初三圆周角和圆心角之间关系讲义和练习

圆心角、圆周角知识要点1.圆心角：顶点在圆心的角弧、弦、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

弧、弦、圆心角关系定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们其余各组量也相等。

2.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

3.圆内接四边形的性质圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补。

（外角等于它的内对角） 4.四点公圆的证明一个四边形若有一组对角是直角，则这个四边形的四个顶点一定在同一个圆上，即这个四边形一定有一个外接圆。

基础知识测试： （一）圆心角1.下列命题正确的是（ C ）A 相等圆心角所对的弧相等B 等弧对等弦C 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等D 相等的圆心角所对的弦相等2.已知弧AB 、弧CD 是同一圆中的两段劣弧，且弧AB ＝2弧CD ，则弦AB 与CD 的关系是（ B ） A AB ＝2CD B AB ＜2CD C AB ＞2CD D 无法判断3.在⊙O 中，P 为直径AB 上一动点，C 、D 为两半圆上的两动点，CD 交AB 于H ，则以下说法：（1）若弧AC ＝弧AD ，则∠APC ＝∠APD ；（2）若PC ＝PD ，则∠APC ＝∠APD ；（3）若∠APC ＝∠APD ，则CH ＝HD 。

其中正确的个数是（ D ）A 0个B 1个C 2个D 3个4.如图，A 、B 、C 为⊙O 上三点，D 、E 分别为)AB 、)AC 的中点，连接DE 分别交AB 、AC 于F 、G ，求证:AF ＝AG .证明：连结OD 、OE ，∵D ，E 分别是)AB 、)AC 的中点，∴OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴∠D ＋∠DFB ＝90°，∠E ＋∠EGC ＝90°， ∵OD ＝OE ，∴∠D ＝∠E ，41.如图，若AB ＝B C .则图中与∠ADB 相等的圆周角的个数为 3 .2.如图，直线AB 交圆于点A ，B ，点M 在圆上，点P 在圆外，且点M 、P 在AB 的同则，∠AMB ＝50°，设∠APB ＝x °.当点P 移动时，3.(1)如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D ，E 是⊙O 上的三点，则∠1＋∠2的度数＝ 90° .(2)如图，A ，B ，C ，D ，E 是同一圆上顺次的五点，∠CAD ＝80°，则∠ABC ＋∠AED 等于 260° .4. 如图，⊙O 中，若∠AOB ＝100°，则∠C ＝ 50° ，∠D ＝ 130° .5. (1)圆的弦长恰好等于该圆的半径，则这条弦所对的圆周角是 60或120 度. (2)△ABC 内接于⊙O ，∠AOB ＝100°， 则∠ACB ＝ 50或130 度.6.如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 经过圆心O ，若弧AC ＝弧CD ，∠P ＝30°，则∠BDC 的度数是 110°.7.如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上四点，AB、DC 交于点AD 、BC 交于E 点，若∠E ＝40°，∠F ＝30°， 则∠A 的度数为 55°.B1.如图，在四边形OABC 中，OA ＝OB ＝OC ，若∠ACB ＝35°，则∠AOB 的度数是 70° .2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是A 8边的中点，是线段BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ’F ，连接B 'D ，则B 'D3.如图，△ABC ，△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M .当△EFG 绕点D 旋转时，求线段BM 长的最小值.解：连结AD 、DG ，根据旋转角相等，旋转前后的对应线段相等，容易发现∠ADG ＝∠FDC ，DA ＝DG ，DF ＝DC ，故∠DFC ＝∠DCF ＝∠DAG ＝∠DG A . 又根据等腰三角形的“三线合一”可知∠FDG ＝90°，所以∠DFG ＋∠DGF ＝90°，即∠DFC ＋∠CFG ＋∠DGF ＝90°.所以∠AMC ＝∠MGF ＋∠CFG ＝∠AGD ＋∠DGF ＋∠CFG ＝∠DFC ＋∠DGF ＋∠CFG ＝90°. 故点M 始终在以AC 为直径的圆上，作出该圆，设圆心为O ，连结BO 与⊙O 相交于点P ，线段BP 的长即为线段BM 长的最小值.BP ＝AO －OP 1.4.如图，△ABC 中，BC ＝4，∠BAC ＝45°，以为半径，过B ，C 两点作⊙O ，连OA ，则线段OA 的最大值综合、提高、创新:【例1】1.如图，BC是⊙O的直径，»AB＝»AF，AD⊥BC于D，BF与AD交于E点(1)求证: AE＝BE:(2)求证BF＝2AD(3)若点A、F把半圆三等分，BC＝12，求AE的长度，解：（1）连AC，如图，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，又∵AD⊥BC，∴∠BAD＝∠ACB，又∵»AB＝»AF，∴∠ACB＝∠ABF，∴∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE；（2）∵A，F把半圆三等分，∴∠ACB＝∠CBF＝∠ABF＝30°，∴∠BAD＝30°，在Rt△ABC中，BC＝12，所以AB＝12BC＝6，在Rt△ABD中，AB＝6，所以BD＝12AB＝3，Rt△BDE中，∠CBF＝30°，BD＝3，∴DE＝BE＝AE＝2.如图，△ABC内接于⊙O、AD⊥BC，D为垂足，E是»BC中点，求证：∠EAO＝∠EA D.证明：（1）连接OB，则∠AOB＝2∠ACB，∠OAB＝∠OBA，∵AD⊥BC，∴∠OAB＝12（180°－∠AOB）＝90°－12∠AOB＝90°－∠ACB＝∠DAC，∵E是弧BC的中点，∴∠EAB＝∠EAC，∴∠EAO＝∠EAB－∠OAB＝∠EAC－∠DAC＝∠EA D．（2）连接OE，∵E是»BC的中点，∴弧BE＝弧EC，∴OE⊥BC，∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA＝∠EAD，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠OAE＝∠EA D．1、如图，AB为直径，CD是弦，AB⊥C D.(1) P是弧CAD上一点(不与C、D重合)，求证：∠CPD＝∠COB .(2)点P’在劣弧CD上(不与C、D重合)时，∠CP’D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.(1)证明：连接OD，∵AB是直径，AB⊥CD，∴»BC＝»BD∴∠COB＝∠DOB＝12∠CO D．又∵∠CPD＝12∠COD，∴∠CPD＝∠CO B．(2)解：∠CP′D＋∠COB＝180°．理由如下：连接OD，∵∠CPD＋∠CP′D＝180°，∠COB＝∠DOB＝12∠COD，又∵∠CPD＝12∠COD，∴∠COB＝∠CPD，∴∠CP′D＋∠COB＝180°．2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，P是AB延长线上一动点，CP交⊙O于Q，DQ交AB于E.试问:当P点在AB延长线上运动时，∠OPC与∠ODQ是否保持某种特定的关系?证明你的结论.∠OPC＝∠ODQ，理由简要如下：延长DO交圆O于F，①圆外角∠P＝1/2(弧AC－弧BD)②OC＝OD，OB⊥CD，∴∠COB＝∠DOB＝∠AOF，∴弧AF＝弧BC，∴弧AC＝弧BF，∴弧AC－弧BD＝弧BF－弧BD＝弧FQ＝1/2∠QDF，∴∠OPC＝∠ODQ1、如图1，锐角△ABC的三个顶点都在⊙O上，高AD、BE所在直线交⊙O于H，AD所在直线交⊙O于G. （1）求证:DH＝DG；（2）将“锐角△ABC”改为“钝角△ABC，∠BAC为钝角”其他条件不变，完成图2，试问（1）中的结论是否仍成立?证明你的结论.图1 图2证明：连接BG∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠BEC＝90，∠ADC＝90∵∠ACB＋∠DHE＋∠BEC＋∠ADC＝360∴∠ACB＋∠DHE＝180∵∠DHE＋∠BHG＝180∴∠ACB＝∠BHG∵∠ACB、∠AGB所对应圆弧都为劣弧AB∴∠ACB＝∠AGB∴∠AGB＝∠BHG∵AD⊥BC∴DG＝DH（等腰三角形中垂线）证明：连接BG∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠BEA＝90，∠ADB＝90∵∠EBD＋∠EAD＋∠BEA＋∠ADB＝360∴∠EBD＋∠EAD＝180∵∠EAD＋∠GAC＝180∴∠EBD＝∠GAC∵∠GAC、∠GBC所对应圆弧都为劣弧GC∴∠GAC＝∠GBC∴∠GBC＝∠EBD∵AD⊥BC，BD＝BD，∴△BDG全等于△BDH，∴DG＝DH2如图，已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，过圈心O作BC的垂线交⊙O于P、Q，交BC于D，QP、CA的延长线交于点E，求证:∠BAO＝∠E.证明：作直径AM，连接BM，∵∠C和∠M都对弧AB，∴∠C＝∠M，∵OQ⊥BC，∴∠EQC＝90°，∴∠C＋∠E＝90°，【例4】如图，在直角坐标系中，M为x轴上一点，⊙M交x轴于A、B，交y轴于C、D，P为»BC上的一个动点，CQ平分∠PCD，交AP于点Q，A（－1，0），M（1，0）.（1）求C点的坐标；（2）当P点运动时，线段AO的长度是否会改变？若不变，请证明并求其值：若改变，请说明理由解：(1)由勾股定理易得C(0;(2)当P点运动时，线段AO的长度不会改变，由垂径定理知，»»,AC AD=∴∠P＝∠ACD，∵CQ平分∠PCD，∴∠P＋∠PCQ＝∠ACD＋∠DCQ，即∠ACQ＝∠AQC，∴AQ＝A C.在Rt△OCA中，OC OA＝1，∴AC＝2∴线段AO的长度不会改变，为2.【例5】在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧»AC沿弦AC翻折AB点于点D，连接C D. （1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r;（2）如图2，若点D与圆心O重合，∠BAC＝25°，请直接写出∠DCA的度数.解答：(1)如图：过O作OE⊥AC于E，则AE＝11,2AC=∴OE＝1,2r在Rt△AOE中，OE＝1,2r，AE＝1，得r（2）连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠B＝65°，根据翻折性质，»AC所对的圆周角为∠B，¼ABC所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC＋∠B＝180°，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠DCA＝∠CDB－∠A＝40°【例6】在⊙O 中，AB 为直径，弦CD ⊥AB 于E ，E 是AO 的中点， P 是»BC上的动点，求PC PD PA+ 的值。

弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系解题技巧：1、顶点在圆心的角叫圆心角，顶点在圆周上的角叫圆周角2、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等（知道一组相等，就可以推出其它三组相等）3、圆周角定理：同弧所对圆周角是圆心角的一半4、直径所对圆周角等于90°，90°的圆周角所对的弦是直径例1、下列说法正确的是_________________①相等的圆周角所对的弧相等②相等的弦所对的弧相等③等弦对等弧④等弧对等弦例2、如图，点A、B、C在⊙O上，OC、OB是半径，∠COB=100°，则∠A的度数等于（）A、20°B、40°C、50°D、100°例3、如图所示，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（）A、30°B、45°C、60°D、75°例4、如图，AB是⊙O的直径，BD=BC，∠A=25°，则∠BOD的度数为（）A、12.5°B、30°C、40°D、50°例5、如图所示，AB是⊙的直径，AC=CD=BD，E是⊙O上一点，连接CE、DE，则∠CED的度数为（）A、25°B、30°C、40°D、60°例6、如图，⊙O的直径是AB，∠C=35°，则∠DAB的度数是（）A、60°B、55°C、50°D、45°例7、如图，经过原点的⊙P与x轴，y轴分别交于A（3，0）、B（0,4）两点，点C是OB上一点，且BC=2，则AC=____1、如图，AB和CD都是⊙O的直径，∠AOC=52°，则∠C的度数是（）A、22°B、26°C、38°D、48°2、如图，AB为⊙O直径，∠ABC=25°，则∠D的度数为（）A、70°B、75°C、60°D、65°3、如图，AB是⊙O的直径，若∠BDC=30°，则∠AOC的度数为（）A、80°B、100°C、120°D、无法确定4、如图，⊙O中弦AB等于半径OA，点C在优弧AB上运动，则∠ACB的度数是（）A、30°B、45°C、60°D、无法确定5、如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）A、60°B、45°C、30°D、22.5°6、如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAB的度数是（）A、35°B、55°C、65°D、70°7、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦。

初三数学圆周角与圆心角的关系讲义学科教师辅导讲义体系搭建一、知识梳理圆．（五）三角形的外接圆1、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．2、外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．注意：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个而一个圆的内接三角形却有无数个．考点一：圆周角的定义与圆周角定理例1、请用科学的方法证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．例2、如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°例3、如图将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，∠APB的度数（）A．45°B．30°C．75°D．60°例4、如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°考点二：圆周角定理的推论例1、如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．无法确定例2、如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．考点三：圆内接四边形例1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（）A．128°B．100°C．64°D．32°例2、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是（）A．88°B．92°C．106°D．136°考点四：确定圆的条件、三角形的外接圆与外心例1、小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块例2、如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A．（6，8）B．（4，5）C．（4，）D．（4，）例3、如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（）A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE实战演练课堂狙击1、如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（）A．22°B．26°C．32°D．68°第1题第2题2、如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（）A．80°B．100°C．110°D．130°3、如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°4、点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°5、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A．45°B．50°C．60°D．75°6、下列四个命题：①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7、如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．课后反击1、如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC 等于（）A．50°B．80°C．100°D．130°2、如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在（）A．△ABC的三边高线的交点P处B．△ABC的三角平分线的交点P处C．△ABC的三边中线的交点P处D．△ABC的三边中垂线的交点P处3、下列命题正确的个数有（）①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个4、如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（）A．80°B．100°C．60°D．40°5、如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC 于点D，AB=8，则tan∠CBD的值等于（）A．B．C．D．6、已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．7、如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC 于点E．（1）求证：∠ABC=∠ADB；（2）若AE=2，ED=4，求AB的长．8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．直击中考1、【2015?巴中】如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（）A．25°B．50°C．60°D．30°2、【2015?荆州】如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°3、【2015?深圳】如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（）A．50° B．20°C．60° D．70°4、【2012?深圳】如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．6 B．5C．3 D．35、【2015?深圳】如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CG?CE．重点回顾1、圆周角的定义、圆周角定理及其推论内容及常作辅助线2、圆的内接四边形的对角互补3、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定唯一的一个圆4、圆的外接圆与外心锐角、直角、钝角三角形的外心，外心的确定名师点拨本节性质定理内容较多，但整体难度不大，也是中考的重点内容。

学科教师辅导讲义体系搭建一、知识梳理圆．（五）三角形的外接圆1、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．2、外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．注意：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个而一个圆的内接三角形却有无数个．考点一：圆周角的定义与圆周角定理例1、请用科学的方法证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．例2、如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°例3、如图将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，∠APB的度数（）A．45°B．30°C．75°D．60°例4、如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°考点二：圆周角定理的推论例1、如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．无法确定例2、如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．考点三：圆内接四边形例1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（）A．128°B．100°C．64°D．32°例2、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是（）A．88°B．92°C．106°D．136°考点四：确定圆的条件、三角形的外接圆与外心例1、小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块例2、如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A．（6，8）B．（4，5）C．（4，）D．（4，）例3、如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（）A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE实战演练➢课堂狙击1、如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（）A．22°B．26°C．32°D．68°第1题第2题2、如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（）A．80°B．100°C．110°D．130°3、如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°4、点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°5、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A．45°B．50°C．60°D．75°6、下列四个命题：①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7、如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．➢课后反击1、如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100°D．130°2、如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在（）A．△ABC的三边高线的交点P处B．△ABC的三角平分线的交点P处C．△ABC的三边中线的交点P处D．△ABC的三边中垂线的交点P处3、下列命题正确的个数有（）①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个4、如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（）A．80°B．100°C．60°D．40°5、如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，AB=8，则tan∠CBD的值等于（）A．B．C．D．6、已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．7、如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E．（1）求证：∠ABC=∠ADB；（2）若AE=2，ED=4，求AB的长．8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．直击中考1、【2015•巴中】如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（）A．25°B．50°C．60°D．30°2、【2015•荆州】如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°3、【2015•深圳】如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（）A．50° B．20°C．60° D．70°4、【2012•深圳】如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．6 B．5C．3 D．35、【2015•深圳】如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CG•CE．重点回顾1、圆周角的定义、圆周角定理及其推论内容及常作辅助线2、圆的内接四边形的对角互补3、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定唯一的一个圆4、圆的外接圆与外心锐角、直角、钝角三角形的外心，外心的确定名师点拨本节性质定理内容较多，但整体难度不大，也是中考的重点内容。

