附录-截面的几何性质作业 山东建筑大学材料力学课件

= 144 ×10 4 mm 4 + 1200mm 2 × (20mm) 2 + 0.58 ×10 mm + 700mm × (35mm)
4 4 2 2
= 278.33mm
4
I xC yC = A1 xc1 yc1 + A2 xc 2 yc 2
= 1200mm × (15mm) × (20mm)
2
A
ρ
= ∫ ( yC + b) 2 dA
A 2 = ∫ ( yC + 2byC + b 2 )dA A
= I xC + 2bS xC + b 2 A
I x = I xC + 2bS xC + b 2 A
因为C为形心 因为 为形心
S xC = AyC = 0
Ix = IxC + b2 A
同理: 同理:
+ 700mm × (25mm) × (35mm)
2
= 97.25 ×10 4 mm 4
(2)计算主轴位置
tan 2α 0 =
2 I xy Ix Iy
2 × 97.25 ×10 4 mm 4 = 100.33 ×10 4 mm 4 278.33 ×10 4 mm 4 = 1.093
α 0 = 113.80
I x1 = ∫ y12 dA
α
= ∫ ( x sin α + y cos α ) dA
2
= I x cos 2 α 2 I xy sin α cos α + I y sin 2 α
I x1 = I x cos 2 α 2 I xy sin α cos α + I y sin 2 α
I x1 = Ix + Iy 2 + Ix Iy 2 cos 2α I xy sin 2α

性 质 作
Ix2
300 6003 12
300 600 (425
300)2
8.21109 mm4
业
题
I x I x1 I x2 5.15109 8.21109 1.336 1010 mm4
y′ 1
C
x
2
o
x′
300
Ⅰ-15 求截面对其形心轴的惯性矩
y′ y
解：建立坐标系 x′y′，确定形心。
何
2
性 取： dA y dx
质 作 业
2a
2a
Iy 4 0 2
x2dA 4 2 0
x2(
2a - x)dx a4
2
12
Iy
Ix
a4 12
题
C x
80 y
x
结论与推广：若图形具有三根（或三根以上）对称轴，则通过图形形心的
所有轴都是形心主惯性轴，且图形对任一形心轴的惯性矩都相同。
Ⅰ-12(a) 求截面对其形心轴 x 的惯性矩
100
解：建立坐标系 x′y′，确定形心。
OC 1000 100 (600 50) 300 600 300 600
附
1000 100 300 600
65
录 425mm
1 截
由平行移轴公式得：
面 几 何
I x1
1000 1003 12
1000 100 (650
425)2
5.15109 mm4
Ⅰ-1（b）求截面阴影线面积对x 轴的静矩
y 20
解： A 20 65 1300mm2 y 65 32.5mm 2
65
80
Sx A y 1300 32.5 4.225104 mm3

解：
y
d
S x
yd A
A
2 yb( y) d y
0
b(y)
C
xc
yc
d
2 y2
R2 y2 d y d3
0
12
x
d
yc
Sx A
d3 12 πd 2 8
2d 3π
b( y) 2 R2 y2
29
yc
Sx A
d3 12 πd 2 8
2d 3π
y
2、求对形心轴 xc 的惯性矩
Ix
πd 4 64 2
3、惯性积是对轴而言。
y
z
dA
4、惯性积的取值为正值、负值、零。
y
5、规律：
o
z
20
5、规律：
Izy
zydA
A
0
y
dA z z dA
y
y
z
o
两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则 图形这一对坐标轴的惯性积为零。
21
对比记忆 静矩、形心；惯矩和惯性半径；它们都是反映截
面面积关于坐标轴分布情况的物理量。 静矩=（面积）（形心坐标） 惯矩=（面积）（惯性半径）2
z
o
dA y
z
全面积对z轴的惯性矩: I z y2dA,
2 z2 y2
全面积对y轴的惯性矩: I y A z2dA
A
15
Iz y2dA, I y z2dA
A
A
y
z
dA
y
o
z
2、量纲：［长度］4；单位：m4、cm4、mm4。 2 z2 y2
3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。
A

