇒-=-AP nAB⇒=因为AB ≠ 0 .所以AP 和AB 共线，即点A ，P ，B 共线，故选A.【反思感悟】（1）考察点P 是否在直线AB 上，只需考察AP 与AB 是否共线；（2）解决本题的关键是利用条件m+n=1把证明三点共线问题转化为证明AP 与AB 是否共线.【跟踪训练】已知A 、B 、P 三点共线，O 为空间任意一点，OP OA OB αβ=+求α+β的值. 解 ∵A 、B 、P 三点共线，由共线向量知， 存在实数t ，使AP = t AB由AP = OP -OA ，AB = OB -OA代入得：(1)OP t OA tOB =-+；又由已知OP OA OB αβ=+，∴α＝1－t ，β＝t ，∴α＋β＝1.知识点三 共面问题【例3】已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH .证明 (1)由已知得EF 綊HG ，∴,EG EF FG FG HG =+=+∵FG ,HG 不共线，∴,,,EG FG HG 共面且有公共点G ，∴E ，F ，G ，H 四点共面.（2）BD BF FG GD EF EB EG =++=-+EF HD HG -+- ()EG AH AE HG EG EH HG =+--=+- 22EG EG GH GH EG GH =+++=+∵EG 与GH 不共线，∴BD →，EG →，GH →共面．由于BD 不在平面EFGH 内，所以BD ∥平面EFGH .【反思感悟】 利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练的进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．【跟踪训练】用向量法证明：空间四边形ABCD 的四边中点M ，N ，P ，Q 共面．证明 △AMQ 中,MQ MA AQ =+=11()22BA AD BD += △ CNP 中, NP NC CP =+ =11()22BC CD BD +=所以MQ NP =,所以M,N,P,Q 四点共面.课堂小结：1．向量共线的充要条件及其应用(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说a ，b 共线时，表示a ，b 的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a ∥b 时，也具有同样的意义．(2)“共线”这个概念具有自反性a ∥a ，也具有对称性，即若a ∥b ，则b ∥a .(3)如果应用上述结论判断a ，b 所在的直线平行，还需说明a (或b )上有一点不在b (或a )上．AB ＝λBC →或AB ＝μAC →即可．也可用“对空间任意一点O ，有OB →＝tOA →＋(1－t )OC →”来证明三点共线．2．向量共面的充要条件的理解MP ＝xMA →＋yMB →.满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任意一点O ，有OB ＝(1－t )OA →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P 、A 、B 、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．课后作业一、选择题1．下列命题中是真命题的是( )A ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反 C. 若向量,AB CD 满足 | AB |>| CD |，且AB 与 CD 同向，则AB >CDD. 若两个非零向量 AB 与CD 满足AB + CD = 0，则AB ∥CD →答案 D解析 A 错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面． B 错．因为|a |＝|b |仅表示a 与b 的模相等，与方向无关．C 错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB >CD →这种写法．D ．对.∵AB + CD = 0 ,∴AB = CD -，∴AB 与CD 共线，故AB ∥CD ，正确.2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( )A ．AB +＋BC →＝AC →B ．AB －BC →＝AC →C ．AB ＝BC →D ．|AB |＝|BC →| 答案 C3．在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM ＝2OA →－OB →－OC →B ．OM ＝15OA →＋13OB →＋12OC →C ．MA ＋MB →＋MC →＝0D ．OM ＋OA →＋OB →＋OC →＝0 答案 C解析 若有MA ＝ xMB → ＋ yMC →，则M 与点A 、B 、C 共面，或者OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →且x ＋y ＋z ＝1，则M 与点A 、B 、C 共面，A 、B 、D 三项不满足x ＋y ＋z ＝1，C 项满足MA →＝xMB →＋yMC →，故选C.4．已知向量a 与b 不共线，则a ，b ，c 共面是存在两个非零常数λ，μ使c ＝λa ＋μb 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 验证必要性时，当a ，b ，c 共面且a ∥c (或b ∥c )时不能成立，不能使λ，μ都非零． 5. 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量 1111,,D A D C A C 是（ ）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量 答案 C解析 如图所示，因为11,D C D A AC -=而11AC A C =,∴ 1111D C D A A C -=，即1111D C D A A C =+,而1D A 与 11A C 不共线，所以1D C ，1D A ，11A C 三向量共面.二、填空题6．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP ＝2OA →＋OB →＋λOC →，则λ＝________.答案 －2解析 P 与不共线三点A ，B ，C 共面，且OP ＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则x ＋y ＋z ＝1是四点共面的充要条件．7．三个向量x a －y b ，y b －z c ，z c －x a 的关系是________．(填“共面”“不共面”“无法确定是否共面”)． 