2019年重点中学自主招生考试数学试卷及答案

2019年上海中学自主招生数学试卷1.已知a≠0，求a|a|+a2|a2|+a3|a3|=______．2.因式分解：x3−3x+2=______．3.已知两二次方程ax2+ax+b=0与ax2+bx+b=0各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为______．4.求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为______个．5.已知点C(3,5)，D(0,1)，A、B两点在x轴上且AB=2.已知点A在x轴右侧，求C ABCD的最小值为______．6.如图，正方形ABCD边长为2，点E、F分别为边AB、BC中点，AF分别交线段DE、DB于点M、N，则S△DMN=______．7.已知a>1，解方程：√a−√a+x=x．8.已知：|x i|<1(i=1,2,3,…,n)，且|x1|+|x2|+⋯+|x n|=1000+|x1+x2+⋯+x n|，则n的最小值为()A. 999B. 1000C. 1001D. 10029.已知，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D、E分别在边AC、AB上，且AD=2.当△ADE∽△ACB时，AE=______．10.如图，在△ABC中，AB=AC，过点B在∠ABC内部作任一射线，作AH⊥射线于点H，在图上取一点P，使得HP//BC，且HP=12BC.联结AP、CP，求证：AP⊥CP．11.一个正方形上每条边上有三个四等分点，由这些四等分点，最多可组成多少个三角形？答案和解析1.【答案】3或−1【解析】解：当a>0时，|a|=a，∴a|a|+a2|a2|+a3|a3|=1+1+1=3，当a<0时，|a|=−a，a |a|+a2|a2|+a3|a3|=−1+1−1=−1，∴，a|a|+a2|a2|+a3|a3|的值为3或−1，故答案为3或−1．分两种情况求：当a>0时，|a|=a，当a<0时，|a|=−a，即可求解．本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．2.【答案】(x−1)2(x+2)【解析】解：原式=x3+2x2−2x2−4x+x+2=x2(x+2)−2x(x+2)+(x+2)=(x2−2x+1)+(x+2)=(x−1)2(x+2)．故答案为：(x−1)2(x+2)．根据分组分解法的法则原则将x3−3x+2分组，再利用提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可．本题考查分组分解法分解因式，掌握分组分解法的分组原则，即因式分解在组内能进行，在组与组之间也能进行，是正确解答的关键．3.【答案】3【解析】解：设方程两根分别为：m、1m ，则{am2+am+b=0bm2+bm+a=0相减可得：(a−b)(m2+m−1)=0，若a≠b，则m2+m−1=0，得m−1m=−1，∴m2+1m2=(m−1m)2+2=3，故答案为3．设方程两根分别为：m、1m ，则{am2+am+b=0bm2+bm+a=0，两式相减得到(a−b)(m2+m−1)=0，即可得到m2+m−1=0，得m−1m =−1，进而得到m2+1m2=(m−1m)2+2=3．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根与系数的关系的应用，用到的知识点：x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．4.【答案】372【解析】解：设较小的两边长为x、y且x≤y，则x≤y<16，x、y∈N∗．当x=1时，y=1～15，三角形有15个；当x=2时，y=2～15，三角形有27个；当x=3时，y=3～15，三角形有36个；当x=4时，y=4～15，三角形有42个；当x=5时，y=5～15，三角形有45个；当x=6时，y=6～15，三角形有45个；当x=7时，y=7～15，三角形有42个；…当x=15时，y=15，三角形有1个．所以不同三角形的个数为15+27+36+42+45+45+42+36+28+21+15+10+6+3+1=372．故答案为：372．根据题意，设较小的两边长为x、y且x≤y，可得关系式x≤y<16，x、y∈N∗；分别令x=1、2、3、4、5、......、15，分别求得y的可取值，由分类计数原理，计算可得答案．本题考查了三角形三边关系，关键是列出约束条件，然后寻找x=1、2、3、4、5、......、15时，y的取值个数的规律，再用分类计数原理求解．5.【答案】7+√37【解析】解：如图：将D沿x轴正方向平移2个单位得D′，再作D′关于x轴的对称点D′′，∵DD′//AB，DD′=AB，∴四边形ABDD′为平行四边形，∴BD=AD′，∵D′关于x轴的对称点为D′′，∴BD=AD′′，∴BD+AC=AD′′+AC≥D′′C，∵C(3,5)，D(0,1)，∴D′′的坐标为(2,−1)，∴D′′C=√(3−2)2+(5+1)2=√37，∵CD=√(3−0)2+(5−1)2=5，∴C ABCD的最小值为AB+CD+D′′C=7+√37．故答案为：7+√37．将D沿x轴正方向平移2个单位得D′，再作D′关于x轴的对称点D′′，先证明四边形ABDD′为平行四边形得BD=AD′，再由D′关于x轴的对称点为D′′得BD=AD′′，从而得BD+AC= AD′′+AC≥D′′C，再由两点距离公式求出D′′C、CD、AB即可．本题主要考查了最短距离问题，将D沿x轴正方向平移2个单位得D′，再作D′关于x轴的对称点D′′，将BD+AC转化为AD′′+AC是解决此题的关键．6.【答案】815【解析】解：∵正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴AD =AB =2，AE =BF =1，∠EAD =∠FBA =90°，∴DE =AF =√22+12=√5，△ADE 和△BAF 中，{AD =AB ∠EAD =∠FBA AE =BF，∴△ADE≌△BAF(SAS)，∴∠ADE =∠BAF ，而∠BAF +∠DAM =90°，∴∠ADM +∠DAM =90°，∴AM ⋅DE =AE ⋅AD ，即AM ×√5=1×2，∴AM =2√55，∴DM =√AD 2−AM 2=√22−(2√55)2=4√55， ∵AD//CB ， ∴AN ：NF =AD ：BF =2：1，∴AN =23AF =2√53， ∴MN =2√53−2√55=4√515， ∴S △DMN =12DM ⋅MN =12×4√55×4√515=815． 故答案为：815． 根据正方形的性质及勾股定理得DE 的长，根据全等三角形的判定与性质得∠ADM +∠DAM =90°，然后由相似三角形的对应边成比例及三角形的面积公式可得答案． 此题考查的是全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握其性质定理是解决此题关键．7.【答案】解：设y =√a +x ，则y 2=a +x①，则原式变形为：√a −y =x ，∴x 2=a −y②，∴(x+y)(x−y+1)=0，∴x+y=0或x−y+1=0，当x+y=0时，∵x≥0，y≥0，∴x=y=0，∴a=0，此种情况不符合题意；当x−y+1=0时，代入①得：(x+1)2=a+x，，解得：x=−1±√4a−32∵x≥0，(a>1)，∴x=−1+√4a−32∴原方程的解为：x=−1+√4a−3(a>1)．2【解析】设y=√a+x，代入原方程可得√a−y=x，两式平方后相减可得x2−y2=−y−x，分解因式可得x+y=0或x−y+1=0，分情况计算可得方程的解．本题考查了解无理方程，利用换元法将原方程变形后进行因式分解可解答．8.【答案】D【解析】解：∵n个有理数x1、x2...x n满足：|x i|<1(i=1,2,3,…,n)，∴|x1|<1，|x2|<1，|x3|<1，...，|x n|<1；∴|x1|+|x2|+⋯+|x n|<1+1+...+1=n，即|x1|+|x2|+⋯+|x n|<n，∵|x1|+|x2|+⋯+|x n|=1000+|x1+x2+⋯+x n|，且|x1+x2+⋯+x n|≥0，∴1000+|x1+x2+⋯+x n|≥1000，即|x1|+|x2|+⋯+|x n|≥1000；∴1000≤|x1|+|x2|+⋯+|x n|<n，∴n>1000，∵n为整数，∴n的最小值为1002．本题利用绝对值和整数问题的相关内容求解即可．本题考查绝对值和整数的相关内容，解题的关键是熟记绝对值的性质．9.【答案】83【解析】解：∵△ADE∽△ABC，∴ADAC =AEAB，即26=AE8，解得AE=83．故答案为：83．根据相似三角形对应边成比例解答即可．本题考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边．10.【答案】证明：如图，延长CP、BH，交点为点Q，连结AQ，∵HP//BC，∴△QHP∽△QBC，∴QHQB =HPBC=QPQC，∵HP=12BC，∴QH=12QB，QP=12QC，∴QH=HB，QP=PC，∵AH⊥QB，∵AB =AC ，∴AC =AQ ，又∵QP =PC ，∴AP ⊥CP ．【解析】延长CP 、BH ，交点为点Q ，连结AQ ，由HP//BC 推出△QHP∽△QBC ，得到QH QB =HP BC =QP QC =12，推出QH =HB ，QP =PC ，再根据等腰三角形的判定与性质求解即可． 此题考查了平行线的性质及等腰三角形的性质，熟记平行线的性质、等腰三角形的性质及作出合理的辅助线是解题的关键．11.【答案】解：根据题意得，C 123−4=216，∴最多可组成216个三角形．【解析】一个正方形上每条边上有3个四等分点，从12个点中无顺序差别地选择3个点进行组合组成一个三角形，但在同一条边上的3个点构不成三角形，由此解答即可． 本题主要考查了排列组合，考虑到在同一条边上的3个点构不成三角形时解决此题的关键．。

2019 年南平一中自主招生考试数学学科试卷和答案南平一中第二批次自主招生（实验班）考试数学学科试卷考试时间： 90 分钟满分100分就读学校：姓名：考场号：座位号：一、选择题（本大题共10 小题，每小题 3 分，共 30 分。