材料力学截面的几何 性质课件
目录
• 截面的基本性质 • 截面的二次矩 • 截面的抗弯截面系数 • 截面的抗扭截面系数 • 材料力学截面的应用
01 截面的基本性质
截面的面积
面积
截面面积是二维平面图形被截后，与 原图形相比增加的面积。对于矩形、 圆形、三角形等简单形状，截面面积 可以通过几何公式直接计算。
的刚度和稳定性。
截面惯性矩
截面惯性矩是衡量截面抗弯刚度 的指标，对于承受弯矩的构件， 选择具有较大惯性矩的截面可以
减少挠度和转角。
截面抵抗矩
截面抵抗矩是衡量截面抗剪切能 力的指标，对于承受剪力的构件 ，选择具有较大抵抗矩的截面可
以增加构件的承载能力。
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，需要考虑梁的截面尺寸、材料类型和截面形式等 因素，以确保桥梁具有足够的强度和刚、单位等因素，以确保数 据处理结果的准确性和可靠性。
1.谢谢聆 听
根据微面积和其对应的主 轴方向余弦，计算出截面 二次矩。
主轴的确定
根据计算出的惯性矩，找 出三个主轴的方向余弦和 角度。
实例分析
圆截面
圆截面的二次矩为常数， 且各主轴与截面垂直，说 明圆截面在弯曲时没有翘 曲的趋势。
矩形截面
矩形截面的二次矩与宽度 的平方成正比，说明矩形 截面有较好的抗弯能力。
工字形截面
工字形截面的二次矩比同 样面积的矩形截面小，但 抗弯能力仍高于同样重量 的实心杆件。
03 截面的抗弯截面系数
定义与性质
01
抗弯截面系数是截面对其轴线的惯性矩除以截面的面积 得到的数值，用来度量截面在弯矩作用下抵抗变形的能 力。
02
不同形状的截面有不同的抗弯截面系数，如圆截面为1 ，矩形截面为1.13，工字形截面为1.44等。

1 12
20
140 3
20
140
(80 46 .7 )2
I2 yC
1 12
100
20 3 100
20
( 46 .7 )2
zC
20
I y I yC b2 A
20 140
1
2
100
yC
zC
y
I
yC
I1 yC
I
2 yC
12.12106
m4
例题5: 试求图示图形对 z1和 z2 轴的惯性矩 Iz1和 Iz2。
y1 60mm
矩形 2
A2 10 70 700 mm2
x2
10
70 2
45 mm
y2 5mm
120
y 10
1 x1
y1
o
2 y2
10
x2
x
80
所以
x A1 x1 A 2 x 2 20 mm A1 A2
y
A1 y1 A1
A2 y2 A2
40 mm
y 10
120
40
o 20
80
附 录 1--1 截面的几何性质
§1-1 截面的静矩和形心位置
一、 定义
y
截面对 y , x 轴的静矩为：
dA
S y A xdA
y
S x A ydA
ox
x
静矩可正，可负，也可能等于零。
y
截面的形心 C 的坐标公式为：
x A xdA S y AA
y A ydA S x
A
A
y
y
o
dA
c
所以 I = Ix + Iy

