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2020年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1．（4分）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2﹣a﹣2＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；④|a|＜1﹣bc．其中正确的结论有（）个A．4B．3C．2D．12．（4分）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（）A．2B．24C．2D．123．（4分）5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：根据该统计图，下列说法错误的是（）A．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量4．（4分）已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2B．0≤m≤C．﹣2≤m≤﹣D．m≤﹣5．（4分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为（）A．3B．C．D．6．（4分）如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M 到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN ＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（）A．20B．18C．10D．9二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7．（4分）2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为．8．（4分）在△ABC中，AB＝AC，若cos A＝，则＝．9．（4分）如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是．（结果用m，n表示）10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形MNPQ的顶点M，N分别在x轴，y轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN＝8，PN＝4，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为．11．（4分）如图，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC 是等腰三角形，则k的值是．12．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为．三、解答题（本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程）13．（12分）（1）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实根x1，x2，且满足x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，求实数k的值；（2）已知a＜b＜0，且+＝6，求（）3的值．14．（12分）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：类型占地面积可供使用幢数造价（万元）A1518 1.5B2030 2.1（1）已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？（2）当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：y＝，若每个B 型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）15．（14分）已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H．（1）当直线FH与⊙O相切时，求AE的长；（2）当FH∥BE时，求AE的长；（3）若线段FH交⊙O于点G，在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由．16．（14分）如图①，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，），点D 是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．（1）求a，c的值；（2）求线段DE的长度；（3）如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？2020年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1．（4分）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2﹣a﹣2＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；④|a|＜1﹣bc．其中正确的结论有（）个A．4B．3C．2D．1【分析】根据数轴上各数的位置得出a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，依此即可得出结论．【解答】解：根据题意得：a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，则①a2﹣a﹣2＝（a﹣2）（a+1）＞0；②∵|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣a+b﹣b+c＝﹣a+c，|a﹣c|＝﹣a+c，∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③∵a+b＜0，b+c＞0，c+a＜0，∴（a+b）（b+c）（c+a）＞0；④∵|a|＞1，1﹣bc＜1，∴|a|＞1﹣bc；故正确的结论有②③，一共2个．故选：C．2．（4分）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（）A．2B．24C．2D．12【分析】依据题意得到三个关系式：a﹣b＝﹣c，ab＝8，a2+b2＝c2，运用完全平方公式即可得到c的值．【解答】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”y＝x+的图象上，∴＝﹣+的一次函数，即a﹣b＝﹣c，又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条变长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4，∴ab＝4，即ab＝8，又∵a2+b2＝c2，∴（a﹣b）2+2ab＝c2，即∴（﹣c）2+2×8＝c2，解得c＝2，故选：A．3．（4分）5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：根据该统计图，下列说法错误的是（）A．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量【分析】根据图象逐一分析即可．【解答】解：对于A，由柱状图可得5月份出货量最高，故A正确；对于B，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B正确；对于C，根据曲线上数据可得仅仅4月5月比同比高，其余各月均低于2018，且明显总出货量低于2018年，故C正确；对于D，可计算得2018年12月出货量为：3044.4÷（1﹣14.7%）＝3569.05，8月出货量为：3087.5÷（1﹣5.3%）＝3260.3，因为3260.3＜3569.05，故12月更高，故D错误．故选：D．4．（4分）已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2B．0≤m≤C．﹣2≤m≤﹣D．m≤﹣【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是﹣，得出m≤﹣；再求得当x＝1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m的下限．【解答】解：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，∴m≤﹣；∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；∴﹣2≤m≤﹣．故选：C．5．（4分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为（）A．3B．C．D．【分析】由勾股定理求出AB，由旋转的性质可得AO＝A′O，A′B′＝AB，再求出OE，从而得到OE＝A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，由三角形的面积求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三线合一的性质可得A′E＝2EF，然后由B′E＝A′B′﹣A′E代入数据计算即可得解．【解答】解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，∴AB＝＝＝4，∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，∴AO＝A′O＝4，A′B′＝AB＝4，∵点E为BO的中点，∴OE＝BO＝×8＝4，∴OE＝A′O＝4，过点O作OF⊥A′B′于F，S△A′OB′＝×4•OF＝×4×8，解得OF＝，在Rt△EOF中，EF＝＝＝，∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，∴A′E＝2EF＝2×＝，∴B′E＝A′B′﹣A′E＝4﹣＝；故选：B．6．（4分）如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M 到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（）A．20B．18C．10D．9【分析】由图2知：AB+BC＝9，设AB＝m，则BC＝9﹣m，则tan∠MAB＝tan∠NMC，即，即，化简得：y＝﹣x2+﹣9，当x＝﹣＝时，y＝﹣9+＝，即可求解．【解答】解：由图2知：AB+BC＝9，设AB＝m，则BC＝9﹣m，如图所示，当点M在BC上时，则AB＝m，BM＝x﹣m，MC＝9﹣x，NC＝y，∵MN⊥AM，则∠MAB＝∠NMC，tan∠MAB＝tan∠NMC，即，即，化简得：y＝﹣x2+x﹣9，当x＝﹣＝时，y＝﹣9+＝，解得：m＝5，则AM＝5，BC＝4，故ABCD的面积＝20，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7．（4分）2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为．【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画图如下：共有20种等可能的情况数，其中最后确定的主持人是一男一女的有12种，则最后确定的主持人是一男一女的概率为＝．故答案为：．8．（4分）在△ABC中，AB＝AC，若cos A＝，则＝．【分析】过B点作BD⊥AC于点D，设AD＝4x，根据三角函数和勾股定理用x表示AB 与BD，BC，然后求结果便可．【解答】解：过B点作BD⊥AC于点D，∵cos A＝，∴，设AD＝4x，则AB＝5x，∴，∵AB＝AC，∴AC＝5x，∴CD＝5x﹣4x＝x，∴BC＝，∴，故答案为：．9．（4分）如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是m+2019n．（结果用m，n表示）【分析】用2020个这样的图形（图1）的总长减去拼接时的重叠部分2019个（m﹣n），即可得到拼出来的图形的总长度．【解答】解：由图可得，2个这样的图形（图1）拼出来的图形中，重叠部分的长度为m ﹣n，∴用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度＝2020m﹣2019（m﹣n）＝m+2019n，故答案为：m+2019n．10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形MNPQ的顶点M，N分别在x轴，y轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN＝8，PN＝4，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为4+4．【分析】取MN的中点E，连接OE，PE，OP，根据勾股定理和矩形的性质解答即可．【解答】解：如图，取MN的中点E，连接OE，PE，OP，∵∠MON＝90°，∴Rt△MON中，OE＝MN＝4，又∵∠MQP＝90°，MN＝8，PN＝4，NE＝4，∴Rt△PNE中，PE＝，又∵OP≤PE+OE＝4+4，∴OP的最大值为4+4，即点P到原点O距离的最大值是4+4，故答案为：4+4．11．（4分）如图，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC 是等腰三角形，则k的值是或．