高中数学排列组合概率统计
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排列组合：
1．排列及计算公式．排列及计算公式
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个
不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的
所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号用符号 p(n,m)
表示.
p(n,m)=n(n-1)(n-p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n2)……(n2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).
2．组合及计算公式．组合及计算公式
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(mm(m≤n)≤n)个元素的所有组合的个数，
叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号用符号
c(n,m) 表示.
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);
3．其他排列与组合公式．其他排列与组合公式
从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为个元素的全排列数为
n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).
排列（Pnm(n为下标，m为上标)）
Pnm=n×（n-1）（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；
Pnn（两个n分别为上标和下标）分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n
组合（Cnm(n为下标，m为上标)）
Cnm=Pnm/Pmm Cnm=Pnm/Pmm ；；Cnm=nCnm=n！！/m/m！（！（！（n-mn-mn-m）！；）！；）！；CnnCnnCnn（两个（两个n分别为上标和下标）分别为上标和下标） =1 =1 =1 ；；
Cn1Cn1（（n为下标1为上标）为上标）=n=n=n；；Cnm=Cnn-m
排列定义 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r
个的无重排列。排列的全体组成的集合用个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时
称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。
组合定义组合定义 从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，
称为从n个中取r个的无重组合。个的无重组合。
组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合表示，对应于可重组合
有记号C(n,r),C(n,r)。
概率统计
【考点透视】
1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．
2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概
率.
3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的
概率乘法公式计算一些事件的概率．概率乘法公式计算一些事件的概率．
4．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．次的概率．
5． 掌握离散型随机变量的分布列.
6．掌握离散型随机变量的期望与方差.
7．掌握抽样方法与总体分布的估计.
8．掌握正态分布与线性回归.
【例题解析】
考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率
解此类题目常应用以下知识:
(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝
)()(
IcardAcard
＝
nm
;
等可能事件概率的计算步骤：
① 计算一次试验的基本事件总数n
;
② 设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数
m;
③ 依公式
()m
PA
n求值;
④ 答，即给问题一个明确的答复.
(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);
特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A)＝P(A＋A)＝1.
(3)相互独立事件同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);
特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝knkk
nppC
)1(
其中P为事件A在一次试验中发生的
概率，此式为二项式[(1-P)+P]n
展开的第k+1项.
(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：
① 求概率的步骤是：求概率的步骤是：
第一步，确定事件性质
等可能事件
互斥事件
独立事件
n次独立重复试验
即所给的问题归结为四类事件中的某一种.
第二步，判断事件的运算
和事件
积事件
即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.
第三步，运用公式()
()()()
()()()
()(1)kknk
nnmPA
n
PABPAPB
PABPAPB
PkCpp
等可能事件:
互斥事件：
独立事件：
n次独立重复试验:求解求解
第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.
例1．在五个数字12345
，，，，，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是
（结果用数值表示）．
[考查目的]
本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.
[解答过程]
0.3提示:1
3
3
5C33
.
54
C10
2P
例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，
则指定的某个个体被抽到的概率为则指定的某个个体被抽到的概率为 ．
[考查目的]
本题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式，本题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式，同时考查概率的概念和等可同时考查概率的概念和等可
能性事件的概率求法.
用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.
[解答过程]1
.
20提示:51
.
10020P
例3从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为
__________．
[考查目的]
本题主要考查用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间497.5g~501.5的意
义和概率的求法.
[解答过程]
在497.5g~501.5内的数共有5个，而总数是20个，所以有51
.
204
点评：首先应理解概率的定义，在确定给定区间的个体的数字时不要出现错误.
例4.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发
热反应的概率为__________.（精确到0.01）
[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以
及推理和运算能力.
[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为人出现发热反应的概率为
3324455
5550.800.200.800.200.800.94CCC
.
故填0.94.
例5．右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路
中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分
成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用
导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是
（A）
454
（B）
361
（C）
154
（D）
158
[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力，以及推
理和运算能力.
[解答提示]由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有222
642
3
315CCC
A种分法，同理右端
的六个接线点也随机地平均分成三组有222
642
3
315CCC
A种分法；要五个接收器能同时接收到信
号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，即五个接收器的一个全排列，即五个接收器的一个全排列，再将排列再将排列
后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接
方式共有
5
5120A种，所求的概率是1208
22515P
，所以选D.
点评：本题要求学生能够熟练运用排列组合知识解决计数问题，本题要求学生能够熟练运用排列组合知识解决计数问题，并进一步求得概率问题，并进一步求得概率问题，其
中隐含着平均分组问题.
例6．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，件，假设事件假设事件A：“取出的2
件产品中釳多有1件是二等品”的概率
()0.96PA
．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p
；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一
件二等品”的概率
()PB．
[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，运用数学知识解决问
题信号