每小题只有一个正确答案）1.实数p、q、r在数轴上的位置如图，化简p r p 2p q 2q r 2的值为（）A. 2r pB.pC. 3 p2qD. 3 p2r2.已知a为实常数，则下列结论正确的是（）A. 关于x的方程a x a 的解是 x1B. 关于x的方程a x a 的解是 x1C. 关于x的方程a x a 的解是 x1D. 关于x的方程a 1 x a 1的解是 x 13.抛物线y ax2bx c (a0) 的对称轴为直线x1，图象如图所示，给出以下结论：①b24ac ；②abc 0；③2a b0 ；④ 9a3b c 0 ；错误的结论的个数为（）A. 0B.1C.2D.34.设方程(k1) x22x 1 0 的两根为 x1、 x2122，第3题图，若x1 x2x1x2则满足条件的整数k 的值有（）A. 无数个B.2, 1,0C. 1 , 0D. 2 , 05.如图，平行四边形ABCD 中，点 E 在边 AD 上，以 BE 为折痕，将 ABE 向上翻折，点 A 正好落在 CD 上的点 F ，若FDE 的周长为 29，FCB 的周长为51，则FC的长为（）A． 9 B.10 C.11 D.126.已知a, b都是实数且1110 ，则b第 5题图的值为（）a b a b aA．1 5 或125 B.1 5 或 15 C.15 D.15222227.如图，在Rt ABC 中， AC BC，过 C作CD AB ，垂足为 D ，若AD 3， BC2，则ABC 的内切圆的面积为（）A． B. 4 2 3 C. 3 1 D. 28.已知x是正整数，则当函数y1取得最小值时x 的值为（）第7题图x290A. 16B.17C.18D.199.观察下列数的规律：1,1, 2, 3 ,5 ,8,，则第9 个数是（）A. 21B.22C.33D.3410.如图，在四边形ABCD 中，B135，C120， AB3，AD 16，CD 2 2 ，则BC边的长为（）A．2251C.3D.2B.2第 10题图22二、填空题（本大题 4 小题，每小题 3 分，共 12 分）m2n22mnm n , mn 0的解为11.xx 1x 1 x 1x 112.甲、乙、丙三人在一起做“剪子、布、锤子”游戏，约定每个人在每一个回合中只能随机出“剪子、布、锤子”中的一个，那么在一个回合中三个人都出“锤子”的概率是13.矩形ABCD中，AB 4 , AD 3 ，将该矩形按照如图所示位置放置在直线AP 上，然后不滑动的转动，当它转动一周时（A A1）叫做一次操作，则经过 5 次这样的操作，顶点 A 经过的路线长等于14.在ABC 中， AB AC 5 ，cos B 417 为半径的圆经过B、C 两点，，若以 M 为圆心，5则线段 AM 的长等于三、解答题（本大题 5 小题，共 58 分）15.（本题满分7 分）将下列式子因式分解：（ 1）x2x a a2（2）x33x216.（本题满分9 分）1（ 1）化简x1；1111x（ 2）已知x21，用含 a 的式子表示x.x4x2 1 a1x 2117.（本题满分12 分）x2k x0已知函数 y2 x k x ，其中 k 为实数.x20（1）当k 0时，在所给的网格内做出该函数图象的简图，并利用图象求 x 0时，函数的最大值；（ 2）当k变化时，探究函数图象与x 轴的交点个数.18.（本题满分 12 分）如图①，正方形 ABCD 的边长为 7， ADB 的角平分线 DE 交 AB 与点 E .（ 1）求BE的值；AE（ 2）若 P 在线段 BD 上运动，如图②，当 BP 为何值时， EP AP 的值最小 .第 18 题图①第 18 题图② 第 18 题备用图19.（本题满分 18 分）如图①，抛物线yax 2 c a 0 与 y 轴交于点 A ，与 x 轴交于 B 、C 两点（点 C 在 x 轴正半轴上）， ABC 为等腰直角三角形， 且面积为 4. 现将抛物线沿 BA 方向平移，平移后的抛物线过点 C 时，与 x 轴的另一个交点为 E ，其顶点为 F ，对称轴与 x 轴的交点为 H .（ 1） 求 a 、 c 的值；（ 2） 连接 OF 、CF ，求证 : OFE FCE ;（ 3） 在 y 轴上是否存在点P ，当以 PE 为直径的圆交直线 FH 于点 Q 时，以点 P 、 Q 、E 为顶点的三角形与EOP 全等，若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 .第 19 题图① 第 19 题图② 第 19 题备用题2019 年南平一中自主招生考试数学学科试卷和答案南平一中第二批次自主招生（实验班）考试数学学科答案一、选择题（每小题3 分，共 30 分。