【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A、B、C的坐标（用k表示），再讨论①AB＝BC，②AC＝BC，即可解题．【解答】解：∵点B是y＝kx和y＝的交点，y＝kx＝，∴点B坐标为（，2），同理可求出点A的坐标为（，），∵BD⊥x轴，∴点C横坐标为，纵坐标为，∴BA＝，AC＝，BC＝，∴BA2﹣AC2＝k＞0，∴BA≠AC，若△ABC是等腰三角形，①当AB＝BC时，则＝，解得：k＝±（舍去负值）；②当AC＝BC时，同理可得：k＝；故答案为：或．12．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为5．【分析】连接BM．先判定△F AE≌△MAB（SAS），即可得到EF＝BM．再根据BC＝CD ＝AB＝4，CM＝3，利用勾股定理即可得到，Rt△BCM中，BM＝5，进而得出EF的长．【解答】解：如图，连接BM．∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，∴AF＝AM，∠F AB＝∠MAD．∴∠F AB＝∠MAE，∴∠F AB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．∴∠F AE＝∠MAB．∴△F AE≌△MAB（SAS）．∴EF＝BM．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB＝4．∵DM＝1，∴CM＝3．∴在Rt△BCM中，BM＝＝5，∴EF＝5，故答案为：5．三、解答题（本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程）13．（12分）（1）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实根x1，x2，且满足x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，求实数k的值；（2）已知a＜b＜0，且+＝6，求（）3的值．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2k﹣1）2﹣4k2≥0，然后解不等式可得k的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2k﹣1、x1x2＝k2，结合x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可求实数k的值；（2）先通分可得a2+b2＝6ab，再根据完全平方公式的变形可得的值，进而可得（）3的值．【解答】解：（1）根据题意得△＝（2k﹣1）2﹣4k2≥0，解得k≤；（2）x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2，∵k≤，∴x1+x2＝2k﹣1≤0，而x1x2＝k2≥0，∴x1≤0，x2≤0，∵x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，∴x1•x2+x1+x2＝2，即k2+（2k﹣1）＝2，整理得k2+2k﹣3＝0，解得k1＝﹣3，k2＝1，而k≤，∴k＝﹣3；（2）∵+＝6，∴a2+b2＝6ab，∴（a+b）2＝8ab，∴（b﹣a）2＝（a+b）2﹣4ab＝4ab，∴（）2＝＝2，∴＝±，∵a＜b＜0，∴a+b＜0，b﹣a＞0，∴＜0，∴＝﹣∴（）3＝﹣2．答：（）3的值为﹣2．14．（12分）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：类型占地面积可供使用幢数造价（万元）A1518 1.5B2030 2.1（1）已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？（2）当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：y＝，若每个B 型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）【分析】（1）首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积＜等于370m2，居民楼的数量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y 与A型处理点的个数x之间的函数关系，进而求解；（2）分0≤x＜144、144≤x＜300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进而求解．【解答】解：（1）设建造A型处理点x个，则建造B型处理点（20﹣x）个．依题意得：，解得6≤x≤9.17，∵x为整数，∴x＝6，7，8，9有四种方案；设建造A型处理点x个时，总费用为y万元．则：y＝1.5x+2.1（20﹣x）＝﹣0.6x+42，∵﹣0.6＜0，∴y随x增大而减小，当x＝9时，y的值最小，此时y＝36.6（万元），∴当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱；（2）由题意得：每吨垃圾的处理成本为（元/吨），当0≤x＜144时，＝（x3﹣80x2+5040x）＝x2﹣80x+5040，∵0，故有最小值，当x＝﹣＝﹣＝120（吨）时，的最小值为240（元/吨），当144≤x＜300时，＝（10x+72000）＝10+，当x＝300（吨）时，＝250，即＞250（元/吨），∵240＜250，故当x＝120吨时，的最小值为240元/吨，∵每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍且A型处理点9个，建造B型处理点11个，∴每个A型处理点每月处理量＝×120×≈5.4（吨），故每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．15．（14分）已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H．（1）当直线FH与⊙O相切时，求AE的长；（2）当FH∥BE时，求AE的长；（3）若线段FH交⊙O于点G，在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由．【分析】（1）连接EF，F A，由CE为圆的切线且又和EB垂直，可知CE∥F A，推出∠CEF＝∠AFE，而∠AFE＝∠FEB可得∠CEF＝∠BEF，所以EF为∠BEC的平分线．又因为∠EFB为直角可知EF⊥BC，所以△BEC为等腰三角形，得到BF为BC的一半，又因为EA∥CF，可知四边形CEAF为平行四边形，即AD＝BF＝2.5；（2）根据平行线的性质得到BE⊥CE，由余角的性质得到∠ABE＝∠DEC，证得△ABE ∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）连接EF，由圆周角定理得出∠BFE＝90°，设AE＝x，则EF，＝AB＝2，BF＝AE ＝x，CF＝DE＝5﹣x，由已知条件得出点G在点F上方，连接BG、EG，设BG、EF交于点K，得出△BFK和△EGK都是等腰直角三角形，得出BF＝KF＝x，BK＝x，EK＝2﹣KF＝2﹣x，GK＝EG＝（2﹣x），BG＝GK+BK＝（2+x），证明△BEG∽△CEF，得出＝，得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）如图1，连接EF，F A，∵CE为圆的切线且又和EB垂直，∴CE∥AF∴∠CEF＝∠AFE；又∵∠AFE＝∠FEB，∴∠CEF＝∠BEF，∴EF为∠BEC的平分线；∵∠EFB＝90°，∴EF⊥BC，∴BE＝CE∴△BEC为等腰三角形，∴BF为BC的一半；∵EA∥CF，∴四边形CEAF为平行四边形，即AE＝CF＝2.5；（2）解：∵FH∥BE，FH⊥CE，∴BE⊥CE，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠DEC，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△CDE，∴＝，∵AB＝2，AD＝5，∴CD＝AB＝2，∴＝，∴AE＝1或AE＝4．（3）连接EF、OF、OG，如图3所示：则∠BFE＝90°，设AE＝x，则EF，＝AB＝2，BF＝AE＝x，CF＝DE＝5﹣x，若△OFG是等腰直角三角形，则∠FOG＝90°，连接BG、EG，设BG、EF交于点K，∴△BFK和△EGK都是等腰直角三角形，∴BF＝KF＝x，BK＝x，EK＝2﹣KF＝2﹣x，在等腰直角△EGK中，根据勾股定理得：GK＝EG＝（2﹣x），BG＝GK+BK＝（2+x），又∵∠EBG＝∠EFG＝∠FCH，∴△BEG∽△CEF，∴＝，即＝，解得：x＝，或x＝，∴AE的长度是或．16．（14分）如图①，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，），点D 是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．（1）求a，c的值；（2）求线段DE的长度；（3）如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？【分析】（1）：（1）将A（﹣1，0），C（0，）代入抛物线y＝ax2+x+c（a≠0），求出a、c的值；（2）由（1）得抛物线解析式：y＝，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C（0，），所以D（2，），DH＝，再证明△ACO∽△EAH，于是＝即＝，解得：EH＝2，则DE＝2；（3）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP ＝GF+PF+PN最小，根据S△MFP＝＝，m ＝时，△MPF面积有最大值．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，）代入抛物线y＝ax2+x+c（a≠0），，∴a＝﹣，c＝（2）由（1）得抛物线解析式：y＝∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C（0，）∴D（2，），∴DH＝，令y＝0，即﹣x2+x+＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵AE⊥AC，EH⊥AH，∴△ACO∽△EAH，∴＝即＝，解得：EH＝2，则DE＝2；（3）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP ＝GF+PF+PN最小，∴直线GN的解析式：y＝x﹣，由（2）得E（2，﹣），A（﹣1，0），∴直线AE的解析式：y＝﹣x﹣，联立解得∴F（0，﹣），∵DH⊥x轴，∴将x＝2代入直线AE的解析式：y＝﹣x﹣，∴P（2，）∴F（0，﹣）与P（2，）的水平距离为2过点M作y轴的平行线交FH于点Q，设点M（m，﹣m2+m+），则Q（m，m﹣）（＜m＜）；∴S△MFP＝S△MQF+S△MQP＝MQ×2＝MQ＝（﹣m2+m+）﹣（m﹣），S△MFP＝＝∵对称轴为：直线m＝，∵开口向下，＜m，∴m＝时，△MPF面积有最大值为..。
武汉华师一附中高中招生试题（语文、数学）华中师大一附中高中招生文科素质测试卷语文部分考试时间80分钟，卷面满分75分一、选择题（11分）1、选出下列句子中加点的词语的书写及注音、解释全都正确的一项（2分）答案[ ]A、校团委、校学生会组织同学们向河北省张家口市张北、尚义两县地震灾区捐款振灾[振：振济，用钱或衣服、粮食等救灾（灾民）振，音zhèn。
]B、华中理工大学博导王能超教授于1998年3月15日下午莅临我校作学术报告，题为“千古绝技割圆术”。
[莅临：书面语，来到；来临（多用于贵宾）。
莅，音lì]C、在当代，信息在不断“激增”，要学要懂的东西越来越使人眼花缭乱，目不暇接。
[目不暇接：东西太多，眼睛看不过来。
暇，音jiá]D、1997年11月24日，国务院副总理李岚清第二次到华师一附中视察。
在校电视演播室，李副总理以赞赏的眼光观看同学们娴熟地操作摄像机等设备。
[娴熟：熟练，文雅。
娴，音xián]2、选出下列没有语病、句意明确的一项（3分）A、雅琪将士用不屈的斗志和协作的团队精神化作战斗力，使得劲旅申花怏怏而归。
B、梨园绿化广场是武汉市创建山水园林城市的重要项目之一。
该广场位于武昌徐东路、东湖路、环湖路三条交通干道的交汇处。
C、1970年3月18日凌晨，“诺曼底”号邮船在英伦海峡沉没。
船上有28名船员，1名女服务员，31名乘客，12名妇女。
D、外国朋友来武汉作客，往往会盛情约请他们品尝一下汉味小吃。
3、选出文言句子翻译正确的一项（3分）A、“吾与汝毕力平险，指通豫南，达于汉阴，可乎？”译文：“我和你们尽全力铲除险峻的大山，一直通向豫州的南部，到达汉水北岸，可以吗？”B、斯是陋室，惟吾德罄。
译文：这是简陋的屋子，只是我（住屋的人）的品德好（就不感到简陋了）。
C、小大之狱，虽不能察，必以情。
译文：大大小小的监狱，虽然不能一一察看，但一定按照实情处理。
D、孰知赋敛之毒有甚是蛇者乎？译文：谁知道搜刮百姓的毒害有的如同蛇一样厉害呀。