3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角定理及其推论1基础题 知识点1 圆周角的概念1.下列四个图中，∠x 是圆周角的是( )A B C D知识点2 圆周角定理2.(2018·衢州)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝35°， 则∠AOB 的度数是( )A .75°B .70°C .65°D .35°3.如图，已知CD 是⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA.若∠D 的度数是50°，则∠C 的度数是( )A .25°B .30°C .40°D .50°4.(2017·兰州)如图，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵，点D 在⊙O 上，∠CDB ＝25°， 则∠AOB ＝( )A .45°B .50°C .55°D .60°5.(2018·广东)同圆中，已知弧AB 所对的圆心角是100°，则弧AB 所对的圆周角是 .6.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB ＝70°，AB ＝AC ，则∠ABC ＝ . 知识点3 圆周角定理的推论17.(教材P80练习T2变式)(2017·柳州)如图，在⊙O 中与∠1一定相等的角是( ) A .∠2 B .∠3 C .∠4 D .∠58.(2017·哈尔滨)如图，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，∠A ＝42°，∠APD ＝77°，则∠B 的大小是( )A .43°B .35°C .34°D .44°9.如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E.若∠C ＝25°，则∠D ＝ .10.如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC. 证明：易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错11.在直径为4的⊙O 中，弦AB ＝23，点C 是圆上不同于A ，B 的点，那么∠ACB 的度数为 中档题12.(2018·菏泽)如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC ＝32°，则∠OBA 等于( ) A .64° B .58° C .32° D .26° 13.(2017·泰安)如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF ⊥OC 交圆O 于点F ，则∠BAF 等于( ) A .12.5° B .15° C .20° D .22.5°14.(2017·贵港)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，B 是AC ︵的中点，M 是半径OD 上任意一点.若∠BDC ＝40°，则∠AMB 的度数不可能是( ) A .45° B .60° C .75° D .85° 15.(2018·泰安)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝45°，BC ＝4， 则⊙O 的直径为 .17.如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，∠CBD ＝30°，∠BCD ＝20°，试求∠BAC 的度数. 解：连接OB ，OC ，OD.第2课时圆周角定理的推论2，3基础题知识点1圆周角定理的推论21.如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是(C)A.35°B.45°C.55°D.65°2.(教材P83练习T2变式)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(B)3.(2018·南充)如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(A)A.58°B.60°C.64°D.68°4.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)A.10 cmB.5 cmC.6 cmD.10 cm5.如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径.若∠D＝32°，则∠OAC＝(B)A.64°B.58°C.72°D.55°6.如图，在半径为5 cm的⊙O中，AB为直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长.解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ABD＝∠ACD＝30°，∴BD＝AB·cos∠ABD＝10×32＝53(cm).知识点2圆周角定理的推论37.圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝(D)A.20°B.30°C.70°D.110°8.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点. 若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)A.115°B.105°C.100°D.95°9.(2018·邵阳)如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(B)A.80°B.120°C.100°D.90°10.(2017·淮安)如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是120°.易错点对圆内接四边形的概念理解不清导致错误11.如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°.中档题12.如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝(C)A.30°B.45°C.60°D.70°13.(2017·牡丹江)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B＝3∠BAC，则∠ADC等于(B)A.100°B.112.5°C.120°D.135°14.(2018·白银)如图，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是(B)A.15°B.30°C.45°D.60°15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径.证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°－∠B＝130°.∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°.∴AB是⊙O的直径.16.(2018·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积.解：(1)证明：∵AB为半圆的直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴CE＝BE，又∵EF＝AE，∴四边形ABFC是平行四边形.又∵AB＝AC(或∠AEB＝90°)，∴平行四边形ABFC是菱形.(2)连接BD.∵AD＝7，BE＝CE＝2，设CD＝x，则AB＝AC＝7＋x.∵AB为半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB2－AD2＝CB2－CD2.∴(7＋x)2－72＝42－x2.∴x1＝1或x2＝－8(舍去).∴AB＝8.∴S半圆＝12×π×42＝8π.∴BD＝15.∴S菱形ABFC＝815.综合题17.如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O 的半径为2 3.(1)求证：△CDE∽△CBA；(2)求DE的长.解：(1)证明：∵四边形ABED为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠BED＝180°.又∵∠BED＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠A.又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA.(2)连接AE.由(1)得DEBA＝CECA，∵AB为⊙O的直径，⊙O的半径为23，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，AB＝4 3.在Rt△AEC中，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝30°.∴DEBA＝CECA＝12，即DE＝2 3.3.4 圆周角和圆心角的关系 答案 第1课时 圆周角定理及其推论1基础题 知识点1 圆周角的概念1.下列四个图中，∠x 是圆周角的是(C)A B C D知识点2 圆周角定理2.(2018·衢州)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝35°， 则∠AOB 的度数是(B)A .75°B .70°C .65°D .35°3.如图，已知CD 是⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA.若∠D 的度数是50°，则∠C 的度数是(A)A .25°B .30°C .40°D .50°4.(2017·兰州)如图，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵，点D 在⊙O 上，∠CDB ＝25°， 则∠AOB ＝(B)A .45°B .50°C .55°D .60°5.(2018·广东)同圆中，已知弧AB 所对的圆心角是100°，则弧AB 所对的圆周角是50°.6.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB ＝70°，AB ＝AC ，则∠ABC ＝35°. 知识点3 圆周角定理的推论17.(教材P80练习T2变式)(2017·柳州)如图，在⊙O 中与∠1一定相等的角是(A) A .∠2 B .∠3 C .∠4 D .∠58.(2017·哈尔滨)如图，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，∠A ＝42°，∠APD ＝77°，则∠B 的大小是(B)A .43°B .35°C .34°D .44°9.如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E.若∠C ＝25°，则∠D ＝65°.10.如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC. 证明：∵AB ＝BC ， ∴AB ︵＝BC ︵. ∴∠ADB ＝∠BDC. ∴DB 平分∠ADC.易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错11.在直径为4的⊙O 中，弦AB ＝23，点C 是圆上不同于A ，B 的点，那么∠ACB 的度数为60°或120°. 中档题12.(2018·菏泽)如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC ＝32°，则∠OBA 等于(D) A .64° B .58° C .32° D .26° 13.(2017·泰安)如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF ⊥OC 交圆O 于点F ，则∠BAF 等于(B) A .12.5° B .15° C .20° D .22.5°14.(2017·贵港)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，B 是AC ︵的中点，M 是半径OD 上任意一点.若∠BDC ＝40°，则∠AMB 的度数不可能是(D) A .45° B .60° C .75° D .85° 15.(2018·泰安)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝45°，BC ＝4， 则⊙O 的直径为42.17.如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，∠CBD ＝30°，∠BCD ＝20°，试求∠BAC 的度数. 解：连接OB ，OC ，OD.∵∠BOD ＝2∠BCD ，∠COD ＝2∠CBD ，∠CBD ＝30°， ∠BCD ＝20°，∴∠COD ＝60°，∠BOD ＝40°. ∴∠BOC ＝100°， ∠BAC ＝12∠BOC ＝50°.综合题18.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC ＝BC ＝DC. (1)若∠CBD ＝39°，求∠BAD 的度数； (2)求证：∠1＝∠2. 解：(1)∵BC ＝DC ， ∴BC ︵＝DC ︵.∴∠BAC ＝∠CAD ＝∠CBD. ∵∠CBD ＝39°， ∴∠BAC ＝∠CAD ＝39°.∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝78°. (2)证明：∵EC ＝BC ， ∴∠CBE ＝∠CEB.∵∠CBE ＝∠1＋∠CBD ，∠CEB ＝∠2＋∠BAC ， ∴∠1＋∠CBD ＝∠2＋∠BAC. 又∵∠BAC ＝∠CBD ，∴∠1＝∠2.第2课时圆周角定理的推论2，3基础题知识点1圆周角定理的推论21.如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是(C)A.35°B.45°C.55°D.65°2.(教材P83练习T2变式)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(B)3.(2018·南充)如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(A)A.58°B.60°C.64°D.68°4.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)A.10 cmB.5 cmC.6 cmD.10 cm5.如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径.若∠D＝32°，则∠OAC＝(B)A.64°B.58°C.72°D.55°6.如图，在半径为5 cm的⊙O中，AB为直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长.解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ABD＝∠ACD＝30°，∴BD＝AB·cos∠ABD＝10×32＝53(cm).知识点2圆周角定理的推论37.圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝(D)A.20°B.30°C.70°D.110°8.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点. 若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)A.115°B.105°C.100°D.95°9.(2018·邵阳)如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(B)A.80°B.120°C.100°D.90°10.(2017·淮安)如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是120°.易错点对圆内接四边形的概念理解不清导致错误11.如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°.中档题12.如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝(C)A.30°B.45°C.60°D.70°13.(2017·牡丹江)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B＝3∠BAC，则∠ADC等于(B)A.100°B.112.5°C.120°D.135°14.(2018·白银)如图，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是(B)A.15°B.30°C.45°D.60°15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径.证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°－∠B＝130°.∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°.∴AB是⊙O的直径.16.(2018·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积.解：(1)证明：∵AB为半圆的直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴CE＝BE，又∵EF＝AE，∴四边形ABFC是平行四边形.又∵AB＝AC(或∠AEB＝90°)，∴平行四边形ABFC是菱形.(2)连接BD.∵AD＝7，BE＝CE＝2，设CD＝x，则AB＝AC＝7＋x.∵AB为半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB2－AD2＝CB2－CD2.∴(7＋x)2－72＝42－x2.∴x1＝1或x2＝－8(舍去).∴AB＝8.∴S半圆＝12×π×42＝8π.∴BD＝15.∴S菱形ABFC＝815.综合题17.如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O 的半径为2 3.(1)求证：△CDE∽△CBA；(2)求DE的长.解：(1)证明：∵四边形ABED为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠BED＝180°.又∵∠BED＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠A.又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA.(2)连接AE.由(1)得DEBA＝CECA，∵AB为⊙O的直径，⊙O的半径为23，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，AB＝4 3.在Rt△AEC中，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝30°.∴DEBA＝CECA＝12，即DE＝2 3.3.4 圆周角和圆心角的关系第1课时 圆周角定理及其推论1基础题知识点1 圆周角的概念1.下列四个图中，∠x 是圆周角的是(C)A B C D知识点2 圆周角定理2.(2018·衢州)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB＝35°，则∠AOB 的度数是(B)A .75°B .70°C .65°D .35°3.如图，已知CD 是⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA.若∠D 的度数是50°，则∠C 的度数是(A)A .25°B .30°C .40°D .50°4.(2019·兰州)如图，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵，点D 在⊙O 上，∠CDB＝25°，则∠AOB＝(B)A .45°B .50°C .55°D .60°5.(2018·广东)同圆中，已知弧AB 所对的圆心角是100°，则弧AB 所对的圆周角是50°.6.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB＝70°，AB ＝AC ，则∠ABC＝35°.知识点3 圆周角定理的推论17.(教材P80练习T2变式)(2019·柳州)如图，在⊙O 中与∠1一定相等的角是(A)A .∠2B .∠3C .∠4D .∠58.(2019·哈尔滨)如图，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，∠A＝42°，∠APD＝77°，则∠B 的大小是(B)A .43°B .35°C .34°D .44°9.如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E.若∠C＝25°，则∠D＝65°.10.如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC. 证明：∵AB＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵.∴∠ADB＝∠BDC.∴DB 平分∠ADC.易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错11.在直径为4的⊙O 中，弦AB ＝23，点C 是圆上不同于A ，B 的点，那么∠ACB 的度数为60°或120°.中档题12.(2018·菏泽)如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC＝32°，则∠OBA 等于(D)A .64°B .58°C .32°D .26°13.(2019·泰安)如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF⊥OC 交圆O 于点F ，则∠BAF 等于(B)A .12.5°B .15°C .20°D .22.5°14.(2019·贵港)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，B 是AC ︵的中点，M 是半径OD 上任意一点.若∠BDC＝40°，则∠AMB 的度数不可能是(D)A .45°B .60°C .75°D .85°15.(2018·泰安)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A＝45°，BC ＝4，则⊙O 的直径为16.如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上.(1)若∠AOD＝52°，求∠DEB 的度数；(2)若OC ＝3，OA ＝6，求tan∠DEB 的值.解：(1)连接OB.∵OD⊥AB，∴AD ︵＝BD ︵.∴∠BOD＝∠AOD＝52°.∴∠DEB＝12∠BOD＝26°. (2)∵OD⊥AB，OC ＝3，OA ＝6，∴OC＝12OA ，即∠OAC＝30°. ∴∠AOC＝60°.∴∠DEB＝12∠AOC＝30°. ∴tan∠DEB＝33. 17.如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，∠CBD＝30°，∠BCD＝20°，试求∠BAC 的度数.解：连接OB ，OC ，OD.∵∠BOD＝2∠BCD，∠COD＝2∠CBD，∠CBD＝30°，∠BCD＝20°，∴∠COD＝60°，∠BOD＝40°.∴∠BOC＝100°，∠BAC＝12∠BOC＝50°. 综合题18.如图，四边形ABCD 内接于⊙O，点E 在对角线AC 上，EC ＝BC ＝DC.(1)若∠CBD ＝39°，求∠BAD 的度数；(2)求证：∠1＝∠2.解：(1)∵BC＝DC ，∴BC ︵＝DC ︵.∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC＝∠CAD＝39°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝78°.(2)证明：∵EC＝BC ，∴∠CBE＝∠CEB.∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BAC.又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.第2课时圆周角定理的推论2，3基础题知识点1 圆周角定理的推论21.如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是(C)A.35°B.45°C.55°D.65°2.(教材P83练习T2变式)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(B)3.(2018·南充)如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(A)A.58°B.60°C.64°D.68°4.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM ＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)A.10 cmB.5 cmC.6 cmD.10 cm5.如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径.若∠D＝32°，则∠OAC＝(B)A.64°B.58°C.72°D.55°6.如图，在半径为5 cm的⊙O中，AB为直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长.解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ABD＝∠ACD＝30°，∴BD＝AB·cos∠ABD＝10×32＝53(cm).知识点2 圆周角定理的推论37.圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝(D)A.20°B.30°C.70°D.110°8.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点.若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)A.115°B.105°C.100°D.95°9.(2018·邵阳)如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(B)A.80°B.120°C.100°D.90°10.(2019·淮安)如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是120°.易错点对圆内接四边形的概念理解不清导致错误11.如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°.中档题12.如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝(C)A.30°B.45°C.60°D.70°13.(2019·牡丹江)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B＝3∠BAC，则∠ADC等于(B)A.100°B.112.5°C.120°D.135°14.(2018·白银)如图，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是(B)A.15°B.30°C.45°D.60°15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径.证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°－∠B＝130°.∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°.∴AB是⊙O的直径.16.(2018·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积.解：(1)证明：∵AB为半圆的直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴CE＝BE，又∵EF＝AE，∴四边形ABFC是平行四边形.又∵AB＝AC(或∠AEB＝90°)，∴平行四边形ABFC 是菱形.(2)连接BD.∵AD＝7，BE ＝CE ＝2，设CD ＝x ，则AB ＝AC ＝7＋x.∵AB 为半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2.∴(7＋x)2－72＝42－x 2.∴x 1＝1或x 2＝－8(舍去).∴AB＝8.∴S 半圆＝12×π×42＝8π. ∴BD＝15.∴S 菱形ABFC ＝815.综合题17.如图，在△ABC 中，∠C＝60°，以AB 为直径的半圆O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，已知⊙O 的半径为2 3.(1)求证：△CDE∽△CBA；(2)求DE 的长.解：(1)证明：∵四边形ABED 为⊙O 的内接四边形，∴∠A＋∠BED＝180°.又∵∠BED＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠A.又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA.(2)连接AE.由(1)得DE BA ＝CE CA， ∵AB 为⊙O 的直径，⊙O 的半径为23，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，AB ＝4 3.在Rt△AEC 中，∵∠C＝60°，∴∠CA E ＝30°.∴DE BA ＝CE CA ＝12，即DE ＝2 3.北师大版初中数学九年级下3.3圆周角和圆心角的关系练习卷（带解析）一、填空题1.如图,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是上任一点(不与A、C重合),则∠ADC的度数是________.【答案】120°【解析】试题分析：根据等边三角形的性质及圆内接四边形的性质即可求得结果.∵等边三角形ABC∴∠ABC=60°∴∠ADC=180°-∠ABC=120°.考点：等边三角形的性质，圆内接四边形的性质点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.2.如图,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.【答案】3，1【解析】试题分析：根据圆内接四边形的性质及圆周角定理即可得到结果.由题意得△ABE≌△DCE，△ABD≌△DCA，△ABC≌△DCB有3对全等三角形相似比不等于1的相似三角形有△ADE∽△DCB这一对.考点：圆内接四边形的性质，圆周角定理点评：全等三角形的判定和性质的应用贯穿于整个初中学习，是平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.3.已知,如图,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.【答案】160°【解析】试题分析：由∠BAD=100°可得∠BAC的度数，再根据圆周角定理即可求得结果.∵∠BAD=100°∴∠BAC=80°∴∠BOC=160°.考点：邻补角定理，圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.4.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.【答案】44°【解析】试题分析：连接OB，根据圆的基本性质可得∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求得结果.连接OB∵∠OAB=46°，OA=OB∴∠AOB=88°∴∠ACB=44°.考点：圆的基本性质，圆周角定理点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.5.如图,AB是⊙O的直径, ,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.【答案】50°【解析】试题分析：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.∵,∠A=25°∴∠BOD=50°.考点：圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.6.如图,AB是半圆O的直径,AC="AD,OC=2,∠CAB=30°," 则点O到CD的距离OE=____.【答案】【解析】试题分析：由AC=AD，∠CAB=30°可得∠CDO的度数，即可得到∠EOD、∠COE的度数，判断出△COE的形状再结合勾股定理即可求得结果.∵AC=AD，∠CAB=30°，OA=OC∴∠CDO=75°，∠COD=60°∴∠EOD=15°∴∠COE=45°∴△COE为等腰直角三角形∵OC=2∴OE=.考点：三角形内角和定理，勾股定理点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.二、选择题1.如图,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数是( )A．50° B．100° C．130° D．200°【答案】A【解析】试题分析：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.∵∠BOC=100°∴∠BAC=50°故选A.考点：圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.2.如图,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )A.2对B.3对C.4对D.5对【答案】C【解析】试题分析：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.相等的角有∠ADB=∠ACB，∠BAC=∠BDC，∠CAD=∠CBD，∠ACD=∠ABC4对，故选C.考点：圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.3.如图,D是弧AC的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解析】试题分析：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.∵D是弧AC的中点∴∠ABD=∠ACD=∠CBD=∠CAD故选B.考点：圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.4.如图, ,则∠A+∠B等于( )A．100° B．80° C．50° D．40°【答案】C【解析】试题分析：连接CO并延长交圆于点D，根据圆周角定理即可得到结果.连接CO并延长交圆于点D由图可得∠A+∠B=∠AOD+∠BOD=∠AOB=50°故选C.考点：圆周角定理点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.5.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°【答案】B【解析】试题分析：根据圆的性质可得这条弦与半径围成的三角形为等边三角形，再根据圆周角定理即可求得结果.由题意得这条弦与半径围成的三角形为等边三角形则该弦所对的圆周角的度数是30°或150°故选B.考点：圆周角定理点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.6.如图,A、B、C三点都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC="140°," ∠CBD的度数是( )A.40°B.50°C.70°D.110°【答案】C【解析】试题分析：先求得弧ABC所对的圆周角的度数，再根据圆内接四边形的对角互补可得∠ABC的度数，即可求得结果.∵∠AOC=140°∴弧ABC所对的圆周角的度数为70°∴∠ABC=110°∴∠CBD=70°故选C.考点：圆周角定理，圆内接四边形的性质点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.三、解答题1.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.【答案】4cm【解析】试题分析：连接OC、OD，根据圆周角定理可得∠COD=60°，即可得到△COD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求得结果.连接OC、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°,故△COD是等边三角形,从而CD=4cm.考点：圆周角定理，等边三角形的判定和性质点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.2.如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD,求弦AC的长.【答案】3【解析】试题分析：连接DC，根据圆周角定理可得∠ADC=∠ABC=∠CAD，即可得到AC=CD，由AD是直径可得∠ACD=90°，再根据勾股定理即可求得结果.连接DC,则∠ADC=∠ABC=∠CAD,故AC=CD.∵AD是直径,∴∠ACD=90°,∴AC2+CD2=AD2,即2AC2=36,AC2=18,AC=3.考点：圆周角定理，勾股定理点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.3.如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值【答案】【解析】试题分析：连接BD, 根据圆周角定理可得∠ADB=90°，证得△PCD ∽△PAB,根据相似三角形的性质结合余弦的定义可得∠BPD的余弦值，再结合勾股定理即可求得结果.连接BD,∵AB是直径,∴∠ADB=90°.∵∠C=∠A,∠D=∠B,∴△PCD ∽△PAB,∴.在Rt△PBD中,cos∠BPD==,设PD=3x,PB=4x,则BD=,∴tan∠BPD=.考点：圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数点评：本题综合性强，知识点较多，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.4.如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.(1)P是上一点(不与C、D重合),试判断∠CPD与∠COB的大小关系, 并说明理由.(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合时),∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.【答案】(1)相等；（2）∠CP′D+∠COB=180°【解析】试题分析：(1)连接OD,根据垂径定理可得∠COB=∠DOB，再结合圆周角定理即可得到结果；(2)连接P′P,则可得∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′D C.即可得∠P′CD+∠P′DC=∠CPD，从而可以得到结果.从而∠CP′D+∠COB=180°.(1)连接OD,∵AB⊥CD,AB是直径,∴,∴∠COB= ∠DOB.∵∠COD=2∠P,∴∠COB=∠P,即∠COB=∠CPD.(2)连接P′P,则∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.∴∠P′CD+∠P′DC=∠P′PD+∠P′PC=∠CPD.∴∠CP′D=180°-(∠P′CD+∠P′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB,从而∠CP′D+∠COB=180°.考点：垂径定理，圆周角定理点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.5.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻.当甲带球部到A点时,乙随后冲到B点,如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素)【答案】让乙射门较好【解析】试题分析：根据圆周角定理结合三角形外角的性质分析即可得到结论.迅速回传乙,让乙射门较好,在不考虑其他因素的情况下, 如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小,当张角越大时,射中的机会就越大,如图所示,则∠A<MCN=∠B,即∠B>∠A, 从而B处对MN的张角较大,在B处射门射中的机会大些.考点：圆周角定理，三角形外角的性质点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.6.钳工车间用圆钢做方形螺母,现要做边长为a的方形螺母, 问下料时至少要用直径多大的圆钢?【答案】a【解析】试题分析：根据圆内接正方形的性质结合勾股定理即可求得结果.由题意得则下料时至少要用直径为的圆钢.考点：圆内接正方形的性质，勾股定理点评：特殊四边形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.。