2019年四川省成都七中自主招生数学试卷副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若M =5x 2−12xy +10y 2−6x −4y +13(x 、y 为实数)，则M 的值一定是( )A. 非负数B. 负数C. 正数D. 零 2. 将一个棱长为m(m >2且m 为正整数)的正方体木块的表面染上红色，然后切成m 3个棱长为1的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，则m 等于( ) A. 16 B. 18 C. 26 D. 32 3. 已知6a 2−100a +7=0以及7b 2−100b +6=0，且ab ≠1，则ab 的值为( )A. 503B. 67C.1007D. 764. 若a =√3√2+√3+√5，b=2+√6−√10，则ab 的值为( )A. 12B. 14√2+√3√6+√105. 满足|ab|+|a −b|−1=0的整数对(a,b)共有( )A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个6. 在凸四边形ABCD 中，E 为BC 边的中点，BD 与AE 相交于点O ，且BO =DO ，AO =2EO ，则S △ACD ：S △ABD 的值为( ) A. 2：5 B. 1：3 C. 2：3 D. 1：27. 从1到2019连续自然数的平方和12+22+32+⋯+20192的个位数字是( )A. 0B. 1C. 5D. 9 8. 已知x +y +z =0，且1x+1+1y+2+1z+3=0，则代数式(x +1)2+(y +2)2+(z +3)2的值为( ) A. 3 B. 14 C. 16 D. 369. 将一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x 、y 的方程组{ax +by =22x +y =3，只有正数解的概率为( ) A. 112B. 16C. 518D. 133610. 方程3a 2−8a −3b −1=0，当a 取遍0到5的所有实数值时，则满足方程的整数b 的个数是( ) A. 12个 B. 13个 C. 14个 D. 15个11. 若一个三角形的三边和为40，且各边长均为整数，则符合条件的三角形的个数为( ) A. 31个 B. 32个 C. 33个 D. 34个12. 若关于x 的方程x 2+ax +b −3=0有实根，则a 2+(b −4)2的最小值为( )A. 0B. 1C. 4D. 9二、填空题（本大题共7小题，共52.0分）13.已知x=3+√132，则代数式x4−3x3−3x+1的值为______．14.在正十边形的10个顶点中，任取4个顶点，那么以这4个顶点为顶点的梯形有______个．15.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，D为AB中点，E为边BC上一点，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，使△A′DE与△BDE重叠部分的面积占△ABE面积的14，则BE的长为______．16.已知关于x的方程√x2−2x+1−√x2−4x+4+2√x2−6x+9=m恰好有两个实数解，则m的取值范围为______．17.如图，PA切⊙O于点A，PE交⊙O于点F、E，过点A作AB⊥PO于点D，交⊙O于点B，连接DF，若sin∠BAO=23，PE=5DF，则PFPE=______．18.如图，四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=DC=12，∠B=∠D=90°.M和N分别是线段AD和线段BC上的点，且满足BN=DM，则线段MN的最小值为______．19.若−12<x<1，x1+x−2x2=a0+a1x+a2x2+a3x3…+a n x n，则a2+a3=______．三、解答题（本大题共2小题，共38.0分）20.已知二次函数y=x2+(a−7)x+6，反比例函数y=ax(1)当a=2时，求这两个函数图象的交点坐标；(2)若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条件的正整数a的值；(3)若这两个函数的交点都在直线x=12的右侧，求a的取值范围．21.已知：四边形ABCD中，点E、F分别为边AD、AB上的点，连接BE、DF相交于点G，且满足∠ADF=∠ABE(1)如图1，若DE=BG=n，cos∠AEB=23，GE=3，求AE的长(用含n的代数式表示)；(2)如图2，若ABCD为矩形，G恰为BE中点，连接CG，AE=1，作点A关于BE，求DE的长．的对称点A′，A′到CG的距离为3√24答案和解析1.【答案】A【解析】解：M =5x 2−12xy +10y 2−6x −4y +13=4x 2−12xy +9y 2+y 2−4y +4+x 2−6x +9=(2x −3y)2+(y −2)2+(x −3)2≥0，故M 一定是非负数． 故选：A ．通过配方法配出平方根，从而判断M 值的大小．本题考查了配方法的应用，熟练配方法的应用是解答此题的关键． 2.【答案】C【解析】解：将一个棱长为m(m >2且m 为正整数)的正方体木块的表面染上红色，然后切成m 3个棱长为1的小正方体，则只有一个表面染有红色的小正方体的数量为6(m −2)2， 恰有两个表面染有红色的小正方体的数量12(m −2)，∵只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，∴6(m −2)2=12×12(m −2)， 解得m 1=26，m 2=2(舍去)， 故选：C ．只有一个表面染有红色的小正方体的数量为6(m −2)2，恰有两个表面染有红色的小正方体的数量12(m −2)，根据只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，即可得到m 的值． 本题主要考查了正方体，解决问题的关键是抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题． 3.【答案】D【解析】解：∵7b 2−100b +6=0， ∴6×1b 2−100×1b+7=0，∵6a 2−100a +7=0，∴a 、1b 是方程6x 2−100x +7=0的两根， ∴由根与系数的关系可知：ab =76，故选：D ．根据根与系数的关系即可求出答案． 本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 4.【答案】B【解析】解：a =√3√2+√3+√5√2+√3−√5√2+√3−√5=√3(√2+√3−√5)2√6=√2(√2+√3−√5)4=b4．∴ab =14． 故选：B ． 将a 乘以√2+√3−√5√2+√3−√5可化简为关于b 的式子，从而得到a 和b 的关系，继而能得出ab 的值．本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式．5.【答案】C【解析】解：∵|ab|+|a−b|=1，∴0≤|ab|≤1，0≤|a−b|≤1，∵a，b是整数，∴|ab|=0，|a−b|=1或|a−b|=0，|ab|=1①当|ab|=0，|a−b|=1时，Ⅰ、当a=0时，b=±1，∴整数对(a,b)为(0,1)或(0,−1)，Ⅱ、当b=0时，a=±1，∴整数对(a,b)为(1,0)或(−1,0)，②当|a−b|=0，|ab|=1时，∴a=b，∴a2=b2=1，∴a=1，b=1或a=−1，b=−1，∴整数对(a,b)为(1,1)或(−1,−1)，即：满足|ab|+|a−b|=1的所有整数对(a,b)为(0,1)或(0,−1)或(1,0)或(−1,0)或(1,1)或(−1,−1)．∴满足|ab|+|a−b|−1=0的整数对(a,b)共有6个．故选：C．先判断出|ab|=0，|a−b|=1或|a−b|=0，|ab|=1，再借助a，b是整数即可得出结论．此题考查了绝对值，以及数对，分类讨论的思想，确定出|ab|=0，|a−b|=1或|a−b|= 0，|ab|=1是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：如图，过点B作BF//AD交AE延长线于F，连接OC，∵BF//AD∴∠F=∠DAO∵BO=DO，∠BOF=∠DOA∴△FOB≌△AOD(AAS)∴FO=AO∵AO=2EO∴FO=2EO∴EO=EF，∵E为BC边的中点∴BE=CE∵∠BEF=∠CEO∴△BEF≌△CEO(SAS)∴∠BFE=∠COE∴BF//OCAD//OC∴S△ACD=S△AOD，∵BD=2OD∴S△ABD=2S△AOD，∴S△ABD=2S△ACD∴S△ACD：S△ABD=1：2；故选：D ．过点B 作BF//AD 交AE 延长线于F ，连接OC ，先证明△FOB≌△AOD ，再证明△BEF≌△CEO ，可得AD//OC ，可得S △ACD =S △AOD ，由S △ABD =2S △AOD ，可得S △ACD ：S △ABD =1：2；本题考查了全等三角形判定和性质，三角形面积，平行线间的距离等知识点，有一定的难度，解题关键是作平行线构造全等三角形． 7.【答案】A【解析】解：以2为指数的幂的末位数字是1，4，9，6，5，6，9，4，1，0依次循环的，∵2019÷10=201…9，(1+4+9+6+5+6+9+4+1+0)×201+(1+4+9+6+5+6+9+4+1) =45×201+45 =9045+45 =9090，∴12+22+32+42+⋯+20192的个位数字是0． 故选：A ．由题中可以看出，故个位的数字是以10为周期变化的，用2019÷10，计算一下看看有多少个周期即可．此题主要考查了找规律，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的关键是找到以2为指数的末位数字的循环规律． 8.【答案】D【解析】解：∵x +y +z =0，且1x+1+1y+2+1z+3=0，[(x +1)2+(y +2)2+(z +3)2][12+12+12]≥[(1×(x +1)+1×(y +2)+1×(z +3)]2=(x +y +z +6)2(x +1)2+(y +2)2+(z +3)2≥36∴(x +1)2+(y +2)2+(z +3)2的值为36． 故选：D ．根据已知条件可得x 、y 、z 的值即可求解．本题考查了分式的加减法，解决本题的关键是合理分析已知条件． 9.【答案】B【解析】解：①当a −2b =0时，方程组无解；②当a −2b ≠0时，方程组的解为由a 、b 的实际意义为1，2，3，4，5，6可得． 易知a ，b 都为大于0的整数，则两式联合求解可得x =3b−22b−a ，y =4−3a2b−a ， ∵使x 、y 都大于0则有x =3b−22b−a >0，y =4−3a2b−a >0， ∴解得a <43，b >23或者a >43，b <23，∵a ，b 都为1到6的整数，∴可知当a 为1时b 只能是1，2，3，4，5，6；或者a 为2，3，4，5，6时b 无解， 这两种情况的总出现可能有6种； (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)，又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，故所求概率为=636=16， 故选：B ．首先分两种情况：①当a −2b =0时，方程组无解；②当a −2b ≠0时，方程组的解为由a 、b 的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．把方程组两式联合求解可得x =3b−22b−a ，y =4−3a2b−a ，再由x 、y 都大于0可得x =3b−22b−a >0，y =4−3a 2b−a>0，求出a 、b 的范围，列举出a ，b 所有的可能结果，然后求出有正数解时，所有的可能，进而求出概率．此题主要考查了列表法求概率，以及二元一次方程的解法，题目综合性较强． 10.【答案】B【解析】解：∵3a 2−8a −3b −1=0， ∴b =a 2−83a −13=(a −43)2−259，∵0≤a ≤5， ∴−43≤a −43≤113， ∴0≤(a −43)2≤1219， ∴−259≤(a −43)2−259≤969，即−259≤b ≤969，∴整数b =−2，−1，0，1，…，10，共13个，故选：B ．首先将方程3a 2−8a −3b −1=0进行变形，变成用含a 的代数式表示b ，然后把含a 的代数式配方，再根据a 的取值求出b 的取值范围，由于是求b 的整数的个数，所以再找b 的取值范围内的整数解即可．此题主要考查了利用配方法求一元二次方程的整数根，做此题的关键是用含a 的代数式表示b ，然后根据a 的取值求b 的取值，综合性较强，难度不大． 11.【答案】C【解析】解：根据题意得三角形的三边都小于20， 设最小的两边为x ≤y ≤19，x +y >20 当x =2时，y =19， 当x =3时，y =18， 当x =4时，y =17，18， 当x =5时，y =16，17， 当x =6时，y =15，16，17， 当x =7时，y =14，15，16， 当x =8时，y =13，14，15，16， 当x =9时，y =12，13，14，15，当x =10时，y =11，12，13，14，15， 当x =11时，y =11，12，13，14， 当x =12时，y =12，13，14， 当x =13时，y =13，符合条件的三角形的个数为1+1+2+2+3+3+4+4+5+4+3+1=33， 故选：C ．首首先根据三角形的两边之和大于第三边以及三边和为40长，得到三角形的三边都必须小于20；再结合三角形的两边之差小于第三边进行分析出所有符合条件的整数．本题考查了三角形三边关系，关键是列出约束条件．12.【答案】B【解析】解：由x2+ax+b−3=0知b关于a的函数解析式为b+ax+x2−3=0，∵a2+(b−4)2的最小值可看做点(a,b)到(0,4)距离的最小值，则两点的距离d=2√12+x2=2√x2+1=√x2+1≥1，∴点(a,b)到(0,4)距离的最小值为1，即a2+(b−4)2的最小值为1，故选：B．