华师一附中2015年高中招生考试数学测试题详解考试时间:80分钟 卷面满分:150分一.选择题（6分×6=36分）1,如果实数,,a b c 在数轴上的位置如图所示,2222a a b c ac a +-+可以化简为....A a b c B a b cC a b cD a b c--+-----+-【解析】由图知0b c a <<<,()222,2a a a a b a b c ac a c a a c ==-+=-+-+=-=-2222a a b c ac a +-+()()a a b a c a b c =-+++-=+-,选D .2.反比例函数4y x =-的图象与直线y kx b =-+交于()()1,,,1A m B n -两点,则△OAB 的面积为111513..4..222A B C D 【解析】（补形）()4.1,:-4,4;xy A m m m =--=-∴=Q 代入(),1:4B n n =-代入.故有A （－1,4）,B （－4,1）.作AE ⊥y 轴于E ,BD ⊥x 轴于D .可知： △AOE ≌△BOD .且11422AOE BOD S S ∆∆==⨯⨯=. 延长EA ,DB 交于C ,则四边形CDOE 是边长为4的正方形,且2416,CDOE S ==W △ABC 是腰长为3的等腰直角三角形,且219322ABC S ∆=⨯=.于是△OAB 的面积为915162222ABC S ∆=-⨯-= 3.设12,x x 是一元二次方程230x x +-=的两根,则3212415x x -+等于A.－4B.8C.6D.0【解析】（降次）由韦达定理:221212112211.3,3x x x x x x x x +=-⇒=--+=+=Q()()()2322212111111141534115341215x x x x x x x x x ∴-+=----+=--+++()2115344x x =-+--=-,故选A .4.已知,,ABC a b c ∆分别是的三边长,且满足44422222222a b c a c b c ++-+,则△ABC 是A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形注:原题条件不完整（是代数式而不是条件等式）,故无法解出.为试卷完整起见,将原题条件调整为:已知,,ABC a b c ∆分别是的三边长,且满足444222222220a b c a c b c ++--=,则△ABC 是⋯.【解析】由条件得: 4442222442440,a b c a c b c ++--=()()222222222222220,22,a cbcc a b a b a b c -+-=∴===+=即或且.故△ABC 是等腰直角三角形,选B .5.在一节3数学实践活动课上,老师拿出三个边长都为40mm 的正方形硬纸板,他向同学们提出了这样一个问题:若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上,用一个圆形硬纸板将其盖住,这样的圆形硬纸板的 最小直径为（单位：mm ）210.2517.100A B C D【解析】当3个正方形按如图排列时,其外接圆直径最小.显然,这个圆是等腰梯形ABCD 的外接圆O ,这里AB ∥CD 且CD =40,AB =80.设此等腰梯形的对称轴交AB 于M ,交CD 于N ,则MN =80. ∵AB >CD ,∴OM <ON .设OM =40－x ,ON =40+x ,圆半径为r . △AOM 中,()()22240401r x =+- △DON 中,()()22220402r x =++（1）－（2）：1512001600,2x x -=∴=,代入（2）29025106256251725400,17.4442r r ⨯=+==∴= 故所求最小圆的直径为2257r =故选C .6.如图,△ABC 内接于圆O ,BC =36,∠A =60°,点D 为»BC 上一动点,BE ⊥直线OD 于E ,当点D 由B 点沿»BC运动到点C 时,点E 经过的路线长为 3.83.273.54A B C D ππ【解析】（轨迹法）如解图,连结OB ,分别在»BC 上取123,,,,,B D D D C 其中2OD BC ⊥,则相应的动点 依次为123,,,,.B E E E N12390BE O BE O BE O BNO ∠=∠=∠=∠=︒Q .故点E 的轨迹是OB为直径的优弧¼2BE N . 已知BC =36,∴2218.BE BOE =∆是含30°角的直角三角形,∴123OB =.设M 为OB 的中点（优弧圆心）,连MN .则圆M 的半径MB =63注意到∠BOC =120°,∴∠BON =60°,∠BMN =120°, 优弧¼2BE N 之长为圆M 周长的¼222,26383.33BE Nl ππ∴=⨯⋅=,故选B . 二.填空题（7×7=49分）7.方程()31641x x x +=+的所有根的和为【解析1】3244160x x x --+=.根据广义韦达定理,此方程3根之和为4. 即123,1,4b x x x a b a ⎛⎫++=-==- ⎪⎝⎭这里 【解析2】由原方程得:()()()124220,4,2,x x x x x -+-=∴==-31232.4x x x x =++=.8.在5瓶饮料中,有2瓶已过了保质期,随机地从这5瓶饮料中取2瓶,取到至少有1瓶过保质期饮料的概率为【解析】（正繁则反）由于从这5瓶饮料中任取2瓶,没有过期饮料的概率为3,5故取2瓶,取到至少有1瓶过保质期饮料的概率为32155-= 9.关于x 的方程211aa x =--无解,则a 的值是【解析】由原方程得:()()()2111a a x =--关于x 的方程（1）只有唯一解1x =,代入（1）得0a =,此时原方程无解; 又在方程（1）中令1,a =得0a =.矛盾.此时方程（1）无解,从而原方程无解. 故若原方程无解,则必01a =或.10.一辆快车从甲地开往乙地,一辆慢车从乙地开往甲地,两车同时出发,分别以各自的速度在甲乙两地间匀速行驶,1小时后,快车司机发现有重要文件遗忘在出发地,便立即返回拿上文件（取文件时间不计）后再从甲地开往乙地,结果快车先到达乙地.慢车继续行驶到甲地.设慢车行驶速度为x （h ）,两车之间的距离为y （km ）,y 与x 的函数图象如图所示,则a =【解析】慢车12.5小时走完全程,()12.5100080x x km =⇒=设快车速度为t （h ） ∵1小时后两车相距800km ,即 1小时两车共行200km ,∴t =120km （h ）∵a 小时后两车相遇,此时慢车走80akm ,快车走120（a －1）km ,故有:()()80120110002001120, 5.6a a a a h +-=⇒=∴=11.已知24,13,234a x y x ax ≥≤≤=-+当时函数的最小值为－23,则a =【解析】原式配方得:2392448y x a a ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,抛物线开口向上且对称轴为34x a =.当34,34a a ≥≥时,故当13x ≤≤时,y 随x 增大而减小.故当x =3时有:22333423945, 5.a a a ⨯-⋅+=-⇒=∴=12.如图,在单位为1的正方形的网格纸上,123345567A A A ,A A A ,A A A ,,∆∆∆L 都是斜边在x 轴上,且斜边长分别为2,4,6,⋯的等腰直角三角形.若123A A A ∆的顶点分别为()()()123A 2,0,A 1,-1,A 0,0,则依图中的规律,2015A 的坐标为【解析】注意到点13521,,,,n A A A A +L 全在x 轴上,设其横坐标依次为1352015,,,,x x x x L ..继续分析.点41A n +都在原点右边,其横坐标取正值,点41A n -都在原点左边（其中3A 为原点）,其横坐标取0或负值（其中仅3A 横坐标为0）.∵2015=4×504－1,故2015A 必在原点左边,其横坐标必为负值.易求()()34117421114310,021,0224,x x x x x x ⨯-⨯-⨯-====+-⨯==+-⨯=-L()201545041025031006x x ⨯-==+-⨯=-,故所求点A 的坐标为:()20151006,0A -.13.有一张矩形风景画,长为90cm ,宽为60cm ,现对该风景画进行装裱,得到一个新的矩形,要求其长,宽之比与原风景画的长,宽之比相同,且面积比原风景画的面积大44%.若装裱后的上,下边衬的宽都为a cm ,左,右边衬都为b cm ,那么ab =【解析】依题意有:9029032360260222a ab b +==⇒=+（据等比定理）故()231a b=又:()()1449026029060100a b ++=⨯⨯()120180454442a b ab ⇒++=⨯（1）代入（2）：2260318065444603960.b b b b b ⋅++=⨯⇒+-=解得：()666b b ==-或舍,从而9,54a ab =∴=.三.解答题14.（14分）已知m ,n 是方程2310x x ++=的两根, （1）求162102553m m m m m-⎛⎫+-⋅- ⎪--⎝⎭的值; （233m n n m的值 【解析】（1）∵2310,m m ++=故()()()()551625162102255353m m m m m m m m m m m +-+--⎛⎫+-⋅-=⋅- ⎪-----⎝⎭ ()()2229223123203m m m m m m m m-++=--=-+-=-⋅=-. （2）m ,n 是方程2310x x ++=的两根,31m n mn +=-⎧∴⎨=⎩设33m n x n m =则33334422222m n m n m n x m n n m n m mn +=++⋅=+()()()2222222221,2229249mn x m nm n m n mn ⎡⎤=∴=+-+=+-=-=⎣⎦Q7,x ∴=即33m n n m15.（15分）如图,△ABC 中,AC =BC ,I 为△ABC 的内心,O 为BC 上一点,过B ,I 两点的圆O 交BC 于D 点,1tan ,6,3CBI AB ∠== （1）求线段BD 的长; （2）求线段BC 的长【解析】（1）如解图,I 为△ABC 内心,故BI 平分 ∠ABC .设∠ABI =∠CBI =α.连CI ,并延长交AB 于E ,∵CA =CB ,∴CE ⊥AB ,且 AE =BE =3.于是221IE=BE tan 31,31103BI α⋅=⨯==+=连DI ,∵BD 为圆O 的直径,∴∠BID =90°.于是101010tan 10393DI BI BD α=⋅==+=. （2）连OI ,∵OI =OB =53,∴∠DOI =2α,故OI ∥AB , △COI ∽△CBE ,5533,539353OI CO CO COBE CB CO CO =⇒=⇒=++2525515,121234CO BC ∴==+=.16.（18分）如图,四边形ABCD中,AD ∥BC ,∠BCD =90°,AD =6,BC =3,DE ⊥AB 于E ,AC 交DE 于F ,（1）求AE ·AB 的值; （2）若CD =4,求AFFC的值; （3）若CD =6,过A 点作 AM ∥CD ,交CE 的延长线于M , 求MEEC的值. 【解析】（1）如解图1,作AG ∥BC ,交 CB 延长线于G ,则四边形AGCD 为矩形. ∴GC =AD =6,但BC =3,∴GB =3.已知DE ⊥AB 于E ,∴△AGB ∽△DEA . 于是18.AB BGAB AE AD BG AD AE=⇒⋅=⋅= （2）延长AB ,DC 交于H .∵AD ∥BC ,且AD =2BC ,∴BC 为△AHD 的中位线,故 CH =DC =4.由勾股定理知AH =10,AB =BH =5.沿DE ,CB 交于T ,有△AED ∽△BTE .Rt △ADH 中,DE ⊥AH ,23618,105AD AE AH ∴=== 187555BE AB AE =-=-=.于是 775,186185BT BE BT AD AE =⇒==7716,3333BT CT ∴==+=由△AFD ∽△CFT ,知69168AF AD FC CT ===. （3）如解图3有35,AB BH ==6565555AE EH ==∴== ∵△AEM ∽△HEC ,651.2445ME AE EC EH ∴=== 17.（18分）二次函数242y x mx n =-+的图象与x 轴交于()()()1212,0,,A x B x o x x <两点,与y 轴交于c 点.（1）若AB =2,且抛物线的顶点在直线y =－x －2上,试确定m ,n 的值;（2）在（1）中,若点P 为直线BC 下方抛物线上一点,当△PBC 的面积最大时,求P 点坐标;（3）是否存在整数m ,n ,使得1212,12,x x <<<<同时成立?请证明你的结论. 【解析】（1）()2212121AB=2244x x x x x x ⇒-=⇒+-=.由韦达定理:121224m x x n x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故有:()2414m n -=抛物线的顶点为24,44m n m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,代入y =－x －2:()2242224444n m m m mn -=--⇒=--代入（1）： 20,8,4mm -=∴=从而12n =. （2）在（1）的条件下,有：241612y x x =-+此抛物线的顶点为（2,－4）,交x 轴于A （1,0）,B （3,0）,交y 轴于C (0,12）易求直线BC 的解析式为412y x =-+.为使△PBC 面积最大,只需点P 与直线BC 距离最远.设过P 且平行于BC 的直线解析式为4y x b =-+,代入抛物线解析式;22416124412120.x x x b x x b -+=-+⇒-+-=()14416120912,3b b b ∆=--=⇒=-∴=令.此时有33,43 3.22x y ==-⨯+=-即所求点的坐标为3,32P ⎛⎫-⎪⎝⎭. （3）（反证法）假如存在这样的整数m ,n ,使得方程2420x mx n -+=之2根满足121,2x x <<.那么:()122<<4,4<8,,5,6,7;12mx x m m m +=∴<∴=为整数()121<<4,416,,5,6,7,,15;24nx x n n n =∴<<∴=L 为整数()224160,34m m n n ∆=->∴<方程之2根为:x ==由()221481642444m m m m m n n m >⇒->-+>-⇒>-由()2228464164165m m n m m n m <⇒<-⇒-<-+⇒>-当m =5时,2m －4=6>4m －16=4,根据（3）,（4）,取2m －4<24m n <,即1664n <<,无整数解,舍去;当m =6时, 2m －4=8=4m －16, 根据（3）,（4）,取2m －4<24m n <,即89,n <<无整数解,舍去;当m =7时, 2m －4=10<4m －16=12. 根据（5）,（4）,取2416,4m m n -<<即112124n <<无整数解,舍去.据上分析,不存在整数m ,n ,使得1212,12,x x <<<<同时成立.。
