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固体物理 习题解答 第二章

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2.1证明对于六角密堆积结构，理想的c/a比为（8/3）1/2≈1.633。又：金属Na在273K因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶格常数a=0.423nm，设六角密堆积结构相的c/a维持理想值，试求其晶格常数。

解：

2c

a

a

A

B

C

D

E

O

a a （1）

aACAEAO333332

aaaAOADOD32312222

633.138322221aODac （2）体心立方每个单胞包含2个基元，一个基元所占的体积为

23ccaV， 单位体积内的格点数为.1Vc

六角密堆积每个单胞包含6个基元，一个基元所占的体积为

32122223843436/323aaacacaaVs

因为密度不变，所以 scVV11，即：33222/aac

nmaacs377.02/61 nmacs615.0633.1 2.2证明简单六角布拉维格子的倒格子仍为简单六角布拉维格子，并给出其倒格子的晶格常数。

解：

简单六角布拉维格子的基矢为：

zcayaxaaxaaˆˆ23ˆ2ˆ321 倒格矢为：

•••zccazaaaaaabyacayacaaaaabyxacayacxacaaaaabˆ223ˆ2322ˆ332223ˆ22ˆ21ˆ23332223ˆ21ˆ23222232121323211322321321 容易看出此倒格子为简单六角布拉维格子

晶格常数为：

cbabab2334334321 2.3画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在（100），（110）和（111）面上的原子排列。

解

2.4指出立方晶格（111）面与（110）面，（111）面与（100）面的交线的晶向。

解：

从图中易看出，

（111）面与（110）面的交线的晶向是[101]，[011]。

（111）面与（100）面的交线的晶向是[101]，[110]。 2.5如将布拉维格子的格点位置在直角系中用一组数（n1，n2，n3）表示，证明

（1）对于体心立方格子，ni全部为偶数或奇数；

（2）对于面心立方格子，ni的和为偶数。

解：（1）体心立方的基矢为：

zyxaazyxaazyxaaˆˆˆ2ˆˆˆ2ˆˆˆ2321

zlllylllxlllazyxalzyxalzyxalalalalRlˆˆˆ2ˆˆˆ2ˆˆˆ2ˆˆˆ2321321321321332211

其中l1，l2，l3为整数，以直角坐标系xaiˆ2，yajˆ2，zakˆ2。

321332123211222lllanlllanlllan

如果n1为偶数则，n2=n1+2(l1- l2)必为偶数，

n3=n1+2(l1- l3) 必为偶数。

如果n1为奇数则n2=n1+2(l1- l2)必为奇数，

n3=n1+2(l1- l3) 必为奇数。

所以n1,n2,n3的奇偶性相同，全部为奇数或偶数。 （2）面心立方的基矢为：

yxaazxaazyaaˆˆ2ˆˆ2ˆˆ2321

zllyllxllayxalzxalzyalalalalRlˆˆˆ2ˆˆ2ˆˆ2ˆˆ2213132321332211

其中l1，l2，l3为整数，以直角坐标系xaiˆ2，yajˆ2，zakˆ2。

213312321llnllnlln 3213212lllnnn为偶数。 2.6 可在面心立方晶体中掺入外来原子，掺杂原子填入四面体或八面体位置，即掺杂原子周围的晶格原子分别处在正四面体或正八面体的顶点位置上。试给出这些间隙位置的所在。

四面体中心zyxaRˆˆˆ4，zayxaRˆ43ˆˆ4，yazxaRˆ43ˆˆ4，xazyaRˆ43ˆˆ4，zayxaRˆ4ˆˆ43，yazxaRˆ4ˆˆ43，xazyaRˆ4ˆˆ43，zyxaRˆˆˆ43，