答案 共面解析 因x a －y b ，y b －z c ，z c －x a 也是三个向量，且有z c －x a ＝－(y b －z c )－(x a －y b )所以三向量共面． 8. 在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F.若AC = a ,B BD = b , 则 AF 等于 ________．答案 23a ＋13b三、解答题9 如图所示，E ，F ，G ，H 分别为正方体ABCD —A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1，B1C1，D1C1的中点．求证：(1)E ，F ，D ，B 四点共面；(2)平面AEF ∥平面BDHG.证明 （1）∵ 11ED EB BD EB B D =+=+,∴,,ED EB EF 共面且具有公共点E ， ∴E ，F ，D ，B 四点共面.(2)∵E ，F ，G ，H 分别是A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，D 1C 1的中点，EF ＝12B 1D 1→＝GH →，11AF AA A F =+ ＝ BB 1→＋B 1G →＝BG →，∴EF ∥GH ，AF ∥BG ，∴EF ∥平面BDHG ，AF ∥平面BDHG ，又AF ∩EF ＝F ，∴平面AEF ∥平面BDHG .10．对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线与另一对边平行于同一平面．证明 . 如图，利用多边形加法法则可得，EF EA AD DF =++ ,EF ＝EB →＋BC →＋CF →①又E ，F 分别是AB ，CD 的中点，故有EA ＝ －EB → ，DF →＝－CF →， ② 将②代入①后，两式相加得2EA ＝ AD →＋BC →， ∴1122EF AD BC =+ ， 即 EB →与BC →，AD →共面， ∴EF 与AD ， BC 平行于同一平面．三、空间向量的数量积运算知识梳理知识点一 求两向量的数量积【例1】如图所示，已知正四面体O-ABC 的棱长为 a ，求AB ·OC ..解 由题意知 |AB | = |AC | = | AO | = a ，且〈AB ，AO〉= 120°，〈AB ，CA 〉= 120°，AB ·OC =AB ·（OA CA - ） = AB ·OA AB -·CA , = a 2cos120°-a 2cos120°＝0【反思感悟】 在求两向量的夹角时一定要注意两向量的起点必须在同一点，如〈AB ，AC →〉＝60°时，〈AB ，CA →〉＝120°.【跟踪训练】已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为AB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，试计算：（1）BC · 1ED ；（2）BF · 1AB ； （3）EF ·1FC .解 如图所示，设AB ＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.（1） BC ·1ED = b ·［12（c -a ）+b ］= | b |2 = 42 = 16 ..(2)BF · 1AB = （c -a +12b ）·（ a +c ）= | c |2-| a |2 = 22 - 22 = 0. （3）EF ·1FC = [12(c －a )＋12b ]·(12b ＋a )＝12(－a ＋b ＋c )·(12b ＋a )＝－12|a |2＋14|b |2＝2.知识点二 利用数量积求角【例2】如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值．解 . 因BC AC AB =-,所以 OA ·BC =OA ·AC - OA ·AB=|OA ||AC |cos 〈OA ，AC 〉-| OA | | AB | cos 〈OA , AB 〉 =8×4×cos135°- 8×6×cos120° 16224,=-+所以cos 〈OA ,BC 〉=OA →·BC→|OA →||BC →|.＝24－1628×5＝3－225.即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.【反思感悟】 在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题．需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补．【跟踪训练】在二面角α－l －β中，A ，B ∈α，C ，D ∈l ，ABCD 为矩形，P ∈β，P A ⊥α，且P A ＝AD ，M 、N 依次是AB 、PC 的中点．(1)求二面角α－l －β的大小； (2)求证：MN ⊥AB ；(3)求异面直线P A 与MN 所成角的大小． (1)解 ∵PA ⊥α，l ⊂α∴PA ⊥l ，又∵AD ⊥l ，PA ∩AD=A ， ∴l ⊥平面PAD ，∴l ⊥PD ，故∠ADP 为二面角α-l-β的平面角， 由PA=AD 得∠ADP=45°. ∴二面角α-l-β的大小为45°.（2）证明 PC ＝PD →＋DC →，PN ＝12PC →＝12PD →＋12DC →＝12(AD →－AP →)＋12DC →，AN ＝PN →－P A → ＝PN → ＋AP →，∴AN ＝12AD ＋12AP →＋12DC →， MN ＝AN →－AM →= 12AD ＋12AP →＋12DC →－12DC →=12AD ＋12AP →，∵AD ⊥AB ，AP ⊥AB ∴ AD →·AB ＝ 0，AP →·AB ＝0， ∴ MN ⊥AB . (3)解 设AP ＝a ， 由(2)得 MN ＝12AD ＋12AP → AP ·AN ＝12AD ·AP →＋12AP →·AP →＝12a 2， |AP |＝|AD →|＝a ， | MN |＝(12AD →＋12AP →)2＝14AD →2＋14AP →2＝22a ， ∴ cos< AP , MN >＝·||?||AP AN AP AN ＝22，即异面直线P A 与MN 所成角为45°.知识点三 利用数量积证明垂直关系【例3】如图所示，m ，n 是平面α内的两条相交直线．如果l ⊥m ，l ⊥n ，求证：l ⊥α .证明 在α内作任一直线g ，分别在l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，n ，g . 因为m 与n 相交，所以向量m ，n 不平行．由向量共面的充要条件知，存在惟一的有序实数对(x ，y )，使g ＝x m ＋y n . 将上式两边与向量l 作数量积， 得l·g ＝x l ·m ＋y l·n .因为l·m ＝0，l·n ＝0，所以l·g ＝0, 所以l ⊥g .即l ⊥g .这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线， 所以l ⊥α.