北师大版九年级下3.4 圆周角与圆心角的关系一．选择题（共10小题）1．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD=38°，则∠ABD的大小为（）A．76°B．52°C．50°D．38°2．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABD=41°，则∠BCD的大小为（）A．41°B．45°C．49°D．59°3．如图，AB、CD为⊙O的两条直径，点E为弧AD的中点，连接AD、BE，若∠ADC=26°，则∠ABE的度数为（）A．36°B．34°C．32°D．30°4．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=125°，则∠BOD的大小是（）A．100°B．110°C．120°D．125°5．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦且BC=CD=DA，则∠BCD等于（）A．100°B．110°C．120°D．130°6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交AB于点E，点F是劣弧AD上一点，射线AF交CD的延长线于点P，若OE=BE，且∠P=α，则∠FCP=（）A．α B．2α C．60°-α D．45°-α7．如图，已知AB是⊙O的弦，C为⊙O上的一点，且OC⊥AB于点D，若∠ABC=25°，则∠OBD的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接BD，若∠BCD=100°，则∠BAD的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°9．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O，分别交AB，BC于D，E，连接DE，CD，若∠B=70°，则∠CDE的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°10．如图，在四边形ABCD中，以AB为直径的⊙O恰好经过点C，AC，DO交于点E，已知AC平分∠BAD，∠ADC=90°，CD：BC=2：√5，则CE：AE的值为（）A．2:√5B．4：5 C．√5:2√2D．5：8 二．填空题（共4小题）11．已知点A，B，C在⊙O上，若∠AOC=100°，则∠ABC的度数为 ______ ．12．如图，OA、OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，∠AOB=46°，∠OBC=65°，则∠OAC=______ °．13．如图，在⊙O中，A是优弧BC上一点，∠BAC=α，连接BO，CO，延长BO交AC于点D，则图中角度大小为2α的角是 ______ ．14．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=140°，则∠BCD的度数为______ ．三．解答题（共5小题）15． 如图，AC 是⊙O 的直径，B ，D 是⊙O 上的两点，连结AB ，BC ，CD ，BD ，若∠A+∠D=80°，求∠ACB 的度数．16． 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，连接AC 、BD ，∠C=75°；∠D=45°．（1）求∠AEC 的度数；（2）连接OC ，若AC=2 √6 ，则⊙O 的半径为 ______ ．17． 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的圆交BC 于点D ，交AC 于点E ，连接OD ．（1）求证：OD ∥AC ；（2）若AE=8，CE=2，求BD 的长．18． 如图，CD 是⊙O 的直径，AC 是弦，B 是 AC ― 上一点，E 是CD 延长线上一点，连接AB ，BC ，AE ．（1）求证：∠ABC-∠ACD=90°；（2）若∠CAE=∠ABC ，⊙O 的半径为6，AE=8，求CE 的长．19．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠E=∠D；（2）若AB=6，BC-AC=2，求CE的长．。