2018-2019年最新湖北华中师范大学第一附属中学自主招生语文模拟精品试卷（第一套）（满分：100分考试时间：90分钟）一、语文基础知识（18分，每小题3分）1．下列词语中加点的字，读音全都正确的一组是（）A．连累(lěi) 角(juã)色河间相(xiàng) 冠冕(miǎn)堂皇B专横(hâng) 忖(cǔn)度涮(shuàn) 羊肉妄加揣(chuāi)测C．笑靥(yâ) 顷(qīng)刻汗涔(cãn)涔休戚(qì)相关D慨叹(kǎi) 俨(yǎn)然刽子手(kuàì) 刎(wěn)颈之交2、下列各项中字形全对的是（）A、橘子州偌大急躁光阴荏苒B、蒙敝犄角慰籍书生意气C、敷衍磕绊笔竿艰难跋涉D、翱翔斑斓屏蔽自怨自艾3、依次填入下列各句横线上的词语，最恰当．．的一项是（）⑴虽然他尽了最大的努力，还是没能住对方凌厉的攻势，痛失奖杯。
⑵那些见利忘义，损人利己的人，不仅为正人君子所，还很可能滑向犯罪的深渊。
⑶我认为，真正的阅读有灵魂的参与，它是一种个人化的精神行为。
A.遏制不耻必需B.遏止不耻必需C.遏制不齿必须D.遏止不齿必须4、下列句中加点的成语，使用恰当的一句是（）A、故宫博物院的珍宝馆里，陈列着各种奇珍异宝、古玩文物，令人应接不暇。
B、任何研究工作都必须从积累资料做起，如果不掌握第一手资料，研究工作只能是空中楼阁．．．．。
C、电影中几处看来是闲笔，实际上却是独树一帜之处。
D、这部精彩的电视剧播出时，几乎万人空巷，人们在家里守着荧屏，街上显得静悄悄的。
5、下列句子中，没有语病的一项是（）A 大学毕业选择工作那年，我瞒着父母和姑姑毅然去了西藏支援边疆教育。
B北京奥运会火炬接力的主题是‚和谐之旅‛，它向世界表达了中国人民对内致力于构建和谐社会，对外努力建设和平繁荣的美好世界。
C他不仅是社会的一员，同时还是宇宙的一员。
2023-2024学年湖北省华中学师大一附中中考试题猜想语文试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、积累与运用1．下列句子组成语段，顺序排列正确的一项是①人在事业上很难一帆风顺，有时甚至会陷入绝境。
②让人，对事业的发展有极大的帮助。
③而让人，则会让你的人生之树在即将枯萎的时候焕发新的生机。
④如果宁折不弯，不退不让，事业很可能会就此终结。
A．①②④③B．④②③①C．②①④③D．②③①④2．下列句子填写在横线上最恰当的一项是( )少男少女们从我的身边走过，飘动的黑发，，仿佛整个世界都洋溢着他们的歌声和笑语。
A．清澈的眼神，鹿一般轻盈的脚步，腮边的红晕像两朵花B．鹿一般轻盈的脚步，眼神的清澈，花一般清新的红晕C．清澈的眼神，花一般清新的红晕，鹿一般轻盈的脚步D．花一般清新的红晕，鹿一般轻盈的脚步，清澈的眼神3．下列各句中，加点字的注音和字形全都正确的一项是（）A．中国梦应是一幅多维度的篮图．．，它需要以更加宽广的胸怀包容各种文化思潮的交融碰撞，需要弘扬源远流长的中华文明，传承优秀璀璨．．（càn）的中国文化。
B．翰墨飘香，丹青溢彩，以“墨”为代表的书画艺术，是中国源远流长的文化胎记，承载．．（zǎi）着中华优秀传统文化的精髓．．，积淀着中华民族最深层的精神追求和审美哲学。
C．围棋文化源远流长，其魅力跨越几千年而历久弥新，高手们对弈论道时的心骛八极．．．．（wù）、神游万仞让人遐思无限，巅峰对决时的紧张刺激更令人目炫神迷．．．．。
D．坐上乌篷船,听听船夫哼唱的江南小调,看看河畔的蒿草,还有着蓝布衫子的少女,划着小船,激起的阵阵涟漪．（yī)。
2025届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三一诊考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ）A ．12B ．1-C ．±1D ．12±2．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()3log 2a f =，31log2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3c f =的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>3．如图，四边形ABCD 为正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，点P 在线段CD 上运动.设AP x AB y AE =+，则x y +的取值范围是（ ）A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]2,44．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．325．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（ ） A ．4πB ．38π C ．2π D ．58π6．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,7777．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．8．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．50509．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．10．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A ．23B ．163C ．6D ．与点O 的位置有关11．自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（ ）A ．12种B ．24种C ．36种D ．72种12．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e = A ．13B ．33C ．12D ．22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2−a−2<0；②|a−b|+|b−c|=|a−c|；③(a+b)(b+c)(c+a)>0；④|a|<1−bc.其中正确的结论有()个A. 4B. 3C. 2D. 12.已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C=90°，我们把关于x的形如y=ac x+bc的一次函数称为“勾股一次函数”.若点P(−1,√33)在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是()A. 2√6B. 24C. 2√3D. 123.5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：根据该统计图，下列说法错误的是()A. 2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B. 2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C. 2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D. 2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量4.已知函数y=x2+x−1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是−54，则m的取值范围是()A. m≥−2B. 0≤m≤12C. −2≤m≤−12D. m≤−125.如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=4，BO=8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E 的长度为()A. 3√5B. 12√55C. 9√55D. 16√556.如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN=y，图2表示的是y 与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是()A. 20B. 18C. 10D. 9二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）7.2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为______．8.在△ABC中，AB=AC，若cosA=45，则BCAB=______．9.如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度是______.(结果用m，n表示)10.如图，在平面直角坐标系中，矩形MNPQ的顶点M，N分别在x轴，y轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN=8，PN=4，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为______．11.如图，已知直线y=kx(k>0)分别交反比例函数y=1x 和y=4x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y=1x的图象于点C，连接AC.若△ABC是等腰三角形，则k 的值是______．12.如图，在正方形ABCD中，AB=4，点M在CD边上，且DM=1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为______．三、解答题（本大题共4小题，共52.0分）13.(1)已知关于x的方程x2−(2k−1)x+k2=0有两个实根x1，x2，且满足x1x2−|x1|−|x2|=2，求实数k的值；(2)已知a<b<0，且ab +ba=6，求(a+bb−a)3的值．14.习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：类型占地面积可供使用幢数造价(万元)A1518 1.5B2030 2.1(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？(2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：y={13x3−80x2+5040x,0≤x<14410x+72000,144≤x<300，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？(精确到0.1)15.已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H．(1)当直线FH与⊙O相切时，求AE的长；(2)当FH//BE时，求AE的长；(3)若线段FH交⊙O于点G，在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由．16.如图①，已知抛物线y=ax2+2√3x+c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与3y轴交于点C，点A坐标为(−1,0)，点C坐标为(0,√3)，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．(1)求a，c的值；(2)求线段DE的长度；(3)如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据题意得：a <−1<0<b <c <1， 则①a 2−a −2=(a −2)(a +1)>0；②∵|a −b|+|b −c|=−a +b −b +c =−a +c ， |a −c|=−a +c ，∴|a −b|+|b −c|=|a −c|；③∵a +b <0，b +c >0，c +a <0， ∴(a +b)(b +c)(c +a)>0； ④∵|a|>1，1−bc <1， ∴|a|>1−bc ；故正确的结论有②③，一共2个． 故选：C ．根据数轴上各数的位置得出a <−1<0<b <c <1，依此即可得出结论．本题考查了数轴、绝对值和有理数的大小比较；弄清数轴上各数的大小是解决问题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵点P(−1,√33)在“勾股一次函数”y =ac x +bc 的图象上，∴√33=−a c+b c的一次函数，即a −b =−√33c ，又∵a ，b ，c 分别是Rt △ABC 的三条变长，∠C =90°，Rt △ABC 的面积是4， ∴12ab =4，即ab =8， 又∵a 2+b 2=c 2， ∴(a −b)2+2ab =c 2， 即∴(−√33c)2+2×8=c 2，解得c =2√6， 故选：A ．依据题意得到三个关系式：a −b =−√33c ，ab =8，a 2+b 2=c 2，运用完全平方公式即可得到c 的值．考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．3.【答案】D【解析】解：对于A ，由柱状图可得5月份出货量最高，故A 正确； 对于B ，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B 正确；对于C ，根据曲线上数据可得仅仅4月5月比同比高，其余各月均低于2018，且明显总出货量低于2018年，故C 正确；对于D ，可计算得2018年12月出货量为：3044.4÷(1−14.7%)=3569.05， 8月出货量为：3087.5÷(1−5.3%)=3260.3， 因为3260.3<3569.05， 故12月更高，故D 错误． 