还有立方体中心zyxaRˆˆˆ2。

八面体中心即立方体中心zyxaRˆˆˆ2。 2.7算出图2.1所示二维蜂房格子的几何结构因子。

解：1a

2a

取原包基矢

yabyaxabyaxaaxaaˆ34ˆ32ˆ32ˆ23ˆ23ˆ32121

yhhxhabhbhGhˆ32ˆ321212211

01d

yaxadˆ21ˆ232

•232321132321321121212132212nhhifnhhifnhhfefefShhidGiGhh当当当 方法二：选取基失如图，假设，每一条边长为a，则有

yaxaaxaaˆ23ˆ23,ˆ321 所以倒格子的基失为：

ijjibayabyaxab2,ˆ34,ˆ32ˆ3221•

设)ˆ32ˆ3(2ˆˆ12122111yhhxhabhbhGybxabh

（2）几何结构因子jhhdGihjiGeGfS•)(

一个原胞包含两个原子 ).0(),0.0(21add

因为是同种原子21ff 为整数其它nnhhnhhfoeffefeShhidGidGiGhhh62)12(3202)1(1212)2(321221••

2.8已知三斜晶系的晶体中，三个基矢为1a，2a和3a,现测知该晶体的某一晶面法线与基矢的夹角依次为α，β和γ。试求该晶面的面指数。

解：

332211coscoscoshadhadhad

dahdahdahcoscoscos332211

晶面指数为dadadacoscoscos321)cos,cos,cos(321sss

其中321,,sss是保证321,,hhh为互质数的因子称为互质因子2.9证明六角晶体的介电常数张量为

x y

//000000 解：以六角晶系主轴为z轴，x，y轴如图：

有一个过x轴和z轴的镜面，所以

333231232221131211333231232221131211333231232221131211100010001100010001

所以33312213113332312322211312110000

六角晶系有一个6度轴，所以

123212341434343214343434110006cos6sin06sin6cos023212321232110006cos6sin06sin6cos000010006cos6sin06sin6cos0000313113221122111322112211333113221113221133312213113331221311

所以//33111133312213110000000000000000 2.10对一个三主轴方向周期分别为a，b和c的正交简单晶格，当入射X射线方向与[100]方向（其重复周期为a）一致时，试确定在哪些方向上会出现衍射极大？什么样的X射线波长才能观察到极大？

解：

zcbybbxabzcaybaxaaˆ2ˆ2ˆ2ˆˆˆ321321

zchybhxahbhbhbhGhˆˆˆ2321332211

xkkˆ

hhGGk221•

23222112322212122chbhahhakchbhahkah

zchybhxahchbhhazchybhxahchbhahhazchybhxahxkGkkhˆ2ˆ2ˆˆ2ˆ2ˆ2ˆˆˆ2ˆ321232213212322211321

综上，方向沿zchybhxahchbhhaˆ2ˆ2ˆ32123221会出现衍射极大值。

X射线的波长23222112chbhahah才能观察到极大值。

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固体物理简答

固体物理简答

1 简正坐标：经过简正变换，它已不再是描述某一个原子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的坐标

简正模式：晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为简正模式

声子是晶体格波的能量量子，一种格波即一种模式称为一种声子，对于有n个原子组成的一维单原子链，有n个格波，既有n种声子。

声子只是反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而单独存在，他并不是一种真实的粒子，只是一种准粒子。

声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。

若每个原胞中有s个原子，一维晶格振动有s个色散关系式（s支格波），其中：1支声学波，（s-1）支光学波。

晶格振动格波的总数=晶体的自由度数。

晶格振动波失的总数=晶体的原胞数

用可见光散射方法只能测定原点附近的很小一部分长波声子的振动谱，而不能测定整个晶体振动谱，这是可见光散射法的最根本的缺点。

入射光与晶格振动的光学波相互作用所引起的频率改变的非弹性散射，称为拉曼散射。频率减小的称为stokes散射：频率增加的称为anti-stokes散射。

简谐近似：系统的是能函数在平衡位置附近展开成泰勒级数，当只保留至相对平衡位置位移的二次方项时，称为简谐近似。

第一章 金属自由电子气体模型习题及答案

1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？

[解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。

2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？

[解答] 费米能级

3/222)3(2nmEoF ，

固体物理 课后习题解答(黄昆版)第二章

固体物理 课后习题解答(黄昆版)第二章

黄昆 固体物理 习题解答

第二章 晶体的结合

2.1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α = 2 2n

解：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这

样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用 r 表示相

邻离子间的距离，于是有

α = ∑ ′ ( 1)

=

2[ 1 1 1 1

− + − + ...]

rjrij r 2r 3r 4r

前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，

i

1 1 1 故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为

2 3 4 α = 2[1− + − + ...]

2 3 4

x x x

Qln(1 + x) = −x + − + ...

当 x=1 时，有1 2 3 4 1 1 1

...