聚智堂学科教师辅导讲义学员姓名：XXX 年 级：九年级 课 时 数：3课时 学科教师：XXX 辅导科目：数学 授课时间段：2014 课 题第13节 圆周角与圆心角关系教学目的1.理解圆周角的概念和圆周角定理2.培养学生观察、分析及理解问题的能力3.圆周角定理的几个推论的应用教学内容知识点1：圆周角的概念 顶角在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 判断一个角是否是圆周角的条件是①角的顶点在圆上，②角的两边都与圆相交 知识点2：圆周角定理 同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

知识点3：圆周角定理的推论推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

说明：将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论不成立。

推论2：直径（或半圆）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

例1：下列图形中的角是不是圆周角？知识梳理例题与练习练习：1.下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC和圆周角∠A是同对一条弧。

2.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？例2：求圆中角x的度数练习：如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠BAC=40°，则（1）∠BOC= °，理由是；（2）∠BDC= °，理由是。

OAB CD.例3：如图，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BACAB COABCO DAB COAB COABCODBAO.70°x OA.X120°x70A BOD练习：如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB 、∠ADB 的度数？例4：如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=60°，∠ADC=50°,求∠CEB 的度数.EODCBA练习：如图，⊙O 直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC 、AD 、BD 的长．OABCD如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC ，交AC 于D ，BC=4cm ．（1）求证：AC ⊥OD ； （2）求OD 的长； （3）若2sinA －1=0，求⊙O 的直径．四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，如图3-3-15，求BD 的长．CB A O（一）基础过关。