截面的对称性
截面可以是对称的或非对称的。
对称截面是指沿中心线对称的截面，如圆形、正 方形等。
非对称截面是指不沿中心线对称的截面，如椭圆 形、三角形等。
截面的重心
重心是物体质量的集中点，对于规则形状的物体，重心位置可以通过几何计算得 到。
对于截面，重心是截面质量的集中点，其位置可以通过计算截面的面积和质量得 到。
材料力学的发展历程
总结词
材料力学的发展经历了多个阶段，从最早的实验观察到现代的理论建模和计算机模拟。
详细描述
最初的材料力学研究主要基于实验观察和经验总结，随着数学和物理学的发展，人们开始建立更精确 的理论模型，并使用计算机进行模拟和分析。这些理论模型和方法在解决复杂工程问题方面发挥了重 要作用。
02
意义
主惯性矩是衡量截面抗弯和抗扭能力的一个重要参数，其 值越大，抗弯和抗扭能力越强。
04
材料力学截面的弯曲性质
弯曲的定义
弯曲是指物体在力的作用下发 生形变，其中物体的一部分相 对于另一部分发生转动。
弯曲变形通常发生在梁、柱等 细长结构中，其中截面上的应 力分布不均匀。
弯曲变形可以通过施加外力或 重力等作用力引起，也可以由 热膨胀、收缩等因素引起。
扭转的变形能
1 2
变形能
物体在受到外力作用时，由于发生变形而储存的 能量称为变形能。
扭转变形能
物体在扭转变形时，由于变形而储存的能量称为 扭转变形能。
3
扭转变形能的计算
扭转变形能可以通过计算截面上的剪切应变和剪 切胡克常数来计算。
扭转的稳定性
01
稳定性
在材料力学中，稳定性是指物体在外力作用下保持其平衡状态的能力。
剪切变形能

为零，其单位是m4、cm4、mm4等。
2024/11/13
13
截面的几何性质
建筑力学与结构
4.惯性半径
工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积A与某一长度平方的乘积，
即 Iz iz2 A I y iy2 A
惯性半径
iz
Iz A
单位为m、cm、mm等。
iy
Iy A
2024/11/13
14
截面的几何性质
3
图5-1 静矩
截面的几何性质
建筑力学与结构
2.静矩与形心的关系
设平面图形的形心坐标为（zC，yC），平面图形的形心坐标公式为
zdA
zC
A
A
ydA
yC
A
A
静矩与形心的关系式
S z Ayc Sy Azc
平面图形对某轴的静矩等于平面图形的面积乘以其形心到该轴的坐标。
2024/11/13
4
截面的几何性质
解：取参考轴z、y，如图5-2所示。将平面图形分解为两个矩形部分，
这两个矩形部分的形心位置和面积则很容易得出
矩形Ⅰ：
zC1
10 2
5mm
yC1
100 2
50mm
A1 10 100 1000 mm 2
2024/11/13
7
截面的几何性质
矩形Ⅱ：
zC 2
10
70 2
45mm
yC2
10 2
5mm
2024/11/13
17
截面的几何性质
2.计算矩形截面对z轴、y 轴的惯性半径
iz
Iz A
bh3 /12 h bh 2 3
iy
Iy A

d
2 2
16 43 416 (5.53 2)2 12
4123 412 (10.57 6)2 12
2416.76mm4
y
C2 C
z
C1
646 （单位mm）
y1
y2
29
Ai yi Ai Ai zi Ai
Ai yi
A
Ai zi
A
o Z1
z
Z2
使用上述公式时，对于挖掉部分的面积应取负值。
6
例2 求图示矩形截面abcd 部分对z 轴的静矩。
y
C3
C1
C2
o 2
4
6
12
123
Ai 144 72 -16
yi 6 4 6
z
zi 6 16 4
（单位：cm）
解：
yC
404
402
(mm)
402 )
12
64
4
23034100.7mm4
17
截面图形的的几何性质------形心和惯性矩
1，简单截面
1、有对称轴的截面，记忆或直接判断 教材353页附录Ⅱ
2、型钢，查表。教材356页附录Ⅲ
2，组合截面，组合法。
§Ⅰ.5惯性矩和惯性积的转轴公式,主惯性轴
一：已知 Iy、Iz、Iyz、(逆时针为正)，求 Iy1、Iz1、Iy1z1
cos 2
0
C
z
方形截面
Iz'
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I yz sin 2
Iz
Iy 2
Iz
I
y'
Iz
2
其中：
I

