高三数学排列组合和概率统计
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高三数学排列组合和概率统计
2009届高三数学二轮复习资料--排列组合和概率统计
一、高考考试内容：
1、 分类计数原理与分步计数原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式；组合数的两个性质； 二项式定理；二项展开式的性质
2、 随机事件的概率；等可能性事件的概率；互斥事件有一个发生的概率；相互独立事件同时发生的概率；独立重复试验．
3、 离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的期望值和方差；抽样方法；总体分布的估计；正态分布；线性回归．
二、 高考考试要求：
1、掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．
2、理解排列的意义。掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．
3、理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．
4、掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．
5、了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．
6、了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率．
7、了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．
8、会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生κ次的概率．
9、了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．
10、了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差．
11、会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本．
12、会用样本频率分布去估计总体分布．
13、了解正态分布的意义及主要性质．
14、了解线性回归的方法和简单应用．
三、考试类型及数学思想：
纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点都在两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也在高考题中常见。概率及概率统计的内容，每年都有一道解答题，占12分左右，今年在此出题可能性也较大。
本章主要的数学思想有：划归思想，比较分类思想，极限思想和模型化思维方法。学习是应注意发散思维和逆向思维，通过分类分步把复杂问题分解恰当地应用集合观点、整体思想，从全集、补集等入手，使问题简化。
四、知识体系
排列与组合
计数原理
分类计数原理：
分步计数原理：
排列数公式
组合数公式
组合数性质
1、 2、 ； 3、 ；4、二项式定理
二项式定理通项系数性质①②二项式展开式中，中间一项的二项式系数最大或中间两项的二项式系数相等并且最大，即当n为偶数时，第项的二项式系数最大，为；当为奇数时，第项及项的二项式系数最大，为。③二项展开式中所有项的二项式系数之和等于，即。
④二项式展开式中，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，即。 概率与统计
概率与统计
等可能事件特点每个结果出现的可能性都相等算法P(A)=
互斥事件不对立特点
① 互斥事件是研究两个及其以上事件之间的关系；
② 这些事件是发生在同一次试验中；这些事件不能同时出现，即A发生则B必不发生；③事件A+B为随即事件。算法P(A+B)=P(A)+P(B)对立特点
① A、B不能同时发生，但必须有一个发生，常把B记作
② 事件A+为必然事件。算法P()=1-P(A)
相互独立事件特点① 相互独立事件也是研究两个及其以上的事件间关系；但所研究的事件是在不同试验中得到的，这是与互斥事件的根本区别之一；
② 一个事件发生与否对另一个事件发生没有影响；
③ 若时间A与B对立，则A与、与、与B也相互独立算法独立重复试验特点① 每次试验可以在相同条件下重复进行；
② 每次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生；
③ 任何一次发生的概率不变。算法注解
① 积事件表示事件A与事件B同时发生，而和事件A+B表示事件A与事件B至少有一个发生；
② 当事件A与事件B不是互斥事件时，和事件应按公式P(A+B)=P(A)+P(B)-或P(A+B)=1-()计算。
概率与统计
随机变量
离散型随机变量
分布列→二项分布~B(n,p)
期望（反映了随机变量取值的平均水平）E=性质：（1）若~B(n,p)，则E=np;（2），则；（3）
方差标准差（反映了关于期望的稳定与波动，集中与离散的程度）方差D==；
标准差：
方差性质：（1）；
（2）若~B(n,p)，则
连续型随机变量统计抽样方法
总体抽样
简单随机抽样
系统抽样
分层抽样
总体分布→样本的频率分布→频率分布直方图
正态分布：用表示性质：（1）即曲线在轴上方；（2）曲线是一条关于直线对称，在处取得最大值的连续的正态曲线。越大曲线越"矮胖"表示总体的分布越分散；越小曲线越"瘦高"表示总体的分布越集中，而且随机变量的取值集中在附近。
标准正态分布：用表示性质：（1）对一切，的值可在标准正态分布表中查到，的值，可用求出；