Ⅰ．背景材料分类讨论思想当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，就把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得到问题的答案，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法．分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之，各个击破”．其一般规则及步骤是：（1）确定同一分类标准；（2）恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；（4）综合概括小结，归纳得出结论．悟与问：圆周角定理是如何进行分类讨论论证的？Ⅱ．课前准备一、课标要求经历探索圆周角和圆心角关系的过程，理解圆周角的概念及其相关性质，体会分类、归纳等数学思想．通过本节学习，应理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并能熟练地运用它们进行论证和计算．通地圆周角定理的证明，进一步了解分情况证明数学命题的思想和方法．二、预习提示1．关键概念和定理提示关键概念：圆周角．重要定理：圆周角定理及两个推论．2．预习方法提示：本节由射门游戏问题引入圆周角概念，圆周角有两个特征．圆周角与圆心角的关系揭示了分类讨论思想的本质，学习时要注意体会．三、预习效果反馈1．试找出图3-3-1中所有的圆周角．2．如图3-3-2，∠A是⊙O的圆周角，∠A是40°，求∠OBC．3．如图3-3-3，AB是⊙O的直径，∠A=40°，求∠ABC度数．Ⅲ．课堂跟讲一、背记知识随堂笔记（一）必记概念1．圆周角：顶点在，并且的角．2．圆周角的两个特征：（1）；（2）．（二）必记定理1．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的．2．推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）直径所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是．（三）知识结构二、教材中“？”解答1．问题（P 100） 解答：这三个角大小相等．2．议一议（P 101） 解答：∠ABC=21∠AOC ．分三种情况进行证明．小亮考虑的是一种特殊情况，其他两种情况可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线．需要明确：以圆上任意一点为顶点的圆周角，虽然有无数个，但它们与圆心的位置关系归纳起来只有三种情况：（1）圆心在角的一边上；（2）圆心在角的部；（3）圆心在角的外部．3．问题（P 102） 解答：如果∠ABC 的两边不经过圆心，结果一样．对于图（1）中，圆心O 在∠ABC 的部，作直径BD ，利用小亮的结果，有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∠=∠∠=∠COD CBD AOD ABD 2121⇒∠ABD ＋∠CBD=21∠AOD ＋21∠COD ⇒∠ABC=21∠AOC ． 对于书上图（2）中，圆心O 在∠ABC 的外部，作直径BD ．利用小亮的结果，有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∠=∠∠=∠COD CBD AOD ABD 2121⇒∠ABD －∠CBD=21∠AOD －21∠COD ⇒∠ABC=21∠AOC ． 4．问题（P 104） 解答：（1）这一问题实际上是本节一开始提出的问题，解决这一问题的时机已经成熟．∠ABC 、∠ADC 、∠AEC 是同弧（⌒AC ）所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于圆心角∠AOC 的一半，所以这几个圆周角相等．（2）这是圆周角定理的一种特殊情况，即半圆所对的圆周角是直角，在教科书图3-18中，半圆所对的圆心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=90°．（3）这一问题与问题（2）互逆，在教科书图3-19中，连接OB ，OC ．因为圆周角∠BAC=90°，所以圆心角∠BOC=180°，即BOC 是一条线段，也就是说BC 是⊙O 的一条直径．5．议一议（P 105） 解答：在得出本节的结论的过程中，用了度量与证明，分类与转化，以及类比等方法．尤其定理的证明，把圆周角和圆心的位置关系分为三类，又把第2，3类转化为第一类去证明，体现了分类与转化的数学思想．6．做一做（P 106） 解答：（1）船位于暗礁区域（即⊙O ）．理由是：假设船在⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能位于⊙O 外．（2）船位于暗礁区域外（即⊙O 外）说理方法与（1）类似．三、重点难点易错点讲解圆周角的概念、圆周角定理及其推论在推理论证和计算中应用比较广泛，是本章的重点容之一．认识圆周角定理需分三种情况逐一证明的必要性是本节的难点．圆周角有两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交，二者缺一不可．这里所说的角的两边都与圆相交可理解为，除角的顶点外，角的各边与圆还另有一个公共点即交点．圆周角定理的证明分三种情况进行讨论，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线．这种由特殊到一般的思想方法，应当注意掌握．其证明思路是：（1）将已知图形中各种可能位置进行分类（圆心在圆周角部，外部，其中一边上）；（2）先证明特殊情况（即圆心在圆周角其中一边上）；（3）利用特殊位置的结论证明其它情况，即将其他情形转化为已证的特殊情形来证；（4）归纳总结出一般性结论．这种方法叫归纳法，可以应用于解题之中．本节常见的错误有：（1）一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角有两个，做题时常常忽略一个；（2）对于需要我们自己完成的图形，某些特殊图形往往只画出一种情况，而忽略或根本不考虑其他情况．【例1】 已知⊙O 中的弦AB 长等于半径，求弦AB 所对的圆周角和圆心角的度数． 错解：如图3-3-4，∵AB=OA ，∴△OAB 为等边三角形．∴∠AOB=60°．∴∠C=30°．∴AB 所对的圆心角为60°，圆周角为30°．正确解法：如图3-3-5，∵AB=OA=OB ，∴△AOB 为等边三角形．∴∠AOB=60°．∴∠C=30°．∴∠D=150°．∴弦AB 所对的圆心角为60°，所对的圆周角为30°或150°．错解分析：错解中忽略了弦与弧的差别，同弧所对的圆周角相等，同弦所对的圆周角相等或互补，本题漏掉一个．同学们应加强位置意识的培养，克服思维定势．【例2】 已知AB 为⊙O 的直径，AC 和AD 为弦，AB=2，AC=2，AD=1，求∠CAD 的度数．错解：如图3-3-6，连接BC 、BD ．∵AB 为直径，∴∠C=∠D=90°．在Rt △ABC 中，AB=2，AC=2，∴cos ∠CAB=AB AC =22．∴∠CAB=45°． 在Rt △ADB 中，AD=1，AB=2，∴cos ∠DAB=AB AD =21．∴∠DAB=60°． ∴∠CAD=∠DAB ＋∠CAB=105°．正确解法：如图3-3-6和3-3-7，由题解中得∠DAB=60°，∠CAB=45°，∴图3-3-7中有∠DAC=∠DAB －∠CAB=15°．∴∠DAC 的度数为15°或105°．解错分析：错解中只考虑到弦AC 和AD 在直径AB 同侧的情况，而忽略了AD 和AC 在AB 两侧的情况，因此平时做题一定要细心，思考问题要全面，克服思维的片面性、单一性．四、经典例题精讲（一）教材变型题【例1】 如图3-3-8，已知⊙O 中，AB 为直径，AB=10cm ，弦AC=6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC 、AD 和BD 的长．思维入门指导：已知条件中若有直径，则利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角三角形的性质解题．解：∵AB 是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt △ACB 中，BC=22AC AB -=22610-=8．∵CD 平分∠ACB ，∴⌒AD =⌒BD ．∴AD=BD ．在Rt △ADB 中，AD=BD=22AB=52（cm ）． 点拨：这是利用圆周角定理的推论，同圆中，弧、弦之间的相等关系以及勾股定理解的计算题．（二）中考题【例2】 （2002，眉山，10分）已知等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，⊙O 1经过O 2，点C 是⌒B AO 2上任一点（不与A 、O 2、B 重合），连接BC 并延长交⊙O 2于D ，连接AC 、AD ．求证： ．（1）操作测量：图3-3-9（a ）供操作测量用，测量时可使用刻度尺或圆规将图3-3-9（a ）补充完整，并观察和度量AC 、CD 、AD 三条线段的长短，通过观察或度量说出三条线段之间存在怎样的关系？（2）猜想结论（求证部分），并证明你的猜想；（在补充完整的图3-3-9（a ）中进行证明）（3）如图3-3-9（b ），若C 点是⌒2BO 的中点，AC 与O 1O 2相交于E 点，连接O 1C ，O 2C ．求证：CE 2=O 1O 2·EO 2．思维入门指导：（1）AC=CD=AD ；（2）由△AO 1O 2为等边三角形，求出∠D 和∠ACD 都为60°即可；（3）由△O 1O 2C ∽△CO 2E 可得O 2C 2=O 1O 2·EO 2，再证明O 2C=CE ．解：（1）补充完整图形，三条线段AC 、CD 、AD 相等．（2）结论：△ACD 是等边三角形．证明：连接AO 2、BO 2、AO 1、O 1O 2．∵⊙O 1，⊙O 2是等圆，且⊙O 1经过点O 2，∴AO 2=O 1O 2=AO 1．∴∠AO 2O 1=60°． ∴∠AO 2B=120°．∴∠D=21∠AO 2B=21×120°=60°． ∵∠ACB=∠AO 2B=120°，∴∠ACD=60°．∴△ACD 是等边三角形．（3）∵C 是⌒2BO 的中点，∴∠CO 1O 2=30°．∵∠ACO 2=30°，∴∠CO 1O 2=∠ACO 2．∵∠O 1O 2C=∠CO 2E ，∴△O 1O 2C ∽CO 2E ．∴22221EO CO CO O O ． ∴O 2C 2=O 1O 2·O 2E ．∵O 1O 2=O 1C ，∴∠O 1O 2C=∠O 1CO 2=∠CEO 2．∴CO 2=CE ．∴CE 2=O 1O 2·EO 2．点拨：为了研究两圆相交时图形所蕴含着的规律性关系，以更好地考查动手操作图形的能力，这种以留空回填的命题思路，展示了一道融操作、测量、猜想，证明于一体的探究题．解答时，应按题的要求顺向逐层思考．【例3】 （2003，，12分）如图3-3-10所示，已知AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC ，交AC 于D ，BC=4cm ．（1）求证：AC ⊥OD ；（2）求OD 的长；（3）若2sinA －1=0，求⊙O 的直径．思维入门指导：根据圆周角定理的推论以及三角形中位线定理计算．解：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C=90°．∵OD ∥BC ，∴∠ADO=∠C=90°．∴AC ⊥OD ．（2）∵OD ∥BC ，又∵O 是AB 的中点，∴OD 是△ABC 的中位线．∴OD=21BC=21×4=2（cm ）． （3）∵2sinA －1=0，∴sinA=21．∴∠A=30°．在Rt △ABC 中，∠A=30°，∴BC=21AB ．∴AB=2BC=8（cm ）．即⊙O 的直径是8cm ．点拨：关键是利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形，一切就迎刃而解．【例4】（2003，，3分）如图3-3-11所示，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2= ．思维入门指导：∠1所对的弧是⌒AE，∠2所对的弧是⌒BE，而⌒AE＋⌒BE=⌒AB是半圆，因此连接AD，∠ADB的度数是90°，所以∠ADB=∠1＋∠2．解：∠1＋∠2=90°．点拨：本题可以连接EO，得到圆心角∠EOA和∠EOB而∠EOA＋∠EOB=180°，所以∠1＋∠2=90°，这是圆周角定理的直接应用．【例5】（2003，，3分）如图3-3-12所示，AB为⊙O的直径，P、Q、R、S为圆上相异四点，下列斜述何者正确（）A．∠APB为锐角B．∠AQB为直角C．∠ARB为钝角D．∠ASB＜∠ARB 思维入门指导：AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以∠APB，∠AQB，∠ARB，∠ASB都是直角．答案：B 点拨：由于四个角都是直角，所以∠ASB=∠ARB=90°．（三）学科综合题【例6】如图3-3-13，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC 于D、E．（1）求证：△DOE是等边三角形；（2）如图3-3-14，若∠A=60°，AB≠AC，则①中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？思维入门指导：△ABC是等边三角形，所以∠B、∠C均为60°，利用60°的圆周角定理，可知△DOB、△EOC均为等边三角形．第二种情形类似．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵OB=OC=OE=OD，∴△OBD和△OEC都为等边三角形．∴∠BOD=∠EOC=60°．∴∠DOE=60°．∴DOE为等边三角形．（2）当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立．证明：连接CD．∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC=90°．∴∠ADC=90°．∵∠A=60°，∴∠ACD=30°．∴∠DOE=2∠ACD=60°．∵OD=OE，∴△ODE为等边三角形．点拨：本题的（2）较难，属于探索题，应掌握好书写格式，本题充分利用了BC为直径及圆周角定理，将圆心角与圆周角联系起来．（四）创新题【例7】 四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，如图3-3-15，求BD 的长．思维入门指导：由AB=AC=AD=a 可以得到点B 、C 、D 在以A 为圆心，以a 为半径的圆上，因而可以作出该圆，利用圆的知识解决该题．本题考查圆的定义和圆周角定理及其推论．解：∵AB=AC=AD=a ，∴点B 、C 、D 到A 点距离相等．故以A 为圆心，以a 为半径作⊙A ，并延长BA 交⊙A 于E ，连接DE ．∵AB ∥CD ，∴⌒BC =⌒DE ．∴BC=DE=b ．∵BE 为⊙A 直径，∴∠EDB=90°．在Rt △EDB 中，BD=22DE BE -=224b a -，∴BD 的长为224b a -． 点拨：本题根据圆的定义作出⊙A 是关键，作出⊙A 才能充分利用已知，否则很难解出BD ．作辅助圆是本题的创新之处，平时解题应注意这种特殊方法．【例8】 如图3-3-16，AB 是半⊙O 的直径，过A 、B 两点作半⊙O 的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O 上C 点时，则有AC ·AC ＋BC ·BC=AB 2．（1）如图3-3-17，若两弦交于点P 在半⊙O ，则AP ·AC ＋BP ·BD=AB 2是否成立？请说明理由．（2）如图3-3-18，若两弦AC 、BD 的延长线交于P 点，则AB 2= ．参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性．思维入门指导：由特征结论为等积式和的形式，不属于常规结论，但又没法化简该结论，显然需要用等积式相加得到．本题考查相似三角形和圆周角定理的推论等．解：∵AB 是半⊙O 直径，∴∠C=90°．∴AC 2＋BC 2=AB 2．（1）当两弦的交点P 在半圆时，AP ·AC ＋BP ·BD=AB 2成立．连接AD 、BC ，过P 点作PE ⊥AB 于E ，则∠PEA=90°．∵∠PEA=∠C ，∠EAP=∠CAB ，∴△APE ∽△ABC ．∴ACAE AB AP =． ∴AP ·AC=AB ·AE ．①同理可证BP ·BD=BE ·AB ．②由①＋②，得AP ·AC ＋BP ·BD=AB （AE ＋BE ）=AB 2．（2）AB 2=AC ·AP ＋BD ·BP ，过P 点作PE ⊥AB 于E ，连接BC 、AD ．∵AB 为直径，∴∠ACB=90°．∵∠ACB=∠AEP ，∠CAB=∠EAP ，∴△ACB ∽△AEP ．∴AP AB AE AC =． ∴AE ·AB=AC ·AP 同理，△BDA ∽△BEP ．∴PBAB BE BD =．