由x2+ax+b−3=0知b关于a的函数解析式为b+ax+x2−3=0，而a2+(b−4)2的最小值可看做点(a,b)到(0,4)距离的最小值，再根据点到直线的距离公式求解可得．本题主要考查两点间的距离公式，熟练掌握公式的定义是解题关键．13.【答案】2【解析】解：当x=3+√132时，原式=x4−3x3−3x+1=(x2)2−3x(x2+1)+1=[(3+√132)2]2−3×3+√132[(3+√132)2+1]+1=(11+3√132)2−3×3+√132×13+3√132+1=119+33√132−117+33√132+1=1+1=2．故答案为：2．将原式适当变形，再代入进行计算便可．本题主要考查了求整式的值，二次根式的计算，适当进行整式的变形，可以减小计算的难度．14.【答案】60【解析】解：设正十边形为A1A2 (10)以A1A2为底边的梯形有A1A2A3A10、A1A2A4A9、A1A2A5A8共3个．同理分别以A2A3、A3A4、A4A5、…、A9A10、A10A1为底边的梯形各有3个，这样，合计有30个梯形．以A1A3为底边的梯形有A1A3A4A10、A1A3A5A9共2个．同理分别以A2A4、A3A5、A4A6、…、A9A1、A10A2为底边的梯形各有2个，这样，合计有20个梯形．以A1A4为底边的梯形只有A1A4A5A101个．同理分别以A2A5、A3A6、A4A7、…、A9A2、A10A3为底边的梯形各有1个，这样，合计有10个梯形，则以4个顶点为顶点的梯形有：30+20+10=60(个)，故答案为：60．分以A1A2为底边、A1A3为底边、A1A4为底边，根据梯形的概念、正多边形的性质解答．本题考查的是梯形的概念、正多边形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．15.【答案】√52【解析】解：如图，连接AA′，延长ED交AA′于点M∵∠C=90°，AC=1，BC=2，∴AB=√AC2+BC2=√5∵D为AB中点，∴AD=DB=√5 2∵将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，∴AD=A′D，AE=A′E∴ED垂直平分AA′∴EM⊥AA′，∵AD=DB=AA′=√5 2∴△ABA′是直角三角形∴∠AA′B=90°，即AA′⊥A′B∴ME//A′B∴∠MEF=∠FA′B，∵△A′DE与△BDE重叠部分的面积占△ABE面积的14，∴S△DEF=14S△AEB，∴DF=14AB=12DB∴DF=FB，且∠MEF=∠FA′B，∠A′FB=∠EFD ∴△A′FB≌△EFD(AAS)∴EF=A′F，且DF=FB，∠EFB=∠A′FD∴△BFE≌△DFA′(SAS)∴AD=BE=√5 2故答案为：√52连接AA′，延长ED交AA′于点M，由勾股定理可求AB=√5，可得AD=DB=√52，由折叠的性质可得AD=A′D=DB，AE=A′E，可得AA′⊥A′B，EM⊥AA′，由题意可得DF= BF，由“AAS”可证△A′FB≌△EFD，可得EF=A′F，由“SAS”可得△BFE≌△DFA′，即可求BE的长．本题考查了翻折变换，勾股定理，直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明△A′FB≌△EFD是本题的关键．16.【答案】1≤m<3或m>3【解析】解：原方程变形为：|x−1|−|x−2|+2|x−3|=m，①当x≥3时，x−1−(x−2)+2(x−3)=m，x=m+52≥3，∴m=2x−5，此时m≥1；②当2≤x<3时，x−1−(x−2)+2(3−x)=m，x=7−m 2∴m=7−2x，此时1<m≤3；③当1≤x<2时，x−1−(2−x)+2(3−x)=m，∴m=3(不符合题意)；④当x<1时，1−x−(2−x)+2(3−x)=m，∴m=5−2x，此时m>3．恰好有两个实数解，所以1≤m<3或m>3，故答案为1≤m<3或m>3．解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．本题主要考查无理方程，解题的关键是掌握二次根式的性质、绝对值的性质等知识点．17.【答案】310【解析】解：连接OE，如图，∵AB⊥PO，∴∠ADO=90°，在Rt△ADO中，sin∠DAO=ODOA =23，设OD=2x，OA=3x，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠APO=∠OAD，在Rt△APO中，sin∠APO=OAOP =23，∴OP=32×3x=92x，∵∠APD=∠OPA，∴Rt△PAD∽Rt△POA，∴PD：PA=PA：PO，即PA2=PD⋅PO，∵PA切⊙O于点A，PE交⊙O于点F、∴PA2=PF⋅PE，∴PD⋅PO=PF⋅PE，即PF：PO=PD：PE，而∠DPF=∠EPO，∴△PDF∽△PEO，∴DFOE =PFPO，∴PF=92x3x⋅DF=32DF，而PE=5DF，∴PFPE =32DF5DF=310．故答案为310．连接OE，如图，利用正切的定义得到sin∠DAO=ODOA =23，则可设OD=2x，OA=3x，再根据切线的性质得OA⊥PA，所以∠APO=∠OAD，利用正弦的定义得到OP=92x，证明Rt△PAD∽Rt△POA，利用相似比得到PA2=PD⋅PO，而PA2=PF⋅PE，所以PD⋅PO=PF⋅PE，则可判断△PDF∽△PEO，利用相似比得到PF=32DF，然后利用PE=5DF可得到PFPE的值．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了切线的性质和切割线定理．18.【答案】60√213【解析】解：连接BD交AC于H，作∠ABC的平分线BP，交AC于P，连接PD，作PE⊥BC于E，连接PM、PN，如图所示：则PN≥PE，在△ABC和△ADC中，{AB=AD BC=DC AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAP=∠DAP，在△ABP和△ADP中，{AB=AD∠BAP=∠DAP AP=AP，∴△ABP≌△ADP(SAS)，∴∠ABP=∠ADP=12∠ABC=45°，BP=DP，∵∠ABP=∠NBP=12∠ABC=45°，∴∠NBP=∠MDP，在△NBP和△MDP中，{BN=DM∠NBP=∠MDP BP=DP，∴△NBP≌△MDP(SAS)，∴PM=PN，∠BPN=∠DPM，∴∠BPD=∠MPN，∵BP=DP，PM=PN，∴∠BDP=∠DBP=∠MNP=∠NMP，∴△PMN∽△PBD，∴MNBD =PNBP≥PEPB，∵sin∠NBP=PEPB =sin45°=√22，∴MNBD ≥√22，∴MN≥√22BD，在△ABH和△ADH中，{AB=AD∠BAH=∠DAH AH=AH，∴△ABH≌△ADH(SAS)，∴BH=DH，∠BHA=∠DHA=90°，AC=√AB2+BC2=√52+122=13，S△ABC=12AB⋅BC=12BH⋅AC，∴BH=AB⋅BCAC =5×1213=6013，∴BD=2BH=12013，∴MN≥√22×12013=60√213，∴线段MN的最小值为60√213，故答案为：60√213．连接BD交AC于H，作∠ABC的平分线BP，交AC于P，连接PD，作PE⊥BC于E，连接PM、PN，则PN≥PE，证明△ABC≌△ADC(SSS)，得出∠BAP=∠DAP，证明△ABP≌△ADP(SAS)，得出∠ABP=∠ADP=12∠ABC=45°，BP=DP，易证∠NBP=∠MDP，证明△NBP≌△MDP(SAS)，得出PM=PN，∠BPN=∠DPM，推出∠BPD=∠MPN，证出∠BDP=∠DBP=∠MNP=∠NMP，得出△PMN∽△PBD，则MNBD =PNBP≥PEPB，由sin∠NBP=PEPB =sin45°=√22，推出MNBD≥√22，即MN≥√22BD，证明△ABH≌△ADH(SAS)，得出BH=DH，∠BHA=∠DHA=90°，AC=√AB2+BC2=13，由S△ABC=1 2AB⋅BC=12BH⋅AC，求出BH=6013，得出BD=2BH=12013，即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；本题综合性强，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键． 19.【答案】2【解析】解：x =(1+x −2x 2)(a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3…+a n x n )， 当x =0时，a 0=0，∴1=(1+x −2x 2)(a 1+a 2x +a 3x 2…+a n x n−1)， 当x =0时，a 1=1，a 1+a 2=0，a 2+a 3−2a 1=0， ∴a 2=−1，a 3=3， ∴a 3+a 2=2， 故答案为2．先去分母，第一次赋值x =0求出a 0=0，再化简式子为1=(1+x −2x 2)(a 1+a 2x +a 3x 2…+a n x n−1)，第二次赋值x =0，求出a 1=1，再由等式的性质得到a 1+a 2=0，a 2+a 3−2a 1=0即可求解．本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律，给式子恰当的赋值运算是解题的关键．20.【答案】解：(1)联立y =x 2+(a −7)x +6，y =ax 并整理得：x 3+(a −7)x 2+6x −a =0…①，a =2时，上式为：(x −1)(x 2−4x +2)=0， 解得：x =1或2+√2或2−√2，故函数交点坐标为：(1,2)或(2+√2,2−√2)或(2+√2,2−√2)； (2)①式中含有(x −1)的因式，即：(x −1)[x 2+(a −6)x +a]=0， 故其中一个根：x =1，a 为正整数，x 2+(a −6)x +a =0方程有一个到两个的根， △=(a −6)2−4a ≥0，交点横、纵坐标都是整数，则△一定是完全平方数(设为k)， 即(a −6)2−4a =k 2(k 为非负整数)， 整理得：(a −8)2−k 2=28，即：(a −8+k)(a −8−k)=28=4×7=2×14=1×28， 而a −8+k ≥a −8−k ，当a −8+k =7，a −8−k =4时，解得：a =13.5(舍去)； 当a −8+k =14，a −8−k =2时，解得：a =16； 当a −8+k =28，a −8−k =1时，a =23.5(舍去)； 故a =16；(3)两个函数的交点都在直线x =12的右侧，只会出现如下图所示的情况，两个函数三个交点在x =12的右侧，其中一个交点横坐标为x =1在x =12的右侧， 故只需要确定x 2+(a −6)x +a =0根的情况，只要左侧的根在x =12右侧即可， 解上述方程得：x =6−a±√a 2−16a+362，即6−a−√a2−16a+362>12，解得：a >116．故：a 的取值范围为：a >116．【解析】(1)联立y =x 2+(a −7)x +6，y =ax 并整理得：x 3+(a −7)x 2+6x −a =0，a =2时，上式为：(x −1)(x 2−4x +2)=0，即可求解；(2)(x −1)[x 2+(a −6)x +a]=0，故其中一个根：x =1，a 为正整数，x 2+(a −6)x +a =0方程有一个到两个的根，△=(a −6)2−4a ≥0，交点横、纵坐标都是整数，则△一定是完全平方数(设为k)，即(a −6)2−4a =k 2(k 为非负整数)，讨论确定a 的值； (3)两个函数的交点都在直线x =12的右侧，两个函数三个交点在x =12的右侧，其中一个交点横坐标为x =1在x =12的右侧，即6−a−√a2−16a+362>12，即可求解．本题考查的是二次函数与反比例函数的交点问题、根的判别式、整数的性质，涉及面较广，难度较大．21.【答案】解：(1)作GH ⊥AD 于H ，AI ⊥BE 于I ， ∵GE =3，cos∠AEB =23，∴EH =2，HG =√5，设AE =3x ，则EI =2x ，AI =√5x ，∴GI =3−2x ，BI =BG +GI =n +3−2x ， ∴DH =DE +EH =n +2， ∵∠ADF =∠ABE ，∴∠DHG =∠AIB =90°， ∴△GHD∽△AIB ， ∴DH BI=HG AI，∴n+2n+3−2x =√5√5x ， 解得：x =n+3n+4， ∴AE =3x =3n+9n+4；(2)如图2，连接AA′交BE 于M ，连接按个，作A′N ⊥CG 于N ，∵四边形ABCD 为矩形，G 恰为BE 中点，∴CG =DG ，∴∠GCD =∠GDC ，∴∠BCG =∠ADG =∠ABE =90°−∠CBG ， ∴∠BCG +∠CBG =90°， ∴CG ⊥BE ，∵AA′⊥BE ，A′N ⊥CG ， ∴四边形MA′NG 是矩形， ∴GM =A′N =3√24，设ME =x ，则AG =BG =GE =x +34√2， ∴AM 2=AG 2−GM 2=AE 2−EM 2=(x +3√24)2−(34√2)2=1−x 2， 解得：x =√24，∴BG =GE =ME +GM =√2， ∴BE =2√2，∵∠ABE =∠BCG ， ∴△GCB∽△ABE ， ∴BC BE =BG AE，∴2√2=√21， 解得：BC =4，∴AD =BC =4， ∴DE =AD −AE =4−1=3．【解析】(1)作GH ⊥AD 于H ，AI ⊥BE 于I ，根据已知条件得到EH =2，HG =√2，设AE =3x ，则EI =2x ，AI =√5x ，得到GI =3−2x ，BI =BG +GI =n +3−2x ，根据相似三角形的性质得到AE =3x =3n+9n+4；(2)如图2，连接AA′交BE 于M ，连接按个，作A′N ⊥CG 于N ，根据矩形的性质得到CG =DG ，求得∠GCD =∠GDC ，推出四边形MA′NG 是矩形，得到GM =A′N =3√24，设ME =x ，则AG =BG =GE =x +34√2，根据勾股定理列方程得到BG =GE =ME +GM =√2，求得BE =2√2，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．。