故选：D ．根据图象逐一分析即可．本题考查了学生合情推理能力，考查数据分析与图表分析能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵函数y =x 2+x −1的对称轴为直线x =−12， ∴当x =−12时，y 有最小值，此时y =14−12−1=−54， ∵函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最小值是−54， ∴m ≤−12；∵当x =1时，y =1+1−1=1，对称轴为直线x =−12， ∴当x =−12−[1−(−12)]=−2时，y =1，∵函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最大值是1，且m ≤−12； ∴−2≤m ≤−12． 故选：C ．先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是−54，得出m ≤−12；再求得当x =1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m 的下限．本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵∠AOB =90°，AO =4，BO =8， ∴AB =√AO 2+BO 2=√42+82=4√5， ∵△AOB 绕顶点O 逆时针旋转到△A′OB′处， ∴AO =A′O =4，A′B′=AB =4√5， ∵点E 为BO 的中点， ∴OE =12BO =12×8=4， ∴OE =A′O =4， 过点O 作OF ⊥A′B′于F ，S △A′OB′=12×4√5⋅OF =12×4×8，解得OF =8√55， 在Rt △EOF 中，EF =√OE 2−OF 2=(8√55)=4√55，∵OE =A′O ，OF ⊥A′B′， ∴A′E =2EF =2×4√55=8√55， ∴B′E =A′B′−A′E =4√5−8√55=12√55； 故选：B ．由勾股定理求出AB ，由旋转的性质可得AO =A′O ，A′B′=AB ，再求出OE ，从而得到OE =A′O ，过点O 作OF ⊥A′B′于F ，由三角形的面积求出OF ，由勾股定理列式求出EF ，再由等腰三角形三线合一的性质可得A′E =2EF ，然后由B′E =A′B′−A′E 代入数据计算即可得解．本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积等知识；熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：由图2知：AB +BC =9，设AB =m ，则BC =9−m ， 如图所示，当点M 在BC 上时，则AB =m ，BM =x −a ，MC =9−x ，NC =y ，∵MN ⊥AM ，则∠MAB =∠NMC ， tan∠MAB =tan∠NMC ，即BMAB =CNCM ， 即x−m m=y 9−x ，化简得：y =−1mx 2+9+a ax −9，当x =−b2a =9+m 2时，y =−9+(9+m m )24m=45，解得：m =5， 则AM =5，BC =4， 故ABCD 的面积=20， 故选：A ．由图2知：AB +BC =9，设AB =m ，则BC =9−m ，则tan∠MAB =tan∠NMC ，即BMAB =CNCM ，即x−m m=y9−x，化简得：y =−1m x 2+9+a ax −9，当x =−b 2a=9+m 2时，y =−9+(9+m m )24m=45，即可求解．本题考查的是动点的图象问题，涉及到一次函数、二次函数、解直角三角形等知识，从图2中，确定AB +BC =9是本题解题的关键．7.【答案】35【解析】解：根据题意画图如下：共有20种等可能的情况数，其中最后确定的主持人是一男一女的有12种， 则最后确定的主持人是一男一女的概率为1220=35． 故答案为：35．根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8.【答案】√105【解析】解：过B点作BD⊥AC于点D，∵cosA=45，∴ADAB =45，设AD=4x，则AB=5x，∴BD=√AB2−AD2=3x，∵AB=AC，∴AC=5x，∴CD=5x−4x=x，∴BC=√BD2+CD2=√9x2+x2=√10x，∴BCAB =√10x5x=√105，故答案为：√105．过B点作BD⊥AC于点D，设AD=4x，根据三角函数和勾股定理用x表示AB与BD，BC，然后求结果便可．本题主要考查了解直角三角形和，勾股定理，腰三角形的性质，关键是正确构造直角三角形．9.【答案】m+2019n【解析】解：由图可得，2个这样的图形(图1)拼出来的图形中，重叠部分的长度为m−n，∴用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度=2020m−2019(m−n)=m+2019n，故答案为：m+2019n．用2020个这样的图形(图1)的总长减去拼接时的重叠部分2019个(m−n)，即可得到拼出来的图形的总长度．本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．10.【答案】4+4√2【解析】解：如图，取MN 的中点E ，连接OE ，PE ，OP ，∵∠MON =90°，∴Rt △MON 中，OE =12MN =4，又∵∠MQP =90°，MN =8，PN =4，NE =4， ∴Rt △PNE 中，PE =√PN 2+NE 2=4√2， 又∵OP ≤PE +OE =4+4√2， ∴OP 的最大值为4+4√2，即点P 到原点O 距离的最大值是4+4√2， 故答案为：4+4√2．取MN 的中点E ，连接OE ，PE ，OP ，根据勾股定理和矩形的性质解答即可． 此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和勾股定理解答．11.【答案】2√55或√22【解析】解：∵点B 是y =kx 和y =4x 的交点，y =kx =4x ， ∴点B 坐标为(√k 2√k)，同理可求出点A 的坐标为(k √k)， ∵BD ⊥x 轴，∴点C 横坐标为√k ，纵坐标为12√k ，∴BA =√1k +k ，AC =√1k +k4，BC =32√k ，∴BA 2−AC 2=34k >0， ∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①当AB =BC 时，则√1k +k =32√k ， 解得：k =±2√55(舍去负值)；②当AC =BC 时，同理可得：k =√22；故答案为：2√55或√22． 根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A 、B 、C 的坐标(用k 表示)，再讨论①AB =BC ，②AC =BC ，即可解题．本题考查了点的坐标的计算，考查了一次函数和反比例函数交点的计算，本题中用k 表示点A 、B 、C 坐标是解题的关键．12.【答案】5【解析】解：如图，连接BM ．∵△AEM 与△ADM 关于AM 所在的直线对称， ∴AE =AD ，∠MAD =∠MAE ．∵△ADM 按照顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF ， ∴AF =AM ，∠FAB =∠MAD ． ∴∠FAB =∠MAE ，∴∠FAB +∠BAE =∠BAE +∠MAE ． ∴∠FAE =∠MAB ． ∴△FAE≌△MAB(SAS)． ∴EF =BM ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC =CD =AB =4． ∵DM =1， ∴CM =3．∴在Rt △BCM 中，BM =√32+42=5， ∴EF =5， 故答案为：5．连接BM.先判定△FAE≌△MAB(SAS)，即可得到EF =BM.再根据BC =CD =AB =4，CM =3，利用勾股定理即可得到，Rt △BCM 中，BM =5，进而得出EF 的长．本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．13.【答案】解：(1)根据题意得△=(2k −1)2−4k 2≥0，解得k ≤14；(2)x1+x2=2k−1，x1x2=k2，∵k≤14，∴x1+x2=2k−1≤0，而x1x2=k2≥0，∴x1≤0，x2≤0，∵x1x2−|x1|−|x2|=2，∴x1⋅x2+x1+x2=2，即k2+(2k−1)=2，整理得k2+2k−3=0，解得k1=−3，k2=1，而k≤14，∴k=−3；(2)∵ab +ba=6，∴a2+b2=6ab，∴(a+b)2=8ab，∴(b−a)2=(a+b)2−4ab=4ab，∴(a+bb−a )2=(a+b)2(b−a)2=2，∴a+bb−a=±√2，∵a<b<0，∴a+b<0，b−a>0，∴a+bb−a<0，∴a+bb−a=−√2∴(a+bb−a)3=−2√2．答：(a+bb−a)3的值为−2√2．【解析】(1)利用判别式的意义得到△=(2k−1)2−4k2≥0，然后解不等式可得k的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2=2k−1、x1x2=k2，结合x1x2−|x1|−|x2|=2，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可求实数k的值；(2)先通分可得a2+b2=6ab，再根据完全平方公式的变形可得a+bb−a 的值，进而可得(a+bb−a)3的值．本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−ba，x 1x 2=ca .也考查了判别式的值．14.【答案】解：(1)设建造A 型处理点x 个，则建造B 型处理点(20−x)个．依题意得：{15x +20(20−x)≤37018x +30(20−x)≥490，解得6≤x ≤9.17， ∵x 为整数，∴x =6，7，8，9有四种方案；设建造A 型处理点x 个时，总费用为y 万元．则：y =1.5x +2.1(20−x)=−0.6x +42， ∵−0.6<0，∴y 随x 增大而减小，当x =9时，y 的值最小，此时y =36.6(万元)， ∴当建造A 型处理点9个，建造B 型处理点11个时最省钱；(2)由题意得：每吨垃圾的处理成本为yx (元/吨)，当0≤x <144时，y x =1x (13x 3−80x 2+5040x)=13x 2−80x +5040， ∵13>0，故yx 有最小值，当x =−b 2a =−−802×13=120(吨)时，yx 的最小值为240(元/吨)，当144≤x <300时，y x =1x (10x +72000)=10+72000x，当x =300(吨)时，yx =250，即yx >250(元/吨)， ∵240<250，故当x =120吨时，yx 的最小值为240元/吨，∵每个B 型处理点的垃圾月处理量是A 型处理点的1.2倍且A 型处理点9个，建造B 型处理点11个， ∴每个A 型处理点每月处理量=9×19×1+11×1.2×120×19≈5.4(吨)，故每个A 型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．【解析】(1)首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积<等于370m 2，居民楼的数量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y 与A 型处理点的个数x 之间的函数关系，进而求解；(2)分0≤x <144、144≤x <300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进而求解．本题考查了二次函数、反比例函数和一元一次不等式组的应用，题目有效地将现实生活中的事件与数学思想联系起来，弄懂题意、列出函数关系式是解题的关键．15.【答案】解：(1)如图1，连接EF，FA，∵CE为圆的切线且又和EB垂直，∴CE//AF∴∠CEF=∠AFE；又∵∠AFE=∠FEB，∴∠CEF=∠BEF，∴EF为∠BEC的平分线；∵∠EFB=90°，∴EF⊥BC，∴BE=CE∴△BEC为等腰三角形，∴BF为BC的一半；∵EA//CF，∴四边形CEAF为平行四边形，即AE=CF=2.5；(2)解：∵FH//BE，FH⊥CE，∴BE⊥CE，∴∠AEB+∠DEC=90°，∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠DEC，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△CDE，∴ABDE =AECD，∵AB=2，AD=5，∴CD=AB=2，∴25−AE =AE2，∴AE=1或AE=4．(3)连接EF、OF、OG，如图3所示：则∠BFE =90°，设AE =x ，则EF ，=AB =2，BF =AE =x ，CF =DE =5−x ， 若△OFG 是等腰直角三角形，则∠FOG =90°， 连接BG 、EG ，设BG 、EF 交于点K ， ∴△BFK 和△EGK 都是等腰直角三角形，∴BF =KF =x ，BK =√2x ，EK =2−KF =2−x ，在等腰直角△EGK 中，根据勾股定理得：GK =EG =√22(2−x)，BG =GK +BK =√22(2+x)，又∵∠EBG =∠EFG =∠FCH ， ∴△BEG∽△CEF ， ∴BG BE=FCEF，即√22(2+x)√22(2−x)=5−x 2，解得：x =9−√572，或x =9+√572，∴AE 的长度是9−√572或9+√572．【解析】(1)连接EF ，FA ，由CE 为圆的切线且又和EB 垂直，可知CE//FA ，推出∠CEF =∠AFE ，而∠AFE =∠FEB 可得∠CEF =∠BEF ，所以EF 为∠BEC 的平分线．