∴BE ·AB=BP ·BD ． ∴AE ·AB ＋BE ·AB=AC ·AP ＋BP ·BD ，AB （AE ＋BE ）=AC ·AP ＋BP ·BD ． ∴AB 2=AC ·AP ＋BP ·BD ．点拨：第（1）小题以待证结论考虑，可构造三角形相似．连接AD 、BC ，虽然△PAD ∽△PBC ，但不能得出AP ·AC 和BP ·BD ，同时也与AB 无联系，所以可构造与△ABD 相似的三角形，故过点P 作PE ⊥AB 于E ，可得△BEP ∽△BDA ，△APE ∽△ABC ．（五）应用题【例9】 用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？思维入门指导：本题考查圆周角定理的推论及圆周角定义在实际生产中的应用，认真观察图形，可得只有B 符号定理的推论．解：A 和C 中的直角显然不是圆周角，因此不正确，D 中的直角只满足圆周角的一个特征，也不是圆周角，因而不能判断是否为半圆形．选B ．点拨：实际问题应读懂题意，看懂图形，并将实际问题转化成数学模型．Ⅳ．当堂练习（5分钟）1．如图3-3-20，A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上的五个点，则图中共有 个圆周角，分别是 ．2．在⊙O 中，弦AB 的长恰好等于半径，求劣弧⌒AB 所对的圆周角的大小．【同步达纲练习】Ⅴ．课后巩固练习（130分 120分钟）一、基础题（10～15题每题5分，其余每题3分，共57分）1．在⊙O 中，同弦所对的圆周角（ ）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．都不对2．如图3-3-21，在⊙O 中，弦AD=弦DC ，则图中相等的圆周角的对数是（ ）A ．5对B ．6对C ．7对D ．8对3．下列说确的是（）A．顶点在圆上的角是圆周角B．两边都和圆相交的角是圆周角C．圆心角是圆周角的2倍D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半4．下列说法错误的是（）A．等弧所对圆周角相等B．同弧所对圆周角相等C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等．D．同圆中，等弦所对的圆周角相等5．如图3-3-22，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD= ．6．如图3-3-23，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．7．如图3-3-24，AB是⊙O的直径，⌒BC=⌒BD，∠A=25°，则∠BOD= ．8．如图3-3-25，A、B、C是⊙O上三点，∠BAC的平分线AM交BC于点D，交⊙O 于点M．若∠BAC=60°，∠ABC=50°，则∠CBM= ，∠AMB= ．9．⊙O中，若弦AB长22cm，弦心距为2cm，则此弦所对的圆周角等于．10．如图3-3-26，⊙O中，两条弦AB⊥BC，AB=6，BC=8，求⊙O的半径．11．如图3-3-27，AB是⊙O的直径，FB交⊙O于点G，FD⊥AB，垂足为D，FD交AG于E．求证：EF·DE=AE·EG．12．如图3-3-28，AB是半圆的直径，AC为弦，OD⊥AB，交AC于点D，垂足为O，⊙O的半径为4，OD=3，求CD的长．13．如图3-3-29，AB 是⊙O 的直径，AB=AC ，D 、E 在⊙O 上．求证：BD=DE ．14．如图3-3-30，△ABC 接于⊙O ，E 为⌒BC 的中点．求证：AB ·BE=AE ·BD ．15．已知△ABC 接于⊙O ，OD ⊥BC ，垂足为D ，若BC=23，OD=1，求∠BAC 的度数．二、学科综合题（每题8分，共24分）16．根据图3-3-31中所给的条件，求△AOB 的面积及圆的面积．17．如图3-3-32，⊙O 的弦AD ⊥BC ，垂足为E ，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且sin α=53，cos β=31，AC=2，求（1）EC 的长；（2）AD 的长．18．如图3-3-33，在圆接△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上一点．（1）求证：AB 2=AD ·AE ；（2）当D 为BC 延长线上一点时，第（1）小题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．三、学科间综合题（10分）19．在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随冲到B 点，如图3-3-34．此时，甲自己直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙射门好？四、应用题（10分）20．如图3-3-35所示，在小岛周围的⌒APB 有暗礁，在A 、B 两点建两座航标灯塔，且∠APB=θ，船要在两航标灯北侧绕过暗礁区，应怎样航行？为什么？五、创新题（10分）21．如图3-3-36所示，设P 、Q 为线段BC 上两定点，且BP=CQ ，A 为BC 外一动点，当点A 运动到使∠BAP=∠CAQ 时，△ABC 是什么三角形？试证明你的结论．六、中考题（19分）22．（2002，，12分）如图3-3-37，已知BC 为半圆的直径，O 为圆心，D 是⌒AC 的中点，四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点E ．（1）求证：△ABE ∽△DBC ；（2）已知BC=25，CD=25，求sin ∠AEB 的值； （3）在（2）的条件下，求弦AB 的长．23．（2002，，5分）如图3-3-38，以△ABC 的BC 边为直径的半圆交AB 于D ，交AC 于E ，过E 点作EF ⊥BC ，垂足为F ，且BF ：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC 的长．24．（2003，，2分）在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 分别是3和2，则∠BAC 的度数是 ．加试题：竞赛趣味题（每题10分，共20分）1．已知：如图3-3-39，设P 为⊙O 的劣弧⌒BC 上任一点，△ABC 为等边三角形，AP 交BC 于D ．求证：PB 和PC 是方程x 2－PA ·x ＋PA ·PD=0的两个根．2．已知：如图3-3-40，六边形ABCDEF 各顶点都在⊙O 上，且AB=BC=CD=3＋1，DE=EF=FA=1，求六边形ABCDEF 的面积．参考答案Ⅱ．三、1．图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7，∠8，∠1＋∠2，∠3＋∠4，∠5＋∠6，∠7＋∠8都是圆周角．2．解：∠A 是圆周角，根据圆周角定理可得∠BOC=80°，而∠△BOC 是等腰三角形，所以∠OBC=280180︒-︒=50°． 3．解：由直径所对的圆周角是直角，所以在Rt △ABC 中，∠ABC=90°－∠A=50°． Ⅲ．一、（一）1．圆上；两边都和圆相交2．（1）顶点在圆上；（2）两边都和圆相交（二）1．一半（或21） 2．（2）直角；直径 Ⅳ．一、1．6；∠ACB 、∠BCE 、∠CED 、∠BDE 、∠ACE 、∠CBD 点拨：根据圆周角定义判断．2．30° 点拨：△ABO 是等边三角形，根据圆周角定理得知⌒AB 所对的圆周角等于∠AOB 的一半．Ⅴ．一、1．C 点拨：同弧所对的圆周角相等，但是同弦所对的圆周角有两个不同的度数，它们互补．因此同弦所对的圆周角相等或互补．2．D 解：先找同弧所对的圆周角：⌒AD 所对的∠1=∠3；⌒DC 所对的∠2=∠4；⌒BC 所对的∠5=∠6；⌒AB 所对的∠7=∠8．找等弧所对的圆周角，因为⌒AD =⌒DC ，所以∠1=∠4，∠1=∠2，∠4=∠3，∠2=∠3．由上可知，相等的圆周角有8对．点拨：在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否相等，因等角对等弧，等弧对等角．3．D 点拨：本题考查圆周角的定义．4．D 点拨：等弦所对的圆周角相等或互补．5．130° 解：∠BOD=2∠BCD=2×25°=50°，∴∠AOD=180°－∠BOD=180°－50°=130°．6．60° 解：∵ON ⊥AB ，∴⌒AN =⌒BN ．∵∠M=30°，∴⌒BN 的度数为60°．∴∠AON=60°．7．50° 解：连CO ．∵∠A=25°，∴∠COB=2∠A=50°．∵⌒BC =⌒BD ，∴∠BOD=∠COB=50°．点拨：本题考查等弧所对的圆心角相等及一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半．8．30°；70° 点拨：利用△ABC 角和定理求得∠C=70°，最后根据同弧所对的圆周角相等得∠AMB=∠ACB=70°，∠CBM=∠CAM=30°．9．45°或135° 点拨：一条弦所对的圆周角相等或互补（两个）．10．解：连接AC ．∵AB ⊥BC ，∴∠ABC=90°．∴AC 为⊙O 直径．在Rt △ABC 中，AB 2＋BC 2=AC 2，∴AC=10，故⊙O 半径是5．点拨：根据90°的圆周角所对的弦是直径．11．证明：∵AB 是直径，∴∠AGB=90°．∴△AED ∽△FEG ．∴EDEG EA EF =，即EF ·DE=AE ·EG ． 点拨：利用直径所对的圆周角是直角得到两三角形相似． 12．解：CD=1．4 点拨：连接BC ，证△AOD ∽△ACB 得CD=57=1．4． 13．证明：连接AD ．∵AB=AC ，∴△ABC 为等腰三角形．又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°．∴AD 是∠BAC 的平分线．∴∠BAD=∠CAD ．∴⌒⌒DE BD =．∴BD=DE ．14．点拨：通过证明△BAE ∽△DBE 可得．15．60°或120° 点拨：本题目没有给出图形，因此有两种情形：圆心O 在三角形或圆心O 在三角形外，由两种不同情形可算出两种不同结果．二、16．解：∵∠P=30°，∴∠OBA=∠P=30°．∵B 点坐标为（0，2），∴OB=2． 在Rt △BOA 中，AO=BO ，tan30°=332，AB=︒30cos OB =232=334， ∴S △ABO =21OA ·OB=21×2×332=332，S 圆=4π·AB 2=4π×916×3=34π． 点拨：这是一道代数和几何的综合题，要注意∠BOA=90°这一隐含条件． 17．解：（1）在Rt △AEC 中，cos β=31，AC=2，∴AE=AC ·cos β=2×31=32， EC=22AE AC -=324或EC=AC ·sin β=324． （2）在Rt △ABE 中，AE=32，sin α=53． ∵sin α=AB BE =53，∴可设BE=3k ，则AB=5k ． ∴25k 2－9k 2=（32）2．∴k=61（取正值）．∴BE=3k=21． 连接BD ，则∠D=∠C ，∠DBE=β，∴△BDE ∽△ACE ．∴ED EC EB AE =． ∴AE ·ED=EB ·EC ．∴32ED=21×342．∴ED=2．∴AD=AE ＋ED=32＋2． 18．（1）证明：连接BE ．⎪⎭⎪⎬⎫∠=∠∠=∠=∠⇒=⇒=EAB BAD E C ABC AC AB AC AB ⌒⌒ ⇒△AB D ∽△AE B ⇒AE AB =ABAD ⇒AB 2=A D ·AE ． （2）解：结论成立．如答图3-3-1，连接BE ．⎪⎭⎪⎬⎫∠=∠∠=∠⇒=⇒=DAB BAE ABC AEB AC AB AC AB ⌒⌒ ⇒△ABE ∽△ADB ⇒ADAB =ABAE ⇒AB 2=AD ·AE ．三、19．解：考虑过M 、N 及A 、B 中任一点作圆，这里不妨过M 、N 、B 作圆，则A 点在圆外，设MA 交⊙O 于C ，则∠MAN ＜∠MCN ，而∠MCN=∠MBN ，所以∠MAN ＜∠MBN ，因此在B 点射门为好．点拨：在真正的足球比赛中情况比较复杂．这里仅用数学方法从两点的静止状态来考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两点各自对球门MN 的角大小，当角较小时，则容易被对方守门员拦截．四、20．解：船在航行过程中，始终保持对两灯塔A 、B 的视角小于θ，即可安全绕过暗礁区．（1）在⌒APB 外任取一点C ，连接CA 、CB ，设CA 交⌒APB 于F ，连接FB ． ∵∠AFB=∠θ，∠AFB ＞∠C ，∴∠C ＜∠θ．（2）在⌒APB 的弓形任取一点D ，连接AD 并延长交⌒APB 于E ，连接DB 、EB ．∵∠E=∠θ，∠ABD ＞∠E ，∴∠ADB ＞θ．由（1）（2）知，在航标灯A 、B 所在直线北侧，在圆弧⌒APB 外任一点对A 、B 的视角都小于θ，在圆弧⌒APB 上任一点对A 、B 的视角都等于θ，在圆弧⌒APB 上任一点对A 、B 的视角都大于θ，为此只有当对两灯塔的视角小于θ的点才是安全点．五、21．解：当∠BAP=∠CAQ 时，△ABC 是等腰三角形．证明：如答图3-3-2，作出△ABC 的外接圆，延长AP 、AQ 交该圆于D 、E ，连接DB 、CE ，由∠BAP=∠CAQ ，得⌒⌒CE BD =．从而⌒⌒CED BDE =，所以BD=CE ，∠CBD=∠BCE ．又BP=CQ ，则△BPD ≌△CQE ，这时∠D=∠E ，由此⌒⌒AC AB =，故AB=AC ．即△ABC 是等腰三角形．六、22．解：（1）∵⌒⌒CD AD =，∴∠ABD=∠DBC ．∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC=∠BDC=90°．∴△ABE ∽△DBC ．（2）∵△ABE ∽△DBC ，∴∠AEB=∠DCB ．在Rt △BDC 中，BC=25，CD=25，∴BD=22CD BC -=5． ∴sin ∠AEB=sin ∠DCB=BCBD =255=552． （3）∵∠ABD=∠DBC=∠CAD ，∠ADE=∠BDA ，∴△AED ∽△BAD ．∴ADBD ED AD =．∴AD 2=DE ·DB ． ∵CD=AD=25，∴CD 2=DE ·DB=（BD －BE ）·DB ． 即（25）2=（5－BE ）·5．解得BE=453． 在Rt △ABE 中，AB=BE ·sin ∠AEB=453×552=23． 点拨：圆周角定理及其推论，垂径定理，勾股定理在本题中起重要作用．23．解：连接BE ，则BE ⊥AC ，∴BE 2=AB 2－AE 2=82－22=60．设FC=x ，则BF=5x ，BC=6x ．∵EF ⊥BC ，∠EBF=∠CBE ，∴△BEF ∽△BCE ．∴BE 2=BF ·BC ．即60=5x ·6x ． ∵FC ＞0，∴x=2．∴BC=6x=62．∵EC 2=BC 2－BE 2=72－60=12，∴EC=23． 点拨：作出直径上的圆周角是最常见的辅助线之一．24．∠BAC=15°或75° 点拨：如答图3-3-3和3-3-4，分两种情况，作直径AD ，连接BD ，易知∠BAD=30°，∠CAO=45°，∴∠BAC=15°或75°．加试题：1．证明：如答图3-3-5，延长BP 到F ，使PF=PC ，连接PC 、CF ．∵∠3=∠BAC=60°，∴△PCF 为正三角形．∴△APC ≌△BFC ．∴PA=FB=BP ＋PF=BP ＋PC ． ①在△ABP 和△CDP 中，∵∠PCD=∠PAB ，∠DPC=∠BPA=60°，∴△CDP ∽△ABP ．∴PC PA PD PB ．即PB ·PC=PA ·PD ． ② 由①和②两式可知，PB 和PC 是方程x 2－PAx ＋PA ·PD=0的两根．点拨：首先根据方程根的关系分析出所证明的间接结论：（1）PB ＋PC=PA ，（2）PB ·PC=PA ·PD ，然后逐个证出，从而得到求证结论．2．解：如答图3-3-6，若连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，则有S △AOB = S △BOC = S △COD ， S △DOE = S △EOF = S △FOA ．由于六边形ABCDEF 的面积等于以上六个三角形面积之和，又因为有三个三角形面积相等的两组三角形，若把两组三角形重新组合，构成面积相等的六边形A ′B ′C ′D ′E ′F ′，其中⊙O 和⊙O ′等圆．如答图3-3-7，A ′B ′=C ′D ′=E ′F ′=3＋1，A ′F ′=B ′C ′=D ′E ′=1．再把A ′B ′，C ′D ′，E ′F ′分别向两边延长相交于M 、N 、P ，易知∠B ′O ′F ′=∠F ′O ′D ′=∠D ′O ′B ′=120°．从而得∠B ′A ′F ′=∠F ′E ′D ′=∠D ′C ′B ′=120°．同样∠A ′F ′E ′=∠E ′D ′C ′=∠C ′B ′A ′=120°．∴△PA ′F ′≌△ND ′E ′≌△MB ′C ′，并且为正三角形．则六边形A ′B ′C ′D ′E ′F ′的面积S ′=S △MNP －3S △PA ′F ′．又∵S △MNP =43（3＋3）2，3S △PA ′F ′=3×43×12，故六边形ABCDEF 的面积=六边形A ′B ′C ′D ′E ′F ′的面积=34929 ．。