2019年交大附中自招数学试卷1.求值：cos30sin 45tan 60︒⋅︒⋅︒=2.反比例函数1y x=与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为3.已知210x x --=，则3223x x -+=4.设方程(1)(11)(11)(21)(1)(21)0x x x x x x ++++++++=的两根为1x 、2x ，则12(1)(1)x x ++的值为5.直线y x k =+（0k <）上依次有A 、B 、C 、D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k 的值为6.交大附中文化体育设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体锻课，英才班部分学生参加篮球小组，其余学生参加排球小组，篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等，一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问英才班有多少人？7.已知a 、b 、c 、n 是互不相等的正整数，且1111a b c n+++也是整数，则n 的最大值为8.如图，ABCDE 是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为9.若关于x 的方程2(4)(6)0x x x m --+=的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m 的值为10.设△ABC 的三边a 、b 、c 均为正整数，且40a b c ++=，则当乘积abc 最大时，△ABC 的面积为11.如图，在直角坐标系中，将△OAB 绕原点旋转到△OCD ，其中(3,1)A -、(4,3)B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为12.如图，数轴上从左到右依次有A 、B 、C 、D 四个点，它们对应的实数分别为a 、b 、c 、d ，如果存在实数λ，满足：对线段AB 和CD 上的任意一点M ，其对应的实数为x ，实数xλ对应的点N 仍然在线段AB 或CD 上，则称(,,,,)a b c d λ为“完美数组“，例如：(1,2,3,6,6)就是一组”完美数组“，已知||1AB =，||5BC =，||4CD =，求此时所有的”完美数组“，写出你的结论和推算过程.参考答案1.42.3个3.24.20035.92- 6.36人7.428.4π9.65910.11.913(,)55-12.(4,3,2,6,12)--，(2,1,8,4,8)---，(2,3,8,12,24)2019年交大附中自招数学试卷（二）1.()S n 为n 的各位数字之和，例(2019)201912S =+++=.（1）当1099n ≤≤时，求()n S n 的最小值；（2）当100999n ≤≤时，求()n S n 的最小值；（3）当10009999n ≤≤时，求()n S n 的最小值.2.（1）如图，2AB =，1BC =，3CD =，M 为以BD 为直径的圆上任意一点，求证：AM MC为定值.（2）尺规作图：以上图结论画出点P ，使::1:1:2PA PB PC =，保留作图痕迹并写出步骤.。