− + − + = ln

2

∴ =α 2 2n

2 3 4

2.2 讨论使离子电荷加倍所引起的对 Nacl 晶格常数及结合能的影响

（排斥势看作不变）

α 2

e C

解： u r

( ) = −

α 2 +

r r n

α2

nC

1

du e nC e nC

由 | = − = 0 解得 =+ r e −1

r 2 n+1 2 n 1 0 ( ) (= 2)n

dr 0 r

0 r

0 r

0 r

0

nC

1

1 α e

于是当 e 变为 2e 时，有 r −1 = 4 −1 r e

( )

0 (2 ) (= 2) n n 0

= − α

2

1 4α e

结合能为 u r

( ) e(1− ) 当 e 变为 2e 时，有

0

4α e2 r

0

1 n

n

u e

(2 ) = − r (2 ) (1 − ) = u e( ) 4 −

n 1

n

0

u r

( )

= − α+β

m n

2.3 若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为

固体物理答案陆栋.pdf

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《固体物理学》习题解答

( 仅供参考 )

参加编辑学生

柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），

陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），

秦丽丽（第七章）

指导教师

黄新堂

华中师范大学物理科学与技术学院 2003 级

2006 年 6 月 第一章 晶体结构

1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出

这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为 a。

解：

氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个 Na+和一个 Cl－组成 的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ 原子组成的Ｃ原子对。

由于 NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：

a1  a2 ( j  k)

a 2  a2 ( k  i)

 a 3  a ( i 

j)  2

相应的晶胞基矢都为：

a  ai, b  aj,

c  ak.

2. 六角密集结构可取四个原胞基矢 a1 , a 2,

a 3与 a4 ,如图所示。试写出 O A1 A3 、

A1 A3 B3 B1 、 A2 B2 B5 A5 、 A1 A2 A3 A4 A5 A6 这四个 晶 面所属晶面族的晶面指数 h k l m。

解：

(1)．对于 OA1 A3 面，其在四个原胞基矢上的 截

矩分别为：１，１， 1 ，１。所以，其晶 面 2  

指数为 1121 。

(2)．对于 A1 A3 B3 B1 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，  12 ，  。

所以，其晶面指数为 1120。

(3)．对于 A2 B2 B5 A5 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１， 1，  ，  。

固体物理题库-zzk-第一至第五章-1

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1 第一章 晶体结构和X射线

1、试证体心立方和面心立方各自互为正、倒格子

2、如果基矢a,b,c构成正交关系，证明晶面族（h k l）的面间距满足：

222)()()(1clbkahdhkl

3、证明以下结构晶面族的面间距：

（1） 立方晶系：dhkl=a[h2+k2+l2]-1/2

（2） 六角晶系：2/12222])()(34[clahkkhdhkl

4、等体积的硬球堆积成体心立方结构和面心立方结构，试求他们在这两种结构中的致密度分别为0.68和0.74。

5、试证密积六方结构中，c/a=1.633。

6、在立方晶胞中，画出（1 0 1），（0 2 1），（221）和（012）晶面。

7、如下图，B和C是面心立方晶胞上的两面心。

（1） 求ABC面的密勒指数；

（2） 求AC晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。

2 8、六角晶胞的基矢为

.,223,223kccjaiabjaiaa 求其倒格子基矢。

9、求晶格常数为a的面心立方和体心立方晶体晶面族（h1 h2 h3）之间的面间距（指导p30,10）。

10、讨论六角密积结构，X光衍射的消光条件。

11、求出体心立方、面心立方的几何因子和消光条件。

12、原胞和晶胞的区别？

13、倒空间的物理意义？

14、布拉格衍射方程，原子和几何结构因子在确定晶格结构上分别起何作用？

15、什么是布拉格简单格子，什么是复式格子？

第二章 自由电子气

1、设有一个长度为L的一维金属线，它有N个导电电子，若把这些导电电子看成自由电子气，试求：

（1） 电子的状态密度

（2） 绝对零度下的电子费米能级，以及费米能级随温度的变化关系。

（3） 电子的平均能量。

（4） 电子的比热。

2、二维电子气的能态密度2)(mEN，证明费米能

]1ln[/2TmknBFbeTkE

3、求出一维金属中自由电子的能态密度、费米能级、电子的平均动能以及一个电子对于比热的贡献。