【反思感悟】 证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直，即证明两向量数量积为零．【跟踪训练】已知：在空间四边形OABC 中，OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，求证：OC ⊥AB .证明 ∵OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，∴OA ·BC = 0，OB ·AC = 0.∵ OC ·AB ＝(OB +BC )· ( AC →+ CB )= OB ·AC →＋OB →·CB →＋BC →·AC →＋BC →·CB →=OB · CB →＋BC →·(AC →＋CB →)= OB ·CB →＋BC →·AB ＝BC → · (AB ＋BO →)＝BC →·AO →＝0，∴ OC ⊥AB →，∴OC ⊥AB . 课堂小结：空间两个向量a ，b 的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉，这里〈a ，b 〉表示空间两向量所成的角(0≤〈a ，b 〉≤π)．空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质．应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题，可以求两直线夹角问题和线段长度问题．即(1)利用a ⊥b ⇔a·b ＝0证线线垂直(a ，b 为非零向量)．(2)利用a·b ＝|a|·|b |cos 〈a ，b 〉，cos θ＝a·b|a|·|b |，求两直线的夹角．(3)利用|a |2＝a·a ，求解有关线段的长度问题．课后作业一、选择题1．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 答案 A解析 a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝|a||b | ⇔cos 〈a ，b 〉＝1⇔〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不能成立．2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( ) A.7 B.10 C.13 D ．4 答案 C解析 |a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6·cos60°＋9＝13.3．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c 答案 B解析 A 中若a ⊥b ，则有a·b ＝0，不一定有a ＝0，b ＝0. C 中当|a |＝|b |时，a 2＝b 2，此时不一定有a ＝b 或a ＝－b .D 中当a ＝0时，a·b ＝a·c ，不一定有b ＝c .4．已知四边形ABCD 满足：－*6]·OC →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·－*6]·OC →>0，则该四边形为( ) A ．平行四边形 B ．梯形C ．平面四边形D ．空间四边形 答案 D 5．已知a 、b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c ·a ＝0且c ·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B 二、填空题6．已知向量a 、b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则a 与b 的夹角为________． 答案 45°解析 因为a 与2b －a 垂直，所以a ·(2b －a )＝0. 即2a·b －|a |2＝0，所以2|a||b |·cos 〈a ，b 〉－|a |2＝0，所以42cos 〈a ，b 〉－4＝0⇒cos 〈a ，b 〉＝22， 所以a 与b 的夹角为45°.7. 已知线段AB,BD 在平面α内,∠ABD=120°,线段AC ⊥α,如果AB=a,BD=b,AC=c,则| CD |为____________．答案 a 2＋b 2＋c 2＋ab解析 |CD |2＝|AB ＋BD →－AC →|2＝AB 2＋BD →2＋AC →2＋2AB ·BD →－2AB ·AC →－2BD →·AC →＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab cos60°＝a 2＋b 2＋c 2＋ab .|CD |＝a 2＋b 2＋c 2＋ab .＝a 2＋b 2＋c 2＋ab . 8．已知|a |＝32，|b |＝4，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，m ⊥n ，则λ＝________.答案 －32解析 由m·n ＝0，得(a ＋b )·(a ＋λb )＝0，列方程解得λ＝－32.三、解答题9. 如图，已知E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1的中点，试求向量11A C 与DE 所成角的余弦值.解 设正方体的棱长为m ，AB ＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝m .a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.又∵11A C ＝A 1B 1→＋B 1C 1→＝AB ＋AD →＝a ＋b ，DE ＝DD 1→＋D 1E →＝DD 1→＋12D 1C 1→＝c ＋12a .∴ 11A C ·DE →＝(a ＋b )·(c ＋12a )＝a ·c ＋b ·c ＋12a 2＋12a ·b ＝12a 2＝12m 2.又∵| 11A C |＝2m ，|DE →|＝2m ， ∴cos 〈11A C ，DE →〉= 1111||?||A C DE A C DE＝12m 22m ·52m＝1010. 10．已知在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.(1)求AC ′的长(如图所示)；(2) 求 'AC 与AC →的夹角的余弦值．解 (1)∵'AC = AB + AD + 'AA , ∴|'AC |2 = (AB +AD + 'AA )2=| AB |2 + | AD |2+ | 'AA |2 + 2 (AB ·AD +AB ·'AA + AD ·'AA )= 42 + 32 + 52 +2（0+10+7.5）= 85. ∴|'AC | ＝ 85. (2) 方法一 设'AC 与AC 的夹角为θ,∵四边形ABCD 是矩形,∴| AC | = 22345+=。

