2019年重点中学自主招生模拟考试数学试卷
满分：120分 时间：90分钟 2019.11
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） （1）如果一元一次不等式组⎩
⎨
⎧>>a x x 3
的解集为x ＞3，则a 的取值范围是 A ．a ＞3 B ．a ≥3 C ．a ＜3 D ．a ≤3
（2）若实数x 满足12223-=++x x x ，则9932x x x x ++++ =
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．99
（3）如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线, 称得它的质量为a 克，再称得剩余电
线的质量为b 克，那么原来这卷电线的总长度是
A ．a b 1+米
B ．（a b +1）米
C ．（a+b a +1）米
D ．（b a +1）米
（4）若实数n 满足2)45()46(2
2
=-+-n n ，则代数式)45)(46(n n --的值是
A ．1-
B ．2
1-
C ．21
D ．1
（5）已知方程2(21)10x k x k +++-=的两个实数根12,x x 满足1241x x k -=-，则实数k
的值为 A ．—3，0 B ．1，43-
C ．1，1
3
- D ．1，0 （6）如图，矩形AOBC 的面积为16，反比例函数x
k
y =
的图象经过矩形的对角线的交点P ，则反比例函数的解析式是
A ．
x y 1= B ．x y 2
=
C ．x y 4=
D ．x y 8
= （7）设213a a +=，2
13b b +=，且a b ≠，则代数式3311b
a +的值为
A ．24-
B ．18-
C ．18
D ．24
（8）当x 分别取值201，191，18
1
，…31，21，1，2，3，…，18，19，20时，计算代数
式2
2
11x
x +-的值，将所得的结果相加，其和等于 A ．－20 B ．0 C ．1 D ．20
（9）如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当
滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为
A ．32
B ．4
C ．π
D ．2π
（10）方程81322
2
=++y xy x 的整数解(,)x y 的组数为
A ．7
B ． 6
C ．5
D ．4
二、填空（本题有7个小题，其中11题6分，其余每小题4分，共30分） （11）直接写出下列关于x 的方程的根： ①015722=-+x x ； ②24)3)(2)(1(=+++x x x x ；
③4112
2=+++
x x x
x ；④01)2(2
=+--+a x a x ； （12）已知三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且x =
a
a ＋
b
b ＋
c
c ＋
ab
ab ＋
ac
ac ＋
c
b bc
，
则ax 3
＋bx 2
＋cx ＋1=_________.
（13）若化简16812
+---x x x 的结果为52-x ，则x 的取值范围是 . （14）如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长
线交AB 于点Q ，那么:DPQ ABC S S ∆∆=______________. （15）若实数a 、b 满足b ＞a ＞0，且ab b a 422=+，
则b
a b a +-= . （16）若实数b a ,满足0111=+--b
a b a ，则
=+ab b a 2
2
. （17）桌面上有三颗球，相互靠在一起。已知其中两个大球的半径均为3cm ，一个小球半径
1cm ，则这三颗球分别与桌面相接触的三点构成三角形的面积为 cm 2.
三、解答题（本题有6小题，共60分）
（18）本题满分8分
（Ⅰ）先化简，再求值：11)131()11(2
2-⨯--÷++x x x x x ，其中x =︒60sin . （Ⅱ）已知正实数x ，y 满足：0622
2
=-+y xy x ，求2
22
2y 3xy 2-x y 6xy 5x 4++-的值.
如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，sin B =
3
5
，D 是BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，CD =DE ，AC +CD =9．
（Ⅰ）求BC 的长； （Ⅱ）求CE 的长.
（20）本题满分8分
已知直线11
:n n l y x n n
+=-
+（n 是正整数）.当n =1时，直线1:21l y x =-+与 x 轴和y 轴分别交于点1A 和1B ,设△11OB A (O 是平面直角坐标系的原点)的面积为1s ；当n =2
时，直线231
:22
l y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点2A 和2B ，设△22OB A 的面积为2s ，…,
依此类推,直线n l 与x 轴和y 轴分别交于点n n A B 和，设n n A OB ∆的面积为n S .
（Ⅰ）求△11OB A 的面积1s ； （Ⅱ）求2013321s s s s +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++的值.
（21）本题满分12分
如图, 已知抛物线c bx x y ++=
2
2
1与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，1-）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面
积最大时，求点D 的坐标；
（Ⅲ）若ΔABC 的外接圆⊙P 与y 轴的另一个交点为F ，请直接写出点F 的坐标和⊙P 的
面积．
B
A （第19题）