2019年四川省成都九中自主招生数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）当a＜1时，化简的结果是（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a2．（5分）满足的所有实数x的和为（）A．3B．4C．5D．63．（5分）五张如图所示的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在矩形ABCD 中，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的关系式为（）A．a＝2b B．a＝3b C．3a＝2b D．2a＝3b+14．（5分）如图△ABC为圆O的内接三角形，D为BC中点，E为OA中点，∠ABC＝40°，∠BCA＝80°，则∠OED的大小为（）A．15°B．18°C．20°D．22°5．（5分）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+的值为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，MP2＝y，则表示y与x 的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）某校初三年级有四个班，每班挑选乒乓球男女运动员各一人，组成年级混合双打代表队．那么，四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．9．（5分）设a、b、c为实数，且a≠0，抛物线y＝ax2+bx+c，顶点在y＝﹣2上，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，当△ABC为直角三角形时，S△ABC的最大值是（）A．1B．C．3D．410．（5分）设，则的整数部分是（）A．61B．62C．63D．64二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知x，y都是非负数，且满足x2+2xy+y2+x+y﹣12＝0，则x（1﹣y）的最大值为．12．（5分）已知实数a满足a2﹣a﹣1＝0．则a8+7a﹣4的值为．13．（5分）如图，O是正方形ABCD边上一点，以O为圆心，OB为半径画圆与AD交于点E，过点E作⊙O的切线交CD于F，将△DEF沿EF对折，点D的对称点D'恰好落在⊙O上．若AB＝6，则OB的长为．14．（5分）已知a、b是实数，且a2+ab+b2＝5．若a2﹣ab+b2的最大值是m，最小值是n，则m+n的值是．15．（5分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠C＝60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过45次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为．（结果保留π）16．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，过D分别作DG⊥AF于G，作DH⊥CE于H，则DG：DH＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）（1）已知a2+4a+1＝0，且，求m的值．（2）解方程：．18．（10分）一条笔直的公路L穿过草原，公路边有一卫生站A距公路30km的地方有一居民点B，A、B 之间的距离为90km．一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点．已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h，在草地上行驶的最快速度是30km/h．问司机应在公路上行驶多少千米？全部所用的行车时间最短？最短时间为多少？19．（12分）已知m，n，p为正整数，m＜n．设A（﹣m，0），B（n，0），C（0，p），O为坐标原点．若∠ACB＝90°，且OA2+OB2+OC2＝3（OA+OB+OC）．（1）求图象经过A，B，C三段的二次函数的解析式；（2）点D是抛物线上的一动点，直线AD交线段BC于点Q，若△ACQ，△ABQ的面积S△ACQ，S△ABQ 满足S△ACQ：S△ABQ＝1：3，求此时点D的坐标．20．（12分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12，点C在OA上，AC＝4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F．（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；（2）求CE+2DE的最小值．21．（12分）阅读下列两则材料，回答问题材料一：我们将（+）与（﹣）称为一对“对偶式”因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对偶式”相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉例如：已知﹣＝2，求+的值．解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10∵﹣＝2，∴+＝5材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝．反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝＝＝．所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：﹣＝2，其中x≤4；（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝+中解出x，直接写出x的值．22．（14分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”，例如：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，则∠C＝115°．（1）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3，求对角线AC的长；（2）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），点D在y轴上，抛物线过点A、C，点P在抛物线上，满足∠APC＝∠ADC的点至少有3个时，总有不等式2n﹣成立，求n的取值范围．2019年四川省成都九中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）当a＜1时，化简的结果是（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a【解答】解：∵a＜1，∴1﹣a＞0，∵﹣a3（1﹣a）≥0，∴a≤0，∴＝|a|＝﹣a，故选：B．2．（5分）满足的所有实数x的和为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：当2﹣x＝1，即x＝1时，满足题意．当2﹣x＝﹣l，即x＝3时，由于，所以满足题意．当2﹣x≠±1且2﹣x≠0，即x≠1 且x≠3 且x≠2时，令x2﹣x﹣2＝0，得x＝﹣1．因此，所求和为1+3+（﹣l）＝3．故选：A．3．（5分）五张如图所示的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在矩形ABCD 中，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的关系式为（）A．a＝2b B．a＝3b C．3a＝2b D．2a＝3b+1【解答】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝2b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝3b+PC，∴AE+a＝3b+PC，即AE﹣PC＝3b﹣a，∴阴影部分面积之差S＝AE•AF﹣PC•CG＝2b×AE﹣a×PC＝2b（PC+3b﹣a）﹣aPC＝（2b﹣a）PC+6b2﹣2ab，则2b﹣a＝0，即a＝2b，故选：A．4．（5分）如图△ABC为圆O的内接三角形，D为BC中点，E为OA中点，∠ABC＝40°，∠BCA＝80°，则∠OED的大小为（）A．15°B．18°C．20°D．22°【解答】解：如图，连接OC，取OC中点F，连接EF、DF，∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE＝（180°﹣80°）＝50°，连接OB，∵D为BC中点，∴BD＝CD，OD⊥BC，∴∠DOC＝，∵∠BAC＝BOC，∴∠DOC＝∠BAC，∴∠DOC＝∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵F为OC中点，∴OF＝FD，∴△OFD为等边三角形，∴OD＝OF＝OE，∴点O是△EFD外接圆的圆心，∴，∴∠OED＝50°﹣30°＝20°．故选：C．5．（5分）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+的值为（）A．B．C．D．【解答】解：a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，a n＝n（n+2）；∴+++…+＝+++…+＝×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝×（1+﹣﹣）＝×＝，故选：D．6．（5分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，MP2＝y，则表示y与x 的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：（1）当0≤x≤时，如图1，过M作ME⊥BC与E，∵M为AB的中点，AB＝2，∴BM＝1，∵∠B＝60°，∴BE＝，ME＝，PE＝﹣x，在Rt△BME中，由勾股定理得：MP2＝ME2+PE2，∴y＝＝x2﹣x+1；（2）当＜x≤2时如图2，过M作ME⊥BC与E，由（1）知BM＝1，∠B＝60°，∴BE＝，ME＝，PE＝x﹣，∴MP2＝ME2+PE2，∴y＝＝x2﹣x+1；（3）当2＜x≤4时，如图3，连接MC，∵BM＝1，BC＝AB＝2，∠B＝60°，∴∠BMC＝90°，MC＝＝，∵AB∥DC，∴∠MCD＝∠BMC＝90°，∴MP2＝MC2+PC2，∴y＝＝x2﹣4x+7；综合（1）（2）（3），只有B选项符合题意．故选：B．7．（5分）某校初三年级有四个班，每班挑选乒乓球男女运动员各一人，组成年级混合双打代表队．那么，四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵先把四个女运动员任意排列，设为ABCD，和A配合的男运动员有4个选择；和B配合的男运动员剩下3种选择；和C配合的男运动员剩下2种选择；最后一个和D配合．所以总共有24种．∴4男4女组成四队混合双打的情况共有：4×3×2＝24种，设一、二、三、四班的男、女选手分别为A1、B1、A2、B2、A3、B3、A4、B4，则四队混合双打中，没有一对选手是同班同学的情景如下：由上得共有9种情形．故四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是：＝．故选：C．8．（5分）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．【解答】解：连接AC，AG，∵GO⊥AB，∴O为AB的中点，即AO＝BO＝AB，∵G（0，1），即OG＝1，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AO＝＝，∴AB＝2AO＝2，又CO＝CG+GO＝2+1＝3，∴在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC＝＝2，∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在Rt△ACO中，tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，∴度数为60°，∵直径AC＝2，∴的长为＝π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长π．故选：B．9．（5分）设a、b、c为实数，且a≠0，抛物线y＝ax2+bx+c，顶点在y＝﹣2上，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，当△ABC为直角三角形时，S△ABC的最大值是（）A．1B．C．3D．4【解答】解：设y＝ax2+bx+c交y轴于点C（0，c），c≠0，交x轴于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，由△ABC是直角三角形知，点C必为直角顶点，且c2＝（﹣x1）x2＝﹣x1x2（射影定理的逆定理），由根与系数的关系得，，，∴，，又＝﹣2，即8a＝4+b2≥4，∴，∴，＝，＝＝，当且仅当，b＝0，c＝﹣2时等号成立，因此，Rt△ABC的最大面积是4．故选：D．10．（5分）设，则的整数部分是（）A．61B．62C．63D．64【解答】解：∵，2050﹣2018+1＝33，∴M＞且M＜，∴＜M＜，∴＜＜，即61＜＜62，∵＞＞＞…＞，∴M＞，∴＜＝61，∴61＜＜61，∴的整数部分为61，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知x，y都是非负数，且满足x2+2xy+y2+x+y﹣12＝0，则x（1﹣y）的最大值为3．【解答】解：x2+2xy+y2+x+y﹣12＝0（x+y）2+（x+y）﹣12＝0，（x+y+4）（x+y﹣3）＝0∵x、y为非负数，∴x+y+4＞0，∴x+y＝3，即x＝3﹣y，∴0≤x≤3，0≤y≤3，∴x（1﹣y）＝（3﹣y）（1﹣y）＝（y﹣2）2﹣1≤3，故答案为：3．12．（5分）已知实数a满足a2﹣a﹣1＝0．则a8+7a﹣4的值为48．【解答】解：∵a2﹣a﹣1＝0，∴两边都除以a得，a﹣a﹣1＝1，∴a2+a﹣2＝3，a4+a﹣4＝7，∴a8+7a﹣4，＝a4•a4+a4•a﹣4﹣1+7a﹣4，＝a4（a4+a﹣4）+7a﹣4﹣1，＝7a4+7a﹣4﹣1，＝7×7﹣1，＝48．故答案为：48．13．（5分）如图，O是正方形ABCD边上一点，以O为圆心，OB为半径画圆与AD交于点E，过点E作⊙O的切线交CD于F，将△DEF沿EF对折，点D的对称点D'恰好落在⊙O上．若AB＝6，则OB的长为．【解答】解：∵正方形ABCD，∴∠ABC＝90°，∵OB为半径，∴BC是⊙O的切线，连接OE、OD′，作OH⊥ED′于H，∴EH＝D′H＝ED′∵ED′＝ED，∴EH＝ED，∵正方形ABCD，∴∠A＝90°，AB＝AD＝6，∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，∴∠OEH+∠D′EF＝90°，∠AEO+∠DEF＝90°，∵∠DEF＝∠D′EF，∴∠AEO＝∠HEO，在△AEO和△HEO中∴△AEO≌△HEO（AAS），∴AE＝EH＝ED，∴AE＝AD＝2，设OB＝OE＝x．则AO＝6﹣x，在Rt△AOE中，x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，∴OB＝，故答案为．14．（5分）已知a、b是实数，且a2+ab+b2＝5．若a2﹣ab+b2的最大值是m，最小值是n，则m+n的值是．【解答】解：设a2﹣ab+b2＝k，∵a2+ab+b2＝5，∴a2+b2＝，ab＝，∵a2+b2≥2|ab|，∴≥2||，即≥|5﹣k|，∴﹣≤5﹣k≤，解得，≤k≤15，∴m＝15，n＝，∴m+n＝，故答案为：．15．（5分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠C＝60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过45次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为10π+5π．（结果保留π）【解答】解：菱形ABCD中，AB＝2，∠C＝60°，所以第一、二次旋转形成弧的半径是，圆心角是60°，所以第一、二次旋转的弧长和＝，因为第三次旋转形成弧的半径是1，圆心角是60°，所以第三次旋转的弧长＝，因为一个周期为3，所以45÷3＝15，所以菱形中心O所经过的路径总长为：．故答案为：10π+5π．16．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，过D分别作DG⊥AF于G，作DH⊥CE于H，则DG：DH＝：14．【解答】解：设BC＝21a，则BF＝14a，FC＝7a，AB＝28a，∴AE＝EB＝14a，∵∠ABC＝120°，∴，∴CE＝7a，∵S△ADF＝S△DEC，∴，∴．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）（1）已知a2+4a+1＝0，且，求m的值．（2）解方程：．【解答】解：（1）由已知可得a2+1＝﹣4a，∴a4+1＝（a2+1）2﹣2a2＝14a2，∴由原式可得，∴m+14＝5（m﹣12）＝5m﹣60，∴4m＝74，∴．（2）令∴x2﹣3x＝t2﹣3，∴原方程化为：x2+（x2﹣3x）+2xt＝1，∴x2+t2﹣3+2xt＝1，∴（x+t）2＝4，∴x+t＝±2，∴若x+t＝﹣2，则t2＝x2+4x+4＝x2﹣3x+3，解得：，经检验，x＝﹣是增根，若x+t＝2，则t2＝x2+4﹣4x＝x2﹣3x+3，解得x＝1，经检验，x＝1是方程的解，∴综上所述，x＝1是原方程的解．答：（1）m的值为；（2）方程的解为x＝1．18．（10分）一条笔直的公路L穿过草原，公路边有一卫生站A距公路30km的地方有一居民点B，A、B 之间的距离为90km．一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点．已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h，在草地上行驶的最快速度是30km/h．问司机应在公路上行驶多少千米？全部所用的行车时间最短？最短时间为多少？【解答】解：如图，作射线AM交BC的延长线于M，使得∠MAC＝30°，作DH⊥AM．∵时间t＝＝（AD+BD），DH＝AD，∴时间t＝（DH+BD），∴当D，H，B共线，且BH⊥AM时，时间t最小，作BH′⊥AM于H′交AC于D′，此时时间最小值＝•BH′，∵AB＝90km，BC＝30km，∴AC＝60（km），∴CM＝AC•tan30°＝20（km），在Rt△BMH′中，BH′＝BM•cos30°＝（20+30）×＝（30+15）（km），∴t的最小值＝+．此时AD′＝．19．（12分）已知m，n，p为正整数，m＜n．设A（﹣m，0），B（n，0），C（0，p），O为坐标原点．若∠ACB＝90°，且OA2+OB2+OC2＝3（OA+OB+OC）．（1）求图象经过A，B，C三段的二次函数的解析式；（2）点D是抛物线上的一动点，直线AD交线段BC于点Q，若△ACQ，△ABQ的面积S△ACQ，S△ABQ 满足S△ACQ：S△ABQ＝1：3，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，OC⊥AB，∴OA•OB＝OC2，即mn＝p2．∵OA2+OB2+OC2＝3（OA+OB+OC），∴m2+n2+p2＝3（m+n+p）．又∵m2+n2+p2＝（m+n+p）2﹣2（mn+np+mp）＝（m+n+p）2﹣2（p2+np+mp）＝（m+n+p）2﹣2p（m+n+p）＝（m+n+p）（m+n﹣p），∴m+n﹣p＝3，即m+n＝p+3．∵mn＝p2，m+n＝p+3，∴m，n是关于x的一元二次方程x2﹣（p+3）x+p2＝0①的两个不相等的正整数根，∴△＝[﹣（p+3）]2﹣4p2＞0，解得﹣1＜p＜3．又∵p为正整数，故p＝1或p＝2．当p＝1时，方程①为x2﹣4x+1＝0，没有整数解．当p＝2时，方程①为x2﹣5x+4＝0，两根为m＝1，n＝4．综合知：m＝1，n＝4，p＝2．设图象经过A，B，C三点的二次函数的解析式为y＝k（x+1）（x﹣4），将点C（0，2）的坐标代入得2＝k×1×（﹣4），解得．∴图象经过A，B，C三点的二次函数的解析式为．∴图象经过A，B，C三段的二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）如图，直线AD交线段BC于点Q，由S△ACQ：S△ABQ＝1：3，得CQ：QB＝1：3，∴，，∴，∵A（﹣1，0），∴，联立，消去y整理可得，2x2﹣3x﹣5＝0，由韦达定理：，而x A＝﹣1，∴，∴，∴D点坐标为：．20．（12分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12，点C在OA上，AC＝4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F．（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；（2）求CE+2DE的最小值．【解答】解：（1）分别过O、E作ON⊥CD于N，EM⊥CD于M，∵CD＝10，∴四边形ODEC＝S△OCD+S△CDE＝≤CD•OE＝＝60，此时OM、EN、OE重合，∵ON•CD＝OC•OD，∴10×ON＝6×8，∴ON＝，∴；（2）延长OB至点G，使BG＝OB，连接GE、GC、DE，则，∵点D为OB的中点，OB＝OE，∴，∴，又∠DOE＝∠EOG，∴△DOE∽△EOG，，∴EG＝2DE，∴CE+2DE＝CE+EG，当C、E、G三点在同一直线上上时，CE+EG最小，CO＝OA﹣AC＝12﹣4＝8，OG＝OB+BG＝12+12＝24，此时，故CE+2DE有最小值为．21．（12分）阅读下列两则材料，回答问题材料一：我们将（+）与（﹣）称为一对“对偶式”因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对偶式”相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉例如：已知﹣＝2，求+的值．解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10∵﹣＝2，∴+＝5材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝．反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝＝＝．所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：﹣＝2，其中x≤4；（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝+中解出x，直接写出x的值．【解答】解：（1）根据材料一；∵（﹣）×（+）＝（20﹣x）﹣（4﹣x）＝16∵﹣＝2，∴+＝8，∴＝5＝3∴解得：x＝﹣5∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）（2）①解：由材料二知：＝＝＝＝＝．∴可将的值看作点（x，y）到点（1，8）的距离的值看作点（x，y）到点（﹣2，2）的距离∴＝+．∴当代数式取最小值即点（x，y）与点（1，8），（﹣2，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位点（1，8）（﹣2，2）的中间∴的最小值＝＝＝3且﹣2≤x≤1设过（x，y），（1，8），（﹣2，2）的直线解析式为：y＝kx+b∴解得：∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）②：∵y＝+中∵y＝2x+6∴+＝2x+6 ①又∵（+）（﹣）＝2x2+5x+12﹣（2x2+3x+6）＝2x+6∴﹣＝1 ②由①+②式得：＝x+解得：x1＝＞1（舍）x2＝∴x的值为1﹣22．（14分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”，例如：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，则∠C＝115°．（1）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3，求对角线AC的长；（2）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），点D在y轴上，抛物线过点A、C，点P在抛物线上，满足∠APC＝∠ADC的点至少有3个时，总有不等式2n﹣成立，求n的取值范围．【解答】（1）①如图1，∠B＝∠D＝90°时延长AD，BC交于点E，∵∠DAB＝60°，∴∠E＝30°，又∵AB＝4，AD＝3∴BE＝4，AE＝8，DE＝5，∴CE＝＝，BC＝4﹣＝，∴AC＝＝；②如图，∠A＝∠C＝60°时，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥BC于点F，∵∠DAB＝∠BCD＝60°，又∵AB＝4，AD＝3，∴AE＝，DE＝BF＝，∴BE＝DF＝，∴CF＝，BC＝+＝，∴AC＝＝；综上，AC＝或；（2）∵A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），∴AB＝2，BC＝2，AC＝4，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∵AD＝CD，AB≠BC，∴∠BAD≠∠BCD，∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴D（0，2），∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A、C，∴y＝a（x+2）（x﹣2）＝ax2﹣4a，即：a＝﹣c，令t＝2c2+16a﹣8，则t＝2c2﹣4c﹣8，以D（0，2）为圆心，AD长为半径作⊙D，以D'（0，﹣2）为圆心，AD长为半径作⊙D'，如图所示，⊙D交y轴正半轴于点E，⊙D'交y轴负半轴于点F．当点P在优弧AEC和优弧AFC上时，∠APC＝∠ADC，当抛物线过E点时满足题意的P点有3个，此时，c＝OE＝OD+ED＝2+2，当满足∠APC＝∠ADC的P点至少有3个时，c≥2+2，当c≥2+2时，t＝2c2﹣4c﹣8≥16，∵总有不等式2n﹣≤2c2+16a﹣8成立，∴2n﹣≤16，∴n≤．。