空间向量与立体几何例题和知识点总结在高中数学的学习中，空间向量与立体几何是一个重要且具有一定难度的板块。

通过空间向量的方法，我们能够更加简便地解决立体几何中的许多问题。

接下来，让我们一起通过一些例题来深入理解，并总结相关的知识点。

一、空间向量的基本知识点1、空间向量的概念：空间中具有大小和方向的量称为空间向量。

2、空间向量的表示：可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。

3、空间向量的运算：包括加法、减法、数乘以及数量积。

加法和减法满足三角形法则和平行四边形法则。

数乘：λ(a ＋ b) ＝λa ＋λb数量积：a·b ＝｜a|·｜b|·cosθ（θ为两向量的夹角）二、空间向量在立体几何中的应用1、证明线线平行设直线 l₁和 l₂的方向向量分别为 a 和 b，如果 a ＝λb（λ 为非零实数），则 l₁∥ l₂。

例 1：在长方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别为棱 AA₁，CC₁的中点，求证：BE ∥ DF 。

解：以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD₁所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系。

设长方体的长、宽、高分别为 a，b，c 。

则 B(a，b，0)，E(a，0，c/2)，D(0，0，0)，F(0，b，c/2)BE ＝（0，b，c/2)，DF ＝（0，b，c/2)因为 BE ＝ DF ，所以 BE ∥ DF 。

2、证明线线垂直设直线 l₁和 l₂的方向向量分别为 a 和 b，如果 a·b ＝ 0，则 l₁⊥l₂。

例 2：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，M，N 分别为棱 AB，CC₁的中点，求证：DM ⊥ MN 。

解：以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD₁所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系。

设正方体的棱长为 2。

则 D(0，0，0)，M(2，1，0)，N(0，2，1)DM ＝（2，1，0)，MN ＝（－2，1，1)DM·MN ＝－4 ＋ 1 ＋ 0 ＝－3 ≠ 0 ，所以 DM 与 MN 不垂直。

空间向量与立体几何一．空间向量及其运算1．空间向量及有关概念（1）共线向量定理：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

a 平行于b 记作a ∥b。

推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式 A O P O =a t+①其中向量a叫做直线l 的方向向量。

在l 上取a AB =，则①式可化为.)1(OB t OA t OP +-=②当21=t 时，点P 是线段AB 的中点，则 ).(21OB OA OP += ③①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式。

（2）向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面α平行或a在α平面内，我们就说向量a 平行于平面α，记作a ∥α。

注意：向量a∥α与直线a ∥α的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y ，使.b y a x p+=①推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使,MB y MA x MP +=④或对空间任一定点O ，有.MB y MA x OM OP ++=⑤在平面MAB 内，点P 对应的实数对（x, y ）是唯一的。

①式叫做平面MAB 的向量表示式。

又∵.,OM OA MA -=.,OM OB MB -=代入⑤，整理得.)1(OB y OA x OM y x OP ++--= ⑥由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA 、MB （或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件。