固体物理习题解答

黄昆 固体物理 习题解答

第二章 晶体的结合

2.1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α = 2 2n

解：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这

样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用 r 表示相

邻离子间的距离，于是有

α = ∑ ′ ( 1)

=

2[ 1 1 1 1

− + − + ...]

rjrij r 2r 3r 4r

前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，

i

1 1 1 故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为

2 3 4 α = 2[1− + − + ...]

2 3 4

x x x

Qln(1 + x) = −x + − + ...

当 x=1 时，有1 2 3 4 1 1 1

...

− + − + = ln

2

∴ =α 2 2n

2 3 4

2.2 讨论使离子电荷加倍所引起的对 Nacl 晶格常数及结合能的影响

（排斥势看作不变）

α 2

e C

解： u r

( ) = −

α 2 +

r r n

α2

nC

1

du e nC e nC

由 | = − = 0 解得 =+ r e −1

r 2 n+1 2 n 1 0 ( ) (= 2)n

dr 0 r

0 r

0 r

0 r

0

nC

1

1 α e

于是当 e 变为 2e 时，有 r −1 = 4 −1 r e

( )

0 (2 ) (= 2) n n 0

= − α

2

1 4α e

结合能为 u r

( ) e(1− ) 当 e 变为 2e 时，有

0

4α e2 r

0

1 n

n

u e

(2 ) = − r (2 ) (1 − ) = u e( ) 4 −

n 1

n

0

u r

( )

= − α+β

m n

2.3 若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为

《固体物理学》习题解答

( 仅供参考 )

参加编辑学生

柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），

陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），

秦丽丽（第七章）

指导教师

黄新堂

华中师范大学物理科学与技术学院 2003 级

2006 年 6 月 第一章 晶体结构

1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出

这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为 a。

解：

氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个 Na+和一个 Cl－组成 的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ 原子组成的Ｃ原子对。

由于 NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：

a1  a2 ( j  k)

a 2  a2 ( k  i)

 a 3  a ( i 

j)  2

相应的晶胞基矢都为：

a  ai, b  aj,

c  ak.

2. 六角密集结构可取四个原胞基矢 a1 , a 2,

a 3与 a4 ,如图所示。试写出 O A1 A3 、

A1 A3 B3 B1 、 A2 B2 B5 A5 、 A1 A2 A3 A4 A5 A6 这四个 晶 面所属晶面族的晶面指数 h k l m。

解：

(1)．对于 OA1 A3 面，其在四个原胞基矢上的 截

矩分别为：１，１， 1 ，１。所以，其晶 面 2  

指数为 1121 。

(2)．对于 A1 A3 B3 B1 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，  12 ，  。

所以，其晶面指数为 1120。

(3)．对于 A2 B2 B5 A5 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１， 1，  ，  。

第四章 晶格结构中的缺陷

1第四章 晶格结构中的缺陷

4.1 试证明，由N个原子组成的晶体，其肖托基缺陷数为

s

BkT

snNeμ−=

其中sμ是形成一个空位所需要的能量。

证明：设由N个原子组成的晶体，其肖托基缺陷数为sn，则其微观状态数为

!

()!s!

ssN

P

Nnn=

−

由于sμ个空位的出现，熵的改变

[]!

lnlnln()ln()ln

()!!BsBBssss

ssN

SkPkkNNNnNnnn

NnnΔ===−−−−

−

晶体的自由能变化为

[]ln()ln()ln

ssssBsssFnTSnkTNNNnNnnnμμ=−Δ=−−−−−

s

要使晶体的自由能最小

B()

ln0s

s

ssTnF

ukT

nN⎡⎤⎛⎞∂Δ

=+=⎜⎟⎢⎥∂−⎣⎦⎝⎠n

整理得

s

BkTs

sn

e

Nnμ−=

−

在实际晶体中，由于,

snN<

snn

NNn≈

−，得到

s

BkT

snNeμ−=

4.2 铜中形成一个肖托基缺陷的能量为1.2eV，若形成一个间隙原子的能量为4eV，试分别计算1300K时

肖托基缺陷和间隙原子数目，并对二者进行比较。已知，铜的熔点是1360K。

解：（王矜奉4.2.4）根据《固体物理学》4-8式和4-10式，肖托基缺陷和间隙原子数目分别为

s

BkT

snNeμ−=

1

1BkTnNeμ−= 得19

231.21.610

51.381013002.2510s

BkT

snNeNeNμ−

−××−−−××===×

191231.2410

161.3810130013.2110BkTnNeNeNμ−

−××−−−××===×

4.3 设一个钠晶体中空位附近的一个钠原子迁移时，必须越过0.5eV的势垒，原子振动频率为1012Hz。试

估算室温下放射性钠在正常钠中的扩散系数，以及373K时的扩散系数。已知，形成一个钠空位所需的能第四章 晶格结构中的缺陷

2量时1eV.

解：（刘友之8.8）根据《固体物理学》4-24式，

22B()/2

021

e

2uEkTDaν−+=

1第五章 金属电子论基础

5.1 已知下列金属的电子数密度： 3

/ncm−

Li 4.7×1022

Ni 2.65×1022

Cu 8.45×1022

试计算这些金属的费米能和费米球半径。

解：（参考中南大学4.6）根据《固体物理学》式（5-32）

解法一：金属的电子浓度

()3/2

1/2

22/

012

21

BEkTmE

nd

eμπ∞

−⎛⎞

=

⎜⎟

−⎝⎠∫

󰀽E

（1）

式中

()

/1

()

1

BEkTfE

eμ−=

−，由于K，0=T0

FEμ=

，所以当，有，而当，

有，故（1）式可简化为： 0

FEE>0)(=Ef0

FEE≤

1)(=Ef

()0

3/23/2

3/2

1/20

2222

012212

232FE

Fmm

nEdE

ππ⎛⎞⎛⎞

==

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠∫

󰀽󰀽E

（2）

得

()2

2/3

02

3

2FEn

mπ=󰀽

解法：根据《固体物理学》式（5-19）和式（5-18）

得费米半径()1/3

2

3

Fknπ=

费米能量()222

2/3

2

3

22F

Fk

En

mmπ==󰀽󰀽

分别代入电子数密度

()

()2

34

2

2/3

2/3

2

222

,316.3410

23.142

333.1424.710

22FLiEn

mπ−

−⎛⎞×

⎜⎟

×

⎝⎠

⎡⎤

==××××

⎣⎦

××󰀽

9.110

2

=

()

()1/3

1/3

2

22

,333.1424.710

FLiknπ⎡⎤

==×××

⎣⎦

()

()2

34

2

2/3

2/3

2

222

,316.3410

23.142

333.1422.6510

22FNiEn

mπ−

−⎛⎞×

⎜⎟

×

⎝⎠

⎡⎤

==××××

⎣⎦

××󰀽

9.110

2

=

()

()1/3

1/3

2

22

,333.1422.6510

FNiknπ⎡⎤

==×××

⎣⎦

2()

()2

34

2

2/3

2/3

2

222

,316.3410

23.142

333.1428.4510

22FCuEn

mπ−

−⎛⎞×

⎜⎟

×

⎝⎠

⎡⎤

==××××

⎣⎦

××󰀽

9.110

2

=

()

()1/3

1/3

2

22

,333.1428.4510

FCuknπ⎡⎤

==×××