（2）的计算：若，，取值小于的概率可用来计算。
线性回归
五、课时划分：（共四课时）
第一课时：分类、分步计数原理及排列组合二项式定理
（一）考题类型：高考对排列、组合内容的考查，一般以实际应用题形式出现，这是因为排列、组合的应用性概念强，并充满思辨性和解法多样性，符合高考选择题的特点，易于考查学生的能力，此类题大致可分两类。
（1）有附加问题的排列问题，此类题多数只有一个附加条件，且以学生熟悉的数学问题或排队问题为主。
（2）有附加条件的组合问题，此类题常以"至少取n个"或以几何为背景的分类组合问题为主。
解此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其它元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件。
（二）、课前练习
1．在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ B） （A）36个 （B）24个（C）18个 （D）6个
2．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这三人中至少有1名女生，则选派方案共有（B ）
（A）108种
（B）186种
（C）216种
（D）270种
3．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( D )
A.16种B.36种C.42种D.60种
4．高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（B ）
（A）1800（B）3600（C）4320（D）5040
5．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品，从这
100 件产品中任意抽出 3 件。
（1）有多少种不同的抽法 ？
（2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种 ？
（3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种 ？
（三）例题精讲
两个原理的应用 例1：设集合I={1,2,3,4,5},选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小数大于A中的最大数，则不同选法共有 49
种。
【解析】：（分类计数原理应用）
A中最大为１，B有，A有１种；
A中最大为２，B有，A有２种；
A中最大为３，B有，A有４种；
A中最大为４，B有１种，A有８种；共有。
例２：从６人中选４人分别到北京、上海、西安、兰州四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这６人中甲、乙两人不去北京游览。则不同选择方案共有240 种。
【解析】：.(分步计数原则).
排列组合应用
例３：有３名男生，４名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数。
（１） 全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置。
（２） 全体排成一行，其中甲不再最左边，乙不在最右边。
（３） 全体排成一行，其中男生必须排在一起。
（４） 全体排成一行，男、女各不相邻。
（５） 全体排成一行，男生不能排在一起。
（６） 全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变。
（７） 排成前后两排，前排３人，后排４人。
（８） 全体排成一行，甲、乙两人中间必须有３人。
【解析】：（1）（2）
（3）； （4）； （5）
（6）；（7）；（8）
例４：如图用６种不同的颜色给图中的４个格子涂色，每一个格子涂一种颜色，要求最多使用３种颜色，且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色访法共有390种。
【解析】：排列应用
例５：已知直线与圆有公共点，且公共点横纵坐标均为整数，那么这条直线共有60条。
【解析】：圆上的整数点共有12个,过12个点的切线共有12条,割线共有条 ,过原点的直线有6条，斜率为0的直线有6条，斜率不存在的直线有6条，故共有60条。
例６：现有９台电脑，要分发到６个单位，每个单位至少一台，有56 种不同分发方法．
【解析】：
（ 隔板法解决组合问题）
例７：从５双不同的鞋中任取４只，求４只鞋子中至少有两只配成一双的取法有 130 种。
【解析】：分类讨论思想应用：4只恰为两双=10；4只只有一双=120。
例８：某人射击７枪，击中５枪，击中和未击中的不同顺序有多少种。
【解析】："转化思想应用"令击中为1，未击中为0.即7个数中有5项为1，2项为0，0相邻有；0不相邻有。故共有21种排法。
例９：一个口袋内装有４个不同的红球，６个不同的白球，若取出一个红球记２分，取出一个白球机１分，从口袋中取５个球，使总分不小于７分的取法有多少种？
【解析】：
（四）课后练习
１、将4个相同的小球投入3个不同的盒内，不同的投入方法共有种。
２、从班委会5名成员中选名，分别担任班机学习委员，文艺委员于体育委员，其中甲、乙二人不能担任文艺委员，则不同选法有种。
３、在党中央的号召下，某农机站欲从6台打谷机和4台播种机中选三台区支援三个贫困村，要求至少包含一台播种机，且每个贫困村都能得到一台机器，则不同的选送方案有种。
４、四个不同的小球放入编号分别为1、2、3、4的四个盒中，恰好有一个空盒的放法有种。
５、某外商计划在4个候选城市中投资3个不同项目，且在