y 数学试题150分，考试时间100分钟，请将答案写到答题卷上，写在本试卷上无效. 6分，共60分）()2212=11x x x x x +⎛⎫÷- ⎪--⎝⎭▲ 2330x x ---=的根是 ▲a ，b ，c ，d 的长度比为1：2：3：4，任取其中三条线段，以它们为边能作出三角形的概率是 ▲1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A ，且当钟面显示点30分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面的高度为10cm ，如图2，若此钟面显示3点45A 点距桌面的高度为16cm ，则钟面显示3点50分时，A 点距桌面的高度为 ▲ cmm =，则3222016m m m --的值是 ▲．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为 ▲21y x =+与双曲线ky x=的交点 的横坐标是1，则关于x 的不等式2+10kx x+<的解集是 ▲ 1开始的连续自然数按如下规律分组： 第1行： 1 第2行： 2，3，4图1图2EBC第3行： 5，6，7，8，9 第4行： 10，11，12，13，14，15，16……则2017在第 ▲ 行. 第9题图9．如图，在△ABC 中，E 是BC 上的一点，EC =2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF －S △BEF = ▲ 10．如图，四边形MNPQ 中，NP //MQ ，NP =2，MN= PQ=3，60NMQ ∠= ，正方形ABCD 的边长为1，它的一边AD 在MN 上，且顶点A 与M 重合．现将正方形ABCD 在四边形MNPQ 的外面沿边MN 、NP 、PQ 进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q 重合即停止滚动，则正方形在整个翻滚过程中点A 所经过的路线与四边形MNPQ 的三边MN 、NP 、PQ 所围成图形的面积是 ▲二、解答题（本大题共6小题，共90分）11．（本小题满分12分）对x ，y 定义一种新运算T ，规定：(),2ax byT x y x y+=+（其中a 、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：()010,1201a b T b ⨯+⨯==⨯+．已知()1,12T -=-，()4,21T =．（1）求a ，b 的值； （2）若关于m 的不等式组()()2,544,32T m m T m m p-≤⎧⎪⎨->⎪⎩恰好有3个整数解，求实数p 的取值范围．12．（本小题满分14分）如图，已知A ，B两点的坐标分别为(A ，()2,0B ，直线AB 与反比例函数my x=的图像交于点C 和点()1,D a -．（1）求直线AB 和反比例函数的解析式；BA (M )D C NPQ（2）求∠ACO 的度数；（3）将△OBC 绕点O 逆时针方向旋转α角（α为锐角）， 得到△''OBC ，当α为多少度时'OC AB ⊥，并求此时线段'AB 的长．13．（本小题满分14分）已知抛物线2243m mx x y -+=（m >0）与x 轴交于A 、B 两点． （1）求证：抛物线的对称轴在y 轴的左侧； （2）若3211=-OA OB （O 是坐标原点），求抛物线的解析式； （3）设抛物线与y 轴交于点C ，若∆ABC 是直角三角形，求∆ABC 的面积．14．（本小题满分14分）已知在△ABC 中，以AC 边为直径的⊙O 交BC 于点D ，在劣弧AD 上有一点E 使得∠EBC =∠DEC ，延长BE 依次交AC 于G ，交⊙O 于H ． （1）求证：AC ⊥BH ；（2）若∠ABC =45°，⊙O 的直径等于10，BD =8，求CE 的长．15．（本小题满分16分）为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形ABCD 是矩形，分别以AB 、BC 、CD 、DA 边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，矩形的边长AB y =米，BC x =米.（注：取=3.14π） （1）试用含x 的代数式表示y ；（2）现计划在矩形ABCD 区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元. ①设该工程的总造价为W 元，求W 关于x 的函数关系式；②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由；ABCD③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC 的长不超过AB 长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由．16．（本小题满分20分）如图，第一象限内半径为2的⊙C 与y 轴相切于点A ，作直径AD ，过点D 作⊙C 的切线l 交x 轴于点B ，P 为直线l 上一动点，已知直线P A 的解析式为：3y kx =+．（1）设点P 的纵坐标为p ，写出p 随k 变化的函数关系式；（2）设⊙C 与P A 交于点M ，与AB 交于点N ，则不论动点P 处于直线l 上（除点B 以外）的什么位置时，都有△AMN ∽△ABP ，请你对于点P 处于图中位置时的情形给予证明； （3）是否存在k ，使得△AMN 的面积等于3225请求出符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1．（5分）下列运算结果中正确的是（）A．＝a B．（﹣2a2）3＝﹣6a6C．a2•a3＝a6D．a5÷a3+a2＝2a22．（5分）是x1，x2，…，x100的平均数，a是x1，x2，…，x30的平均数，b是x31，x32，…，x100平均数，则下列各式一定正确的是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝a+b3．（5分）若一次函数y＝x+k与反比例函数的图象没有公共点，则k的值可以是（）A．﹣5B．﹣4C．﹣2D．24．（5分）如图，四边形AODC是边长为1的正方形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点M在线段AB上，MN⊥AB，且MN交CD或交弧DB于点N，设AM＝x（0≤x≤2），图中阴影部分表示的平面图形AMNC（或AMNDC）的面积为y，则y关于x的函数的大致图象是（）A．B．C．D．5．（5分）如图，在半径为1，圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．6．（5分）有下列四个命题：①若a＝b，则ac＝bc；②若x＜y，则x2＜y2；③命题“若x2≠4，则x≠2”的逆命题；④若一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是k≥﹣1，其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．37．（5分）在函数y＝中，自变量x的取值范围为（）A．x≤﹣4或x≥2B．﹣4＜x＜1且x≠0C．﹣4≤x≤1且x≠0D．﹣4≤x＜1且x≠08．（5分）把一枚质地均匀的骰子掷两次，则两次向上的点数之和不小于9的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根可视为函数y＝x﹣2的图象与函数的图象公共点的横坐标，则方程x3﹣2x﹣1＝0的正实数根x0所在的范围是（）A．1B．C．D．＜210．（5分）如图，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB＝6，点A的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点G是AD与y轴的交点，若点P为边CD上一动点，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，则点P的坐标为（）A．P（，4）B．P（，4）C．P（，4）D．P（，4）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）把答案填在答题卡的相应位置上.11．（5分）＝．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为．13．（5分）如图，已知菱形ABCD的周长为8，面积为2，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，记PC﹣PE的最大值为m，记PC+PE的最小值为n，则＝．14．（5分）如图，将▱ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A＝60°，AD＝2，AB＝3，则AE的长为．15．（5分）规定：（x）表示不小于x的最小整数，[x]表示不大于x的最大整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：（4.7）＝5，[﹣4.7]＝﹣5，[4.7）＝5，则下列说法正确的是（写出所有正确说法的序号）①当x＝2.3时，（x）+[x]+[x）＝7；②当x＝﹣2.3时，（x）+[x]+[x）＝﹣6；③（x+y）≤（x）+（y）；④[x﹣y]≤[x]﹣[y]．16．（5分）古代数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2+n．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），则下面给出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N（n，3）＝n2+n四边形数N（n，4）＝n2五边形数N（n，5）＝n2﹣n六边形数N（n，6）＝2n2﹣n…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（20，19）＝．三、解答题（本大题共8个小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内17．（6分）袋子中装有1个红球，2个黄球和3个绿球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出两个球．（1）求两球颜色为一黄一绿的概率；（2）若摸到红球记1分，摸到黄球记2分，摸到绿球记3分，求得分为4分的概率．18．（6分）如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O切线，BC交⊙O于点E．（1）若D为AC中点，求证：DE是⊙O切线；（2）若OA＝CE，求tan∠ACB的值．19．（8分）某公司在甲，乙两地销售同一种品牌的手机，在甲地的销售利润（单位：百元）为y1＝ax2+6.5x，在乙地的销售利润（单位：百元）为y2＝kx，其中x为销售量（单位：部），当x＝5时，y1＝2y2；当x ＝35时，y1＝y2．（1）求实数a和k的值；（2）若该公司在两地共销售40部该种品牌的手机，求该公司获得的最大销售利润．20．（8分）小明根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整，并解决相关问题．（1）函数y＝的自变量x的取值范围是；（2）当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是；（3）当1＜x＜3时，函数y＝有最（填“大”或“小”）值，该值为；（4）请根据函数的解析式或结合函数的图象，写出有关函数增减性的两条性质：①②；（5）如果方程＝a没有实数解，那么a的取值范围是．21．（10分）如图，点E为正方形ABCD边BC上一动点（不与B，C重合），∠AEF＝90°，AE＝EF，连接AF交边CD于M，交BC的延长线于N，连接EM、CF，EF交CM于点P．（1）判断线段BE、EM、MD间的数量关系，并证明你的结论；（2）若正方形边长为1，且BE：EC＝1：2，求MP和FN的长．22．（10分）已知实数a，b满足a2+b2＝1．（1）求t＝a﹣b的取值范围；（2）求y＝a﹣b+ab﹣1的最大值．23．（10分）已知抛物线y＝x2﹣（5k+1）x+6k2+3k．（1）求证：无论k取任何实数，抛物线与x轴总有公共点；（2）如图，若抛物线与x轴正半轴交于B、C两点，与y轴交于点A．是否存在实数k，使得AB＝BC，且∠ABC＝150°．若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．24．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于B、C两点．（1）求抛物线的顶点A的坐标及B，C两点的坐标；（2）在x轴上是否存在一点P，使△P AB为等腰三角形？若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；（3）如图，连接AB、AC，点M为线段BC上一动点，过点M作直线MN∥AC交线段AB于点N，求△AMN面积的最大值．。