h
O
x
b
dA=b· dy
y dy y
O
h
x
b
bh I x = y dA= y bdy A h / 2 12
2 h/2 2
3
( 公式熟练掌握：宽×高3/12） 同理：
hb I y = x dA= x hdy A b / 2 12
2 b/2 2
3
例I-4：计算如图的惯性矩Ix , Iy,。 y d
将有关尺寸(mm)标在图中 y' C2
250
C1
O'
x
98 .3 26 .7
C3
26 .7
19 .21
y 0
A 24.1mm A x 4491(19.21 26.7) 2 2030 0 x
i i
.
4491 2 2030
将有关尺寸标在图中，标形心轴x-y轴 y y' 24 .1
Sx A
组合图形计算形心坐标的公式(I—2a)为：
x
A
xdA A

Sy A
S A
y ,i
Ax A
i i
y
A
ydA A
Sx Sx ,i A i yi A A A
(I—4)
形心坐标的公式(I—2a) 可改写为：
Sy Ax
常用，掌握
Sx Ay
(2) 由
Sx Ay
Sy Ax
2
y
bh h bh Sx Ay 2 3 6
h
C
b
h/3 x
补例：计算如图(a)的静矩Sz ,Sy, 图(b) Sz 。

例6-1 求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐 标yC。 解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x 轴平行的窄条， d A 2 r2 - y2 d y

所以 S x A y d A 0
r
2 3 y( 2 r - y ) d y r 3
2 2
y dA yC O C r
第6章 截面的几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
y z1
z
已知： Iy，Iz，Iyz A dA
y
求： Iy1，Iz1，Iy1z1
I y 1 z1 d A
2 A
O a
y1
O´ b
z
I z1 y1 dA
2 A
I y1z1 y1 z1dA
A
y1=y＋a z1=z＋b
第6章 截面的几何性质
2 A
b 2 b 2
hb3 z hdz 12
2
惯性矩与惯性积的移轴定理
第6章 截面的几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
惯性矩与惯性积的移轴定理
移轴定理（parallel-axis theorem）是指图形对于 互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已 知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另 一对坐标的惯性矩与惯性积。
Δ Pi y i P
于是有 同理有
yC
x xC
xi
§6-1 截面的静距与形心位置
工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面 例题中所示的两种横截面。当对组合截面杆件计算在外力 作用下的应力和变形时需要求出它们对于形心轴x，y (本 节中的x轴就是以前我们所用的z轴) 的一些几何性质，例

由 Ixy
xy d A可知，只要x 轴
A
或y 轴为截面的对称轴，则由于与
该轴对称的任何两个面积元素dA的
惯性积xydA数值相等而正负号相反，
致使整个截面的惯性积必定等于零。
图a所示截面的x 轴和y 轴都是对称
轴，当然Ixy=0。
第四章 弯曲应力
第四章 弯曲应力
例题Ⅰ- 6 图示组合截 面由一个25c号槽钢截面和两 个90 mm×90 mm×12 mm等 边角钢截面组成。试求此截 面分别对于形心轴x和y的惯 性矩Ix 和 Iy 。
至于I x2 则需先求出半圆形对其自身 形心轴的惯性矩。根据平行移轴公式可
得 直径Ix轴xI'(xC图b)23的dπ 惯2 性 πd8矩2，等而于半圆圆形形对对x'轴于
的惯性矩 πd 4 的一半，于是得 64
I xC
I
x
2d 3π
2
πd 2 8
πd 4
2d
2
128 3π
πd 2 8
第四章 弯曲应力
第四章 弯曲应力
解：由型钢规格表查得：
25c号槽钢截面 A 44.91cm2， I xC 3 690 .45 cm4 I yC 218 .415 cm4 形心位置如图所示 90 mm×90 mm×12 mm等边角 钢截面
A 20.30 cm2 I xC I yC 149.22 cm4 形心位置如图所示
1 100 203 100 20 (46.7)2 12
I yC
I1 yC
I2 yC
12.12 106m4
20
yC 1 z2
y
20 140
100 2
第四章 弯曲应力
例题Ⅰ- 5 试求图a所示截 面对于x轴的惯性矩Ix ，对于y轴 的惯性矩Iy ，以及对于x，y轴的 惯性积Ixy 。