又因为∠EFB 为直角可知EF ⊥BC ，所以△BEC 为等腰三角形，得到BF 为BC 的一半，又因为EA//CF ，可知四边形CEAF 为平行四边形，即AD =BF =2.5；(2)根据平行线的性质得到BE ⊥CE ，由余角的性质得到∠ABE =∠DEC ，证得△ABE∽△CDE ，根据相似三角形的性质即可得到结论；(3)连接EF ，由圆周角定理得出∠BFE =90°，设AE =x ，则EF ，=AB =2，BF =AE =x ，CF =DE =5−x ，由已知条件得出点G 在点F 上方，连接BG 、EG ，设BG 、EF 交于点K ，得出△BFK 和△EGK都是等腰直角三角形，得出BF =KF =x ，BK =√2x ，EK =2−KF =2−x ，GK =EG =√22(2−x)，BG =GK +BK =√22(2+x)，证明△BEG∽△CEF ，得出BG BE =FCEF ，得出方程，解方程即可．本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、切线的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是(2)、(3)中，需要证明三角形相似才能得出结果．16.【答案】解：(1)将A(−1,0)，C(0,√3)代入抛物线y =ax 2+2√33x +c(a ≠0)， {a −2√33+c =0c =√3，∴a =−√33，c =√3(2)由(1)得抛物线解析式：y =−√33x 2+2√33+√3∵点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，C(0,√3) ∴D(2,√3)， ∴DH =√3， 令y =0，即−√33x 2+2√33x +√3=0，得x 1=−1，x 2=3， ∴A(−1,0)，B(3,0)， ∵AE ⊥AC ，EH ⊥AH ， ∴△ACO∽△EAH ， ∴OC AH=OA EH=即=√33=1EH，解得：EH =2√3， 则DE =2√3；(3)找点C 关于DE 的对称点N(4,√3)，找点C 关于AE 的对称点G(−2,−√3)，连接GN ，交AE 于点F ，交DE 于点P ，即G 、F 、P 、N 四点共线时，△CPF 周长=CF +PF +CP =GF +PF +PN 最小，∴直线GN 的解析式：y =√33x −√33，由(2)得E(2,−√3)，A(−1,0)， ∴直线AE 的解析式：y =−√33x −√33，联立{y = √33x −√33；y =−√33x −√33 ； 解得{x =0y =−√33 ∴F(0,−√33)， ∵DH ⊥x 轴，∴将x =2代入直线AE 的解析式：y =−√33x −√33，∴P(2,√32) ∴F(0,−√33)与P(2,√32)的水平距离为2过点M 作y 轴的平行线交FH 于点Q ， 设点M(m,−√33m 2+2√33m +√3)，则Q(m,√33m −√33)(1−√172<m <1+√172)；∴S △MFP =S △MQF +S △MQP =12MQ ×2=MQ =(−√33m 2+2√33m +√3)−(√33m −√33)， S △MFP =−√3m 2+√3m +4√3=−√3(m −1)2+17√3 ∵对称轴为：直线m =12， ∵开口向下，1−√172<m1+√172，∴m =12时，△MPF 面积有最大值为1712√3..【解析】(1)：(1)将A(−1,0)，C(0,√3)代入抛物线y =ax 2+2√33x +c(a ≠0)，求出a 、c 的值；(2)由(1)得抛物线解析式：y =−√33x 2+2√33+√3，点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，C(0,√3)，所以D(2,√3)，DH =√3，再证明△ACO∽△EAH ，于是 OCAH =OAEH =即=√33=1EH ，解得：EH =2√3，则DE =2√3；(3)找点C 关于DE 的对称点N(4,√3)，找点C 关于AE 的对称点G(−2,−√3)，连接GN ，交AE 于点F ，交DE 于点P ，即G 、F 、P 、N 四点共线时，△CPF 周长=CF +PF +CP =GF +PF +PN 最小，根据S △MFP =−√33m 2+√33m +4√33=−√33(m −12)2+1712√3，m =12时，△MPF 面积有最大值1712√3． 本题考查了二次函数，熟练运用相似三角形的性质与二次函数图象的性质是解题的关键．。
中学自主招生数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．（3分）﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3C．±3D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．＝±6C．a2b÷2ab＝a2D．（2ab2）3＝8a3b63．（3分）如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱；现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）一组数据1，2，3，3，4，5．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝40°，则∠ABC的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则＝（）A．B．2C．D．7．（3分）已知实数x、y满足：x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0．则﹣y2的值为（）A．0B．C．1D．8．（3分）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0），则函数y＝（kx+b）（mx+n）中，当y＜0时x的取值范围是（）A．x＞2B．0＜x＜4C．﹣1＜x＜4D．x＜﹣1 或x＞4二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）9．（3分）“五一”小长假期间，扬州市区8家主要封闭式景区共接待游客528600人次，同比增长20.56%．用科学记数法表示528600为．10．（3分）若有意义，则x的取值范围是．11．（3分）分解因式：mx2﹣4m＝．12．（3分）若方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，则k＝．13．（3分）一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为cm2．14．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是．15．（3分）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝30°，则∠2的度数为．16．（3分）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是．17．（3分）如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y＝的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn＝．18．（3分）如图，⊙O的直径AB＝8，C为弧AB的中点，P为弧BC上一动点，连接AP、CP，过C作CD⊥CP交AP于点D，连接BD，则BD的最小值是．三、解答题（本大题有10小题，共96分．）19．（8分）（1）计算：|﹣3|﹣tan30°+20180﹣（）﹣1；（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．20．（8分）央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为度；（4）若该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．21．（8分）若关于x的分式方程＝1的解是正数，求m的取值范围．22．（8分）小明在上学的路上要经过多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的．（1）如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）（2）如果有n个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是．23．（10分）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6m的B处安置高为1.5m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．（结果保留根号）24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且ED⊥DB，FB ⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A＝30°，∠DEB＝45°，求证：DA＝DF．25．（10分）观察下表：我们把某一格中所有字母相加得到的多项式称为特征多项式，例如：第1格的“特征多项式”为x+4y．回答下列问题：（1）第4格的“特征多项式”为，第n格的“特征多项式”为；（2）若第1格的“特征多项式”的值为2，第2格的“特征多项式”的值为﹣6．①求x，y的值；②在①的条件下，第n格的“特征多项式的值”随着n的变化而变化，求“特征多项式的值”的最大值及此时n值．26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为3，ED＝4，延长EO交⊙O于F，连接DF，与OA交于点G，求OG的长．27．（12分）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣8，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α＝45°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式；（2）如图3，若α为锐角，且tanα＝，当EA⊥x轴时，正方形对角线EG与OF相交于点M，求线段AM的长；（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴正半轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，是否存在△OEP的两边之比为：1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．28．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△P AD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．故选：A．2．【分析】直接利用合并同类项法则以及算术平方根、整式的除法运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、2a+3b无法计算，故此选项错误；B、＝6，故此选项错误；C、a2b÷2ab＝a，故此选项错误；D、（2ab2）3＝8a3b6，正确．故选：D．3．【分析】俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中．【解答】解：从上面看，图2的俯视图是正方形，有一条对角线．故选：C．4．【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．【解答】解：A、原来数据的平均数是3，添加数字3后平均数仍为3，故A与要求不符；B、原来数据的众数是3，添加数字3后众数仍为3，故B与要求不符；C、原来数据的中位数是3，添加数字3后中位数仍为3，故C与要求不符；D、原来数据的方差＝＝，添加数字3后的方差＝＝，故方差发生了变化．故选：D．5．【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠P AO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，∴∠P AO＝90°．又∵∠P＝40°，∴∠POA＝50°，∴∠ABC＝∠POA＝25°．故选：B．6．【分析】求出AB＝3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【解答】解：∵AH＝2，HB＝1，∴AB＝AH+BH＝3，∵l1∥l2∥l3，∴＝＝．故选：A．7．【分析】根据x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，可以得到x与y的关系和y2﹣的值，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：∵x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，∴x＝y+3，y2+﹣＝0，∴y2﹣＝﹣∴﹣y2＝＝1+＝1﹣（﹣）＝1+＝，故选：D．8．【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．【解答】解：∵y3＝（kx+b）（mx+n），y＜0，∴（kx+b）（mx+n）＜0，∵y1＝kx+b，y2＝mx+n，即y1•y2＜0，有以下两种情况：（1）当y1＞0，y2＜0时，此时，x＜﹣1；（2）当y1＜0，y2＞0时，此时，x＞4，故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：528600＝5.286×105，故答案为：5.286×10510．