《圆周角和圆心角的关系》讲义一、引入在我们探索圆的奇妙世界时，圆周角和圆心角是两个非常重要的概念。

它们之间存在着独特而又紧密的关系，理解这种关系对于解决与圆相关的数学问题至关重要。

想象一下，我们在一个圆中，随意画出一个圆周角和一个圆心角，你是否好奇它们之间到底有着怎样的关联呢？接下来，让我们一起深入研究。

二、圆周角的定义圆周角是指顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。

比如说，在圆O 中，点 A 在圆上，角 A 的两边分别与圆相交于 B、C 两点，那么角A 就是一个圆周角。

圆周角的度数大小取决于它所对的弧的长度。

这是一个非常关键的性质，也是我们后面探讨圆周角和圆心角关系的重要基础。

三、圆心角的定义圆心角则是指顶点在圆心的角。

同样在圆 O 中，如果角 BOC 的顶点 O 是圆心，那么角 BOC 就是一个圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

四、圆周角和圆心角的大小关系1、同弧所对的圆周角和圆心角在同一个圆中，如果一个圆周角和一个圆心角都对着同一条弧，那么这个圆周角的度数是圆心角度数的一半。

例如，在圆 O 中，圆心角∠AOB 所对的弧是弧 AB，圆周角∠ACB 也对着弧 AB，那么∠ACB ＝ 1/2 ∠AOB。

证明如下：连接 OC，因为 OA ＝ OC，所以∠A ＝∠ACO；同理，因为 OB ＝ OC，所以∠B ＝∠BCO。

所以∠AOB ＝∠A ＋∠B ＝ 2∠ACB，即∠ACB ＝ 1/2 ∠AOB。

2、等弧所对的圆周角和圆心角如果两条弧相等，那么它们所对的圆周角相等，所对的圆心角也相等。

因为等弧意味着它们的长度相等，而圆周角的度数取决于所对弧的长度，圆心角的度数等于所对弧的度数，所以等弧所对的圆周角和圆心角具有这样的关系。

3、半圆（或直径）所对的圆周角半圆（或直径）所对的圆周角是直角。

在圆 O 中，AB 是直径，点 C 在圆上，那么∠ACB ＝ 90°。

证明：因为∠AOB ＝ 180°，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以∠ACB ＝ 1/2 × 180°＝ 90°五、圆周角和圆心角关系的应用1、求角度已知圆中的某些角度关系，可以利用圆周角和圆心角的关系求出未知角度。