附录I 截面的几何性质 习题解[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。

（a ）解：)(24000)1020()2040(3mm y A S c x =+⨯⨯=⋅=（b ）解：)(42250265)6520(3mm y A S c x =⨯⨯=⋅= （c ）解：)(280000)10150()20100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=（d ）解：)(520000)20150()40100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。

解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=sin sin )(2半圆对x 轴的静矩为：32)]0cos (cos [3]cos []3[sin 33003002r r x d dx x S r rx =--⋅=-⋅=⋅=⎰⎰πθθθππ因为c x y A S ⋅=，所以c y r r ⋅⋅=232132π π34ry c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。

（a ） 解：解：[习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x 轴和y 轴的惯性矩x I 、y I 和惯性积xy I 。

解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的惯性矩为： θθθθθdxd x dx xd x dx xd y dA y dI x ⋅=⋅⋅=⋅==232222sin sin )(四分之一圆对x 轴的惯性矩为： ⎰⎰⎰-⋅==2/0042/02322c o s 1]4[s i n ππθθθθd x d dx x I r rx)]2(2cos 21[2142/02/04θθθππd d r ⎰⎰-⋅= }]2[sin 212{82/04πθπ-=r 164r ⋅=π由圆的对称性可知，四分之一圆对y 轴的惯性矩为：164r I I x y ⋅==π微分面积对x 轴、y 轴的惯性积为：xydA dI xy =8)42(21]42[21)(21444042222022r r r x x r dx x r x ydx xdx I r rx r rxy =-=-=-==⎰⎰⎰- [习题I-5] 图示直径为mm d 200=的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为mm 20=δ的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。

一、惯性矩和惯性积的
y
转轴公式
y1
x1
dA y1
x1
x1 x cos y sin
y1
x
sin
y
cos
y
C
E
D
oxB
x
I x1 A y12dA
x1 y1
x cos y x sin
s y
in cos
(x sin y cos)2dA A
I y sin2 Ix cos2 Ixy sin 2
形心位置为 “+” 。
y
10
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
120 10
负面积 C2 C1
80
图(b)
C1（0,0） C2（5,5）
x
x
xi Ai
x 1
A1
x 2
A2
A
A1 A2
5(70110) 20.3 1208070110
y
yi Ai
y 1
A1
y 2
A2
A
A1 A2
5(70110) 20.3
A
y 三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
Ixy xydA
A
如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0
x d yA
x
例：计算矩形截面对x，y轴的
惯矩 y
Ix y2dA
A
h
2 h
2
by2dy
bh3 12
x
I y x2dA
A
b
2 b
2
hx2dx
b3h 12
Ixy 0
附录 I§1-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理
附录I 截面的几何性质

1 2
(
I
y
Iz)
1 2
(
I
y
Iz )cos 2
I yz sin
2
I z1
1 2
(
I
y
Iz)
1 2
(
I
y
Iz )cos 2
I yz sin
2
(a)
I y1z1
1 2
(
I
y
Iz )sin
2
I yz sin
2
4.2 主惯性轴和主惯性矩(principal moment of inertia)
A
y2dA
A
z2dA
A
Iz Iy
此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。
z y
o
A dA
z y
惯性积
定义
I yz
yzdA
A
z A
y
dA
为图形对y、z轴的惯性积 。
z
o
y
惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是[长 度]4 ，常用单位为m4和mm4。
定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴 的惯性积必然为零。
例题 试求图示图形对形心轴的惯性矩和 惯性积。
解：将图形看作是两个矩形的结合。 形心坐标为
yc 0
zc
A1z1 A1
A2 z2 A2
103.3mm
z 100
20
I CI
C
140
CII
103.3
II
a1 a2 y
y
20
求图形对y、z轴的惯性矩
z 100
I z I zI I zII
201003 140 203