【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．【解答】解：根据题意，得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案是：x≠2．11．【分析】首先提取公因式m，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：mx2﹣4m＝m（x2﹣4）＝m（x+2）（x﹣2）．故答案为：m（x+2）（x﹣2）．12．【分析】根据根判别式△＝b2﹣4ac的意义得到△＝0，即k2﹣4×1×9＝0，然后解方程即可．【解答】解：∵方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，即k2﹣4•1•9＝0，解得k＝±6．故答案为±6．13．【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求解．【解答】解：∵圆锥的底面半径为5cm，∴圆锥的底面圆的周长＝2π•5＝10π，∴圆锥的侧面积＝•10π•2＝10π（cm2）．故答案为：10π．14．【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【解答】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△ABC＝4，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝4，∵k＜0，∴k＝﹣8．故答案为：﹣8．15．【分析】根据平行线的性质可得出∠3＝∠4+∠5，结合对顶角相等可得出∠3＝∠1+∠2，代入∠1＝30°、∠3＝45°，即可求出∠2的度数．【解答】解：给各角标上序号，如图所示．∵∠3＝∠4+∠5，∠1＝∠4，∠2＝∠5，∴∠3＝∠1+∠2．又∵∠1＝30°，∠3＝45°，∴∠2＝15°．故答案为：15°．16．【分析】由在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有13种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：如图，∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况，∴使图中黑色部诶的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：．故答案为：．17．【分析】依据题意可得，A，C之间的水平距离为6，点Q与点P的水平距离为7，A，B之间的水平距离为2，双曲线解析式为y＝，依据点P'、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标m＝6，点Q“、点Q'离x轴的距离相同，都为4，即点Q的纵坐标n＝4，即可得到mn的值．【解答】解：由图可得，A，C之间的水平距离为6，2018÷6＝336…2，由抛物线y＝﹣x2+4x+2可得，顶点B（2，6），即A，B之间的水平距离为2，∴点P'、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标m＝6，由抛物线解析式可得AO＝2，即点C的纵坐标为2，∴C（6，2），∴k＝2×6＝12，∴双曲线解析式为y＝，2025﹣2018＝7，故点Q与点P的水平距离为7，∵点P'、Q“之间的水平距离＝（2+7）﹣（2+6）＝1，∴点Q“的横坐标＝2+1＝3，∴在y＝中，令x＝3，则y＝4，∴点Q“、点Q'离x轴的距离相同，都为4，即点Q的纵坐标n＝4，∴mn＝6×4＝24，故答案为：24．18．【分析】以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，依据∠ADC＝135°，可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，依据△ACQ中，AQ＝4，【解答】解：如图所示，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，连接AC，BC，BQ．∵⊙O的直径为AB，C为的中点，∴∠APC＝45°，又∵CD⊥CP，∴∠DCP＝90°，∴∠PDC＝45°，∠ADC＝135°，∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，又∵AB＝8，C为的中点，∴△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝4，∴△ACQ中，AQ＝4，∴BQ＝＝4，∵BD≥BQ﹣DQ，∴BD的最小值为4﹣4．故答案为：4﹣4．三、解答题（本大题有10小题，共96分．）19．【分析】（1）根据实数的混合计算解答即可；（2）根据整式的混合计算解答即可．【解答】解：（1）原式＝＝﹣1．（2）原式＝1﹣a2+a2﹣2a＝1﹣2a20．【分析】（1）根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数；（2）根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数；（3）根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数；（4）利用样本中喜欢社科类书籍的百分比来估计总体中的百分比，从而求出喜欢社科类书籍的学生人数；【解答】解：（1）∵喜欢文史类的人数为76人，占总人数的38%，∴此次调查的总人数为：76÷38%＝200人，故答案为：200；（2）∵喜欢生活类书籍的人数占总人数的15%，∴喜欢生活类书籍的人数为：200×15%＝30人，∴喜欢小说类书籍的人数为：200﹣24﹣76﹣30＝70人，如图所示：（3）∵喜欢社科类书籍的人数为：24人，∴喜欢社科类书籍的人数占了总人数的百分比为：×100%＝12%，∴喜欢小说类书籍的人数占了总分数的百分比为：100%﹣15%﹣38%﹣12%＝35%，∴小说类所在圆心角为：360°×35%＝126°；（4）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，∴该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：2000×12%＝240人．21．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出m的范围即可．【解答】解：去分母得：1+m＝x﹣2，解得：x＝m+3，由分式方程的解为正数，得到m+3＞0，且m+3≠2，解得：m＞﹣3且m≠﹣1．22．【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，从中找到到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数，根据概率公式计算可得．（2）根据在第1个路口没有遇到红灯的概率为，到第2个路口还没有遇到红灯的概率为＝（）2可得答案．【解答】解：（1）画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数为2，所以到第二个路口时第一次遇到红灯的概率为；（2）∵在第1个路口没有遇到红灯的概率为，到第2个路口还没有遇到红灯的概率为＝（）2，∴到第n个路口都没有遇到红灯的概率为（）n，故答案为：（）n．23．【分析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD＝CH+HD＝CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．【解答】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°，∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6，在Rt△ACH中，tan∠CAH＝，∴CH＝AH•tan∠CAH，∴CH＝AH•tan∠CAH＝6tan30°＝6×＝2（米），∵DH＝1.5，∴CD＝2 +1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED＝60°，sin∠CED＝，∴CE＝＝（4+）（米），答：拉线CE的长约为（4+）米．24．【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用ASA即可得证；（2）过D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD＝2DH，在直角三角形DEB中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到EB＝2DH，易得四边形EBFD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到EB＝DF，等量代换即可得证．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，AD∥CB，AB∥CD，∴∠ADB＝∠CBD，∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB＝∠FBD＝90°，∴∠ADE＝∠CBF，在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（ASA）；（2）作DH⊥AB，垂足为H，在Rt△ADH中，∠A＝30°，∴AD＝2DH，在Rt△DEB中，∠DEB＝45°，∴EB＝2DH，∵ED⊥DB，FB⊥BD．∴DE∥BF，∵AB∥CD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴FD＝EB，∴DA＝DF．25．【分析】（1）利用已知表格中x，y个数变化规律得出第2格的“特征多项式”以及第n 格的“特征多项式”；（2）①利用（1）中所求得出关于x，y的等式组成方程组求出答案；②利用二次函数最值求法得出答案．【解答】解：（1）由表格中数据可得：第4格的“特征多项式”为：16x+25y，第n格的“特征多项式”为：n2x+（n+1）2y（n为正整数）；故答案为：16x+25y，n2x+（n+1）2y（n为正整数）；（2）①由题意可得：，解得：答：x的值为﹣6，y的值为2．②设W＝n2x+（n+1）2y当x＝﹣6，y＝2时：W＝﹣6n2+2（n+1）2＝，此函数开口向下，对称轴为，∴当时，W随n的增大而减小，又∵n为正整数∴当n＝1时，W有最大值，W最大＝﹣4×（1﹣）2+3＝2，即：第1格的特征多项式的值有最大值，最大值为2．26．【分析】（1）首先连接OD，由BE＝EC，CO＝OA，得出OE∥AB，根据平行线与等腰三角形的性质，易证得△COE≌△DOE，即可得∠ODE＝∠OCE＝90°，则可证得ED 为⊙O的切线；（2）只要证明OE∥AB，推出，由此构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）证明：连接OD，∵E为BC的中点，AC为直径，∴BE＝EC，CO＝OA，∴OE∥AB，∴∠COE＝∠CAD，∠EOD＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠COE＝∠DOE，在△COE和△DOE中，，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠ODE＝∠OCE＝90°，∴ED⊥OD，∴ED是圆O的切线；（2）连接CD；由题意EC、ED是⊙O的切线，∴EC＝ED，∵OC＝OD，∴OE⊥CD，∵AC是直径，∴∠CDA＝90°，∴CD⊥AB，∴OE∥AB，∴，在Rt△ECO中，EO＝＝5，∵∠EOC＝∠CAD，∴cos∠CAD＝cos∠EOC＝，∴AD＝，设OG＝x，则有，∴x＝，∴OG＝．27．【分析】（1）求出E、F两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图3中，作MH⊥OA于H，MK⊥AE交AE的延长线于K．只要证明四边形AOMK 是正方形，证明AE+OA＝2AH即可解决问题；（3）如图2中，设F（0，2a），则E（﹣a，a）．构建一次函数利用方程组求出交点P 坐标，分三种情形讨论求解即可；【解答】解：（1）∵OE＝OA＝8，α＝45°，∴E（﹣4，4），F（0，8），设直线EF的解析式为y＝kx+b，则有，解得∴直线EF的解析式为y＝x+8．（2）如图3中，作MH⊥OA于H，MK⊥AE交AE的延长线于K．在Rt△AEO中，tan∠AOE＝＝，OA＝8，∴AE＝4，∵四边形EOGF是正方形，∴∠EMO＝90°，∵∠EAO＝∠EMO＝90°，∴E、A、O、M四点共圆，∴∠EAM＝∠EOM＝45°，∴∠MAK＝∠MAH＝45°，∵MK⊥AE，MH⊥OA，∴MK＝MH，四边形KAOM是正方形，∵EM＝OM，∴△MKE≌△MHO，∴EK＝OH，∴AK+AH＝2AH＝AE+EK+OA﹣OH＝12，∴AH＝6，∴AM＝AH＝6．（3）如图2中，设F（0，2a），则E（﹣a，a）．∵A（﹣8，0），E（﹣a，a），∴直线AP的解析式为y＝x+，直线FG的解析式为y＝﹣x+2a，由，解得，∴P（，）．①当PO＝OE时，∴PO2＝2OE2，则有：+＝4a2，解得a＝4或﹣4（舍弃）或0（舍弃），此时P（0，8）．②当PO＝PE时，则有：+＝2[（+a）2+（﹣a）2]，解得：a＝4或12，此时P（0，8）或（﹣24，48），③当PE＝EO时，[（+a）2+（﹣a）2]＝4a2，解得a＝8或0（舍弃），∴P（﹣8，24）综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，8），（﹣8，24），（﹣24，48）．28．