保密★启用前青岛九中2019年自主招生考试笔试数学试题友情提示：答题前请仔细阅读以下说明1.考试时间为90分钟,试卷满分120分。

试卷由Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分构成。

Ⅰ卷为单项选择题，共40分；第Ⅱ卷为非选择题，共80分。

2.第Ⅰ卷共2页，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上。

第Ⅱ卷共2页，请将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题纸相应位置上，答在试卷上或不在规定区域答题均无效。

第Ⅰ卷（40分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1.某商场购进一批服装，每件进价为300元，由于换季促销，商场决定将这种服装按标价的八折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装标价是（）A ．360元B ．400元C ．450元D ．500元2.如图，O ⊙的半径为2，ABC ∆是O ⊙的内接等边三角形，则O ⊙的内接矩形BCDE 的面积是（）A ．2B ．32C ．334D ．343.直线n mx y +=与抛物线)02>++=a c bx ax y （交于),5(),,2(q B p A -两点，则关于x 的不等式c bx ax n mx ++<+2的解集是（）．A.2-<x B.52<<-x C.5>x D.52>-<x x 或4.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别是S 1，S 2，则S 1+S 2的值为（）A.16 B.17 C.18 D.195.若不等式组只有两个整数解2和3，则对于整数a 和b ，能组成的有序数对（a ，b ）共有（）对.A.2B.6C.9D .126.《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中收录的杨辉三角比欧洲的帕斯卡三角早了500多年，里面蕴含许多有趣的规律，如图所示，第10行的中间数和第101行中的第三个数分别是（）A ．252101B ．2524950C ．2525050D ．12649507.如图，等边三角形ABC 中，D 为AC 边上一点，连接BD ,M 为BD 上一点，并且MD =2BM ,连接AM 并延长交BC 于点E ,︒=∠60AMD ,则CD AD的值为（）A ．13+B ．512-C ．215+D ．1-38.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图像如图所示，则下列结论：①abc <0②a ＋b ＋c ＝－2③④b>－1．其中正确的结论是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④第Ⅱ卷（80分）二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）9.的值为）（22)30(tan 3-212-3-++.10.一组数：4、5、－1、x 、－2的中位数是x ，其中x 是方程052=-x x 的根，那么这五个数的平均数为.11..1]2.0[,1]2.1[][-=-=的最大整数，如表示不超过定义x x 的解是时，方程当0][211-2=-+≤≤x x x x ______________.21－<a12.已知()0122=-+-a ab b a 满足、,=++++++++++)2019)(2019(1.......)2)(2(1)1)(1(11b a b a b a ab 则.13.已知x 为正实数，且1-2-2-622x x xx =，则x 的值为__________.14.如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =3，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的动点，则DA +DE 的最小值为_____．15.定义二次函数的图像与直线x y =交点的横坐标为二次函数的不动点.已知二次函数()21324=+-+-y x mn x mn 有唯一不动点，且0<mn ，则此二次函数的图像与x 轴两个交点间的距离是.16.如图，点A 、B 是反比例函数图像上的两点，延长线段AB 交y 轴于点C ，且点B 为线段AC 中点，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，点E （-1,0）为线段OD 的三等分点，且OE<DE 连接AE 、BE ，若S △ABE =27，则k 的值为.三、解答题（本大题共3小题，满分40分）17.（本题满分10分）随着道路交通的不断完善以及生活水平的提高，我市周边旅游业蓬勃发展，已知我市周边旅游景区有A 、B 、C 、D 、E 等著名景点，旅游部门统计绘制出2018年“五•一”长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题：（1）2018年“五•一”期间，我市周边景点共接待游客万人，扇形统计图中A 景点所对应的圆心角的度数是，并补全条形统计图（画图后请标注相应的频数）．（2）根据近几年到我市旅游人数增长趋势，预计2019年“五•一”节将有150万游客选择来我市旅游，请估计有多少万人会选择去E 景点旅游？（3）青岛九中外联社团有3个男生和2个女生，现从中选出两人去景点A 调研，求选出的两人中至少有一名女生的概率.请用画树状图或列表法加以说明.18.（本题满分12分）某科学研究院要研制一种新型升温材料，并将材料分为A 、B 两组，用不同工艺做升温对比实验，实验开始时，温度都是20摄氏度，经过x 分钟时，A 、B 两组材料的温度分别)0(≠=k xk y是A y 摄氏度、B y 摄氏度，其中（部分图像如图所示），又知当x =20分钟时，两组材料的温度相等.（1）分别求A y 、B y 关于x 的函数关系式;（2）在80≤≤x 的什么时刻，两组材料的温差最大？最大温差是多少？（3）当200≤≤x 时，若两组材料温差不超过42摄氏度，则实验时间x 应该控制在什么范围内？19.（本题满分18分）在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 为坐标原点．现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点初次落在直线y=x 上时则停止旋转．在旋转过程中，AB 边交直线y=x 于点D ，BC 边交x 轴于点E ，连接DE （如图示）．（1）求边AB 从开始旋转到停止所扫过的面积；（2）设△DBE 的周长为L ，在旋转正方形OABC 的过程中，证明：L 是定值，并求出这个定值;（3）设DE=m ，，的面积为S ODE ∆求S 与m 的函数关系式，当m 为何值时S 最小，最小值是多少?(备用图)m x y b kx y BA +--=+=2)60(21,青岛九中2019年自主招生考试笔试数学参考答案一、选择题（每题5分，共40分）1.C; 2.D; 3.D; 4.B; 5.B; 6.C;7.A;8.B;二、填空题（每题5分，共40分）9.7；10.1.2；11.－1或0；12.20212020；13.3；14.233；15.7；16.－6三、解答题（本大题共3小题，满分40分）17.（1）100，108°，频数为24（图略）........................................................3分（2）150×12%=18...................................................................................................5分（3）女1女2男1男2男3女1女1女2女1男1女1男2女1男3女2女2女1女2男1女2男2女2男3男1男1女1男1女2男1男2男1男3男2男2女1男2女2男2男1男2男3男3男3女1男3女2男3男1男3男2共有20种结果，每种结果出现的可能性相同，至少有一名女生的情况有14种，.........8分P (两人中至少有一名女生）=1072014=........................................................................................................10分18.（1）将点（0,20）代入B y ，得20=-1800+m,即m=1820................................................1分2060211820)60(2122++-=+--=∴x x x y B ........................................................2分点（0,20）代入A y ，b=20........................................................................................................3分因为交点的横坐标为20，把x =20,带入B y 得，y =1020.所以交点坐标为（20,1020），把（20,1020）代入A y ，得k=50,2050+=∴x y A .........................................................................................................4分（2）设两组材料的温差为w,()()50)10(211021205018206021222+--=+-=+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=x xx x x y y w A B －..................................................6分因为,021＜-=a 所以抛物线开口向下，又因为对称轴为直线x =10，所以，当80≤≤x 时，w 随x 的增大而增大，.488取得最大值时，当w x =∴.........8分（3）当w=42时，4250)10(212=+--x 解得，14;621==x x ...........................................................................................................10分又因为0≤x ≤20，根据图像可得，当温差w ≤42时，201460≤≤≤≤x x 或.......................................................................................................12分19.解：（1）如图，S 阴=S △OA ’B’+S 扇形OBB '﹣S △OAB ﹣S 扇形OAA '=S扇形OBB’﹣S 扇形OAA ’=()2236045223604522πππ=⨯-⨯...........................................4分(2）L 值无变化证明：延长BA 交y 轴于F 点，由旋转可得；∠AOF=∠COE 在△OAF 与△OCE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠∠=∠OC OA EOC FAO COEAOF 90∴△OAF ≌△OCE （AAS ）....................................................................................................6分∴OE=OF ，AF=CE 在△ODF 与△ODE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠=OD OD EOD FOD OE OF 45∴△ODF≌△ODE （SAS ）.....................................................................................................8分∴FD=DE∴L=DE+DB+BE=DF+DB+BE=FA+AD+DB+BE=CE+AD+DB+BE=AB+BC=4；∴L 为定值，这个定值为4；......................................................................................11分（3）∵△ODF≌△ODE （SAS ）FD=DE=m ∴m m OA DF S S ODF =⨯⨯=⨯==22121△.................................................14分设AD=n ，则AF=m ﹣n ，DB=2﹣n ，∴BE=BC－CE=2-AF=2-(m-n)=2-m+n ∵222BE DB DE +=∴()()22222n m n m +-+-=............................................16分∴0422=+--m mn n ∵()()168424-22≥-+=+--=m m m m △∴()舍去；或424424--≤-≥m m ∴当4-24424=-=最小值时，S m。

名校初中自主招生考试数学试题（本卷满分120分 测试时间90分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分） 1．在如图所示的12个图形中，轴对称图形有( )个．A ．4个B ．3个C ．5个D ．6个2．John 于早上6点x 分钟从A 地出发，在当天早上6点y分钟抵达B 地．他发现，在这段行程的起点和终点时刻，时针和分针所成的夹角都是110︒．那么John 从A 地至B 地耗时（ ）A ．35分钟B ．38分钟C ．40分钟D ．44分钟 3. 若m m m =-+-20082007，则=-22007m （ ）A ．7 Ｂ．2008 Ｃ．20082 Ｄ．-20082 4．如图,一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了 ( ) A ．4圈B ．3圈C ．5圈D ．3.5圈5．如图，点A (,)(0)p q p q <<在反比例函数3y x=的图像上，且OA=5，过A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ，线段OA 的垂直平分线交OC 于点B ，连结AB ，则△ABC 的周长为（ ） A ．8 B ．7 C ．27 D ．316．二次函数267y x x =-+-，当x 取值为2t x t ≤≤+时有最大值2(3)2y t =--+，则t 的取值范围为（ ）（A ）t ≤0 （B ）0≤t ≤3 （C ）t ≥3 （D ）以上都不对．7．图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图（箭头表示行进的方向）。

图2中E 为AB 的中点，图3中AJ>JB 。

判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）第1题第4题xOAC B第5题A 、甲=乙=丙B 、甲<乙<丙C 、乙<丙<甲D 、丙<乙<甲AB 于D 、8．P 是△ABC 内一点，AD 、BE 、CF 过点P 并且交边BC 、CA 、E 、F ，则A 1B 2C 3D 4二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）9．若2x+5y-5=0,则4x ×32y =______________10．记()()()()()24825612121212121x x =++++⋅⋅⋅++，则是 ．11．圆内接四边形四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为12．如图，E 、F 分别是 A B C D 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD 15=2cm ，S△BQC 25=2cm ，则阴影部分的面积为 2cm ．13若ax 2+(a+2)x+9a=0有两个不同实根，x 1,x 2,且x 1<2<x 2,则a 的取值范围为14．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且5AM =，135MAN ∠=︒，则四边形AMCN 的面积为___________15．方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图象与函数y ＝1x的图象交点的横坐标，那么方程kx 2+x－4＝0的两个解其实就是直线 ▲ 与双曲线 ▲ 图象交点的横坐标，若这两个交点均在直线y ＝x 的同侧，则实数k 的取值范围是 .三、解答题（本大题共5小题，第16-19题各10分，第20题12分，共52分）16．（1）已知非零实数,a b 满足ab a b =-，试求a b ab b a+-的值．（2）已知实数,,a b c 满足784,847a b c a b c -+=+-=，试求222a b c -+的值．17．如图，在等腰三角形ABC 中，AB=1，∠A=900，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积。