【分析】（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a＝3，故此可求得a的值，然后令y＝0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO＝60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO＝30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD＝1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（，a）．依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD ＝P A、AD＝DP、AP＝DP三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN的解析式为y＝kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可．【解答】解：（1）∵C（0，3）．∴﹣9a＝3，解得：a＝﹣．令y＝0得：ax2﹣2 ax﹣9a＝0，∵a≠0，∴x2﹣2 x﹣9＝0，解得：x＝﹣或x＝3．∴点A的坐标为（﹣，0），B（3，0）．∴抛物线的对称轴为x＝．（2）∵OA＝，OC＝3，∴tan∠CAO＝，∴∠CAO＝60°．∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAO＝30°．∴DO＝AO＝1．∴点D的坐标为（0，1）设点P的坐标为（，a）．依据两点间的距离公式可知：AD2＝4，AP2＝12+a2，DP2＝3+（a﹣1）2．当AD＝P A时，4＝12+a2，方程无解．当AD＝DP时，4＝3+（a﹣1）2，解得a＝0或a＝2（舍去），∴点P的坐标为（，0）．当AP＝DP时，12+a2＝3+（a﹣1）2，解得a＝﹣4．∴点P的坐标为（，﹣4）．综上所述，点P的坐标为（，0）或（，﹣4）．（3）设直线AC的解析式为y＝mx+3，将点A的坐标代入得：﹣m+3＝0，解得：m ＝，∴直线AC的解析式为y＝x+3．设直线MN的解析式为y＝kx+1．把y＝0代入y＝kx+1得：kx+1＝0，解得：x＝﹣，∴点N的坐标为（﹣，0）．∴AN＝﹣+＝．将y＝x+3与y＝kx+1联立解得：x＝．∴点M的横坐标为．过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG＝+．∵∠MAG＝60°，∠AGM＝90°，∴AM＝2AG＝+2＝．∴+＝+＝+＝＝＝．中学自主招生数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．（3分）﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3C．±3D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．＝±6C．a2b÷2ab＝a2D．（2ab2）3＝8a3b63．（3分）如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱；现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）一组数据1，2，3，3，4，5．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝40°，则∠ABC的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则＝（）A．B．2C．D．7．（3分）已知实数x、y满足：x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0．则﹣y2的值为（）A．0B．C．1D．8．（3分）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0），则函数y＝（kx+b）（mx+n）中，当y＜0时x的取值范围是（）A．x＞2B．0＜x＜4C．﹣1＜x＜4D．x＜﹣1 或x＞4二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）9．（3分）“五一”小长假期间，扬州市区8家主要封闭式景区共接待游客528600人次，同比增长20.56%．用科学记数法表示528600为．10．（3分）若有意义，则x的取值范围是．11．（3分）分解因式：mx2﹣4m＝．12．（3分）若方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，则k＝．13．（3分）一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为cm2．14．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是．15．（3分）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝30°，则∠2的度数为．16．（3分）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是．17．（3分）如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y＝的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn＝．18．（3分）如图，⊙O的直径AB＝8，C为弧AB的中点，P为弧BC上一动点，连接AP、CP，过C作CD⊥CP交AP于点D，连接BD，则BD的最小值是．三、解答题（本大题有10小题，共96分．）19．（8分）（1）计算：|﹣3|﹣tan30°+20180﹣（）﹣1；（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．20．（8分）央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为度；（4）若该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．21．（8分）若关于x的分式方程＝1的解是正数，求m的取值范围．22．（8分）小明在上学的路上要经过多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的．（1）如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）（2）如果有n个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是．23．（10分）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6m的B处安置高为1.5m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．（结果保留根号）24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且ED⊥DB，FB ⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A＝30°，∠DEB＝45°，求证：DA＝DF．25．（10分）观察下表：我们把某一格中所有字母相加得到的多项式称为特征多项式，例如：第1格的“特征多项式”为x+4y．回答下列问题：（1）第4格的“特征多项式”为，第n格的“特征多项式”为；（2）若第1格的“特征多项式”的值为2，第2格的“特征多项式”的值为﹣6．①求x，y的值；②在①的条件下，第n格的“特征多项式的值”随着n的变化而变化，求“特征多项式的值”的最大值及此时n值．26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为3，ED＝4，延长EO交⊙O于F，连接DF，与OA交于点G，求OG的长．27．（12分）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣8，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α＝45°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式；（2）如图3，若α为锐角，且tanα＝，当EA⊥x轴时，正方形对角线EG与OF相交于点M，求线段AM的长；（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴正半轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，是否存在△OEP的两边之比为：1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．28．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△P AD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．故选：A．2．【分析】直接利用合并同类项法则以及算术平方根、整式的除法运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、2a+3b无法计算，故此选项错误；B、＝6，故此选项错误；C、a2b÷2ab＝a，故此选项错误；D、（2ab2）3＝8a3b6，正确．故选：D．3．【分析】俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中．【解答】解：从上面看，图2的俯视图是正方形，有一条对角线．故选：C．4．【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．【解答】解：A、原来数据的平均数是3，添加数字3后平均数仍为3，故A与要求不符；B、原来数据的众数是3，添加数字3后众数仍为3，故B与要求不符；C、原来数据的中位数是3，添加数字3后中位数仍为3，故C与要求不符；D、原来数据的方差＝＝，添加数字3后的方差＝＝，故方差发生了变化．故选：D．5．【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠P AO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，∴∠P AO＝90°．又∵∠P＝40°，∴∠POA＝50°，∴∠ABC＝∠POA＝25°．故选：B．6．【分析】求出AB＝3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【解答】解：∵AH＝2，HB＝1，∴AB＝AH+BH＝3，∵l1∥l2∥l3，∴＝＝．故选：A．7．【分析】根据x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，可以得到x与y的关系和y2﹣的值，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：∵x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，∴x＝y+3，y2+﹣＝0，∴y2﹣＝﹣∴﹣y2＝＝1+＝1﹣（﹣）＝1+＝，故选：D．8．【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．【解答】解：∵y3＝（kx+b）（mx+n），y＜0，∴（kx+b）（mx+n）＜0，∵y1＝kx+b，y2＝mx+n，即y1•y2＜0，有以下两种情况：（1）当y1＞0，y2＜0时，此时，x＜﹣1；（2）当y1＜0，y2＞0时，此时，x＞4，故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：528600＝5.286×105，故答案为：5.286×10510．【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．【解答】解：根据题意，得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案是：x≠2．11．【分析】首先提取公因式m，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：mx2﹣4m＝m（x2﹣4）＝m（x+2）（x﹣2）．故答案为：m（x+2）（x﹣2）．12．【分析】根据根判别式△＝b2﹣4ac的意义得到△＝0，即k2﹣4×1×9＝0，然后解方程即可．【解答】解：∵方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，即k2﹣4•1•9＝0，解得k＝±6．故答案为±6．13．【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求解．【解答】解：∵圆锥的底面半径为5cm，∴圆锥的底面圆的周长＝2π•5＝10π，∴圆锥的侧面积＝•10π•2＝10π（cm2）．故答案为：10π．14．【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【解答】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△ABC＝4，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝4，∵k＜0，∴k＝﹣8．故答案为：﹣8．15．【分析】根据平行线的性质可得出∠3＝∠4+∠5，结合对顶角相等可得出∠3＝∠1+∠2，代入∠1＝30°、∠3＝45°，即可求出∠2的度数．【解答】解：给各角标上序号，如图所示．∵∠3＝∠4+∠5，∠1＝∠4，∠2＝∠5，∴∠3＝∠1+∠2．又∵∠1＝30°，∠3＝45°，∴∠2＝15°．故答案为：15°．。
